სკოლაში შეგვხვდა უტოლობები, სადაც ციფრულ უტოლობას ვიყენებთ. ამ სტატიაში განვიხილავთ რიცხვითი უტოლობების თვისებებს, რომელთაგან ზოგიერთი არის აგებული პრინციპები მათთან მუშაობისთვის.

უტოლობების თვისებები მსგავსია რიცხვითი უტოლობების თვისებების. განხილული იქნება თვისებები, მისი დასაბუთებები, მოვიყვანთ მაგალითებს.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რიცხვითი უტოლობები: განმარტება, მაგალითები

უთანასწორობის ცნების დანერგვისას გვაქვს, რომ მათი განმარტება ხდება ჩანაწერის ტიპის მიხედვით. ხელმისაწვდომია ალგებრული გამონათქვამები, რომლებსაც აქვთ ნიშნები ≠ ,< , >, ≤ , ≥ . მოდით მივცეთ განმარტება.

განმარტება 1

რიცხვითი უტოლობაეწოდება უტოლობა, რომელშიც ორივე მხარეს აქვს რიცხვები და რიცხვითი გამოსახულებები.

რიცხვითი უტოლობებისწავლის შემდეგ განიხილეთ სკოლაში დაბრუნება ნატურალური რიცხვები. ასეთი შედარების ოპერაციები შესწავლილია ეტაპობრივად. საწყისი გარეგნობა 1-ს ჰგავს< 5 , 5 + 7 >3 . ამის შემდეგ წესები ემატება და უტოლობა რთულდება, შემდეგ ვიღებთ 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 ფორმის უტოლობებს. 73 - 17 2< 0 .

რიცხვითი უტოლობების თვისებები

უტოლობებთან სწორად მუშაობისთვის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ რიცხვითი უტოლობების თვისებები. ისინი მომდინარეობენ უთანასწორობის კონცეფციიდან. ასეთი ცნება მითითებულია განცხადების გამოყენებით, რომელიც აღინიშნება როგორც "უფრო მეტი" ან "ნაკლები".

განმარტება 2

• რიცხვი a მეტია b-ზე, როდესაც სხვაობა a - b დადებითი რიცხვია;
• რიცხვი a ნაკლებია b-ზე, როდესაც სხვაობა a - b არის უარყოფითი რიცხვი;
• რიცხვი a უდრის b-ს, როცა სხვაობა a - b ნულის ტოლია.

განმარტება გამოიყენება უტოლობების ამოხსნისას მიმართებებით „მცირე ან ტოლი“, „მეტი ან ტოლი“. ჩვენ ამას მივიღებთ

განმარტება 3

• a მეტია ან ტოლია b-ის, როცა a - b არაუარყოფითი რიცხვია;
• a არის b-ზე ნაკლები ან ტოლი, როდესაც a - b არის არადადებითი რიცხვი.

განმარტებები გამოყენებული იქნება რიცხვითი უტოლობების თვისებების დასადასტურებლად.

ძირითადი თვისებები

განვიხილოთ 3 ძირითადი უტოლობა. ნიშნების გამოყენება< и >დამახასიათებელი თვისებებით:

განმარტება 4

• ანტირეფლექსურობა, რომელიც ამბობს, რომ ნებისმიერი რიცხვი a უტოლობებიდან a< a и a >a ითვლება ბათილად. ცნობილია, რომ ნებისმიერი a-სთვის მოქმედებს a − a = 0 ტოლობა, აქედან გამომდინარე მივიღებთ, რომ a = a. ასე რომ ა< a и a >a არასწორია. მაგალითად, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 არასწორია.
• ასიმეტრია. როდესაც a და b რიცხვები ისეთია, რომ a< b , то b >a , და თუ a > b , მაშინ b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >ა. მეორე ნაწილიც ანალოგიურად არის დადასტურებული.

მაგალითი 1

მაგალითად, მოცემული უტოლობა 5< 11 имеем, что 11 >5 , მაშინ მისი რიცხვითი უტოლობა − 0 , 27 > − 1 , 3 გადაიწერება სახით − 1 , 3< − 0 , 27 .

შემდეგ თვისებაზე გადასვლამდე აღვნიშნავთ, რომ ასიმეტრიის დახმარებით შეიძლება წაიკითხოს უტოლობა მარჯვნიდან მარცხნივ და პირიქით. ამრიგად, რიცხვითი უტოლობა შეიძლება შეიცვალოს და შეიცვალოს.

განმარტება 5

• ტრანზიტულობა. როდესაც რიცხვები a , b , c აკმაყოფილებენ a პირობას< b и b < c , тогда a < c , и если a >b და b > c , შემდეგ a > c .

მტკიცებულება 1

პირველი მტკიცება შეიძლება დადასტურდეს. მდგომარეობა ა< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

ანალოგიურად დასტურდება მეორე ნაწილი გარდამავალი თვისებით.

მაგალითი 2

გაანალიზებული თვისება განიხილება უტოლობების მაგალითზე - 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 და 1 8 > 1 32 აქედან გამომდინარეობს, რომ 1 2 > 1 32 .

რიცხვითი უტოლობები, რომლებიც იწერება არამკაცრი უტოლობის ნიშნებით, აქვთ რეფლექსურობის თვისება, რადგან a ≤ a და a ≥ a-ს შეიძლება ჰქონდეთ ტოლობის შემთხვევა a = a. მათ ახასიათებთ ასიმეტრია და ტრანზიტიულობა.

განმარტება 6

უტოლობებს, რომლებსაც აქვთ ნიშნები ≤ და ≥, აქვთ შემდეგი თვისებები:

• რეფლექსურობა a ≥ a და a ≤ a ითვლება ჭეშმარიტ უტოლობად;
• ანტისიმეტრია, როდესაც a ≤ b , მაშინ b ≥ a და თუ a ≥ b , მაშინ b ≤ a.
• გარდამავალობა, როდესაც a ≤ b და b ≤ c , მაშინ a ≤ c , და ასევე, თუ a ≥ b და b ≥ c , მაშინ a ≥ c .

მტკიცებულება ხორციელდება ანალოგიურად.

რიცხვითი უტოლობების სხვა მნიშვნელოვანი თვისებები

უტოლობების ძირითადი თვისებების შესავსებად გამოიყენება შედეგები, რომლებსაც აქვთ პრაქტიკული ღირებულება. გამოიყენება გამონათქვამების მნიშვნელობების შეფასების მეთოდის პრინციპი, რომელზედაც დაფუძნებულია უტოლობების ამოხსნის პრინციპები.

ეს განყოფილება ავლენს უტოლობების თვისებებს მკაცრი უთანასწორობის ერთი ნიშნისთვის. იგივე კეთდება არასაკმარისებისთვისაც. განვიხილოთ მაგალითი, ჩამოაყალიბეთ უტოლობა, თუ ა< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• თუ a > b , მაშინ a + c > b + c ;
• თუ a ≤ b, მაშინ a + c ≤ b + c;
• თუ a ≥ b, მაშინ a + c ≥ b + c.

მოსახერხებელი პრეზენტაციისთვის ვაძლევთ შესაბამის განცხადებას, რომელიც იწერება და მოცემულია მტკიცებულებები, ნაჩვენებია გამოყენების მაგალითები.

განმარტება 7

რიცხვის დამატება ან გამოთვლა ორივე მხრიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როდესაც a და b შეესაბამება a უტოლობას< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

მტკიცებულება 2

ამის დასამტკიცებლად აუცილებელია, რომ განტოლება აკმაყოფილებდეს a პირობას< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

მაგალითი 3

მაგალითად, თუ 7 > 3 უტოლობის ორივე ნაწილი გაიზარდა 15-ით, მაშინ მივიღებთ 7 + 15 > 3 + 15-ს. ეს უდრის 22 > 18-ს.

განმარტება 8

როდესაც უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლებულია ან იყოფა იმავე რიცხვზე c, მივიღებთ სწორ უტოლობას. თუ c რიცხვს უარყოფითად ავიღებთ, მაშინ ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ეს ასე გამოიყურება: a და b-სთვის უტოლობა მოქმედებს, როდესაც a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >ძვ.წ.

მტკიცებულება 3

როდესაც არის შემთხვევა c > 0, აუცილებელია განსხვავებულად განვასხვავოთ უტოლობა მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს შორის. მაშინ მივიღებთ, რომ a · c − b · c = (a − b) · c . მდგომარეობიდან ა< b , то a − b < 0 , а c >0 , მაშინ ნამრავლი (a − b) · c იქნება უარყოფითი. ეს გულისხმობს, რომ a c − b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

მტკიცებულებაში გაყოფა მთელ რიცხვზე შეიძლება შეიცვალოს გამრავლებით მოცემულის შებრუნებით, ანუ 1 c . განვიხილოთ ქონების მაგალითი გარკვეულ რიცხვებზე.

მაგალითი 4

უტოლობის ორივე ნაწილი დაშვებულია 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

ახლა ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ შემდეგი ორი შედეგი, რომლებიც გამოიყენება უტოლობების გადასაჭრელად:

• შედეგი 1. რიცხვითი უტოლობის ნაწილების ნიშნების შეცვლისას, თავად უტოლობის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ, როგორც< b , как − a >−ბ. ეს შეესაბამება ორივე ნაწილის - 1-ზე გამრავლების წესს. იგი გამოიყენება გადასვლისთვის. მაგალითად - 6< − 2 , то 6 > 2 .
• შედეგი 2. როდესაც რიცხვითი უტოლობის ნაწილები იცვლება ორმხრივებით, მისი ნიშანიც იცვლება და უტოლობა რჩება ჭეშმარიტი. აქედან გამომდინარე გვაქვს, რომ a და b დადებითი რიცხვებია, a< b , 1 a >1ბ.

უტოლობის ორივე ნაწილის გაყოფისას ა< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 გვაქვს ის 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b შეიძლება იყოს არასწორი.

მაგალითი 5

მაგალითად, - 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 არის არასწორი ტოლობა.

ყველა წერტილი გაერთიანებულია იმით, რომ მოქმედებები უტოლობის ნაწილებზე იძლევა სწორ უტოლობას გამოსავალზე. განვიხილოთ თვისებები, სადაც თავდაპირველად რამდენიმე რიცხვითი უტოლობაა და მისი შედეგი მიიღება მისი ნაწილების მიმატებით ან გამრავლებით.

განმარტება 9

როდესაც რიცხვები a , b , c , d მართებულია a უტოლობებისთვის< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

მტკიცებულება 4

ვამტკიცებთ, რომ (a + c) − (b + d) არის უარყოფითი რიცხვი, მაშინ მივიღებთ, რომ a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

თვისება გამოიყენება სამი, ოთხი ან მეტი რიცხვითი უტოლობების ტერმინებით შესაკრებად. რიცხვები a 1 , a 2 , ... , a n და b 1 , b 2 , ... , b n ექვემდებარება a 1 უტოლობას< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

მაგალითი 6

მაგალითად, მოცემულია ერთი და იგივე ნიშნის სამი რიცხვითი უტოლობა - 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

განმარტება 10

ორივე ნაწილის ტერმინალურად გამრავლება იწვევს დადებით რიცხვს. Თვის< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

მტკიცებულება 5

ამის დასამტკიცებლად ჩვენ გვჭირდება უტოლობის ორივე მხარე a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

ეს თვისება ითვლება მოქმედად იმ რიცხვებისთვის, რომლებზეც უნდა გამრავლდეს უტოლობის ორივე მხარე. მერე a 1, a 2,…, a nდა b 1 , b 2 , … , b nარიან დადებითი რიცხვები mi, სადაც 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 a 2 ... a n< b 1 · b 2 · … · b n .

გაითვალისწინეთ, რომ უტოლობების წერისას არის არაპოზიტიური რიცხვები, მაშინ მათი გამრავლება ტერმინებით იწვევს არასწორ უტოლობებს.

მაგალითი 7

მაგალითად, უტოლობა 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

შედეგი: უტოლობების გამრავლება ა< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

რიცხვითი უტოლობების თვისებები

განვიხილოთ რიცხვითი უტოლობების შემდეგი თვისებები.

1. ა< a , a >ა - ცრუ უტოლობები,
   a ≤ a, a ≥ a სწორი უტოლობებია.
2. Თუ< b , то b >ა - ანტისიმეტრია.
3. Თუ< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Თუ< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Თუ< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Თუ< b и c - отрицательное число, то a · c >ძვ.წ.

დასკვნა 1: თუ< b , то - a >-ბ.

დასკვნა 2: თუ a და b დადებითი რიცხვებია და a< b , то 1 a >1ბ.

1. თუ 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. თუ 1, 2,. . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n არის დადებითი რიცხვები და a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

დასკვნა 1: თუ ა< b , a და ბ არის დადებითი რიცხვები, შემდეგ a n< b n .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

უძველესი დროიდან პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას საჭირო იყო ღირებულებებისა და რაოდენობების შედარება. ამავდროულად გაჩნდა ისეთი სიტყვები, როგორიცაა მეტი და ნაკლები, უფრო მაღალი და ქვედა, მსუბუქი და მძიმე, უფრო მშვიდი და ხმამაღალი, იაფი და ძვირი და ა.შ., რაც ერთგვაროვანი რაოდენობების შედარების შედეგებს აღნიშნავს.

ცნებები მეტი და ნაკლები წარმოიშვა საგნების დათვლასთან, სიდიდეების გაზომვასთან და შედარებასთან დაკავშირებით. მაგალითად, ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა იცოდნენ, რომ ნებისმიერი სამკუთხედის გვერდი ნაკლებია დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე და რომ სამკუთხედის დიდი გვერდი უფრო დიდი კუთხის საპირისპიროდ მდებარეობს. არქიმედემ წრის გარშემოწერილობის გამოთვლისას აღმოაჩინა, რომ ნებისმიერი წრის პერიმეტრი სამჯერ უდრის დიამეტრს, ჭარბი, რომელიც დიამეტრის მეშვიდეზე ნაკლებია, მაგრამ დიამეტრის ათ სამოცდათერთმეტზე მეტი.

სიმბოლურად დაწერეთ ურთიერთობები რიცხვებსა და სიდიდეებს შორის > და b ნიშნების გამოყენებით. ჩანაწერები, რომლებშიც ორი რიცხვი დაკავშირებულია ერთ-ერთი ნიშნით: > (უფრო მეტი), დაწყებით კლასებშიც შეგხვდათ რიცხვითი უტოლობები. თქვენ იცით, რომ უთანასწორობა შეიძლება იყოს ან არ იყოს ჭეშმარიტი. მაგალითად, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) არის სწორი რიცხვითი უტოლობა, 0.23 > 0.235 არის არასწორი რიცხვითი უტოლობა.

უტოლობები, რომლებიც შეიცავს უცნობებს, შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი უცნობის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის და მცდარი სხვებისთვის. მაგალითად, უტოლობა 2x+1>5 მართალია x = 3-ისთვის, მაგრამ მცდარია x = -3-ისთვის. უტოლობისთვის ერთ უცნობისთან, შეგიძლიათ დააყენოთ დავალება: ამოხსნათ უტოლობა. პრაქტიკაში უტოლობების ამოხსნის ამოცანები დასმული და გადაწყვეტილია არანაკლებ ხშირად, ვიდრე განტოლებების ამოხსნის ამოცანები. მაგალითად, მრავალი ეკონომიკური პრობლემა მცირდება წრფივი უტოლობების სისტემების შესწავლასა და გადაწყვეტაზე. მათემატიკის ბევრ დარგში უტოლობები უფრო ხშირია, ვიდრე განტოლებები.

ზოგიერთი უტოლობა ერთადერთი დამხმარე საშუალებაა გარკვეული ობიექტის არსებობის დასამტკიცებლად ან უარყოფისთვის, მაგალითად, განტოლების ფესვი.

რიცხვითი უტოლობები

შეგიძლიათ შეადაროთ მთელი რიცხვები და ათწილადები. იცოდეთ ერთი და იგივე მნიშვნელის, მაგრამ განსხვავებული მრიცხველის მქონე ჩვეულებრივი წილადების შედარების წესები; ერთი და იგივე მრიცხველებით, მაგრამ განსხვავებული მნიშვნელებით. აქ თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა შეადაროთ ნებისმიერი ორი რიცხვი მათი განსხვავების ნიშნის აღმოჩენით.

რიცხვების შედარება ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკაში. მაგალითად, ეკონომისტი ადარებს დაგეგმილ მაჩვენებლებს რეალურს, ექიმი ადარებს პაციენტის ტემპერატურას ნორმალურთან, ტურნერი ადარებს დამუშავებული ნაწილის ზომებს სტანდარტს. ყველა ასეთ შემთხვევაში შედარებულია ზოგიერთი რიცხვი. რიცხვების შედარების შედეგად წარმოიქმნება რიცხვითი უტოლობები.

განმარტება.ნომერი ა მეტი ნომერი b თუ სხვაობა a-b დადებითია. ნომერი ა რიცხვზე ნაკლები b თუ სხვაობა a-b უარყოფითია.

თუ a მეტია b-ზე, მაშინ წერენ: a > b; თუ a ნაკლებია b-ზე, მაშინ წერენ: a ამრიგად, უტოლობა a > b ნიშნავს, რომ სხვაობა a - b დადებითია, ე.ი. a - b > 0. უტოლობა a ნებისმიერი ორი რიცხვისთვის a და b შემდეგი სამი მიმართებიდან a > b, a = b, a თეორემა.თუ a > b და b > c, მაშინ a > c.

თეორემა.თუ უტოლობის ორივე მხარეს ერთი და იგივე რიცხვი დაემატება, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება.
შედეგი.ნებისმიერი ტერმინი შეიძლება გადავიდეს უტოლობის ერთი ნაწილიდან მეორეზე ამ ტერმინის საპირისპირო ნიშნის შეცვლით.

თეორემა.თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია იმავე დადებით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება. თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლდა იმავე უარყოფით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.
შედეგი.თუ უტოლობის ორივე ნაწილი იყოფა ერთნაირი დადებითი რიცხვით, მაშინ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება. თუ უტოლობის ორივე ნაწილი იყოფა იმავე უარყოფით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.

Იცი, რომ რიცხვითი ტოლობებიშეგიძლიათ დაამატოთ და გაამრავლოთ ტერმინი ტერმინით. შემდეგი, თქვენ შეისწავლით თუ როგორ უნდა შეასრულოთ მსგავსი მოქმედებები უტოლობებით. პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება უტოლობების ტერმინით ტერმინით დამატებისა და გამრავლების უნარი. ეს მოქმედებები დაგეხმარებათ გადაჭრათ გამოხატვის მნიშვნელობების შეფასებისა და შედარების პრობლემები.

როცა გადაწყვეტს სხვადასხვა ამოცანებიხშირად ადამიანს უწევს უტოლობების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების შეკრება ან გამრავლება. ამ შემთხვევაში, ზოგჯერ ამბობენ, რომ უტოლობები ემატება ან მრავლდება. მაგალითად, თუ ტურისტმა პირველ დღეს გაიარა 20 კმ-ზე მეტი, ხოლო მეორე დღეს 25 კმ-ზე მეტი, მაშინ შეიძლება იმის მტკიცება, რომ ორ დღეში მან 45 კმ-ზე მეტი გაიარა. ანალოგიურად, თუ მართკუთხედის სიგრძე 13 სმ-ზე ნაკლებია, ხოლო სიგანე 5 სმ-ზე ნაკლები, მაშინ შეიძლება ითქვას, რომ ამ მართკუთხედის ფართობი 65 სმ2-ზე ნაკლებია.

ამ მაგალითების განხილვისას შემდეგი თეორემები უტოლობების შეკრებისა და გამრავლების შესახებ:

თეორემა.ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობების შეკრებისას ვიღებთ იმავე ნიშნის უტოლობას: თუ a > b და c > d, მაშინ a + c > b + d.

თეორემა.ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობების გამრავლებისას, რომლებისთვისაც მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები დადებითია, მიიღება ერთი და იგივე ნიშნის უტოლობა: თუ a > b, c > d და a, b, c, d დადებითი რიცხვებია, მაშინ ac >. ბდ.

უტოლობები ნიშნით > (ზე მეტი) და 1/2, 3/4 b, c მკაცრ უტოლობასთან ერთად > და ანალოგიურად, უტოლობა \(a \geq b \) ნიშნავს, რომ რიცხვი a მეტია ან b-ის ტოლი, ანუ და არანაკლებ b.

\(\geq \) ნიშნის ან \(\leq \) ნიშნის შემცველ უტოლობას უწოდებენ არამკაცრს. მაგალითად, \(18 \geq 12, \; 11 \leq 12 \) არ არის მკაცრი უტოლობები.

მკაცრი უტოლობების ყველა თვისება ასევე მოქმედებს არამკაცრ უტოლობაზე. უფრო მეტიც, თუ მკაცრი უტოლობებისთვის ნიშნები > საპირისპიროდ ჩაითვლება და თქვენ იცით, რომ სერიების ამოსახსნელად გამოყენებული ამოცანებითქვენ უნდა გააკეთოთ მათემატიკური მოდელი განტოლების ან განტოლებათა სისტემის სახით. შემდეგი, თქვენ გაიგებთ, რომ მათემატიკური მოდელებიმრავალი პრობლემის გადასაჭრელად არის უთანასწორობა უცნობებთან. ჩვენ გავაცნობთ უტოლობის ამოხსნის კონცეფციას და ვაჩვენებთ, თუ როგორ შევამოწმოთ თუ არა მოცემული ნომერიკონკრეტული უტოლობის ამოხსნა.

ფორმის უტოლობები
\(ax > b, \quad ax სადაც a და b მოცემულია რიცხვები და x უცნობია, ეწოდება წრფივი უტოლობაერთ უცნობთან.

განმარტება.უტოლობის ამოხსნა ერთ უცნობთან არის უცნობის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ეს უტოლობა იქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად. უთანასწორობის ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ამოხსნის პოვნას ან იმის დადგენას, რომ არ არსებობს.

თქვენ ამოხსნით განტოლებებს უმარტივეს განტოლებამდე მათი შემცირებით. ანალოგიურად, უტოლობების ამოხსნისას, მიდრეკილია მათი შემცირება თვისებების დახმარებით უმარტივესი უტოლობების სახით.

მეორე ხარისხის უტოლობების ამოხსნა ერთი ცვლადით

ფორმის უტოლობები
\(ax^2+bx+c >0 \) და \(ax^2+bx+c სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და \(a \neq 0 \) ეწოდება მეორე ხარისხის უტოლობები ერთი ცვლადით.

უტოლობის ამოხსნა
\(ax^2+bx+c >0 \) ან \(ax^2+bx+c \) შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ხარვეზების პოვნა, სადაც ფუნქცია \(y= ax^2+bx+c \) დადებითია. ან უარყოფითი მნიშვნელობები ამისათვის საკმარისია გავაანალიზოთ, თუ როგორ მდებარეობს \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) ფუნქციის გრაფიკი კოორდინატულ სიბრტყეში: სად არის მიმართული პარაბოლის ტოტები - ზემოთ ან ქვემოთ. , კვეთს თუ არა პარაბოლა x ღერძს და თუ კვეთს, მაშინ რომელ წერტილებში.

მეორე ხარისხის უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი ერთი ცვლადით:
1) იპოვნეთ დისკრიმინანტი კვადრატული ტრინომიალი\(ax^2+bx+c \) და გაარკვიეთ აქვს თუ არა ტრინომს ფესვები;
2) თუ ტრინომს აქვს ფესვები, მაშინ მონიშნეთ ისინი x ღერძზე და სქემატურად დახაზეთ პარაბოლა მონიშნულ წერტილებში, რომელთა ტოტები მიმართულია ზევით > 0-ზე ან ქვევით 0-ზე ან ბოლოში 3) იპოვეთ ხარვეზები x ღერძზე, რომლისთვისაც წერტილების პარაბოლები განლაგებულია x ღერძის ზემოთ (თუ ისინი ამოხსნიან უტოლობას \(ax^2+bx+c >0 \)) ან x ღერძის ქვემოთ (თუ ისინი ხსნიან უტოლობას
\(ax^2+bx+c უტოლობების ამოხსნა ინტერვალების მეთოდით

განიხილეთ ფუნქცია
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

ამ ფუნქციის დომენი არის ყველა რიცხვის ნაკრები. ფუნქციის ნულები არის რიცხვები -2, 3, 5. ისინი ყოფენ ფუნქციის დომენს \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) ინტერვალებად. ) \) და \( (5; +\infty) \)

მოდით გავარკვიოთ, რა არის ამ ფუნქციის ნიშნები თითოეულ მითითებულ ინტერვალში.

გამოხატულება (x + 2) (x - 3) (x - 5) არის სამი ფაქტორის ნამრავლი. თითოეული ამ ფაქტორის ნიშანი განხილულ ინტერვალებში მითითებულია ცხრილში:

ზოგადად, ფუნქცია მოცემულია ფორმულით
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
სადაც x არის ცვლადი და x 1, x 2, ..., x n არ არის ტოლი რიცხვები. რიცხვები x 1 , x 2 , ..., x n არის ფუნქციის ნულები. თითოეულ ინტერვალში, რომლებშიც განსაზღვრების დომენი იყოფა ფუნქციის ნულებით, ფუნქციის ნიშანი შენარჩუნებულია და ნულზე გავლისას იცვლება მისი ნიშანი.

ეს თვისება გამოიყენება ფორმის უტოლობების გადასაჭრელად
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) სადაც x 1 , x 2 , ..., x n არ არის ტოლი რიცხვები

განხილული მეთოდი უტოლობების ამოხსნას ინტერვალების მეთოდს უწოდებენ.

მოვიყვანოთ ინტერვალის მეთოდით უტოლობების ამოხსნის მაგალითები.

ამოხსენით უტოლობა:

მიმართეთ რიცხვითი ღერძიფუნქციის ნულები და გამოთვალეთ ნიშანი თითოეულ ინტერვალზე:

ვირჩევთ იმ ინტერვალებს, რომლებზედაც ფუნქცია ნულზე ნაკლები ან ტოლია და ვწერთ პასუხს.

პასუხი:
\(x \in \ მარცხნივ (-\infty; \; 1 \მარჯვნივ) \თასი \მარცხნივ[ 4; \; +\infty \მარჯვნივ) \)