EU. Expressões nas quais, junto com letras, números, sinais podem ser usados operaçoes aritimeticas e colchetes são chamados de expressões algébricas.

Exemplos de expressões algébricas:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Como uma letra em uma expressão algébrica pode ser substituída por alguma vários números, então a letra é chamada de variável e a própria expressão algébrica é chamada de expressão com uma variável.

II. Se em uma expressão algébrica letras (variáveis) forem substituídas por seus valores e as ações especificadas forem executadas, o número resultante será chamado de valor da expressão algébrica.

Exemplos. Encontre o valor de uma expressão:

1) a + 2b -c para a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |s| -|z| em x = -8; y=-5; z = 6.

Solução.

1) a + 2b -c para a = -2; b = 10; c = -3,5. Em vez de variáveis, substituímos seus valores. Nós temos:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |s| -|z| em x = -8; y=-5; z = 6. Substituímos os valores indicados. Lembre-se que o módulo número negativoé igual ao seu número oposto, e o módulo número positivo igual a esse número. Nós temos:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Os valores de uma letra (variável) para os quais a expressão algébrica faz sentido são chamados de valores válidos da letra (variável).

Exemplos. Em que valores expressão variável não faz sentido?

Solução. Sabemos que é impossível dividir por zero, portanto, cada uma dessas expressões não fará sentido com o valor da letra (variável) que transforma o denominador da fração em zero!

No exemplo 1), este é o valor a = 0. De fato, se em vez de a substituirmos 0, então o número 6 precisará ser dividido por 0, mas isso não pode ser feito. Resposta: a expressão 1) não faz sentido quando a = 0.

No exemplo 2) o denominador x - 4 = 0 em x = 4, portanto, este valor x = 4 e não pode ser tomado. Resposta: a expressão 2) não faz sentido para x = 4.

No exemplo 3) o denominador é x + 2 = 0 para x = -2. Resposta: a expressão 3) não faz sentido em x = -2.

No exemplo 4) o denominador é 5 -|x| = 0 para |x| = 5. E como |5| = 5 e |-5| \u003d 5, então você não pode pegar x \u003d 5 e x \u003d -5. Resposta: a expressão 4) não faz sentido para x = -5 e para x = 5.
4. Duas expressões são chamadas identicamente iguais se para qualquer valores permitidos variáveis, os valores correspondentes dessas expressões são iguais.

Exemplo: 5 (a - b) e 5a - 5b são idênticos, pois a igualdade 5 (a - b) = 5a - 5b será verdadeira para quaisquer valores de a e b. A igualdade 5 (a - b) = 5a - 5b é uma identidade.

Identidade é uma igualdade que é válida para todos os valores admissíveis das variáveis ​​incluídas nela. Exemplos de identidades já conhecidas por você são, por exemplo, as propriedades de adição e multiplicação, propriedade distributiva.

A substituição de uma expressão por outra, identicamente igual a ela, é chamada de transformação idêntica ou simplesmente transformação de uma expressão. Transformações de identidade expressões com variáveis ​​são executadas com base nas propriedades das operações em números.

Exemplos.

a) converta a expressão para identicamente igual usando a propriedade distributiva da multiplicação:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Solução. Lembre-se da propriedade distributiva (lei) da multiplicação:

(a+b) c=a c+bc(lei distributiva da multiplicação em relação à adição: para multiplicar a soma de dois números por um terceiro número, você pode multiplicar cada termo por esse número e somar os resultados).
(a-b) c=a c-b c(lei distributiva da multiplicação em relação à subtração: para multiplicar a diferença de dois números por um terceiro número, você pode multiplicar por esse número reduzido e subtraído separadamente e subtrair o segundo do primeiro resultado).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) converter a expressão para identicamente igual usando a comutativa e propriedades associativas(leis de) adição:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Solução. Aplicamos as leis (propriedades) de adição:

a+b=b+a(deslocamento: a soma não muda com o rearranjo dos termos).
(a+b)+c=a+(b+c)(associativo: para adicionar um terceiro número à soma de dois termos, você pode adicionar a soma do segundo e do terceiro ao primeiro número).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

dentro) transforme a expressão em identicamente igual usando as propriedades comutativas e associativas (leis) da multiplicação:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 anos · (-1); 9) 3a · (-3) · 2 segundos.

Solução. Vamos aplicar as leis (propriedades) da multiplicação:

a b = b a(deslocamento: permutação de fatores não altera o produto).
(a b) c = a (b c)(combinativo: para multiplicar o produto de dois números por um terceiro número, você pode multiplicar o primeiro número pelo produto do segundo pelo terceiro).

Vamos resolver o problema.

O aluno comprou cadernos por 2 copeques. por um caderno e um livro por 8 copeques. Quanto ele pagou pela compra inteira?

Para descobrir o custo de todos os notebooks, você precisa multiplicar o preço de um notebook pelo número de notebooks. Isso significa que o custo dos notebooks será igual aos copeques.

O custo de toda a compra será

Observe que é costume omitir o sinal de multiplicação na frente de um multiplicador expresso por uma letra, é simplesmente implícito. Portanto, a entrada anterior pode ser representada da seguinte forma:

Obtivemos uma fórmula para resolver o problema. Mostra que para resolver o problema é preciso multiplicar o preço de um notebook pelo número de notebooks adquiridos e somar o custo de um livro didático ao produto.

Em vez da palavra "fórmula" para tais entradas, o nome "expressão algébrica" ​​também é usado.

Uma expressão algébrica é um registro que consiste em números indicados por números ou letras e conectados por sinais de ação.

Por brevidade, em vez de "expressão algébrica", eles às vezes dizem simplesmente "expressão".

Aqui estão mais alguns exemplos de expressões algébricas:

A partir desses exemplos, vemos que uma expressão algébrica pode consistir em apenas uma letra, ou pode não conter nenhum número, indicado por letras (dois exemplos recentes). Naquilo último caso expressão também é chamada de expressão aritmética.

Vamos dar à letra o valor 5 na expressão algébrica que recebemos (significa que o aluno comprou 5 cadernos). Substituindo o número 5, temos:

que é igual a 18 (ou seja, 18 copeques).

O número 18 é o valor desta expressão algébrica quando

O valor de uma expressão algébrica é o número que será obtido se substituirmos os dados de seus valores​​ nesta expressão em vez de letras e realizarmos as ações indicadas sobre os números.

Por exemplo, podemos dizer: o valor da expressão at é 12 (12 copeques).

O valor da mesma expressão para é 14 (14 copeques), etc.

Vemos que o significado de uma expressão algébrica depende de quais valores damos às letras incluídas nela. É verdade que às vezes acontece que o significado de uma expressão não depende dos significados das letras incluídas nela. Por exemplo, a expressão é igual a 6 para quaisquer valores de a.

Vamos encontrar na forma de um exemplo valores numéricos expressões para valores diferentes letras a e b.

Substituir em dada expressão em vez de a, o número 4, e em vez de 6, o número 2 e calcule a expressão resultante:

Assim, quando o valor da expressão For for igual a 16.

Da mesma forma, descobrimos que quando o valor da expressão é 29, quando e é igual a 2, etc.

Os resultados dos cálculos podem ser escritos na forma de uma tabela que mostrará claramente como o valor da expressão muda dependendo da mudança nos valores das letras incluídas nela.

Vamos criar uma tabela com três linhas. Na primeira linha escreveremos os valores a, na segunda - os valores 6 e

no terceiro - os valores da expressão. Obtemos essa tabela.

As aulas de álgebra nos apresentam Vários tipos expressões. À medida que novos materiais chegam, as expressões tornam-se mais complexas. Quando você se familiariza com os poderes, eles são adicionados gradualmente à expressão, complicando-a. Isso também acontece com frações e outras expressões.

Para tornar o estudo do material o mais conveniente possível, isso é feito por certos nomes para poder destacá-los. Este artigo dará revisão completa todas as expressões algébricas da escola básica.

Monômios e polinômios

Monômios e polinômios de expressões são estudados em currículo escolar a partir do 7º ano. Os livros didáticos deram definições desse tipo.

Definição 1

monômios são números, variáveis, seus graus com indicador natural, quaisquer trabalhos feitos com a ajuda deles.

Definição 2

polinômiosé chamada de soma de monômios.

Se tomarmos, por exemplo, o número 5, a variável x, o grau z 7, então os produtos da forma 5x e 7 x 2 7 x 7 são considerados membros únicos. Quando a soma dos monômios da forma é tomada 5+x ou z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, então obtemos um polinômio.

Para distinguir um monômio de um polinômio, preste atenção aos graus e suas definições. O conceito de coeficiente é importante. Quando lançado termos semelhantes eles são divididos no termo livre do polinômio ou o coeficiente principal.

Na maioria das vezes, algumas ações são executadas em monômios e polinômios, após o que a expressão é reduzida para ver um monômio. Adição, subtração, multiplicação e divisão são realizadas, contando com um algoritmo para realizar operações em polinômios.

Quando há uma variável, é possível dividir o polinômio em um polinômio, que é representado como um produto. Essa ação é chamada de fatoração de um polinômio.

Frações racionais (algébricas)

O conceito de frações racionais é estudado no 8º ano ensino médio. Alguns autores os chamam frações algébricas.

Definição 3

Fração algébrica racional Eles chamam uma fração na qual polinômios ou monômios, números, tomam o lugar do numerador e do denominador.

Considere o exemplo do registro frações racionais do tipo 3 x + 2 , 2 a + 3 b 4 , x 2 + 1 x 2 - 2 e 2 2 x + - 5 1 5 y 3 x x 2 + 4 . Com base na definição, podemos dizer que toda fração é considerada uma fração racional.

As frações algébricas podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas, divididas, elevadas a uma potência. Isso é discutido com mais detalhes na seção sobre operações com frações algébricas. Se for necessário converter uma fração, eles costumam usar a propriedade de redução e redução a um denominador comum.

Expressões Racionais

NO curso escolar o conceito de frações irracionais está sendo estudado, pois é necessário trabalhar com expressões racionais.

Definição 4

Expressões Racionais são consideradas expressões numéricas e alfabéticas, onde números e letras racionais são usados ​​com adição, subtração, multiplicação, divisão, elevando a uma potência inteira.

Expressões racionais podem não ter sinais pertencentes à função que levam à irracionalidade. Expressões racionais não contêm raízes, graus com frações indicadores irracionais, graus com variáveis ​​no expoente, expressões logarítmicas, funções trigonométricas e assim por diante.

Com base na regra acima, daremos exemplos de expressões racionais. Da definição acima, temos que tanto uma expressão numérica da forma 1 2 + 3 4, quanto 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 , 3 são considerados racionais. Expressões contendo designações de letras, também se refere ao racional a 2 + b 2 3 a - 0 , 5 b , com variáveis ​​da forma a x 2 + b x + c e x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

Tudo expressões racionais subdividido em inteiros e frações.

Expressões racionais inteiras

Definição 5

Expressões racionais inteiras são tais expressões que não contêm divisão em expressões com variáveis ​​de grau negativo.

Da definição, temos que uma expressão racional inteira também é uma expressão contendo letras, por exemplo, a + 1 , uma expressão contendo várias variáveis, por exemplo, x 2 · y 3 − z + 3 2 e a + b 3 .

Expressões como x: (y − 1) e 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 não podem ser inteiros racionais, pois possuem divisão por uma expressão com variáveis.

Expressões racionais fracionárias

Definição 6

Expressão racional fracionáriaé uma expressão que contém a divisão por uma expressão com variáveis ​​de grau negativo.

Segue da definição que expressões racionais fracionárias podem ser 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 e 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .

Se considerarmos expressões desse tipo (2 x - x 2): 4 e a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2, então elas não são consideradas racionais fracionárias, pois não possuem expressões com variáveis ​​em o denominador.

Expressões com poderes

Definição 7

Expressões que contêm potências em qualquer parte da notação são chamadas expressões de poder ou expressões de poder.

Para o conceito, damos um exemplo de tal expressão. Eles não podem conter variáveis, por exemplo, 2 3 , 32 - 1 5 + 1 . 5 3 . 5 · 5 - 2 5 - 1 . 5 . Expressões de poder da forma 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 também são típicas. Para resolvê-los, é necessário realizar algumas transformações.

Expressões irracionais, expressões com raízes

A raiz, que tem um lugar na expressão, dá-lhe um nome diferente. Eles são chamados de irracionais.

Definição 8

Expressões irracionais expressões de nome que têm sinais de raízes no registro.

Pode-se ver a partir da definição que estas são expressões da forma 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x y , 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x e x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . Cada um deles tem pelo menos um ícone de raiz. As raízes e os graus estão conectados, então você pode ver expressões como x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3.

Expressões trigonométricas

Definição 9

expressão trigonométrica são expressões contendo sin , cos , tg e ctg e seus inversos - arcsin , arccos , arctg e arcctg .

Exemplos de funções trigonométricas são óbvios: sen π 4 cos π 6 cos 6 x - 1 e 2 sen x t g 2 x + 3 , 4 3 t g π - arcsin - 3 5 .

Para trabalhar com essas funções, você precisa usar as propriedades, fórmulas básicas direto e funções inversas. A transformação do artigo de funções trigonométricas revelará essa questão com mais detalhes.

Expressões logarítmicas

Depois de nos familiarizarmos com os logaritmos, podemos falar sobre expressões logarítmicas complexas.

Definição 10

Expressões que possuem logaritmos são chamadas logarítmico.

Um exemplo de tais funções seria log 3 9 + ln e , log 2 (4 a b) , log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Você pode encontrar tais expressões onde existem graus e logaritmos. Isso é compreensível, pois da definição do logaritmo segue que este é um expoente. Então obtemos expressões como x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 .

Para aprofundar o estudo do material, você deve consultar o material sobre a transformação de expressões logarítmicas.

Frações

Existem expressões tipo especial, que são chamadas de frações. Como eles têm um numerador e um denominador, eles podem conter não apenas valores numéricos, mas também expressões de qualquer tipo. Considere a definição de fração.

Definição 11

Tomada eles chamam tal expressão que tem um numerador e um denominador, na qual existem designações ou expressões numéricas e alfabéticas.

Exemplos de frações que têm números no numerador e denominador são assim 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , -e π , (− 15) (− 2) . O numerador e o denominador podem conter tanto números quanto expressões literais da forma (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 tgα, 2 + ln 5 lnx.

Embora expressões como 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 não sejam frações, no entanto, elas têm uma fração em sua notação.

Expressão geral

As classes seniores consideram tarefas de maior dificuldade, que contém todas as tarefas combinadas do grupo C no USE. Essas expressões são particularmente complexas e têm várias combinações de raízes, logaritmos, potências e funções trigonométricas. Estes são trabalhos como x 2 - 1 sen x + π 3 ou sen a r c t g x - a x 1 + x 2 .

Sua aparência indica que pode ser atribuída a qualquer uma das espécies acima. Na maioria das vezes não são classificados como nenhum, pois possuem um solução combinada. São considerados expressões visão geral, e nenhum esclarecimento ou expressão adicional é usado para a descrição.

Ao resolver tal expressão algébrica, é sempre necessário prestar atenção à sua notação, à presença de frações, potências ou expressões adicionais. Isso é necessário para determinar com precisão a maneira de resolvê-lo. Se você não tiver certeza sobre seu nome, é recomendável chamá-lo de expressão tipo geral e decidir de acordo com o algoritmo acima.

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Propriedades do grau:

(1) a m ⋅ a n = a m + n

Exemplo:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

Exemplo:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 - 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n

Exemplo:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

Exemplo:

$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = a m ⋅ n

Exemplo:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

Exemplos:

$$(a^( - 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( - 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

Propriedades raiz quadrada:

(1) a b = a ⋅ b , para a ≥ 0 , b ≥ 0

Exemplo:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b , para a ≥ 0 , b > 0

Exemplo:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a , para a ≥ 0

Exemplo:

(4) a 2 = | um | para qualquer um

Exemplos:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

Racional e números irracionais

Números racionais são números que podem ser representados como fração comum m n

Exemplos de números racionais:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

Números irracionais - números que não podem ser representados como uma fração ordinária m n, são frações decimais não periódicas infinitas.

Exemplos de números irracionais:

e = 2,71828182845…

π = 3,1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

Simplificando, os números irracionais são números que contêm o sinal da raiz quadrada em sua notação. Mas nem tudo é tão simples. Alguns números racionais se disfarçam de irracionais, por exemplo, o número 4 contém um sinal de raiz quadrada em sua notação, mas sabemos que podemos simplificar a notação 4 = 2. Isso significa que o número 4 é um número racional.

Da mesma forma, o número 4 81 = 4 81 = 2 9 é um número racional.

Alguns problemas exigem que você determine quais números são racionais e quais são irracionais. A tarefa é entender quais números são irracionais e quais estão disfarçados como eles. Para fazer isso, você precisa ser capaz de realizar as operações de tirar o fator sob o sinal da raiz quadrada e introduzir o fator sob o sinal da raiz.

Inserção e remoção do fator para o sinal da raiz quadrada

Ao tirar o fator do sinal da raiz quadrada, você pode simplificar significativamente algumas expressões matemáticas.

Exemplo:

Simplifique a expressão 2 8 2 .

1 via (tirando o multiplicador de baixo do sinal da raiz): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

Método 2 (introduzindo um multiplicador sob o sinal da raiz): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Fórmulas de multiplicação abreviadas (FSU)

soma quadrada

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Exemplo:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

O quadrado da diferença

(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

Exemplo:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

Soma de quadrados não fatora

a 2 + b 2 ≠

Diferença de quadrados

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

Exemplo:

25 x 2 - 4 anos 2 = (5 x) 2 - (2 anos) 2 = (5 x - 2 anos) (5 x + 2 anos)

cubo de soma

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Exemplo:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

cubo de diferença

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Exemplo:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

Soma de cubos

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

Exemplo:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

Diferença de cubos

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

Exemplo:

x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

Forma padrão de número

Para entender como trazer arbitrariedade número racional para modo de exibição padrão, você precisa saber qual é o primeiro dígito significativo do número.

Primeiro figura significante números chame-o de primeiro dígito diferente de zero à esquerda.

Exemplos:
2 5 ; 3, 05; 0, 143; 0 , 00 1 2 . O primeiro dígito significativo é destacado em vermelho.

Para converter um número para a forma padrão:

1. Desloque a vírgula para que fique imediatamente após o primeiro dígito significativo.
2. Multiplique o número resultante por 10 n, onde n é um número, que é definido da seguinte forma:
3. n > 0 se a vírgula foi deslocada para a esquerda (multiplicando por 10 n indica que a vírgula deve estar realmente para a direita);
4. n< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. o valor absoluto do número n é igual ao número de dígitos pelos quais a vírgula foi deslocada.

Exemplos:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

A vírgula foi movida para a esquerda em 1 dígito. Como a vírgula é deslocada para a esquerda, o expoente é positivo.

Já trouxe para o formulário padrão, você não precisa fazer nada com ele. Pode ser escrito como 3,05 ⋅ 10 0 , mas como 10 0 = 1, deixamos o número em sua forma original.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

A vírgula foi movida para a direita em 1 dígito. Como a vírgula é deslocada para a direita, o expoente é negativo.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

A vírgula se moveu três lugares para a direita. Como a vírgula é deslocada para a direita, o expoente é negativo.

As expressões algébricas começam a ser estudadas na 7ª série. Eles têm uma série de propriedades e são usados ​​na resolução de problemas. Vamos estudar este tópico com mais detalhes e considerar um exemplo de solução do problema.

Definição do conceito

Quais expressões são chamadas de algébricas? isto notação matemática, composto por números, letras e sinais de operações aritméticas. A presença de letras é a principal diferença entre expressões numéricas e algébricas. Exemplos:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

Uma letra em expressões algébricas representa um número. Portanto, é chamado de variável - no primeiro exemplo é a letra a, no segundo - b e no terceiro - c. A própria expressão algébrica também é chamada expressão variável.

Valor da expressão

Significado de uma expressão algébricaé o número obtido como resultado da execução de todas as operações aritméticas especificadas nesta expressão. Mas, para obtê-lo, as letras devem ser substituídas por números. Portanto, os exemplos sempre indicam qual número corresponde à letra. Considere como encontrar o valor da expressão 8a-14*(5-a) se a=3.

Vamos substituir o número 3 em vez da letra A. Obtemos a seguinte entrada: 8*3-14*(5-3).

Como em expressões numéricas, a solução de uma expressão algébrica é realizada de acordo com as regras para realizar operações aritméticas. Vamos resolver tudo em ordem.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Assim, o valor da expressão 8a-14*(5-a) para a=3 é -4.

O valor de uma variável é dito válido se a expressão faz sentido para ela, ou seja, é possível encontrar sua solução.

Um exemplo de variável válida para a expressão 5:2a é o número 1. Substituindo-o na expressão, obtemos 5:2*1=2,5.

A variável inválida para esta expressão é 0. Se substituirmos zero na expressão, obtemos 5:2*0, ou seja, 5:0. Você não pode dividir por zero, então a expressão não faz sentido.

Expressões de identidade

Se duas expressões são iguais para quaisquer valores de suas variáveis ​​constituintes, elas são chamadas idêntico.
Exemplo de expressões idênticas :
4(a+c) e 4a+4c.
Quaisquer que sejam os valores que as letras a e c assumam, as expressões serão sempre iguais. Qualquer expressão pode ser substituída por outra, idêntica a ela. Esse processo é chamado de transformação de identidade.

Um exemplo de uma transformação idêntica .
4*(5a+14c) - esta expressão pode ser substituída por uma idêntica aplicando lei matemática multiplicação. Para multiplicar um número pela soma de dois números, você precisa multiplicar esse número por cada termo e adicionar os resultados.

• 4*5a=20a.
• 4*14s = 64s.
• 20a + 64s.

Assim, a expressão 4*(5a+14c) é idêntica a 20a+64c.

O número que precede a variável literal em uma expressão algébrica é chamado de coeficiente. Coeficiente e variável são multiplicadores.

Solução de problemas

Expressões algébricas são usadas para resolver problemas e equações.
Vamos considerar o problema. Petya veio com um número. Para que o colega Sasha adivinhasse, Petya lhe disse: primeiro somei 7 ao número, depois subtraí 5 e multipliquei por 2. Como resultado, obtive o número 28. Que número adivinhei?

Para resolver o problema, você precisa designar o número oculto com a letra a e, em seguida, executar todas as ações indicadas com ele.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Agora vamos resolver a equação resultante.

Petya adivinhou o número 12.

O que aprendemos?

Uma expressão algébrica é um registro composto de letras, números e sinais de operações aritméticas. Cada expressão tem um valor que é encontrado fazendo toda a aritmética na expressão. A letra em uma expressão algébrica é chamada de variável e o número na frente dela é chamado de coeficiente. Expressões algébricas são usadas para resolver problemas.