Nasa elementarya na, nahaharap ang mga estudyante sa mga fraction. At pagkatapos ay lilitaw sila sa bawat paksa. Imposibleng makalimutan ang mga aksyon sa mga numerong ito. Samakatuwid, kailangan mong malaman ang lahat ng impormasyon tungkol sa karaniwan at mga decimal. Ang mga konsepto na ito ay simple, ang pangunahing bagay ay upang maunawaan ang lahat sa pagkakasunud-sunod.

Bakit kailangan ang mga fraction?

Ang mundo sa paligid natin ay binubuo ng mga buong bagay. Samakatuwid, hindi na kailangan ng pagbabahagi. Pero araw-araw na buhay patuloy na nagtutulak sa mga tao na gumawa ng mga bahagi ng mga bagay at bagay.

Halimbawa, ang tsokolate ay binubuo ng ilang hiwa. Isaalang-alang ang sitwasyon kung saan ang tile nito ay nabuo ng labindalawang parihaba. Kung hahatiin mo ito sa dalawa, makakakuha ka ng 6 na bahagi. Mahusay na mahahati ito sa tatlo. Ngunit ang lima ay hindi makakapagbigay ng isang buong bilang ng mga hiwa ng tsokolate.

Sa pamamagitan ng paraan, ang mga hiwa na ito ay mga fraction na. At ang kanilang karagdagang dibisyon ay humahantong sa paglitaw ng mas kumplikadong mga numero.

Ano ang isang "fraction"?

Ito ay isang numero na binubuo ng mga bahagi ng isa. Sa panlabas, mukhang dalawang numero na pinaghihiwalay ng pahalang o slash. Ang tampok na ito ay tinatawag na fractional. Ang numerong nakasulat sa itaas (kaliwa) ay tinatawag na numerator. Ang nasa ibaba (kanan) ay ang denominator.

Sa katunayan, ang fractional bar ay lumalabas na isang tanda ng dibisyon. Iyon ay, ang numerator ay maaaring tawaging dibidendo, at ang denominator ay maaaring tawaging divisor.

Ano ang mga fraction?

Sa matematika, mayroon lamang dalawang uri ng mga ito: ordinaryo at decimal na mga praksyon. Unang ipinakilala ang mga mag-aaral mababang Paaralan, tinatawag lang silang "fractions". Ang pangalawa ay natututo sa ika-5 baitang. Iyan ay kapag lumitaw ang mga pangalan na ito.

Ang mga karaniwang praksiyon ay ang lahat ng nakasulat bilang dalawang numero na pinaghihiwalay ng isang bar. Halimbawa, 4/7. Ang desimal ay isang numero kung saan ang fractional na bahagi ay may positional notation at pinaghihiwalay mula sa integer na may kuwit. Halimbawa, 4.7. Kailangang maging malinaw ng mga mag-aaral na ang dalawang halimbawang ibinigay ay ganap na magkaibang mga numero.

Bawat simpleng fraction maaaring isulat bilang isang decimal. Ang pahayag na ito ay halos palaging totoo sa magkasalungat na daan. May mga panuntunan na nagbibigay-daan sa iyo na magsulat ng decimal na fraction bilang ordinaryong fraction.

Anong mga subspecies ang mayroon ang mga uri ng fraction na ito?

Mas mahusay na magsimula sa magkakasunod-sunod habang sila ay pinag-aaralan. Unang pumunta mga karaniwang fraction. Kabilang sa mga ito, 5 subspecies ang maaaring makilala.

Tama. Ang numerator nito ay palaging mas mababa sa denominator.

mali. Ang numerator nito ay mas malaki kaysa o katumbas ng denominator.

Nababawasan / hindi mababawasan. Ito ay maaaring tama o mali. Ang isa pang bagay ay mahalaga, kung ang numerator at denominator ay may mga karaniwang kadahilanan. Kung mayroon, pagkatapos ay dapat nilang hatiin ang parehong bahagi ng fraction, iyon ay, upang bawasan ito.

Magkakahalo. Ang isang integer ay itinalaga sa karaniwan nitong tama (maling) fractional na bahagi. At lagi itong nakatayo sa kaliwa.

Composite. Ito ay nabuo mula sa dalawang fraction na nahahati sa bawat isa. Ibig sabihin, mayroon itong tatlong fractional features nang sabay-sabay.

Ang mga desimal ay mayroon lamang dalawang subspecies:

pangwakas, iyon ay, isa kung saan ang fractional na bahagi ay limitado (may katapusan);

infinite - isang numero na ang mga digit pagkatapos ng decimal point ay hindi nagtatapos (maaari silang isulat nang walang katapusan).

Paano i-convert ang decimal sa ordinaryo?

Kung ito ay isang may hangganang numero, kung gayon ang isang asosasyon batay sa panuntunan ay inilalapat - tulad ng naririnig ko, kaya ako nagsusulat. Iyon ay, kailangan mong basahin ito ng tama at isulat ito, ngunit walang kuwit, ngunit may isang fractional na linya.

Bilang pahiwatig tungkol sa kinakailangang denominator, tandaan na ito ay palaging isa at ilang mga zero. Ang huli ay kailangang isulat ng kasing dami ng mga digit sa fractional na bahagi ng numerong pinag-uusapan.

Paano i-convert ang mga decimal fraction sa ordinaryong fraction kung sila buong bahagi wala, ibig sabihin, katumbas ng zero? Halimbawa, 0.9 o 0.05. Pagkatapos ilapat ang tinukoy na panuntunan, lumalabas na kailangan mong magsulat ng mga zero integer. Ngunit hindi ito ipinahiwatig. Ito ay nananatiling isulat lamang ang mga fractional na bahagi. Para sa unang numero, ang denominator ay magiging 10, para sa pangalawa - 100. Iyon ay, ang mga ipinahiwatig na halimbawa ay magkakaroon ng mga numero bilang mga sagot: 9/10, 5/100. Bukod dito, ang huli ay lumalabas na posible na bawasan ng 5. Samakatuwid, ang resulta para dito ay dapat na nakasulat 1/20.

Paano gumawa ng isang ordinaryong fraction mula sa isang decimal kung ang bahagi ng integer nito ay iba sa zero? Halimbawa, 5.23 o 13.00108. Binabasa ng parehong mga halimbawa ang bahagi ng integer at isulat ang halaga nito. Sa unang kaso, ito ay 5, sa pangalawa, 13. Pagkatapos ay kailangan mong lumipat sa fractional na bahagi. Sa kanila ito ay kinakailangan upang isagawa ang parehong operasyon. Ang unang numero ay may 23/100, ang pangalawa ay may 108/100000. Ang pangalawang halaga ay kailangang bawasan muli. Ang tugon ay ganito pinaghalong fraction: 5 23/100 at 13 27/25000.

Paano i-convert ang isang walang katapusang decimal sa isang karaniwang fraction?

Kung ito ay hindi pana-panahon, kung gayon ang naturang operasyon ay hindi maaaring isagawa. Ang katotohanang ito ay dahil sa ang katunayan na ang bawat decimal fraction ay palaging kino-convert sa alinman sa final o periodic.

Ang tanging bagay na pinapayagang gawin sa naturang fraction ay ang bilugan ito. Ngunit ang decimal ay magiging humigit-kumulang katumbas ng walang katapusan na iyon. Maaari na itong gawing ordinaryo. Ngunit ang baligtad na proseso: pag-convert sa decimal - ay hindi kailanman magbibigay ng paunang halaga. Ibig sabihin, walang katapusan periodic fractions ay hindi na-convert sa karaniwan. Ito ay dapat tandaan.

Paano magsulat ng isang walang katapusang periodic fraction sa anyo ng isang ordinaryong?

Sa mga numerong ito, palaging lumalabas ang isa o higit pang mga digit pagkatapos ng decimal point, na inuulit. Ang mga ito ay tinatawag na mga panahon. Halimbawa, 0.3(3). Narito ang "3" sa panahon. Ang mga ito ay inuri bilang makatuwiran, dahil maaari silang ma-convert sa mga ordinaryong fraction.

Alam ng mga nakatagpo ng periodic fraction na maaari silang maging dalisay o halo-halong. Sa unang kaso, ang tuldok ay nagsisimula kaagad mula sa kuwit. Sa pangalawa, ang fractional na bahagi ay nagsisimula sa anumang mga numero, at pagkatapos ay magsisimula ang pag-uulit.

Ang panuntunan kung saan kailangan mong magsulat ng isang walang katapusang decimal sa anyo ng isang ordinaryong fraction ay mag-iiba para sa dalawang uri ng mga numero. Napakadaling magsulat ng mga purong periodic fraction bilang ordinaryong fraction. Tulad ng mga pangwakas, kailangan nilang ma-convert: isulat ang tuldok sa numerator, at ang numero 9 ang magiging denominator, na umuulit nang maraming beses hangga't mayroong mga numero sa tuldok.

Halimbawa, 0,(5). Ang numero ay walang integer na bahagi, kaya kailangan mong magpatuloy kaagad sa fractional na bahagi. Isulat ang 5 sa numerator, at isulat ang 9 sa denominator. Ibig sabihin, ang sagot ay ang fraction na 5/9.

Isang panuntunan sa kung paano magsulat ng isang karaniwang decimal fraction na isang mixed fraction.

Tingnan mo ang tagal ng panahon. Napakaraming 9 ang magkakaroon ng denominator.

Isulat ang denominator: unang siyam, pagkatapos ay mga sero.

Upang matukoy ang numerator, kailangan mong isulat ang pagkakaiba ng dalawang numero. Ang lahat ng mga digit pagkatapos ng decimal point ay mababawasan, kasama ang tuldok. Nababawasan - ito ay walang tuldok.

Halimbawa, 0.5(8) - isulat ang periodic decimal fraction bilang common fraction. Ang fractional na bahagi bago ang tuldok ay isang digit. Kaya magiging isa ang zero. Isa lang din ang digit sa period - 8. Ibig sabihin, isa lang siyam. Ibig sabihin, kailangan mong isulat ang 90 sa denominator.

Upang matukoy ang numerator mula sa 58, kailangan mong ibawas ang 5. Lumalabas na 53. Halimbawa, kailangan mong isulat ang 53/90 bilang sagot.

Paano na-convert ang mga karaniwang fraction sa mga decimal?

ng karamihan simpleng opsyon lumalabas ang numero sa denominator na ang bilang na 10, 100 at iba pa. Pagkatapos ang denominator ay itatapon lamang, at isang kuwit ang inilalagay sa pagitan ng mga bahaging fractional at integer.

May mga sitwasyon kung saan ang denominator ay madaling nagiging 10, 100, atbp. Halimbawa, ang mga numero 5, 20, 25. Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ito sa 2, 5 at 4, ayon sa pagkakabanggit. Kinakailangan lamang na i-multiply hindi lamang ang denominator, kundi pati na rin ang numerator sa parehong numero.

Para sa lahat ng iba pang mga kaso, isang simpleng tuntunin ang darating: hatiin ang numerator sa denominator. Sa kasong ito, maaari kang makakuha ng dalawang sagot: isang final o isang periodic decimal fraction.

Mga operasyon na may mga karaniwang fraction

Pagdagdag at pagbawas

Mas maaga silang nakikilala ng mga estudyante kaysa sa iba. At una sa mga fraction parehong denominador at pagkatapos ay iba. Pangkalahatang tuntunin maaaring bawasan sa ganoong plano.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator.

paso karagdagang multiplier sa lahat ng ordinaryong fraction.

I-multiply ang mga numerator at denominator sa mga salik na tinukoy para sa kanila.

Idagdag (bawas) ang mga numerator ng mga fraction, at iwanan ang karaniwang denominator na hindi nagbabago.

Kung ang numerator ng minuend ay mas mababa kaysa sa subtrahend, kailangan nating alamin bago natin halo-halong numero o isang wastong fraction.

Sa unang kaso, ang bahagi ng integer ay kailangang kumuha ng isa. Magdagdag ng denominator sa numerator ng isang fraction. At pagkatapos ay gawin ang pagbabawas.

Sa pangalawa - kinakailangang ilapat ang panuntunan ng pagbabawas mula sa isang mas maliit na numero sa isang mas malaki. Iyon ay, ibawas ang modulus ng minuend mula sa modulus ng subtrahend, at ilagay ang "-" sign bilang tugon.

Tingnang mabuti ang resulta ng karagdagan (pagbabawas). Kung nakakuha ka ng hindi wastong bahagi, dapat itong piliin ang buong bahagi. Ibig sabihin, hatiin ang numerator sa denominator.

Pagpaparami at paghahati

Para sa kanilang pagpapatupad, ang mga fraction ay hindi kailangang bawasan sa karaniwang denominador. Ginagawa nitong mas madali ang pagkilos. Ngunit kailangan pa rin nilang sundin ang mga patakaran.

Kapag nagpaparami ng mga ordinaryong fraction, kinakailangang isaalang-alang ang mga numero sa mga numerator at denominator. Kung mayroon mang numerator at denominator karaniwang salik, pagkatapos ay maaari silang mabawasan.

I-multiply ang mga numerator.

I-multiply ang mga denominator.

Kung nakakuha ka ng reducible fraction, dapat itong gawing simple muli.

Kapag naghahati, kailangan mo munang palitan ang dibisyon ng multiplikasyon, at ang divisor (pangalawang bahagi) ng isang kapalit (palitan ang numerator at denominator).

Pagkatapos ay magpatuloy tulad ng sa pagpaparami (simula sa hakbang 1).

Sa mga gawain kung saan kailangan mong i-multiply (hatiin) sa isang integer, ang huli ay dapat na nakasulat sa form hindi wastong bahagi. Iyon ay, na may denominator na 1. Pagkatapos ay magpatuloy gaya ng inilarawan sa itaas.



Mga operasyon na may mga decimal

Pagdagdag at pagbawas

Siyempre, maaari mong palaging gawing karaniwang fraction ang isang decimal. At kumilos ayon sa inilarawan nang plano. Ngunit kung minsan ay mas maginhawang kumilos nang walang pagsasaling ito. Kung gayon ang mga patakaran para sa kanilang karagdagan at pagbabawas ay magiging eksaktong pareho.

I-equalize ang bilang ng mga digit sa fractional na bahagi ng numero, iyon ay, pagkatapos ng decimal point. Italaga ang nawawalang bilang ng mga zero sa loob nito.

Sumulat ng mga fraction upang ang kuwit ay nasa ilalim ng kuwit.

Magdagdag (magbawas) tulad ng mga natural na numero.

Alisin ang kuwit.

Pagpaparami at paghahati

Mahalaga na hindi mo kailangang magdagdag ng mga zero dito. Ang mga fraction ay dapat na iwanang tulad ng ibinigay sa halimbawa. At pagkatapos ay pumunta ayon sa plano.

Para sa multiplikasyon, kailangan mong magsulat ng mga fraction sa ilalim ng isa, hindi binibigyang pansin ang mga kuwit.

Multiply tulad ng natural na mga numero.

Maglagay ng kuwit sa sagot, na binibilang mula sa kanang dulo ng sagot ng kasing dami ng mga digit sa mga fractional na bahagi ng parehong mga salik.

Upang hatiin, kailangan mo munang i-convert ang divisor: gawin ito natural na numero. Iyon ay, i-multiply ito ng 10, 100, atbp., depende sa kung gaano karaming mga numero ang nasa fractional na bahagi ng divisor.

I-multiply ang dibidendo sa parehong numero.

Hatiin ang isang decimal sa isang natural na numero.

Maglagay ng kuwit sa sagot sa sandaling matapos ang paghahati ng buong bahagi.



Paano kung mayroong parehong uri ng mga fraction sa isang halimbawa?

Oo, sa matematika ay madalas na may mga halimbawa kung saan kailangan mong magsagawa ng mga operasyon sa mga ordinaryong at decimal na fraction. Mayroong dalawang posibleng solusyon sa mga problemang ito. Kailangan mong talagang timbangin ang mga numero at piliin ang pinakamahusay.

Unang paraan: kumakatawan sa mga ordinaryong decimal

Ito ay angkop kung, kapag naghahati o nagsasalin, makakakuha ka may hangganan na mga fraction. Kung hindi bababa sa isang numero ang nagbibigay ng isang pana-panahong bahagi, kung gayon ang pamamaraan na ito ay ipinagbabawal. Samakatuwid, kahit na hindi mo gustong magtrabaho sa mga ordinaryong fraction, kailangan mong bilangin ang mga ito.

Ang pangalawang paraan: isulat ang mga decimal fraction bilang karaniwan

Ang pamamaraan na ito ay maginhawa kung mayroong 1-2 digit sa bahagi pagkatapos ng decimal point. Kung marami pa sa kanila, maaari kang makakuha ng napakalaking ordinaryong fraction at mga decimal na entry ay magbibigay-daan sa iyo upang makalkula ang gawain nang mas mabilis at mas madali. Samakatuwid, palaging kinakailangan na maingat na suriin ang gawain at piliin ang pinakasimpleng paraan ng solusyon.

Tandaan kung paano sa pinakaunang aralin tungkol sa mga decimal fraction, sinabi ko na may mga numeric fraction na hindi maaaring katawanin bilang mga decimal (tingnan ang aralin na " Decimal Fractions")? Natutunan din namin kung paano i-factor ang mga denominator ng mga fraction upang masuri kung mayroong anumang mga numero maliban sa 2 at 5.

Kaya: nagsinungaling ako. At ngayon ay matututunan natin kung paano isalin ang ganap na anumang numerical fraction sa isang decimal. Kasabay nito, makikilala natin ang isang buong klase ng mga fraction na may walang katapusang makabuluhang bahagi.

Ang umuulit na decimal ay anumang decimal na mayroong:

1. Ang makabuluhang bahagi ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga digit;
2. Sa ilang mga agwat, ang mga numero sa makabuluhang bahagi ay inuulit.

Isang set ng mga umuulit na digit na bumubuo makabuluhang bahagi, ay tinatawag na periodic na bahagi ng fraction, at ang bilang ng mga digit sa set na ito ay ang panahon ng fraction. Ang natitirang bahagi ng makabuluhang bahagi, na hindi umuulit, ay tinatawag na hindi pana-panahong bahagi.

Dahil maraming mga kahulugan, nararapat na isaalang-alang nang detalyado ang ilan sa mga praksyon na ito:

Ang fraction na ito ay madalas na nangyayari sa mga problema. Hindi panaka-nakang bahagi: 0; panaka-nakang bahagi: 3; haba ng panahon: 1.

Hindi panaka-nakang bahagi: 0.58; panaka-nakang bahagi: 3; haba ng panahon: muli 1.

Di-pana-panahong bahagi: 1; pana-panahong bahagi: 54; haba ng panahon: 2.

Hindi panaka-nakang bahagi: 0; panaka-nakang bahagi: 641025; haba ng panahon: 6. Para sa kaginhawahan, ang mga paulit-ulit na bahagi ay pinaghihiwalay mula sa isa't isa ng isang puwang - sa solusyon na ito ay hindi kinakailangan na gawin ito.

Hindi panaka-nakang bahagi: 3066; panaka-nakang bahagi: 6; haba ng panahon: 1.

Tulad ng nakikita mo, ang kahulugan ng isang periodic fraction ay batay sa konsepto makabuluhang bahagi ng isang numero. Samakatuwid, kung nakalimutan mo kung ano ito, inirerekumenda kong ulitin ito - tingnan ang aralin "".

Transition sa periodic decimal

Isaalang-alang ang isang ordinaryong bahagi ng anyong a / b . Palawakin natin ang denominator nito sa pangunahing mga kadahilanan. Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. Ang mga salik 2 at 5 lamang ang naroroon sa pagpapalawak. Ang mga fraction na ito ay madaling nababawasan sa mga decimal - tingnan ang aralin na " Mga Decimal Fraction". Hindi kami interesado sa ganyan;
2. May iba pa sa pagpapalawak bukod sa 2 at 5. Sa kasong ito, ang fraction ay hindi maaaring katawanin bilang isang decimal, ngunit maaari itong gawin sa isang periodic decimal.

Upang magtakda ng periodic decimal fraction, kailangan mong hanapin ang periodic at non-periodic na bahagi nito. paano? I-convert ang fraction sa isang hindi wasto, at pagkatapos ay hatiin ang numerator sa denominator na may "sulok".

Sa paggawa nito, ang mga sumusunod ay mangyayari:

1. Hatiin muna buong bahagi kung ito ay umiiral;
2. Maaaring may ilang numero pagkatapos ng decimal point;
3. Pagkaraan ng ilang sandali ay magsisimula na ang mga numero ulitin.

Iyon lang! Ang mga umuulit na digit pagkatapos ng decimal point ay tinutukoy ng periodic na bahagi, at kung ano ang nasa harap - hindi pana-panahon.

Gawain. I-convert ang mga ordinaryong fraction sa periodic decimals:

Ang lahat ng mga fraction na walang integer na bahagi, kaya hinahati lang namin ang numerator sa denominator na may "sulok":

Tulad ng nakikita mo, ang mga labi ay paulit-ulit. Isulat natin ang fraction sa "tama" na anyo: 1.733 ... = 1.7(3).

Ang resulta ay isang fraction: 0.5833 ... = 0.58(3).

Sumulat kami sa normal na anyo: 4.0909 ... = 4, (09).

Nakukuha namin ang isang fraction: 0.4141 ... = 0, (41).

Transition mula sa periodic decimal hanggang ordinary

Isaalang-alang ang periodic decimal X = abc (a 1 b 1 c 1). Kinakailangang ilipat ito sa klasikong "two-story". Upang gawin ito, sundin ang apat na simpleng hakbang:

1. Hanapin ang panahon ng fraction, i.e. bilangin kung ilang digit ang nasa periodic part. Hayaan itong maging bilang k;
2. Hanapin ang halaga ng expression na X · 10 k . Ito ay katumbas ng paglilipat ng decimal point sa pamamagitan ng buong panahon sa kanan - tingnan ang aralin na " Multiplikasyon at paghahati ng mga decimal fraction";
3. Ibawas ang orihinal na expression mula sa resultang numero. Sa kasong ito, ang pana-panahong bahagi ay "nasusunog", at nananatili karaniwang fraction;
4. Hanapin ang X sa resultang equation. Ang lahat ng mga decimal fraction ay na-convert sa ordinaryo.

Gawain. I-convert sa isang ordinaryong hindi wastong bahagi ng isang numero:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Paggawa gamit ang unang bahagi: X = 9,(6) = 9.666 ...

Ang mga bracket ay naglalaman lamang ng isang digit, kaya ang panahon k = 1. Susunod, i-multiply natin ang fraction na ito sa 10 k = 10 1 = 10. Mayroon tayong:

10X = 10 9.6666... ​​= 96.666...

Ibawas ang orihinal na fraction at lutasin ang equation:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

Ngayon ay haharapin natin ang pangalawang bahagi. Kaya X = 32,(39) = 32.393939 ...

Panahon k = 2, kaya pinarami namin ang lahat ng 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Ibawas muli ang orihinal na fraction at lutasin ang equation:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Dumaan tayo sa ikatlong bahagi: X = 0.30(5) = 0.30555 ... Ang scheme ay pareho, kaya ibibigay ko na lang ang mga kalkulasyon:

Panahon k = 1 ⇒ i-multiply ang lahat sa 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3.0555 ... - 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Sa wakas, ang huling bahagi: X = 0,(2475) = 0.2475 2475 ... Muli, para sa kaginhawahan, ang mga pana-panahong bahagi ay pinaghihiwalay sa bawat isa ng mga puwang. Meron kami:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Na kung alam nila ang teorya ng serye, kung wala ito, walang metamatic na konsepto ang maaaring ipakilala. Bukod dito, ang mga taong ito ay naniniwala na ang isang hindi gumagamit nito sa lahat ng dako ay ignorante. Ipaubaya natin sa kanilang budhi ang mga pananaw ng mga taong ito. Mas maunawaan natin kung ano ang walang katapusang periodic fraction at kung paano ito haharapin para sa atin, mga taong walang pinag-aralan na walang alam na limitasyon.

Hatiin ang 237 sa 5. Hindi, hindi mo kailangang patakbuhin ang Calculator. Mas mabuting tandaan natin ang middle (o kahit elementarya?) na paaralan at hatiin na lang ang column:

Well, naalala mo ba? Pagkatapos ay maaari kang bumaba sa negosyo.

Ang konsepto ng "fraction" sa matematika ay may dalawang kahulugan:

1. Non-integer.
2. Notation form ng isang non-integer na numero.

Mayroong dalawang uri ng mga fraction - sa kahulugan, dalawang anyo ng pagsulat ng mga non-integer na numero:

1. Simple (o patayo) mga fraction tulad ng 1/2 o 237/5.
2. Mga desimal, gaya ng 0.5 o 47.4.

Tandaan na sa pangkalahatan ang paggamit ng isang fraction-record ay hindi nangangahulugan na ang nakasulat ay isang fraction-number, halimbawa, 3/3 o 7.0 - hindi mga fraction sa unang kahulugan ng salita, ngunit sa pangalawa, siyempre. , mga fraction.

Sa matematika, sa pangkalahatan, mula pa noong una, ang isang decimal na account ay tinanggap, at samakatuwid ang mga decimal fraction ay mas maginhawa kaysa sa mga simple, iyon ay, isang fraction na may denominador ng decimal(Vladimir Dal. Diksyunaryo buhay Mahusay na wikang Ruso. "Sampu").

At kung gayon, gusto kong gumawa ng anumang vertical fraction decimal (“horizontal”). At para dito kailangan mo lamang na hatiin ang numerator sa denominator. Kunin, halimbawa, ang fraction na 1/3 at subukang gawin itong decimal.

Kahit na ang isang ganap na walang pinag-aralan na tao ay mapapansin: gaano man katagal, hindi sila maghihiwalay: ito ay kung paano lilitaw ang mga triple nang walang katiyakan. Kaya't isulat natin ito: 0.33... Ang ibig nating sabihin ay "ang numero na nakuha kapag hinati mo ang 1 sa 3", o, sa madaling salita, "isang ikatlo". Naturally, ang isang ikatlo ay isang fraction sa unang kahulugan ng salita, at ang "1/3" at "0.33 ..." ay mga fraction sa pangalawang kahulugan ng salita, iyon ay. mga form ng record isang numero na nasa linya ng numero sa isang distansya mula sa zero na kung ipagpaliban mo ito ng tatlong beses, makakakuha ka ng isa.

Ngayon subukan nating hatiin ang 5 sa 6:

Isulat natin itong muli: 0.833 ... Ang ibig nating sabihin ay "ang bilang na nakukuha kapag hinati mo ang 5 sa 6", o, sa madaling salita, "five-sixths." Gayunpaman, lumilitaw ang pagkalito dito: nangangahulugan ba ito ng 0.83333 (at pagkatapos ay ang triple ay paulit-ulit), o 0.833833 (at pagkatapos ay 833 ay paulit-ulit). Samakatuwid, ang rekord na may ellipsis ay hindi angkop sa amin: hindi malinaw kung saan nagsisimula ang paulit-ulit na bahagi (tinatawag itong "panahon"). Samakatuwid, kukunin natin ang tuldok sa mga bracket, tulad nito: 0, (3); 0.8(3).

0,(3) hindi lang katumbas isang ikatlo ay meron isang ikatlo, dahil kami ay partikular na nakabuo ng notasyong ito upang kumatawan sa numerong ito bilang isang decimal fraction.

Ang entry na ito ay tinatawag na isang walang katapusang periodic fraction, o isang periodic fraction lang.

Sa tuwing hinahati natin ang isang numero sa isa pa, kung hindi tayo makakakuha ng finite fraction, makakakuha tayo ng infinite periodic fraction, ibig sabihin, minsan ang mga sequence ng mga numero ay magsisimulang ulitin. Kung bakit ito ay maaaring maunawaan na puro haka-haka, tinitingnang mabuti ang algorithm ng paghahati sa pamamagitan ng isang hanay:

Sa mga lugar na minarkahan ng mga checkmark, hindi sila makukuha sa lahat ng oras magkaibang mag-asawa mga numero (dahil mayroong, sa prinsipyo, isang may hangganan na hanay ng mga naturang pares). At sa sandaling lumitaw ang gayong pares doon, na mayroon na, ang pagkakaiba ay magiging pareho din - at pagkatapos ay magsisimulang ulitin ang buong proseso. Hindi na kailangang suriin ito, dahil medyo halata na kapag ang parehong mga aksyon ay paulit-ulit, ang mga resulta ay magiging pareho.

Ngayon na naiintindihan na natin kakanyahan periodic fraction, subukan nating i-multiply ang one third sa tatlo. Oo, lalabas ito, siyempre, isa, ngunit isulat natin ang bahaging ito sa decimal na anyo at i-multiply sa isang haligi (ang kalabuan dahil sa ellipsis ay hindi lilitaw dito, dahil ang lahat ng mga numero pagkatapos ng decimal point ay pareho):

At muli nating napapansin na ang mga siyam, siyam at siyam ay lilitaw pagkatapos ng decimal point sa lahat ng oras. Iyon ay, gamit, inversely, bracket notation, makakakuha tayo ng 0, (9). Dahil alam natin na ang produkto ng isang ikatlo at tatlo ay isang yunit, kung gayon ang 0, (9) ay isang kakaibang anyo ng pagsulat ng isang yunit. Gayunpaman, hindi ipinapayong gamitin ang form na ito ng notasyon, dahil ang unit ay perpektong nakasulat nang hindi gumagamit ng tuldok, tulad nito: 1.

Tulad ng nakikita mo, ang 0,(9) ay isa sa mga kaso kung saan ang isang integer ay isinulat bilang isang fraction, tulad ng 3/3 o 7.0. Ibig sabihin, 0, (9) ay isang fraction lamang sa pangalawang kahulugan ng salita, ngunit hindi sa una.

Kaya, nang walang anumang mga limitasyon at mga hilera, nalaman namin kung ano ang 0, (9) at kung paano haharapin ito.

Ngunit tandaan pa rin na sa katunayan tayo ay matalino at nag-aral ng pagsusuri. Sa katunayan, mahirap tanggihan na:

Ngunit, marahil, walang sinuman ang magtatalo sa katotohanan na:

Ang lahat ng ito, siyempre, totoo. Sa katunayan, ang 0,(9) ay parehong kabuuan ng pinababang serye at ang dobleng sine ng tinukoy na anggulo, at natural na logarithm Mga numero ng Euler.

Ngunit alinman sa isa, o ang isa, o ang pangatlo ay isang kahulugan.

Ang pagsasabi na ang 0,(9) ay ang kabuuan ng walang katapusang serye 9/(10 n), kapag ang n ay mas malaki sa isa, ay kapareho ng pagsasabi na ang sine ay ang kabuuan ng walang katapusang serye ng Taylor:

Ito ay medyo tama, at ito ay mahalagang katotohanan para sa computational mathematics, ngunit hindi ito isang kahulugan, at, higit sa lahat, hindi ito naglalapit sa isang tao sa pag-unawa kakanyahan sinus. Ang kakanyahan ng sine ng isang tiyak na anggulo ay na ito ay basta saloobin sa tapat ng sulok catheter sa hypotenuse.

Well, ang periodic fraction ay basta decimal fraction na nagreresulta kapag kapag hinahati sa isang hanay ang parehong hanay ng mga numero ay uulitin. Walang pagsusuri dito.

At dito lumitaw ang tanong: saan pangkalahatan kinuha namin ang numero 0,(9)? Ano ang hinahati natin sa isang column para makuha ito? Sa katunayan, walang ganoong mga numero, kapag hinahati sa bawat isa sa isang hanay, magkakaroon tayo ng walang katapusang paglitaw ng siyam. Ngunit nakuha namin ang numerong ito sa pamamagitan ng pag-multiply ng column 0, (3) sa 3? Hindi talaga. Pagkatapos ng lahat, kailangan mong dumami mula kanan hanggang kaliwa upang maisaalang-alang nang tama ang mga paglilipat ng mga digit, at ginawa namin ito mula kaliwa hanggang kanan, matalinong sinasamantala ang katotohanan na ang mga paglilipat ay hindi nangyayari kahit saan. Samakatuwid, ang pagiging lehitimo ng pagsulat ng 0,(9) ay nakasalalay sa kung kinikilala natin ang pagiging lehitimo ng naturang multiplikasyon sa isang hanay o hindi.

Samakatuwid, karaniwang masasabi ng isa na ang notasyon 0,(9) ay hindi tama - at sa isang tiyak na lawak ay tama. Gayunpaman, dahil ang notation na a ,(b ) ay tinatanggap, pangit lang na i-drop ito kapag b = 9; mas mabuting magpasya kung ano ang ibig sabihin ng naturang talaan. Kaya, kung tatanggapin natin ang notasyong 0,(9), kung gayon ang notasyong ito, siyempre, ay nangangahulugan ng numero uno.

Nananatili lamang na idagdag na kung gumamit tayo, halimbawa, isang ternary number system, at kapag hinahati ang column ng unit (1 3) sa isang triple (10 3), makakakuha tayo ng 0.1 3 (nagbabasa ito ng “zero point one third”) , at kapag hinati ang 1 sa 2 ay magiging 0,(1) 3 .

Kaya ang periodicity ng isang fraction-record ay hindi isang uri ng layunin na katangian ng isang fraction-number, ngunit lamang by-effect gamit ang isa o ibang sistema ng numero.