შენიშვნა. ეს მასალაშეიცავს თეორემას და მის დამტკიცებას, აგრეთვე უამრავ პრობლემას, რომლებიც ასახავს თეორემის გამოყენებას ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამზე პრაქტიკულ მაგალითებზე..

ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხის ჯამის თეორემა

.

მტკიცებულება.

ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამის თეორემის დასამტკიცებლად ვიყენებთ უკვე დადასტურებულ თეორემას, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია.

მიეცით A 1 A 2... A n ამოზნექილი მრავალკუთხედი, და n > 3. დახაზეთ მრავალკუთხედის ყველა დიაგონალი A 1 წვეროდან. ყოფენ მას n – 2 სამკუთხედად: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A. 1 A n – 1 A n. მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამი იგივეა, რაც ყველა ამ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი. თითოეული სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180°, ხოლო სამკუთხედების რაოდენობა არის (n - 2). მაშასადამე, ამოზნექილი n-გონების A 1 A 2... A n კუთხეების ჯამი არის 180° (n – 2).

Დავალება.

ამოზნექილ მრავალკუთხედში სამი კუთხე 80 გრადუსია, დანარჩენი კი 150 გრადუსია. რამდენი კუთხეა ამოზნექილ მრავალკუთხედში?

გამოსავალი.

თეორემა ამბობს: ამოზნექილი n-გონებისთვის, კუთხეების ჯამია 180°(n-2) .

ასე რომ, ჩვენი შემთხვევისთვის:

180(n-2)=3*80+x*150, სადაც

80 გრადუსიანი 3 კუთხე გვეძლევა ამოცანის პირობის მიხედვით, ხოლო სხვა კუთხეების რაოდენობა ჩვენთვის ჯერ კიდევ უცნობია, ამიტომ მათ რიცხვს x-ად აღვნიშნავთ.

თუმცა, მარცხენა მხარეს ჩანაწერიდან ჩვენ განვსაზღვრეთ მრავალკუთხედის კუთხეების რაოდენობა n-ად, რადგან პრობლემის მდგომარეობიდან ვიცით სამი მათგანის მნიშვნელობა, აშკარაა, რომ x=n-3.

ასე რომ, განტოლება ასე გამოიყურება:

180(n-2)=240+150(n-3)

ჩვენ ვხსნით მიღებულ განტოლებას

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

პასუხი: 5 მწვერვალი

Დავალება.

რამდენი წვერო შეიძლება ჰქონდეს მრავალკუთხედს, თუ თითოეული კუთხე 120 გრადუსზე ნაკლებია?

გამოსავალი.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ თეორემას ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამის შესახებ.

თეორემა ამბობს: ამოზნექილი n-გონებისთვის, ყველა კუთხის ჯამი არის 180°(n-2) .

აქედან გამომდინარე, ჩვენი შემთხვევისთვის, პირველ რიგში, საჭიროა პრობლემის საზღვრის პირობების შეფასება. ანუ გამოიტანეთ ვარაუდი, რომ თითოეული კუთხე უდრის 120 გრადუსს. ჩვენ ვიღებთ:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (ამ გამოთქმას ცალკე განვიხილავთ ქვემოთ)

მიღებული განტოლებიდან გამომდინარე ვასკვნით: როდესაც კუთხეები 120 გრადუსზე ნაკლებია, მრავალკუთხედის კუთხეების რაოდენობა ექვსზე ნაკლებია.

ახსნა:

გამოთქმაზე დაყრდნობით 180n - 120n = 360, იმ პირობით, რომ გამოკლებული მარჯვენა მხარე ნაკლებია 120n-ზე, განსხვავება უნდა იყოს 60n-ზე მეტი. ამრიგად, გაყოფის კოეფიციენტი ყოველთვის იქნება ექვსზე ნაკლები.

პასუხი:მრავალკუთხედის წვეროების რაოდენობა ექვსზე ნაკლები იქნება.

Დავალება

მრავალკუთხედს აქვს სამი კუთხე 113 გრადუსიანი, ხოლო დანარჩენი ტოლია ერთმანეთისა და მათი ხარისხის საზომიარის მთელი რიცხვი. იპოვეთ მრავალკუთხედის წვეროების რაოდენობა.

გამოსავალი.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ თეორემას ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამის შესახებ.

თეორემა ამბობს: ამოზნექილი n-გონებისთვის, ყველა გარე კუთხის ჯამი არის 360° .

Ამგვარად,

3*(180-113)+(n-3)x=360

გამოხატვის მარჯვენა მხარე არის გარე კუთხეების ჯამი, მარცხენა მხარეს სამი კუთხის ჯამი ცნობილია პირობით, ხოლო დანარჩენის ხარისხიანი ზომა (მათი რიცხვი, შესაბამისად, n-3, რადგან სამი კუთხე არის ცნობილია) აღინიშნება როგორც x.

159 იშლება მხოლოდ ორ ფაქტორად 53 და 3, ხოლო 53 არის მარტივი რიცხვი. ანუ სხვა წყვილი ფაქტორი არ არსებობს.

ამრიგად, n-3 = 3, n=6, ანუ მრავალკუთხედის კუთხეების რაოდენობა არის ექვსი.

უპასუხე: ექვსი კუთხე

Დავალება

დაამტკიცეთ, რომ ამოზნექილ მრავალკუთხედს შეიძლება ჰქონდეს მაქსიმუმ სამი მკვეთრი კუთხეები.

გამოსავალი

მოგეხსენებათ, ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი არის 360 0 . მოდით დავამტკიცოთ წინააღმდეგობებით. თუ ამოზნექილ მრავალკუთხედს აქვს მინიმუმ ოთხი მახვილი შიდა კუთხეებიმაშასადამე, მის გარე კუთხეებს შორის არის მინიმუმ ოთხი ბლაგვი, რაც გულისხმობს, რომ მრავალკუთხედის ყველა გარე კუთხის ჯამი მეტია 4*90 0 = 360 0-ზე. ჩვენ გვაქვს წინააღმდეგობა. მტკიცება დადასტურდა.

n-გონების თეორემის კუთხეების ჯამი. ამოზნექილი n-გონების კუთხეების ჯამი არის 180 o (n-2). მტკიცებულება. ამოზნექილი n-გონების ზოგიერთი წვეროდან ვხატავთ მის ყველა დიაგონალს. შემდეგ n-gon დაიშლება n-2 სამკუთხედად. თითოეულ სამკუთხედში კუთხეების ჯამი არის 180 o და ეს კუთხეები ქმნიან n-გონების კუთხეებს. მაშასადამე, n-გონების კუთხეების ჯამი არის 180 o (n-2).

მტკიცების მეორე მეთოდი თეორემა. ამოზნექილი n-გონების კუთხეების ჯამი არის 180 o (n-2). მტკიცებულება 2. მოდით O იყოს ზოგიერთი შიდა წერტილიამოზნექილი n-gon A 1 …A n. შეაერთეთ იგი ამ მრავალკუთხედის წვეროებთან. შემდეგ n-gon დაიყოფა n სამკუთხედად. თითოეულ სამკუთხედში კუთხეების ჯამი არის 180 o. ეს კუთხეები ქმნიან n-გონის კუთხეებს და კიდევ 360 o. მაშასადამე, n-გონების კუთხეების ჯამი არის 180 o (n-2).

სავარჯიშო 3 დაამტკიცეთ, რომ ამოზნექილი n-გონების გარე კუთხეების ჯამი არის 360 o. მტკიცებულება. ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხე არის 180°-ის გამოკლებით შესაბამისი შიდა კუთხე. ამრიგად, ამოზნექილი n-გონების გარე კუთხეების ჯამი არის 180 o n გამოკლებული შიდა კუთხეების ჯამი. ვინაიდან ამოზნექილი n-გონის შიდა კუთხეების ჯამი არის 180 o (n-2), მაშინ გარე კუთხეების ჯამი იქნება 180 o n o (n-2) = 360 o.

სავარჯიშო 4 როგორია სწორის კუთხეები: ა) სამკუთხედი; ბ) ოთხკუთხედი; გ) ხუთკუთხედი; დ) ექვსკუთხედი; ე) რვაკუთხედი; ე) დეკაგონი; ზ) დოდეკაგონი? პასუხი: ა) 60 o; ბ) 90 o; გ) 108 o; დ) 120 o; ე) 135 o; ვ) 144 o; ზ) 150 o.

სავარჯიშო 12* რა ყველაზე დიდი რაოდენობაშეიძლება თუ არა ამოზნექილ n-გონს ჰქონდეს მკვეთრი კუთხეები? გამოსავალი. ვინაიდან ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი არის 360 o, მაშინ ამოზნექილ მრავალკუთხედს არ შეიძლება ჰქონდეს სამზე მეტი. ბლაგვი კუთხეებიმაშასადამე, მას არ შეიძლება ჰქონდეს სამზე მეტი შიდა მწვავე კუთხე. უპასუხე. 3.

ეს გეომეტრიული ფიგურები ყველგან გარს გვიკრავს. ამოზნექილი მრავალკუთხედები ბუნებრივია, როგორიცაა თაფლი, ან ხელოვნური (ადამიანის მიერ შექმნილი). ეს ციფრები გამოიყენება წარმოებაში სხვადასხვა სახისსაფარები, ფერწერაში, არქიტექტურაში, დეკორაციაში და ა.შ. ამოზნექილ მრავალკუთხედებს აქვთ თვისება, რომ მათი ყველა წერტილი იყოს წრფის ერთ მხარეს, რომელიც გადის ამ წრფის მიმდებარე წვეროების წყვილზე. გეომეტრიული ფიგურა. არის სხვა განმარტებებიც. მრავალკუთხედს ამოზნექილი ეწოდება, თუ იგი განლაგებულია ერთ ნახევარ სიბრტყეში ნებისმიერი სწორი ხაზის მიმართ, რომელიც შეიცავს მის ერთ მხარეს.

ელემენტარული გეომეტრიის მსვლელობისას ყოველთვის განიხილება მხოლოდ მარტივი მრავალკუთხედები. ასეთის ყველა თვისების გასაგებად, აუცილებელია მათი ბუნების გაგება. დასაწყისისთვის, უნდა გვესმოდეს, რომ ნებისმიერ ხაზს ეწოდება დახურული, რომლის ბოლოები ემთხვევა. უფრო მეტიც, მის მიერ ჩამოყალიბებულ ფიგურას შეიძლება ჰქონდეს მრავალფეროვანი კონფიგურაცია. მრავალკუთხედი არის მარტივი დახურული გატეხილი ხაზი, რომელშიც მეზობელი ბმულები არ არის განლაგებული იმავე სწორ ხაზზე. მისი რგოლები და წვეროები, შესაბამისად, ამ გეომეტრიული ფიგურის გვერდები და წვეროებია. მარტივ პოლიხაზს არ უნდა ჰქონდეს თვითგადაკვეთები.

მრავალკუთხედის წვეროებს მიმდებარე ეწოდება, თუ ისინი წარმოადგენენ მისი ერთ-ერთი გვერდის ბოლოებს. გეომეტრიული ფიგურა, რომელსაც აქვს n-ე ნომერიწვეროები და აქედან გამომდინარე n-ე რაოდენობაგვერდებს n-gon ეწოდება. თავად გაწყვეტილ ხაზს ამ გეომეტრიული ფიგურის საზღვარი ან კონტური ეწოდება. მრავალკუთხა სიბრტყეს ან ბრტყელ მრავალკუთხედს უწოდებენ მის მიერ შემოსაზღვრულ ნებისმიერი სიბრტყის ბოლო ნაწილს. ამ გეომეტრიული ფიგურის მიმდებარე გვერდებს უწოდებენ გატეხილი ხაზის სეგმენტებს, რომლებიც წარმოიქმნება ერთი წვეროდან. ისინი არ იქნებიან მეზობლად, თუ ისინი მოდიან მრავალკუთხედის სხვადასხვა წვეროდან.

ამოზნექილი მრავალკუთხედების სხვა განმარტებები

ელემენტარულ გეომეტრიაში არსებობს კიდევ რამდენიმე ეკვივალენტური განმარტება, რომელიც მიუთითებს რომელ მრავალკუთხედს ეწოდება ამოზნექილი. უფრო მეტიც, ყველა ეს გამონათქვამი იგივე ხარისხიმართალია. ამოზნექილი მრავალკუთხედი არის ის, რომელსაც აქვს:

ყოველი ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მის შიგნით არსებულ ნებისმიერ ორ წერტილს, მთლიანად მასშია;

მისი ყველა დიაგონალი დევს შიგნით;

ნებისმიერი შიდა კუთხე არ აღემატება 180°-ს.

მრავალკუთხედი ყოველთვის ყოფს სიბრტყეს 2 ნაწილად. ერთი მათგანი შეზღუდულია (ის შეიძლება წრეში იყოს ჩასმული), მეორე კი შეუზღუდავია. პირველს ეწოდება შიდა რეგიონი, ხოლო მეორე არის ამ გეომეტრიული ფიგურის გარე რეგიონი. ეს მრავალკუთხედი არის რამდენიმე ნახევარსიბრტყის კვეთა (სხვა სიტყვებით, საერთო კომპონენტი). უფრო მეტიც, ყოველი სეგმენტი, რომელსაც ბოლოები აქვს პოლიგონის კუთვნილ წერტილებში, მთლიანად ეკუთვნის მას.

ამოზნექილი მრავალკუთხედების ჯიშები

ამოზნექილი მრავალკუთხედის განმარტება არ მიუთითებს, რომ მათი მრავალი სახეობა არსებობს. და თითოეულ მათგანს აქვს გარკვეული კრიტერიუმები. ასე რომ, ამოზნექილ მრავალკუთხედებს, რომლებსაც აქვთ შიდა კუთხე 180°, ეწოდება სუსტ ამოზნექილი. ამოზნექილ გეომეტრიულ ფიგურას, რომელსაც აქვს სამი წვერო, ეწოდება სამკუთხედი, ოთხს - ოთხკუთხედი, ხუთს - ხუთკუთხედი და ა.შ. თითოეულ ამოზნექილ n-გონს შეესაბამება შემდეგი არსებითი მოთხოვნა: n უნდა იყოს 3-ის ტოლი ან მეტი. თითოეული სამკუთხედი ამოზნექილია. გეომეტრიული ფიგურა ამ ტიპის, რომელშიც ყველა წვერო მდებარეობს ერთ წრეზე, წრეში ჩაწერილი ეწოდება. ამოზნექილ მრავალკუთხედს შემოხაზული ეწოდება, თუ წრის მახლობლად მისი ყველა გვერდი ეხება მას. ორი მრავალკუთხედი ტოლია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი ზედმეტად გადანაწილება შესაძლებელია. ბრტყელი მრავალკუთხედიეწოდება მრავალკუთხა სიბრტყეს (სიბრტყის ნაწილი), რომელიც შემოიფარგლება ამ გეომეტრიული ფიგურით.

რეგულარული ამოზნექილი მრავალკუთხედები

რეგულარული მრავალკუთხედები გეომეტრიული ფორმებია თანაბარი კუთხეებიდა პარტიები. მათ შიგნით არის წერტილი 0, რომელიც არის იმავე მანძილზე მისი თითოეული წვეროდან. მას ამ გეომეტრიული ფიგურის ცენტრს უწოდებენ. სეგმენტებს, რომლებიც აკავშირებს ცენტრს ამ გეომეტრიული ფიგურის წვეროებთან, ეწოდება აპოთემები, ხოლო მათ, რომლებიც აკავშირებს 0 წერტილს გვერდებთან, რადიუსი.

რეგულარული ოთხკუთხედი არის კვადრატი. მართკუთხა სამკუთხედიტოლგვერდა ეწოდება. ასეთი ფიგურებისთვის არსებობს შემდეგი წესი: ამოზნექილი მრავალკუთხედის თითოეული კუთხე არის 180°* (n-2)/n,

სადაც n არის ამ ამოზნექილი გეომეტრიული ფიგურის წვეროების რაოდენობა.

ფართობი ნებისმიერი რეგულარული მრავალკუთხედიგანისაზღვრება ფორმულით:

სადაც p უდრის მოცემული მრავალკუთხედის ყველა მხარის ჯამის ნახევარს, ხოლო h უდრის აპოთემის სიგრძეს.

ამოზნექილი მრავალკუთხედების თვისებები

ამოზნექილ მრავალკუთხედებს აქვთ გარკვეული თვისებები. ასე რომ, სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ასეთი გეომეტრიული ფიგურის ნებისმიერ 2 წერტილს, აუცილებლად მდებარეობს მასში. მტკიცებულება:

ვთქვათ P არის მოცემული ამოზნექილი მრავალკუთხედი. ვიღებთ 2 თვითნებური ქულებიმაგალითად, A, B, რომლებიც ეკუთვნის R. By არსებული განმარტებაამოზნექილი მრავალკუთხედის ეს წერტილები განლაგებულია ხაზის ერთ მხარეს, რომელიც შეიცავს ნებისმიერ P მხარეს. ამიტომ, AB-საც აქვს ეს თვისება და შეიცავს P-ში. ამოზნექილი მრავალკუთხედი ყოველთვის შეიძლება დაიყოს რამდენიმე სამკუთხედად აბსოლუტურად ყველა დიაგონალით. გამოყვანილია მისი ერთ-ერთი წვეროდან.

ამოზნექილი გეომეტრიული ფორმების კუთხეები

ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეები არის კუთხეები, რომლებიც იქმნება მისი გვერდებით. შიდა კუთხეები შეყვანილია შიდა რეგიონიეს გეომეტრიული ფიგურა. კუთხეს, რომელსაც ქმნიან მისი გვერდები, რომლებიც ერთ წვეროზე იყრიან თავს, ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხე ეწოდება. მოცემული გეომეტრიული ფიგურის შიდა კუთხეებს გარე ეწოდება. მის შიგნით მდებარე ამოზნექილი მრავალკუთხედის თითოეული კუთხე უდრის:

სადაც x არის გარე კუთხის მნიშვნელობა. ეს მარტივი ფორმულავრცელდება ამ ტიპის ნებისმიერ გეომეტრიულ ფორმებზე.

AT ზოგადი შემთხვევაგარე კუთხეებისთვის არსებობს შემდეგი წესი: ამოზნექილი მრავალკუთხედის თითოეული კუთხე უდრის სხვაობას 180°-სა და შიდა კუთხის მნიშვნელობას შორის. მას შეიძლება ჰქონდეს მნიშვნელობები -180°-დან 180°-მდე. ამიტომ, როდესაც შიდა კუთხე არის 120°, გარე კუთხე იქნება 60°.

ამოზნექილი მრავალკუთხედების კუთხეების ჯამი

ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიდა კუთხეების ჯამი განისაზღვრება ფორმულით:

სადაც n არის n-გონების წვეროების რაოდენობა.

ამოზნექილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამი საკმაოდ მარტივი გამოსათვლელია. განვიხილოთ ნებისმიერი ასეთი გეომეტრიული ფიგურა. ამოზნექილი მრავალკუთხედის შიგნით კუთხეების ჯამის დასადგენად, მისი ერთ-ერთი წვერო უნდა იყოს დაკავშირებული სხვა წვეროებთან. ამ მოქმედების შედეგად მიიღება (n-2) სამკუთხედები. ჩვენ ვიცით, რომ ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ყოველთვის არის 180°. ვინაიდან მათი რიცხვი ნებისმიერ მრავალკუთხედში არის (n-2), ასეთი ფიგურის შიდა კუთხეების ჯამი არის 180° x (n-2).

ამოზნექილი მრავალკუთხედის, კერძოდ, ნებისმიერი ორი შიდა და მიმდებარე გარე კუთხის კუთხეების ჯამი მოცემული ამოზნექილი გეომეტრიული ფიგურისთვის ყოველთვის იქნება 180°. ამის საფუძველზე შეგიძლიათ განსაზღვროთ მისი ყველა კუთხის ჯამი:

შიდა კუთხეების ჯამია 180° * (n-2). ამის საფუძველზე, მოცემული ფიგურის ყველა გარე კუთხის ჯამი განისაზღვრება ფორმულით:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

ნებისმიერი ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხეების ჯამი ყოველთვის იქნება 360° (განურჩევლად გვერდების რაოდენობისა).

ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარე კუთხე ზოგადად წარმოდგენილია 180°-სა და შიდა კუთხეს შორის სხვაობით.

ამოზნექილი მრავალკუთხედის სხვა თვისებები

ამ გეომეტრიული ფიგურების ძირითადი თვისებების გარდა, მათ აქვთ სხვა თვისებები, რომლებიც წარმოიქმნება მათი მანიპულირებისას. ამრიგად, ნებისმიერი მრავალკუთხედი შეიძლება დაიყოს რამდენიმე ამოზნექილ n-გონად. ამისათვის აუცილებელია მისი თითოეული მხარის გაგრძელება და ეს გეომეტრიული ფიგურა ამ სწორი ხაზების გასწვრივ. ასევე შესაძლებელია ნებისმიერი მრავალკუთხედის დაყოფა რამდენიმე ამოზნექილ ნაწილად ისე, რომ თითოეული ნაწილის წვეროები დაემთხვეს მის ყველა წვეროს. ასეთი გეომეტრიული ფიგურიდან სამკუთხედები ძალიან მარტივად შეიძლება გაკეთდეს ერთი წვეროდან ყველა დიაგონალის დახატვით. ამრიგად, ნებისმიერი მრავალკუთხედი საბოლოოდ შეიძლება დაიყოს სამკუთხედების გარკვეულ რაოდენობად, რაც აღმოჩნდება ძალიან სასარგებლო ამოხსნისას. სხვადასხვა ამოცანებიასოცირდება ასეთ გეომეტრიულ ფორმებთან.

ამოზნექილი მრავალკუთხედის პერიმეტრი

გატეხილი ხაზის სეგმენტები, რომელსაც მრავალკუთხედის გვერდები ეწოდება, ყველაზე ხშირად შემდეგი ასოებით არის მითითებული: ab, bc, cd, de, ea. ეს არის გეომეტრიული ფიგურის გვერდები a, b, c, d, e წვეროებით. ამ ამოზნექილი მრავალკუთხედის ყველა მხარის სიგრძეთა ჯამს მის პერიმეტრს უწოდებენ.

მრავალკუთხედის წრე

ამოზნექილი მრავალკუთხედები შეიძლება იყოს შემოხაზული და შემოხაზული. წრეს, რომელიც ეხება ამ გეომეტრიული ფიგურის ყველა მხარეს, მასში ჩაწერილი ეწოდება. ასეთ მრავალკუთხედს შემოხაზული ეწოდება. მრავალკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი არის მოცემული გეომეტრიული ფიგურის ფარგლებში ყველა კუთხის ბისექტრების გადაკვეთის წერტილი. ასეთი მრავალკუთხედის ფართობია:

სადაც r არის შემოხაზული წრის რადიუსი და p მოცემული მრავალკუთხედის ნახევარპერიმეტრი.

წრეს, რომელიც შეიცავს მრავალკუთხედის წვეროებს, ეწოდება მის გარშემო შემოხაზული. უფრო მეტიც, ამ ამოზნექილ გეომეტრიულ ფიგურას ჩაწერილი ეწოდება. წრის ცენტრი, რომელიც შემოიფარგლება ასეთი მრავალკუთხედის გარშემო, არის ყველა მხარის ეგრეთ წოდებული პერპენდიკულარული ბისექტრისების გადაკვეთის წერტილი.

ამოზნექილი გეომეტრიული ფორმების დიაგონალები

ამოზნექილი მრავალკუთხედის დიაგონალები არის ხაზის სეგმენტები, რომლებიც აკავშირებენ ერთმანეთს მეზობელი წვეროები. თითოეული მათგანი დევს ამ გეომეტრიული ფიგურის შიგნით. ასეთი n-გონის დიაგონალების რაოდენობა განისაზღვრება ფორმულით:

N = n (n - 3) / 2.

ამოზნექილი მრავალკუთხედის დიაგონალების რაოდენობაა მნიშვნელოვანი როლიელემენტარულ გეომეტრიაში. სამკუთხედების რაოდენობა (K), რომლებზეც შეიძლება დაიყოს თითოეული ამოზნექილი მრავალკუთხედი, გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:

ამოზნექილი მრავალკუთხედის დიაგონალების რაოდენობა ყოველთვის დამოკიდებულია მისი წვეროების რაოდენობაზე.

ამოზნექილი მრავალკუთხედის გაყოფა

ზოგიერთ შემთხვევაში, მოსაგვარებლად გეომეტრიული პრობლემებიაუცილებელია ამოზნექილი მრავალკუთხედის დაყოფა რამდენიმე სამკუთხედად, რომლებსაც არ კვეთენ დიაგონალებით. ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია კონკრეტული ფორმულის გამოყვანით.

ამოცანის განმარტება: მოდი, დავარქვათ ამოზნექილი n-გონების სწორი დაყოფა რამდენიმე სამკუთხედად დიაგონალებით, რომლებიც იკვეთება მხოლოდ ამ გეომეტრიული ფიგურის წვეროებზე.

ამოხსნა: დავუშვათ, რომ Р1, Р2, Р3…, Pn არის ამ n-გონების წვეროები. რიცხვი Xn არის მისი დანაყოფების რაოდენობა. მოდით ყურადღებით განვიხილოთ გეომეტრიული ფიგურის Pi Pn მიღებული დიაგონალი. ნებისმიერ ჩვეულებრივ დანაყოფში P1 Pn ეკუთვნის გარკვეულ სამკუთხედს P1 Pi Pn, რომელსაც აქვს 1.

მოდით i = 2 იყოს რეგულარული დანაყოფების ერთი ჯგუფი, რომელიც ყოველთვის შეიცავს Р2 Pn დიაგონალს. მასში შემავალი დანაყოფების რაოდენობა ემთხვევა (n-1)-გონ Р2 Р3 Р4 ტიხრების რაოდენობას… Pn. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის უდრის Xn-1-ს.

თუ i = 3, მაშინ დანაყოფების ეს სხვა ჯგუფი ყოველთვის შეიცავს P3 P1 და P3 Pn დიაგონალებს. ამ შემთხვევაში, ამ ჯგუფში შემავალი რეგულარული ტიხრების რაოდენობა დაემთხვევა (n-2)-გონის Р3 Р4 ტიხრების რაოდენობას… Pn. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის უდრის Xn-2.

მოდით i = 4, მაშინ სამკუთხედებს შორის რეგულარული დანაყოფი აუცილებლად შეიცავს სამკუთხედს P1 P4 Pn, რომელსაც ოთხკუთხედი P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 ... Pn მიუახლოვდება. ასეთი ოთხკუთხედის რეგულარული ტიხრების რაოდენობაა X4, ხოლო (n-3)-გონის დანაყოფების რაოდენობაა Xn-3. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ამ ჯგუფში შემავალი სწორი ტიხრების საერთო რაოდენობაა Xn-3 X4. სხვა ჯგუფები, რომლებისთვისაც i = 4, 5, 6, 7… შეიცავს Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … ჩვეულებრივ ტიხრებს.

დავუშვათ i = n-2, მაშინ ამ ჯგუფში სწორი ტიხრების რაოდენობა იქნება იგივე, რაც დანაყოფების რაოდენობა ჯგუფში, სადაც i=2 (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უდრის Xn-1).

ვინაიდან X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, მაშინ ამოზნექილი მრავალკუთხედის ყველა დანაყოფის რაოდენობა უდრის:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

რეგულარული ტიხრების რაოდენობა, რომლებიც კვეთენ ერთ დიაგონალს შიგნით

განსაკუთრებული შემთხვევების შემოწმებისას შეიძლება მივიდეთ დაშვებამდე, რომ ამოზნექილი n-გონების დიაგონალების რაოდენობა უდრის ამ ფიგურის ყველა დანაყოფის ნამრავლს (n-3).

ამ ვარაუდის დადასტურება: წარმოიდგინეთ, რომ P1n = Xn * (n-3), მაშინ ნებისმიერი n-გონა შეიძლება დაიყოს (n-2)-სამკუთხედებად. უფრო მეტიც, მათგან შეიძლება შედგეს (n-3)-ოთხკუთხედი. ამასთან ერთად, თითოეულ ოთხკუთხედს ექნება დიაგონალი. ვინაიდან ამ ამოზნექილ გეომეტრიულ ფიგურაში შესაძლებელია ორი დიაგონალის დახატვა, ეს ნიშნავს, რომ დამატებითი (n-3) დიაგონალების დახატვა შესაძლებელია ნებისმიერ (n-3) ოთხკუთხედში. ამის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ნებისმიერ რეგულარულ დანაყოფში შესაძლებელია დახაზოთ (n-3)-დიაგონალები, რომლებიც აკმაყოფილებენ ამ პრობლემის პირობებს.

ამოზნექილი მრავალკუთხედების ფართობი

ხშირად, ელემენტარული გეომეტრიის სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრისას, საჭირო ხდება ამოზნექილი მრავალკუთხედის ფართობის დადგენა. დავუშვათ, რომ (Xi. Yi), i = 1,2,3… n არის მრავალკუთხედის ყველა მეზობელი წვეროების კოორდინატების თანმიმდევრობა, რომელსაც არ აქვს თვითგადაკვეთები. ამ შემთხვევაში, მისი ფართობი გამოითვლება შემდეგი ფორმულით:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

სადაც (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

ძირითადი გეომეტრიის კურსში დადასტურებულია, რომ ამოზნექილი n-გონების კუთხეების ჯამი არის 180° (n-2). გამოდის, რომ ეს განცხადება ასევე მართალია არაამოზნექილი მრავალკუთხედებისთვის.

თეორემა 3. თვითნებური n-გონების კუთხეების ჯამი არის 180° (n - 2).

მტკიცებულება. დიაგონალების დახაზვით დავყოთ მრავალკუთხედი სამკუთხედებად (სურ. 11). ასეთი სამკუთხედების რაოდენობაა n-2, ხოლო თითოეულ სამკუთხედში კუთხეების ჯამი 180°-ია. ვინაიდან სამკუთხედების კუთხეები მრავალკუთხედის კუთხეებია, მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180° (n - 2).

ახლა განვიხილოთ თვითნებური დახურული გატეხილი ხაზები, შესაძლოა თვითგადაკვეთებით A1A2…AnA1 (ნახ. 12, a). ასეთ თვითგადაკვეთას გატეხილ ხაზებს ვარსკვლავის ფორმის მრავალკუთხედები დაერქმევა (სურ. 12, b-d).

მოდით დავაფიქსიროთ კუთხეების დათვლის მიმართულება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. გაითვალისწინეთ, რომ დახურული პოლიხაზის მიერ წარმოქმნილი კუთხეები დამოკიდებულია მის გავლილ მიმართულებაზე. თუ პოლიხაზის შემოვლითი მიმართულება შებრუნებულია, მაშინ მრავალკუთხედის კუთხეები იქნება ის კუთხეები, რომლებიც ავსებენ თავდაპირველი მრავალკუთხედის კუთხეებს 360°-მდე.

თუ M არის მრავალკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება მარტივი დახურული გატეხილი ხაზით, რომელიც გადის საათის ისრის მიმართულებით (ნახ. 13, ა), მაშინ ამ მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამი იქნება 180 ° (n - 2). თუ გატეხილი ხაზი გაივლება საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით (ნახ. 13, ბ), მაშინ კუთხეების ჯამი იქნება 180 ° (n + 2) ტოლი.

ამრიგად, მარტივი დახურული პოლიხაზით წარმოქმნილი მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამის ზოგადი ფორმულა აქვს ფორმა = 180 ° (n 2), სადაც არის კუთხეების ჯამი, n არის მრავალკუთხედის კუთხეების რაოდენობა. +" ან "-" აღებულია პოლიხაზის გვერდის ავლით მიმართულებიდან გამომდინარე.

ჩვენი ამოცანაა გამოვიტანოთ ფორმულა თვითნებური მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამისთვის, რომელიც წარმოიქმნება დახურული (შესაძლოა თვითგადაკვეთის) მრავალწრფით. ამისათვის ჩვენ შემოგთავაზებთ მრავალკუთხედის ხარისხის კონცეფციას.

მრავალკუთხედის ხარისხი არის წერტილის მიერ გაკეთებული ბრუნვების რაოდენობა მისი გვერდების სრული თანმიმდევრული შემოვლით. უფრო მეტიც, საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით გაკეთებული შემობრუნებები განიხილება "+" ნიშნით, ხოლო მოხვევები საათის ისრის მიმართულებით - "-" ნიშნით.

ნათელია, რომ მარტივი დახურული გატეხილი ხაზით წარმოქმნილი მრავალკუთხედის ხარისხი არის +1 ან -1, გადაკვეთის მიმართულებიდან გამომდინარე. გატეხილი ხაზის ხარისხი 12-ზე a უდრის ორს. ვარსკვლავური შვიდკუთხედების ხარისხი (სურ. 12, c, d) უდრის, შესაბამისად, ორს და სამს.

ხარისხის ცნება ანალოგიურად არის განსაზღვრული სიბრტყეში დახურული მოსახვევებისთვის. მაგალითად, 14-ზე ნაჩვენები მრუდის ხარისხი არის ორი.

მრავალკუთხედის ან მრუდის ხარისხის საპოვნელად, შეგიძლიათ გააგრძელოთ შემდეგნაირად. დავუშვათ, რომ მრუდის გასწვრივ მოძრაობით (ნახ. 15, ა), ჩვენ, რაღაც A1 ადგილიდან დაწყებული, სრული შემობრუნება გავაკეთეთ და დავასრულეთ იმავე A1 წერტილში. ამოვიღოთ მრუდიდან შესაბამისი მონაკვეთი და გავაგრძელოთ მოძრაობა დარჩენილი მრუდის გასწვრივ (სურ. 15ბ). თუ რომელიმე A2 ადგილიდან დაწყებული ისევ სრული შემობრუნება გავაკეთეთ და მივედით იმავე წერტილამდე, მაშინ ვშლით მრუდის შესაბამის მონაკვეთს და ვაგრძელებთ მოძრაობას (სურ. 15, გ). დისტანციური მონაკვეთების რაოდენობის დათვლა ნიშნებით "+" ან "-", მათი შემოვლითი მიმართულებიდან გამომდინარე, მივიღებთ მრუდის სასურველ ხარისხს.

თეორემა 4. თვითნებური მრავალკუთხედისთვის ფორმულა

180° (n+2m),

სადაც არის კუთხეების ჯამი, n არის კუთხეების რაოდენობა, m არის მრავალკუთხედის ხარისხი.

მტკიცებულება. დაე, M მრავალკუთხედს ჰქონდეს m ხარისხი და პირობითად ნაჩვენებია ნახატ 16-ზე. M1, …, Mk არის მარტივი დახურული გატეხილი ხაზები, რომლებზეც გადის წერტილი სრულ ბრუნს. A1, …, Ak არის მრავალწრფის შესაბამისი თვითგადაკვეთის წერტილები, რომლებიც არ არიან მისი წვეროები. ავღნიშნოთ M მრავალკუთხედის წვეროების რაოდენობა, რომლებიც შედის M1, …, Mk მრავალკუთხედებში, შესაბამისად n1, …, nk. ვინაიდან M მრავალკუთხედის წვეროებთან ერთად ამ მრავალკუთხედებს ემატება წვეროები A1, …, Ak, M1, …, Mk მრავალკუთხედების წვეროების რაოდენობა იქნება n1+1, …, nk+1, შესაბამისად. მაშინ მათი კუთხეების ჯამი იქნება 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). პლუს ან მინუსი აღებულია გატეხილი ხაზების გვერდის ავლით მიმართულებიდან გამომდინარე. M0 მრავალკუთხედის M მრავალკუთხედიდან M1, ..., Mk მრავალკუთხედის ამოღების შემდეგ დარჩენილი კუთხეების ჯამი უდრის 180°-ს (n-n1- ...-nk+k2). M0, M1, …, Mk მრავალკუთხედების კუთხეების ჯამები იძლევა M მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამს და თითოეულ A1, …, Ak წვეროზე დამატებით ვიღებთ 360°. შესაბამისად, ჩვენ გვაქვს თანასწორობა

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

სადაც m არის M მრავალკუთხედის ხარისხი.

მაგალითად, განვიხილოთ ხუთქიმიანი ვარსკვლავის კუთხეების ჯამის გამოთვლა (სურ. 17, ა). შესაბამისი დახურული პოლიხაზის ხარისხი არის -2. აქედან გამომდინარე, კუთხეების სასურველი ჯამი არის 180.

გატეხილი ხაზი

განმარტება

გატეხილი ხაზიან უფრო მოკლე, გატეხილი ხაზი, ეწოდება სეგმენტების სასრულ მიმდევრობას, ისეთი, რომ პირველი სეგმენტის ერთი ბოლო ემსახურება მეორის დასასრულს, მეორე სეგმენტის მეორე ბოლო მესამეს და ა.შ. ამ შემთხვევაში, მიმდებარე სეგმენტები არ დევს იმავე სწორ ხაზზე. ამ სეგმენტებს პოლიხაზური ბმულები ეწოდება.

გატეხილი ხაზის სახეები

გატეხილი ხაზი ე.წ დახურულითუ პირველი სეგმენტის დასაწყისი ემთხვევა ბოლო სეგმენტის დასასრულს.

გაწყვეტილ ხაზს შეუძლია გადაკვეთოს თავი, შეეხოს საკუთარ თავს, დაეყრდნოს თავის თავს. თუ ასეთი სინგულარები არ არის, მაშინ ასეთი გატეხილი ხაზი ეწოდება მარტივი.

მრავალკუთხედები

განმარტება

უბრალო დახურულ პოლიხაზს, მის მიერ შემოსაზღვრულ სიბრტყის ნაწილთან ერთად, ეწოდება მრავალკუთხედი.

კომენტარი

მრავალკუთხედის თითოეულ წვეროზე, მისი გვერდები განსაზღვრავენ მრავალკუთხედის გარკვეულ კუთხეს. ის შეიძლება იყოს ან განლაგებულზე ნაკლები, ან განლაგებულზე მეტი.

საკუთრება

თითოეულ მრავალკუთხედს აქვს $180 ^\circ$-ზე ნაკლები კუთხე.

მტკიცებულება

მიეცით $P$ მრავალკუთხედი.

მოდით დავხატოთ სწორი ხაზი, რომელიც არ კვეთს მას. მას პოლიგონის გვერდის პარალელურად გადავიტანთ. რაღაც მომენტში, პირველად ვიღებთ $a$ წრფეს, რომელსაც აქვს მინიმუმ ერთი საერთო წერტილი პოლიგონთან $P$. მრავალკუთხედი დევს ამ ხაზის ერთ მხარეს (უფრო მეტიც, მისი ზოგიერთი წერტილი დევს $a$ წრფეზე).

$a$ სტრიქონი შეიცავს მრავალკუთხედის მინიმუმ ერთ წვეროს. მისი ორი მხარე მასში იყრის თავს, რომელიც მდებარეობს $a$ ხაზის იმავე მხარეს (მათ შორის იმ შემთხვევისთვის, როდესაც ერთ-ერთი მათგანი დევს ამ ხაზზე). ასე რომ, ამ წვეროზე კუთხე განვითარებულზე ნაკლებია.

განმარტება

მრავალკუთხედი ე.წ ამოზნექილითუ იგი დევს თითოეული ხაზის ერთ მხარეს, რომელიც შეიცავს მის მხარეს. თუ მრავალკუთხედი არ არის ამოზნექილი, მას უწოდებენ არაამოზნექილი.

კომენტარი

ამოზნექილი მრავალკუთხედი არის ნახევრად სიბრტყეების კვეთა, რომლებიც შემოსაზღვრულია ხაზებით, რომლებიც შეიცავს მრავალკუთხედის გვერდებს.

ამოზნექილი მრავალკუთხედის თვისებები

ამოზნექილ მრავალკუთხედს აქვს ყველა კუთხე $180^\circ$-ზე ნაკლები.

ამოზნექილი მრავალკუთხედის რომელიმე ორ წერტილს (კერძოდ, მის რომელიმე დიაგონალს) დამაკავშირებელი ხაზის სეგმენტი შეიცავს ამ მრავალკუთხედში.

მტკიცებულება

დავამტკიცოთ პირველი ქონება

აიღეთ $A$ ამოზნექილი მრავალკუთხედის $P$-ის ნებისმიერი კუთხე და მისი $a$ გვერდი, რომელიც მოდის $A$ წვეროდან. მოდით $l$ იყოს ხაზი, რომელიც შეიცავს $a$ მხარეს. ვინაიდან $P$ მრავალკუთხედი ამოზნექილია, ის დევს $l$ წრფის ერთ მხარეს. მაშასადამე, მისი კუთხე $A$ ასევე დევს ამ ხაზის იმავე მხარეს. აქედან გამომდინარე, კუთხე $A$ ნაკლებია გასწორებულ კუთხეზე, ანუ $180^\circ$-ზე ნაკლები.

დავამტკიცოთ მეორე თვისება

აიღეთ $A$ და $B$ ამოზნექილი მრავალკუთხედის $P$-ის ნებისმიერი ორი წერტილი. მრავალკუთხედი $P$ არის რამდენიმე ნახევარსიბრტყის კვეთა. სეგმენტი $AB$ შეიცავს თითოეულ ამ ნახევარ სიბრტყეში. ამიტომ, ის ასევე შეიცავს $P$ მრავალკუთხედში.

განმარტება

დიაგონალური მრავალკუთხედიეწოდება სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მის არამეზობელ წვეროებს.

თეორემა (n-გონების დიაგონალების რაოდენობაზე)

ამოზნექილი $n$-gon დიაგონალების რაოდენობა გამოითვლება $\dfrac(n(n-3))(2)$ ფორმულით.

მტკიცებულება

n-კუთხის თითოეული წვეროდან შეიძლება დახაზოთ $n-3$ დიაგონალები (არ შეიძლება დიაგონალის დახატვა მეზობელ წვეროებზე და თავად ამ წვეროზე). თუ ჩვენ დავთვლით ყველა ასეთ შესაძლო სეგმენტს, მაშინ იქნება $n\cdot(n-3)$, რადგან არის $n$ წვეროები. მაგრამ თითოეული დიაგონალი ორჯერ ჩაითვლება. ამრიგად, n-გონების დიაგონალების რაოდენობაა $\dfrac(n(n-3))(2)$.

თეორემა (n-გონების კუთხეების ჯამზე)

ამოზნექილი $n$-gon-ის კუთხეების ჯამი არის $180^\circ(n-2)$.

მტკიცებულება

განვიხილოთ $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

აიღეთ თვითნებური წერტილი $O$ ამ მრავალკუთხედის შიგნით.

ყველა სამკუთხედის კუთხის ჯამი $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ არის $180^\circ\cdot n$.

მეორეს მხრივ, ეს ჯამი არის მრავალკუთხედის ყველა შიდა კუთხის ჯამი და მთლიანი კუთხე $\კუთხე O=\კუთხე 1+\კუთხე 2+\კუთხე 3+\ldots=30^\circ$.

მაშინ განხილული $n$-gon-ის კუთხეების ჯამი უდრის $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

შედეგი

არაამოზნექილი $n$-gon-ის კუთხეების ჯამი არის $180^\circ(n-2)$.

მტკიცებულება

განვიხილოთ მრავალკუთხედი $A_1A_2\ldots A_n$, რომლის ერთადერთი კუთხე $\კუთხე A_2$ არის არაამოზნექილი, ანუ $\კუთხე A_2>180^\circ$.

ავღნიშნოთ მისი დაჭერის ჯამი $S$.

შეაერთეთ $A_1A_3$ წერტილები და განიხილეთ მრავალკუთხედი $A_1A_3\ldots A_n$.

ამ მრავალკუთხედის კუთხეების ჯამია:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\კუთხე A_2+\კუთხე 1+\კუთხე 2=S-\კუთხე A_2+180^\circ-\კუთხე A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \კუთხე A_1A_2A_3+\კუთხე A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

ამიტომ, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

თუ თავდაპირველ მრავალკუთხედს აქვს ერთზე მეტი არაამოზნექილი კუთხე, მაშინ ზემოთ აღწერილი ოპერაცია შეიძლება შესრულდეს თითოეული ასეთი კუთხით, რაც გამოიწვევს მტკიცების დადასტურებას.

თეორემა (ამოზნექილი n-გონების გარე კუთხეების ჯამზე)

ამოზნექილი $n$-gon გარე კუთხეების ჯამი არის $360^\circ$.

მტკიცებულება

$A_1$ წვეროზე გარე კუთხე არის $180^\circ-\კუთხე A_1$.

ყველა გარე კუთხის ჯამი არის:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\კუთხე A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.