უკვე დაწყებით სკოლაში მოსწავლეებს წილადები აწყდებიან. და მერე ჩნდებიან ყველა თემაში. ამ ციფრებით მოქმედებების დავიწყება შეუძლებელია. ამიტომ, თქვენ უნდა იცოდეთ ყველა ინფორმაცია ჩვეულებრივი და ათწილადები. ეს ცნებები მარტივია, მთავარია ყველაფერი წესრიგში გაიგოთ.

რატომ არის საჭირო წილადები?

ჩვენს ირგვლივ სამყარო მთლიანი ობიექტებისგან შედგება. ამიტომ აქციების საჭიროება არ არის. მაგრამ ყოველდღიური ცხოვრებისმუდმივად უბიძგებს ადამიანებს საგნების და ნივთების ნაწილებთან მუშაობისკენ.

მაგალითად, შოკოლადი შედგება რამდენიმე ნაჭრისგან. განვიხილოთ სიტუაცია, როდესაც მისი ფილა იქმნება თორმეტი მართკუთხედით. თუ ორად გაყოფთ, მიიღებთ 6 ნაწილად. კარგად დაიყოფა სამად. მაგრამ ხუთეული ვერ შეძლებს შოკოლადის ნაჭრების მთელ რაოდენობას.

სხვათა შორის, ეს ნაჭრები უკვე წილადებია. და მათი შემდგომი დაყოფა იწვევს უფრო რთული რიცხვების გამოჩენას.

რა არის "ფრაქცია"?

ეს არის რიცხვი, რომელიც შედგება ერთი ნაწილისგან. გარეგნულად, ის ჰგავს ორ რიცხვს, რომლებიც გამოყოფილია ჰორიზონტალურად ან ხაზებით. ამ მახასიათებელს წილადი ეწოდება. ზედა (მარცხნივ) დაწერილ რიცხვს მრიცხველი ეწოდება. ქვედა (მარჯვნივ) არის მნიშვნელი.

სინამდვილეში, წილადი ზოლი გამოდის გაყოფის ნიშანი. ანუ მრიცხველს შეიძლება ეწოდოს დივიდენდი, ხოლო მნიშვნელს - გამყოფი.

რა არის წილადები?

მათემატიკაში მათი მხოლოდ ორი ტიპია: ჩვეულებრივი და ათობითი წილადები. სკოლის მოსწავლეები პირველად ეცნობიან დაწყებითი სკოლა, მათ უბრალოდ "ფრაქციებს" უწოდებს. მეორე სწავლა მე-5 კლასში. სწორედ მაშინ ჩნდება ეს სახელები.

საერთო წილადები არის ყველა ის, რომელიც იწერება ზოლით გამოყოფილი ორი რიცხვის სახით. მაგალითად, 4/7. ათწილადი არის რიცხვი, რომელშიც წილადის ნაწილს აქვს პოზიციური აღნიშვნა და გამოყოფილია მთელი რიცხვისგან მძიმით. მაგალითად, 4.7. მოსწავლეებმა უნდა გაიგონ, რომ მოცემული ორი მაგალითი სრულიად განსხვავებული რიცხვია.

ყოველი მარტივი წილადიშეიძლება ჩაიწეროს ათწილადად. ეს განცხადება თითქმის ყოველთვის მართალია საპირისპირო მიმართულება. არსებობს წესები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ათობითი წილადი, როგორც ჩვეულებრივი წილადი.

რა ქვესახეობები აქვთ ამ ტიპის წილადებს?

ჯობია დაიწყოს ქრონოლოგიური თანმიმდევრობაროგორც ისინი სწავლობენ. ჯერ წადი საერთო წილადები. მათ შორის შეიძლება გამოიყოს 5 ქვესახეობა.

სწორი. მისი მრიცხველი ყოველთვის ნაკლებია მნიშვნელზე.

არასწორი. მისი მრიცხველი მეტია ან ტოლია მნიშვნელზე.

შემცირებადი / შეუმცირებელი. ეს შეიძლება იყოს სწორი ან არასწორი. სხვა რამ არის მნიშვნელოვანი, აქვთ თუ არა მრიცხველს და მნიშვნელს საერთო ფაქტორები. თუ არსებობს, მაშინ მათ უნდა გაიყოს წილადის ორივე ნაწილი, ანუ შეამცირონ იგი.

შერეული. მთელი რიცხვი ენიჭება მის ჩვეულებრივ სწორ (არასწორ) წილად ნაწილს. და ის ყოველთვის დგას მარცხნივ.

კომპოზიტური. იგი წარმოიქმნება ერთმანეთზე დაყოფილი ორი ფრაქციისგან. ანუ მას აქვს ერთდროულად სამი წილადი თვისება.

ათწილადებს მხოლოდ ორი ქვესახეობა აქვთ:

საბოლოო, ანუ ის, რომელშიც წილადი ნაწილი შეზღუდულია (აქვს დასასრული);

უსასრულო - რიცხვი, რომლის ციფრებიც ათწილადის შემდეგ არ მთავრდება (ისინი შეიძლება დაუსრულებლად დაიწეროს).

როგორ გადავიტანოთ ათწილადი ჩვეულებრივად?

თუ ეს სასრული რიცხვია, მაშინ გამოიყენება წესზე დაფუძნებული ასოციაცია - როგორც მესმის, ისე ვწერ. ანუ სწორად უნდა წაიკითხო და ჩაწერო, მაგრამ მძიმის გარეშე, მაგრამ წილადი ხაზით.

როგორც მინიშნება საჭირო მნიშვნელის შესახებ, გახსოვდეთ, რომ ის ყოველთვის არის ერთი და რამდენიმე ნული. ეს უკანასკნელი იმდენივე უნდა დაიწეროს, რამდენიც ციფრი მოცემული რიცხვის წილადში.

როგორ გადავიყვანოთ ათობითი წილადები ჩვეულებრივ წილადებად, თუ ისინი მთელი ნაწილიარ არსებობს, ანუ ნულის ტოლია? მაგალითად, 0.9 ან 0.05. მითითებული წესის გამოყენების შემდეგ გამოდის, რომ თქვენ უნდა დაწეროთ ნულოვანი რიცხვები. მაგრამ ეს არ არის მითითებული. რჩება მხოლოდ წილადი ნაწილების ჩაწერა. პირველ რიცხვზე მნიშვნელი იქნება 10, მეორის - 100. ანუ მითითებულ მაგალითებს პასუხად ექნებათ რიცხვები: 9/10, 5/100. უფრო მეტიც, ამ უკანასკნელის შემცირება შესაძლებელია 5-ით. ამიტომ, მისთვის შედეგი უნდა დაიწეროს 1/20.

როგორ შევქმნათ ჩვეულებრივი წილადი ათწილადიდან, თუ მისი მთელი ნაწილი განსხვავდება ნულიდან? მაგალითად, 5.23 ან 13.00108. ორივე მაგალითი კითხულობს მთელ ნაწილს და წერს მის მნიშვნელობას. პირველ შემთხვევაში, ეს არის 5, მეორეში, 13. შემდეგ თქვენ უნდა გადახვიდეთ წილადის ნაწილზე. მათთან ერთად აუცილებელია იგივე ოპერაციის ჩატარება. პირველ რიცხვს აქვს 23/100, მეორეს აქვს 108/100000. მეორე მნიშვნელობა კვლავ უნდა შემცირდეს. პასუხი ასეთია შერეული ფრაქციები: 5 23/100 და 13 27/25000.

როგორ გადავიყვანოთ უსასრულო ათწილადი საერთო წილადად?

თუ ის არაპერიოდულია, მაშინ ასეთი ოპერაციის ჩატარება შეუძლებელია. ეს ფაქტი განპირობებულია იმით, რომ ყოველი ათობითი წილადი ყოველთვის გარდაიქმნება საბოლოო ან პერიოდულად.

ერთადერთი, რისი გაკეთებაც ნებადართულია ასეთი წილადით, არის მისი დამრგვალება. მაგრამ მაშინ ათწილადი იქნება დაახლოებით იმ უსასრულობის ტოლი. ის უკვე შეიძლება გადაიქცეს ჩვეულებრივად. მაგრამ საპირისპირო პროცესი: ათწილადად გადაქცევა - არასოდეს მისცემს საწყის მნიშვნელობას. ანუ გაუთავებელი პერიოდული წილადებიარ გარდაიქმნება ჩვეულებრივად. ეს უნდა ახსოვდეს.

როგორ დავწეროთ უსასრულო პერიოდული წილადი ჩვეულებრივის სახით?

ამ რიცხვებში ერთი ან მეტი ციფრი ყოველთვის ჩნდება ათობითი წერტილის შემდეგ, რომლებიც მეორდება. მათ პერიოდებს უწოდებენ. მაგალითად, 0.3 (3). აქ "3" იმ პერიოდში. ისინი კლასიფიცირდება როგორც რაციონალური, რადგან ისინი შეიძლება გარდაიქმნას ჩვეულებრივ წილადებად.

მათ, ვინც შეხვდა პერიოდულ წილადებს, იცის, რომ ისინი შეიძლება იყოს სუფთა ან შერეული. პირველ შემთხვევაში, წერტილი დაუყოვნებლივ იწყება მძიმიდან. მეორეში, წილადი ნაწილი იწყება ნებისმიერი რიცხვით და შემდეგ იწყება გამეორება.

წესი, რომლითაც თქვენ უნდა დაწეროთ უსასრულო ათწილადი ჩვეულებრივი წილადის სახით, განსხვავებული იქნება ამ ორი ტიპის რიცხვისთვის. საკმაოდ მარტივია სუფთა პერიოდული წილადების ჩვეულებრივ წილადებად დაწერა. როგორც ბოლო, ისინი უნდა გარდაიქმნას: ჩაწერეთ წერტილი მრიცხველში და რიცხვი 9 იქნება მნიშვნელი, რომელიც იმდენჯერ გაიმეორებს, რამდენჯერაც არის რიცხვები წერტილში.

მაგალითად, 0, (5). რიცხვს არ აქვს მთელი ნაწილი, ამიტომ დაუყოვნებლივ უნდა გადახვიდეთ წილადის ნაწილზე. მრიცხველში ჩაწერეთ 5, მნიშვნელში 9. ანუ პასუხი იქნება წილადი 5/9.

წესი, თუ როგორ უნდა დავწეროთ საერთო ათობითი წილადი, რომელიც შერეული წილადია.

შეხედეთ პერიოდის ხანგრძლივობას. ამდენი 9-ს ექნება მნიშვნელი.

ჩაწერეთ მნიშვნელი: ჯერ ცხრა, შემდეგ ნული.

მრიცხველის დასადგენად, თქვენ უნდა დაწეროთ ორი რიცხვის სხვაობა. ათწილადის შემდეგ ყველა ციფრი შემცირდება წერტილთან ერთად. გამოკლებადი - ის პერიოდის გარეშეა.

მაგალითად, 0.5(8) - ჩაწერეთ პერიოდული ათობითი წილადი, როგორც საერთო წილადი. პერიოდის წინ წილადი ნაწილი ერთნიშნაა. ასე რომ, ნული იქნება ერთი. ასევე პერიოდში მხოლოდ ერთი ციფრია - 8. ანუ არის მხოლოდ ერთი ცხრა. ანუ მნიშვნელში უნდა ჩაწეროთ 90.

58-დან მრიცხველის დასადგენად საჭიროა გამოკლოთ 5. გამოდის 53. მაგალითად, პასუხის სახით მოგიწევთ დაწეროთ 53/90.

როგორ გარდაიქმნება საერთო წილადები ათწილადად?

ყველაზე მეტად მარტივი ვარიანტიგამოდის რიცხვი, რომლის მნიშვნელში არის რიცხვი 10, 100 და ა.შ. შემდეგ მნიშვნელი უბრალოდ უგულებელყოფილია და მძიმით იდება წილადის და მთელი რიცხვის ნაწილებს შორის.

არის სიტუაციები, როცა მნიშვნელი ადვილად იქცევა 10, 100 და ა.შ. მაგალითად, რიცხვები 5, 20, 25. საკმარისია მათი გამრავლება შესაბამისად 2, 5 და 4-ზე. მხოლოდ საჭიროა არა მხოლოდ მნიშვნელის, არამედ მრიცხველის გამრავლება იმავე რიცხვზე.

ყველა სხვა შემთხვევისთვის მარტივი წესი გამოგადგებათ: გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ მიიღოთ ორი პასუხი: საბოლოო ან პერიოდული ათობითი წილადი.

მოქმედებები საერთო წილადებით

შეკრება და გამოკლება

მოსწავლეები მათ სხვებზე ადრე ეცნობიან. და ჯერ წილადებით იგივე მნიშვნელებიდა შემდეგ განსხვავებული. Ძირითადი წესებიშეიძლება შემცირდეს ასეთ გეგმამდე.

იპოვეთ მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი.

დამწვრობა დამატებითი მულტიპლიკატორებიყველა ჩვეულებრივ წილადს.

გაამრავლეთ მრიცხველები და მნიშვნელები მათთვის განსაზღვრულ ფაქტორებზე.

დაამატეთ (გამოაკლეთ) წილადების მრიცხველები და დატოვეთ საერთო მნიშვნელი უცვლელი.

თუ მინუენდის მრიცხველი ქვეტრაჰენდზე ნაკლებია, მაშინ ჩვენამდე უნდა გავარკვიოთ შერეული რიცხვიან სათანადო წილადი.

პირველ შემთხვევაში, მთელმა ნაწილმა უნდა მიიღოს ერთი. დაამატეთ მნიშვნელი წილადის მრიცხველს. და შემდეგ გააკეთე გამოკლება.

მეორეში - აუცილებელია გამოკლების წესის გამოყენება პატარა რიცხვიდან უფრო დიდზე. ანუ, გამოაკელით მინუენდის მოდული სუბტრაჰენდის მოდულს და საპასუხოდ დააყენეთ ნიშანი „-“.

ყურადღებით დააკვირდით შეკრების (გამოკლების) შედეგს. თუ თქვენ მიიღებთ არასწორ წილადს, მაშინ მან უნდა შეარჩიოს მთელი ნაწილი. ანუ მრიცხველი გავყოთ მნიშვნელზე.

გამრავლება და გაყოფა

მათი განსახორციელებლად, ფრაქციების შემცირება არ არის საჭირო საერთო მნიშვნელი. ეს აადვილებს მოქმედების განხორციელებას. მაგრამ მათ მაინც უნდა დაიცვან წესები.

ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ რიცხვები მრიცხველებში და მნიშვნელებში. თუ რომელიმე მრიცხველი და მნიშვნელი აქვს საერთო ფაქტორი, მაშინ ისინი შეიძლება შემცირდეს.

მრიცხველების გამრავლება.

გაამრავლეთ მნიშვნელები.

თუ თქვენ მიიღებთ შემცირებულ წილადს, მაშინ ის კვლავ უნდა გამარტივდეს.

გაყოფისას ჯერ უნდა შეცვალოთ გაყოფა გამრავლებით, ხოლო გამყოფი (მეორე წილადი) საპასუხო (გაცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი).

შემდეგ გააგრძელეთ გამრავლებისას (დაწყებული 1-ლი წერტილიდან).

იმ ამოცანებში, სადაც საჭიროა გამრავლება (გაყოფა) მთელ რიცხვზე, ეს უკანასკნელი უნდა დაიწეროს სახით არასწორი ფრაქცია. ანუ მნიშვნელით 1. შემდეგ გააგრძელეთ ზემოთ აღწერილი.



ოპერაციები ათწილადებით

შეკრება და გამოკლება

რა თქმა უნდა, ყოველთვის შეგიძლიათ ათწილადის გადაქცევა საერთო წილადად. და იმოქმედეთ უკვე აღწერილი გეგმის მიხედვით. მაგრამ ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია მოქმედება ამ თარგმანის გარეშე. მაშინ მათი შეკრებისა და გამოკლების წესები ზუსტად იგივე იქნება.

გაათანაბრეს რიცხვების რიცხვი რიცხვის წილადში, ანუ ათობითი წერტილის შემდეგ. მიანიჭეთ მასში გამოტოვებული ნულების რაოდენობა.

დაწერეთ წილადები ისე, რომ მძიმით იყოს მძიმის ქვეშ.

ნატურალური რიცხვების მსგავსად დამატება (გამოკლება).

ამოიღეთ მძიმე.

გამრავლება და გაყოფა

მნიშვნელოვანია, რომ არ დაგჭირდეთ აქ ნულების დამატება. წილადები უნდა დარჩეს ისე, როგორც ეს მოცემულია მაგალითში. და შემდეგ წადი გეგმის მიხედვით.

გასამრავლებლად, თქვენ უნდა დაწეროთ წილადები ერთმანეთის ქვეშ, არ მიაქციოთ ყურადღება მძიმეებს.

ნატურალური რიცხვების მსგავსად გამრავლება.

პასუხში ჩასვით მძიმე, პასუხის მარჯვენა ბოლოდან დათვალეთ იმდენი ციფრი, რამდენიც ორივე ფაქტორის წილადებშია.

გაყოფისთვის ჯერ უნდა გადაიყვანოთ გამყოფი: შეასრულოთ იგი ბუნებრივი რიცხვი. ანუ გავამრავლოთ ის 10-ზე, 100-ზე და ა.შ. იმის მიხედვით, თუ რამდენი ციფრია გამყოფის წილადში.

გაამრავლეთ დივიდენდი იმავე რიცხვზე.

ათწილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე.

იმ მომენტში, როცა მთელი ნაწილის გაყოფა დასრულდება, პასუხში ჩაწერეთ მძიმით.



რა მოხდება, თუ ერთ მაგალითში ორივე ტიპის წილადია?

დიახ, მათემატიკაში ხშირად არის მაგალითები, რომლებშიც საჭიროა მოქმედებების შესრულება ჩვეულებრივ და ათობითი წილადებზე. ამ პრობლემების ორი შესაძლო გამოსავალი არსებობს. თქვენ უნდა ობიექტურად აწონოთ რიცხვები და აირჩიოთ საუკეთესო.

პირველი გზა: წარმოადგინეთ ჩვეულებრივი ათწილადები

შესაფერისია, თუ გაყოფისას ან თარგმნისას მიიღებთ სასრულ წილადები. თუ მინიმუმ ერთი რიცხვი იძლევა პერიოდულ ნაწილს, მაშინ ეს ტექნიკა აკრძალულია. ამიტომ, მაშინაც კი, თუ არ მოგწონთ ჩვეულებრივ წილადებთან მუშაობა, მოგიწევთ მათი დათვლა.

მეორე გზა: ჩაწერეთ ათობითი წილადები, როგორც ჩვეულებრივი

ეს ტექნიკა მოსახერხებელია, თუ ათობითი წერტილის შემდეგ ნაწილში 1-2 ციფრია. თუ მათგან მეტია, შეგიძლიათ მიიღოთ ძალიან დიდი ჩვეულებრივი ფრაქცია და ათობითი ჩანაწერებისაშუალებას მოგცემთ გამოთვალოთ დავალება უფრო სწრაფად და მარტივად. ამიტომ, ყოველთვის საჭიროა ამოცანის ფხიზელი შეფასება და ამოხსნის უმარტივესი მეთოდის არჩევა.

გახსოვთ, როგორ ვთქვი პირველივე გაკვეთილზე ათობითი წილადების შესახებ, რომ არის რიცხვითი წილადები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ათწილადების სახით (იხილეთ გაკვეთილი "ათწილადი წილადები")? ჩვენ ასევე ვისწავლეთ წილადების მნიშვნელების ფაქტორიზირება, რათა შევამოწმოთ არის თუ არა სხვა რიცხვები 2-ისა და 5-ის გარდა.

ასე რომ: მოვიტყუე. და დღეს ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ გადავთარგმნოთ აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვითი წილადი ათწილადში. ამავდროულად, ჩვენ გავეცნობით წილადების მთელ კლასს უსასრულო მნიშვნელოვანი ნაწილით.

განმეორებადი ათობითი არის ნებისმიერი ათწილადი, რომელსაც აქვს:

1. მნიშვნელოვანი ნაწილი შედგება უსასრულო რაოდენობის ციფრებისგან;
2. გარკვეული ინტერვალებით, მნიშვნელოვანი ნაწილის რიცხვები მეორდება.

განმეორებადი ციფრების ნაკრები, რომლებიც ქმნიან მნიშვნელოვანი ნაწილი, ეწოდება წილადის პერიოდულ ნაწილს და ამ სიმრავლის ციფრების რაოდენობა არის წილადის პერიოდი. მნიშვნელოვანი ნაწილის დარჩენილ სეგმენტს, რომელიც არ მეორდება, ეწოდება არაპერიოდული ნაწილი.

იმის გამო, რომ არსებობს მრავალი განმარტება, ღირს ამ ფრაქციებიდან რამდენიმე დეტალურად განხილვა:

ეს ფრაქცია ყველაზე ხშირად გვხვდება პრობლემებში. არაპერიოდული ნაწილი: 0; პერიოდული ნაწილი: 3; პერიოდის ხანგრძლივობა: 1.

არაპერიოდული ნაწილი: 0,58; პერიოდული ნაწილი: 3; პერიოდის ხანგრძლივობა: ისევ 1.

არაპერიოდული ნაწილი: 1; პერიოდული ნაწილი: 54; პერიოდის ხანგრძლივობა: 2.

არაპერიოდული ნაწილი: 0; პერიოდული ნაწილი: 641025; პერიოდის ხანგრძლივობა: 6. მოხერხებულობისთვის განმეორებადი ნაწილები ერთმანეთისგან გამოყოფილია სივრცეთი - ამ ხსნარში ამის გაკეთება საჭირო არ არის.

არაპერიოდული ნაწილი: 3066; პერიოდული ნაწილი: 6; პერიოდის ხანგრძლივობა: 1.

როგორც ხედავთ, პერიოდული წილადის განმარტება ემყარება კონცეფციას რიცხვის მნიშვნელოვანი ნაწილი. ამიტომ, თუ დაგავიწყდათ რა არის, გირჩევთ გაიმეოროთ - იხილეთ გაკვეთილი "".

პერიოდულ ათწილადზე გადასვლა

განვიხილოთ a/b ფორმის ჩვეულებრივი წილადი. მოდით გავაფართოვოთ მისი მნიშვნელი ძირითადი ფაქტორები. არის ორი ვარიანტი:

1. გაფართოებაში მხოლოდ 2 და 5 ფაქტორებია წარმოდგენილი. ეს წილადები ადვილად მცირდება ათწილადამდე - იხილეთ გაკვეთილი "ათწილადი წილადები". ჩვენ არ გვაინტერესებს ასეთი;
2. გაფართოებაში 2-ისა და 5-ის გარდა არის კიდევ რაღაც. ამ შემთხვევაში, წილადი არ შეიძლება იყოს ათწილადის სახით წარმოდგენილი, მაგრამ ის შეიძლება გადაკეთდეს პერიოდულ ათწილადად.

პერიოდული ათობითი წილადის დასაყენებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი პერიოდული და არაპერიოდული ნაწილი. Როგორ? გადააქციეთ წილადი არასწორად და შემდეგ გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე "კუთხით".

ამით მოხდება შემდეგი:

1. ჯერ გაყავით მთელი ნაწილითუ ის არსებობს;
2. ათობითი წერტილის შემდეგ შეიძლება იყოს რამდენიმე რიცხვი;
3. ცოტა ხნის შემდეგ ნომრები დაიწყება გაიმეორეთ.

Სულ ეს არის! ათწილადის შემდეგ განმეორებადი ციფრები აღინიშნება პერიოდული ნაწილით, ხოლო რაც არის წინ - არაპერიოდული.

დავალება. გადაიყვანეთ ჩვეულებრივი წილადები პერიოდულ ათწილადებად:

ყველა წილადი მთელი რიცხვის გარეშე, ასე რომ, ჩვენ უბრალოდ ვყოფთ მრიცხველს მნიშვნელზე "კუთხით":

როგორც ხედავთ, ნარჩენები მეორდება. წილადი ჩავწეროთ „სწორი“ სახით: 1,733 ... = 1,7(3).

შედეგი არის წილადი: 0,5833 ... = 0,58(3).

ჩვენ ვწერთ ნორმალური ფორმით: 4.0909 ... = 4, (09).

ჩვენ ვიღებთ წილადს: 0,4141 ... = 0, (41).

პერიოდული ათობითიდან ჩვეულებრივზე გადასვლა

განვიხილოთ პერიოდული ათობითი X = abc (a 1 b 1 c 1). საჭიროა მისი გადატანა კლასიკურ „ორსართულიანში“. ამისათვის შეასრულეთ ოთხი მარტივი ნაბიჯი:

1. იპოვეთ წილადის პერიოდი, ე.ი. დათვალეთ რამდენი ციფრია პერიოდულ ნაწილში. ეს იყოს რიცხვი k;
2. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა X · 10 k . ეს უდრის ათობითი წერტილის გადატანას სრული პერიოდიმარჯვნივ - იხილეთ გაკვეთილი " ათობითი წილადების გამრავლება და გაყოფა";
3. გამოვაკლოთ ორიგინალური გამოხატულება მიღებულ რიცხვს. ამ შემთხვევაში, პერიოდული ნაწილი "იწვა" და რჩება საერთო წილადი;
4. იპოვეთ X მიღებულ განტოლებაში. ყველა ათობითი წილადი გარდაიქმნება ჩვეულებრივად.

დავალება. გადაიყვანეთ რიცხვის ჩვეულებრივ არასწორ წილადად:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

პირველ წილადთან მუშაობა: X = 9,(6) = 9,666 ...

ფრჩხილები შეიცავს მხოლოდ ერთ ციფრს, ამიტომ პერიოდი k = 1. შემდეგ ამ წილადს ვამრავლებთ 10 k = 10 1 = 10-ზე. გვაქვს:

10X = 10 9.6666... ​​= 96.666...

გამოვაკლოთ თავდაპირველი წილადი და ამოხსენით განტოლება:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

ახლა მოდით საქმე მეორე წილადს. ასე რომ X = 32, (39) = 32.393939 ...

პერიოდი k = 2, ასე რომ, ჩვენ ვამრავლებთ ყველაფერს 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...

კვლავ გამოვაკლოთ საწყისი წილადი და ამოხსნათ განტოლება:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

მოდით მივიდეთ მესამე წილადზე: X = 0.30(5) = 0.30555 ... სქემა იგივეა, ამიტომ მხოლოდ გამოთვლებს მივცემ:

პერიოდი k = 1 ⇒ გავამრავლოთ ყველაფერი 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

და ბოლოს, ბოლო წილადი: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... ისევ მოხერხებულობისთვის პერიოდული ნაწილები ერთმანეთისგან გამოყოფილია სივრცეებით. Ჩვენ გვაქვს:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

რომ თუ მათ იციან სერიების თეორია, მაშინ ამის გარეშე ვერანაირი მეტამატური ცნებების შემოტანა შეუძლებელია. უფრო მეტიც, ამ ხალხს მიაჩნია, რომ ის, ვინც მას ყველგან არ იყენებს, უცოდინარია. მოდით, ამ ადამიანების შეხედულებები მათ სინდისს მივატოვოთ. მოდით უკეთ გავიგოთ, რა არის უსასრულო პერიოდული წილადი და როგორ მოვიქცეთ მას ჩვენთვის, გაუნათლებელი ადამიანებისთვის, რომლებმაც საზღვრები არ ვიცით.

გაყავით 237 5-ზე. არა, თქვენ არ გჭირდებათ კალკულატორის გაშვება. მოდით უკეთ გავიხსენოთ საშუალო (ან თუნდაც დაწყებითი?) სკოლა და უბრალოდ გავყოთ სვეტი:

აბა, გახსოვს? შემდეგ შეგიძლიათ საქმეს შეუდგეთ.

მათემატიკაში "წილადის" ცნებას ორი მნიშვნელობა აქვს:

1. არა მთელი რიცხვი.
2. არა მთელი რიცხვის აღნიშვნის ფორმა.

არსებობს წილადების ორი ტიპი - ამ გაგებით, არამთლიანი რიცხვების ჩაწერის ორი ფორმა:

1. მარტივი (ან ვერტიკალური) წილადები, როგორიცაა 1/2 ან 237/5.
2. ათწილადები, როგორიცაა 0.5 ან 47.4.

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგადად წილად-ჩანაწერის გამოყენება არ ნიშნავს იმას, რომ რაც წერია არის წილადი რიცხვი, მაგალითად, 3/3 ან 7.0 - არა წილადები სიტყვის პირველი მნიშვნელობით, არამედ მეორეში, რა თქმა უნდა. , წილადები.

მათემატიკაში, ზოგადად, უხსოვარი დროიდან მიღებული იყო ათობითი ანგარიში და, შესაბამისად, ათობითი წილადები უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე მარტივი, ანუ წილადი ათობითი მნიშვნელი(ვლადიმერ დალ. ლექსიკონიცოცხალი დიდი რუსული ენა. "ათი").

და თუ ასეა, მაშინ მე მინდა გავაკეთო ნებისმიერი ვერტიკალური წილადი ათობითი („ჰორიზონტალური“). და ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ მრიცხველი მნიშვნელზე. აიღეთ, მაგალითად, წილადი 1/3 და შეეცადეთ გახადოთ ის ათწილადად.

სრულიად გაუნათლებელი ადამიანიც კი შეამჩნევს: რამდენი ხანი არ უნდა გაგრძელდეს, ისინი არ გაიყოფიან: ასე გაჩნდება სამეული უსასრულოდ. მაშ ასე, ჩავწეროთ: 0,33... ვგულისხმობთ „ რიცხვს, რომელიც მიიღება 1-ის 3-ზე გაყოფისას“, ან მოკლედ „ერთ მესამედს“. ბუნებრივია, მესამედი არის წილადი ამ სიტყვის პირველი მნიშვნელობით, ხოლო „1/3“ და „0.33 ...“ არის წილადები სიტყვის მეორე მნიშვნელობით, ე.ი. ჩანაწერის ფორმებირიცხვი, რომელიც არის რიცხვთა წრფეზე ნულიდან ისეთ მანძილზე, რომ თუ სამჯერ გადადებთ, მიიღებთ ერთს.

ახლა ვცადოთ 5 გავყოთ 6-ზე:

კიდევ ერთხელ ჩავწეროთ: 0,833... ვგულისხმობთ „ რიცხვს, რომელიც მიიღება 5-ის 6-ზე გაყოფისას“, ან მოკლედ „ხუთ-მეექვსედს“. თუმცა, დაბნეულობა ჩნდება აქ: ნიშნავს თუ არა ეს 0.83333 (და შემდეგ სამეულები მეორდება), თუ 0.833833 (და შემდეგ მეორდება 833). მაშასადამე, ელიფსის ჩანაწერი არ გვერგება: გაუგებარია საიდან იწყება განმეორებითი ნაწილი (მას „პერიოდი“ ჰქვია). ამიტომ ავიღებთ პერიოდს ფრჩხილებში, ასე: 0, (3); 0.8 (3).

0, (3) არა მხოლოდ უდრისერთი მესამედი არის იქ არისერთი მესამედი, რადგან ჩვენ კონკრეტულად გამოვიმუშავეთ ეს აღნიშვნა, რომ ეს რიცხვი ათწილადის სახით წარმოგვედგინა.

ამ ჩანაწერს ე.წ უსასრულო პერიოდული წილადი, ან უბრალოდ პერიოდული წილადი.

როდესაც ერთ რიცხვს ვყოფთ მეორეზე, თუ არ მივიღებთ სასრულ წილადს, მაშინ ვიღებთ უსასრულო პერიოდულ წილადს, ანუ ოდესღაც რიცხვების თანმიმდევრობა დაიწყებს გამეორებას. რატომ არის ეს ასე, შეგვიძლია გავიგოთ წმინდა სპეკულაციით, ყურადღებით დავაკვირდებით სვეტის მიხედვით გაყოფის ალგორითმს:

საკონტროლო ნიშნებით მონიშნულ ადგილებში, მათი მიღება ყოველთვის შეუძლებელია სხვადასხვა წყვილებირიცხვები (რადგან, პრინციპში, არსებობს ასეთი წყვილების სასრული ნაკრები). და როგორც კი იქ გამოჩნდება ასეთი წყვილი, რომელიც უკვე არსებობდა, განსხვავებაც იგივე იქნება - და შემდეგ დაიწყება მთელი პროცესის გამეორება. ამის შემოწმება არ არის საჭირო, რადგან სავსებით აშკარაა, რომ როდესაც იგივე ქმედებები განმეორდება, შედეგი იგივე იქნება.

ახლა რომ კარგად გავიგეთ არსიპერიოდული წილადი, მოდით ვცადოთ ერთი მესამედის სამზე გამრავლება. დიახ, გამოვა, რა თქმა უნდა, ერთი, მაგრამ მოდით დავწეროთ ეს წილადი ათობითი ფორმით და გავამრავლოთ სვეტით (ელიფსისის გამო ბუნდოვანება აქ არ წარმოიქმნება, რადგან ათობითი წერტილის შემდეგ ყველა რიცხვი ერთნაირია):

და ისევ შევნიშნავთ, რომ ცხრა, ცხრა და ცხრა ყოველთვის გამოჩნდება ათობითი წერტილის შემდეგ. ანუ, საპირისპიროდ, ფრჩხილის აღნიშვნის გამოყენებით, მივიღებთ 0, (9). ვინაიდან ვიცით, რომ მესამედისა და სამის ნამრავლი არის ერთეული, მაშინ 0, (9) არის ერთეულის დაწერის ასეთი უცნაური ფორმა. თუმცა, არ არის მიზანშეწონილი აღნიშვნის ამ ფორმის გამოყენება, რადგან ერთეული შესანიშნავად იწერება წერტილის გამოყენების გარეშე, როგორიცაა: 1.

როგორც ხედავთ, 0,(9) არის ერთ-ერთი შემთხვევა, როდესაც მთელი რიცხვი იწერება წილადად, მაგალითად 3/3 ან 7.0. ანუ 0, (9) არის წილადი მხოლოდ სიტყვის მეორე მნიშვნელობით, მაგრამ არა პირველით.

ასე რომ, ყოველგვარი შეზღუდვებისა და რიგების გარეშე, ჩვენ გავარკვიეთ, რა არის 0, (9) და როგორ გავუმკლავდეთ მას.

მაგრამ მაინც გახსოვდეთ, რომ სინამდვილეში ჩვენ ვართ ჭკვიანები და შესწავლილი ანალიზი. მართლაც, ძნელია ამის უარყოფა:

მაგრამ, ალბათ, არავინ დაობს იმ ფაქტს, რომ:

ეს ყველაფერი, რა თქმა უნდა, მართალია. მართლაც, 0,(9) არის ორივე შემცირებული სერიების ჯამი და მითითებული კუთხის გაორმაგებული სინუსი, და ბუნებრივი ლოგარითმიეილერის ნომრები.

მაგრამ არც ერთი, არც მეორე და არც მესამე არ არის განმარტება.

იმის თქმა, რომ 0,(9) არის უსასრულო სერიის ჯამი 9/(10 n), როდესაც n მეტია ერთზე, იგივეა, რაც იმის თქმა, რომ სინუსი არის უსასრულო ტეილორის რიგის ჯამი:

Ეს არის საკმაოდ სწორი, და ეს არის მნიშვნელოვანი ფაქტიგამოთვლითი მათემატიკისთვის, მაგრამ ეს არ არის განმარტება და, რაც მთავარია, ეს არ აახლოებს ადამიანს გაგებასთან არსისინუსი. გარკვეული კუთხის სინუსის არსი ის არის, რომ ის არის უბრალოდდამოკიდებულება მოპირდაპირე კუთხეკათეტერი ჰიპოტენუზაში.

ისე, პერიოდული წილადი არის უბრალოდათობითი წილადი, რომელიც წარმოიქმნება როცა სვეტით გაყოფისასრიცხვების იგივე ნაკრები მეორდება. აქ ანალიზი საერთოდ არ არის.

და აქ ჩნდება კითხვა: სად ზოგადადავიღეთ რიცხვი 0,(9)? რას ვყოფთ სვეტად მის მისაღებად? მართლაც, ასეთი რიცხვები არ არსებობს, ერთმანეთზე სვეტად გაყოფისას ჩვენ უსასრულოდ გამოჩენილი ცხრა გვექნებოდა. მაგრამ ჩვენ მოვახერხეთ ამ რიცხვის მიღება 0, (3) სვეტის 3-ზე გამრავლებით? Ნამდვილად არ. ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მარჯვნიდან მარცხნივ, რათა სწორად გაითვალისწინოთ ციფრების გადარიცხვა და ჩვენ ეს გავაკეთეთ მარცხნიდან მარჯვნივ, ჭკვიანურად ვისარგებლეთ იმით, რომ გადარიცხვები მაინც არ ხდება არსად. მაშასადამე, 0,(9) ჩაწერის კანონიერება დამოკიდებულია იმაზე, ვაღიარებთ თუ არა სვეტით ასეთი გამრავლების კანონიერებას.

მაშასადამე, შეიძლება ზოგადად ითქვას, რომ აღნიშვნა 0,(9) არასწორია - და გარკვეულწილად მართალია. თუმცა, რადგან აღნიშვნა a ,(b) მიღებულია, უბრალოდ მახინჯია მისი ჩამოგდება, როდესაც b = 9; უმჯობესია გადაწყვიტოთ რას ნიშნავს ასეთი ჩანაწერი. ასე რომ, თუ საერთოდ მივიღებთ აღნიშვნას 0,(9), მაშინ ეს აღნიშვნა, რა თქმა უნდა, ნიშნავს ნომერ პირველს.

რჩება მხოლოდ დავამატოთ, რომ თუ გამოვიყენებდით, ვთქვათ, სამეულ რიცხვთა სისტემას, მაშინ ერთეული სვეტის (1 3) სამმაგზე (10 3) გაყოფისას მივიღებთ 0,1 3 (იკითხება "ნულოვანი წერტილი ერთი მესამედი") და 1-ის 2-ზე გაყოფისას იქნება 0,(1) 3.

ასე რომ, წილადის ჩანაწერის პერიოდულობა არ არის წილადი რიცხვის რაიმე ობიექტური მახასიათებელი, არამედ მხოლოდ გვერდითი ეფექტიამა თუ იმ რიცხვთა სისტემის გამოყენებით.