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Instrução

Anote o dado expressão logarítmica. Se a expressão usa o logaritmo de 10, então sua notação é encurtada e fica assim: lg b é logaritmo decimal. Se o logaritmo tem o número e como base, então a expressão é escrita: ln b é o logaritmo natural. Entende-se que o resultado de qualquer é a potência à qual o número base deve ser elevado para obter o número b.

Ao encontrar a soma de duas funções, basta diferenciá-las uma a uma e somar os resultados: (u+v)" = u"+v";

Ao encontrar a derivada do produto de duas funções, é necessário multiplicar a derivada da primeira função pela segunda e somar a derivada da segunda função, multiplicada pela primeira função: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Para encontrar a derivada do quociente de duas funções, é necessário, do produto da derivada do dividendo multiplicado pela função divisora, subtrair o produto da derivada do divisor pela função divisora, e dividir tudo isso pela função divisor ao quadrado. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Se uma função complexa é dada, então é necessário multiplicar a derivada de função interna e a derivada da externa. Seja y=u(v(x)), então y"(x)=y"(u)*v"(x).

Usando o obtido acima, você pode diferenciar quase qualquer função. Vejamos então alguns exemplos:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Há também tarefas para calcular a derivada em um ponto. Seja dada a função y=e^(x^2+6x+5), você precisa encontrar o valor da função no ponto x=1.
1) Encontre a derivada da função: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcule o valor da função em dado ponto y"(1)=8*e^0=8

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Conselho útil

Aprenda a tabela de derivadas elementares. Isso economizará muito tempo.

Fontes:

• derivada constante

Então, qual é a diferença entre equação racional do racional? Se a variável desconhecida estiver sob o sinal raiz quadrada, então a equação é considerada irracional.

Instrução

O principal método para resolver tais equações é o método de elevar ambos os lados equações em um quadrado. No entanto. isso é natural, o primeiro passo é se livrar do signo. Tecnicamente, esse método não é difícil, mas às vezes pode causar problemas. Por exemplo, a equação v(2x-5)=v(4x-7). Ao elevar ambos os lados ao quadrado, obtém-se 2x-5=4x-7. Tal equação não é difícil de resolver; x=1. Mas o número 1 não será dado equações. Por quê? Substitua a unidade na equação em vez do valor de X. E os lados direito e esquerdo conterão expressões que não fazem sentido. Tal valor não é válido para uma raiz quadrada. Portanto, 1 é uma raiz estranha e, portanto, dada equação não tem raízes.

Então, equação irracionalé resolvido usando o método da quadratura de ambas as suas partes. E tendo resolvido a equação, é necessário necessariamente cortar raízes estranhas. Para fazer isso, substitua as raízes encontradas na equação original.

Considere outro.
2x+vx-3=0
Claro, esta equação pode ser resolvida usando a mesma equação que a anterior. Compostos de Transferência equações, que não tem raiz quadrada, lado direito e, em seguida, use o método do quadrado. resolva a equação racional resultante e as raízes. Mas outro, mais elegante. Insira uma nova variável; vx=y. Assim, você obterá uma equação como 2y2+y-3=0. Ou seja, o habitual Equação quadrática. Encontre suas raízes; y1=1 e y2=-3/2. A seguir, resolva dois equações vx=1; vx \u003d -3/2. A segunda equação não tem raízes, da primeira encontramos que x = 1. Não se esqueça da necessidade de verificar as raízes.

Resolver identidades é bastante fácil. Isso requer fazer transformações idênticas até atingir o alvo. Assim, com a ajuda de simples operaçoes aritimeticas a tarefa será resolvida.

Você vai precisar

• - papel;
• - uma caneta.

Instrução

As mais simples dessas transformações são as multiplicações algébricas abreviadas (como o quadrado da soma (diferença), a diferença de quadrados, a soma (diferença), o cubo da soma (diferença)). Além disso, existem muitos fórmulas trigonométricas, que são essencialmente as mesmas identidades.

De fato, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro e o segundo mais o quadrado do segundo, ou seja, (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^ 2=a^2+2ab +b^2.

Simplifique ambos

Princípios gerais de solução

Repita o livro didático analise matemática ou matemática superior, que é uma integral definida. Como você sabe, a solução integral definida existe uma função cuja derivada dará um integrando. Esta funçãoé chamado de primitivo. De acordo com este princípio, as integrais básicas são construídas.
Definir por tipo integrando, qual dos integrais de tabela cabe em este caso. Nem sempre é possível determinar isso imediatamente. Muitas vezes, a forma tabular só se torna perceptível após várias transformações para simplificar o integrando.

Método de substituição variável

Se o integrando é função trigonométrica, cujo argumento é algum polinômio, então tente usar o método de substituição de variável. Para fazer isso, substitua o polinômio no argumento do integrando por alguma nova variável. Com base na razão entre a variável nova e a antiga, determine os novos limites de integração. Diferenciação dada expressão encontre o novo diferencial em . Assim você receberá o novo tipo a primeira integral, próxima ou mesmo correspondente a qualquer tabular.

Solução de integrais de segunda espécie

Se a integral for uma integral do segundo tipo, a forma vetorial do integrando, você precisará usar as regras para passar dessas integrais para escalares. Uma dessas regras é a razão Ostrogradsky-Gauss. Esta lei permite passar do fluxo do rotor de alguma função vetorial para uma integral tripla sobre a divergência de um determinado campo vetorial.

Substituição de limites de integração

Após encontrar a primitiva, é necessário substituir os limites de integração. Primeiro, substitua o valor do limite superior na expressão da primitiva. Você receberá algum número. Em seguida, subtraia do número resultante outro número, o limite inferior resultante para a primitiva. Se um dos limites de integração é infinito, então substituindo-o em função antiderivadaé preciso ir ao limite e descobrir para onde tende a expressão.
Se a integral for bidimensional ou tridimensional, você terá que representar os limites geométricos de integração para entender como calcular a integral. Afinal, no caso de, digamos, uma integral tridimensional, os limites de integração podem ser planos inteiros que limitam o volume a ser integrado.

O logaritmo de um número N Por razão uma é chamado de expoente X , para o qual você precisa aumentar uma para obter o número N

Providenciou que
,
,

Segue da definição do logaritmo que
, ou seja
- esta igualdade é a identidade logarítmica básica.

Logaritmos na base 10 são chamados de logaritmos decimais. Ao invés de
Escreva
.

logaritmos básicos e são chamados naturais e denotados
.

Propriedades básicas dos logaritmos.

O logaritmo da unidade para qualquer base é zero

Logaritmo do produto é igual à soma os logaritmos dos fatores.

3) O logaritmo do quociente é igual à diferença dos logaritmos

Fator
é chamado de módulo de transição de logaritmos na base uma para logaritmos na base b .

Usando as propriedades 2-5, muitas vezes é possível reduzir o logaritmo de uma expressão complexa ao resultado de operações aritméticas simples em logaritmos.

Por exemplo,

Tais transformações do logaritmo são chamadas de logaritmos. Transformações recíprocas de logaritmos são chamadas de potenciação.

Capítulo 2. Elementos de matemática superior.

1. Limites

limite de função
é um número finito A se, ao se esforçar xx 0 para cada predeterminado
, existe um número
que assim que
, então
.

Uma função que tem um limite difere dela por uma quantidade infinitesimal:
, onde - b.m.w., ou seja
.

Exemplo. Considere a função
.

Ao se esforçar
, função y vai para zero:

1.1. Teoremas básicos sobre limites.

Limite valor constanteé igual a esta constante

.

O limite da soma (diferença) de um número finito de funções é igual à soma (diferença) dos limites dessas funções.

Limite do produto de um número finito de funções é igual ao produto os limites dessas funções.

O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas funções se o limite do denominador não for igual a zero.

Limites notáveis

,
, Onde

1.2. Exemplos de cálculo de limite

No entanto, nem todos os limites são calculados tão facilmente. Mais frequentemente, o cálculo do limite é reduzido à divulgação da incerteza do tipo: ou .

.

2. Derivada de uma função

Vamos ter uma função
, contínua no segmento
.

Argumento tem algum impulso
. Então a função será incrementada
.

Valor do argumento corresponde ao valor da função
.

Valor do argumento
corresponde ao valor da função.

Consequentemente, .

Vamos encontrar o limite desta relação em
. Se este limite existir, então ele é chamado de derivada da função dada.

Definição da 3derivada de uma determinada função
por argumento é chamado de limite da razão do incremento da função para o incremento do argumento, quando o incremento do argumento tende arbitrariamente a zero.

Função derivada
pode ser denotado da seguinte forma:

; ; ; .

Definição 4A operação de encontrar a derivada de uma função é chamada diferenciação.

2.1. O significado mecânico da derivada.

Considere o movimento retilíneo de algum corpo rígido ou ponto material.

Deixe em algum momento ponto móvel
estava à distância da posição inicial
.

Depois de algum tempo
ela se mudou para longe
. Atitude =- velocidade média ponto material
. Vamos encontrar o limite dessa razão, levando em conta que
.

Daí a definição velocidade instantânea o movimento de um ponto material é reduzido a encontrar a derivada do caminho em relação ao tempo.

2.2. valor geométrico derivado

Suponha que tenhamos uma função definida graficamente
.

Arroz. 1. O significado geométrico da derivada

Se um
, então o ponto
, se moverá ao longo da curva, aproximando-se do ponto
.

Consequentemente
, ou seja o valor da derivada dado o valor do argumento numericamente igual à tangente do ângulo formado pela tangente em um ponto dado com a direção positiva do eixo
.

2.3. Mesa fórmulas básicas diferenciação.

Função liga-desliga

Função exponencial

função logarítmica

função trigonométrica

Função trigonométrica inversa

2.4. Regras de diferenciação.

Derivado de

Derivada da soma (diferença) de funções

Derivada do produto de duas funções

A derivada do quociente de duas funções

2.5. Derivado de função complexa.

Deixe a função
tal que pode ser representado como

e
, onde a variável é um argumento intermediário, então

A derivada de uma função complexa é igual ao produto da derivada da função dada em relação ao argumento intermediário pela derivada do argumento intermediário em relação a x.

Exemplo 1.

Exemplo2.

3. Função diferencial.

Deixe estar
, diferenciável em algum intervalo
deixa para lá no esta função tem uma derivada

,

então você pode escrever

(1),

Onde - uma quantidade infinitesimal,

porque em

Multiplicando todos os termos de igualdade (1) por
temos:

Onde
- b.m.v. ordem superior.

Valor
é chamado de diferencial da função
e denotado

.

3.1. O valor geométrico do diferencial.

Deixe a função
.

Figura 2. O significado geométrico do diferencial.

.

Obviamente, a diferencial da função
é igual ao incremento da ordenada da tangente no ponto dado.

3.2. Derivativos e diferenciais de várias ordens.

Se houver
, então
é chamada de primeira derivada.

A derivada da primeira derivada é chamada de derivada de segunda ordem e é escrita
.

Derivada da enésima ordem da função
chama-se derivada da ordem (n-1) e escreve-se:

.

A diferencial da diferencial de uma função é chamada de diferencial de segunda ordem ou diferencial de segunda ordem.

.

.

3.3 Resolver problemas biológicos por diferenciação.

Tarefa1. Estudos têm demonstrado que o crescimento de uma colônia de microrganismos obedece à lei
, Onde N – número de microrganismos (em milhares), t – tempo (dias).

b) A população da colônia aumentará ou diminuirá durante este período?

Responda. A colônia vai crescer em tamanho.

Tarefa 2. A água do lago é testada periodicamente para controlar o conteúdo de bactérias patogênicas. Pela t dias após o teste, a concentração de bactérias é determinada pela razão

.

Quando chegará a concentração mínima de bactérias no lago e será possível nadar nele?

Solução Uma função atinge max ou min quando sua derivada é zero.

,

Vamos determinar que o máximo ou mínimo será em 6 dias. Para fazer isso, tomamos a segunda derivada.

Resposta: Após 6 dias haverá uma concentração mínima de bactérias.