Definisi. Biarkan masuk n percobaan berulang (pengujian) beberapa peristiwa TETAPI telah datang n A sekali.
Nomor n A disebut frekuensi kejadian TETAPI , dan rasio
disebut frekuensi relatif (atau frekuensi) dari peristiwa tersebut TETAPI dalam rangkaian tes ini.
Sifat frekuensi relatif
Frekuensi relatif suatu peristiwa memiliki sifat-sifat berikut.
1. Frekuensi setiap peristiwa terletak pada rentang dari nol hingga satu, mis.
2. Frekuensi peristiwa yang tidak mungkin sama dengan nol, yaitu
3. Frekuensi acara pasti sama dengan 1, yaitu
4. Frekuensi jumlah dua acara yang tidak kompatibel sama dengan jumlah frekuensi (frekuensi) dari peristiwa-peristiwa ini, yaitu jika = , maka
Frekuensi memiliki Properti , disebut properti stabilitas statistik : dengan peningkatan jumlah eksperimen (yaitu dengan peningkatan n ) frekuensi suatu peristiwa mengambil nilai yang mendekati probabilitas peristiwa ini R .
Definisi. Peluang statistik kejadian A bilangan yang frekuensi relatif suatu peristiwa berfluktuasi disebut TETAPI dengan jumlah tes (eksperimen) yang cukup besar n .
Probabilitas Peristiwa TETAPI dilambangkan dengan simbol R (TETAPI ) atau R (TETAPI ). Munculnya huruf sebagai simbol konsep "probabilitas" R ditentukan oleh kehadirannya di tempat pertama di kata Bahasa Inggris kemungkinan - kemungkinan.
Berdasarkan definisi ini
Properti probabilitas statistik
1. Probabilitas statistik dari setiap peristiwa TETAPI antara nol dan satu, yaitu
2. Probabilitas statistik dari suatu kejadian yang tidak mungkin ( TETAPI= ) sama dengan nol, mis.
3. Probabilitas statistik dari suatu peristiwa tertentu ( TETAPI= ) sama dengan satu, yaitu,
4. Jumlah Probabilitas Statistik tidak cocok kejadian sama dengan jumlah peluang kejadian tersebut, yaitu jika A B= , maka
Definisi klasik dari probabilitas
Biarkan percobaan dilakukan dengan n hasil yang dapat direpresentasikan sebagai sekelompok peristiwa yang sama-sama mungkin tidak sesuai. Kasus yang menyebabkan peristiwa itu terjadi TETAPI , disebut menguntungkan atau menguntungkan, yaitu. kejadian w menyebabkan suatu peristiwa TETAPI , w A .
Definisi. Peluang suatu kejadian TETAPI disebut perbandingan bilangan m kasus yang menguntungkan untuk acara ini, dengan jumlah total n kasus, yaitu
Properti probabilitas "klasik"
1. Aksioma non-negatif : peluang kejadian apapun TETAPI non-negatif, yaitu
R(TETAPI) ≥ 0.
2. Aksioma normalisasi : peluang kejadian tertentu ( TETAPI= ) sama dengan satu:
3. Aksioma aditif : peluang jumlah tidak cocok kejadian (atau probabilitas terjadinya salah satu dari dua kejadian yang tidak sesuai) sama dengan jumlah probabilitas kejadian ini, mis. jika A B=Ø, maka
Probabilitas Peristiwa: R() = 1 – R(TETAPI).
Untuk peluang suatu kejadian adalah jumlah setiap dua acara TETAPI dan PADA, rumus yang benar adalah:
Jika acara TETAPI dan PADA tidak dapat terjadi sebagai akibat dari satu pengujian pada waktu yang sama, yaitu dengan kata lain, jika A B- peristiwa yang tidak mungkin, mereka disebut tidak cocok atau tidak cocok , lalu R(A B) = 0 dan rumus probabilitas jumlah kejadian mengambil bentuk yang sangat sederhana:
Jika peristiwa TETAPI dan PADA dapat terjadi sebagai hasil dari satu tes, mereka disebut kompatibel .
Algoritma yang Berguna
Ketika menemukan probabilitas menggunakan definisi klasik probabilitas harus mengikuti algoritma berikut.
1. Perlu dipahami dengan jelas apa eksperimen itu.
2. Nyatakan dengan jelas apa acaranya TETAPI, probabilitas yang akan ditemukan.
3. Merumuskan dengan jelas apa yang akan merupakan peristiwa dasar dalam masalah yang sedang dipertimbangkan. Setelah merumuskan dan mendefinisikan peristiwa dasar, seseorang harus memeriksa tiga kondisi yang harus dipenuhi oleh serangkaian hasil, yaitu. .
6. Mengikuti definisi klasik tentang probabilitas, tentukan
Saat memecahkan masalah kesalahan paling umum adalah pemahaman kabur tentang apa yang dianggap sebagai peristiwa dasar w , dan kebenaran konstruksi himpunan dan ketepatan perhitungan peluang suatu kejadian bergantung pada ini. Biasanya, dalam praktiknya, hasil paling sederhana diambil sebagai peristiwa dasar, yang tidak dapat "dibagi" menjadi lebih sederhana.
Frekuensi relatif, bersama dengan probabilitas, termasuk dalam konsep dasar teori probabilitas.
Frekuensi relatif peristiwa mengacu pada rasio jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi dengan jumlah total percobaan yang benar-benar dilakukan. Jadi, frekuensi relatif dari kejadian tersebut A ditentukan oleh rumus
W(A) = m/n,
di mana m adalah jumlah kemunculan peristiwa, n – jumlah total tes.
Membandingkan definisi probabilitas dan frekuensi relatif, kami menyimpulkan: definisi probabilitas tidak mengharuskan pengujian dilakukan dalam kenyataan; penentuan frekuensi relatif, bagaimanapun, mengasumsikan bahwa tes benar-benar dilakukan. Dengan kata lain, probabilitas dihitung sebelum pengalaman, frekuensi relatif - setelah pengalaman.
Contoh 1 Departemen kontrol teknis menemukan 3 bagian non-standar dalam kumpulan 80 bagian yang dipilih secara acak. Frekuensi relatif terjadinya bagian non-standar
W(A) =3/80.
Contoh 2 24 tembakan dilepaskan ke sasaran, dan 19 tembakan dicatat. Tingkat hit relatif
W(A) =19/24.
Pengamatan jangka panjang telah menunjukkan bahwa jika kondisi yang sama menghasilkan percobaan, di mana masing-masing jumlah tes cukup besar, maka frekuensi relatif mengungkapkan sifat stabilitas. Properti ini adalah apa di berbagai pengalaman frekuensi relatif berubah sedikit(semakin sedikit, semakin banyak tes yang dilakukan), berfluktuasi di sekitar beberapa angka konstan. Ternyata ini bilangan konstan ada kemungkinan peristiwa itu akan terjadi.
Jadi, jika secara empiris frekuensi relatif diatur, maka angka yang dihasilkan dapat diambil sebagai nilai perkiraan probabilitas.
Hubungan antara frekuensi relatif dan probabilitas akan dijelaskan lebih rinci dan lebih tepat di bawah ini. Sekarang mari kita ilustrasikan sifat stabilitas dengan contoh-contoh.
Contoh 3 Menurut statistik Swedia, frekuensi relatif kelahiran anak perempuan pada tahun 1935. Menurut bulan ditandai dengan angka-angka berikut (angka-angka disusun dalam urutan bulan mulai dari Januari): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Frekuensi relatif berfluktuasi di sekitar angka 0,482, yang dapat diambil sebagai nilai perkiraan untuk kemungkinan memiliki anak perempuan.
Perhatikan bahwa statistik berbagai negara memberikan kira-kira nilai frekuensi relatif yang sama.
Contoh 4 Eksperimen berulang dilakukan dengan melempar koin, di mana jumlah kemunculan "lambang" dihitung. Hasil dari beberapa percobaan ditunjukkan pada tabel.1.
Di sini, frekuensi relatif sedikit menyimpang dari angka 0,5, dan semakin sedikit, semakin sedikit lebih banyak nomor tes. Misalnya, dengan 4040 percobaan deviasinya adalah 0,0069, tetapi dengan 24000 percobaan hanya 0,0005. Mempertimbangkan bahwa probabilitas "lambang" muncul ketika sebuah koin dilempar adalah 0,5, kita kembali melihat bahwa frekuensi relatif berfluktuasi di sekitar probabilitas.
7. Keterbatasan definisi klasik tentang probabilitas. Probabilitas Statistik
Definisi klasik probabilitas mengasumsikan bahwa jumlah hasil dasar dari suatu percobaan terbatas. Namun, dalam praktiknya, sangat sering ada percobaan, jumlah kemungkinan hasil yang tidak terbatas. Dalam kasus seperti itu, definisi klasik tidak berlaku. Keadaan ini sudah menunjukkan keterbatasan definisi klasik. Kekurangan yang dicatat dapat diatasi, khususnya, dengan memperkenalkan probabilitas geometris (lihat 8) dan, tentu saja, dengan menggunakan probabilitas aksiomatik (lihat 3, komentar).
Paling sisi lemah Definisi klasik adalah bahwa sangat sering tidak mungkin untuk merepresentasikan hasil tes sebagai satu set peristiwa dasar. Bahkan lebih sulit untuk menunjukkan alasan untuk mempertimbangkan peristiwa-peristiwa dasar sebagai kemungkinan yang sama. Biasanya, persamaan hasil dasar suatu tes dikatakan dari sudut pandang simetri. Jadi, misalnya, diasumsikan bahwa dadu memiliki bentuk polihedron biasa(kubus) dan terbuat dari bahan homogen. Namun, masalah di mana seseorang dapat melanjutkan dari pertimbangan simetri sangat jarang terjadi dalam praktik. Untuk alasan ini, bersama dengan definisi klasik tentang probabilitas, definisi lain digunakan, khususnya, definisi statistik: frekuensi relatif atau angka yang mendekatinya diambil sebagai probabilitas statistik suatu peristiwa. Misalnya, jika hasilnya cukup jumlah yang besar tes ternyata frekuensi relatif sangat dekat dengan angka 0,4, maka angka ini dapat diambil sebagai probabilitas statistik dari acara tersebut.
Sangat mudah untuk memeriksa bahwa sifat-sifat probabilitas yang mengikuti definisi klasik (lihat 3) juga dipertahankan dalam definisi statistik probabilitas. Memang, jika peristiwa itu benar, maka m =n dan frekuensi relatif
m/n = n/n = 1,
itu. probabilitas statistik dari suatu peristiwa tertentu (seperti dalam kasus definisi klasik) sama dengan satu.
Jika acaranya tidak memungkinkan, maka m= 0 dan karenanya frekuensi relatif
0/n = 0,
itu. probabilitas statistik dari suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol.
Untuk acara apa pun 0 m n dan karenanya frekuensi relatif
0 m/n 1,
itu. probabilitas statistik dari setiap peristiwa terletak antara nol dan satu.
Untuk keberadaan probabilitas statistik suatu peristiwa A diperlukan:
a) kemungkinan, setidaknya pada prinsipnya, untuk melakukan pengujian dalam jumlah yang tidak terbatas, di mana masing-masing peristiwa A terjadi atau tidak terjadi;
b) stabilitas frekuensi relatif penampilan A dalam seri yang berbeda dari sejumlah tes yang cukup besar.
kerugian definisi statistik adalah ambiguitas probabilitas statistik; jadi, dalam contoh yang diberikan, tidak hanya 0,4, tetapi juga 0,39 dapat diambil sebagai probabilitas suatu peristiwa; 0,41 dll.
peluang geometris
Untuk mengatasi kelemahan definisi klasik tentang probabilitas, yaitu tidak dapat diterapkan pada pengujian dengan bilangan tak terhingga hasil, masukkan peluang geometris- probabilitas mengenai area titik (segmen, bagian dari pesawat, dll.).
Biarkan segmen aku merupakan bagian dari segmen L. Untuk segmen L titik acak. Ini berarti pemenuhan asumsi berikut: titik setel dapat berada di titik segmen mana pun L, peluang suatu titik jatuh pada suatu ruas aku sebanding dengan panjang segmen ini dan tidak bergantung pada lokasi relatif terhadap segmen L. Di bawah asumsi ini, probabilitas titik jatuh pada segmen aku ditentukan oleh persamaan
P= Panjang aku/ Panjang L.
Contoh 1 . Untuk segmen OA panjang L sumbu numerik Sapi titik acak B(x). Temukan probabilitas bahwa segmen yang lebih kecil OB dan BA memiliki panjang yang panjang L
Keputusan. Mari kita membagi segmen OA titik-titik C dan D menjadi 3 bagian yang sama. Persyaratan tugas akan terpenuhi jika poinnya B(x) jatuh pada segmen CD panjang L/3. Probabilitas yang diinginkan
P = (L /3)/L = 1/3.
Biarkan sosok datar g merupakan bagian dari bangun datar G. Pada gambar G sebuah titik dilempar secara acak. Ini berarti terpenuhinya asumsi-asumsi berikut: titik yang dilempar dapat berada pada titik mana pun dari gambar G, peluang terlemparnya benda tersebut mengenai gambar g sebanding dengan luas gambar ini dan tidak tergantung pada lokasinya relatif terhadap G, bukan dari bentuk g. Di bawah asumsi ini, probabilitas suatu titik jatuh ke dalam angka g ditentukan oleh persamaan
P= luas g/ Kotak G.
Contoh 2 Dua lingkaran konsentris digambar pada bidang tersebut, yang jari-jarinya masing-masing adalah 5 dan 10 cm. Temukan peluang bahwa sebuah titik yang dilemparkan secara acak ke dalam sebuah lingkaran besar jatuh ke dalam ring yang dibentuk oleh lingkaran-lingkaran yang dibangun. Diasumsikan bahwa peluang mengenai suatu titik di sosok datar sebanding dengan luas gambar ini dan tidak tergantung pada lokasinya relatif terhadap lingkaran besar.
Keputusan. Area cincin (angka g)
Sg\u003d p (10 2 - 5 2) \u003d 75 hal.
Luas lingkaran besar (angka G)
S G= p10 2 = 100 hal.
Probabilitas yang diinginkan
P\u003d 75 p / (100 p) \u003d 0,75.
Contoh 3 Perangkat sinyal menerima sinyal dari dua perangkat, dan penerimaan masing-masing sinyal sama mungkinnya pada setiap saat dalam interval waktu yang berlangsung T. Momen kedatangan sinyal tidak tergantung satu sama lain. Perangkat pensinyalan berfungsi jika perbedaan antara momen penerimaan sinyal kurang dari t(t<T). Temukan probabilitas bahwa perangkat pemberi sinyal akan bekerja tepat waktu T, jika masing-masing perangkat mengirimkan satu sinyal.
Keputusan. Mari kita tunjukkan saat-saat kedatangan sinyal dari perangkat pertama dan kedua, masing-masing, melalui x dan kamu. Berdasarkan kondisi masalah, pertidaksamaan ganda harus dipenuhi: 0 x T, 0 kamu T.Mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang xOy. Dalam sistem ini, pertidaksamaan ganda dipenuhi oleh koordinat sembarang titik bujur sangkar OTAT(Gbr. 1).
Dengan demikian, persegi ini dapat dianggap sebagai gambar G, koordinat titik-titik yang mewakili semua nilai yang mungkin dari momen kedatangan sinyal.
Perangkat pensinyalan berfungsi jika perbedaan antara momen penerimaan sinyal kurang dari t, yaitu jika kamu-x<t pada kamu>x dan x-kamu<t pada x>kamu, atau, yang sama,
kamu<x+t pada kamu>x, (*)
kamu >x-t pada kamu<x. (**)
Pertidaksamaan (*) berlaku untuk titik-titik pada gambar G, yang terletak di atas garis kamu = x dan di bawah garis kamu = x+t;ketidaksamaan (**) terjadi untuk titik-titik yang terletak di bawah garis kamu= x dan di atas lurus kamu = x-t.
Seperti dapat dilihat dari Gambar.1. semua titik yang koordinatnya memenuhi pertidaksamaan (*) dan (**) termasuk dalam segi enam yang diarsir. Dengan demikian, segi enam ini dapat dianggap sebagai gambar g, koordinat titik-titik yang merupakan momen waktu yang menguntungkan x dan kamu.
Probabilitas yang diinginkan
P= Pl. g/ Pl. G = (T 2 - (T - t) 2)/T 2 = (t(2T - t))/T 2 .
Catatan 1. Definisi di atas adalah kasus khusus dari definisi umum probabilitas geometrik. Jika kita menyatakan ukuran (panjang, luas, volume) luas melalui mes, maka peluang mengenai sebuah titik dilempar secara acak (dalam pengertian di atas) ke dalam luas g- bagian dari wilayah G, adalah sama dengan
P=mes g/ mes G.
Catatan 2. Dalam kasus definisi klasik, peluang suatu kejadian tertentu (mustahil) sama dengan satu (nol); pernyataan sebaliknya juga benar (misalnya, jika probabilitas suatu peristiwa adalah nol, maka peristiwa tersebut tidak mungkin). Dalam kasus definisi geometris probabilitas, pernyataan terbalik tidak terjadi. Misalnya, peluang sebuah titik yang dilempar mengenai satu titik tertentu di area tersebut G adalah nol, tetapi peristiwa ini dapat terjadi, dan oleh karena itu bukan tidak mungkin.
tugas
1. Ada 50 bagian identik dalam sebuah kotak, 5 di antaranya dicat. Satu buah diambil secara acak. Temukan probabilitas bahwa bagian yang diekstraksi akan dicat
Membalas. p = 0,1.
2. Sebuah dadu dilempar. Temukan peluang mendapatkan jumlah poin genap.
Membalas. p = 0,5.
3. Peserta dalam pengundian mengambil token dengan angka dari 1 sampai 100 dari kotak. Tentukan peluang bahwa nomor dari token yang diambil secara acak pertama tidak mengandung angka 5.
Membalas. p = 0,81.
4. Ada 5 kubus identik di dalam tas. Pada semua sisi setiap kubus tertulis salah satu huruf berikut: o, p, p, s, m. Tentukan peluang terbacanya kata “olahraga” pada kubus yang direntangkan satu per satu dan terletak “dalam satu garis".
Membalas. p = 1/120.
5. Pada masing-masing dari enam kartu identik, salah satu huruf berikut dicetak: a, t, m, p, s, o. Kartu dicampur dengan hati-hati. Tentukan peluang bahwa pada empat kartu yang direntangkan satu per satu dan disusun "dalam satu baris" akan mungkin untuk membaca kata "kabel".
Membalas. p = 1/ = 1/360.
6. Sebuah kubus, yang semua sisinya dicat, digergaji menjadi seribu kubus dengan ukuran yang sama, yang kemudian dicampur secara menyeluruh. Temukan peluang bahwa kubus yang diambil secara acak akan memiliki wajah berwarna: a) satu; b) dua; pada pukul tiga.
Membalas. a) 0,384; b) 0,096; c) 0,008.
7. Dari satu set lengkap 28 domino yang dicampur dengan hati-hati, sebuah tulang diekstraksi secara acak. Temukan probabilitas bahwa tulang kedua yang diambil secara acak dapat dilekatkan pada tulang pertama, jika tulang pertama: a) ternyata ganda; b) tidak ada ganda.
Membalas. a) 2/9; b) 4/9.
8. Ada lima cakram di kunci pada sumbu yang sama. Setiap disk dibagi menjadi enam sektor di mana huruf yang berbeda ditulis. Kunci terbuka hanya jika setiap disk menempati satu posisi tertentu relatif terhadap badan kunci. Temukan probabilitas bahwa kunci dapat dibuka dengan pengaturan disk yang sewenang-wenang.
Membalas. p = 1/6 5 .
9. Delapan buku berbeda ditempatkan secara acak pada satu rak. Tentukan peluang bahwa dua buku tertentu akan ditempatkan berdampingan.
Membalas. p= 7*2!*6!/8! = .
10. Perpustakaan terdiri dari sepuluh buku yang berbeda, dengan lima buku masing-masing seharga 4 rubel, tiga buku - masing-masing satu rubel, dan dua buku - masing-masing 3 rubel. Tentukan peluang terambilnya dua buku secara acak seharga $5.
Membalas. p = 
11. Dalam batch 100 bagian, departemen kontrol teknis menemukan 5 bagian non-standar. Berapa frekuensi relatif kemunculan bagian non-standar?
Membalas. w = 0,05.
12. Saat menembak dari senapan, frekuensi relatif mengenai target ternyata 0,85. Temukan jumlah pukulan jika total 120 tembakan dilepaskan.
Membalas. 102 pukulan.
13. Untuk segmen OA panjang L sumbu numerik Sapi titik acak B(x).Temukan probabilitas bahwa segmen yang lebih kecil OB dan BA memiliki panjang kurang dari L/3. Diasumsikan bahwa peluang suatu titik mengenai suatu ruas sebanding dengan panjang ruas tersebut dan tidak bergantung pada lokasinya pada sumbu nyata.
Membalas. p = 2/3.
14. Jari-jari lingkaran dalam R sebuah titik dilempar secara acak. Tentukan peluang bahwa titik tersebut berada di dalam bujur sangkar yang terdapat dalam lingkaran. Diasumsikan bahwa peluang suatu titik jatuh ke dalam bujur sangkar sebanding dengan luas bujur sangkar dan tidak bergantung pada lokasinya relatif terhadap lingkaran.
P = 16/7.
Bagian dua
Definisi klasik dari probabilitas
Kemungkinan - salah satu konsep dasar teori probabilitas. Ada beberapa definisi dari konsep ini. Kemungkinan adalah bilangan yang mencirikan derajat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.
Setiap hasil tes yang mungkin disebut hasil dasar (elementary event). Sebutan: …,
Hasil dasar di mana peristiwa yang menarik bagi kita terjadi, kita sebut baik.
Contoh: Sebuah guci berisi 10 bola identik, 4 di antaranya berwarna hitam dan 6 berwarna putih. Acara - sebuah bola putih diambil dari guci. Banyaknya hasil yang menguntungkan di mana bola putih akan diambil dari guci adalah 4.
Rasio jumlah hasil dasar yang menguntungkan peristiwa tersebut dengan jumlah totalnya disebut probabilitas peristiwa; notasi Dalam contoh kita 
Peluang suatu kejadian sebut rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk peristiwa ini dengan jumlah semua hasil elementer yang sama-sama mungkin tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap,
di mana jumlah hasil dasar yang mendukung acara tersebut ; jumlah semua hasil dasar yang mungkin dari tes.
Sifat probabilitas:
1. Probabilitas suatu peristiwa tertentu sama dengan satu, yaitu.
2. Probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol, mis. e.
3. Probabilitas suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu, mis. e.
atau 
Dengan mempertimbangkan sifat 1 dan 2, peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan
4 . Rumus dasar kombinatorika
Kombinatorika mempelajari jumlah kombinasi yang tunduk pada kondisi tertentu yang dapat dibuat dari himpunan elemen berhingga yang bersifat arbitrer. Saat menghitung probabilitas secara langsung, rumus kombinatorik sering digunakan. Kami menyajikan yang paling umum digunakan.
Permutasi kombinasi nama yang terdiri dari unsur-unsur yang sama dan berbeda hanya dalam urutan pengaturannya.
Jumlah semua kemungkinan permutasi
di mana 
Diterima bahwa
Contoh. Banyaknya bilangan yang terdiri dari tiga angka, bila setiap angkanya dicantumkan pada gambar bilangan tiga angka hanya satu kali, adalah
Penempatan disebut kombinasi yang terdiri dari unsur-unsur yang berbeda oleh unsur-unsur yang berbeda baik dalam komposisi elemen atau dalam urutannya. Jumlah semua kemungkinan penempatan
Contoh. Jumlah sinyal dari 6 bendera warna yang berbeda, diambil oleh 2:
kombinasi disebut kombinasi yang terdiri dari unsur-unsur yang berbeda oleh unsur-unsur yang berbeda oleh setidaknya satu elemen. Jumlah kombinasi
Contoh. Banyaknya cara untuk memilih dua bagian dari sebuah kotak yang berisi 10 bagian:
Jumlah penempatan, permutasi, dan kombinasi dihubungkan oleh persamaan
Saat memecahkan masalah, kombinatorik menggunakan aturan berikut:
Aturan penjumlahan. Jika beberapa objek dapat dipilih dari sekumpulan objek dengan cara, dan objek lain dapat dipilih dengan cara, maka salah satu , atau dapat dipilih dengan cara.
aturan produk. Jika suatu objek dapat dipilih dari kumpulan objek dengan cara, dan setelah setiap pemilihan tersebut objek dapat dipilih dengan cara, maka sepasang objek dalam urutan itu dapat dipilih dengan cara.
Frekuensi relatif juga adalah konsep dasar teori probabilitas.
Frekuensi relatif peristiwa adalah rasio jumlah percobaan di mana peristiwa itu muncul dengan jumlah total percobaan yang benar-benar dilakukan dan ditentukan oleh rumus
,
di mana adalah jumlah kemunculan acara dalam uji coba, jumlah total uji coba.
Membandingkan definisi probabilitas dan frekuensi relatif, kami menyimpulkan bahwa definisi probabilitas tidak memerlukan pengujian, dan definisi frekuensi relatif melibatkan pengujian aktual.
Pengamatan jangka panjang menunjukkan bahwa ketika melakukan eksperimen di bawah kondisi yang sama, frekuensi relatif memiliki sifat stabilitas. Sifat ini terdiri dari fakta bahwa dalam rangkaian percobaan yang berbeda frekuensi relatif pengujian sedikit berbeda dari rangkaian ke rangkaian, berfluktuasi di sekitar bilangan konstan tertentu. Angka konstan ini adalah peluang terjadinya peristiwa.
Definisi klasik tentang probabilitas memiliki beberapa kelemahan:
1) jumlah hasil dasar tes terbatas, dalam praktiknya jumlah ini bisa tak terbatas;
2) sangat sering hasil tes tidak dapat direpresentasikan sebagai serangkaian peristiwa dasar;
Untuk alasan ini, bersama dengan definisi klasik tentang probabilitas, definisi statistik digunakan: di kualitas probabilitas statistik peristiwa mengambil frekuensi relatif.
Dalam definisi klasik, peluang suatu peristiwa ditentukan oleh persamaan (А)=m/n, di mana m adalah jumlah hasil tes dasar yang mendukung munculnya peristiwa ; n adalah jumlah total hasil tes dasar yang mungkin.
Diasumsikan bahwa hasil dasar membentuk kelompok yang lengkap dan memiliki kemungkinan yang sama.
Frekuensi relatif peristiwa A: W(A)=m/n, di mana m adalah jumlah percobaan di mana peristiwa A terjadi; n adalah jumlah total tes yang dilakukan.
Dalam definisi statistik, frekuensi relatif dari suatu peristiwa diambil sebagai probabilitas suatu peristiwa.
Contoh: dua buah dadu dilempar. Temukan probabilitas bahwa jumlah poin pada wajah yang dijatuhkan adalah genap, dan enam muncul di wajah setidaknya satu dadu.
Keputusan: satu poin, ..., enam poin dapat muncul di muka dadu "pertama" yang dijatuhkan. enam hasil dasar yang serupa dimungkinkan ketika melempar dadu "kedua". Setiap hasil lemparan "pertama" dapat digabungkan dengan setiap hasil lemparan "kedua". jumlah total hasil dasar dari tes adalah 6 * 6 = 36. Hasil ini membentuk kelompok yang lengkap dan, karena simetri tulang, sama-sama mungkin. Peristiwa yang menguntungkan adalah 5 gerakan: 1) 6.2; 2) 6.4; 3) 6.6; 4) 2.6; 5) 4.6;
Probabilitas yang diinginkan: P(A)=5/36
Anda juga dapat menemukan informasi menarik di mesin pencari ilmiah Otvety.Online. Gunakan formulir pencarian:
Lebih lanjut tentang topik 3. Frekuensi relatif. Stabilitas frekuensi relatif. Definisi statistik probabilitas.:
- 4. Definisi klasik tentang probabilitas. Frekuensi relatif dari kejadian tersebut. probabilitas statistik. probabilitas geometris.
- 27. Definisi statistik sampel. Seri variasi dan representasi grafisnya. Poligon dan histogram frekuensi (frekuensi relatif).
- 39. Konstruksi deret variasi interval. Histogram frekuensi dan frekuensi relatif.
- 4. Probabilitas penyimpangan frekuensi relatif dari probabilitas konstan dalam pengujian independen
Frekuensi relatif. Stabilitas frekuensi relatif
Frekuensi relatif, bersama dengan probabilitas, termasuk dalam konsep dasar teori probabilitas.
Frekuensi relatif peristiwa mengacu pada rasio jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi dengan jumlah total percobaan yang benar-benar dilakukan. Jadi, frekuensi relatif peristiwa A ditentukan oleh rumus
di mana m adalah jumlah kejadian, n adalah jumlah percobaan.
Membandingkan definisi probabilitas dan frekuensi relatif, kami menyimpulkan: definisi probabilitas tidak mengharuskan pengujian dilakukan dalam kenyataan; penentuan frekuensi relatif mengasumsikan bahwa tes benar-benar dilakukan. Dengan kata lain, probabilitas dihitung sebelum pengalaman, dan frekuensi relatif setelah pengalaman.
Contoh 1. Departemen kontrol teknis menemukan 3 bagian non-standar dalam kumpulan 80 bagian yang dipilih secara acak. Frekuensi relatif terjadinya bagian non-standar
Contoh 2 24 tembakan dilepaskan ke sasaran, dan 19 tembakan dicatat. Tingkat hit relatif
Pengamatan jangka panjang telah menunjukkan bahwa jika percobaan dilakukan di bawah kondisi yang sama, di mana masing-masing jumlah pengujian cukup besar, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat stabilitas. Properti ini adalah bahwa dalam berbagai eksperimen frekuensi relatif berubah sedikit (semakin sedikit, semakin banyak pengujian dilakukan), berfluktuasi di sekitar angka konstan tertentu. Ternyata bilangan konstan ini merupakan peluang terjadinya suatu kejadian.
Jadi, jika frekuensi relatif ditetapkan secara empiris, maka angka yang dihasilkan dapat diambil sebagai nilai perkiraan probabilitas.
Hubungan antara frekuensi relatif dan probabilitas akan dijelaskan lebih rinci dan lebih tepat di bawah ini. Sekarang mari kita ilustrasikan sifat stabilitas dengan contoh-contoh.
Contoh 3 Menurut statistik Swedia, frekuensi relatif kelahiran anak perempuan pada tahun 1935 berdasarkan bulan ditandai dengan angka-angka berikut (angka-angka tersebut disusun dalam urutan bulan, mulai dari Januari): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.
Frekuensi relatif berfluktuasi di sekitar angka 0,482, yang dapat diambil sebagai nilai perkiraan untuk kemungkinan memiliki anak perempuan.
Perhatikan bahwa statistik dari berbagai negara memberikan nilai frekuensi relatif yang kira-kira sama.
Contoh 4. Eksperimen berulang dilakukan dengan melempar koin, yang menghitung jumlah kemunculan "lambang". Hasil dari beberapa percobaan diberikan dalam tabel. satu.
Di sini, frekuensi relatif sedikit menyimpang dari angka 0,5, dan alirannya lebih sedikit, semakin banyak jumlah tes. Misalnya, dengan 4040 percobaan, simpangannya adalah 0,0069, dan dengan 24.000 percobaan, hanya 0,0005. Dengan memperhitungkan bahwa peluang munculnya “lambang” ketika sebuah koin dilempar adalah 0,5, kita kembali melihat bahwa frekuensi relatif berfluktuasi di sekitar probabilitas.
