ვექტორის გამრავლება რიცხვზე ნულოვანი ვექტორის ნამრავლი რიცხვზე არის ვექტორი, რომლის სიგრძე ტოლია, და ვექტორები და არიან თანამიმართული და საპირისპირო მიმართულები. ნულოვანი ვექტორის ნამრავლი ნებისმიერი რიცხვით არის ნულოვანი ვექტორი. ნულოვანი ვექტორის ნამრავლი რიცხვით არის ვექტორი, რომლის სიგრძე ტოლია, ხოლო ვექტორები და არიან თანადამმართველნი და საპირისპირო მიმართულები. ნულოვანი ვექტორის ნამრავლი ნებისმიერი რიცხვით არის ნულოვანი ვექტორი.

ვექტორის ნამრავლი რიცხვით აღინიშნა შემდეგნაირად: ვექტორის ნამრავლი რიცხვით აღინიშნა შემდეგნაირად: ნებისმიერი რიცხვისა და ნებისმიერი ვექტორისთვის, ვექტორები და არის კოლინარული. ნებისმიერი რიცხვისთვის და ნებისმიერი ვექტორისთვის, ვექტორები და არის კოლინარული. ნებისმიერი ვექტორის ნამრავლი ნულზე არის ნულოვანი ვექტორი. ნებისმიერი ვექტორის ნამრავლი ნულზე არის ნულოვანი ვექტორი.

ნებისმიერი ვექტორისთვის და ნებისმიერი რიცხვისთვის, ტოლობები მართალია: ნებისმიერი ვექტორისთვის და ნებისმიერი რიცხვისთვის, ტოლობები მართალია:

(-1) არის ვექტორი, საპირისპირო ვექტორი, ე.ი. (-1) =-. ვექტორების სიგრძეები (-1) და არის:. (-1) არის ვექტორის საპირისპირო ვექტორი, ე.ი. (-1) =-. ვექტორების სიგრძეები (-1) და არის:. თუ ვექტორი არ არის ნულოვანი, მაშინ ვექტორები (-1) და პირიქით მიმართულია. თუ ვექტორი არ არის ნულოვანი, მაშინ ვექტორები (-1) და პირიქით მიმართულია. პლანიმეტრიაში პლანიმეტრიაში თუ ვექტორები და არის წრფივი და, მაშინ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომ. თუ ვექტორები და არის კოლინარული და, მაშინ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომ.

თანაპლენარული ვექტორები ვექტორები ამბობენ, რომ თანაპლენარულია, თუ ერთი და იმავე წერტილიდან გამოსახულებისას ისინი ერთ სიბრტყეში არიან. ვექტორებს უწოდებენ კოპლანარს, თუ ერთი და იმავე წერტილიდან გამოსახულებისას ისინი ერთ სიბრტყეში არიან.

ნახატზე ნაჩვენებია პარალელეპიპედი. ნახატზე ნაჩვენებია პარალელეპიპედი. ვექტორები, და თანაპლენარულია, რადგან თუ განვვიღებთ ვექტორს, რომელიც ტოლია O წერტილის ვექტორებს, და თანაპლენარული ვართ, რადგან თუ განვვიღებთ ვექტორს, რომელიც ტოლია O წერტილის, მაშინ მივიღებთ ვექტორს და ვექტორებს, მივიღებთ ვექტორს. , და ვექტორები, და დევს იმავე სიბრტყეში OSE. ვექტორები და არ არის თანაპლენარული, ვინაიდან ვექტორი არ დევს OAB სიბრტყეში. და დაწექი იმავე OSE თვითმფრინავში. ვექტორები და არ არის თანაპლენარული, ვინაიდან ვექტორი არ დევს OAB სიბრტყეში.

მახასიათებლის დადასტურება Vectors and are not collinear (თუ ვექტორები და თანამიმდევრულია, მაშინ ვექტორების თანაფარდობა და აშკარაა). განზე დააყენეთ თვითნებური წერტილი O ვექტორები და (ნახ.). ვექტორები და დევს OAB სიბრტყეში. ვექტორები ერთსა და იმავე სიბრტყეში დევს. ვექტორები და არ არის წრფივი (თუ ვექტორები და ხაზოვანია, მაშინ ვექტორების თანასწორობა და აშკარაა). გამოვყოთ ვექტორები და თვითნებური წერტილიდან O (ნახ.). ვექტორები და დევს OAB სიბრტყეში. ვექტორები დევს ერთსა და იმავე სიბრტყეში და შესაბამისად მათი ჯამი-ვექტორი და აქედან გამომდინარე მათი ჯამი-ვექტორი, ვექტორის ტოლი. ვექტორები ვექტორის ტოლი. ვექტორები დევს ერთ სიბრტყეში, ე.ი. ვექტორები და დევს ერთ სიბრტყეში, ე.ი. ვექტორები და თანაპლენარულია. თანაპლენარული.

თუ ვექტორები და არის თანაპლენარული, და ვექტორები და არა კოლინარული, მაშინ ვექტორი შეიძლება დაიშალოს ვექტორებად, ანუ წარმოდგენა ფორმით), და გაფართოების კოეფიციენტები (ანუ რიცხვები და ფორმულა) ცალსახად არის განსაზღვრული. . უფრო მეტიც, გაფართოების კოეფიციენტები (ანუ რიცხვები და ფორმულაში) ცალსახად არის განსაზღვრული.

ნულოვანი ვექტორის ნამრავლი ნებისმიერი რიცხვით არის ნულოვანი ვექტორი. ნებისმიერი k რიცხვისთვის და ნებისმიერი a ვექტორისთვის, a და ka ვექტორები ხაზოვანია. ასევე ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი ვექტორის ნამრავლი ნულზე არის ნულოვანი ვექტორი.

სლაიდი 38პრეზენტაციიდან "ვექტორები" კლასი 11". არქივის ზომა პრეზენტაციით არის 614 კბ.

გეომეტრია მე-11 კლასი

შემაჯამებელისხვა პრეზენტაციები

„ბრტყელი ფიგურების კვადრატი“ - დავალება. გამოსახული ფიგურების არეები. გამოიყენეთ ფართობის ფორმულა. ფართობის გაანგარიშება ბრტყელი ფიგურები. პირდაპირი. სწორი პასუხები. ალგორითმი ფართობის საპოვნელად. უთანასწორობა. ფიგურის ფართობი. ფიგურების არეები.

"ცენტრალური სიმეტრიის კონცეფცია" - ცენტრალური სიმეტრიაარის მოძრაობა. M და M1 წერტილებს სიმეტრიული ეწოდება. ფიგურას სიმეტრიული ეწოდება. გავეცანით თვითმფრინავის მოძრაობას. კოსმოსური მოძრაობა. მოძრაობა. საკუთრება. დავალება. სივრცის რუკა თავისთვის. ცენტრალური სიმეტრია ბრუნვის განსაკუთრებული შემთხვევაა. ცენტრალური სიმეტრია.

"პრობლემები კოორდინატებში" - როგორ მოვძებნოთ ვექტორის კოორდინატები. მანძილი A და B წერტილებს შორის. უმარტივესი ამოცანები კოორდინატებში. როგორ გამოვთვალოთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი მათი კოორდინატებით. M არის AB სეგმენტის შუა წერტილი. იპოვეთ მანძილი A და B წერტილებს შორის. განზოგადების შესრულების უნარების ჩამოყალიბება. საგნისადმი ინტერესისა და სიყვარულის ამაღლება. კუთხე ვექტორებს შორის. როგორ გამოვთვალოთ მანძილი წერტილებს შორის. როგორ გამოვთვალოთ ვექტორის სიგრძე მისი კოორდინატების გათვალისწინებით.

"ვექტორის განმარტება სივრცეში" - ორი ვექტორის განსხვავება. სამი ქულის წესი. ვექტორის კონცეფცია სივრცეში. ვექტორები სივრცეში. სკალარული პროდუქტი. საპირისპიროდ მიმართული ვექტორები. სამკუთხედის ცენტრში დახატული ვექტორი. გაფართოების კოეფიციენტები ცალსახად არის განსაზღვრული. გადაწყვეტილება. სეგმენტის შუაზე დახატული ვექტორი. კოლინარული ვექტორები. თეორემის დადასტურება. მტკიცებულება. კოლინარობის ნიშნის დადასტურება.

"გამოთვალეთ რევოლუციის სხეულის მოცულობა" - კუბი. კონუსი. კონუსის განმარტება. V კონუსის მოცულობა. ცილინდრული ჭურჭელი. ცილინდრი. იპოვნეთ მოცულობა. ცილინდრი და კონუსი. რადიები. ფიგურა. ცილინდრის განმარტება. ცილინდრები ჩვენს ირგვლივ. კონუსის მოცულობა. რევოლუციის ორგანოების ტიპები. ბურთი. რევოლუციის ორგანოების ტომები. სფერო.

"რეგულარული პოლიედრის ელემენტები" - ევკლიდეს პრინციპები. ჰექსაედონი. ბუნებაში აღმოჩენა. ჩაწერილი სფეროს რადიუსი. პროტოზოული. პოლიჰედრონი. არქიმედეს სხეულები. სამეფო საფლავი. ნახევრადრეგულარული პოლიედრები. ოქტაედრის მოცულობა. კუბის ზედაპირის ფართობი. დოდეკაედონი. თეორემა რეგულარული პოლიედრების ერთიანობის შესახებ. ისტორიის მინიშნება. ეგვიპტური პირამიდები. რომ გითხრათ რეგულარული პოლიედრები. ზედაპირის ფართობი. Დედამიწა. საოცარი არსებები.

ვექტორული გამოკლება

ვექტორის დამატება

შეიძლება დაემატოს ვექტორები. შედეგად მიღებული ვექტორი არის ორივე ვექტორის ჯამი და განსაზღვრავს მანძილს და მიმართულებას. მაგალითად, თქვენ ცხოვრობთ კიევში და გადაწყვიტეთ ძველი მეგობრების მონახულება მოსკოვში და იქიდან ეწვიეთ საყვარელ დედამთილს ლვოვში. რამდენად შორს იქნები შენი სახლიდან, მეუღლის დედასთან სტუმრად?

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, თქვენ უნდა დახაზოთ ვექტორი ამოსავალი წერტილიმოგზაურობა (კიევი) და ფინალში (ლვოვი). ახალი ვექტორი განსაზღვრავს მთელი მოგზაურობის შედეგს თავიდან ბოლომდე.

• ვექტორი A - კიევი-მოსკოვი
• ვექტორი B - მოსკოვი-ლვოვი
• ვექტორი C - კიევი-ლვოვი

C \u003d A + B, სადაც C - ვექტორთა ჯამიან მიღებული ვექტორი

გვერდის ზედა

ვექტორების არა მხოლოდ დამატება, არამედ გამოკლებაც შეიძლება! ამისათვის თქვენ უნდა დააკავშიროთ ქვეტრაჰენდის და გამოკლების ვექტორების ფუძეები და დააკავშიროთ მათი ბოლოები ისრებით:

• ვექტორი A = C-B
• ვექტორი B = C-A

23 კითხვა:

ვექტორი არის მიმართული სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორ წერტილს სივრცეში ან სიბრტყეში.ვექტორები ჩვეულებრივ აღინიშნება ან მცირე ასოებით ან საწყისი და დასასრული წერტილებით. ზემოთ, როგორც წესი, ტირე.

მაგალითად, წერტილიდან მიმართული ვექტორი ააზრამდე ბ, შეიძლება აღინიშნოს ა,

ნულოვანი ვექტორი 0 ან 0 არის ვექტორი, რომლის საწყისი და დასასრული წერტილები ერთნაირია, ე.ი. ა=ბ.აქედან 0 = – 0.

a ვექტორის სიგრძე (მოდული) არის AB სეგმენტის სიგრძე, რომელიც აჩვენებს მას, აღინიშნება | a |. კერძოდ, | | 0 | = 0.

ვექტორები ე.წ კოლინარულითუ მათი მიმართული სეგმენტები დევს პარალელურ წრფეებზე. კოლინარული ვექტორები ადა ბდანიშნულია ა|| ბ.

სამი ან მეტი ვექტორი ეწოდება თანაპლენარულითუ ისინი იმავე სიბრტყეში წევენ.

ვექტორების დამატება.ვინაიდან ვექტორები არიან მიმართულისეგმენტები, მაშინ მათი დამატება შეიძლება შესრულდეს გეომეტრიულად.(ვექტორების ალგებრული დამატება აღწერილია ქვემოთ, აბზაცში „ერთეული ორთოგონალური ვექტორები“). მოდი ვიჩვენოთ, რომ

a=ABდა ბ = CD,

შემდეგ ვექტორი __ __

ა+ ბ = AB+ CD

არის ორი ოპერაციის შედეგი:

ა)პარალელური გადაცემაერთ-ერთი ვექტორი ისე, რომ მისი საწყისი წერტილი ემთხვევა მეორე ვექტორის ბოლო წერტილს;

ბ)გეომეტრიული დამატება, ანუ მიღებული ვექტორის აგება ფიქსირებული ვექტორის საწყისი წერტილიდან გადატანილი ვექტორის ბოლო წერტილამდე.

ვექტორების გამოკლება.ეს ოპერაცია მცირდება წინაზე, გამოკლებული ვექტორის საპირისპიროთი ჩანაცვლებით: ა-ბ =ა+ (– ბ) .

დამატების კანონები.

ი.ა+ ბ = ბ + ა(V erable კანონი).

II. (ა+ ბ) + გ = ა+ (ბ + გ) (კომბინირებული სამართალი).

III. ა+ 0= ა.

IV. ა+ (– ა) = 0 .

ვექტორის რიცხვზე გამრავლების კანონები.

ᲛᲔ.ერთი · ა= ა,0 · ა= 0 , მ 0 = 0, ( – ერთი) · ა= – ა.

II. m a = a m,| მ ა| = | მ | · | a | .

III. m (n a) = (m n) a .( კომბინირებული

გამრავლების კანონი).

IV. (m+n) ა= m a + n a,(დისტრიბუტორი

მ(ა+ ბ)= m a + m b . გამრავლების კანონი).

ვექტორების სკალარული ნამრავლი. __ __

კუთხე AB ვექტორებს შორისდა CDარის კუთხე ვექტორებით წარმოქმნილიმათთან ერთად პარალელური გადაცემაქულების დამთხვევამდე ადა გ. ვექტორების სკალარული ნამრავლი aდა ბუწოდეს რიცხვს ტოლი მათი სიგრძის ნამრავლი მათ შორის კუთხის კოსინუსზე:

თუ ერთ-ერთი ვექტორი არის ნული, მაშინ მათი სკალარული ნამრავლი, განმარტების შესაბამისად, არის ნული:

(ა , 0) = (0, ბ) = 0 .

თუ ორივე ვექტორი არ არის ნულოვანი, მაშინ მათ შორის კუთხის კოსინუსი გამოითვლება ფორმულით:

სკალარული პროდუქტი ( აა) უდრის | ა| 2, ე.წ სკალარული კვადრატი.ვექტორის სიგრძე ადა მისი სკალარული კვადრატი დაკავშირებულია:

ორი ვექტორის წერტილოვანი ნამრავლი:

- დადებითადთუ კუთხე ვექტორებს შორის ცხარე;

- უარყოფითითუ კუთხე ვექტორებს შორის ბლაგვი.

ორი არანულოვანი ვექტორის სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათ შორის კუთხე სწორია, ე.ი. როდესაც ეს ვექტორები პერპენდიკულარულია (ორთოგონალური):

სკალარული პროდუქტის თვისებები.ნებისმიერი ვექტორისთვის ა, ბ, გდა ნებისმიერი ნომერი მშემდეგი ურთიერთობები მოქმედებს:

ᲛᲔ. (ა , ბ) = (ბ, ა) . (რამდენიმე კანონი)

II. (მ ა, ბ) = მ(ა , ბ) .

III.(a + b, c) = (ა , გ) + (ბ, გ). (დისტრიბუციული კანონი

ვექტორის ნამრავლი რიცხვით

მიზნები: ვექტორის რიცხვზე გამრავლების ცნების გაცნობა; განვიხილოთ ვექტორის რიცხვზე გამრავლების ძირითადი თვისებები.

გაკვეთილების დროს

I. ახალი მასალის შესწავლა(ლექცია).

1. ლექციის დასაწყისში მიზანშეწონილია მოიყვანოთ მაგალითი, რომელიც მივყავართ ვექტორის ნამრავლის განსაზღვრას რიცხვით, კერძოდ, ეს:

მანქანა სწორი ხაზით მოძრაობს სიჩქარით . მას ორჯერ მეტი სიჩქარით მოძრავი მეორე მანქანა გაუსწრებს. მათკენ მიემართება მესამე მანქანა, რომლის სიჩქარე იგივეა, რაც მეორე მანქანის. როგორ გამოვხატოთ მეორე და მესამე მანქანების სიჩქარეები პირველი მანქანის სიჩქარით და როგორ გამოვსახოთ ეს სიჩქარე ვექტორების გამოყენებით?

2. ვექტორის ნამრავლის განსაზღვრა რიცხვით, მისი აღნიშვნა: (სურ. 260).

3. ჩაწერეთ რვეულებში:

1) ნებისმიერი ვექტორის ნამრავლი ნულის რიცხვით არის ნულოვანი ვექტორი;

2) ნებისმიერი k რიცხვისთვის და ნებისმიერი ვექტორისთვის, ვექტორები და არის კოლინარული.

4. ვექტორის რიცხვზე გამრავლების ძირითადი თვისებები:

ნებისმიერი k, l და ნებისმიერი ვექტორისთვის ტოლობები ჭეშმარიტია:

1°. (ასოციაციური სამართალი) (სურ. 261);

2°. (პირველი გამანაწილებელი კანონი) (სურ. 262);

3°. (მეორე გამანაწილებელი კანონი) (სურ. 263).

Შენიშვნა. ვექტორებზე მოქმედებების თვისებები, რომლებიც ჩვენ განვიხილეთ, საშუალებას გვაძლევს განვახორციელოთ ტრანსფორმაციები გამოსახულებებში, რომლებიც შეიცავს ჯამებს, ვექტორთა განსხვავებებს და ვექტორების ნამრავლებს რიცხვებით იგივე წესებით, როგორც რიცხვითი გამოსახულებების მიხედვით.

„ვექტორი ჰქვია“ – ვექტორები. ვექტორების შეკრების პარალელოგრამის წესი. ვექტორის მეორე კონცეფცია. ვექტორული თანასწორობა. საპირისპიროდ მიმართული ვექტორები. Შენობა: კოლინარული ვექტორებიმქონე საწინააღმდეგო მიმართულება, უწოდებენ საპირისპიროდ მიმართულ ვექტორებს. ვექტორების გამოკლება. კოლინარული ვექტორები. ვექტორის დასასრული.

„ვექტორები სიბრტყეზე“ - მოცემულია წერტილი და ვექტორი. განტოლებები სეგმენტებში. Სწავლა ზოგადი განტოლებათვითმფრინავები. სამ წერტილში გამავალი სიბრტყის განტოლება. ვექტორები თანაპლენარულია. განვიხილოთ წრფის მიმდინარე წერტილი, შემდეგ ვექტორი დევს მოცემულ წრფეზე. ანალიტიკური გეომეტრია. სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ წერტილს M1 და M2.

„ვექტორების შეკრებისა და გამოკლების წესები“ – „მრავალკუთხედის“ წესი. სამკუთხედის წესი. Სარჩევი. ვექტორების გამოკლება. რა დამატების წესი იყო გამოყენებული წინა სლაიდში? ვექტორის გამრავლება რიცხვზე. (კოლინარული ვექტორებისთვის). პარალელოგრამის წესი. მოქმედებები ვექტორებთან. ვექტორების დამატება. სცადეთ გამოკლება პარალელოგრამის შეკრების გამოყენებით.

„როგორ ვიპოვოთ ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი“ - კვადრატი. კუთხე ვექტორებს შორის. ვექტორების სკალარული ნამრავლი. შეავსეთ ცხრილი. ჩადეთ გამოტოვებული სიტყვა. Av \u003d მზე \u003d ac \u003d 2. იპოვნეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი. სამკუთხედის გვერდები. Აირჩიეთ სწორი პასუხი. სკალარული პროდუქტი. Av \u003d მზე \u003d ac. იპოვეთ სამკუთხედის გვერდები და კუთხეები. ABCD არის კვადრატი.

„ვექტორების ტიპები“ - დაასახელეთ ვექტორები და ჩამოწერეთ მათი აღნიშვნები. ვექტორული თანასწორობა. ვექტორების გამოკლება. მიუთითეთ სიგრძე. ვექტორული გამრავლება. ვექტორები. თანხმოვანთა ვექტორები. კოლინარული ვექტორები. დაასახელეთ ვექტორები. დაასახელეთ საპირისპიროდ მიმართული ვექტორები. ვარიანტი. რამდენიმე ვექტორის ჯამი. დაასახელეთ თანხმოვანი ვექტორები. მიუთითეთ ვექტორების სიგრძე.

„ვექტორული კოორდინატები“ - 1. ვექტორთა ჯამის კოორდინატები უდრის შესაბამისი კოორდინატების ჯამს. ვექტორული კოორდინატები. A(3; 2). 2. ვექტორთა სხვაობის კოორდინატები უდრის შესაბამისი კოორდინატების სხვაობას. 1. ვექტორული კოორდინატები. 2. ვექტორული კოორდინატების თვისებები.

თემაში სულ 29 პრეზენტაციაა