Často môžete nájsť také rovnice, v ktorých je deliteľ neznámy. Napríklad 350: X = 50, kde 350 je dividenda, X je deliteľ a 50 je podiel. Na vyriešenie týchto príkladov je potrebné vykonať určitý súbor akcií s číslami, ktoré sú známe.

Budete potrebovať

• - ceruzka alebo pero;
• - list papiera alebo zošit.

Poučenie

• Predstavte si, že jedna žena mala niekoľko detí. V obchode kúpila 30 sladkostí. Po návrate domov rozdelila pani sladkosti medzi deti rovnakým dielom. Každé dieťa tak dostalo 5 sladkostí ako dezert. Otázka: Koľko detí mala žena?
• Napíšte jednoduchú rovnicu, kde neznáma, t.j. X je počet detí, 5 je počet sladkostí, ktoré každé dieťa dostalo, a 30 je počet sladkostí, ktoré boli zakúpené. Takže by ste mali dostať príklad: 30: X = 5. V tomto matematický výraz 30 sa nazýva dividenda, X je deliteľ a výsledný kvocient je 5.
• Teraz začnite riešiť. Vieme, že ak chcete nájsť deliteľa, musíte rozdeliť dividendu kvocientom. Ukázalo sa: X \u003d 30: 5; 30: 5 \u003d 6; X \u003d 6.
• Urobte test dosadením výsledného čísla do rovnice. Takže, 30: X = 5, našli ste neznámeho deliteľa, t.j. X \u003d 6, teda: 30: 6 \u003d 5. Výraz je pravdivý a z toho vyplýva, že rovnica je vyriešená správne. Samozrejme pri riešení príkladov, v ktorých základné čísla, kontrola je voliteľná. Ale keď sú rovnice dvojciferné, trojciferné, štvorciferné atď. čísla, určite sa presvedčte. Koniec koncov, netrvá to veľa času, ale dáva absolútnu dôveru vo výsledok.

Poučenie

Najčastejšie musíte číslo rozložiť na hlavné faktory. Sú to čísla, ktoré bezo zvyšku delia pôvodné číslo a zároveň sa dajú deliť bezo zvyšku len samé sebou a jednotkou (pre také čísla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 atď. ). Navyše sa v sérii nenašla žiadna pravidelnosť. Vezmite ich zo špeciálnej tabuľky alebo ich nájdite pomocou algoritmu nazývaného „Eratosthenovo sito“.

Čísla s viac ako dvoma deliteľmi sa nazývajú zložené čísla. Čo čísla môže byť zložený?
Ako čísla deliteľné 2, potom sú všetky párne čísla, Okrem toho čísla 2 bude zložený. Pri delení 2:2 je totiž dvojka deliteľná sama sebou, to znamená, že má len dvoch deliteľov (1 a 2) a je prvočíslom.

Uvidíme, či dokonca áno čísla akýkoľvek iný rozdeľovače. Najprv ho vydeľte 2. Z komutatívnosti operácie násobenia je zrejmé, že výsledný kvocient bude tiež deliteľ čísla. Potom, ak je výsledný podiel celé číslo, vydeľte tento podiel znova 2. Potom výsledný nový kvocient y = (x: 2): 2 = x: 4 bude tiež deliteľom pôvodného čísla. Podobne a 4 bude deliteľom originálu čísla.

Pokračujeme v tomto reťazci a zovšeobecňujeme pravidlo: sekvenčne najprv delíme a potom výsledný kvocient delíme 2, kým sa ktorýkoľvek z podielov nerovná nepárnemu číslu. V tomto prípade budú všetky výsledné kvocienty deliteľmi tohto čísla. Okrem toho deliče tohto čísla vôľa a čísla 2^k kde k = 1...n, kde n je počet krokov v tomto reťazci. Príklad: 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 – nepárne číslo. Preto 12, 6 a 3 - rozdeľovače čísla 24. V tomto reťazci sú 3 kroky, teda deliče čísla 24 bude tiež čísla 2^1 = 2 (už známe z parity čísla 24), 2^2 = 4 a 2^3 = 8. čísla 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 a 24 budú deliteľmi čísla 24.

Avšak nie pre všetky párne čísla to môže dať všetko. rozdeľovače čísla. Zoberme si napríklad číslo 42. 42:2 = 21. Ako však viete, čísla 3, 6 a 7 budú tiež deliteľmi čísla 42.
Existuje deliteľnosť čísla. Zoberme si najdôležitejšie z nich:
Znamienko deliteľnosti 3: keď súčet číslic čísla je deliteľné 3 bezo zvyšku.
Znamienko deliteľnosti 5: keď posledná číslica čísla 5 alebo 0.
Deliteľnosť 7: keď je výsledkom odpočítania dvojnásobku poslednej číslice čísla bez poslednej číslice je deliteľné 7.
Znamienko deliteľnosti 9: keď súčet číslic čísla je deliteľné 9 bezo zvyšku.
Znamienko deliteľnosti 11: keď súčet číslic na nepárnych miestach sa rovná súčtu číslic na párnych miestach alebo sa z neho rovná číslu deliteľnému 11.
Existujú aj znaky deliteľnosti 13, 17, 19, 23 a iné čísla.

Pre párne aj nepárne čísla musíte použiť znaky delenia konkrétnym číslom. Vydelením čísla by ste mali určiť rozdeľovače výsledný súkromný atď. (reťaz je podobná reťazcu párnych čísel pri delení 2, ako je opísané vyššie).

Zdroje:

• Známky deliteľnosti

Zo štyroch hlavných matematické operácie divízia je na zdroje najnáročnejšia operácia. Dá sa to urobiť ručne (stĺpec), na kalkulačkách rôzne prevedenia, ako aj pomocou logaritmického pravítka.

Poučenie

Ak chcete vydeliť jedno číslo druhým stĺpcom, napíšte najskôr deliteľa a potom deliteľa. Miesto medzi nimi vertikálna čiara. Nakreslite vodorovnú čiaru pod oddeľovačom. Dôsledne, akoby ste škrtali od nižších číslic, získajte číslo, ktoré je väčšie ako deliteľ. Postupným vynásobením čísel od 0 do 9 deliteľom nájdite najväčšie z čísla menšie ako v predchádzajúcej fáze. Napíšte toto číslo ako prvú číslicu podielu. Výsledok vynásobenia tohto čísla deliteľom zapíšte pod delenec s posunom o jednu číslicu doprava. Odčítajte a s výsledkom vykonajte rovnaké akcie, kým nenájdete všetky číslice kvocientu. Určte umiestnenie čiarky odčítaním poradia deliteľa od poradia deliteľa.

Ak čísla nie sú navzájom deliteľné, sú možné dve situácie. V prvom z nich sa bude donekonečna opakovať jedna číslica alebo kombinácia viacerých číslic. Potom je zbytočné pokračovať vo výpočte - stačí vziať túto číslicu alebo reťazec číslic do bodky. V druhej situácii sa akákoľvek pravidelnosť v konkrétnom nepodarí. Potom prestaňte deliť, keď dosiahnete požadovanú presnosť výsledku, a zaokrúhlite posledný.

Ak chcete deliť jedno číslo druhým pomocou kalkulačky s aritmetikou (jednoduchej aj inžinierskej), stlačte tlačidlo reset, zadajte delenec, stlačte tlačidlo deliť, zadajte deliteľa a potom stlačte tlačidlo rovná sa. Na kalkulačke so zápisom vzorca rozdeľte rovnakým spôsobom, berúc do úvahy skutočnosť, že kľúč so znamienkom rovnosti môže niesť napríklad Enter alebo Exe. Moderné spotrebiče tohto typu sú dvojriadkové: napísané v hornom riadku a výsledok sa zobrazí viac v spodnej časti veľké čísla. Pomocou klávesu Ans je možné tento výsledok použiť v ďalšom výpočte. Vo všetkých prípadoch sa výsledok automaticky zaokrúhli v rámci číselnej mriežky kalkulačky.

Na reverznej kalkulačke poľského jazyka najskôr stlačte tlačidlo reset, potom zadajte dividendu a stlačte kláves Enter (môže mať namiesto toho šípku nahor). Číslo bude v bunke zásobníka. Teraz zadajte deliteľa a stlačte kláves delenia. Číslo zo zásobníka sa vydelí číslom, ktoré bolo predtým zobrazené na indikátore.

posuvné pravítko použite, keď sa vyžaduje malá presnosť. Odstráňte z oboch čísla a potom z každého z nich vezmite dve vyššie číslice. Na stupnici A nájdite deliteľa a potom ho zarovnajte s deliteľom na stupnici B. Potom nájdite poslednú jednotku – priamo nad ňou na stupnici A sa bude nachádzať súkromné. Určte umiestnenie čiarky v ňom rovnakým spôsobom ako stĺpec.

Zdroje:

• Poradie delenia stĺpcov
• súkromné ​​čísla sú

Školáci sa medzi úlohami z matematiky často stretávajú s formuláciou: „nájdi najmenší spoločný násobok čísel“. Toto sa treba naučiť robiť, aby sa to splnilo rôzne aktivity so zlomkami s rôznymi menovateľmi.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku: základné pojmy

Aby ste pochopili, ako vypočítať LCM, mali by ste najprv určiť význam pojmu "viacnásobný".

Násobok A je prirodzené číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné číslom A. Za násobky 5 teda možno považovať 15, 20, 25 atď.

Deliteľmi konkrétneho čísla môžu byť obmedzené množstvo, ale existuje nekonečný počet násobkov.

spoločný násobok prirodzené čísla- číslo, ktoré je nimi bezo zvyšku deliteľné.

Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel (dve, tri alebo viac) je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné všetkými týmito číslami.

Na nájdenie NOC môžete použiť niekoľko metód.

Pre malé čísla je vhodné zapísať do riadku všetky násobky týchto čísel, kým sa medzi nimi nenájde spoločné. Násobky označujú v zázname veľké písmeno TO.

Napríklad násobky 4 možno zapísať takto:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Môžete teda vidieť, že najmenší spoločný násobok čísel 4 a 6 je číslo 24. Tento zápis sa vykonáva takto:

LCM(4,6) = 24

Celkovo najlepšie rozdeľovač je maximálny počet, ktorým môže byť každé z navrhovaných čísel deliteľné. Tento výraz sa často používa na skrátenie komplexné frakcie, kde čitateľ aj menovateľ musia byť delené rovnaké číslo. Niekedy je možné určiť najväčšiu spoločnú rozdeľovač pohľadom, ale vo väčšine prípadov, aby ste ho našli, musíte minúť niekoľko matematické operácie.

Budete potrebovať

• Na to budete potrebovať kus papiera alebo kalkulačku.

Poučenie

Rozložte každý komplexné číslo na súčin prvočísel alebo faktorov. Napríklad 60 a 80, kde 60 sa rovná 2*2*3*5 a 80 je 2*2*2*2*5, sa dá napísať jednoduchšie pomocou . AT tento prípad bude vyzerať ako dva v druhom vynásobené piatimi a tromi a druhé je súčinom dvoch v štvrtej a päťke.

Teraz si zapíšte spoločnú hodnotu pre obe čísla. V našej verzii sú to dva a päť. V iných prípadoch však toto číslo môže byť jedno, dve alebo tri číslice a dokonca aj . Ďalej musíte pracovať. Vyberte najmenší z každého z faktorov. V príklade je to dve na druhú mocninu a päť na prvú.

Na konci stačí výsledné čísla vynásobiť. V našom prípade je všetko veľmi jednoduché: dva krát päť sa rovná 20. Číslo 20 teda možno nazvať najväčším spoločný deliteľ za 60 a 80.

Podobné videá

Poznámka

zapamätaj si to jednoduchá násobilka je číslo, ktoré má len 2 deliteľov: jedničku a samotné číslo.

Užitočné rady

Okrem túto metódu Môžete tiež použiť Euclidov algoritmus. Úplný popis, uvedený v geometrický tvar, možno nájsť v Euklidových prvkoch.

Súvisiaci článok

Často môžete nájsť také rovnice, v ktorých je neznáma. Napríklad 350: X = 50, kde 350 je dividenda, X je deliteľ a 50 je podiel. Na vyriešenie týchto príkladov je potrebné vykonať určitý súbor akcií s číslami, ktoré sú známe.

Budete potrebovať

• - ceruzka alebo pero;
• - list papiera alebo zošit.

Poučenie

Napíšte jednoduchú rovnicu, kde neznáma, t.j. X je počet detí, 5 je počet sladkostí, ktoré každé dieťa dostalo, a 30 je počet sladkostí, ktoré boli zakúpené. Mali by ste teda dostať: 30: X = 5. V tomto matematickom výraze sa 30 nazýva dividenda, X je deliteľ a výsledný kvocient je 5.

Teraz začnite riešiť. Vieme, že ak chcete nájsť deliteľa, musíte rozdeliť dividendu kvocientom. Ukázalo sa: X \u003d 30: 5; 30: 5 \u003d 6; X \u003d 6.

Urobte test dosadením výsledného čísla do rovnice. Takže, 30: X = 5, našli ste neznámeho deliteľa, t.j. X \u003d 6, teda: 30: 6 \u003d 5. Výraz je pravdivý a z toho vyplýva, že rovnica je vyriešená. Samozrejme, pri riešení príkladov, v ktorých sa vyskytujú prvočísla, nie je potrebné vykonávať kontrolu. Ale keď rovnice z , trojciferný, štvorciferný atď. čísla, určite sa presvedčte. Koniec koncov, netrvá to veľa času, ale dáva absolútnu dôveru vo výsledok.

Poznámka

Dlhá cesta k rozvoju zručností riešenie rovníc začína rozhodnutím úplne prvého a relatívneho jednoduché rovnice. Takýmito rovnicami rozumieme rovnice, na ľavej strane ktorých je súčet, rozdiel, súčin alebo podiel dvoch čísel, z ktorých jedno je neznáme a na pravej strane je číslo. To znamená, že tieto rovnice obsahujú neznámy termín, minuend, subtrahend, multiplikátor, dividenda alebo deliteľ. Riešenie takýchto rovníc bude diskutované v tomto článku.

Tu uvedieme pravidlá, ktoré nám umožňujú nájsť neznámy výraz, násobiteľ atď. Okrem toho okamžite zvážime aplikáciu týchto pravidiel v praxi pri riešení charakteristických rovníc.

Navigácia na stránke.

Takže do pôvodnej rovnice 3 + x = 8 dosadíme namiesto x číslo 5, dostaneme 3 + 5 = 8 - táto rovnosť je správna, neznámy člen sme teda našli správne. Ak sme počas kontroly dostali nesprávne číselná rovnosť, potom by nám to naznačovalo, že sme rovnicu vyriešili nesprávne. Hlavnými dôvodmi môžu byť buď použitie nesprávneho pravidla, alebo chyby vo výpočte.

Ako nájsť neznámy minuend, subtrahend?

Súvislosť sčítania a odčítania čísel, o ktorej sme sa už zmienili v predchádzajúcom odseku, nám umožňuje získať pravidlo na nájdenie neznámeho podhľadu cez známy podpočetník a rozdiel, ako aj pravidlo na nájdenie neznámeho podradníka cez známy podpočetník. a rozdiel. Postupne ich sformulujeme a okamžite poskytneme riešenie zodpovedajúcich rovníc.

Ak chcete nájsť neznámy minuend, musíte k rozdielu pridať subtrahend.

Uvažujme napríklad rovnicu x−2=5 . Obsahuje neznámu menštruáciu. Vyššie uvedené pravidlo nám hovorí, že na to, aby sme ho našli, musíme k známemu rozdielu 5 pridať známy subtrahend 2, máme 5+2=7. Požadovaný minuend sa teda rovná siedmim.

Ak vynecháte vysvetlenia, riešenie je napísané takto:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Pre sebakontrolu vykonáme kontrolu. Nájdené zredukované dosadíme do pôvodnej rovnice a dostaneme číselnú rovnosť 7−2=5. Je to správne, preto si môžeme byť istí, že sme správne určili hodnotu neznámeho minuendu.

Môžete prejsť k hľadaniu neznámeho subtrahendu. Nájde sa pridaním ďalšie pravidlo: na nájdenie neznámeho subtrahendu je potrebné odpočítať rozdiel od minuendu.

Rovnicu v tvare 9−x=4 riešime pomocou napísaného pravidla. V tejto rovnici je neznáma subtrahend. Aby sme to našli, musíme odčítať známy rozdiel 4 od známeho redukovaného 9, máme 9−4=5. Požadovaný subtrahend sa teda rovná piatim.

Tu je krátka verzia riešenia tejto rovnice:
9−x=4,
x=9−4,
x=5.

Zostáva len skontrolovať správnosť nájdeného subtrahendu. Urobme kontrolu, pri ktorej do pôvodnej rovnice dosadíme zistenú hodnotu 5 namiesto x a dostaneme číselnú rovnosť 9−5=4. Je to správne, preto hodnota subtrahendu, ktorú sme našli, je správna.

A predtým, ako prejdeme k ďalšiemu pravidlu, poznamenávame, že v 6. ročníku sa uvažuje o pravidle na riešenie rovníc, ktoré vám umožňuje preniesť ľubovoľný výraz z jednej časti rovnice do druhej pomocou opačné znamenie. Takže všetky vyššie uvedené pravidlá na nájdenie neznámeho výrazu, redukované a odčítané, sú s ním plne v súlade.

Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte...

Pozrime sa na rovnice x 3=12 a 2 y=6 . V nich neznáme číslo je faktor na ľavej strane a súčin a druhý faktor sú známe. Ak chcete nájsť neznámy faktor, môžete použiť nasledujúce pravidlo: nájsť neznámy multiplikátor, je potrebné rozdeliť produkt známym faktorom.

Toto pravidlo vychádza z toho, že deleniu čísel sme dali opačný význam ako násobeniu. To znamená, že medzi násobením a delením existuje súvislosť: z rovnosti a b=c, kde a≠0 a b≠0, vyplýva, že c:a=bac:b=c a naopak.

Napríklad nájdime neznámy faktor rovnice x·3=12 . Podľa pravidla musíme rozdeliť slávne dielo 12 známym násobiteľom 3. Urobme: 12:3=4. Neznámy faktor je teda 4.

Stručne povedané, riešenie rovnice je napísané ako postupnosť rovnosti:
x 3=12,
x=12:3,
x=4.

Je tiež žiaduce skontrolovať výsledok: namiesto písmena v pôvodnej rovnici nahradíme nájdenú hodnotu, dostaneme 4 3 \u003d 12 - správnu číselnú rovnosť, takže sme správne našli hodnotu neznámeho faktora.

A ešte niečo: ak konáme podľa naštudovaného pravidla, vlastne vykonávame delenie oboch častí rovnice nenulovým známym násobiteľom. V 6. ročníku sa povie, že obe časti rovnice možno vynásobiť a vydeliť rovnakým nenulovým číslom, na korene rovnice to nemá vplyv.

Ako nájsť neznámu dividendu, deliteľa?

V rámci našej témy zostáva zistiť, ako nájsť neznámu dividendu so známym deliteľom a kvocientom, ako aj nájsť neznámeho deliteľa so známou dividendou a kvocientom. Vzťah medzi násobením a delením už spomenutý v predchádzajúcom odseku vám umožňuje odpovedať na tieto otázky.

Ak chcete nájsť neznámu dividendu, musíte vynásobiť podiel deliteľom.

Uvažujme o jeho aplikácii na príklade. Vyriešte rovnicu x:5=9 . Na nájdenie neznámeho deliteľa tejto rovnice je potrebné podľa pravidla vynásobiť známy kvocient 9 známym deliteľom 5, to znamená, že vykonáme násobenie prirodzených čísel: 9 5 \u003d 45. Požadovaná dividenda je teda 45.

Ukážme sa krátka poznámka riešenia:
x:5=9,
x=95,
x=45.

Kontrola potvrdí, že hodnota neznámej dividendy je nájdená správne. Pri dosadení čísla 45 do pôvodnej rovnice namiesto premennej x sa totiž zmení na správnu číselnú rovnosť 45:5=9.

Všimnite si, že analyzované pravidlo možno interpretovať ako násobenie oboch častí rovnice známym deliteľom. Takáto transformácia neovplyvňuje korene rovnice.

Prejdime k pravidlu na nájdenie neznámeho deliteľa: Ak chcete nájsť neznámeho deliteľa, vydeľte dividendu podielom.

Zvážte príklad. Nájdite neznámeho deliteľa z rovnice 18:x=3 . Aby sme to urobili, musíme vydeliť známu dividendu 18 známym podielom 3, máme 18:3=6. Požadovaný deliteľ sa teda rovná šiestim.

Riešenie môže byť formulované aj takto:
18:x=3,
x=18:3,
x=6.

Overme si spoľahlivosť tohto výsledku: 18:6=3 je správna číselná rovnosť, preto je koreň rovnice nájdený správne.

Je jasné že toto pravidlo možno použiť len vtedy, keď je podiel nenulový, aby nedošlo k deleniu nulou. Keď je podiel nula, sú možné dva prípady. Ak je v tomto prípade delenec rovný nule, to znamená, že rovnica má tvar 0:x=0, potom táto rovnica spĺňa akúkoľvek nenulovú hodnotu deliteľa. Inými slovami, koreňmi takejto rovnice sú akékoľvek čísla, ktoré sa nerovnajú nule. Ak pri nulačiastočná dividenda je iná ako nula, potom pre akékoľvek hodnoty deliteľa sa pôvodná rovnica nezmení na skutočnú číselnú rovnosť, to znamená, že rovnica nemá korene. Pre ilustráciu uvádzame rovnicu 5:x=0 , nemá žiadne riešenia.

Pravidlá zdieľania

Dôsledné uplatňovanie pravidiel na nájdenie neznámeho člena, minuendu, subtrahendu, multiplikátora, deliteľa a deliteľa umožňuje riešiť rovnice s jednou premennou viac ako komplexný typ. Vyrovnajme sa s tým na príklade.

Uvažujme rovnicu 3 x+1=7 . Najprv nájdeme neznámy člen 3 x , na to musíme od súčtu 7 odčítať známy člen 1, dostaneme 3 x=7−1 a potom 3 x=6 . Teraz zostáva nájsť neznámy faktor vydelením súčinu 6 známym faktorom 3, máme x=6:3, odkiaľ x=2. Nájdeme teda koreň pôvodnej rovnice.

Na konsolidáciu materiálu uvádzame krátke riešenie ešte jedna rovnica (2 x−7): 3−5=2 .
(2 x-7):3-5=2,
(2 x-7):3=2+5,
(2 x-7):3=7,
2 x - 7 = 7 3 ,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=28:2,
x=14.

Bibliografia.

• Matematika.. 4. trieda. Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. O 14. hodine 1. časť / [M. I. Moro, M. A. Bantová, G. V. Beltyuková a ďalší] - 8. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2011. - 112 s.: chor. - (Ruská škola). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matematika: štúdium. pre 5 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: chor. ISBN 5-346-00699-0.

Rovnice, riešenie rovníc

riešenie rovníc

3+x=8,
x=8–3,
x=5.

urobiť kontrolu

Začiatok stránky

x−2=5,
x=5+2,
x=7.

9-x=4,
x=9–4,
x=5.

Začiatok stránky

Ako nájsť deliteľa

x 3 = 12,
x=123,
x=4.

Začiatok stránky

x5=9,
x = 9 5,
x = 45.

Riešenie môže byť formulované aj takto:
18x=3,
x=183,
x=6.

Začiatok stránky

(2 x-7)3-5=2,
(2 x-7)3=2+5,
(2 x-7)3=7,
2 x - 7 = 7 3,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=282,
x=14.

Začiatok stránky

• Matematika.
• Matematika

divízie. Delenie so zvyškom

Definícia delenia

Vydeliť číslo a číslom b znamená nájsť také nové číslo, ktorým treba b vynásobiť, aby sme dostali a.

Z toho vyplýva nasledujúca definícia konania: rozdelenie sa nazýva také aritmetická operácia, pomocou ktorého sa pri súčine dvoch čísel a jedného z nich (známy faktor) nájde ďalšie číslo (neznámy faktor).

Pri delení táto práca volal deliteľné, tento faktor je rozdeľovač a požadovaným faktorom je súkromné.

Preto je jasné, že delenie je opakom násobenia.

Delenie čísla a číslom b možno zapísať dvoma spôsobmi:

1) alebo 2) a každá z týchto rovnosti znamená, že pri delení čísla a za číslo b v kvociente sa získa prirodzené číslo q.

Delenie so zvyškom

Keď sa vyžaduje, aby podiel bol celé číslo, delením čísla a za číslo b možno nie vždy.

Napríklad, keď nemôžete deliť 23 číslom 4, pretože neexistuje celé číslo, ktorým by ste mohli vynásobiť číslom 4 a získať súčin rovný 23.

Môžete ale určiť najväčšie celé číslo, pri vynásobení 4 sa získa celé číslo najbližšie k 23. Toto číslo je 5. Pri vynásobení 5 4 dostaneme 20.

Rozdiel medzi dividendou 23 a 20 je 3 - nazýva sa zvyšok divízie.

Samotné rozdelenie v takýchto prípadoch je tzv rozdelenie so zvyškom.

Volá sa prípad, keď sa v kvociente získa celé číslo a nebude tam žiadny zvyšok rozdelenie bezo zvyšku alebo podľa celej divízie, kvocient sa nazýva úplné súkromné alebo jednoducho súkromné.

Ak pri delení čísla a číslom b dostaneme neúplný podiel q a zvyšok r, potom sa to zapíše nasledovne.

Pri delení zvyškom sa nazýva neúplný kvocient najväčší počet, ktorý po vynásobení deliteľom dostane súčin nepresahujúci dividendu. Rozdiel medzi dividendou a týmto produktom sa nazýva zvyšok.

to znamená, že pri delení by mal byť vždy zvyšok menší deliteľ , pretože ak by bol zvyšok rovný alebo väčší ako deliteľ, potom by kvocient nebol najväčším možným číslom. Ak sa zvyšok odpočíta od dividendy, potom výsledný rozdiel ( a - r) sa delí daným deliteľom b bezo zvyšku a v kvociente číslo aj tak vyjde q.

Z hľadiska delenia je rozdiel .

Preto: (v zmysle delenia).

Posledná rovnosť ukazuje, že v prípade delenia zvyškom dividenda sa rovná deliteľu krát kvocient plus zvyšok.

Poznámka. Ďalej výraz: jedno číslo je deliteľné druhým bezo zvyšku (úplne)- nahradiť výrazom: jedno číslo je deliteľné druhým.

číslo a v tomto prípade je tzv násobok b.

Súvisiace informácie:

1. C) Hodnota, ktorá charakterizuje hladkosť alebo ostrosť empirického rozdelenia v porovnaní s normálnym rozdelením
2. ja

   Čo je to podiel čísel

   Stanovenie zloženia spoločného majetku

3. I. Stanovenie stupňa oxidácie v organických látkach.
4. II. ROZDELENIE ČASU UČENIA PODĽA SEMESTRA A TYPOV UČENIA
5. II. ROZDELENIE ČASU ŠTÚDIA PODĽA SEMESTRA A TYPOV ŠTÚDIA
6. ITC, ukrajinská pobočka medzinárodného vydavateľstva. 03110, Kyjev, ul. Lobanovský (Krásnozvezdný), 51, tel. 270-39-03 www.itcpublishing.com
7. IV. Prepíšte vety, definíciu vyjadrenú príčastím I podčiarknite zu; prekladať vety.
8. V. Určenie doby trvania práce, smeny, zloženie tímov, počet účinkujúcich
9. VI. Definícia absolútnej rýchlosti
10. VI. URČENIE VÍŤAZOV
11. XI. URČENIE VÍŤAZOV A CIEN
12. A. Stanovenie dielektrických parametrov e’, tgdx, e» pevných elektroizolačných materiálov

Vyhľadávanie na stránke:

Rovnice, riešenie rovníc

Hľadanie neznámeho pojmu, násobilky a pod., pravidiel, príkladov, riešení

Dlhá cesta k rozvoju zručností riešenie rovníc začína riešením úplne prvých a relatívne jednoduchých rovníc. Takýmito rovnicami rozumieme rovnice, na ľavej strane ktorých je súčet, rozdiel, súčin alebo podiel dvoch čísel, z ktorých jedno je neznáme a na pravej strane je číslo. To znamená, že tieto rovnice obsahujú neznámy člen, minuend, subtrahend, multiplikátor, dividendu alebo deliteľa. Riešenie takýchto rovníc bude diskutované v tomto článku.

Tu uvedieme pravidlá, ktoré nám umožňujú nájsť neznámy výraz, násobiteľ atď. Okrem toho okamžite zvážime aplikáciu týchto pravidiel v praxi pri riešení charakteristických rovníc.

Ak chcete nájsť neznámy výraz, musíte ...

Zhenya a Kolya sa rozhodli jesť jablká, pre ktoré ich začali zhadzovať z jablone. Zhenya dostala 3 jablká a na konci procesu mali chlapci 8 jabĺk. Koľko jabĺk zrazil Kolja?

Preložiť túto typickú úlohu do matematický jazyk, neznámy počet jabĺk, ktoré Kolja zrazil, označíme x. Potom podľa podmienky 3 Zhenyine jablká a x Kolins spolu vytvoria 8 jabĺk. Posledná veta zodpovedá rovnici v tvare 3+x=8. Na ľavej strane tejto rovnice je súčet obsahujúci neznámy člen, na pravej strane je hodnota tohto súčtu - číslo 8. Ako teda nájsť neznámy člen x, ktorý nás zaujíma?

Existuje na to pravidlo: Ak chcete nájsť neznámy výraz, odpočítajte známy výraz od súčtu..

Toto pravidlo sa vysvetľuje skutočnosťou, že odčítanie má opačný význam ako sčítanie. Inými slovami, medzi sčítaním a odčítaním čísel existuje vzťah, ktorý je vyjadrený nasledovne: z toho, že a+b=c vyplýva, že c−a=b a c−b=a a naopak, z c−a=b, ako aj z c−b=a vyplýva, že a+b=c.

Vyjadrené pravidlo umožňuje, aby jeden známy výraz a známy súčet určili ďalší neznámy výraz. Nezáleží na tom, ktorý z výrazov je neznámy, prvý alebo druhý. Uvažujme o jeho aplikácii na príklade.

Vráťme sa k našej rovnici 3+x=8. Podľa pravidla potrebujeme od známeho súčtu 8 odčítať známy člen 3. To znamená, že odčítame prirodzené čísla: 8−3=5, našli sme teda neznámy člen, ktorý potrebujeme, rovná sa 5.

Prijatý ďalší formulár záznamy o riešení podobných rovníc:

• najprv napíšte pôvodnú rovnicu,
• nižšie je rovnica získaná po použití pravidla na nájdenie neznámeho pojmu,
• nakoniec, ešte nižšie, zapíšte rovnicu získanú po vykonaní operácií s číslami.

Význam tejto formy písania je, že pôvodná rovnica sa postupne nahrádza ekvivalentné rovnice, z ktorého je nakoniec zrejmý koreň pôvodnej rovnice. Podrobne o tom hovoria na hodinách algebry v 7. ročníku, ale teraz načrtnime riešenie našej rovnice 3. stupňa:
3+x=8,
x=8–3,
x=5.

Pre overenie správnosti prijatej odpovede je žiaduce urobiť kontrolu. Aby ste to dosiahli, výsledný koreň rovnice sa musí dosadiť do pôvodnej rovnice a zistiť, či to dáva správnu číselnú rovnosť.

Do pôvodnej rovnice 3 + x = 8 dosadíme namiesto x číslo 5, dostaneme 3 + 5 = 8 - táto rovnosť je správna, neznámy člen sme teda našli správne. Ak by sme pri kontrole dostali nesprávnu číselnú rovnosť, potom by nám to naznačovalo, že sme rovnicu vyriešili nesprávne. Hlavnými dôvodmi môžu byť buď použitie nesprávneho pravidla, alebo chyby vo výpočte.

Začiatok stránky

Ako nájsť neznámy minuend, subtrahend?

Súvislosť sčítania a odčítania čísel, o ktorej sme sa už zmienili v predchádzajúcom odseku, nám umožňuje získať pravidlo na nájdenie neznámeho podhľadu cez známy podpočetník a rozdiel, ako aj pravidlo na nájdenie neznámeho podradníka cez známy podpočetník. a rozdiel. Postupne ich sformulujeme a okamžite poskytneme riešenie zodpovedajúcich rovníc.

Ak chcete nájsť neznámy minuend, musíte k rozdielu pridať subtrahend.

Uvažujme napríklad rovnicu x−2=5. Obsahuje neznámu menštruáciu. Dané pravidlo nám hovorí, že na to, aby sme ho našli, musíme k známemu rozdielu 5 pripočítať známy subtrahend 2, máme 5+2=7. Požadovaný minuend sa teda rovná siedmim.

Ak vynecháte vysvetlenia, riešenie je napísané takto:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Pre sebakontrolu vykonáme kontrolu. Dosadíme do pôvodnej rovnice nájdenej minuend, pričom dostaneme číselnú rovnosť 7−2=5. Je to správne, preto si môžeme byť istí, že sme správne určili hodnotu neznámeho minuendu.

Môžete prejsť k hľadaniu neznámeho subtrahendu. Nájde sa pridaním podľa nasledujúceho pravidla: na nájdenie neznámeho subtrahendu je potrebné odpočítať rozdiel od minuendu.

Rovnicu v tvare 9−x=4 riešime pomocou napísaného pravidla. V tejto rovnici je neznáma subtrahend. Aby sme to našli, musíme odčítať známy rozdiel 4 od známeho zníženého 9, máme 9−4=5. Požadovaný subtrahend sa teda rovná piatim.

Tu je krátka verzia riešenia tejto rovnice:
9-x=4,
x=9–4,
x=5.

Zostáva len skontrolovať správnosť nájdeného subtrahendu. Urobme kontrolu, pri ktorej do pôvodnej rovnice dosadíme zistenú hodnotu 5 namiesto x a dostaneme číselnú rovnosť 9−5=4. Je to správne, preto hodnota subtrahendu, ktorú sme našli, je správna.

A predtým, ako prejdeme k ďalšiemu pravidlu, poznamenávame, že v 6. ročníku sa uvažuje o pravidle na riešenie rovníc, ktoré vám umožňuje preniesť ľubovoľný výraz z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom. Takže všetky vyššie uvedené pravidlá na nájdenie neznámeho výrazu, redukované a odčítané, sú s ním plne v súlade.

Začiatok stránky

Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte...

Pozrime sa na rovnice x 3=12 a 2 y=6. V nich je neznáme číslo faktor na ľavej strane a súčin a druhý faktor sú známe. Ak chcete nájsť neznámy faktor, môžete použiť nasledujúce pravidlo: Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt známym faktorom.

Toto pravidlo vychádza z toho, že deleniu čísel sme dali opačný význam ako násobeniu. To znamená, že medzi násobením a delením existuje súvislosť: z rovnosti a b=c, kde a≠0 a b≠0, vyplýva, že ca=b a cb=c a naopak.

Napríklad nájdime neznámy faktor rovnice x·3=12. Podľa pravidla potrebujeme známy súčin 12 vydeliť známym faktorom 3. Rozdeľme prirodzené čísla: 123=4. Takže neznámy faktor je 4.

Stručne povedané, riešenie rovnice je napísané ako postupnosť rovnosti:
x 3 = 12,
x=123,
x=4.

Je tiež žiaduce skontrolovať výsledok: namiesto písmena v pôvodnej rovnici nahradíme nájdenú hodnotu, dostaneme 4 3 \u003d 12 - správnu číselnú rovnosť, takže sme správne našli hodnotu neznámeho faktora.

Samostatne musíte venovať pozornosť skutočnosti, že vyjadrené pravidlo nemožno použiť na nájdenie neznámeho faktora, keď je druhý faktor nula. Toto pravidlo napríklad nie je vhodné na riešenie rovnice x·0=11. Ak v tomto prípade dodržíme pravidlo, potom, aby sme našli neznámy faktor, musíme súčin 11 vydeliť ďalším faktorom rovným nule a nemôžeme deliť nulou. O týchto prípadoch budeme podrobne diskutovať, keď hovoríme o lineárnych rovniciach.

A ešte niečo: ak konáme podľa naštudovaného pravidla, vlastne vykonávame delenie oboch častí rovnice nenulovým známym násobiteľom. V 6. ročníku sa povie, že obe časti rovnice možno vynásobiť a vydeliť rovnakým nenulovým číslom, na korene rovnice to nemá vplyv.

Začiatok stránky

Ako nájsť neznámu dividendu, deliteľa?

V rámci našej témy zostáva zistiť, ako nájsť neznámu dividendu so známym deliteľom a kvocientom, ako aj nájsť neznámeho deliteľa so známou dividendou a kvocientom. Vzťah medzi násobením a delením už spomenutý v predchádzajúcom odseku vám umožňuje odpovedať na tieto otázky.

Ak chcete nájsť neznámu dividendu, musíte vynásobiť podiel deliteľom.

Uvažujme o jeho aplikácii na príklade. Vyriešme rovnicu x5=9. Na nájdenie neznámeho deliteľa tejto rovnice je podľa pravidla potrebné vynásobiť známy kvocient 9 známym deliteľom 5, to znamená, že vykonáme násobenie prirodzených čísel: 9 5 \u003d 45. Požadovaná dividenda je teda 45.

Ukážme si krátky zápis riešenia:
x5=9,
x = 9 5,
x = 45.

Kontrola potvrdí, že hodnota neznámej dividendy je nájdená správne. Pri dosadení čísla 45 do pôvodnej rovnice namiesto premennej x sa totiž zmení na správnu číselnú rovnosť 455=9.

Všimnite si, že analyzované pravidlo možno interpretovať ako násobenie oboch častí rovnice známym deliteľom. Takáto transformácia neovplyvňuje korene rovnice.

Prejdime k pravidlu na nájdenie neznámeho deliteľa: Ak chcete nájsť neznámeho deliteľa, vydeľte dividendu podielom.

Zvážte príklad. Nájdite neznámeho deliteľa z rovnice 18x=3. Aby sme to urobili, musíme vydeliť známu dividendu 18 známym podielom 3, máme 183=6. Požadovaný deliteľ sa teda rovná šiestim.

Riešenie môže byť formulované aj takto:
18x=3,
x=183,
x=6.

Skontrolujeme spoľahlivosť tohto výsledku: 186=3 - správna číselná rovnosť, preto je koreň rovnice nájdený správne.

Je jasné, že toto pravidlo možno použiť len vtedy, keď je kvocient iný ako nula, aby nedošlo k deleniu nulou. Keď je podiel nula, sú možné dva prípady. Ak sa v tomto prípade delenec rovná nule, to znamená, že rovnica má tvar 0x=0, potom táto rovnica spĺňa akúkoľvek nenulovú hodnotu deliteľa. Inými slovami, koreňmi takejto rovnice sú akékoľvek čísla, ktoré sa nerovnajú nule. Ak, keď sa kvocient rovná nule, dividenda je odlišná od nuly, potom pre žiadne hodnoty deliteľa sa pôvodná rovnica nezmení na skutočnú číselnú rovnosť, to znamená, že rovnica nemá korene. Pre ilustráciu uvádzame rovnicu 5x=0, nemá žiadne riešenia.

Začiatok stránky

Pravidlá zdieľania

Dôsledná aplikácia pravidiel pre hľadanie neznámeho člena, minuendu, subtrahendu, multiplikátora, deliteľa a deliteľa umožňuje riešiť rovnice s jednou premennou zložitejšieho tvaru. Vyrovnajme sa s tým na príklade.

Uvažujme rovnicu 3 x+1=7. Najprv nájdeme neznámy člen 3 x, na to musíme od súčtu 7 odčítať známy člen 1, dostaneme 3 x=7−1 a potom 3 x=6. Teraz zostáva nájsť neznámy faktor vydelením súčinu 6 známym faktorom 3, máme x=63, odkiaľ x=2. Nájdeme teda koreň pôvodnej rovnice.

Na konsolidáciu materiálu uvádzame stručné riešenie ďalšej rovnice (2·x−7)3−5=2.
(2 x-7)3-5=2,
(2 x-7)3=2+5,
(2 x-7)3=7,
2 x - 7 = 7 3,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=282,
x=14.

Začiatok stránky

• Matematika.. 4. trieda. Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. O 2 h.K 1 / .- 8. vyd. — M.: Osveta, 2011. — 112 s.: chor. - (Ruská škola). — ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matematika: štúdium. pre 5 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 s.: chorý. ISBN 5-346-00699-0.

Rovnice, riešenie rovníc

Hľadanie neznámeho pojmu, násobilky a pod., pravidiel, príkladov, riešení

Dlhá cesta k rozvoju zručností riešenie rovníc začína riešením úplne prvých a relatívne jednoduchých rovníc. Takýmito rovnicami rozumieme rovnice, na ľavej strane ktorých je súčet, rozdiel, súčin alebo podiel dvoch čísel, z ktorých jedno je neznáme a na pravej strane je číslo. To znamená, že tieto rovnice obsahujú neznámy člen, minuend, subtrahend, multiplikátor, dividendu alebo deliteľa. Riešenie takýchto rovníc bude diskutované v tomto článku.

Tu uvedieme pravidlá, ktoré nám umožňujú nájsť neznámy výraz, násobiteľ atď. Okrem toho okamžite zvážime aplikáciu týchto pravidiel v praxi pri riešení charakteristických rovníc.

Ak chcete nájsť neznámy výraz, musíte ...

Zhenya a Kolya sa rozhodli jesť jablká, pre ktoré ich začali zhadzovať z jablone. Zhenya dostala 3 jablká a na konci procesu mali chlapci 8 jabĺk. Koľko jabĺk zrazil Kolja?

Aby sme tento typický problém preložili do matematického jazyka, označme neznámy počet jabĺk, ktoré Kolja zrazil, ako x. Potom podľa podmienky 3 Zhenyine jablká a x Kolins spolu vytvoria 8 jabĺk. Posledná veta zodpovedá rovnici v tvare 3+x=8. Na ľavej strane tejto rovnice je súčet obsahujúci neznámy člen, na pravej strane je hodnota tohto súčtu - číslo 8. Ako teda nájsť neznámy člen x, ktorý nás zaujíma?

Existuje na to pravidlo: Ak chcete nájsť neznámy výraz, odpočítajte známy výraz od súčtu..

Toto pravidlo sa vysvetľuje skutočnosťou, že odčítanie má opačný význam ako sčítanie. Inými slovami, medzi sčítaním a odčítaním čísel existuje vzťah, ktorý je vyjadrený nasledovne: z toho, že a+b=c vyplýva, že c−a=b a c−b=a a naopak, z c−a=b, ako aj z c−b=a vyplýva, že a+b=c.

Vyjadrené pravidlo umožňuje, aby jeden známy výraz a známy súčet určili ďalší neznámy výraz. Nezáleží na tom, ktorý z výrazov je neznámy, prvý alebo druhý. Uvažujme o jeho aplikácii na príklade.

Vráťme sa k našej rovnici 3+x=8. Podľa pravidla potrebujeme od známeho súčtu 8 odčítať známy člen 3. To znamená, že odčítame prirodzené čísla: 8−3=5, našli sme teda neznámy člen, ktorý potrebujeme, rovná sa 5.

Prijala sa nasledujúca forma písania riešenia takýchto rovníc:

• najprv napíšte pôvodnú rovnicu,
• nižšie je rovnica získaná po použití pravidla na nájdenie neznámeho pojmu,
• nakoniec, ešte nižšie, zapíšte rovnicu získanú po vykonaní operácií s číslami.

Význam tejto formy písania je, že pôvodná rovnica je postupne nahradená ekvivalentnými rovnicami, z ktorých je nakoniec zrejmý koreň pôvodnej rovnice. Podrobne o tom hovoria na hodinách algebry v 7. ročníku, ale teraz načrtnime riešenie našej rovnice 3. stupňa:
3+x=8,
x=8–3,
x=5.

Pre overenie správnosti prijatej odpovede je žiaduce urobiť kontrolu. Aby ste to dosiahli, výsledný koreň rovnice sa musí dosadiť do pôvodnej rovnice a zistiť, či to dáva správnu číselnú rovnosť.

Do pôvodnej rovnice 3 + x = 8 dosadíme namiesto x číslo 5, dostaneme 3 + 5 = 8 - táto rovnosť je správna, neznámy člen sme teda našli správne. Ak by sme pri kontrole dostali nesprávnu číselnú rovnosť, potom by nám to naznačovalo, že sme rovnicu vyriešili nesprávne. Hlavnými dôvodmi môžu byť buď použitie nesprávneho pravidla, alebo chyby vo výpočte.

Začiatok stránky

Ako nájsť neznámy minuend, subtrahend?

Súvislosť sčítania a odčítania čísel, o ktorej sme sa už zmienili v predchádzajúcom odseku, nám umožňuje získať pravidlo na nájdenie neznámeho podhľadu cez známy podpočetník a rozdiel, ako aj pravidlo na nájdenie neznámeho podradníka cez známy podpočetník. a rozdiel. Postupne ich sformulujeme a okamžite poskytneme riešenie zodpovedajúcich rovníc.

Ak chcete nájsť neznámy minuend, musíte k rozdielu pridať subtrahend.

Uvažujme napríklad rovnicu x−2=5. Obsahuje neznámu menštruáciu. Dané pravidlo nám hovorí, že na to, aby sme ho našli, musíme k známemu rozdielu 5 pripočítať známy subtrahend 2, máme 5+2=7. Požadovaný minuend sa teda rovná siedmim.

Ak vynecháte vysvetlenia, riešenie je napísané takto:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Pre sebakontrolu vykonáme kontrolu. Dosadíme do pôvodnej rovnice nájdenej minuend, pričom dostaneme číselnú rovnosť 7−2=5. Je to správne, preto si môžeme byť istí, že sme správne určili hodnotu neznámeho minuendu.

Môžete prejsť k hľadaniu neznámeho subtrahendu. Nájde sa pridaním podľa nasledujúceho pravidla: na nájdenie neznámeho subtrahendu je potrebné odpočítať rozdiel od minuendu.

Rovnicu v tvare 9−x=4 riešime pomocou napísaného pravidla. V tejto rovnici je neznáma subtrahend. Aby sme to našli, musíme odčítať známy rozdiel 4 od známeho zníženého 9, máme 9−4=5. Požadovaný subtrahend sa teda rovná piatim.

Tu je krátka verzia riešenia tejto rovnice:
9-x=4,
x=9–4,
x=5.

Zostáva len skontrolovať správnosť nájdeného subtrahendu. Urobme kontrolu, pri ktorej do pôvodnej rovnice dosadíme zistenú hodnotu 5 namiesto x a dostaneme číselnú rovnosť 9−5=4. Je to správne, preto hodnota subtrahendu, ktorú sme našli, je správna.

A predtým, ako prejdeme k ďalšiemu pravidlu, poznamenávame, že v 6. ročníku sa uvažuje o pravidle na riešenie rovníc, ktoré vám umožňuje preniesť ľubovoľný výraz z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom. Takže všetky vyššie uvedené pravidlá na nájdenie neznámeho výrazu, redukované a odčítané, sú s ním plne v súlade.

Začiatok stránky

Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte...

Pozrime sa na rovnice x 3=12 a 2 y=6. V nich je neznáme číslo faktor na ľavej strane a súčin a druhý faktor sú známe.

Ako nájsť deliteľa kvocientu Píšem pravidlá, ktoré nie sú zapamätateľné

Ak chcete nájsť neznámy faktor, môžete použiť nasledujúce pravidlo: Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt známym faktorom.

Toto pravidlo vychádza z toho, že deleniu čísel sme dali opačný význam ako násobeniu. To znamená, že medzi násobením a delením existuje súvislosť: z rovnosti a b=c, kde a≠0 a b≠0, vyplýva, že ca=b a cb=c a naopak.

Napríklad nájdime neznámy faktor rovnice x·3=12. Podľa pravidla potrebujeme známy súčin 12 vydeliť známym faktorom 3. Rozdeľme prirodzené čísla: 123=4. Takže neznámy faktor je 4.

Stručne povedané, riešenie rovnice je napísané ako postupnosť rovnosti:
x 3 = 12,
x=123,
x=4.

Je tiež žiaduce skontrolovať výsledok: namiesto písmena v pôvodnej rovnici nahradíme nájdenú hodnotu, dostaneme 4 3 \u003d 12 - správnu číselnú rovnosť, takže sme správne našli hodnotu neznámeho faktora.

Samostatne musíte venovať pozornosť skutočnosti, že vyjadrené pravidlo nemožno použiť na nájdenie neznámeho faktora, keď je druhý faktor nula. Toto pravidlo napríklad nie je vhodné na riešenie rovnice x·0=11. Ak v tomto prípade dodržíme pravidlo, potom, aby sme našli neznámy faktor, musíme súčin 11 vydeliť ďalším faktorom rovným nule a nemôžeme deliť nulou. O týchto prípadoch budeme podrobne diskutovať, keď hovoríme o lineárnych rovniciach.

A ešte niečo: ak konáme podľa naštudovaného pravidla, vlastne vykonávame delenie oboch častí rovnice nenulovým známym násobiteľom. V 6. ročníku sa povie, že obe časti rovnice možno vynásobiť a vydeliť rovnakým nenulovým číslom, na korene rovnice to nemá vplyv.

Začiatok stránky

Ako nájsť neznámu dividendu, deliteľa?

V rámci našej témy zostáva zistiť, ako nájsť neznámu dividendu so známym deliteľom a kvocientom, ako aj nájsť neznámeho deliteľa so známou dividendou a kvocientom. Vzťah medzi násobením a delením už spomenutý v predchádzajúcom odseku vám umožňuje odpovedať na tieto otázky.

Ak chcete nájsť neznámu dividendu, musíte vynásobiť podiel deliteľom.

Uvažujme o jeho aplikácii na príklade. Vyriešme rovnicu x5=9. Na nájdenie neznámeho deliteľa tejto rovnice je podľa pravidla potrebné vynásobiť známy kvocient 9 známym deliteľom 5, to znamená, že vykonáme násobenie prirodzených čísel: 9 5 \u003d 45. Požadovaná dividenda je teda 45.

Ukážme si krátky zápis riešenia:
x5=9,
x = 9 5,
x = 45.

Kontrola potvrdí, že hodnota neznámej dividendy je nájdená správne. Pri dosadení čísla 45 do pôvodnej rovnice namiesto premennej x sa totiž zmení na správnu číselnú rovnosť 455=9.

Všimnite si, že analyzované pravidlo možno interpretovať ako násobenie oboch častí rovnice známym deliteľom. Takáto transformácia neovplyvňuje korene rovnice.

Prejdime k pravidlu na nájdenie neznámeho deliteľa: Ak chcete nájsť neznámeho deliteľa, vydeľte dividendu podielom.

Zvážte príklad. Nájdite neznámeho deliteľa z rovnice 18x=3. Aby sme to urobili, musíme vydeliť známu dividendu 18 známym podielom 3, máme 183=6. Požadovaný deliteľ sa teda rovná šiestim.

Riešenie môže byť formulované aj takto:
18x=3,
x=183,
x=6.

Skontrolujeme spoľahlivosť tohto výsledku: 186=3 - správna číselná rovnosť, preto je koreň rovnice nájdený správne.

Je jasné, že toto pravidlo možno použiť len vtedy, keď je kvocient iný ako nula, aby nedošlo k deleniu nulou. Keď je podiel nula, sú možné dva prípady. Ak sa v tomto prípade delenec rovná nule, to znamená, že rovnica má tvar 0x=0, potom táto rovnica spĺňa akúkoľvek nenulovú hodnotu deliteľa. Inými slovami, koreňmi takejto rovnice sú akékoľvek čísla, ktoré sa nerovnajú nule. Ak, keď sa kvocient rovná nule, dividenda je odlišná od nuly, potom pre žiadne hodnoty deliteľa sa pôvodná rovnica nezmení na skutočnú číselnú rovnosť, to znamená, že rovnica nemá korene. Pre ilustráciu uvádzame rovnicu 5x=0, nemá žiadne riešenia.

Začiatok stránky

Pravidlá zdieľania

Dôsledná aplikácia pravidiel pre hľadanie neznámeho člena, minuendu, subtrahendu, multiplikátora, deliteľa a deliteľa umožňuje riešiť rovnice s jednou premennou zložitejšieho tvaru. Vyrovnajme sa s tým na príklade.

Uvažujme rovnicu 3 x+1=7. Najprv nájdeme neznámy člen 3 x, na to musíme od súčtu 7 odčítať známy člen 1, dostaneme 3 x=7−1 a potom 3 x=6. Teraz zostáva nájsť neznámy faktor vydelením súčinu 6 známym faktorom 3, máme x=63, odkiaľ x=2. Nájdeme teda koreň pôvodnej rovnice.

Na konsolidáciu materiálu uvádzame stručné riešenie ďalšej rovnice (2·x−7)3−5=2.
(2 x-7)3-5=2,
(2 x-7)3=2+5,
(2 x-7)3=7,
2 x - 7 = 7 3,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=282,
x=14.

Začiatok stránky

• Matematika.. 4. trieda. Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. O 2 h.K 1 / .- 8. vyd. — M.: Osveta, 2011. — 112 s.: chor. - (Ruská škola). — ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matematika: štúdium. pre 5 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 s.: chorý. ISBN 5-346-00699-0.

Rovnice, riešenie rovníc

Hľadanie neznámeho pojmu, násobilky a pod., pravidiel, príkladov, riešení

Dlhá cesta k rozvoju zručností riešenie rovníc začína riešením úplne prvých a relatívne jednoduchých rovníc. Takýmito rovnicami rozumieme rovnice, na ľavej strane ktorých je súčet, rozdiel, súčin alebo podiel dvoch čísel, z ktorých jedno je neznáme a na pravej strane je číslo. To znamená, že tieto rovnice obsahujú neznámy člen, minuend, subtrahend, multiplikátor, dividendu alebo deliteľa. Riešenie takýchto rovníc bude diskutované v tomto článku.

Tu uvedieme pravidlá, ktoré nám umožňujú nájsť neznámy výraz, násobiteľ atď. Okrem toho okamžite zvážime aplikáciu týchto pravidiel v praxi pri riešení charakteristických rovníc.

Ak chcete nájsť neznámy výraz, musíte ...

Zhenya a Kolya sa rozhodli jesť jablká, pre ktoré ich začali zhadzovať z jablone. Zhenya dostala 3 jablká a na konci procesu mali chlapci 8 jabĺk. Koľko jabĺk zrazil Kolja?

Aby sme tento typický problém preložili do matematického jazyka, označme neznámy počet jabĺk, ktoré Kolja zrazil, ako x. Potom podľa podmienky 3 Zhenyine jablká a x Kolins spolu vytvoria 8 jabĺk. Posledná veta zodpovedá rovnici v tvare 3+x=8. Na ľavej strane tejto rovnice je súčet obsahujúci neznámy člen, na pravej strane je hodnota tohto súčtu - číslo 8. Ako teda nájsť neznámy člen x, ktorý nás zaujíma?

Existuje na to pravidlo: Ak chcete nájsť neznámy výraz, odpočítajte známy výraz od súčtu..

Toto pravidlo sa vysvetľuje skutočnosťou, že odčítanie má opačný význam ako sčítanie. Inými slovami, medzi sčítaním a odčítaním čísel existuje vzťah, ktorý je vyjadrený nasledovne: z toho, že a+b=c vyplýva, že c−a=b a c−b=a a naopak, z c−a=b, ako aj z c−b=a vyplýva, že a+b=c.

Vyjadrené pravidlo umožňuje, aby jeden známy výraz a známy súčet určili ďalší neznámy výraz. Nezáleží na tom, ktorý z výrazov je neznámy, prvý alebo druhý. Uvažujme o jeho aplikácii na príklade.

Vráťme sa k našej rovnici 3+x=8. Podľa pravidla potrebujeme od známeho súčtu 8 odčítať známy člen 3. To znamená, že odčítame prirodzené čísla: 8−3=5, našli sme teda neznámy člen, ktorý potrebujeme, rovná sa 5.

Prijala sa nasledujúca forma písania riešenia takýchto rovníc:

• najprv napíšte pôvodnú rovnicu,
• nižšie je rovnica získaná po použití pravidla na nájdenie neznámeho pojmu,
• nakoniec, ešte nižšie, zapíšte rovnicu získanú po vykonaní operácií s číslami.

Význam tejto formy písania je, že pôvodná rovnica je postupne nahradená ekvivalentnými rovnicami, z ktorých je nakoniec zrejmý koreň pôvodnej rovnice. Podrobne o tom hovoria na hodinách algebry v 7. ročníku, ale teraz načrtnime riešenie našej rovnice 3. stupňa:
3+x=8,
x=8–3,
x=5.

Pre overenie správnosti prijatej odpovede je žiaduce urobiť kontrolu. Aby ste to dosiahli, výsledný koreň rovnice sa musí dosadiť do pôvodnej rovnice a zistiť, či to dáva správnu číselnú rovnosť.

Do pôvodnej rovnice 3 + x = 8 dosadíme namiesto x číslo 5, dostaneme 3 + 5 = 8 - táto rovnosť je správna, neznámy člen sme teda našli správne. Ak by sme pri kontrole dostali nesprávnu číselnú rovnosť, potom by nám to naznačovalo, že sme rovnicu vyriešili nesprávne. Hlavnými dôvodmi môžu byť buď použitie nesprávneho pravidla, alebo chyby vo výpočte.

Začiatok stránky

Ako nájsť neznámy minuend, subtrahend?

Súvislosť sčítania a odčítania čísel, o ktorej sme sa už zmienili v predchádzajúcom odseku, nám umožňuje získať pravidlo na nájdenie neznámeho podhľadu cez známy podpočetník a rozdiel, ako aj pravidlo na nájdenie neznámeho podradníka cez známy podpočetník. a rozdiel. Postupne ich sformulujeme a okamžite poskytneme riešenie zodpovedajúcich rovníc.

Ak chcete nájsť neznámy minuend, musíte k rozdielu pridať subtrahend.

Uvažujme napríklad rovnicu x−2=5. Obsahuje neznámu menštruáciu. Dané pravidlo nám hovorí, že na to, aby sme ho našli, musíme k známemu rozdielu 5 pripočítať známy subtrahend 2, máme 5+2=7. Požadovaný minuend sa teda rovná siedmim.

Ak vynecháte vysvetlenia, riešenie je napísané takto:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Pre sebakontrolu vykonáme kontrolu. Dosadíme do pôvodnej rovnice nájdenej minuend, pričom dostaneme číselnú rovnosť 7−2=5. Je to správne, preto si môžeme byť istí, že sme správne určili hodnotu neznámeho minuendu.

Môžete prejsť k hľadaniu neznámeho subtrahendu. Nájde sa pridaním podľa nasledujúceho pravidla: na nájdenie neznámeho subtrahendu je potrebné odpočítať rozdiel od minuendu.

Rovnicu v tvare 9−x=4 riešime pomocou napísaného pravidla. V tejto rovnici je neznáma subtrahend. Aby sme to našli, musíme odčítať známy rozdiel 4 od známeho zníženého 9, máme 9−4=5. Požadovaný subtrahend sa teda rovná piatim.

Tu je krátka verzia riešenia tejto rovnice:
9-x=4,
x=9–4,
x=5.

Zostáva len skontrolovať správnosť nájdeného subtrahendu. Urobme kontrolu, pri ktorej do pôvodnej rovnice dosadíme zistenú hodnotu 5 namiesto x a dostaneme číselnú rovnosť 9−5=4. Je to správne, preto hodnota subtrahendu, ktorú sme našli, je správna.

A predtým, ako prejdeme k ďalšiemu pravidlu, poznamenávame, že v 6. ročníku sa uvažuje o pravidle na riešenie rovníc, ktoré vám umožňuje preniesť ľubovoľný výraz z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom. Takže všetky vyššie uvedené pravidlá na nájdenie neznámeho výrazu, redukované a odčítané, sú s ním plne v súlade.

Začiatok stránky

Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte...

Pozrime sa na rovnice x 3=12 a 2 y=6. V nich je neznáme číslo faktor na ľavej strane a súčin a druhý faktor sú známe. Ak chcete nájsť neznámy faktor, môžete použiť nasledujúce pravidlo: Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt známym faktorom.

Toto pravidlo vychádza z toho, že deleniu čísel sme dali opačný význam ako násobeniu. To znamená, že medzi násobením a delením existuje súvislosť: z rovnosti a b=c, kde a≠0 a b≠0, vyplýva, že ca=b a cb=c a naopak.

Napríklad nájdime neznámy faktor rovnice x·3=12. Podľa pravidla potrebujeme známy súčin 12 vydeliť známym faktorom 3. Rozdeľme prirodzené čísla: 123=4. Takže neznámy faktor je 4.

Stručne povedané, riešenie rovnice je napísané ako postupnosť rovnosti:
x 3 = 12,
x=123,
x=4.

Je tiež žiaduce skontrolovať výsledok: namiesto písmena v pôvodnej rovnici nahradíme nájdenú hodnotu, dostaneme 4 3 \u003d 12 - správnu číselnú rovnosť, takže sme správne našli hodnotu neznámeho faktora.

Samostatne musíte venovať pozornosť skutočnosti, že vyjadrené pravidlo nemožno použiť na nájdenie neznámeho faktora, keď je druhý faktor nula. Toto pravidlo napríklad nie je vhodné na riešenie rovnice x·0=11. Ak v tomto prípade dodržíme pravidlo, potom, aby sme našli neznámy faktor, musíme súčin 11 vydeliť ďalším faktorom rovným nule a nemôžeme deliť nulou. O týchto prípadoch budeme podrobne diskutovať, keď hovoríme o lineárnych rovniciach.

A ešte niečo: ak konáme podľa naštudovaného pravidla, vlastne vykonávame delenie oboch častí rovnice nenulovým známym násobiteľom. V 6. ročníku sa povie, že obe časti rovnice možno vynásobiť a vydeliť rovnakým nenulovým číslom, na korene rovnice to nemá vplyv.

Začiatok stránky

Ako nájsť neznámu dividendu, deliteľa?

V rámci našej témy zostáva zistiť, ako nájsť neznámu dividendu so známym deliteľom a kvocientom, ako aj nájsť neznámeho deliteľa so známou dividendou a kvocientom. Vzťah medzi násobením a delením už spomenutý v predchádzajúcom odseku vám umožňuje odpovedať na tieto otázky.

Ak chcete nájsť neznámu dividendu, musíte vynásobiť podiel deliteľom.

Uvažujme o jeho aplikácii na príklade. Vyriešme rovnicu x5=9. Na nájdenie neznámeho deliteľa tejto rovnice je podľa pravidla potrebné vynásobiť známy kvocient 9 známym deliteľom 5, to znamená, že vykonáme násobenie prirodzených čísel: 9 5 \u003d 45. Požadovaná dividenda je teda 45.

Ukážme si krátky zápis riešenia:
x5=9,
x = 9 5,
x = 45.

Kontrola potvrdí, že hodnota neznámej dividendy je nájdená správne. Pri dosadení čísla 45 do pôvodnej rovnice namiesto premennej x sa totiž zmení na správnu číselnú rovnosť 455=9.

Všimnite si, že analyzované pravidlo možno interpretovať ako násobenie oboch častí rovnice známym deliteľom. Takáto transformácia neovplyvňuje korene rovnice.

Prejdime k pravidlu na nájdenie neznámeho deliteľa: Ak chcete nájsť neznámeho deliteľa, vydeľte dividendu podielom.

Zvážte príklad. Nájdite neznámeho deliteľa z rovnice 18x=3. Aby sme to urobili, musíme vydeliť známu dividendu 18 známym podielom 3, máme 183=6. Požadovaný deliteľ sa teda rovná šiestim.

Riešenie môže byť formulované aj takto:
18x=3,
x=183,
x=6.

Skontrolujeme spoľahlivosť tohto výsledku: 186=3 - správna číselná rovnosť, preto je koreň rovnice nájdený správne.

dividendový deliteľ súkromné ​​pravidlo

Je jasné, že toto pravidlo možno použiť len vtedy, keď je kvocient iný ako nula, aby nedošlo k deleniu nulou. Keď je podiel nula, sú možné dva prípady. Ak sa v tomto prípade delenec rovná nule, to znamená, že rovnica má tvar 0x=0, potom táto rovnica spĺňa akúkoľvek nenulovú hodnotu deliteľa. Inými slovami, koreňmi takejto rovnice sú akékoľvek čísla, ktoré sa nerovnajú nule. Ak, keď sa kvocient rovná nule, dividenda je odlišná od nuly, potom pre žiadne hodnoty deliteľa sa pôvodná rovnica nezmení na skutočnú číselnú rovnosť, to znamená, že rovnica nemá korene. Pre ilustráciu uvádzame rovnicu 5x=0, nemá žiadne riešenia.

Začiatok stránky

Pravidlá zdieľania

Dôsledná aplikácia pravidiel pre hľadanie neznámeho člena, minuendu, subtrahendu, multiplikátora, deliteľa a deliteľa umožňuje riešiť rovnice s jednou premennou zložitejšieho tvaru. Vyrovnajme sa s tým na príklade.

Uvažujme rovnicu 3 x+1=7. Najprv nájdeme neznámy člen 3 x, na to musíme od súčtu 7 odčítať známy člen 1, dostaneme 3 x=7−1 a potom 3 x=6. Teraz zostáva nájsť neznámy faktor vydelením súčinu 6 známym faktorom 3, máme x=63, odkiaľ x=2. Nájdeme teda koreň pôvodnej rovnice.

Na konsolidáciu materiálu uvádzame stručné riešenie ďalšej rovnice (2·x−7)3−5=2.
(2 x-7)3-5=2,
(2 x-7)3=2+5,
(2 x-7)3=7,
2 x - 7 = 7 3,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=282,
x=14.

Začiatok stránky

• Matematika.. 4. trieda. Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. O 2 h.K 1 / .- 8. vyd. — M.: Osveta, 2011. — 112 s.: chor. - (Ruská škola). — ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matematika: štúdium. pre 5 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 s.: chorý. ISBN 5-346-00699-0.

Rovnice, riešenie rovníc

Hľadanie neznámeho pojmu, násobilky a pod., pravidiel, príkladov, riešení

Dlhá cesta k rozvoju zručností riešenie rovníc začína riešením úplne prvých a relatívne jednoduchých rovníc. Takýmito rovnicami rozumieme rovnice, na ľavej strane ktorých je súčet, rozdiel, súčin alebo podiel dvoch čísel, z ktorých jedno je neznáme a na pravej strane je číslo. To znamená, že tieto rovnice obsahujú neznámy člen, minuend, subtrahend, multiplikátor, dividendu alebo deliteľa. Riešenie takýchto rovníc bude diskutované v tomto článku.

Tu uvedieme pravidlá, ktoré nám umožňujú nájsť neznámy výraz, násobiteľ atď. Okrem toho okamžite zvážime aplikáciu týchto pravidiel v praxi pri riešení charakteristických rovníc.

Ak chcete nájsť neznámy výraz, musíte ...

Zhenya a Kolya sa rozhodli jesť jablká, pre ktoré ich začali zhadzovať z jablone. Zhenya dostala 3 jablká a na konci procesu mali chlapci 8 jabĺk. Koľko jabĺk zrazil Kolja?

Aby sme tento typický problém preložili do matematického jazyka, označme neznámy počet jabĺk, ktoré Kolja zrazil, ako x. Potom podľa podmienky 3 Zhenyine jablká a x Kolins spolu vytvoria 8 jabĺk. Posledná veta zodpovedá rovnici v tvare 3+x=8. Na ľavej strane tejto rovnice je súčet obsahujúci neznámy člen, na pravej strane je hodnota tohto súčtu - číslo 8. Ako teda nájsť neznámy člen x, ktorý nás zaujíma?

Existuje na to pravidlo: Ak chcete nájsť neznámy výraz, odpočítajte známy výraz od súčtu..

Toto pravidlo sa vysvetľuje skutočnosťou, že odčítanie má opačný význam ako sčítanie. Inými slovami, medzi sčítaním a odčítaním čísel existuje vzťah, ktorý je vyjadrený nasledovne: z toho, že a+b=c vyplýva, že c−a=b a c−b=a a naopak, z c−a=b, ako aj z c−b=a vyplýva, že a+b=c.

Vyjadrené pravidlo umožňuje, aby jeden známy výraz a známy súčet určili ďalší neznámy výraz. Nezáleží na tom, ktorý z výrazov je neznámy, prvý alebo druhý. Uvažujme o jeho aplikácii na príklade.

Vráťme sa k našej rovnici 3+x=8. Podľa pravidla potrebujeme od známeho súčtu 8 odčítať známy člen 3. To znamená, že odčítame prirodzené čísla: 8−3=5, našli sme teda neznámy člen, ktorý potrebujeme, rovná sa 5.

Prijala sa nasledujúca forma písania riešenia takýchto rovníc:

• najprv napíšte pôvodnú rovnicu,
• nižšie je rovnica získaná po použití pravidla na nájdenie neznámeho pojmu,
• nakoniec, ešte nižšie, zapíšte rovnicu získanú po vykonaní operácií s číslami.

Význam tejto formy písania je, že pôvodná rovnica je postupne nahradená ekvivalentnými rovnicami, z ktorých je nakoniec zrejmý koreň pôvodnej rovnice. Podrobne o tom hovoria na hodinách algebry v 7. ročníku, ale teraz načrtnime riešenie našej rovnice 3. stupňa:
3+x=8,
x=8–3,
x=5.

Pre overenie správnosti prijatej odpovede je žiaduce urobiť kontrolu. Aby ste to dosiahli, výsledný koreň rovnice sa musí dosadiť do pôvodnej rovnice a zistiť, či to dáva správnu číselnú rovnosť.

Do pôvodnej rovnice 3 + x = 8 dosadíme namiesto x číslo 5, dostaneme 3 + 5 = 8 - táto rovnosť je správna, neznámy člen sme teda našli správne. Ak by sme pri kontrole dostali nesprávnu číselnú rovnosť, potom by nám to naznačovalo, že sme rovnicu vyriešili nesprávne. Hlavnými dôvodmi môžu byť buď použitie nesprávneho pravidla, alebo chyby vo výpočte.

Začiatok stránky

Ako nájsť neznámy minuend, subtrahend?

Súvislosť sčítania a odčítania čísel, o ktorej sme sa už zmienili v predchádzajúcom odseku, nám umožňuje získať pravidlo na nájdenie neznámeho podhľadu cez známy podpočetník a rozdiel, ako aj pravidlo na nájdenie neznámeho podradníka cez známy podpočetník. a rozdiel. Postupne ich sformulujeme a okamžite poskytneme riešenie zodpovedajúcich rovníc.

Ak chcete nájsť neznámy minuend, musíte k rozdielu pridať subtrahend.

Uvažujme napríklad rovnicu x−2=5. Obsahuje neznámu menštruáciu. Dané pravidlo nám hovorí, že na to, aby sme ho našli, musíme k známemu rozdielu 5 pripočítať známy subtrahend 2, máme 5+2=7. Požadovaný minuend sa teda rovná siedmim.

Ak vynecháte vysvetlenia, riešenie je napísané takto:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Pre sebakontrolu vykonáme kontrolu. Dosadíme do pôvodnej rovnice nájdenej minuend, pričom dostaneme číselnú rovnosť 7−2=5. Je to správne, preto si môžeme byť istí, že sme správne určili hodnotu neznámeho minuendu.

Môžete prejsť k hľadaniu neznámeho subtrahendu. Nájde sa pridaním podľa nasledujúceho pravidla: na nájdenie neznámeho subtrahendu je potrebné odpočítať rozdiel od minuendu.

Rovnicu v tvare 9−x=4 riešime pomocou napísaného pravidla. V tejto rovnici je neznáma subtrahend. Aby sme to našli, musíme odčítať známy rozdiel 4 od známeho zníženého 9, máme 9−4=5. Požadovaný subtrahend sa teda rovná piatim.

Tu je krátka verzia riešenia tejto rovnice:
9-x=4,
x=9–4,
x=5.

Zostáva len skontrolovať správnosť nájdeného subtrahendu. Urobme kontrolu, pri ktorej do pôvodnej rovnice dosadíme zistenú hodnotu 5 namiesto x a dostaneme číselnú rovnosť 9−5=4. Je to správne, preto hodnota subtrahendu, ktorú sme našli, je správna.

A predtým, ako prejdeme k ďalšiemu pravidlu, poznamenávame, že v 6. ročníku sa uvažuje o pravidle na riešenie rovníc, ktoré vám umožňuje preniesť ľubovoľný výraz z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom. Takže všetky vyššie uvedené pravidlá na nájdenie neznámeho výrazu, redukované a odčítané, sú s ním plne v súlade.

Začiatok stránky

Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte...

Pozrime sa na rovnice x 3=12 a 2 y=6. V nich je neznáme číslo faktor na ľavej strane a súčin a druhý faktor sú známe. Ak chcete nájsť neznámy faktor, môžete použiť nasledujúce pravidlo: Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt známym faktorom.

Toto pravidlo vychádza z toho, že deleniu čísel sme dali opačný význam ako násobeniu. To znamená, že medzi násobením a delením existuje súvislosť: z rovnosti a b=c, kde a≠0 a b≠0, vyplýva, že ca=b a cb=c a naopak.

Napríklad nájdime neznámy faktor rovnice x·3=12. Podľa pravidla potrebujeme známy súčin 12 vydeliť známym faktorom 3. Rozdeľme prirodzené čísla: 123=4. Takže neznámy faktor je 4.

Stručne povedané, riešenie rovnice je napísané ako postupnosť rovnosti:
x 3 = 12,
x=123,
x=4.

Je tiež žiaduce skontrolovať výsledok: namiesto písmena v pôvodnej rovnici nahradíme nájdenú hodnotu, dostaneme 4 3 \u003d 12 - správnu číselnú rovnosť, takže sme správne našli hodnotu neznámeho faktora.

Čo je dividenda, deliteľ, kvocient a zvyšok (príklady)?

Samostatne musíte venovať pozornosť skutočnosti, že vyjadrené pravidlo nemožno použiť na nájdenie neznámeho faktora, keď je druhý faktor nula. Toto pravidlo napríklad nie je vhodné na riešenie rovnice x·0=11.

Ak v tomto prípade dodržíme pravidlo, potom, aby sme našli neznámy faktor, musíme súčin 11 vydeliť ďalším faktorom rovným nule a nemôžeme deliť nulou. O týchto prípadoch budeme podrobne diskutovať, keď hovoríme o lineárnych rovniciach.

A ešte niečo: ak konáme podľa naštudovaného pravidla, vlastne vykonávame delenie oboch častí rovnice nenulovým známym násobiteľom. V 6. ročníku sa povie, že obe časti rovnice možno vynásobiť a vydeliť rovnakým nenulovým číslom, na korene rovnice to nemá vplyv.

Začiatok stránky

Ako nájsť neznámu dividendu, deliteľa?

V rámci našej témy zostáva zistiť, ako nájsť neznámu dividendu so známym deliteľom a kvocientom, ako aj nájsť neznámeho deliteľa so známou dividendou a kvocientom. Vzťah medzi násobením a delením už spomenutý v predchádzajúcom odseku vám umožňuje odpovedať na tieto otázky.

Ak chcete nájsť neznámu dividendu, musíte vynásobiť podiel deliteľom.

Uvažujme o jeho aplikácii na príklade. Vyriešme rovnicu x5=9. Na nájdenie neznámeho deliteľa tejto rovnice je podľa pravidla potrebné vynásobiť známy kvocient 9 známym deliteľom 5, to znamená, že vykonáme násobenie prirodzených čísel: 9 5 \u003d 45. Požadovaná dividenda je teda 45.

Ukážme si krátky zápis riešenia:
x5=9,
x = 9 5,
x = 45.

Kontrola potvrdí, že hodnota neznámej dividendy je nájdená správne. Pri dosadení čísla 45 do pôvodnej rovnice namiesto premennej x sa totiž zmení na správnu číselnú rovnosť 455=9.

Všimnite si, že analyzované pravidlo možno interpretovať ako násobenie oboch častí rovnice známym deliteľom. Takáto transformácia neovplyvňuje korene rovnice.

Prejdime k pravidlu na nájdenie neznámeho deliteľa: Ak chcete nájsť neznámeho deliteľa, vydeľte dividendu podielom.

Zvážte príklad. Nájdite neznámeho deliteľa z rovnice 18x=3. Aby sme to urobili, musíme vydeliť známu dividendu 18 známym podielom 3, máme 183=6. Požadovaný deliteľ sa teda rovná šiestim.

Riešenie môže byť formulované aj takto:
18x=3,
x=183,
x=6.

Skontrolujeme spoľahlivosť tohto výsledku: 186=3 - správna číselná rovnosť, preto je koreň rovnice nájdený správne.

Je jasné, že toto pravidlo možno použiť len vtedy, keď je kvocient iný ako nula, aby nedošlo k deleniu nulou. Keď je podiel nula, sú možné dva prípady. Ak sa v tomto prípade delenec rovná nule, to znamená, že rovnica má tvar 0x=0, potom táto rovnica spĺňa akúkoľvek nenulovú hodnotu deliteľa. Inými slovami, koreňmi takejto rovnice sú akékoľvek čísla, ktoré sa nerovnajú nule. Ak, keď sa kvocient rovná nule, dividenda je odlišná od nuly, potom pre žiadne hodnoty deliteľa sa pôvodná rovnica nezmení na skutočnú číselnú rovnosť, to znamená, že rovnica nemá korene. Pre ilustráciu uvádzame rovnicu 5x=0, nemá žiadne riešenia.

Začiatok stránky

Pravidlá zdieľania

Dôsledná aplikácia pravidiel pre hľadanie neznámeho člena, minuendu, subtrahendu, multiplikátora, deliteľa a deliteľa umožňuje riešiť rovnice s jednou premennou zložitejšieho tvaru. Vyrovnajme sa s tým na príklade.

Uvažujme rovnicu 3 x+1=7. Najprv nájdeme neznámy člen 3 x, na to musíme od súčtu 7 odčítať známy člen 1, dostaneme 3 x=7−1 a potom 3 x=6. Teraz zostáva nájsť neznámy faktor vydelením súčinu 6 známym faktorom 3, máme x=63, odkiaľ x=2. Nájdeme teda koreň pôvodnej rovnice.

Na konsolidáciu materiálu uvádzame stručné riešenie ďalšej rovnice (2·x−7)3−5=2.
(2 x-7)3-5=2,
(2 x-7)3=2+5,
(2 x-7)3=7,
2 x - 7 = 7 3,
2x−7=21,
2x=21+7,
2x=28,
x=282,
x=14.

Začiatok stránky

• Matematika.. 4. trieda. Proc. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. O 2 h.K 1 / .- 8. vyd. — M.: Osveta, 2011. — 112 s.: chor. - (Ruská škola). — ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matematika: štúdium. pre 5 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 s.: chorý. ISBN 5-346-00699-0.