Compare magnitudes e quantidades ao resolver tarefas práticas tinha desde os tempos antigos. Ao mesmo tempo, surgiram palavras como mais e menos, mais alto e mais baixo, mais leve e mais pesado, mais baixo e mais alto, mais barato e mais caro etc., denotando os resultados da comparação de quantidades homogêneas.

Os conceitos de mais e menos surgiram em conexão com a contagem de objetos, a medição e comparação de quantidades. Por exemplo, os matemáticos da Grécia antiga sabiam que o lado de qualquer triângulo é menor que a soma dos outros dois lados e que contra ângulo maior o maior lado está no triângulo. Arquimedes, ao calcular a circunferência de um círculo, descobriu que o perímetro de qualquer círculo é igual a três vezes o diâmetro com um excesso que é inferior a um sétimo do diâmetro, mas superior a dez setenta e um do diâmetro.

Escreva simbolicamente as relações entre números e quantidades usando os sinais > e b. Entradas em que dois números estão ligados por um dos sinais: > (maior que), Você também encontrou desigualdades numéricas em notas mais baixas. Você sabe que as desigualdades podem ou não ser verdadeiras. Por exemplo, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) está correto desigualdade numérica, 0,23 > 0,235 - desigualdade numérica incorreta.

Desigualdades que incluem incógnitas podem ser verdadeiras para alguns valores das incógnitas e falsas para outras. Por exemplo, a desigualdade 2x+1>5 é verdadeira para x = 3, mas falsa para x = -3. Para uma inequação com uma incógnita, você pode definir a tarefa: resolva a inequação. Problemas de resolução de desigualdades na prática são colocados e resolvidos com não menos frequência do que problemas de resolução de equações. Por exemplo, muitos problemas econômicos são reduzidos ao estudo e solução de sistemas de desigualdades lineares. Em muitos ramos da matemática, as desigualdades são mais comuns do que as equações.

Algumas desigualdades são as únicas meios auxiliares, permitindo provar ou refutar a existência de um determinado objeto, por exemplo, a raiz de uma equação.

Desigualdades numéricas

Você pode comparar números inteiros? decimais. Conheça as regras de comparação frações ordinárias com os mesmos denominadores mas com numeradores diferentes; com os mesmos numeradores, mas denominadores diferentes. Aqui você aprenderá a comparar quaisquer dois números encontrando o sinal de sua diferença.

A comparação de números é amplamente utilizada na prática. Por exemplo, um economista compara indicadores planejados com os reais, um médico compara a temperatura de um paciente com a normal, um torneiro compara as dimensões de uma peça usinada com um padrão. Em todos esses casos, alguns números são comparados. Como resultado da comparação de números, surgem desigualdades numéricas.

Definição. Número um mais número b se diferença a-b positivo. Número um menos do que o número b se a diferença a-b for negativa.

Se a for maior que b, então eles escrevem: a > b; se a é menor que b, então eles escrevem: a Assim, a desigualdade a > b significa que a diferença a - b é positiva, ou seja. a - b > 0. Desigualdade a Para quaisquer dois números a e b das seguintes três relações a > b, a = b, a Teorema. Se a > b e b > c, então a > c.

Teorema. Se o mesmo número for adicionado a ambos os lados da desigualdade, o sinal da desigualdade não muda.
Consequência. Qualquer termo pode ser transferido de uma parte da desigualdade para outra mudando o sinal desse termo para o oposto.

Teorema. Se ambos os lados da desigualdade são multiplicados pelo mesmo número positivo, então o sinal de desigualdade não mudará. Se ambos os lados da desigualdade são multiplicados pelo mesmo um número negativo, então o sinal de desigualdade será invertido.
Consequência. Se ambas as partes da desigualdade são divididas pelo mesmo número positivo, então o sinal da desigualdade não muda. Se ambas as partes da desigualdade forem divididas pelo mesmo número negativo, o sinal da desigualdade mudará para o oposto.

Você conhece isso igualdades numéricas Você pode adicionar e multiplicar termo por termo. A seguir, você aprenderá a realizar ações semelhantes com desigualdades. A capacidade de somar e multiplicar as desigualdades termo a termo é frequentemente usada na prática. Essas ações ajudam a resolver os problemas de avaliação e comparação de valores de expressão.

Ao decidir várias tarefas muitas vezes é preciso somar ou multiplicar termo por termo as partes esquerda e direita das desigualdades. Às vezes se diz que as desigualdades são somadas ou multiplicadas. Por exemplo, se um turista andou mais de 20 km no primeiro dia e mais de 25 km no segundo dia, pode-se argumentar que em dois dias ele andou mais de 45 km. Da mesma forma, se o comprimento de um retângulo for menor que 13 cm e a largura for menor que 5 cm, pode-se argumentar que a área desse retângulo é menor que 65 cm2.

Ao considerar esses exemplos, o seguinte teoremas sobre adição e multiplicação de inequações:

Teorema. Ao adicionar desigualdades de mesmo sinal, obtemos uma desigualdade de mesmo sinal: se a > b e c > d, então a + c > b + d.

Teorema. Ao multiplicar desigualdades de mesmo sinal, para as quais as partes esquerda e direita são positivas, obtém-se uma desigualdade de mesmo sinal: se a > b, c > d e a, b, c, d são números positivos, então ac > bd.

Desigualdades com sinal > (maior que) e 1/2, 3/4 b, c Junto com sinais desigualdades estritas> e Da mesma forma, a desigualdade \(a \geq b \) significa que o número a é maior ou igual a b, ou seja, a não é menor que b.

As desigualdades que contêm o sinal \(\geq \) ou o sinal \(\leq \) são chamadas não estritas. Por exemplo, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) não são desigualdades estritas.

Todas as propriedades de desigualdades estritas também são válidas para desigualdades não estritas. Além disso, se para desigualdades estritas os sinais > forem considerados opostos e você sabe que para resolver a série tarefas aplicadas você tem que fazer um modelo matemático na forma de uma equação ou um sistema de equações. A seguir, você descobrirá que modelos matemáticos para resolver muitos problemas são as desigualdades com incógnitas. Introduziremos o conceito de resolução de uma inequação e mostraremos como verificar se determinado número solução de uma desigualdade particular.

Desigualdades da forma
\(ax > b, \quad ax onde a e b são números dados e x é desconhecido, é chamado desigualdades lineares com um desconhecido.

Definição. A solução de uma desigualdade com uma incógnita é o valor da incógnita para a qual essa desigualdade se transforma em uma verdadeira desigualdade numérica. Resolver uma desigualdade significa encontrar todas as suas soluções ou estabelecer que não há nenhuma.

Você resolveu as equações reduzindo-as às equações mais simples. Da mesma forma, ao resolver inequações, tende-se a reduzi-las com a ajuda de propriedades à forma das inequações mais simples.

Solução de desigualdades de segundo grau com uma variável

Desigualdades da forma
\(ax^2+bx+c >0 \) e \(ax^2+bx+c onde x é uma variável, a, b e c são alguns números e \(a \neq 0 \) são chamados desigualdades de segundo grau com uma variável.

Resolvendo a desigualdade
\(ax^2+bx+c >0 \) ou \(ax^2+bx+c \) pode ser pensado como encontrar lacunas onde a função \(y= ax^2+bx+c \) é positiva ou valores negativos Para fazer isso, basta analisar como o gráfico da função \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) está localizado no plano coordenado: onde os ramos da parábola são direcionados - para cima ou para baixo , se a parábola intercepta o eixo x e se o faz, então em que pontos.

Algoritmo para resolver desigualdades de segundo grau com uma variável:
1) encontre o discriminante do trinômio quadrado \(ax^2+bx+c\) e descubra se o trinômio tem raízes;
2) se o trinômio tem raízes, marque-as no eixo x e desenhe esquematicamente uma parábola através dos pontos marcados, cujos ramos são direcionados para cima em a > 0 ou para baixo em a 0 ou na parte inferior em a 3) encontre lacunas no eixo x para as quais as parábolas de pontos estão localizadas acima do eixo x (se resolverem a desigualdade \(ax^2+bx+c >0 \)) ou abaixo do eixo x (se resolverem a desigualdade
\(ax^2+bx+c Solução de inequações pelo método dos intervalos

Considere a função
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

O domínio desta função é o conjunto de todos os números. Os zeros da função são os números -2, 3, 5. Eles dividem o domínio da função em intervalos \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) e \( (5; +\infty) \)

Vamos descobrir quais são os sinais dessa função em cada um dos intervalos indicados.

A expressão (x + 2)(x - 3)(x - 5) é o produto de três fatores. O sinal de cada um desses fatores nos intervalos considerados é indicado na tabela:

Em geral, seja a função dada pela fórmula
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
onde x é uma variável e x 1 , x 2 , ..., x n não são números iguais. Os números x 1 , x 2 , ..., x n são os zeros da função. Em cada um dos intervalos em que o domínio de definição é dividido pelos zeros da função, o sinal da função é preservado e, ao passar por zero, seu sinal muda.

Esta propriedade é usada para resolver inequações da forma
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) onde x 1 , x 2 , ..., x n não são números iguais

Método considerado resolver inequações é chamado de método dos intervalos.

Vamos dar exemplos de como resolver inequações pelo método intervalar.

Resolva a desigualdade:

\(x(0.5-x)(x+4) Obviamente, os zeros da função f(x) = x(0.5-x)(x+4) são os pontos \frac(1)(2) , \; x=-4\)

Aplicar a eixo numérico zeros da função e calcule o sinal em cada intervalo:

Selecionamos os intervalos em que a função é menor ou igual a zero e escrevemos a resposta.

Responda:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Muitos de todos numeros reais pode ser representado como a união de três conjuntos: um conjunto de números positivos, um conjunto de números negativos e um conjunto constituído por um número - o número zero. Para indicar que o número uma positivo, aproveite o registro a > 0, para indicar um número negativo use outro registro uma< 0 .

A soma e o produto de números positivos também são números positivos. Se número uma negativo, então o número -uma positivo (e vice-versa). Para qualquer número positivo a, existe um número racional r, o que r< а . Esses fatos fundamentam a teoria das desigualdades.

Por definição, a desigualdade a > b (ou equivalentemente, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, ou seja, se o número a - b for positivo.

Considere, em particular, a desigualdade uma< 0 . O que significa essa desigualdade? De acordo com a definição acima, significa que 0 - a > 0, ou seja -a > 0 ou então qual número -uma positivamente. Mas este é o caso se e somente se o número uma negativo. Então a desigualdade uma< 0 significa que o número mas negativamente.

Freqüentemente também é usada a notação ab(ou, o que é o mesmo, BA).
Gravação ab, por definição, significa que ou a > b, ou a = b. Se considerarmos a entrada ab como uma proposição indefinida, então na notação lógica matemática pode ser escrito

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Exemplo 1 As desigualdades 5 0, 0 0 estão corretas?

A desigualdade 5 0 é declaração composta composto por dois frases simples conectados por um conectivo lógico "ou" (disjunção). Ou 5 > 0 ou 5 = 0. A primeira afirmação 5 > 0 é verdadeira, a segunda afirmação 5 = 0 é falsa. Pela definição de disjunção, tal afirmação composta é verdadeira.

O registro 00 é discutido de forma semelhante.

Desigualdades da forma a > b, a< b será chamado de estrita, e as desigualdades da forma ab, ab- não rigoroso.

desigualdades a > b e c > d(ou uma< b e Com< d ) serão chamadas de desigualdades do mesmo significado, e as desigualdades a > b e c< d - desigualdades de sentido oposto. Observe que esses dois termos (desigualdades de significados iguais e opostos) referem-se apenas à forma de escrita das desigualdades, e não aos próprios fatos expressos por essas desigualdades. Então, em relação à desigualdade uma< b desigualdade Com< d é uma desigualdade de mesmo significado, e por escrito d > c(significando a mesma coisa) - uma desigualdade de significado oposto.

Junto com as desigualdades da forma a > b, ab são usadas as chamadas desigualdades duplas, ou seja, desigualdades da forma uma< с < b , ás< b , uma< cb ,
umacb. Por definição, a entrada

uma< с < b (1)
significa que ambas as desigualdades são válidas:

uma< с e Com< b.

As desigualdades têm um significado semelhante ac, ac< b, а < сb.

A dupla desigualdade (1) pode ser escrita da seguinte forma:

(uma< c < b) [(a < c) & (c < b)]

e a dupla desigualdade a ≤ c ≤ b pode ser escrito da seguinte forma:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Passemos agora à apresentação das principais propriedades e regras de actuação sobre as desigualdades, tendo acordado que neste artigo as cartas a, b, c representam números reais e n significa um número natural.

1) Se a > b e b > c, então a > c (transitividade).

Prova.

Uma vez que de acordo com a condição a > b e b > c, então os números a - b e b - c são positivos e, portanto, o número a - c \u003d (a - b) + (b - c), como a soma de números positivos, também é positivo. Isso significa, por definição, que a > c.

2) Se a > b, então para qualquer c vale a desigualdade a + c > b + c.

Prova.

Porque a > b, então o número a - b positivamente. Portanto, o número (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b também é positivo, ou seja,
a + c > b + c.

3) Se a + b > c, então a > b - c, ou seja, qualquer termo pode ser transferido de uma parte da desigualdade para outra mudando o sinal desse termo para o oposto.

A prova segue da propriedade 2) é suficiente para ambas as partes da desigualdade a + b > c adicione um número - b.

4) Se a > b e c > d, então a + c > b + d, ou seja, adicionar duas desigualdades de mesmo significado produz uma desigualdade de mesmo significado.

Prova.

Pela definição da desigualdade, basta mostrar que a diferença
(a + c) - (b + c) positivo. Essa diferença pode ser escrita da seguinte forma:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Uma vez que pela condição do número a - b e cd são positivos, então (a + c) - (b + d) também é um número positivo.

Consequência. As regras 2) e 4) implicam próxima regra subtração das desigualdades: se a > b, c > d, então a - d > b - c(para a prova é suficiente para ambas as partes da desigualdade a + c > b + d adicione um número - cd).

5) Se a > b, então para c > 0 temos ac > bc, e para c< 0 имеем ас < bc.

Em outras palavras, quando ambas as partes da desigualdade são multiplicadas, nenhum é um número positivo, o sinal de desigualdade é preservado (ou seja, uma desigualdade de mesmo significado é obtida), e quando multiplicado por um número negativo, o sinal de desigualdade muda para o oposto (ou seja, uma desigualdade de significado oposto é obtida.

Prova.

Se um a > b, então a - bé um número positivo. Portanto, o sinal da diferença ac-bc = táxi) corresponde ao sinal do número Com: E se Comé um número positivo, então a diferença ac - bc positivo e, portanto, ac > bc, e se Com< 0 , então essa diferença é negativa e, portanto, bc - ac positivo, ou seja bc > ac.

6) Se a > b > 0 e c > d > 0, então ac > bd, isto é, se todos os termos de duas desigualdades de mesmo significado são positivos, então a multiplicação termo a termo dessas desigualdades resulta em uma desigualdade de mesmo significado.

Prova.

Nós temos ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Porque c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, então ac - bd > 0, ou seja, ac > bd.

Comente. Fica claro pela prova que a condição d > 0 na formulação da propriedade 6) não tem importância: para que essa propriedade seja verdadeira, basta que as condições a > b > 0, c > d, c > 0. Se (se as desigualdades a > b, c > d) números a, b, c não são todos positivos, então a desigualdade ac > bd pode não ser realizado. Por exemplo, quando uma = 2, b =1, c= -2, d= -3 temos a > b, c > d, mas a desigualdade ac > bd(ou seja, -4 > -3) falhou. Assim, a exigência de que os números a, b, c sejam positivos no enunciado da propriedade 6) é essencial.

7) Se a ≥ b > 0 ec > d > 0, então (divisão das desigualdades).

Prova.

Nós temos O numerador da fração do lado direito é positivo (ver propriedades 5), 6)), o denominador também é positivo. Consequentemente,. Isso prova a propriedade 7).

Comente. Notamos uma importante caso especial regra 7) obtida quando a = b = 1: se c > d > 0, então. Assim, se os termos da desigualdade são positivos, então ao passar para recíprocos obtemos uma desigualdade de significado oposto. Convidamos os leitores a verificarem que esta regra também é preservada em 7) Se ab > 0 ec > d > 0, então (divisão de desigualdades).

Prova. então.

Provamos acima várias propriedades de desigualdades escritas com o sinal > (mais). No entanto, todas essas propriedades podem ser formuladas usando o sinal < (menos), uma vez que a desigualdade b< а significa, por definição, o mesmo que a desigualdade a > b. Além disso, como é fácil de verificar, as propriedades provadas acima também são preservadas para desigualdades não estritas. Por exemplo, a propriedade 1) para desigualdades não estritas terá próxima visualização: E se ab e bc, então ás.

É claro que as propriedades gerais das desigualdades não se limitam ao que foi dito acima. Ainda há linha inteira desigualdades visão geral associados com a consideração de potência, exponencial, logarítmica e funções trigonométricas. A abordagem geral para escrever esses tipos de desigualdades é a seguinte. Se alguma função y = f(x) aumenta monotonicamente no segmento [a,b], então para x 1 > x 2 (onde x 1 e x 2 pertencem a este segmento) temos f (x 1) > f(x 2). Da mesma forma, se a função y = f(x) diminui monotonicamente no segmento [a,b], então em x 1 > x 2 (onde x 1 e X 2 pertencem a este segmento) temos f(x1)< f(x 2 ). Claro que o que foi dito não difere da definição de monotonicidade, mas esta técnica é muito conveniente para memorizar e escrever desigualdades.

Assim, por exemplo, para qualquer n natural a função y = xn está aumentando monotonicamente no raio {0} {0} }