OBJETIVO DA AULA: familiarizar com informações elementares da teoria dos conjuntos; formular os axiomas da teoria das probabilidades, suas consequências e a regra para adicionar probabilidades.

Informações elementares da teoria dos conjuntos

muitos qualquer coleção de objetos de natureza arbitrária é chamada, cada um dos quais é chamado elemento definido.

Exemplos de conjuntos: muitos alunos em uma palestra; o conjunto de pontos em um plano que estão dentro de um círculo de raio r; muitos pontos em eixo numérico, a distância até o ponto b com abscissa uma Menor que d; um monte de números naturais.

Os conjuntos são indicados de maneiras diferentes. Um monte de M Os números naturais de 1 a 100 podem ser escritos como

O conjunto de pontos no eixo numérico, a distância do qual até o ponto b com abscissa uma Menor que d, pode ser escrito como

Onde x- a abcissa do ponto.

O conjunto de pontos planos situados dentro ou no limite de um círculo de raio r centrado na origem,

Onde x, y – Coordenadas cartesianas pontos.

Outra entrada deste conjunto

onde é uma das coordenadas polares do ponto.

De acordo com o número de elementos, os conjuntos são divididos em final e sem fim. O conjunto é finito e consiste em 100 elementos. Mas um conjunto também pode consistir em um elemento e até mesmo não conter nenhum elemento.

O conjunto de todos os números naturais é infinito, assim como o conjunto dos números pares é infinito.

Conjunto infinitoé chamado contável se todos os seus elementos puderem ser organizados em alguma sequência e numerados (ambos os conjuntos, e , são contáveis).

Conjuntos S e C são infinitos e incontáveis ​​(seus elementos não podem ser numerados).

Dois conjuntos UMA e B partida, se consistirem nos mesmos elementos: e . A coincidência de conjuntos é denotada por um sinal de igual: A=B. A notação significa que o objeto umaé um elemento do conjunto MAS ou " uma pertence MAS". Outra entrada significa que " uma não pertence MAS".

Um conjunto que não contém nenhum elemento é chamado vazio e é indicado pelo símbolo .

Um monte de NOé chamado de subconjunto (parte) do conjunto MAS se todos os elementos NO também estão contidos MAS, e é denotado como ou . Por exemplo, .

Um subconjunto pode ser igual ao próprio conjunto. Graficamente, você pode representar a relação entre um conjunto e um subconjunto, como mostrado na Fig. 2.1, onde cada ponto da figura NO pertence à figura MAS, ou seja.

União (soma) de conjuntos MAS e NOé chamado de conjunto formado por todos os elementos MAS e todos os elementos NO. Assim, uma união é uma coleção de elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos combinados.

Por exemplo: .

Interpretação geométrica união de dois conjuntos MAS e NO mostrado na fig. 2.2.

A união (soma) de vários conjuntos é definida de forma semelhante

onde o conjunto resultante é o conjunto de todos os elementos incluídos em pelo menos um dos conjuntos: .

Intersecção (produto) de conjuntos MAS e NOé chamado de conjunto D, composto por elementos incluídos simultaneamente e em MAS, e em :

A interpretação geométrica da interseção é mostrada na fig. 2.3.

A interseção de vários conjuntos é definida de forma semelhante

como um conjunto constituído por elementos incluídos simultaneamente em todos os conjuntos.

As operações de união (adição) e interseção (multiplicação) de conjuntos têm várias propriedades semelhantes às propriedades de adição e multiplicação de números:

1. Propriedade de deslocamento:

2. Propriedade associativa:

3. propriedade de distribuição:

Adicionar o conjunto vazio e multiplicar pelo conjunto vazio são semelhantes às operações correspondentes em números, se você considerar zero como o conjunto vazio:

Algumas operações em conjuntos não têm análogos em operações comuns em números, em particular

Axiomas da teoria das probabilidades e suas consequências.

Regras de adição de probabilidade

Usando informações elementares sobre a teoria dos conjuntos, pode-se fornecer um esquema teórico dos conjuntos para construir a teoria das probabilidades e sua axiomática.

Em um experimento com um resultado aleatório, existe um conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Cada elemento deste conjunto é chamado evento elementar, o próprio conjunto é espaço de eventos elementar. Qualquer evento MAS na interpretação da teoria dos conjuntos há algum subconjunto do conjunto: . Se, por sua vez, o conjunto MAS se divide em vários subconjuntos sem interseção ( at ), então os eventos são chamados de "variantes" do evento MAS. Na fig. 2.4 evento MAS se divide em três opções: .

Por exemplo, ao lançar dados espaço de eventos elementares. Se event , então as opções de evento MAS: ,

Um subconjunto do próprio conjunto também pode ser considerado - neste caso será autêntico evento. Um conjunto vazio é adicionado a todo o espaço de eventos elementares; este conjunto também é considerado como um evento, mas impossível.

A interpretação teórica dos conjuntos das propriedades dos eventos consideradas anteriormente é a seguinte:

1. Formulário de vários eventos grupo completo , se , ou seja, sua soma (combinação) é um evento confiável.

2. Dois eventos MAS e NO chamado incompatível, se os conjuntos correspondentes a eles não se cruzam, ou seja, . Vários eventos são chamados incompatível par a par, se a aparência de qualquer um deles excluir a aparência de cada um dos outros: em .

3. A soma de dois eventos MAS e NO chamado de evento Com, que consiste na execução do evento MAS ou eventos NO, ou ambos os eventos juntos. A soma de vários eventos é um evento que consiste na execução de pelo menos um deles.

4. O produto de dois eventos MAS e NO chamado de evento D, que consiste na execução conjunta do evento MAS e eventos NO. Um produto de vários eventos é um evento que consiste na execução conjunta de todos esses eventos.

5. Oposto em relação ao evento MASé chamado de evento que consiste na não aparição MAS e evento complementar correspondente MAS para (ver Fig. 2.5).

Com base na interpretação acima de eventos como conjuntos, os axiomas da teoria da probabilidade são formulados.

Cada evento MAS um certo número é atribuído, chamado de probabilidade do evento. Como qualquer evento é um conjunto, a probabilidade de um evento é definir função.

Essas probabilidades de eventos devem satisfazer os seguintes axiomas:

1. A probabilidade de qualquer evento está entre zero e um:

2. Se MAS e NO são eventos incompatíveis, ou seja, então

Este axioma pode ser facilmente generalizado com propriedade associativa adição para qualquer número de eventos. Se em , então

ou seja, a probabilidade da soma eventos incompatíveisé igual à soma das probabilidades desses eventos.

Esse axioma é chamado adição "teorema"(para o esquema de casos, pode ser comprovado), ou regra de adição de probabilidades.

3. Se disponível conjunto contável eventos incompatíveis ( at ), então

Este axioma não é derivado do axioma anterior e, portanto, é formulado como um axioma separado.

Para um esquema de casos (esquemas de urnas), ou seja, para eventos que têm as propriedades de completude, incompatibilidade e equipotencialidade, pode-se derivar a fórmula clássica (1.1) para calcular diretamente probabilidades da regra de adição (2.1).

Deixe que os resultados do experimento sejam apresentados na forma n casos incompatíveis. A chance favorece o evento MAS se ele representa um subconjunto MAS(), ou, em outras palavras, esta é uma variante do evento MAS. Como eles formam um grupo completo, então

De acordo com a regra de adição

onde chegamos

Depois de substituir as expressões obtidas em (2.3), temos

Q.E.D.

A fórmula (2.3) também pode ser derivada para mais de dois eventos conjuntos.

Por vários séculos após o início de seu estudo sistemático, os conceitos básicos da teoria das probabilidades ainda não estavam claramente definidos. A imprecisão das definições básicas muitas vezes levava os pesquisadores a conclusões conflitantes, e as aplicações probabilísticas práticas eram mal fundamentadas. Desenvolvimento adicional a ciência natural exigia um estudo sistemático dos conceitos básicos da teoria da probabilidade e a determinação das condições sob as quais é possível usar seus resultados. De particular importância foi a fundamentação lógica formal da teoria da probabilidade, que, em particular, em 1900 D. Hilbert foi classificada como questões críticas matemática.

O princípio lógico-formal de construção exigia que a base da teoria da probabilidade fossem algumas premissas axiomáticas, que são uma generalização das teorias centenárias. experiência humana. O desenvolvimento posterior de conceitos probabilísticos teve que ser construído por meio de dedução de posições axiomáticas sem recorrer a idéias confusas e intuitivas. Este ponto de vista foi desenvolvido pela primeira vez em 1917. matemático soviético S.N. Berstein. Ao mesmo tempo, S. N. Bershtein veio de comparação qualitativa eventos aleatórios de acordo com sua maior ou menor probabilidade. Uma construção matematicamente rigorosa da teoria axiomática da probabilidade foi proposta por A.N. Kolmogorov em 1933, ligando intimamente a teoria da probabilidade com a teoria dos conjuntos e a teoria da medida. A definição axiomática de probabilidade como casos especiais inclui tanto clássicos como definições estatísticas e supera a insuficiência de cada um deles.

O ponto de partida de A. N. Kolmogorov é o conjunto de eventos elementares ω, em literatura especial chamado de espaço de fase e tradicionalmente denotado por Ω. Qualquer evento observável cuja probabilidade precise ser determinada pode ser representado como algum subconjunto do espaço de fase. Portanto, juntamente com o conjunto Ω, considera-se o conjunto Θ de subconjuntos de eventos elementares, cuja designação simbólica pode ser arbitrária. Um determinado evento é representável por todo o espaço de fase. Um conjunto Θ é chamado de álgebra de conjuntos se os seguintes requisitos forem atendidos:
1) Ω ∈ Θ, ∅ ∈ Θ;
2) o fato de que A ∈ Ω implica que $\bar A \in \Theta $ também;
3) o fato de A ∈ Θ e B ∈ Θ implicar que A ∪ B ∈ Θ e A ∩ B∈ Θ.

Se, além do acima, o seguinte requisito for atendido:
4) o fato de que A n ∈ Θ (para n = 1,2...) implica que $\mathop \cup \limits_n (A_n) \in \Theta $ e $\mathop \cap \limits_n (A_n ) \in \Theta $, então o conjunto Θ é chamado σ-álgebra. Os elementos de Θ são chamados eventos aleatórios.

As operações sobre eventos aleatórios na teoria axiomática da probabilidade são entendidas como operações sobre os conjuntos correspondentes. Como resultado, é possível estabelecer uma correspondência mútua entre os termos da linguagem da teoria dos conjuntos e a linguagem da teoria das probabilidades.

Como axiomas que definem a probabilidade, A.N. Kolmogorov aceitou as seguintes afirmações:

Axioma 1. Para cada evento aleatorio E alinhado número não negativo P(A) , chamada de probabilidade.
Axioma 2. P(Ω)= 1.
Axioma 3 (axioma da adição). Se os eventos A 1 , A 2 ,...,A n são incompatíveis aos pares, então

P(A 1 + A 2 +...+ A n) = P(A 1) + P(A 2) +...+ P(A n).

As seguintes afirmações são consequências dos axiomas formulados.

1. A probabilidade de um evento impossível é zero: P(∅) = 0.
2. Para qualquer evento A $P(\bar A) = 1 - P(A)$.
3. Qualquer que seja o evento aleatório A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
4. Se o evento A implicar no evento B, então P(A) ≤ P(B).

Um espaço de probabilidade é geralmente chamado de triplo de símbolos (Ω, Θ, P), onde Ω é o conjunto de eventos elementares ω, Θ – σ é a álgebra de subconjuntos de Ω, chamados eventos aleatórios, e P(A) é o probabilidade definida em σ, a álgebra Θ.

Assim, de acordo com a axiomática de A.N. Kolmogorov, a cada evento observado é atribuído um certo número não negativo, chamado de probabilidade desse evento, de modo que a probabilidade de todo o espaço de fase seja igual a 1, e a propriedade aditividade sigma. A última propriedade significa que, no caso de eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrência de acordo com pelo menos de um (e devido à incompatibilidade de pares, exatamente um) evento observado coincide com a soma das probabilidades de eventos observados de um determinado conjunto finito ou contável de eventos observados.

No caso de uma definição de probabilidade em uma σ - álgebra consistindo de alguns subconjuntos de Ω, o primeiro não pode ser estendido para outros subconjuntos de Ω de tal forma que a propriedade de aditividade sigma seja preservada, a menos que Ω consista em um valor finito ou número contável de elementos. A introdução da aditividade sigma também levou a uma série de paradoxos. Portanto, juntamente com a aditividade sigma, a propriedade aditividade, que é entendida como a equivalência da medida da união de dois eventos incompatíveis com a soma das medidas desses eventos. No entanto, quase imediatamente foi mostrado que substituir a aditividade sigma pela aditividade não apenas não resolve todos os problemas, mas também leva a outros resultados paradoxais.

O sistema de axiomas de Kolmogorov é relativamente consistente e incompleto, permite que você construa a teoria da probabilidade como parte da teoria da medida e considere a probabilidade como uma função de conjunto aditivo normalizado não negativo. Embora na teoria da probabilidade A.N. A probabilidade de Kolmogorov é sempre não negativa, alguns teoremas da teoria da probabilidade podem ser generalizados para o caso em que números negativos agir como probabilidades, e também obter outras generalizações de probabilidade.

Alguns fundamentos teorias matemáticas herdam os conceitos básicos, construções e terminologia da teoria das probabilidades. Tal, em particular, é a teoria da possibilidade, que também considera os espaços de possibilidades e eventos elementares, σ - álgebra.

Axiomática da Teoria da Probabilidade

Sugerido acima definição clássica probabilidades juntamente com méritos óbvios, principalmente simplicidade e clareza intuitiva, tem várias desvantagens significativas: fornece apenas um conjunto finito ou contável de eventos elementares e o conhecimento de suas probabilidades é obrigatório. Tudo isso nem sempre é o caso e, portanto, a definição introduzida não é suficientemente geral. Atualmente, a construção axiomática da teoria da probabilidade tornou-se geralmente aceita.

Em matemática, axiomas são proposições que são aceitas como verdadeiras e não são comprovadas dentro da estrutura de uma determinada teoria. Todas as outras provisões desta teoria devem ser derivadas puramente maneira lógica dos axiomas aceitos. A formulação dos axiomas não é Estado inicial desenvolvimento ciência matemática, mas é o resultado de um longo acúmulo de fatos e análise lógica obtiveram resultados para revelar os fatos primários realmente básicos. Foi assim que os axiomas da geometria foram formados. A teoria das probabilidades percorreu um caminho semelhante, em que a construção axiomática de seus fundamentos era uma questão de passado relativamente recente. Pela primeira vez, o problema da construção axiomática da teoria da probabilidade foi resolvido em 1917 pelo matemático soviético S.N. Bernstein.

Atualmente, a axiomática do acadêmico A.N. Kolmogorov (1933), que conecta a teoria da probabilidade com a teoria dos conjuntos e a teoria métrica das funções.

Na axiomática de A. N. Kolmogorov, o espaço (conjunto) de resultados elementares Ω é primário. Para que servem os elementos deste conjunto desenvolvimento lógico teoria da probabilidade é irrelevante. A seguir, consideramos algum sistema F de subconjuntos do conjunto Ω; elementos do sistema F são chamados de eventos aleatórios. Em relação à estrutura do sistema F, supõe-se que os três requisitos a seguir sejam atendidos:

1. O subconjunto F contém um determinado evento Ω como elemento.

2. Se A e B são dois eventos definidos em Ω, estão incluídos no subconjunto F como elementos, então o subconjunto F também contém A + B, A ∙ B como elementos,

3. Se os eventos À 1 , À 2 , …, definidos em Ω, são elementos do subconjunto F, então sua soma e trabalhar também são elementos do subconjunto F.

O conjunto F formado da maneira descrita acima chamado de "σ-álgebra de eventos".

Passamos agora à formulação dos axiomas que definem a probabilidade.

Axioma 1.(axioma de existência de probabilidade). Cada evento aleatório A da σ-álgebra de eventos F está associado a um número não negativo p(A), chamado de probabilidade.

Axioma 2.(probabilidade de determinado evento). A probabilidade de um determinado evento é igual a 1: Р(Ω)=1. (1,15)

Axioma 3.(axioma da adição). Se os eventos A e B não são compatíveis, então

P(A+B) = P(A)+P(B). (1,16)

Axioma 4.(axioma estendido de adição). Se o evento A é equivalente à ocorrência de pelo menos um dos eventos incompatíveis aos pares A 1 , A 2 , …, ou seja, , então a probabilidade do evento A é igual a

OBJETIVO DA AULA: familiarizar com informações elementares da teoria dos conjuntos; formular os axiomas da teoria das probabilidades, suas consequências e a regra para adicionar probabilidades.

Informações elementares da teoria dos conjuntos

muitos qualquer coleção de objetos de natureza arbitrária é chamada, cada um dos quais é chamado elemento definido.

Exemplos de conjuntos: muitos alunos em uma palestra; o conjunto de pontos em um plano que estão dentro de um círculo de raio r; conjunto de pontos no eixo real, a distância do qual até o ponto b com abscissa uma Menor que d; conjunto dos números naturais.

Os conjuntos são indicados de maneiras diferentes. Um monte de M Os números naturais de 1 a 100 podem ser escritos como

O conjunto de pontos no eixo numérico, a distância do qual até o ponto b com abscissa uma Menor que d, pode ser escrito como

Onde x- a abcissa do ponto.

O conjunto de pontos planos situados dentro ou no limite de um círculo de raio r centrado na origem,

Onde x, y são as coordenadas cartesianas do ponto.

Outra entrada deste conjunto

onde é uma das coordenadas polares do ponto.

De acordo com o número de elementos, os conjuntos são divididos em final e sem fim. O conjunto é finito e consiste em 100 elementos. Mas um conjunto também pode consistir em um elemento e até mesmo não conter nenhum elemento.

O conjunto de todos os números naturais é infinito, assim como o conjunto dos números pares é infinito.

Um conjunto infinito é chamado contável se todos os seus elementos puderem ser organizados em alguma sequência e numerados (ambos os conjuntos e , são contáveis).

Conjuntos S e C são infinitos e incontáveis ​​(seus elementos não podem ser numerados).

Dois conjuntos UMA e B partida, se consistirem nos mesmos elementos: e . A coincidência de conjuntos é denotada por um sinal de igual: A=B. A notação significa que o objeto umaé um elemento do conjunto MAS ou " uma pertence MAS". Outra entrada significa que " uma não pertence MAS".

Um conjunto que não contém nenhum elemento é chamado vazio e é indicado pelo símbolo .

Um monte de NOé chamado de subconjunto (parte) do conjunto MAS se todos os elementos NO também estão contidos MAS, e é denotado como ou . Por exemplo, .

Um subconjunto pode ser igual ao próprio conjunto. Graficamente, você pode representar a relação entre um conjunto e um subconjunto, como mostrado na Fig. 2.1, onde cada ponto da figura NO pertence à figura MAS, ou seja.

União (soma) de conjuntos MAS e NOé chamado de conjunto formado por todos os elementos MAS e todos os elementos NO. Assim, uma união é uma coleção de elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos combinados.

Por exemplo: .

Interpretação geométrica da união de dois conjuntos MAS e NO mostrado na fig. 2.2.

A união (soma) de vários conjuntos é definida de forma semelhante

onde o conjunto resultante é o conjunto de todos os elementos incluídos em pelo menos um dos conjuntos: .

Intersecção (produto) de conjuntos MAS e NOé chamado de conjunto D, composto por elementos incluídos simultaneamente e em MAS, e em :

.

A interpretação geométrica da interseção é mostrada na fig. 2.3.

A interseção de vários conjuntos é definida de forma semelhante

como um conjunto constituído por elementos incluídos simultaneamente em todos os conjuntos.

As operações de união (adição) e interseção (multiplicação) de conjuntos têm várias propriedades semelhantes às propriedades de adição e multiplicação de números:

1. Propriedade de deslocamento:

2. Propriedade associativa:

3. Propriedade de distribuição:

Adicionar o conjunto vazio e multiplicar pelo conjunto vazio são semelhantes às operações correspondentes em números, se você considerar zero como o conjunto vazio:

Algumas operações em conjuntos não têm análogos em operações comuns em números, em particular

Axiomas da teoria das probabilidades e suas consequências.

Regras de adição de probabilidade

Usando informações elementares sobre a teoria dos conjuntos, pode-se fornecer um esquema teórico dos conjuntos para construir a teoria das probabilidades e sua axiomática.

Em um experimento com um resultado aleatório, existe um conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Cada elemento deste conjunto é chamado evento elementar, o próprio conjunto é espaço de eventos elementar. Qualquer evento MAS na interpretação da teoria dos conjuntos há algum subconjunto do conjunto: . Se, por sua vez, o conjunto MAS se divide em vários subconjuntos sem interseção ( at ), então os eventos são chamados de "variantes" do evento MAS. Na fig. 2.4 evento MAS se divide em três opções: .

Por exemplo, ao lançar um dado, o espaço de eventos elementares. Se event , então as opções de evento MAS: ,

Um subconjunto do próprio conjunto também pode ser considerado - neste caso será autêntico evento. Um conjunto vazio é adicionado a todo o espaço de eventos elementares; este conjunto também é considerado como um evento, mas impossível.

A interpretação teórica dos conjuntos das propriedades dos eventos consideradas anteriormente é a seguinte:

1. Formulário de vários eventos grupo completo, se , ou seja, sua soma (combinação) é um evento confiável.

2. Dois eventos MAS e NO chamado incompatível, se os conjuntos correspondentes a eles não se cruzam, ou seja, . Vários eventos são chamados incompatível par a par, se a aparência de qualquer um deles excluir a aparência de cada um dos outros: em .

3. A soma de dois eventos MAS e NO chamado de evento Com, que consiste na execução do evento MAS ou eventos NO, ou ambos os eventos juntos. A soma de vários eventos é um evento que consiste na execução de pelo menos um deles.

4. O produto de dois eventos MAS e NO chamado de evento D, que consiste na execução conjunta do evento MAS e eventos NO. Um produto de vários eventos é um evento que consiste na execução conjunta de todos esses eventos.

5. Oposto em relação ao evento MASé chamado de evento que consiste na não aparição MAS e evento complementar correspondente MAS para (ver Fig. 2.5).

Com base na interpretação acima de eventos como conjuntos, os axiomas da teoria da probabilidade são formulados.

Cada evento MAS um certo número é atribuído, chamado de probabilidade do evento. Como qualquer evento é um conjunto, a probabilidade de um evento é definir função.

Essas probabilidades de eventos devem satisfazer os seguintes axiomas:

1. A probabilidade de qualquer evento está entre zero e um:

2. Se MAS e NO são eventos incompatíveis, ou seja, então

Este axioma pode ser facilmente generalizado usando a propriedade associativa de adição a qualquer número de eventos. Se em , então

ou seja, a probabilidade da soma dos eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos.

Esse axioma é chamado adição "teorema"(para o esquema de casos, pode ser comprovado), ou regra de adição de probabilidades.

3. Se disponível conjunto contável eventos incompatíveis ( at ), então

Este axioma não é derivado do axioma anterior e, portanto, é formulado como um axioma separado.

Para um esquema de casos (esquemas de urnas), ou seja, para eventos que têm as propriedades de completude, incompatibilidade e equipotencialidade, pode-se derivar a fórmula clássica (1.1) para calcular diretamente probabilidades da regra de adição (2.1).

Deixe que os resultados do experimento sejam apresentados na forma n casos incompatíveis. A chance favorece o evento MAS se ele representa um subconjunto MAS(), ou, em outras palavras, esta é uma variante do evento MAS. Como eles formam um grupo completo, então

Mas todos os casos são incompatíveis, e a regra da adição de probabilidades se aplica a eles

Além disso, como todos os eventos são igualmente possíveis, então

Casos favoráveis ​​a um evento formam suas variantes, e como a probabilidade de cada um deles é , então pela regra de adição obtemos

Mas esta é a fórmula clássica (1.1).

Consequências da regra de adição de probabilidades

1. A soma das probabilidades de um grupo completo de eventos incompatíveis é igual a um, ou seja, se

Prova. Como os eventos são incompatíveis, a regra de adição se aplica a eles

2. A soma das probabilidades de eventos opostos é igual a um:

como os eventos MAS e formar um grupo completo.

A regra é amplamente utilizada em problemas onde é mais fácil calcular a probabilidade do evento oposto.

3. Se os eventos MAS e NO são compatíveis, ou seja, então

Prova. Representar como a soma de opções incompatíveis (não sobrepostas) (ver Fig. 2.6)

De acordo com a regra de adição

onde chegamos

Depois de substituir as expressões obtidas em (2.3), temos

Q.E.D.

A fórmula (2.3) também pode ser derivada para mais de dois eventos conjuntos.

Seja o espaço dos eventos elementares, seja a álgebra dos eventos (a álgebra dos subconjuntos do conjunto). Os cinco axiomas a seguir fundamentam a teoria da probabilidade.

1. A álgebra de eventos é - a álgebra de eventos.

O sistema de eventos é chamado - álgebra, se para qualquer sequência de eventos, sua união, interseção e adições também pertencem, ou seja, , também são eventos. Assim, - a álgebra é um sistema de eventos fechado sob as operações de complemento, união contável e interseção contável.

2. Na - álgebra de eventos, para qualquer, uma função é definida, chamada probabilidade e tomando valores numéricos do intervalo: .

Este axioma é o axioma da existência de probabilidade - em função de on com valores do intervalo. Os próximos três axiomas definem as propriedades de uma função.

3. Para quaisquer dois eventos tais que

Axioma da adição de probabilidades.

Daí segue-se que para um número finito de eventos incompatíveis

4. Let, - eventos incompatíveis aos pares: e let. Então

A relação (15.3) é chamada de axioma da aditividade contável da probabilidade ou axioma da continuidade da probabilidade. A segunda está relacionada com a seguinte interpretação de igualdade (15.3). O evento deve ser entendido como o limite da sequência

Neste caso, a igualdade (15.3) pode ser entendida como uma propriedade da continuidade da função: ou

O que permite que a operação de limite seja retirada da função. Isso se deve ao fato de que a condição (15.5) implica (15.3):

O quinto axioma indica que o espaço de eventos elementares é um determinado evento. Assim, contém todos os eventos que podem ser considerados neste problema.

O espaço de eventos elementares, - a álgebra de eventos e a probabilidade, satisfazendo os axiomas 1-5, formam o chamado espaço de probabilidade, que geralmente é denotado.

Observe que o sistema de axiomas 1-5 não é contraditório, pois existem que satisfazem esses axiomas e não é completo, pois a probabilidade pode ser definida de várias maneiras dentro do quadro dos axiomas 2-5. O conceito de um espaço de probabilidade (ou um sistema de axiomas 1-5) contém apenas o mais Requerimentos gerais Submetido para modelo matemático fenômeno aleatório, e não determina exclusivamente a probabilidade. Este último só é possível se condições adicionais dado na formulação do problema em consideração.

Espaço de probabilidade discreto

Um espaço de probabilidade é chamado discreto se for finito ou contável, - - a álgebra de todos os subconjuntos (incluindo), a probabilidade é definida para cada subconjunto de um ponto do espaço de eventos elementares:

Para qualquer evento, sua probabilidade é determinada pela igualdade

Exemplos - álgebras

17.1. Let Ser um espaço arbitrário de eventos elementares em que nenhum evento é especificado. Para construir uma álgebra, de acordo com a definição (item 15), é necessário considerar todas as adições, uniões e interseções definir eventos e incluí-los em - álgebra. Porque em este caso existe um único evento, é possível construir apenas o seu complemento. Agora existe um sistema de dois eventos ( ). A aplicação adicional das operações de adição, união e interseção não fornece novos eventos. Assim, em este exemplo- álgebra.

17.2. Seja o espaço dos eventos elementares e seja algum evento que não coincida, ou seja, . Assim, existe um sistema de dois eventos. Este sistema pode ser estendido para incluir novos eventos que são obtidos como resultado de operações de adição, união, interseção em eventos. Faz sentido continuar o procedimento de expansão do sistema de eventos recorrentemente até que o aparecimento de novos eventos pare. O sistema limitante de eventos é chamado de álgebra gerada pelo sistema de eventos.

Considere a operação de adição em eventos do sistema. Seu resultado são novos eventos não contidos em sistema original, cuja inclusão dá novo sistema eventos

Obviamente, operações subsequentes de adição, união, interseção não dão novos eventos que não estão contidos em (17.1). Assim, o sistema de eventos (17.1) é uma álgebra gerada pelo sistema.

17.3. Vamos complicar o exemplo. Seja o espaço dos eventos elementares, sejam dois eventos incompatíveis, tais que. Assim, existe um sistema de três eventos. A operação de união nos eventos deste sistema resulta no aparecimento de um novo evento. O sistema resultante de quatro eventos é expandido para oito, incluindo suas adições. É fácil ver que a aplicação das operações de adição, união e interseção a esses oito eventos não gera novos eventos. Assim, o sistema de oito eventos

é uma álgebra gerada por um sistema de eventos.

17.4. Considere - o espaço de eventos elementares e dois eventos arbitrários, fig. 17.1. Para construir uma álgebra gerada por um determinado sistema de eventos, em muitos casos é conveniente aplicar o seguinte método.

Destacamos todos os eventos incompatíveis, Fig. 17.1. Ao mesmo tempo, etc - a álgebra conterá todos os eventos, todas as uniões de eventos, e também evento impossível. De fato, a operação de intersecção de quaisquer eventos do conjunto gera um único evento. A operação de adição em eventos do conjunto gera um evento, que se expressa através da união de eventos. Conseqüentemente, basta considerar apenas a operação de união sobre eventos, ao invés de três operações - adição, interseção, união para o sistema original de eventos.

Agora, para construir - álgebra, considere os eventos, todas as suas combinações e expresse os eventos resultantes através dos originais. Obviamente: , . As uniões de pares fornecem os seguintes eventos: , ; , ; . Uniões triplas: , .

Assim, - a álgebra contém os eventos: , ; , ; , bem como e - um total de 16 eventos.

Observe que ao definir - álgebra, o sistema gerador de eventos, via de regra, é composto por eventos observados no experimento.

Notamos que os eventos coincidem com os eventos (8.1), que foram considerados na derivação da fórmula de adição de frequências. De fato, e finalmente, pela fórmula (6.1) .

17.5. Considere uma generalização do Exemplo 4. Seja o sistema original de eventos - conter eventos arbitrários. Para construir uma álgebra, como no exemplo 4, introduzimos eventos da forma

onde cada ou, e e. Como cada um pode assumir dois valores 0 ou 1, o número de todos os eventos do formulário é igual. Esses eventos formam um grupo completo de eventos incompatíveis. Assim, os eventos na - álgebra desempenham o papel de uma base ortogonal, permitindo representar evento arbitrário através de eventos incompatíveis (ortogonais no sentido da operação de interseção). Na teoria dos conjuntos, conjuntos de um tipo são chamados de constituintes. O aparato constituinte nos permite mostrar que neste exemplo o número de todos os eventos - álgebra não excede (incluindo e), e o número de eventos atinge valor máximo quando todos são diferentes de (como no exemplo 4). Esse resultado permite julgar a alta taxa de crescimento do número de eventos em - álgebra dependendo - do número de eventos no sistema original. Por exemplo 4, o número, portanto, o número de eventos em - álgebra é igual.