Definição 3. Um corpo de revolução é um corpo obtido pela rotação de uma figura plana em torno de um eixo que não intercepta a figura e está no mesmo plano com ela.

O eixo de rotação também pode cruzar a figura se for o eixo de simetria da figura.

Teorema 2.
, eixo
e segmentos de reta
e

gira em torno de um eixo
. Então o volume do corpo de revolução resultante pode ser calculado pela fórmula

(2)

Prova. Para tal corpo, a seção com a abcissa é um círculo de raio
, meios
e a fórmula (1) dá o resultado desejado.

Se a figura é limitada pelos gráficos de duas funções contínuas
e
, e segmentos de linha
e
, além disso
e
, então ao girar em torno do eixo das abcissas, obtemos um corpo cujo volume

Exemplo 3 Calcule o volume de um toro obtido pela rotação de um círculo limitado por um círculo

em torno do eixo x.

R solução. O círculo especificado é limitado por baixo pelo gráfico da função
, e acima -
. A diferença dos quadrados dessas funções:

Volume desejado

(o gráfico do integrando é o semicírculo superior, então a integral escrita acima é a área do semicírculo).

Exemplo 4 Segmento parabólico com base
, e altura , gira em torno da base. Calcule o volume do corpo resultante ("limão" de Cavalieri).

R solução. Coloque a parábola como mostra a figura. Então sua equação
, e
. Vamos encontrar o valor do parâmetro :
. Então, o volume desejado:

Teorema 3. Seja um trapézio curvilíneo limitado pelo gráfico de uma função contínua não negativa
, eixo
e segmentos de reta
e
, além disso
, gira em torno de um eixo
. Então o volume do corpo de revolução resultante pode ser encontrado pela fórmula

(3)

ideia de prova. Dividindo o segmento
pontos

, em partes e desenhe linhas retas
. Todo o trapézio se decomporá em tiras, que podem ser consideradas aproximadamente retângulos com base
e altura
.

O cilindro resultante da rotação de tal retângulo é cortado ao longo da geratriz e desdobrado. Obtemos um “quase” paralelepípedo com dimensões:
,
e
. Seu volume
. Assim, para o volume de um corpo de revolução teremos uma igualdade aproximada

Para obter a igualdade exata, devemos passar ao limite em
. A soma escrita acima é a soma integral para a função
, portanto, no limite obtemos a integral da fórmula (3). O teorema foi provado.

Observação 1. Nos Teoremas 2 e 3, a condição
pode ser omitida: a fórmula (2) é geralmente insensível ao sinal
, e na fórmula (3) é suficiente
substituído por
.

Exemplo 5 Segmento parabólico (base
, altura ) gira em torno da altura. Encontre o volume do corpo resultante.

Decisão. Organize a parábola como mostra a figura. E embora o eixo de rotação cruze a figura, ele - o eixo - é o eixo de simetria. Portanto, apenas a metade direita do segmento deve ser considerada. Equação da parábola
, e
, meios
. Temos para o volume:

Observação 2. Se o limite curvilíneo de um trapézio curvilíneo é dado pelas equações paramétricas
,
,
e
,
então as fórmulas (2) e (3) podem ser usadas com a substituição no
e
no
quando isso mudar t a partir de
antes .

Exemplo 6 A figura é limitada pelo primeiro arco da ciclóide
,
,
, e o eixo das abcissas. Encontre o volume do corpo obtido girando esta figura em torno de: 1) o eixo
; 2) eixos
.

Decisão. 1) Fórmula geral
No nosso caso:

2) Fórmula geral
Para nossa figura:

Incentivamos os alunos a fazer todos os cálculos sozinhos.

Observação 3. Seja um setor curvilíneo delimitado por uma linha contínua
e raios
,

, gira em torno do eixo polar. O volume do corpo resultante pode ser calculado pela fórmula.

Exemplo 7 Parte de uma figura limitada por um cardióide
, fora do círculo
, gira em torno do eixo polar. Encontre o volume do corpo resultante.

Decisão. Ambas as linhas e, portanto, a figura que elas limitam, são simétricas em relação ao eixo polar. Portanto, é necessário considerar apenas a parte para a qual
. As curvas se cruzam em
e

no
. Além disso, a figura pode ser considerada como a diferença de dois setores e, portanto, o volume pode ser calculado como a diferença de duas integrais. Nós temos:

Tarefas para uma solução independente.

1. Um segmento circular cuja base
, altura , gira em torno da base. Encontre o volume do corpo de revolução.

2. Encontre o volume de um parabolóide de revolução cuja base , e a altura é .

3. Figura delimitada por um astroide
,
gira em torno do eixo x. Encontre o volume do corpo, que é obtido neste caso.

4. Figura delimitada por linhas
e
gira em torno do eixo x. Encontre o volume do corpo de revolução.

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corpos de revolução chamam corpos limitados por uma superfície de revolução ou por uma superfície de revolução e um plano (Figura 134). Sob a superfície de revolução entende-se a superfície obtida a partir da rotação de uma linha ( ABCDE ), plana ou espacial, chamada de geratriz, em torno de uma linha fixa ( eu ) - eixos de rotação.

Figura 134

Qualquer ponto na geratriz da superfície de rotação descreve um círculo localizado em um plano perpendicular ao eixo de rotação - paralelo, portanto, o plano perpendicular ao eixo de revolução sempre intercepta a superfície de revolução em um círculo. O maior paralelo - equador. O menor paralelo - garganta(pescoço).

Os planos que passam pelo eixo de rotação são chamados planos meridionais.

Em um desenho complexo, a representação dos corpos de revolução é realizada por meio da representação das arestas das bases e das linhas dos contornos da superfície.

As linhas de intersecção dos planos meridionais com a superfície são chamadas meridianos.

O plano meridional paralelo ao plano de projeção é chamado plano meridional principal. A linha de sua interseção com a superfície - meridiano principal.

Cilindro circular reto. Um cilindro circular reto (Figura 135) é um corpo limitado por uma superfície cilíndrica de revolução e dois círculos - as bases do cilindro localizadas em planos perpendiculares ao eixo do cilindro. Superfície cilíndrica de revolução chamou a superfície obtida pela rotação de uma geratriz retilínea AA 1 em torno de uma linha reta fixa paralela a ela - eu (eixo de rotação). As dimensões que caracterizam um cilindro circular reto são seu diâmetro CC e altura eu (distância entre as bases do cilindro).

Figura 135

Um cilindro circular reto também pode ser considerado como um corpo obtido pela rotação de um retângulo. ABCD em torno de um de seus lados, por exemplo, sol (Figura 136). Lateral sol é o eixo de rotação e o lado DE ANÚNCIOS - geratriz do cilindro. Os outros dois lados marcarão as bases do cilindro.

Figura 136

Retângulo AB e CD quando girados, eles formam círculos - as bases do cilindro.

Construção de projeções cilíndricas.

A construção das projeções horizontais e frontais do cilindro começa com a imagem da base do cilindro, ou seja, duas projeções do círculo (ver Figura 135, b). Como o círculo está em um plano H , então ele é projetado neste plano sem distorção. A projeção frontal de um círculo é um segmento de uma linha reta horizontal igual ao diâmetro do círculo base.

Depois de construir a base na projeção frontal, duas geradores de esboços(geradores extremos) e a altura do cilindro é plotada neles. Traça-se um segmento de linha horizontal, que é uma projeção frontal da base superior do cilindro (Figura 135, c).

Determinação das projeções faltantes dos pontos A e B localizados na superfície do cilindro, de acordo com as projeções frontais dadas dentro este caso não causa dificuldades, pois toda a projeção horizontal da superfície lateral do cilindro é um círculo (Figura 137, a). Portanto, as projeções horizontais dos pontos MAS e NO pode ser encontrado deslizando dos pontos fornecidos UMA"" e B"" linhas de comunicação verticais até se cruzarem com o círculo nos pontos desejados UMA" e B".

Projeções de perfil de pontos MAS e NO Eles também são construídos usando linhas de comunicação verticais e horizontais.

Vista isométrica de um cilindro desenhar, como mostrado na Figura 137, b.

No ponto isométrico MAS e NO construídas de acordo com suas coordenadas. Por exemplo, para construir um ponto NO da origem O ao longo do eixo x adiar a coordenada ∆x , e então uma linha reta é traçada através de sua extremidade, paralela ao eixo no , até cruzar com o contorno base no ponto 2 . A partir deste ponto, uma linha reta é traçada paralela ao eixo z, na qual a coordenada é traçada Z B , pontos NO .

Figura 137

Em linha reta cone circular . Um cone circular reto (Figura 138) é um corpo limitado por uma superfície cônica de revolução e um círculo localizado em um plano perpendicular ao eixo do cone. superfície cônica obtido pela rotação de uma geratriz retilínea SA (Figura 138, a), passando por ponto fixoS no eixo de rotação eu e fazendo algum ângulo constante com este eixo. Ponto S chamado o topo do cone, e a superfície cônica é a superfície lateral do cone. O tamanho de um cone circular reto caracteriza o diâmetro de sua base D K e altura H .

Figura 138

Um cone circular reto também pode ser considerado como um corpo obtido pela rotação de um triângulo retângulo SAB em torno de sua perna SB (Figura 139). Com esta rotação, a hipotenusa descreve superfície cônica, e a perna AB - círculo, ou seja, a base do cone.

Figura 139

Construção de projeções de cone.

A sequência de construção de duas projeções do cone é mostrada na Figura 167, b e c. Primeiro, são construídas duas projeções da base. A projeção horizontal da base é um círculo. A projeção frontal será um segmento de linha horizontal igual ao diâmetro desse círculo (Figura 138, b). Na projeção frontal, uma perpendicular é erguida a partir do meio da base, e a altura do cone é colocada sobre ela (Figura 138, c). A projeção frontal resultante do topo do cone é conectada por linhas retas com as extremidades da projeção frontal da base e obtém-se uma projeção frontal do cone.

Construindo pontos na superfície de um cone

Se uma projeção pontual é dada na superfície do cone MAS (por exemplo, a projeção frontal na Figura 140), então as outras duas projeções deste ponto são determinadas usando linhas auxiliares - uma geratriz localizada na superfície do cone e desenhada através do ponto MAS , ou um círculo localizado em um plano paralelo à base do cone.

Figura 140

No primeiro caso (Figura 140, a) pelo ponto UMA realizar uma projeção frontal 1""S"" geradora auxiliar. Usando uma linha vertical de comunicação desenhada a partir do ponto 1 , localizado na projeção frontal do círculo base, encontre a projeção horizontal 1" esta geratriz, na qual, com a ajuda de uma linha de comunicação que passa por UMA" , encontrar ponto desejado UMA .

No segundo caso (Figura 140, b) uma linha auxiliar passando pelo ponto MAS , haverá um círculo localizado sobre uma superfície cônica e paralelo ao plano H - paralelo. A projeção frontal deste círculo é representada como um segmento 1""1"" linha reta horizontal, cujo valor é igual ao diâmetro do círculo auxiliar. Projeção horizontal desejada UMA" pontos MAS está localizado na interseção da linha de comunicação, abaixado do ponto UMA" , com uma projeção horizontal do círculo auxiliar.

Se uma determinada projeção frontal 1"" pontos 1 localizado na geratriz do contorno (contorno), então a projeção horizontal do ponto é sem linhas auxiliares.

NO vista isométrica apontar MAS , localizado na superfície do cone, é construído em três coordenadas (ver Figura 140, c):  X ,  S e Z MAS O ao longo do eixo X coordenada atrasada  X  S z Z MAS MAS .

Bola. Uma bola (Figura 141) é um corpo obtido pela rotação de um semicírculo abc (gerando) em torno de seu diâmetro CA (eixo de rotação), e a superfície que o arco descreve neste caso abc , é chamado esférico ou esférico. Uma bola refere-se a corpos limitados apenas por uma superfície de revolução.

Figura 141

Bola superfície (esférica) é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto O chamado centro de bola. Se a bola for cortada por planos horizontais, os círculos serão obtidos na seção - paralelos. A maior das paralelas tem um diâmetro igual ao diâmetro da bola. Tal círculo é chamado equador. Os círculos obtidos como resultado de seções da bola por planos que passam pelo seu eixo de rotação são chamados meridianos.

Construção de projeções da bola e pontos em sua superfície

As projeções da bola são mostradas na Figura 142, a. Projeções horizontais e frontais - círculos de raio igual ao raio da esfera.

Figura 142

Se ponto MAS localizado em superfície esférica, então a linha auxiliar 1"" 2"" , desenhado por este ponto paralelo ao eixo Oh (paralelo), é projetada no plano de projeção horizontal por um círculo. Na projeção horizontal do círculo auxiliar, a projeção horizontal desejada é encontrada usando a linha de comunicação UMA" pontos MAS .

O valor do diâmetro do círculo auxiliar é igual à projeção frontal 1""2"" .

Imagem axonométrica esferas (bola) é feita na forma de um círculo (Figura 142 b), cujo raio é definido geometricamente como a distância do centro da esfera até a projeção do equador (elipse) ao longo de seu eixo maior (perpendicular ao Oz ).

Na projeção axonométrica, um ponto MAS , localizado na superfície da bola, é construído de acordo com três coordenadas: X MAS ,S MAS e Z MAS . Essas coordenadas são plotadas sequencialmente em direções paralelas aos eixos isométricos. No exemplo em consideração, do ponto O ao longo do eixo X coordenada atrasada X MAS ; uma linha reta é traçada a partir de sua extremidade paralela ao eixo y, na qual a coordenada é plotada S MAS ; da extremidade do segmento, paralelamente ao eixo z uma linha reta é desenhada, na qual a coordenada é plotada Z MAS . Como resultado das construções, obtemos o ponto desejado MAS .

Thor- um corpo (Figura 143) formado pela rotação de um círculo ou seu arco em torno de um eixo localizado no mesmo plano que ele, mas que não passa pelo centro do círculo ou seu arco.

Figura 143

Se o eixo de rotação não cruza o círculo gerador, então o toro é chamado anel(tórus aberto) (Figura 143, a). Se o eixo de rotação cruza o círculo gerador, então acontece toro em forma de barril(Toro fechado ou toro que se cruza) (Figura 143, b). Neste último caso, a geratriz da superfície do toro é o arco abc círculos.

O maior dos círculos que descrevem os pontos da geratriz da superfície do toro é chamado equador, e o menor garganta, ou pescoço.

Construção de projeções de toro

Um anel circular (ou um toro aberto) tem uma projeção horizontal na forma de dois círculos concêntricos, cuja diferença de raios é igual à espessura do anel ou ao diâmetro do círculo gerador (Figura 145). A projeção frontal é limitada à direita e à esquerda por arcos de semicírculos do diâmetro do círculo gerador.

A Figura 144, aeb mostra dois tipos de toro fechado. No primeiro caso, o arco gerador de um círculo de raio R longe do eixo de rotação a uma distância menor que o raio R , e no segundo caso - mais. Em ambos os casos, as projeções frontais do toro são uma visão real de dois arcos geradores de um círculo de raio R localizado simetricamente em relação à projeção frontal do eixo de rotação. As projeções de perfil do toro serão círculos.

Figura 144

Construindo pontos na superfície de um toro

No caso em que o ponto MAS encontra-se na superfície de um anel circular e uma de suas projeções é dada, para encontrar a segunda projeção deste ponto, um círculo auxiliar é usado passando por dado ponto MAS e localizado na superfície do anel em um plano perpendicular ao eixo do anel (Figura 145).

Se a projeção frontal estiver definida UMA"" pontos MAS deitado na superfície do anel, então encontrar sua segunda projeção (neste caso, horizontal) através UMA" realizar uma projeção frontal do círculo auxiliar - um segmento de uma linha reta horizontal 2""2"" . Em seguida, construa uma projeção horizontal 2"2" este círculo e nele, usando uma linha de comunicação, encontre um ponto UMA" .

Se a projeção horizontal for dada B" pontos B localizado na superfície deste anel, então encontrar a projeção frontal deste ponto através 1" realizar uma projeção horizontal do círculo auxiliar de raio R 1 . Em seguida, através dos pontos esquerdo e direito 1" e 1" deste círculo, linhas de comunicação verticais são traçadas até se cruzarem com as projeções frontais da geratriz do esboço do círculo de raio R e ganhe pontos 1"" e 1"" . Esses pontos são conectados por uma linha horizontal, que é uma projeção frontal do círculo auxiliar (será visível). Desenhar uma linha vertical a partir de um ponto B" até a intersecção com a linha 1""1"" obter o ponto desejado B"" .

As mesmas técnicas de construção são aplicáveis ​​a pontos localizados na superfície do toro.

Figura 145

Construindo uma imagem axonométrica O toro pode ser dividido em três estágios (Figura 146). Primeiro, uma projeção da linha axial radial (a trajetória do centro do círculo gerador) é construída na forma de uma elipse. Em seguida, determinamos o raio da esfera tocando o toro ao longo da geratriz (círculo). Para isso, construímos a projeção da geratriz do esboço frontal do toro na forma de uma elipse menor. O raio da esfera é definido como o comprimento do segmento O 1 F do centro da elipse a um ponto nessa elipse que se encontra no eixo maior da elipse (perpendicular Oi ). Em seguida, construímos um grande número de círculos com um raio R esferas com centros na projeção do toro axial radial O 1 … O n (quanto mais, mais preciso será o contorno do futuro toro). Finalmente, desenhamos a linha de contorno do toro como uma linha tangente a cada círculo da esfera.

Figura 146

NO projeção axonométrica apontar MAS , localizado na superfície do toro, é construído de acordo com três coordenadas: X MAS ,S MAS e Z MAS . Essas coordenadas são plotadas sequencialmente em direções paralelas aos eixos isométricos.

As superfícies de revolução e os corpos limitados por elas têm ampla aplicação em muitas áreas da tecnologia: um balão de tubo de raios catódicos (Fig. 8.11, uma), centro do torno (Fig. 8.11, b) ressonador de microondas volumétrico oscilações eletromagnéticas(Fig. 8.11, dentro), navio dewar de armazenamento ar líquido(Fig. 8.11, G), coletor de elétrons de um poderoso dispositivo de raios catódicos (Fig. 8.11, e), etc.

Dependendo do tipo de geratriz da superfície, as rotações podem ser regradas, não lineares, ou consistir em partes de tais superfícies.

Uma superfície de revolução é uma superfície resultante da rotação de uma geratriz em torno de uma linha fixa. eixo reto superfícies.

Nos desenhos, o eixo é representado por uma linha pontilhada. A linha geradora pode caso Geral têm seções curvas e retas. A superfície de revolução no desenho pode ser especificada pela geratriz e pela posição do eixo. A Figura 8.12 mostra a superfície de revolução, que é formada pela rotação da geratriz AlCD (sua projeção frontal a"b"c"d") em torno do eixo OO 1 (projeção frontal o "o 1" , perpendicular ao plano N. Durante a rotação, cada ponto da geratriz descreve um círculo, cujo plano é perpendicular ao eixo. Assim, a linha de interseção da superfície de revolução por qualquer plano perpendicular ao eixo é um círculo. Tais círculos são chamados paralelos. A vista superior (Fig. 8.12) mostra projeções de círculos descritos por pontos A, B, C e D, passando por projeções a, b, c, d. O maior paralelo dos dois paralelos adjacentes a ele em ambos os lados é chamado equador, igualmente o menor garganta.

O plano que passa pelo eixo da superfície de revolução é chamado meridional a linha de sua interseção com a superfície de revolução - meridiano. Se o eixo da superfície é paralelo ao plano de projeções, então o meridiano situado em um plano paralelo a este plano de projeções é chamadomeridiano principal.O meridiano principal é projetado neste plano de projeções sem distorção. Então, se o eixo da superfície de revolução é paralelo ao plano V, então o primeiro meridiano é projetado no plano V sem distorção, por exemplo, projeção a"f"b"c"d". Se o eixo da superfície de revolução é perpendicular ao plano H, então a projeção horizontal da superfície tem um contorno na forma de um círculo.

Os mais convenientes para realizar imagens de superfícies de revolução são os casos em que seus eixos são perpendiculares ao plano H, ao plano V ou ao plano W.

Algumas superfícies de revoluçãosão casos especiais das superfícies consideradas em 8.1, por exemplo, um cilindro de revolução, um cone de revolução. Para um cilindro e um cone de revolução, os meridianos são linhas retas. Eles são paralelos ao eixo e equidistantes dele para um cilindro ou interceptam o eixo no mesmo ponto no mesmo ângulo em relação ao eixo para um cone. Um cilindro e um cone de revolução são superfícies infinitas na direção de seus geradores; portanto, nas imagens eles são limitados por algumas linhas, por exemplo, por linhas de interseção dessas superfícies com planos de projeção ou por qualquer um dos paralelos. Sabe-se da geometria sólida que um cilindro circular reto e um cone circular reto são limitados por uma superfície de revolução e planos perpendiculares ao eixo da superfície. O meridiano de tal cilindro é um retângulo, o meridiano de um cone é um triângulo.

Uma superfície de revolução como uma esfera é limitada e pode ser mostrada na íntegra no desenho. O equador e os meridianos da esfera são círculos iguais. No projeção ortogonal em todos os três planos de projeção, os contornos da esfera são projetados em um círculo.

Thor. Quando um círculo (ou seu arco) gira em torno de um eixo que se encontra no plano desse círculo, mas não passa pelo seu centro, obtém-se uma superfície chamada toro. A Figura 8.13 mostra: um toro aberto, ou um anel circular, - Figura 8.13, uma, toro fechado - figura 8.13, b, toro de auto-intersecção - figura 8.13, c, Tor (Fig. 8.13, d) também chamado de limão. Na Figura 8.13 eles são mostrados em uma posição onde o eixo do toro é perpendicular ao plano de projeções N. As esferas podem ser inscritas em toros abertos e fechados. Um toro pode ser visto como uma superfície envolvendo esferas idênticas cujos centros estão em um círculo.

Nas construções dos desenhos, são amplamente utilizados dois sistemas de seções circulares do toro: em planos perpendiculares ao seu eixo, e em planos que passam pelo eixo do toro. Ao mesmo tempo, em apartamento

Nas direções perpendiculares ao eixo do toro, por sua vez, existem duas famílias de círculos - linhas de interseção de planos com a superfície externa do toro e linhas de interseção de planos com a superfície interna do toro. O toro em forma de limão (Fig. 8.13, d) tem apenas a primeira família de círculos.

Além disso, o toro também possui um terceiro sistema de seções circulares, que se encontram em planos que passam pelo centro do toro e são tangentes a ele. superfície interior. A Figura 8.14 mostra seções circulares com centros o 1r e o 2r em um plano de projeção adicional R, formado pelo plano de projeção frontal Q(Qv), passando pelo centro do toro com projeções ai" ai e tangente à superfície interna do toro em pontos com projeções de 1", 1, 2" 2. Projeções pontuais 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10tornar o desenho mais fácil de ler. Diâmetro d essas seções circulares igual ao comprimento eixos principais de elipses nos quais se projetam seções circulares sobre plano horizontal projeções: d = 2R.

Pontos em uma superfície de revolução.A posição de um ponto na superfície de revolução é determinada pela pertença do ponto à linha do referencial da superfície, ou seja, com a ajuda de um círculo que passa por este ponto na superfície de revolução. No caso de superfícies pautadas, geradores retilíneos também podem ser utilizados para este fim.

O uso de uma geratriz paralela e retilínea para construir projeções de pontos pertencentes a uma dada superfície de revolução é mostrado na Figura 8.12. Se um

dada a projeção t", em seguida, faça uma projeção frontal f"f1" paralelos e depois o raio R desenhe um círculo - uma projeção horizontal de um paralelo - e encontre uma projeção nele t. Se uma projeção horizontal fosse dada t, então seria necessário traçar um raio R=om círculo, construa f "no ponto f" e desenhe f"f1"- projeção frontal do paralelo - e marque um ponto nele na conexão de projeção t". Se for dada uma projeção P" em uma seção regrada (cônica) da superfície de revolução, então uma projeção frontal é realizada d"s" esboçar geratriz e através da projeção n "- projeção frontal s "para" geratrix na superfície do cone. Em seguida, em vista de plano sk esta geratriz constrói uma projeção n. Se a projeção horizontal n for dada, então a projeção horizontal deve ser traçada através dela sk geratriz, por projeção k" e s" (sua construção foi discutida acima) construir uma projeção frontal s"para" e nele na conexão de projeção marque a projeção n "

A Figura 8.15 mostra a construção das projeções pontuais PARA, pertencentes à superfície do toro. Deve-se notar que a construção é feita para projeções horizontais visíveis para e projeção frontal para".

A Figura 8.16 mostra a construção de acordo com uma determinada projeção frontal t" pontos na superfície de uma esfera de sua horizontal t e perfil t " projeções. Projeção t construído usando um círculo - um paralelo passando pela projeção m". Seu raio é o-1. Projeção m "" é construído usando um círculo, cujo plano é paralelo ao plano de perfil das projeções que passam pela projeção t". Seu raio é de cerca de "2".

A construção de projeções de linhas na superfície de revolução também pode ser realizada por meio de círculos - paralelos que passam pelos pontos pertencentes a essa linha.

A Figura 8.17 mostra a construção de uma projeção horizontal uma linha definida pela projeção frontal um "b" sobre uma superfície de revolução, constituída por partes das superfícies de uma esfera, toro, cônica. Para um desenho mais preciso da projeção horizontal da linha, continuamos sua projeção frontal para cima e para baixo e marcamos as projeções 6" e 5" pontos extremos. Projeções horizontais 6, 1, 3, 4, 5 construído com linhas de comunicação. Projeções b, 2, 7, 8 e construído usando paralelos cujas projeções frontais passam pelas projeções b"2", 7", 8", um" esses pontos. Quantidade e localização pontos intermediários escolha com base na forma da linha e na precisão de construção necessária. Projeção horizontal linha consiste em seções: b-1 - partes da elipse,

Exemplos de sólidos de revolução

• Bola - formada por um semicírculo girando em torno do diâmetro do corte
• Cilindro - formado por um retângulo que gira em torno de um dos lados

Para a área da superfície lateral do cilindro, a área de seu desenvolvimento é tomada: Sside = 2πrh.

• Cone - formado triângulo retângulo, girando em torno de uma das pernas

A área de seu desenvolvimento é tomada como a área da superfície lateral do cone: Sside = πrl Area superfície cheia cones: Scon = πr(l+r)

Quando os contornos das figuras são girados, surge uma superfície de revolução (por exemplo, uma esfera formada por um círculo), enquanto quando um contorno preenchido gira, surgem corpos (como uma bola formada por um círculo).

Volume e área de superfície dos corpos de revolução

• O primeiro teorema de Guldin-Papp afirma:

• O segundo teorema de Guldin-Pappa afirma:

Literatura

AV Pogorelov. "Geometria. Grau 10-11» § 21. Corpos de rotação. - 2011

Notas

Fundação Wikimedia. 2010.

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O movimento de um corpo no campo gravitacional da Terra velocidade inicial igual a zero. P. t. ocorre sob a ação de uma força gravitacional, dependendo da distância r ao centro da Terra, e da força de resistência do meio (ar ou água), que depende da velocidade ... ... Grande Enciclopédia Soviética

Livros

• Um conjunto de mesas. Matemática. Poliedros. corpos de revolução. 11 mesas + 64 cartas + metodologia,. Álbum educativo de 11 folhas (formato 68 x 98 cm): - Desenho paralelo. - Imagem de figuras planas. - Ilustração passo a passo da prova de teoremas. - Arranjo mútuo de linhas e ...
• Integração das Equações de Equilíbrio de um Corpo Elástico de Revolução com uma Distribuição Simétrica de Volume e Forças de Superfície Sobre Seu Eixo, G.D. Grodsky. Reproduzido na grafia do autor original da edição de 1934 (edição `Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR`). NO…