Multiplicação frações ordinárias

Considere um exemplo.

Seja $\frac(1)(3)$ parte de uma maçã no prato. Precisamos encontrar a parte $\frac(1)(2)$ dele. A parte necessária é o resultado da multiplicação das frações $\frac(1)(3)$ e $\frac(1)(2)$. O resultado da multiplicação de duas frações comuns é uma fração comum.

Multiplicando duas frações comuns

Regra para multiplicar frações ordinárias:

O resultado da multiplicação de uma fração por uma fração é uma fração cujo numerador é é igual ao produto numeradores de frações multiplicadas, e o denominador é igual ao produto dos denominadores:

Exemplo 1

Multiplique as frações ordinárias $\frac(3)(7)$ e $\frac(5)(11)$.

Solução.

Vamos usar a regra da multiplicação de frações ordinárias:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Responda:$\frac(15)(77)$

Se, como resultado da multiplicação de frações, for obtida uma fração cancelável ou imprópria, é necessário simplificá-la.

Exemplo 2

Multiplique as frações $\frac(3)(8)$ e $\frac(1)(9)$.

Solução.

Usamos a regra para multiplicar frações ordinárias:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Como resultado, obtivemos uma fração redutível (com base na divisão por $ 3$. Dividindo o numerador e o denominador da fração por $ 3$, obtemos:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Solução curta:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Responda:$\frac(1)(24).$

Ao multiplicar frações, você pode reduzir os numeradores e denominadores para encontrar seu produto. Nesse caso, o numerador e o denominador da fração são decompostos em fatores primos, após o que os fatores repetidos são reduzidos e o resultado é encontrado.

Exemplo 3

Calcule o produto das frações $\frac(6)(75)$ e $\frac(15)(24)$.

Solução.

Vamos usar a fórmula para multiplicar frações ordinárias:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Obviamente, o numerador e o denominador contêm números que podem ser reduzidos em pares pelos números $2$, $3$ e $5$. Decompomos o numerador e o denominador em fatores simples e fazemos a redução:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Responda:$\frac(1)(20).$

Ao multiplicar frações, você pode usar lei de deslocamento:

Multiplicando uma fração por um número natural

A regra para multiplicar uma fração ordinária por número natural:

O resultado da multiplicação de uma fração por um número natural é uma fração em que o numerador é igual ao produto do numerador da fração multiplicada pelo número natural, e o denominador é igual ao denominador da fração multiplicada:

onde $\frac(a)(b)$ é uma fração comum, $n$ é um número natural.

Exemplo 4

Multiplique a fração $\frac(3)(17)$ por $4$.

Solução.

Vamos usar a regra de multiplicar uma fração ordinária por um número natural:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Responda:$\frac(12)(17).$

Não se esqueça de verificar o resultado da multiplicação para a contratibilidade de uma fração ou para não fração própria.

Exemplo 5

Multiplique a fração $\frac(7)(15)$ por $3$.

Solução.

Vamos usar a fórmula para multiplicar uma fração por um número natural:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Pelo critério de divisão pelo número $3$), pode-se determinar que a fração resultante pode ser reduzida:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

O resultado é uma fração imprópria. Vamos pegar a parte inteira:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Solução curta:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Também foi possível reduzir frações substituindo os números no numerador e denominador por suas expansões em fatores primos. Neste caso, a solução pode ser escrita da seguinte forma:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Responda:$1\frac(2)(5).$

Ao multiplicar uma fração por um número natural, você pode usar a lei comutativa:

Divisão de frações ordinárias

A operação de divisão é o inverso da multiplicação e seu resultado é uma fração, pela qual você precisa multiplicar uma fração conhecida para obter trabalho famoso duas frações.

Divisão de duas frações comuns

A regra para dividir frações ordinárias: Obviamente, o numerador e o denominador da fração resultante podem ser decompostos em fatores simples e reduzidos:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Como resultado, obtivemos uma fração imprópria, da qual selecionamos a parte inteira:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Responda:$1\frac(5)(9).$

No curso da média e ensino médio Os alunos passaram pelo tópico "Frações". No entanto, este conceito é muito mais amplo do que dado no processo de aprendizagem. Hoje, o conceito de fração é encontrado com bastante frequência e nem todos podem calcular qualquer expressão, por exemplo, multiplicar frações.

O que é uma fração?

Aconteceu historicamente que os números fracionários surgiram devido à necessidade de medir. Como mostra a prática, muitas vezes há exemplos para determinar o comprimento de um segmento, o volume de um retângulo retangular.

Inicialmente, os alunos são apresentados a um conceito como um compartilhamento. Por exemplo, se você dividir uma melancia em 8 partes, cada uma receberá um oitavo de uma melancia. Esta parte de oito é chamada de compartilhamento.

Uma ação igual a ½ de qualquer valor é chamada de meia; ⅓ - terceiro; ¼ - um quarto. Entradas como 5/8, 4/5, 2/4 são chamadas de frações comuns. Uma fração ordinária é dividida em numerador e denominador. Entre eles há uma linha fracionária, ou linha fracionária. Uma barra fracionária pode ser desenhada como uma linha horizontal ou inclinada. NO este caso representa o sinal de divisão.

O denominador representa em quantas partes iguais o valor em que o objeto é dividido; e o numerador é quantas partes iguais são tomadas. O numerador é escrito acima da barra fracionária, o denominador abaixo dela.

É mais conveniente mostrar frações ordinárias em feixe de coordenadas. Se um único segmento for dividido em 4 partes iguais, designe cada parte letra latina, então, como resultado, você pode obter um excelente material visual. Assim, o ponto A mostra uma participação igual a 1/4 de todo o segmento unitário e o ponto B marca 2/8 desse segmento.

Variedades de frações

As frações são números comuns, decimais e mistos. Além disso, as frações podem ser divididas em próprias e impróprias. Esta classificação é mais adequada para frações ordinárias.

Uma fração própria é um número cujo numerador menor que o denominador. Assim, uma fração imprópria é um número cujo numerador é maior que o denominador. O segundo tipo é geralmente escrito como um número misto. Tal expressão consiste em uma parte inteira e uma parte fracionária. Por exemplo, 1½. 1 - parte inteira, ½ - fracionário. No entanto, se você precisar realizar algumas manipulações com a expressão (dividir ou multiplicar frações, reduzi-las ou convertê-las), o número misto é convertido em uma fração imprópria.

A expressão fracionária correta é sempre menos de um, e incorreto - maior ou igual a 1.

Quanto a esta expressão, eles entendem um registro em que qualquer número é representado, cujo denominador da expressão fracionária pode ser expresso através de um com vários zeros. Se a fração estiver correta, então a parte inteira em notação decimal será igual a zero.

Para escrever um decimal, você deve primeiro escrever a parte inteira, separá-la da fracionária com uma vírgula e depois escrever a expressão fracionária. Deve-se lembrar que após a vírgula o numerador deve conter tantos caracteres numéricos quantos os zeros no denominador.

Exemplo. Represente a fração 7 21 / 1000 em notação decimal.

Algoritmo para converter uma fração imprópria em um número misto e vice-versa

É incorreto escrever uma fração imprópria na resposta do problema, por isso deve ser convertida para um número misto:

• divida o numerador pelo denominador existente;
• dentro exemplo específico quociente incompleto - inteiro;
• e o resto é o numerador da parte fracionária, permanecendo o denominador inalterado.

Exemplo. Converter fração imprópria em número misto: 47/5.

Solução. 47: 5. O quociente incompleto é 9, o resto = 2. Portanto, 47/5 = 9 2/5.

Às vezes você precisa representar um número misto como uma fração imprópria. Então você precisa usar o seguinte algoritmo:

• a parte inteira é multiplicada pelo denominador da expressão fracionária;
• o produto resultante é adicionado ao numerador;
• o resultado é escrito no numerador, o denominador permanece inalterado.

Exemplo. Representar um número em forma mista como fração imprópria: 9 8/10 .

Solução. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 é o numerador.

Responda: 98 / 10.

Multiplicação de frações ordinárias

Você pode realizar várias operações algébricas em frações ordinárias. Para multiplicar dois números, você precisa multiplicar o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador. Além disso, a multiplicação de frações com denominadores diferentes não difere do produto de números fracionários com mesmos denominadores.

Acontece que depois de encontrar o resultado, você precisa reduzir a fração. NO sem falhas a expressão resultante deve ser simplificada o máximo possível. Claro, não se pode dizer que uma fração imprópria na resposta seja um erro, mas também é difícil chamá-la de resposta correta.

Exemplo. Encontre o produto de duas frações ordinárias: ½ e 20/18.

Como pode ser visto no exemplo, após encontrar o produto, é obtida uma notação fracionária redutível. Tanto o numerador quanto o denominador neste caso são divisíveis por 4, e o resultado é a resposta 5/9.

Multiplicando frações decimais

O produto de frações decimais é bem diferente do produto de frações ordinárias em seu princípio. Assim, a multiplicação de frações é a seguinte:

• duas frações decimais devem ser escritas uma abaixo da outra para que os dígitos mais à direita fiquem um abaixo do outro;
• você precisa multiplicar os números escritos, apesar das vírgulas, ou seja, como números naturais;
• conte o número de dígitos após a vírgula em cada um dos números;
• no resultado obtido após a multiplicação, você precisa contar tantos caracteres digitais à direita quantos estão contidos na soma em ambos os fatores após a vírgula e colocar um sinal de separação;
• se houver menos dígitos no produto, então tantos zeros devem ser escritos na frente deles para cobrir esse número, coloque uma vírgula e atribua uma parte inteira igual a zero.

Exemplo. Calcule o produto de duas casas decimais: 2,25 e 3,6.

Solução.

Multiplicação de frações mistas

Para calcular o produto de dois frações mistas, você precisa usar a regra para multiplicar frações:

• converter números mistos em frações impróprias;
• encontre o produto dos numeradores;
• encontre o produto dos denominadores;
• anote o resultado;
• simplifique a expressão o máximo possível.

Exemplo. Encontre o produto de 4½ e 6 2/5.

Multiplicando um número por uma fração (frações por um número)

Além de encontrar o produto de duas frações, números mistos, existem tarefas em que você precisa multiplicar por uma fração.

Então, para encontrar o trabalho fração decimal e um número natural, você precisa:

• escreva o número sob a fração de modo que os dígitos mais à direita fiquem um acima do outro;
• encontre o trabalho, apesar da vírgula;
• no resultado obtido, separe a parte inteira da parte fracionária usando uma vírgula, contando à direita o número de caracteres que está após a vírgula na fração.

Para multiplicar uma fração ordinária por um número, você deve encontrar o produto do numerador pelo fator natural. Se a resposta for uma fração redutível, ela deve ser convertida.

Exemplo. Calcule o produto de 5/8 e 12.

Solução. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Responda: 7 1 / 2.

Como você pode ver no exemplo anterior, foi necessário reduzir o resultado resultante e converter a expressão fracionária incorreta em um número misto.

Além disso, a multiplicação de frações também se aplica a encontrar o produto de um número na forma mista e um fator natural. Para multiplicar esses dois números, você deve multiplicar a parte inteira do fator misto pelo número, multiplicar o numerador pelo mesmo valor e deixar o denominador inalterado. Se necessário, você precisa simplificar o resultado o máximo possível.

Exemplo. Encontre o produto de 9 5/6 e 9.

Solução. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Responda: 88 1 / 2.

Multiplicação por fatores 10, 100, 1000 ou 0,1; 0,01; 0,001

Decorre do parágrafo anterior próxima regra. Para multiplicar uma fração decimal por 10, 100, 1000, 10000, etc., você precisa mover a vírgula para a direita por tantos dígitos quantos forem os zeros no multiplicador após um.

Exemplo 1. Encontre o produto de 0,065 e 1000.

Solução. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Responda: 65.

Exemplo 2. Encontre o produto de 3,9 e 1000.

Solução. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Responda: 3900.

Se você precisa multiplicar um número natural e 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, etc., você deve mover a vírgula para a esquerda no produto resultante por tantos dígitos quantos forem os zeros antes de um. Se necessário, um número suficiente de zeros é escrito na frente de um número natural.

Exemplo 1. Encontre o produto de 56 e 0,01.

Solução. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Responda: 0,56.

Exemplo 2. Encontre o produto de 4 e 0,001.

Solução. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Responda: 0,004.

Assim, encontrando o produto várias frações não deve causar dificuldades, exceto no cálculo do resultado; Nesse caso, você simplesmente não pode ficar sem uma calculadora.

§ 87. Adição de frações.

A adição de frações tem muitas semelhanças com a adição de números inteiros. A adição de frações é uma ação que consiste no fato de vários números dados (termos) serem combinados em um número (soma), que contém todas as unidades e frações de unidades de termos.

Vamos considerar três casos sucessivamente:

1. Adição de frações com denominadores iguais.
2. Adição de frações com denominadores diferentes.
3. Adição de números mistos.

1. Adição de frações com denominadores iguais.

Considere um exemplo: 1/5 + 2/5.

Pegue o segmento AB (Fig. 17), tome-o como uma unidade e divida por 5 partes iguais, então a parte AC deste segmento será igual a 1/5 do segmento AB, e a parte do mesmo segmento CD será igual a 2/5 AB.

Pode-se ver pelo desenho que se pegarmos o segmento AD, então será igual a 3/5 AB; mas o segmento AD é precisamente a soma dos segmentos AC e CD. Assim, podemos escrever:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Considerando esses termos e a quantidade resultante, vemos que o numerador da soma foi obtido pela soma dos numeradores dos termos, e o denominador permaneceu inalterado.

A partir disso, obtemos a seguinte regra: Para somar frações com os mesmos denominadores, você deve somar seus numeradores e deixar o mesmo denominador.

Considere um exemplo:

2. Adição de frações com denominadores diferentes.

Vamos adicionar frações: 3/4 + 3/8 Primeiro elas precisam ser reduzidas ao menor denominador comum:

Intermediário 6 / 8 + 3 / 8 não pôde ser escrito; nós escrevemos aqui para maior clareza.

Assim, para somar frações com denominadores diferentes, você deve primeiro trazê-las para o menor denominador comum, somar seus numeradores e assinar denominador comum.

Considere um exemplo ( multiplicadores adicionais escreveremos sobre as frações correspondentes):

3. Adição de números mistos.

Vamos somar os números: 2 3/8 + 3 5/6.

Vamos primeiro trazer as partes fracionárias de nossos números para um denominador comum e reescrevê-las novamente:

Agora adicione as partes inteiras e fracionárias em sequência:

§ 88. Subtração de frações.

A subtração de frações é definida da mesma forma que a subtração de números inteiros. Esta é uma ação pela qual, dada a soma de dois termos e um deles, outro termo é encontrado. Vamos considerar três casos por vez:

1. Subtração de frações com os mesmos denominadores.
2. Subtração de frações com denominadores diferentes.
3. Subtração de números mistos.

1. Subtração de frações com os mesmos denominadores.

Considere um exemplo:

13 / 15 - 4 / 15

Vamos pegar o segmento AB (Fig. 18), tomá-lo como uma unidade e dividi-lo em 15 partes iguais; então a parte AC deste segmento será 1/15 de AB, e a parte AD do mesmo segmento corresponderá a 13/15 AB. Vamos separar outro segmento ED, igual a 4/15 AB.

Precisamos subtrair 4/15 de 13/15. No desenho, isso significa que o segmento ED deve ser subtraído do segmento AD. Com isso, permanecerá o segmento AE, que é 9/15 do segmento AB. Assim podemos escrever:

O exemplo que fizemos mostra que o numerador da diferença foi obtido subtraindo os numeradores, e o denominador permaneceu o mesmo.

Portanto, para subtrair frações com os mesmos denominadores, você precisa subtrair o numerador do subtraendo do numerador do minuendo e deixar o mesmo denominador.

2. Subtração de frações com denominadores diferentes.

Exemplo. 3/4 - 5/8

Primeiro, vamos reduzir essas frações ao menor denominador comum:

O link intermediário 6/8 - 5/8 está escrito aqui para maior clareza, mas pode ser ignorado no futuro.

Assim, para subtrair uma fração de uma fração, você deve primeiro trazê-los ao menor denominador comum, depois subtrair o numerador do subtraendo do numerador do minuendo e assinar o denominador comum sob sua diferença.

Considere um exemplo:

3. Subtração de números mistos.

Exemplo. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Vamos trazer as partes fracionárias do minuendo e do subtraendo para o menor denominador comum:

Subtraímos um inteiro de um todo e uma fração de uma fração. Mas há casos em que a parte fracionária do subtraendo é maior que a parte fracionária do minuendo. Nesses casos, você precisa pegar uma unidade da parte inteira da reduzida, dividi-la nas partes em que a parte fracionária é expressa e adicionar à parte fracionária da reduzida. E então a subtração será realizada da mesma forma que no exemplo anterior:

§ 89. Multiplicação de frações.

Ao estudar a multiplicação de frações, consideraremos próximas perguntas:

1. Multiplicando uma fração por um inteiro.
2. Encontrar uma fração de um determinado número.
3. Multiplicação de um número inteiro por uma fração.
4. Multiplicando uma fração por uma fração.
5. Multiplicação de números mistos.
6. O conceito de interesse.
7. Encontrar porcentagens de um determinado número. Vamos considerá-los sequencialmente.

1. Multiplicando uma fração por um inteiro.

Multiplicar uma fração por um inteiro tem o mesmo significado que multiplicar um inteiro por um inteiro. Multiplicar uma fração (multiplicando) por um inteiro (multiplicador) significa compor a soma de termos idênticos, em que cada termo é igual ao multiplicando, e o número de termos é igual ao multiplicador.

Então, se você precisar multiplicar 1/9 por 7, isso pode ser feito assim:

Obtemos o resultado facilmente, pois a ação se reduzia a somar frações com os mesmos denominadores. Consequentemente,

A consideração dessa ação mostra que multiplicar uma fração por um inteiro é equivalente a aumentar essa fração quantas vezes houver unidades no inteiro. E como o aumento da fração é alcançado aumentando seu numerador

ou diminuindo seu denominador , então podemos multiplicar o numerador pelo inteiro ou dividir o denominador por ele, se tal divisão for possível.

A partir daqui temos a regra:

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, você precisa multiplicar o numerador por esse número inteiro e deixar o denominador igual, ou, se possível, dividir o denominador por esse número, deixando o numerador inalterado.

Ao multiplicar, abreviações são possíveis, por exemplo:

2. Encontrar uma fração de um determinado número. Existem muitos problemas nos quais você precisa encontrar ou calcular uma parte de um determinado número. A diferença entre essas tarefas e outras é que elas dão o número de alguns objetos ou unidades de medida e você precisa encontrar uma parte desse número, que também é indicado aqui por uma certa fração. Para facilitar a compreensão, primeiro daremos exemplos de tais problemas e, em seguida, apresentaremos o método de resolvê-los.

Tarefa 1. Eu tinha 60 rublos; 1/3 desse dinheiro gastei na compra de livros. Quanto custaram os livros?

Tarefa 2. O trem deve percorrer a distância entre as cidades A e B, igual a 300 km. Ele já percorreu 2/3 dessa distância. Quantos quilômetros é isso?

Tarefa 3. Existem 400 casas na aldeia, 3/4 delas são de alvenaria, as restantes são de madeira. Quantas casas de alvenaria existem?

Aqui estão alguns dos muitos problemas com os quais temos que lidar para encontrar uma fração de um determinado número. Eles geralmente são chamados de problemas para encontrar uma fração de um determinado número.

Solução do problema 1. A partir de 60 rublos. Gastei 1/3 em livros; Então, para encontrar o custo dos livros, você precisa dividir o número 60 por 3:

Solução do problema 2. O significado do problema é que você precisa encontrar 2/3 de 300 km. Calcule o primeiro 1/3 de 300; isto é conseguido dividindo 300 km por 3:

300: 3 = 100 (isso é 1/3 de 300).

Para encontrar dois terços de 300, você precisa dobrar o quociente resultante, ou seja, multiplicar por 2:

100 x 2 = 200 (isso é 2/3 de 300).

Solução do problema 3. Aqui você precisa determinar o número de casas de tijolos, que são 3/4 de 400. Vamos primeiro encontrar 1/4 de 400,

400: 4 = 100 (isso é 1/4 de 400).

Por cálculo de três trimestres de 400, o quociente resultante deve ser triplicado, ou seja, multiplicado por 3:

100 x 3 = 300 (isso é 3/4 de 400).

Com base na solução desses problemas, podemos derivar a seguinte regra:

Para encontrar o valor de uma fração de um determinado número, você precisa dividir esse número pelo denominador da fração e multiplicar o quociente resultante por seu numerador.

3. Multiplicação de um número inteiro por uma fração.

Anteriormente (§ 26) foi estabelecido que a multiplicação de números inteiros deve ser entendida como a adição de termos idênticos (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Neste parágrafo (§ 1º) ficou estabelecido que multiplicar uma fração por um inteiro significa encontrar a soma de termos idênticos igual a essa fração.

Em ambos os casos, a multiplicação consistiu em encontrar a soma de termos idênticos.

Agora vamos multiplicar um número inteiro por uma fração. Aqui nos encontraremos com tal, por exemplo, multiplicação: 9 2 / 3. É bastante óbvio que a definição anterior de multiplicação não se aplica a este caso. Isso é evidente pelo fato de que não podemos substituir tal multiplicação pela adição de números iguais.

Por isso, teremos que dar uma nova definição de multiplicação, ou seja, em outras palavras, responder à questão do que deve ser entendido por multiplicação por uma fração, como essa ação deve ser entendida.

O significado de multiplicar um número inteiro por uma fração é claro a partir da seguinte definição: multiplicar um inteiro (multiplicador) por uma fração (multiplicador) significa encontrar essa fração do multiplicador.

Ou seja, multiplicar 9 por 2/3 significa encontrar 2/3 de nove unidades. No parágrafo anterior, tais problemas foram resolvidos; então é fácil descobrir que acabamos com 6.

Mas agora há um interessante e questão importante: por que tal à primeira vista várias atividades como encontrar a soma números iguais e encontrar a fração de um número, em aritmética são chamados a mesma palavra "multiplicação"?

Isso acontece porque a ação anterior (repetir um número com termos várias vezes) e uma nova ação (encontrar uma fração de um número) dão uma resposta a perguntas homogêneas. Isso significa que partimos aqui das considerações de que questões ou tarefas homogêneas são resolvidas por uma única e mesma ação.

Para entender isso, considere o seguinte problema: “1 m de tecido custa 50 rublos. Quanto custará 4 m desse tecido?

Este problema é resolvido multiplicando o número de rublos (50) pelo número de metros (4), ou seja, 50 x 4 = 200 (rublos).

Vamos pegar o mesmo problema, mas nele a quantidade de tecido será expressa como um número fracionário: “1 m de tecido custa 50 rublos. Quanto custará 3/4 m desse tecido?

Este problema também precisa ser resolvido multiplicando o número de rublos (50) pelo número de metros (3/4).

Você também pode alterar os números várias vezes sem alterar o significado do problema, por exemplo, pegue 9/10 m ou 2 3/10 m, etc.

Como esses problemas têm o mesmo conteúdo e diferem apenas em números, chamamos as ações usadas para resolvê-los de mesma palavra - multiplicação.

Como se multiplica um número inteiro por uma fração?

Vamos pegar os números encontrados no último problema:

De acordo com a definição, devemos encontrar 3/4 de 50. Primeiro encontramos 1/4 de 50 e depois 3/4.

1/4 de 50 é 50/4;

3/4 de 50 é .

Consequentemente.

Considere outro exemplo: 12 5 / 8 = ?

1/8 de 12 é 12/8,

5/8 do número 12 é .

Consequentemente,

A partir daqui temos a regra:

Para multiplicar um inteiro por uma fração, você precisa multiplicar o inteiro pelo numerador da fração e fazer deste produto o numerador, e assinar o denominador da fração dada como denominador.

Escrevemos esta regra usando letras:

Para deixar essa regra perfeitamente clara, deve-se lembrar que uma fração pode ser considerada um quociente. Portanto, é útil comparar a regra encontrada com a regra para multiplicar um número por um quociente, que foi estabelecida no § 38

Deve ser lembrado que antes de realizar a multiplicação, você deve fazer (se possível) cortes, por exemplo:

4. Multiplicando uma fração por uma fração. Multiplicar uma fração por uma fração tem o mesmo significado que multiplicar um inteiro por uma fração, ou seja, ao multiplicar uma fração por uma fração, você precisa encontrar a fração no multiplicador a partir da primeira fração (multiplicador).

Ou seja, multiplicar 3/4 por 1/2 (metade) significa encontrar metade de 3/4.

Como você multiplica uma fração por uma fração?

Vamos dar um exemplo: 3/4 vezes 5/7. Isso significa que você precisa encontrar 5/7 de 3/4. Encontre primeiro 1/7 de 3/4 e depois 5/7

1/7 de 3/4 seria expresso assim:

5/7 números 3/4 serão expressos da seguinte forma:

Nesse caminho,

Outro exemplo: 5/8 vezes 4/9.

1/9 de 5/8 é,

4/9 números 5/8 são .

Nesse caminho,

A partir desses exemplos, a seguinte regra pode ser deduzida:

Para multiplicar uma fração por uma fração, você precisa multiplicar o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador e fazer do primeiro produto o numerador e o segundo produto o denominador do produto.

Esta é a regra em visão geral pode ser escrito assim:

Ao multiplicar, é necessário fazer (se possível) reduções. Considere exemplos:

5. Multiplicação de números mistos. Como os números mistos podem ser facilmente substituídos por frações impróprias, essa circunstância geralmente é usada na multiplicação de números mistos. Isso significa que nos casos em que o multiplicador, ou o fator, ou ambos os fatores são expressos números mistos, então eles são substituídos por frações impróprias. Multiplique, por exemplo, números mistos: 2 1/2 e 3 1/5. Transformamos cada um deles em uma fração imprópria e, em seguida, multiplicamos as frações resultantes de acordo com a regra de multiplicar uma fração por uma fração:

Regra. Para multiplicar números mistos, você deve primeiro convertê-los em frações impróprias e depois multiplicar de acordo com a regra de multiplicar uma fração por uma fração.

Observação. Se um dos fatores for um número inteiro, então a multiplicação pode ser realizada com base na lei de distribuição da seguinte forma:

6. O conceito de interesse. Ao resolver problemas e ao realizar vários cálculos práticos, usamos todos os tipos de frações. Mas deve-se ter em mente que muitas quantidades admitem não quaisquer, mas subdivisões naturais para elas. Por exemplo, você pode pegar um centésimo (1/100) de um rublo, será um centavo, dois centésimos são 2 copeques, três centésimos são 3 copeques. Você pode pegar 1/10 do rublo, será "10 copeques, ou um centavo. Você pode pegar um quarto do rublo, ou seja, 25 copeques, meio rublo, ou seja, 50 copeques (cinquenta copeques). Mas eles praticamente não não tome, por exemplo, 2/7 rublos porque o rublo não é dividido em sétimos.

A unidade de medida do peso, ou seja, o quilograma, permite, em primeiro lugar, subdivisões decimais, por exemplo, 1/10 kg ou 100 g. E frações de um quilograma como 1/6, 1/11, 1/ 13 são incomuns.

Em geral, nossas medidas (métricas) são decimais e permitem subdivisões decimais.

No entanto, deve-se notar que é extremamente útil e conveniente em uma ampla variedade de casos usar o mesmo método (uniforme) de subdividir quantidades. Muitos anos de experiência mostraram que uma divisão tão bem justificada é a divisão dos "centésimos". Vejamos alguns exemplos relacionados às mais diversas áreas da prática humana.

1. O preço dos livros diminuiu 12/100 do preço anterior.

Exemplo. O preço anterior do livro é de 10 rublos. Ela caiu 1 rublo. 20 kop.

2. As caixas económicas pagam durante o ano aos depositantes 2/100 do valor que é depositado na poupança.

Exemplo. 500 rublos são colocados no caixa, a receita desse valor para o ano é de 10 rublos.

3. O número de graduados de uma escola era 5/100 do número total de alunos.

EXEMPLO Apenas 1.200 alunos estudaram na escola, 60 deles se formaram na escola.

O centésimo de um número é chamado de porcentagem..

A palavra "porcentagem" é emprestada de latim e sua raiz "cent" significa cem. Juntamente com a preposição (pro centum), esta palavra significa "por cem". O significado desta expressão decorre do fato de que inicialmente em Roma antiga juros era o dinheiro que o devedor pagava ao credor "para cada cem". A palavra "cent" é ouvida em palavras tão familiares: centner (cem quilogramas), centímetro (eles dizem centímetro).

Por exemplo, em vez de dizer que a fábrica produziu 1/100 de todos os produtos produzidos por ela durante o mês passado, diremos o seguinte: a fábrica produziu um por cento dos rejeitos durante o mês passado. Em vez de dizer: a fábrica produziu 4/100 produtos a mais do que o plano estabelecido, diremos: a fábrica superou o plano em 4%.

Os exemplos acima podem ser expressos de forma diferente:

1. O preço dos livros diminuiu 12% do preço anterior.

2. Os bancos de poupança pagam aos depositantes 2% ao ano do valor investido na poupança.

3. O número de graduados de uma escola era 5% do número de todos os alunos da escola.

Para encurtar a letra, costuma-se escrever o sinal % em vez da palavra "porcentagem".

No entanto, deve-se lembrar que o sinal % geralmente não é escrito nos cálculos, pode ser escrito no enunciado do problema e no resultado final. Ao realizar cálculos, você precisa escrever uma fração com denominador de 100 em vez de um número inteiro com este ícone.

Você precisa ser capaz de substituir um inteiro pelo ícone especificado por uma fração com denominador de 100:

Por outro lado, você precisa se acostumar a escrever um inteiro com o ícone indicado em vez de uma fração com denominador 100:

7. Encontrar porcentagens de um determinado número.

Tarefa 1. A escola recebeu 200 metros cúbicos. m de lenha, com a lenha de bétula representando 30%. Quanta madeira de bétula havia?

O significado deste problema é que a lenha de bétula era apenas uma parte da lenha que foi entregue à escola, e essa parte é expressa como uma fração de 30/100. Assim, nos deparamos com a tarefa de encontrar uma fração de um número. Para resolvê-lo, devemos multiplicar 200 por 30 / 100 (as tarefas para encontrar a fração de um número são resolvidas multiplicando um número por uma fração.).

Então 30% de 200 é igual a 60.

A fração 30/100 encontrada neste problema pode ser reduzida em 10. Seria possível realizar essa redução desde o início; a solução para o problema não mudaria.

Tarefa 2. Havia 300 crianças de várias idades no acampamento. Crianças de 11 anos eram 21%, crianças de 12 anos eram 61% e, finalmente, crianças de 13 anos eram 18%. Quantas crianças de cada idade estavam no acampamento?

Neste problema, você precisa realizar três cálculos, ou seja, encontrar sucessivamente o número de crianças de 11 anos, depois 12 anos e, finalmente, 13 anos.

Então, aqui será necessário encontrar uma fração de um número três vezes. Vamos fazer isso:

1) Quantas crianças tinham 11 anos?

2) Quantas crianças tinham 12 anos?

3) Quantas crianças tinham 13 anos?

Depois de resolver o problema, é útil somar os números encontrados; sua soma deve ser 300:

63 + 183 + 54 = 300

Você também deve prestar atenção ao fato de que a soma das porcentagens dadas na condição do problema é 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Isso sugere que número total crianças que estavam no acampamento foi considerado 100%.

3 a da cha 3. O trabalhador recebia 1.200 rublos por mês. Destes, gastou 65% em alimentação, 6% em apartamento e aquecimento, 4% em gás, eletricidade e rádio, 10% em necessidades culturais e 15% economizou. Quanto dinheiro foi gasto nas necessidades indicadas na tarefa?

Para resolver este problema, você precisa encontrar uma fração do número 1.200 5 vezes.

1) Quanto dinheiro é gasto em comida? A tarefa diz que essa despesa é 65% de todos os ganhos, ou seja, 65/100 do número 1.200. Vamos fazer o cálculo:

2) Quanto dinheiro foi pago por um apartamento com aquecimento? Argumentando como o anterior, chegamos ao seguinte cálculo:

3) Quanto você pagou pelo gás, eletricidade e rádio?

4) Quanto dinheiro é gasto em necessidades culturais?

5) Quanto dinheiro o trabalhador economizou?

Para verificação, é útil somar os números encontrados nestas 5 questões. O valor deve ser de 1.200 rublos. Todos os ganhos são considerados 100%, o que é fácil de verificar somando-se as porcentagens fornecidas no enunciado do problema.

Resolvemos três problemas. Apesar de essas tarefas tratarem de coisas diferentes (entrega de lenha para a escola, número de crianças de idades diferentes, despesas do trabalhador), elas foram resolvidas da mesma forma. Isso aconteceu porque em todas as tarefas foi necessário encontrar uma pequena porcentagem dos números fornecidos.

§ 90. Divisão de frações.

Ao estudar a divisão de frações, consideraremos as seguintes questões:

1. Divida um inteiro por um inteiro.
2. Divisão de uma fração por um inteiro
3. Divisão de um inteiro por uma fração.
4. Divisão de uma fração por uma fração.
5. Divisão de números mistos.
6. Encontrar um número dado sua fração.
7. Encontrar um número por sua porcentagem.

Vamos considerá-los sequencialmente.

1. Divida um inteiro por um inteiro.

Como foi indicado na seção de inteiros, a divisão é a ação que consiste no fato de que, dado o produto de dois fatores (o dividendo) e um desses fatores (o divisor), outro fator é encontrado.

A divisão de um inteiro por um inteiro nós consideramos no departamento de inteiros. Encontramos aí dois casos de divisão: divisão sem resto, ou "inteiramente" (150: 10 = 15), e divisão com resto (100: 9 = 11 e 1 no resto). Podemos, portanto, dizer que no reino dos inteiros nem sempre é possível a divisão exata, pois o dividendo nem sempre é o produto do divisor pelo inteiro. Após a introdução da multiplicação por fração, podemos considerar qualquer caso de divisão de inteiros possível (apenas a divisão por zero é excluída).

Por exemplo, dividir 7 por 12 significa encontrar um número cujo produto vezes 12 seria 7. Esse número é a fração 7/12 porque 7/12 12 = 7. Outro exemplo: 14: 25 = 14/25 porque 14/25 25 = 14.

Assim, para dividir um inteiro por um inteiro, você precisa fazer uma fração, cujo numerador é igual ao dividendo e o denominador é o divisor.

2. Divisão de uma fração por um inteiro.

Divida a fração 6/7 por 3. De acordo com a definição de divisão dada acima, temos aqui o produto (6/7) e um dos fatores (3); é necessário encontrar um segundo fator, que da multiplicação por 3 daria Este trabalho 6/7. Obviamente, deve ser três vezes menor que este produto. Isso significa que a tarefa proposta diante de nós era reduzir a fração 6/7 em 3 vezes.

Já sabemos que a redução de uma fração pode ser feita diminuindo seu numerador ou aumentando seu denominador. Portanto, você pode escrever:

Nesse caso, o numerador 6 é divisível por 3, então o numerador deve ser reduzido em 3 vezes.

Vamos dar outro exemplo: 5/8 dividido por 2. Aqui o numerador 5 não é divisível por 2, o que significa que o denominador terá que ser multiplicado por este número:

Com base nisso, podemos enunciar a regra: Para dividir uma fração por um inteiro, você precisa dividir o numerador da fração por esse inteiro(se possível), deixando o mesmo denominador, ou multiplique o denominador da fração por este número, deixando o mesmo numerador.

3. Divisão de um inteiro por uma fração.

Que seja necessário dividir 5 por 1/2, ou seja, encontrar um número que, depois de multiplicado por 1/2, dê o produto 5. Obviamente, esse número deve ser maior que 5, pois 1/2 é uma fração própria, e ao multiplicar um número por uma fração própria, o produto deve ser menor que o multiplicando. Para deixar mais claro, vamos escrever nossas ações da seguinte forma: 5: 1 / 2 = X , então x 1 / 2 \u003d 5.

Devemos encontrar tal número X , que, quando multiplicado por 1/2, daria 5. Como multiplicar um certo número por 1/2 significa encontrar 1/2 desse número, então, portanto, 1/2 data desconhecida X é 5, e o número inteiro X duas vezes mais, ou seja, 5 2 \u003d 10.

Então 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Vamos checar:

Vamos considerar mais um exemplo. Seja necessário dividir 6 por 2/3. Vamos primeiro tentar encontrar o resultado desejado usando o desenho (Fig. 19).

Fig.19

Desenhe um segmento AB, igual a 6 de algumas unidades, e divida cada unidade em 3 partes iguais. Em cada unidade, três terços (3/3) em todo o segmento AB em 6 vezes mais, t. e. 18/3. Conectamos com a ajuda de pequenos colchetes 18 segmentos obtidos de 2; Serão apenas 9 segmentos. Isso significa que a fração 2/3 está contida em b unidades 9 vezes, ou seja, a fração 2/3 é 9 vezes menor que 6 unidades inteiras. Consequentemente,

Como obter esse resultado sem desenho usando apenas cálculos? Vamos argumentar da seguinte forma: é necessário dividir 6 por 2/3, ou seja, é necessário responder à pergunta, quantas vezes 2/3 está contido em 6. Vamos descobrir primeiro: quantas vezes é 1/3 contido em 6? Em uma unidade inteira - 3 terços e em 6 unidades - 6 vezes mais, ou seja, 18 terços; para encontrar esse número, devemos multiplicar 6 por 3. Portanto, 1/3 está contido em b unidades 18 vezes, e 2/3 está contido em b unidades não 18 vezes, mas metade das vezes, ou seja, 18: 2 = 9 . Portanto, ao dividir 6 por 2/3 fizemos o seguinte:

A partir daqui, obtemos a regra para dividir um inteiro por uma fração. Para dividir um inteiro por uma fração, você precisa multiplicar esse inteiro pelo denominador da fração dada e, tornando este produto o numerador, dividi-lo pelo numerador da fração dada.

Escrevemos a regra usando letras:

Para deixar essa regra perfeitamente clara, deve-se lembrar que uma fração pode ser considerada um quociente. Portanto, é útil comparar a regra encontrada com a regra para dividir um número por um quociente, que foi estabelecida no § 38. Observe que a mesma fórmula foi obtida lá.

Ao dividir, abreviações são possíveis, por exemplo:

4. Divisão de uma fração por uma fração.

Que seja necessário dividir 3/4 por 3/8. O que denotará o número que será obtido como resultado da divisão? Ele responderá à pergunta quantas vezes a fração 3/8 está contida na fração 3/4. Para entender esta questão, vamos fazer um desenho (Fig. 20).

Pegue o segmento AB, tome-o como uma unidade, divida-o em 4 partes iguais e marque 3 dessas partes. O segmento AC será igual a 3/4 do segmento AB. Vamos agora dividir cada um dos quatro segmentos iniciais ao meio, então o segmento AB será dividido em 8 partes iguais e cada uma dessas partes será igual a 1/8 do segmento AB. Conectamos 3 desses segmentos com arcos, então cada um dos segmentos AD e DC será igual a 3/8 do segmento AB. O desenho mostra que o segmento igual a 3/8 está contido no segmento igual a 3/4 exatamente 2 vezes; Assim, o resultado da divisão pode ser escrito assim:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Vamos considerar mais um exemplo. Seja necessário dividir 15/16 por 32/3:

Podemos raciocinar assim: precisamos encontrar um número que, depois de multiplicado por 3/32, dê um produto igual a 15/16. Vamos escrever os cálculos assim:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 número desconhecido X compõem 15/16

1/32 número desconhecido X é ,

32/32 números X Maquiagem .

Consequentemente,

Assim, para dividir uma fração por uma fração, você precisa multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda, e multiplicar o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda e fazer do primeiro produto o numerador e o segundo o denominador.

Vamos escrever a regra usando letras:

Ao dividir, abreviações são possíveis, por exemplo:

5. Divisão de números mistos.

Ao dividir números mistos, eles devem primeiro ser convertidos em frações impróprias, em seguida, divida as frações resultantes de acordo com as regras para dividir números fracionários. Considere um exemplo:

Converter números mistos em frações impróprias:

Agora vamos dividir:

Assim, para dividir números mistos, você precisa convertê-los em frações impróprias e depois dividir de acordo com a regra de divisão de frações.

6. Encontrar um número dado sua fração.

Dentre várias tarefas em frações, às vezes há aquelas em que o valor de alguma fração de um número desconhecido é dado e é necessário encontrar esse número. Esse tipo de problema será inverso ao problema de encontrar uma fração de um determinado número; lá foi dado um número e era necessário encontrar alguma fração desse número, aqui é dada uma fração de um número e é necessário encontrar esse próprio número. Essa ideia ficará ainda mais clara se nos voltarmos para a solução desse tipo de problema.

Tarefa 1. No primeiro dia, os vidraceiros esquadrinharam 50 janelas, o que representa 1/3 de todas as janelas da casa construída. Quantas janelas há nesta casa?

Solução. O problema diz que 50 janelas envidraçadas compõem 1/3 de todas as janelas da casa, o que significa que há 3 vezes mais janelas no total, ou seja,

A casa tinha 150 janelas.

Tarefa 2. A loja vendeu 1.500 kg de farinha, o que representa 3/8 do estoque total de farinha na loja. Qual era o suprimento inicial de farinha da loja?

Solução. Pode-se ver pela condição do problema que os 1.500 kg de farinha vendidos representam 3/8 do estoque total; isso significa que 1/8 desse estoque será 3 vezes menor, ou seja, para calculá-lo, você precisa reduzir 1500 em 3 vezes:

1.500: 3 = 500 (isso é 1/8 do estoque).

Obviamente, todo o estoque será 8 vezes maior. Consequentemente,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

A oferta inicial de farinha na loja era de 4.000 kg.

Da consideração deste problema, a seguinte regra pode ser deduzida.

Para encontrar um número por um determinado valor de sua fração, basta dividir esse valor pelo numerador da fração e multiplicar o resultado pelo denominador da fração.

Resolvemos dois problemas para encontrar um número dada sua fração. Tais problemas, como é especialmente bem visto a partir do último, são resolvidos por duas ações: divisão (quando uma parte é encontrada) e multiplicação (quando o número inteiro é encontrado).

No entanto, depois de estudarmos a divisão de frações, os problemas acima podem ser resolvidos em uma ação, a saber: divisão por uma fração.

Por exemplo, a última tarefa pode ser resolvida em uma ação como esta:

No futuro, resolveremos o problema de encontrar um número por sua fração em uma ação - divisão.

7. Encontrar um número por sua porcentagem.

Nessas tarefas, você precisará encontrar um número, conhecendo alguns por cento desse número.

Tarefa 1. No inicio ano atual Recebi 60 rublos do banco de poupança. renda do valor que coloquei na poupança um ano atrás. Quanto dinheiro eu coloquei no banco de poupança? (Caixas dão aos depositantes 2% da renda por ano.)

O significado do problema é que uma certa quantia de dinheiro foi colocada por mim em um banco de poupança e ficou lá por um ano. Depois de um ano, recebi 60 rublos dela. renda, que é 2/100 do dinheiro que coloquei. Quanto dinheiro depositei?

Portanto, conhecendo a parte desse dinheiro, expressa de duas maneiras (em rublos e em frações), devemos encontrar o valor total, ainda desconhecido. Este é um problema comum de encontrar um número dada sua fração. As seguintes tarefas são resolvidas por divisão:

Então, 3.000 rublos foram colocados no banco de poupança.

Tarefa 2. Em duas semanas, os pescadores cumpriram o plano mensal em 64%, tendo preparado 512 toneladas de pescado. Qual era o plano deles?

Pela condição do problema, sabe-se que os pescadores concluíram parte do plano. Essa parte equivale a 512 toneladas, o que representa 64% do plano. Quantas toneladas de peixe precisam ser colhidas de acordo com o plano, não sabemos. A solução do problema consistirá em encontrar este número.

Essas tarefas são resolvidas dividindo:

Então, de acordo com o plano, você precisa preparar 800 toneladas de peixe.

Tarefa 3. O trem foi de Riga para Moscou. Ao passar o quilômetro 276, um dos passageiros perguntou ao condutor que passava quanto da viagem eles já haviam percorrido. A isso o condutor respondeu: “Já cobrimos 30% de toda a viagem”. Qual é a distância de Riga a Moscou?

Pode-se ver a partir da condição do problema que 30% da viagem de Riga a Moscou é de 276 km. Precisamos encontrar toda a distância entre essas cidades, ou seja, para esta parte, encontre o todo:

§ 91. Números recíprocos. Substituindo divisão por multiplicação.

Pegue a fração 2/3 e reorganize o numerador no lugar do denominador, obtemos 3/2. Temos uma fração, a recíproca desta.

Para obter uma fração recíproca de uma dada, você precisa colocar seu numerador no lugar do denominador e o denominador no lugar do numerador. Desta forma, podemos obter uma fração que é o recíproco de qualquer fração. Por exemplo:

3/4, reverso 4/3; 5/6, reverso 6/5

Duas frações que têm a propriedade de que o numerador da primeira é o denominador da segunda e o denominador da primeira é o numerador da segunda são chamadas mutuamente inversas.

Agora vamos pensar em qual fração será a recíproca de 1/2. Obviamente, será 2 / 1, ou apenas 2. Procurando a recíproca disso, temos um número inteiro. E este caso não é isolado; pelo contrário, para todas as frações com numerador 1 (um), os recíprocos serão inteiros, por exemplo:

1/3, inverso 3; 1/5, reverso 5

Como ao encontrar recíprocos também encontramos números inteiros, no futuro não falaremos sobre recíprocos, mas sobre recíprocos.

Vamos descobrir como escrever o inverso de um número inteiro. Para frações, isso é resolvido de forma simples: você precisa colocar o denominador no lugar do numerador. Da mesma forma, você pode obter o recíproco de um inteiro, pois qualquer inteiro pode ter um denominador de 1. Portanto, o recíproco de 7 será 1 / 7, porque 7 \u003d 7 / 1; para o número 10 o inverso é 1/10 pois 10 = 10/1

Essa ideia pode ser expressa de outra forma: o recíproco de um dado número é obtido dividindo-se um por determinado número . Esta afirmação é verdadeira não apenas para números inteiros, mas também para frações. De fato, se você quiser escrever um número que seja o recíproco da fração 5/9, podemos pegar 1 e dividi-lo por 5/9, ou seja,

Agora vamos apontar um propriedade números mutuamente recíprocos, que nos serão úteis: o produto de números mutuamente recíprocos é igual a um. De fato:

Usando esta propriedade, podemos encontrar recíprocos da seguinte maneira. Vamos encontrar o inverso de 8.

Vamos denotar com a letra X , então 8 X = 1, portanto X = 1/8. Vamos encontrar outro número, o inverso de 7/12, denote-o por uma letra X , então 7/12 X = 1, portanto X = 1:7 / 12 ou X = 12 / 7 .

Introduzimos aqui o conceito de números recíprocos para complementar um pouco as informações sobre a divisão de frações.

Quando dividimos o número 6 por 3/5, fazemos o seguinte:

Pagar Atenção especialà expressão e compare-a com a dada: .

Se tomarmos a expressão separadamente, sem conexão com a anterior, é impossível resolver a questão de onde ela veio: de dividir 6 por 3/5 ou de multiplicar 6 por 5/3. Em ambos os casos o resultado é o mesmo. Então podemos dizer que a divisão de um número por outro pode ser substituída pela multiplicação do dividendo pelo inverso do divisor.

Os exemplos que damos abaixo confirmam plenamente esta conclusão.

Multiplicação e divisão de frações.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

Esta operação é muito melhor do que adição-subtração! Porque é mais fácil. Relembro: para multiplicar uma fração por uma fração, você precisa multiplicar os numeradores (este será o numerador do resultado) e os denominadores (este será o denominador). Aquilo é:

Por exemplo:

Tudo é extremamente simples. E por favor, não procure um denominador comum! Não precisa disso aqui...

Para dividir uma fração por uma fração, você precisa inverter segundo(isso é importante!) fracionar e multiplicá-los, ou seja:

Por exemplo:

Se a multiplicação ou divisão com inteiros e frações for capturada, tudo bem. Assim como na adição, fazemos uma fração de um número inteiro com uma unidade no denominador - e pronto! Por exemplo:

No ensino médio, muitas vezes você tem que lidar com frações de três andares (ou mesmo de quatro andares!). Por exemplo:

Como trazer essa fração para uma forma decente? Sim, muito fácil! Use a divisão por dois pontos:

Mas não se esqueça da ordem de divisão! Ao contrário da multiplicação, isso é muito importante aqui! Claro, não vamos confundir 4:2 ou 2:4. Mas em uma fração de três andares é fácil cometer um erro. Observe, por exemplo:

No primeiro caso (expressão à esquerda):

Na segunda (expressão à direita):

Sinta a diferença? 4 e 1/9!

Qual é a ordem de divisão? Ou colchetes, ou (como aqui) o comprimento dos traços horizontais. Desenvolva um olho. E se não houver colchetes ou traços, como:

então divida-multiplique em ordem, da esquerda para a direita!

E muito simples e truque importante. Em ações com graus, será útil para você! Vamos dividir a unidade por qualquer fração, por exemplo, por 13/15:

O tiro virou! E isso sempre acontece. Ao dividir 1 por qualquer fração, o resultado é a mesma fração, apenas invertida.

Essas são todas as ações com frações. A coisa é bem simples, mas dá erros mais que suficientes. Observação Conselho prático, e eles (erros) serão menores!

Dicas práticas:

1. O mais importante ao trabalhar com expressões fracionárias é a precisão e a atenção! não é palavras comuns, não bons desejos! Esta é uma necessidade severa! Faça todos os cálculos do exame como uma tarefa completa, com concentração e clareza. É melhor escrever duas linhas extras em um rascunho do que errar ao calcular na sua cabeça.

2. Nos exemplos com tipos diferentes frações - vá para frações ordinárias.

3. Reduzimos todas as frações até o fim.

4. Vários andares expressões fracionárias reduzimos aos ordinários usando a divisão por dois pontos (seguimos a ordem da divisão!).

5. Nós dividimos a unidade em uma fração em nossa mente, simplesmente virando a fração.

Aqui estão as tarefas que você precisa concluir. As respostas são dadas após todas as tarefas. Use os materiais deste tópico e conselhos práticos. Estime quantos exemplos você poderia resolver corretamente. A primeira vez! Sem calculadora! E tire as conclusões certas...

Lembre-se da resposta correta obtido a partir da segunda (especialmente a terceira) vez - não conta! Assim é a vida dura.

Então, resolver no modo de exame ! Esta é a preparação para o exame, a propósito. Resolvemos um exemplo, verificamos, resolvemos o seguinte. Decidimos tudo - verificamos novamente do primeiro ao último. Se apenas depois veja as respostas.

Calcular:

Você decidiu?

Procurando por respostas que correspondam às suas. Eu as escrevi especificamente em uma bagunça, longe da tentação, por assim dizer... Aqui estão elas, as respostas, escritas com ponto e vírgula.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

E agora tiramos conclusões. Se tudo deu certo - feliz por você! Cálculos elementares com frações não são problema seu! Você pode fazer coisas mais sérias. Se não...

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Os números fracionários comuns encontram os alunos pela primeira vez na 5ª série e os acompanham por toda a vida, pois na vida cotidiana muitas vezes é necessário considerar ou usar algum objeto não inteiramente, mas em peças separadas. O início do estudo deste tópico - compartilhe. As ações são partes iguais em que um objeto é dividido. Afinal, nem sempre é possível expressar, por exemplo, o comprimento ou o preço de um produto como um número inteiro; deve-se levar em consideração partes ou ações de qualquer medida. Formado a partir do verbo "esmagar" - dividir em partes e com raízes árabes, no século VIII a palavra "fração" apareceu em russo.

Expressões fracionárias muito tempo considerado o ramo mais difícil da matemática. No século 17, quando surgiram os primeiros livros didáticos de matemática, eles eram chamados de "números quebrados", o que era muito difícil de exibir na compreensão das pessoas.

aparência moderna resíduos fracionários simples, partes dos quais são separados precisamente por uma linha horizontal, foram contribuídos pela primeira vez para Fibonacci - Leonardo de Pisa. Seus escritos são datados de 1202. Mas o objetivo deste artigo é explicar de forma simples e clara ao leitor como ocorre a multiplicação de frações mistas com denominadores diferentes.

Multiplicando frações com denominadores diferentes

Inicialmente, é necessário determinar variedades de frações:

• correto;
• errado;
• misturado.

Em seguida, você precisa se lembrar de como os números fracionários com os mesmos denominadores são multiplicados. A própria regra deste processo é fácil de formular independentemente: o resultado da multiplicação frações simples com os mesmos denominadores é uma expressão fracionária, cujo numerador é o produto dos numeradores, e o denominador é o produto dos denominadores das frações dadas. Ou seja, de fato, o novo denominador é o quadrado de um dos existentes inicialmente.

Ao multiplicar frações simples com denominadores diferentes para dois ou mais fatores, a regra não muda:

uma/b * c/d = a*c/ b*d.

A única diferença é que número formado sob a barra fracionária será o produto de diferentes números e, claro, o quadrado de um expressão numéricaé impossível nomeá-lo.

Vale a pena considerar a multiplicação de frações com denominadores diferentes usando exemplos:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Os exemplos usam maneiras de reduzir expressões fracionárias. Você só pode cancelar os números do numerador com os números do denominador, ao lado de multiplicadores permanentes acima da barra fracionária ou abaixo dela não pode ser abreviada.

Junto com simples números fracionários, existe o conceito de frações mistas. Um número misto consiste em um número inteiro e uma parte fracionária, ou seja, é a soma desses números:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Como funciona a multiplicação?

Vários exemplos são fornecidos para consideração.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

O exemplo usa a multiplicação de um número por parte fracionária ordinária, você pode escrever a regra para esta ação pela fórmula:

uma * b/c = a*b/c.

De fato, tal produto é a soma de restos fracionários idênticos, e o número de termos indica esse número natural. caso especial:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Existe outra opção para resolver a multiplicação de um número por um resto fracionário. Basta dividir o denominador por este número:

d* e/f = e/f: D.

É útil usar essa técnica quando o denominador é dividido por um número natural sem resto ou, como dizem, completamente.

Converta números mistos em frações impróprias e obtenha o produto da maneira descrita anteriormente:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Este exemplo envolve uma maneira de representar uma fração mista como uma fração imprópria, também pode ser representada como Fórmula geral:

uma bc = a*b+ c/c, onde o denominador da nova fração é formado multiplicando a parte inteira pelo denominador e somando-a ao numerador da original resto fracionário, e o denominador permanece o mesmo.

Esse processo também funciona em lado reverso. Para selecionar a parte inteira e o resto fracionário, você precisa dividir o numerador de uma fração imprópria pelo seu denominador com um “canto”.

Multiplicação frações impróprias produzido da maneira usual. Quando gravação em andamento sob uma única linha fracionária, conforme necessário, você precisa reduzir frações para reduzir números usando esse método e é mais fácil calcular o resultado.

Existem muitos ajudantes na Internet para resolver até mesmo problemas complexos. problemas de matemática em vários programas. Um número suficiente desses serviços oferece sua ajuda na contagem da multiplicação de frações com números diferentes em denominadores - as chamadas calculadoras online para calcular frações. Eles são capazes não apenas de se multiplicar, mas também de produzir todas as outras operaçoes aritimeticas com frações comuns e números mistos. É fácil trabalhar com ele, os campos correspondentes são preenchidos na página do site, o sinal é selecionado ação matemática e clique em "calcular". O programa conta automaticamente.

Tema operaçoes aritimeticas com números fracionários é relevante em toda a educação dos alunos do ensino fundamental e médio. No ensino médio, eles não estão mais considerando as espécies mais simples, mas expressões fracionárias inteiras, mas o conhecimento das regras de transformação e cálculos, obtidos anteriormente, é aplicado em sua forma original. bem digerido conhecimento básico dar total confiança dentro boa decisão a maioria Tarefas desafiantes.

Concluindo, faz sentido citar as palavras de Leo Tolstoy, que escreveu: “O homem é uma fração. Não está no poder do homem aumentar seu numerador - seus próprios méritos, mas qualquer um pode diminuir seu denominador - sua opinião sobre si mesmo, e por essa diminuição aproximar-se de sua perfeição.