Chiar și când eram student în primul an, m-am certat aprins cu unul dintre colegii mei de clasă. El a spus că un cub cu patru dimensiuni nu poate fi reprezentat sub nicio formă și am asigurat că poate fi reprezentat destul de clar. Apoi am făcut chiar și o proiecție a unui hipercub în spațiul nostru tridimensional din agrafe... Dar să vorbim despre totul în ordine.
Ce este un hipercub (teseract) și spațiu cu patru dimensiuni
Există trei dimensiuni în spațiul nostru obișnuit. Cu punct geometric de vedere, aceasta înseamnă că trei linii reciproc perpendiculare pot fi indicate în el. Adică, pentru orice linie, puteți găsi o a doua linie perpendiculară pe prima, iar pentru o pereche, puteți găsi o a treia linie perpendiculară pe primele două. Nu se va mai putea găsi a patra dreaptă perpendiculară pe cele trei existente.
Spațiul cu patru dimensiuni diferă de al nostru doar prin faptul că mai are unul direcție suplimentară. Dacă aveți deja trei linii reciproc perpendiculare, atunci o puteți găsi pe a patra, astfel încât să fie perpendiculară pe toate trei.
Un hipercub este doar un cub în patru dimensiuni.
Este posibil să ne imaginăm un spațiu cu patru dimensiuni și un hipercub?
Această întrebare este similară cu întrebarea: „vă puteți imagina Cina cea de Taină Privind pictura cu același nume (1495-1498) de Leonardo da Vinci (1452-1519)?”
Pe de o parte, desigur, nu vă veți imagina ce a văzut Iisus (stă cu fața către privitor), mai ales că nu veți simți mirosul grădinii în afara ferestrei și gustul mâncării de pe masă, nu veți auzi păsările. cântând... Nu vei primi vedere completă despre ce s-a întâmplat în acea seară, dar nu se poate spune că nu vei afla nimic nou și că poza nu prezintă interes.
Situația este similară cu întrebarea hipercubului. Este imposibil să-l imaginezi pe deplin, dar te poți apropia de a înțelege ce este.
Spațiu-timp și spațiu euclidian cu patru dimensiuni
Sper că ai reușit să-ți imaginezi hipercubul. Dar ați reușit să vă apropiați de înțelegerea modului în care funcționează spațiul-timp cu patru dimensiuni în care trăim? Vai, nu chiar.
Aici am vorbit despre spațiul euclidian cu patru dimensiuni, dar spațiu-timp are proprietăți foarte diferite. În special, la orice rotație, segmentele rămân întotdeauna înclinate față de axa timpului, fie la un unghi mai mic de 45 de grade, fie la un unghi mai mare de 45 de grade.
Proiecții și viziune a unui locuitor al spațiului cu patru dimensiuni
Câteva cuvinte despre viziune
Trăim într-o lume tridimensională, dar o vedem ca fiind bidimensională. Acest lucru se datorează faptului că retina ochilor noștri este situată într-un plan care are doar două dimensiuni. De aceea suntem capabili să percepem imagini bidimensionale și să le găsim similare cu realitatea. (Desigur, datorită acomodării, ochiul poate estima distanța până la un obiect, dar acesta este deja un efect secundar asociat cu optica încorporată în ochiul nostru.)
Ochii unui locuitor al spațiului cu patru dimensiuni trebuie să aibă o retină tridimensională. O astfel de creatură poate vedea imediat o figură tridimensională complet: toate fețele și interiorul ei. (În același mod, putem vedea o figură bidimensională, toate fețele și interiorul ei.)
Astfel, cu ajutorul organelor noastre vizuale, nu suntem capabili să percepem un cub cu patru dimensiuni în același mod în care l-ar percepe un locuitor al unui spațiu cu patru dimensiuni. Vai. Rămâne doar să ne bazăm pe ochiul minții și pe fantezia, care, din fericire, nu au limitări fizice.
Cu toate acestea, când înfățișez un hipercub într-un avion, trebuie pur și simplu să-l proiectez pe el spațiu bidimensional. Țineți cont de acest lucru atunci când studiați desenele.
Intersecții de margine
Desigur, marginile hipercubului nu se intersectează. Intersecțiile apar doar în cifre. Cu toate acestea, acest lucru nu ar trebui să fie o surpriză, deoarece marginile unui cub obișnuit din figuri se intersectează și ele.
Lungimea coastelor
Este demn de remarcat faptul că toate fețele și marginile unui cub cu patru dimensiuni sunt egale. În figură, ele nu sunt egale doar pentru că sunt situate sub unghiuri diferite spre direcția de vedere. Cu toate acestea, este posibil să desfășori hipercubul astfel încât toate proiecțiile să aibă aceeași lungime.
Tesseract - un hipercub cu patru dimensiuni - un cub în spațiu cu patru dimensiuni.
Conform Dicționarului Oxford, cuvântul tesseract a fost inventat și folosit în 1888 de Charles Howard Hinton (1853-1907) în cartea sa " nouă eră gânduri". Mai târziu, unii oameni au numit aceeași figură un tetracub (greacă τετρα - patru) - un cub cu patru dimensiuni.
Un teseract obișnuit în spațiul euclidian cu patru dimensiuni este definit ca învelișul convex al punctelor (±1, ±1, ±1, ±1). Cu alte cuvinte, poate fi reprezentat ca următorul set:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Un tesseract este mărginit de opt hiperplane x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , a căror intersecție cu tesseract însuși îl definește fețe 3D (care sunt cuburi regulate) Fiecare pereche de fețe 3D neparalele se intersectează pentru a forma fețe 2D (pătrate), etc. În cele din urmă, un tesseract are 8 fețe 3D, 24 2D, 32 muchii și 16 vârfuri.
Descriere populară
Să încercăm să ne imaginăm cum va arăta hipercubul fără să plecăm spatiu tridimensional.
În „spațiul” unidimensional - pe o linie - selectăm un segment AB de lungime L. Pe un plan bidimensional la o distanță L de AB, desenăm un segment DC paralel cu acesta și legăm capetele. Veți obține un CDBA pătrat. Repetând această operație cu un plan, obținem un cub tridimensional CDBAGHFE. Și prin deplasarea cubului în a patra dimensiune (perpendiculară pe primele trei) cu o distanță L, obținem hipercubul CDBAGHFEKLJIOPNM.
Segmentul unidimensional AB este latura pătratului bidimensional CDBA, pătratul este latura cubului CDBAGHFE, care, la rândul său, va fi latura hipercubului cu patru dimensiuni. Un segment de linie dreaptă are două puncte de limită, un pătrat are patru vârfuri, iar un cub are opt. Astfel, într-un hipercub cu patru dimensiuni, vor exista 16 vârfuri: 8 vârfuri ale cubului original și 8 vârfuri deplasate în a patra dimensiune. Are 32 de muchii - câte 12 oferă pozițiile inițiale și finale ale cubului original, iar încă 8 muchii „desenează” opt dintre vârfurile sale care s-au mutat în a patra dimensiune. Același raționament se poate face și pentru fețele hipercubului. În spațiul bidimensional, este unul (pătratul însuși), cubul are 6 dintre ele (două fețe din pătratul mutat și alte patru vor descrie laturile sale). Un hipercub cu patru dimensiuni are 24 de fețe pătrate - 12 pătrate ale cubului original în două poziții și 12 pătrate din douăsprezece dintre muchiile sale.
Deoarece laturile unui pătrat sunt 4 segmente unidimensionale, iar laturile (fețele) unui cub sunt 6 pătrate bidimensionale, așadar pentru „cubul cu patru dimensiuni” (teseract) laturile sunt 8 cuburi tridimensionale. Spațiile perechilor opuse de cuburi tesseract (adică spațiile tridimensionale cărora le aparțin aceste cuburi) sunt paralele. În figură, acestea sunt cuburi: CDBAGHFE și KLJIOPNM, CDBAKLJI și GHFEOPNM, EFBAMNJI și GHDCOPLK, CKIAGOME și DLJBHPNF.
În mod similar, putem continua raționamentul pentru hipercuburi Mai mult dimensiuni, dar este mult mai interesant să vedem cum va arăta un hipercub cu patru dimensiuni pentru noi, locuitorii spațiului tridimensional. Să folosim pentru aceasta metoda deja cunoscută a analogiilor.
Să luăm cubul de sârmă ABCDHEFG și să-l privim cu un ochi din partea feței. Vom vedea și putem desena două pătrate pe plan (fețele sale apropiate și îndepărtate), conectate prin patru linii - margini laterale. În mod similar, un hipercub cu patru dimensiuni în spațiul tridimensional va arăta ca două „cutii” cubice introduse una în cealaltă și conectate prin opt margini. În acest caz, „cutiile” în sine – fețe tridimensionale – vor fi proiectate pe spațiul „nostru”, iar liniile care le leagă se vor întinde în direcția celei de-a patra axe. De asemenea, puteți încerca să vă imaginați un cub nu în proiecție, ci într-o imagine spațială.
Așa cum un cub tridimensional este format dintr-un pătrat deplasat de lungimea unei fețe, un cub mutat în a patra dimensiune va forma un hipercub. Este limitat de opt cuburi, care în viitor vor arăta ca o figură destul de complexă. Hipercubul cu patru dimensiuni în sine constă dintr-un număr infinit de cuburi, la fel cum un cub tridimensional poate fi „tăiat” într-un număr infinit de pătrate plate.
Prin tăierea a șase fețe ale unui cub tridimensional, se poate descompune în el figură plată- o măturare. Va avea câte un pătrat pe fiecare parte a feței originale, plus încă unul - fața opusă acesteia. O dezvoltare tridimensională a unui hipercub cu patru dimensiuni va consta din cubul original, șase cuburi care „cresc” din acesta, plus încă unul – „hiperfața” finală.
Proprietățile teseractului sunt o extensie a proprietăților forme geometrice dimensiunea inferioară într-un spațiu cu patru dimensiuni.
În geometrie hipercub- Acest n-analogia dimensională a unui pătrat ( n= 2) și cubul ( n= 3). Aceasta este o figură convexă închisă, constând din grupuri de linii paralele situate pe marginile opuse ale figurii și conectate între ele în unghi drept.
Această cifră este cunoscută și ca tesseract(teseract). Teseract este la cub, așa cum cubul este la pătrat. Mai formal, un tesseract poate fi descris ca un politop cu patru dimensiuni convex obișnuit (politop) a cărui limită constă din opt celule cubice.
Conform Oxford English Dictionary, cuvântul „tesseract” a fost inventat în 1888 de Charles Howard Hinton și folosit în cartea sa A New Era of Thought. Cuvântul a fost format din grecescul „τεσσερες ακτινες” („patru raze”), este sub forma a patru axe de coordonate. În plus, în unele surse, a fost numită aceeași cifră tetracub(tetracub).
n-hipercubul dimensional mai este numit n-cub.
Un punct este un hipercub de dimensiunea 0. Dacă deplasați un punct cu o unitate de lungime, obțineți un segment de unitate de lungime - un hipercub de dimensiunea 1. În plus, dacă deplasați un segment cu o unitate de lungime într-o direcție perpendiculară pe direcția segmentului se obține un cub - un hipercub de dimensiunea 2. Deplasând pătratul cu o unitate de lungime în direcția perpendiculară pe planul pătratului, se obține un cub - un hipercub de dimensiunea 3. Acest proces poate fi generalizat la orice număr de dimensiuni. De exemplu, dacă mutați un cub cu o unitate de lungime în a patra dimensiune, obțineți un tesseract.
Familia hipercuburilor este una dintre puținele poliedre regulate care pot fi reprezentate în orice dimensiune.
Elemente de hipercub
Hipercubul de dimensiune n are 2 n„laturi” (linia unidimensională are 2 puncte; pătrat bidimensional - 4 laturi; cub tridimensional - 6 fețe; tesseract cu patru dimensiuni - 8 celule). Numărul de vârfuri (puncte) ale hipercubului este 2 n(de exemplu, pentru un cub - 2 3 vârfuri).
Cantitate m-hipercuburi dimensionale la limita n-cubul este egal
De exemplu, pe marginea unui hipercub sunt 8 cuburi, 24 de pătrate, 32 de muchii și 16 vârfuri.
| n-cub | Nume | Vertex (0-față) |
Margine (1-față) |
margine (2 fețe) |
Celulă (3 fețe) |
(4 fețe) | (5 fețe) | (6 fețe) | (7 fețe) | (8 fețe) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-cub | Punct | 1 | ||||||||
| 1-cub | Segment de linie | 2 | 1 | |||||||
| 2-cub | Pătrat | 4 | 4 | 1 | ||||||
| 3-cub | cub | 8 | 12 | 6 | 1 | |||||
| 4-cub | tesseract | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||
| 5-cub | Penteract | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||
| 6-cub | Hexeract | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||
| 7-cub | Hepteract | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |
| 8-cub | Octeract | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 |
| 9-cub | Eneract | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 |
Proiecția avionului
Formarea unui hipercub poate fi reprezentată în felul următor:
- Două puncte A și B pot fi conectate pentru a forma segmentul de linie AB.
- Două segment paralel AB și CD pot fi conectate pentru a forma pătratul ABCD.
- Două pătrate paralele ABCD și EFGH pot fi unite pentru a forma cubul ABCDEFGH.
- Două cuburi paralele ABCDEFGH și IJKLMNOP pot fi conectate pentru a forma un hipercub ABCDEFGHIJKLMNOP.
Această ultimă structură nu este ușor de imaginat, dar este posibil să se înfățișeze proiecția ei pe două sau trei dimensiuni. Mai mult decât atât, proiecțiile pe un plan 2D pot fi mai utile prin rearanjarea pozițiilor vârfurilor proiectate. În acest caz, se pot obține imagini care nu mai reflectă relațiile spațiale ale elementelor din tesseract, ci ilustrează structura conexiunilor de vârf, ca în exemplele de mai jos.
Prima ilustrație arată cum se formează, în principiu, un tesseract prin unirea a două cuburi. Această schemă este similară cu schema de creare a unui cub din două pătrate. A doua diagramă arată că toate marginile teseractului au aceeași lungime. Această schemă este, de asemenea, forțată să caute cuburi conectate între ele. În cea de-a treia diagramă, vârfurile teseractului sunt situate în conformitate cu distanțele de-a lungul fețelor față de punctul de jos. Această schemă este interesantă prin faptul că este folosită ca circuit de bază pentru topologia rețelei de conectare a procesoarelor în organizarea calculului paralel: distanța dintre oricare două noduri nu depășește 4 lungimi de margine și există multe moduri diferite de a echilibra sarcina.
Hipercubul în art
Hipercubul a apărut în science-fiction din 1940, când Robert Heinlein, în povestea „The House That Teal Built” („And He Built a Crooked House”), a descris o casă construită în formă de tesseract. În poveste, acest Mai departe, această casă este pliată, transformându-se într-un tesseract cu patru dimensiuni. După aceea, hipercubul apare în multe cărți și romane.
Cubul 2: Hypercube este aproximativ opt oameni prinși într-o rețea de hipercuburi.
Tabloul Răstignirea (Corpus Hypercubus), 1954 de Salvador Dali îl înfățișează pe Iisus răstignit pe o scanare a teseractelor. Acest tablou poate fi văzut la Museum of Art (Metropolitan Museum of Art) din New York.
Concluzie
Hipercubul este unul dintre cele mai simple obiecte cu patru dimensiuni, pe exemplul căruia se poate observa toată complexitatea și neobișnuința a patra dimensiune. Și ceea ce pare imposibil în trei dimensiuni este posibil în patru, de exemplu, figuri imposibile. Deci, de exemplu, barele unui triunghi imposibil în patru dimensiuni vor fi conectate în unghi drept. Și această figură va arăta așa din toate punctele de vedere și nu va fi distorsionată, spre deosebire de implementările triunghiului imposibil în spațiul tridimensional (vezi Fig.
Învățături despre spații multidimensionale a început să apară în mijlocul al XIX-lea secolului în lucrările lui G. Grassmann, A. Cayley, B. Riemann, W. Clifford, L. Schläfli și alți matematicieni. La începutul secolului al XX-lea, odată cu apariția teoriei relativității a lui A. Einstein și a ideilor lui G. Minkowski, fizica a început să folosească un sistem de coordonate spațiu-timp cu patru dimensiuni.
Apoi, scriitorii de science fiction au împrumutat ideea spațiului cu patru dimensiuni de la oameni de știință. În lucrările lor au spus lumii despre miracole uimitoare a patra dimensiune. Eroii lucrărilor lor, folosind proprietățile spațiului cu patru dimensiuni, puteau mânca conținutul oului fără a deteriora coaja, pot bea o băutură fără a deschide dopul sticlei. Răpitorii au recuperat comoara din seif prin dimensiunea a patra. Vergile lanțului pot fi deconectate cu ușurință, iar nodul de pe frânghie poate fi dezlegat fără a-i atinge capetele. Chirurgii au efectuat operații pe organe interne fără a tăia țesutul corpului pacientului. Misticii au plasat sufletele morților în a patra dimensiune. Pentru persoana normala Ideea unui spațiu cu patru dimensiuni a rămas de neînțeles și misterios și mulți consideră, în general, spațiul cu patru dimensiuni ca fiind rodul imaginației oamenilor de știință și a scriitorilor de science fiction, care nu are nimic de-a face cu realitatea.
Problemă de percepție
În mod tradițional, se crede că o persoană nu poate percepe și reprezenta figuri cu patru dimensiuni, deoarece este o ființă tridimensională. Subiectul percepe figuri tridimensionale cu ajutorul retinei, care este bidimensională. Pentru a percepe figuri cu patru dimensiuni, este nevoie de o retină tridimensională, dar o persoană nu are o astfel de oportunitate.
Pentru a obține o reprezentare vizuală a figurilor cu patru dimensiuni, vom folosi analogii din spațiile de dimensiune inferioară pentru extrapolare la figuri de dimensiune superioară, vom folosi metoda modelării, vom aplica metode analiza de sistem pentru a căuta modele între elementele figurilor cu patru dimensiuni. Modelele propuse ar trebui să descrie în mod adecvat proprietățile figurilor cu patru dimensiuni, să nu se contrazică între ele și să ofere o idee suficientă a unei figuri cu patru dimensiuni și, în primul rând, a acesteia. formă geometrică. Deoarece în literatură nu există o descriere sistematică și vizuală a figurilor cu patru dimensiuni, ci doar numele lor care indică unele proprietăți, ne propunem să începem studiul figurilor cu patru dimensiuni cu cel mai simplu - cub cu patru dimensiuni, care se numește hipercub.
Definiția hipercubului
hipercubse numește un politop obișnuit, a cărui celulă este un cub.
Polytop este o figură cu patru dimensiuni, a cărei limită este formată din poliedre. Un analog al unei celule a unui politop este o față a unui poliedru. Hipercubul este analog cu un cub tridimensional.
Ne vom face o idee despre hipercub dacă îi cunoaștem proprietățile. Subiectul percepe un obiect, reprezentându-l sub forma unui model. Să folosim această metodă și să prezentăm ideea unui hipercub sub formă de diferite modele.
Model analitic
Vom considera un spațiu unidimensional (linie dreaptă) ca un set ordonat de puncteM(X), Unde X- coordonata punct arbitrar Drept. Apoi segmentul unității este dat prin specificarea a două puncte:A(0) și B(1).
Un plan (spațiu bidimensional) poate fi privit ca un set ordonat de puncte M(X; y). Pătratul unității va fi complet definit de cele patru vârfuri ale sale: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Coordonatele vârfurilor pătratului se obțin adăugând zero la coordonatele segmentului și apoi unul.
Spațiu tridimensional - un set ordonat de puncte M(X; y; z). Sunt necesare opt puncte pentru a defini un cub 3D:
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),
E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).
Coordonatele cubului se obțin din coordonatele pătratelor adunând zero și apoi unu.
Spațiul cu patru dimensiuni este un set ordonat de puncte M(X; y; z; t). Pentru a specifica un hipercub, trebuie să determinați coordonatele celor șaisprezece vârfuri ale sale:
A(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),
E(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),
K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),
O(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).
Coordonatele hipercubului sunt obținute din coordonatele cubului 3D prin adăugarea unei a patra coordonate, zero, iar apoi unitate.
Folosind formule geometrie analitică pentru un spațiu euclidian cu patru dimensiuni, se pot obține proprietățile unui hipercub.
Ca exemplu, luați în considerare calculul lungimii diagonalei principale a unui hipercub. Să fie necesar să se găsească distanța dintre puncte A(0, 0, 0, 0) și R(1, 1, 1, 1). Pentru a face acest lucru, folosim formula distanței în spațiul euclidian cu patru dimensiuni.
În spațiul bidimensional (pe un plan), distanța dintre puncte A(X 1 , y 1) și B(X 2 , y 2) se calculează prin formula
Această formulă decurge din teorema lui Pitagora.
Formula corespunzătoare pentru distanța dintre puncte A(X 1 , y 1 , z 1) și B(X 2 , y 2 , z 2) în spațiul tridimensional are forma
Și în spațiu unidimensional (pe o linie dreaptă) între punctele A( X 1) și B( X 2) puteți scrie formula distanței corespunzătoare:
În mod similar, distanța dintre puncte A(X 1 , y 1 , z 1 , t 1) și B(X 2 , y 2 , z 2 , t 2) în spațiul cu patru dimensiuni se va calcula cu formula:
Pentru exemplul propus găsim
Astfel, hipercubul există analitic, iar proprietățile sale nu pot fi descrise mai rău decât proprietățile unui cub tridimensional.
Model dinamic
Modelul analitic al hipercubului este foarte abstract, așa că să luăm în considerare un alt model – cel dinamic.
Un punct (o figură cu dimensiuni zero), care se mișcă într-o direcție, generează un segment (o figură unidimensională). Segmentul, deplasându-se într-o direcție perpendiculară pe sine, creează un pătrat (figură bidimensională). Pătratul, mișcându-se într-o direcție perpendiculară pe planul pătratului, creează un cub (figură tridimensională).
Cubul, deplasându-se perpendicular pe spațiul tridimensional în care a fost localizat inițial, generează un hipercub (figură în patru dimensiuni).
Limita hipercubului este tridimensională, finită și închisă. Este format dintr-un cub tridimensional în pozitia de origine, un cub tridimensional în poziția sa finală și șase cuburi formate prin deplasarea pătratelor cubului original în direcția celei de-a patra dimensiuni. Întreaga limită a hipercubului este formată din 8 cuburi tridimensionale (celule).
La deplasarea în poziția inițială, cubul avea 8 vârfuri și în poziția finală și 8 vârfuri. Prin urmare, hipercubul are total 16 vârfuri.
Patru muchii reciproc perpendiculare emană din fiecare vârf. În total, hipercubul are 32 de muchii.În poziția inițială avea 12 muchii, în poziția finală tot 12 muchii, iar 8 muchii formau vârfurile cubului la deplasarea în a patra dimensiune.
Astfel, chenarul hipercubului este format din 8 cuburi, care constau din 24 de pătrate. Și anume, 6 pătrate în poziția inițială, 6 în poziția finală și 12 pătrate formate prin deplasarea a 12 margini în direcția celei de-a patra dimensiuni.
model geometric
Modelul dinamic al unui hipercub poate părea insuficient de clar. Prin urmare, luați în considerare modelul geometric al hipercubului. Cum obținem modelul geometric al unui cub 3D? O desfacem, iar din desfășurare „lipim” modelul cub. Dezvoltarea unui cub tridimensional constă dintr-un pătrat, de laturile căruia este atașat un pătrat plus încă un pătrat. 
Întoarcem pătratele adiacente în jurul laturilor pătratului și conectăm laturile adiacente ale pătratelor între ele. Și închidem cele patru laturi rămase cu ultimul pătrat (Fig. 1).
În mod similar, luați în considerare desfășurarea hipercubului. Dezvoltarea sa va fi o figură tridimensională, constând din cubul tridimensional original, șase cuburi adiacente fiecărei fețe a cubului original și încă un cub. Există în total opt cuburi tridimensionale (Fig. 2). Pentru a obține un cub (hipercub) cu patru dimensiuni din această dezvoltare, fiecare dintre cuburile adiacente trebuie rotit cu 90 de grade. Aceste cuburi alăturate vor fi amplasate într-un spațiu 3D diferit. Conectați fețele adiacente (pătratele) cuburilor între ele. Încorporați al optulea cub cu fețele sale în spațiul neumplut rămas. Obținem o figură cu patru dimensiuni - un hipercub, a cărui limită este formată din opt cuburi tridimensionale.
Imagine hipercub
S-a arătat mai sus cum să „lipești” un model de hipercub dintr-o scanare tridimensională. Obținem imagini folosind proiecția. Proiecția centrală a unui cub tridimensional (imaginea acestuia pe un plan) arată astfel (Fig. 3). În interiorul pătratului este un alt pătrat. Vârfurile corespunzătoare ale pătratului sunt conectate prin segmente. Pătratele adiacente sunt reprezentate ca trapeze, deși sunt pătrate în spațiul 3D. Pătratele interioare și exterioare au dimensiuni diferite, dar în spațiul 3D real sunt pătrate egale.
În mod similar, proiecția centrală a unui cub cu patru dimensiuni în spațiul tridimensional va arăta astfel: în interiorul unui cub se află un alt cub. Vârfurile corespunzătoare ale cuburilor sunt conectate prin segmente. Cuburile interioare și exterioare au marimi diferiteîn trei dimensiuni, dar în patru dimensiuni este cuburi egale(Fig. 4).
Șase piramide trunchiate sunt imagini cu șase celule (cuburi) egale ale unui cub cu patru dimensiuni.
Această proiecție tridimensională poate fi desenată pe un plan și puteți verifica adevărul proprietăților hipercubului obținute folosind modelul dinamic.
Hipercubul are 16 vârfuri, 32 de muchii, 24 de fețe (pătrate), 8 celule (cuburi). Patru muchii reciproc perpendiculare emană din fiecare vârf. Limita hipercubului este o figură convexă închisă tridimensională, al cărei volum (volumul lateral al hipercubului) este egal cu opt cuburi tridimensionale unități. În interiorul său, această figură conține un hipercub unitar, al cărui hipervolum este egal cu hipervolumul hipercubului unitar.
Concluzie
În această lucrare, scopul a fost de a oferi o cunoaștere inițială cu spațiul cu patru dimensiuni. Acest lucru a fost făcut pe exemplul celei mai simple figuri - hipercubul.
Lumea spațiului cu patru dimensiuni este uimitoare! În ea, alături de figuri similare în spațiul tridimensional, există și figuri care nu au analogi în spațiul tridimensional.
Multe fenomene Lumea materială, macrocosmosul și megalumea, în ciuda succeselor grandioase în fizică, chimie și astronomie, au rămas inexplicabile.
Nu teorie unificată care explică toate forțele naturii. Nu există un model satisfăcător al Universului care să-i explice structura și să excludă paradoxurile.
Cunoscând proprietățile spațiului cu patru dimensiuni și împrumutând câteva idei din geometria cu patru dimensiuni, va fi posibil nu numai să construim teorii și modele mai riguroase ale lumii materiale, ci și să creăm instrumente și sisteme care să funcționeze conform legilor. ale lumii cu patru dimensiuni, atunci capacitățile umane vor fi și mai impresionante.
Să începem prin a explica ce este un spațiu cu patru dimensiuni.
Acesta este un spațiu unidimensional, adică pur și simplu axa OX. Orice punct de pe el este caracterizat de o coordonată.
Acum să desenăm axa OY perpendiculară pe axa OX. Deci avem un spațiu bidimensional, adică planul XOY. Orice punct de pe acesta este caracterizat de două coordonate - abscisa și ordonata.
Să desenăm axa OZ perpendiculară pe axele OX și OY. Veți obține un spațiu tridimensional în care orice punct are o abscisă, o ordonată și o aplicată.
Este logic ca a patra axă, OQ, să fie perpendiculară pe axele OX, OY și OZ în același timp. Dar nu putem construi cu exactitate o astfel de axă și, prin urmare, rămâne doar să încercăm să ne imaginăm. Fiecare punct din spațiul cu patru dimensiuni are patru coordonate: x, y, z și q.
Acum să vedem cum a apărut cubul cu patru dimensiuni.
Imaginea arată o figură a spațiului unidimensional - o linie.
Dacă este făcută transfer paralel această linie de-a lungul axei OY și apoi conectați capetele corespunzătoare ale celor două linii rezultate, obțineți un pătrat.
În mod similar, dacă facem o translație paralelă a pătratului de-a lungul axei OZ și conectăm vârfurile corespunzătoare, obținem un cub.
Și dacă facem o translație paralelă a cubului de-a lungul axei OQ și conectăm vârfurile acestor două cuburi, atunci obținem un cub cu patru dimensiuni. Apropo, se numește tesseract.
Pentru a desena un cub pe un avion, ai nevoie de el proiect. Vizual arată așa: 
Imaginați-vă că în aer deasupra suprafeței atârnă model wireframe cub, adică ca și cum ar fi „făcut din sârmă”, iar deasupra lui - un bec. Dacă aprindeți becul, trasați umbra cubului cu un creion și apoi stingeți becul, atunci o proiecție a cubului va fi afișată pe suprafață.
Să trecem la ceva un pic mai complicat. Privește din nou desenul cu becul: după cum poți vedea, toate razele convergeau într-un punct. Se numeste punct de disparitieși este folosit pentru a construi proiecție în perspectivă(și uneori paralele, când toate razele sunt paralele între ele. Rezultatul este că nu există senzația de volum, dar este mai ușor, iar dacă punctul de fuga este suficient de departe de obiectul proiectat, atunci diferența dintre acestea două proiecții este greu de observat). A proiecta punct dat pe avion dat, folosind punctul de fuga, trebuie să trasați o linie prin punctul de fuga și punctul dat, apoi găsiți punctul de intersecție al dreptei rezultate și al planului. Și pentru a proiecta mai mult figură complexă, să zicem, un cub, trebuie să proiectați fiecare dintre vârfurile sale și apoi să conectați punctele corespunzătoare. Trebuie remarcat faptul că algoritm de proiecție spațiu-subspațiu poate fi generalizat la 4D->3D, nu doar la 3D->2D.
După cum am spus, nu ne putem imagina exact cum arată axa OQ, și nici teseract-ul. Dar ne putem face o idee limitată despre el dacă îl proiectăm pe un volum și apoi îl desenăm pe ecranul unui computer!
Acum să vorbim despre proiecția teseractului.
În stânga este proiecția cubului pe plan, iar în dreapta este tesseract pe volum. Ele sunt destul de asemănătoare: proiecția unui cub arată ca două pătrate, unul mic și unul mare, unul în celălalt, cu vârfuri corespunzătoare legate prin linii. Și proiecția teseractului arată ca două cuburi, mici și mari, unul în interiorul celuilalt, și ale căror vârfuri corespunzătoare sunt conectate. Dar toți am văzut cubul și putem spune cu încredere că atât pătratul mic, cât și cel mare, și cele patru trapeze de deasupra, dedesubt, la dreapta și la stânga pătrat mic, de fapt, sunt pătrate, în plus, sunt egale. Același lucru este valabil și pentru Tesseract. Și un cub mare și un cub mic și șase trunchi de piramide pe părțile laterale ale unui cub mic - toate acestea sunt cuburi și sunt egale.
Programul meu poate nu numai să deseneze proiecția teseractului pe volum, ci și să îl rotească. Să vedem cum se face asta.
În primul rând, vă voi spune ce este rotație paralelă cu planul.
Imaginează-ți că cubul se rotește în jurul axei OZ. Apoi fiecare dintre vârfurile sale descrie un cerc în jurul axei OZ. 
Un cerc este o figură plată. Și planurile fiecăruia dintre aceste cercuri sunt paralele între ele și în acest caz sunt paralele cu planul XOY. Adică putem vorbi nu numai despre rotație în jurul axei OZ, ci și despre rotație paralelă cu planul XOY După cum puteți vedea, pentru punctele care se rotesc paralel cu axa XOY, doar abscisa și ordonatele se schimbă, în timp ce aplicația rămâne neschimbat Și, de fapt, putem vorbi despre rotație în jurul unei linii drepte doar atunci când avem de-a face cu spațiu tridimensional. În 2D totul se învârte în jurul unui punct, în 4D totul se învârte în jurul unui plan, în spațiul 5D vorbim de rotație în jurul unui volum. Și dacă ne putem imagina rotația în jurul unui punct, atunci rotația în jurul planului și al volumului este ceva de neconceput. Și dacă vorbim despre rotație paralelă cu planul, atunci în orice spațiu n-dimensional un punct se poate roti paralel cu planul.
Mulți dintre voi probabil ați auzit de matricea de rotație. Înmulțind un punct cu acesta, obținem un punct rotit paralel cu planul cu un unghi phi. Pentru un spațiu bidimensional, arată astfel: 
Cum se înmulțește: x dintr-un punct rotit cu un unghi phi = cosinusul unghiului phi*x al punctului inițial minus sinusul unghiului phi*y al punctului inițial;
y al punctului rotit de unghiul phi=sinus al unghiului phi*x al punctului original plus cosinusul unghiului phi*y al punctului original.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya
, unde Xa și Ya sunt abscisa și ordonata punctului care trebuie rotit, Xa` și Ya` sunt abscisa și ordonata punctului deja rotit
Pentru un spațiu tridimensional, această matrice este generalizată după cum urmează: 
Rotație paralelă cu planul XOY. După cum puteți vedea, coordonatele Z nu se schimbă, ci doar X și Y se schimbă.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya + Za*0
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (în esență Za`=Za)
Rotație paralelă cu planul XOZ. Nimic nou,
Xa`=cosФ*Xa + Ya*0 - sinФ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (de fapt, Ya`=Ya)
Za`=sinФ*Xa + Ya*0 + cosФ*Za
Și a treia matrice.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (în esență Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosФ*Ya - sinФ*Za
Za`=Xa*0 + sinФ*Ya + cosФ*Za
Și pentru a patra dimensiune, arată astfel: 
Cred că ați înțeles deja cu ce să înmulțiți, așa că nu o voi picta din nou. Dar observ că face același lucru ca și matricea pentru rotirea paralelă cu planul în spațiul tridimensional! Atat aia cat si aceasta schimba doar ordonata si aplicata, iar restul coordonatelor nu sunt atinse, prin urmare poate fi folosit in cazul tridimensional, ignorand pur si simplu a patra coordonata.
Dar cu formula de proiecție, nu totul este atât de simplu. Oricât de mult am citit forumurile, nici una dintre metodele de proiecție nu mi s-a potrivit. Paralela nu mi s-a potrivit, deoarece proiecția nu va arăta tridimensională. În unele formule de proiecție, pentru a găsi un punct, trebuie să rezolvi un sistem de ecuații (și nu știu să învăț un computer să le rezolve), pur și simplu nu le-am înțeles pe altele... În general, m-am hotărât să vin cu propriul meu drum. Considerați pentru aceasta proiecția 2D->1D.
pov înseamnă „punct de vedere” (punct de vedere), ptp înseamnă „punct de proiect” (punct de proiectat), iar ptp` este punctul dorit pe axa OX.
Unghiurile povptpB și ptpptp`A sunt egale ca corespunzătoare (linia punctată este paralelă cu axa OX, linia povptp este secantă).
X-ul ptp` este egal cu x-ul ptp minus lungimea segmentului ptp`A. Acest segment poate fi găsit din triunghiul ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangenta unghiului ptpptp`A. Putem găsi această tangentă din triunghiul povptpB: tangenta unghiului ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Răspuns: Xptp`=Xptp-Yptp/tangente a unghiului ptpptp`A.
Nu am descris acest algoritm în detaliu aici, deoarece există o mulțime de cazuri speciale în care formula se schimbă oarecum. Cui îi pasă - uită-te în codul sursă al programului, totul este scris în comentarii.
Pentru a proiecta un punct din spațiul tridimensional pe un plan, pur și simplu luăm în considerare două plane - XOZ și YOZ și rezolvăm această problemă pentru fiecare dintre ele. În cazul unui spațiu cu patru dimensiuni, este necesar să luăm în considerare deja trei planuri: XOQ, YOQ și ZOQ.
Și, în sfârșit, despre program. Funcționează astfel: inițializați șaisprezece vârfuri ale teseractului -> în funcție de comenzile introduse de utilizator, rotiți-l -> proiectați pe volum -> în funcție de comenzile introduse de utilizator, rotiți proiecția acestuia -> proiectați-l pe un plan -> desen.
Proiecții și rotații le-am scris singur. Funcționează după formulele pe care tocmai le-am descris. Biblioteca OpenGL desenează linii și, de asemenea, amestecă culori. Și coordonatele vârfurilor teseractului sunt calculate în acest fel:
Coordonatele vertexului liniei centrate la origine și lungimea 2 - (1) și (-1);
- "-" - un pătrat - "-" - și o margine de lungime 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) și (-1; -1);
- " - " - cub - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
După cum puteți vedea, pătratul este o linie deasupra axei OY și o linie sub axa OY; un cub este un pătrat în fața planului XOY și unul în spatele acestuia; un tesseract este un cub pe cealaltă parte a volumului XOYZ și unul pe această parte. Dar este mult mai ușor de perceput această alternanță de unități și unități în minus dacă sunt scrise într-o coloană
1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1
În prima coloană, unu și minus unu alternează. În a doua coloană, mai întâi sunt două plusuri, apoi două minusuri. În al treilea - patru plus unu și apoi patru minus unu. Acestea erau vârfurile cubului. Teseractul are de două ori mai multe dintre ele și, prin urmare, a fost necesar să se scrie un ciclu pentru declararea lor, altfel este foarte ușor să se confunde.
Programul meu știe și cum să deseneze anaglife. Posesorii fericiți de ochelari 3D pot viziona o imagine stereoscopică. Nu este nimic dificil să desenezi o imagine, doar desenează două proiecții pe un plan, pentru ochiul drept și cel stâng. Dar programul devine mult mai vizual și mai interesant și, cel mai important, dă cea mai buna performanta despre lumea cu patru dimensiuni.
Funcții mai puțin semnificative - evidențierea uneia dintre fețe în roșu, astfel încât să puteți vedea mai bine virajele, precum și facilități minore - ajustarea coordonatelor punctelor „ochi”, creșterea și scăderea vitezei de rotație.
Arhivați cu programul, codul sursă și instrucțiunile de utilizare.
