Kahulugan. Papasukin n paulit-ulit na mga eksperimento (pagsusulit) ilang kaganapan PERO dumating n A minsan.
Numero n A tinatawag na dalas ng pangyayari PERO , at ang ratio
ay tinatawag na relatibong dalas (o dalas) ng kaganapan PERO sa seryeng ito ng mga pagsubok.
Mga katangian ng kaugnay na dalas
Ang relatibong dalas ng isang kaganapan ay may mga sumusunod na katangian.
1. Ang dalas ng anumang kaganapan ay nasa hanay mula sa zero hanggang isa, i.e.
2. Dalas imposibleng pangyayari katumbas ng zero, i.e.
3. Dalas tiyak na kaganapan katumbas ng 1, i.e.
4. Ang dalas ng kabuuan ng dalawa mga pangyayaring hindi magkatugma ay katumbas ng kabuuan ng mga frequency (frequencies) ng mga kaganapang ito, i.e. kung =Ø, kung gayon
May dalas ari-arian , tinatawag na property katatagan ng istatistika : na may pagtaas sa bilang ng mga eksperimento (ibig sabihin, may pagtaas n ) ang dalas ng isang kaganapan ay tumatagal ng mga halaga na malapit sa posibilidad ng kaganapang ito R .
Kahulugan. Ang posibilidad ng istatistika ng kaganapan A ang numero sa paligid kung saan ang relatibong dalas ng isang kaganapan ay nagbabago ay tinatawag PERO na may sapat na malaking bilang ng mga pagsubok (mga eksperimento) n .
Probability ng Kaganapan PERO ipinapahiwatig ng simbolo R (PERO ) o R (PERO ). Ang hitsura ng liham bilang simbolo ng konsepto ng "probability" R tinutukoy ng presensya nito sa unang lugar sa salitang Ingles probabilidad - posibilidad.
Ayon kay depinisyon na ito
Ari-arian istatistikal na posibilidad
1. Statistical probability ng anumang kaganapan PERO ay nasa pagitan ng zero at isa, i.e.
2. Statistical probability ng isang imposibleng kaganapan ( PERO= Ø) ay katumbas ng zero, ibig sabihin.
3. Statistical probability ng isang partikular na kaganapan ( PERO= Ω) ay katumbas ng isa, ibig sabihin,
4. Statistical Probability Sum hindi magkatugma Ang mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, i.e. kung A B= Ø, pagkatapos
Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad
Hayaang maisagawa ang eksperimento sa n mga kinalabasan na maaaring katawanin bilang isang pangkat ng mga hindi magkatugma na may posibilidad na mga kaganapan. Ang kaso na nagiging sanhi ng kaganapan PERO , ay tinatawag na pabor o pabor, i.e. nangyayari w nagiging sanhi ng isang pangyayari PERO , wa .
Kahulugan. Probability ng isang kaganapan PERO tinatawag na ratio ng numero m mga kaso na paborable sa kaganapang ito, sa kabuuang bilang n kaso, i.e.
Mga katangian ng "klasikal" na posibilidad
1. Axiom hindi negatibiti : posibilidad ng anumang kaganapan PERO ay hindi negatibo, ibig sabihin.
R(PERO) ≥ 0.
2. Axiom normalisasyon : posibilidad ng ilang pangyayari ( PERO= Ω) ay katumbas ng isa:
3. Axiom pagkakadagdag : ang posibilidad ng kabuuan hindi magkatugma Ang mga kaganapan (o ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan) ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, i.e. kung A B=Ø, pagkatapos
Probability ng Event: R() = 1 – R(PERO).
Para sa posibilidad ng isang kaganapan na ang kabuuan anuman dalawang pangyayari PERO at SA, ang tamang formula ay:
Kung mga pangyayari PERO at AT hindi maaaring mangyari bilang isang resulta ng isang pagsubok sa parehong oras, i.e. sa madaling salita, kung A B- imposibleng kaganapan, ang mga ito ay tinatawag hindi magkatugma o hindi magkatugma , at pagkatapos R(A B) = 0 at ang pormula para sa posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan ay nasa isang partikular na simpleng anyo:
Kung ang mga pangyayari PERO at AT ay maaaring mangyari bilang isang resulta ng isang pagsubok, ang mga ito ay tinatawag magkatugma .
Kapaki-pakinabang na Algorithm
Kapag naghahanap ng mga probabilidad gamit ang klasikal na kahulugan Ang posibilidad ay dapat sundin ang sumusunod na algorithm.
1. Kinakailangang malinaw na maunawaan kung ano ang eksperimento.
2. Malinaw na sabihin kung ano ang kaganapan PERO, ang posibilidad na matagpuan.
3. Malinaw na bumalangkas kung ano ang bubuo ng elementarya na kaganapan sa problemang isinasaalang-alang. Ang pagkakaroon ng pagbabalangkas at pagtukoy ng isang elementarya na kaganapan, dapat suriin ng isa ang tatlong kundisyon na dapat matugunan ng isang hanay ng mga resulta, i.e. Ω.
6. Kasunod ng klasikal na kahulugan ng posibilidad, tukuyin
Kapag nilulutas ang mga problema ang pinakakaraniwang pagkakamali ay isang malabo na pag-unawa sa kung ano ang kinuha bilang isang elementarya na kaganapan w , at ang kawastuhan ng pagbuo ng set at ang kawastuhan ng pagkalkula ng posibilidad ng isang kaganapan ay nakasalalay dito. Karaniwan, sa pagsasagawa, ang pinakasimpleng kinalabasan ay kinuha bilang isang elementarya na kaganapan, na hindi maaaring "hatiin" sa mga mas simple.
Ang kamag-anak na dalas, kasama ang posibilidad, ay kabilang sa mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad.
Kamag-anak na dalas Ang mga kaganapan ay tumutukoy sa ratio ng bilang ng mga pagsubok kung saan naganap ang kaganapan sa kabuuang bilang ng mga pagsubok na aktwal na ginawa. Kaya, ang relatibong dalas ng kaganapan A ay tinutukoy ng formula
W(A) = m/n,
saan m ay ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan, n – kabuuang bilang mga pagsubok.
Ang paghahambing ng mga kahulugan ng probabilidad at kamag-anak na dalas, napagpasyahan namin: ang kahulugan ng probabilidad ay hindi nangangailangan na ang mga pagsubok ay isagawa sa katotohanan; ang pagpapasiya ng relatibong dalas, gayunpaman, ay ipinapalagay na ang mga pagsubok ay aktwal na isinagawa. Sa ibang salita, ang posibilidad ay kinakalkula bago ang karanasan, ang kamag-anak na dalas - pagkatapos ng karanasan.
Halimbawa 1 Nakahanap ang departamento ng teknikal na kontrol ng 3 hindi karaniwang mga bahagi sa isang batch ng 80 na random na napiling mga bahagi. Kamag-anak na dalas ng paglitaw ng mga di-karaniwang bahagi
W(A) =3/80.
Halimbawa 2 24 na putok ang nagpaputok sa target, at 19 na tama ang nairehistro. Kamag-anak na rate ng hit
W(A) =19/24.
Ang mga pangmatagalang obserbasyon ay nagpakita na kung parehong kondisyon gumawa ng mga eksperimento, sa bawat isa kung saan ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki, pagkatapos ay ipinapakita ng kamag-anak na dalas ang katangian ng katatagan. Ang ari-arian na ito ay ano sa iba't ibang karanasan kaunti ang pagbabago ng relatibong dalas(mas kaunti, mas maraming pagsubok ang ginagawa), pabagu-bago sa paligid ng ilang pare-parehong numero. Ito pala ito pare-parehong numero may posibilidad na mangyari ang kaganapan.
Kaya, kung empirically ang kamag-anak na dalas ay nakatakda, pagkatapos ay ang resultang numero ay maaaring kunin bilang isang tinatayang halaga ng posibilidad.
Ang kaugnayan sa pagitan ng relatibong dalas at posibilidad ay ilalarawan nang mas detalyado at mas tiyak sa ibaba. Ngayon ilarawan natin ang katangian ng katatagan na may mga halimbawa.
Halimbawa 3 Ayon sa istatistika ng Suweko, ang kamag-anak na dalas ng kapanganakan ng mga batang babae noong 1935. Sa pamamagitan ng mga buwan ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga sumusunod na numero (ang mga numero ay nakaayos sa pagkakasunud-sunod ng mga buwan simula Enero): 0.486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473
Ang relatibong dalas ay nagbabago sa paligid ng bilang na 0.482, na maaaring kunin bilang isang tinatayang halaga para sa posibilidad na magkaroon ng mga batang babae.
Tandaan na ang mga istatistika iba't ibang bansa magbigay ng humigit-kumulang sa parehong kamag-anak na halaga ng dalas.
Halimbawa 4 Ang mga paulit-ulit na eksperimento ay isinagawa sa paghagis ng isang barya, kung saan ang bilang ng mga paglitaw ng "coat of arms" ay binibilang. Ang mga resulta ng ilang mga eksperimento ay ipinapakita sa talahanayan.1.
Dito, ang mga kamag-anak na frequency ay bahagyang lumihis mula sa bilang na 0.5, at mas kaunti, mas kaunti mas maraming numero mga pagsubok. Halimbawa, sa 4040 na pagsubok ang paglihis ay 0.0069, ngunit sa 24000 na pagsubok ito ay 0.0005 lamang. Isinasaalang-alang na ang posibilidad ng isang "coat of arms" na lumitaw kapag ang isang barya ay inihagis ay 0.5, muli nating nakikita na ang relatibong dalas ay nagbabago sa paligid ng posibilidad.
§ 7. Boundedness ng klasikal na kahulugan ng probabilidad. Statistical Probability
Ipinapalagay ng klasikal na kahulugan ng probabilidad na ang bilang ng mga elementarya na kinalabasan ng isang pagsubok ay may hangganan. Sa pagsasagawa, gayunpaman, napakadalas na may mga pagsubok, ang bilang ng mga posibleng resulta na kung saan ay walang hanggan. Sa ganitong mga kaso, ang klasikal na kahulugan ay hindi nalalapat. Ang pangyayaring ito ay tumuturo na sa mga limitasyon ng klasikal na kahulugan. Ang nabanggit na pagkukulang ay maaaring malampasan, sa partikular, sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga geometriko na probabilidad (tingnan ang § 8) at, siyempre, sa pamamagitan ng paggamit ng axiomatic probability (tingnan ang § 3, pangungusap).
Karamihan mahinang panig Ang klasikal na kahulugan ay napakadalas na imposibleng katawanin ang resulta ng isang pagsubok bilang isang hanay ng mga elementarya na kaganapan. Mas mahirap ipahiwatig ang mga batayan para sa pagsasaalang-alang ng mga elementarya na kaganapan bilang pantay na posibilidad. Karaniwan, ang pagkakapantay-pantay ng mga elementarya na kinalabasan ng isang pagsubok ay sinasabi mula sa punto ng simetrya. Kaya, halimbawa, ipinapalagay na dais may porma regular na polyhedron(kubo) at gawa sa homogenous na materyal. Gayunpaman, ang mga problema kung saan maaaring magpatuloy ang isa mula sa mga pagsasaalang-alang ng simetriya ay napakabihirang sa pagsasanay. Para sa kadahilanang ito, kasama ang klasikal na kahulugan ng posibilidad, ang iba pang mga kahulugan ay ginagamit, sa partikular, ang istatistikal na kahulugan: ang relatibong dalas o isang numerong malapit dito ay kinuha bilang istatistikal na posibilidad ng isang kaganapan. Halimbawa, kung sapat na ang resulta isang malaking bilang ang mga pagsubok ay lumabas na ang kamag-anak na dalas ay napakalapit sa bilang na 0.4, kung gayon ang numerong ito ay maaaring kunin bilang istatistikal na posibilidad ng kaganapan.
Madaling suriin na ang mga katangian ng probabilidad na sumusunod mula sa klasikal na kahulugan (tingnan ang § 3) ay napanatili din sa istatistikal na kahulugan ng posibilidad. Sa katunayan, kung ang kaganapan ay totoo, kung gayon m =n at relatibong dalas
m/n = n/n = 1,
mga. ang istatistikal na posibilidad ng isang tiyak na kaganapan (tulad ng sa kaso ng klasikal na kahulugan) ay katumbas ng isa.
Kung hindi posible ang kaganapan, kung gayon m= 0 at samakatuwid ang relatibong dalas
0/n = 0,
mga. ang istatistikal na posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero.
Para sa anumang kaganapan 0 m n at samakatuwid ang relatibong dalas
0 m/n 1,
mga. ang istatistikal na posibilidad ng anumang kaganapan ay nasa pagitan ng zero at isa.
Para sa pagkakaroon ng istatistikal na posibilidad ng isang kaganapan A kailangan:
a) ang posibilidad, hindi bababa sa prinsipyo, na magsagawa ng walang limitasyong bilang ng mga pagsubok, sa bawat isa kung saan ang kaganapan A nangyayari o hindi nangyayari;
b) katatagan mga kamag-anak na frequency hitsura A sa iba't ibang serye ng isang sapat na malaking bilang ng mga pagsubok.
kawalan kahulugan ng istatistika ay ang kalabuan ng istatistikal na posibilidad; kaya, sa ibinigay na halimbawa, hindi lamang 0.4, kundi pati na rin ang 0.39 ay maaaring kunin bilang posibilidad ng isang kaganapan; 0.41 atbp.
geometric na probabilidad
Upang malampasan ang kawalan ng klasikal na kahulugan ng posibilidad, na hindi ito naaangkop sa mga pagsubok na may isang walang katapusang bilang resulta, ipasok geometric na probabilidad- ang posibilidad na matamaan ang lugar ng punto (segment, bahagi ng eroplano, atbp.).
Hayaan ang segment l bumubuo ng bahagi ng segment L. Para sa isang segment L random na punto. Nangangahulugan ito ng katuparan ng mga sumusunod na pagpapalagay: ang set point ay maaaring nasa anumang punto ng segment L, ang posibilidad ng pagbagsak ng isang punto sa isang segment l ay proporsyonal sa haba ng segment na ito at hindi nakadepende sa lokasyon nito na nauugnay sa segment L. Sa ilalim ng mga pagpapalagay na ito, ang posibilidad na bumagsak ang isang punto sa isang segment l ay tinukoy ng pagkakapantay-pantay
P= Haba l/ Haba L.
Halimbawa 1. Para sa isang segment OA haba L numerical axis baka random na punto B(x). Hanapin ang posibilidad na ang mas maliit sa mga segment OB at BA ay may mahabang haba L
Desisyon. Hatiin natin ang segment OA mga tuldok C at D sa 3 pantay na bahagi. Ang kinakailangan sa gawain ay matutugunan kung ang punto B(x) ay nahuhulog sa segment CD haba L/3. Ninanais na posibilidad
P = (L /3)/L = 1/3.
Hayaan ang isang flat figure g ay bahagi ng isang flat figure G. Sa pigura G ang isang tuldok ay itinapon nang random. Nangangahulugan ito ng katuparan ng mga sumusunod na pagpapalagay: ang itinapon na punto ay maaaring nasa anumang punto ng figure G, ang posibilidad na ang itinapon na punto ay tumama sa pigura g proporsyonal sa lugar ng figure na ito at hindi nakasalalay sa lokasyon nito na nauugnay sa G, ni mula sa form g. Sa ilalim ng mga pagpapalagay na ito, ang posibilidad ng isang punto ay bumagsak sa isang figure g ay tinukoy ng pagkakapantay-pantay
P= Lugar g/ Square G.
Halimbawa 2 Dalawang concentric na bilog ang iginuhit sa eroplano, ang radii nito ay 5 at 10 cm, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang posibilidad na ang isang puntong itinapon nang random sa isang malaking bilog ay mahuhulog sa singsing na nabuo ng mga nabuong bilog. Ipinapalagay na ang posibilidad na maabot ang isang punto sa patag na pigura ay proporsyonal sa lugar ng figure na ito at hindi nakasalalay sa lokasyon nito na may kaugnayan sa mahusay na bilog.
Desisyon. Lugar ng singsing (mga figure g)
Sg\u003d p (10 2 - 5 2) \u003d 75 p.
Ang lugar ng malaking bilog (mga figure G)
S G= p10 2 = 100 p.
Ninanais na posibilidad
P\u003d 75 p / (100 p) \u003d 0.75.
Halimbawa 3 Ang signaling device ay tumatanggap ng mga signal mula sa dalawang device, at ang pagtanggap ng bawat isa sa mga signal ay pantay na posible sa anumang sandali ng agwat ng oras na tumatagal. T. Ang mga sandali ng pagdating ng signal ay independyente sa bawat isa. Gumagana ang signaling device kung ang pagkakaiba sa pagitan ng mga sandali ng pagtanggap ng mga signal ay mas mababa sa t(t<T). Hanapin ang posibilidad na gagana ang signaling device sa oras T, kung ang bawat isa sa mga device ay nagpapadala ng isang signal.
Desisyon. Tukuyin natin ang mga sandali ng pagdating ng mga signal mula sa una at pangalawang device, ayon sa pagkakabanggit, hanggang x at y. Sa bisa ng kondisyon ng problema, dapat masiyahan ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay: 0 x T, 0 y T.Ipakilala natin ang rectangular coordinate system xOy. Sa sistemang ito, ang mga dobleng hindi pagkakapantay-pantay ay natutugunan ng mga coordinate ng anumang punto ng parisukat OTAT(Larawan 1).
Kaya, ang parisukat na ito ay maaaring ituring bilang isang pigura G, ang mga coordinate ng mga punto na kumakatawan sa lahat ng posibleng halaga ng mga sandali ng pagdating ng signal.
Gumagana ang signaling device kung ang pagkakaiba sa pagitan ng mga sandali ng pagtanggap ng mga signal ay mas mababa sa t, ibig sabihin. kung y-x<t sa y>x at x-y<t sa x>y, o, na pareho,
y<x+t sa y>x, (*)
y >x-t sa y<x. (**)
Ang hindi pagkakapantay-pantay (*) ay humahawak para sa mga puntong iyon ng figure G, na nasa itaas ng linya y = x at sa ibaba ng linya y = x+t Nagaganap ang hindi pagkakapantay-pantay (**) para sa mga puntong matatagpuan sa ibaba ng linya y= x at tuwid sa itaas y = x-t.
Tulad ng makikita mula sa Fig.1. lahat ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay (*) at (**) ay nabibilang sa may kulay na hexagon. Kaya, ang heksagonong ito ay maaaring ituring bilang isang pigura g, ang mga coordinate ng mga punto kung saan ay paborableng mga sandali ng oras x at y.
Ninanais na posibilidad
P= Pl. g/ Pl. G = (T 2 - (T - t) 2)/T 2 = (t(2T - t))/T 2 .
Puna 1. Ang mga kahulugan sa itaas ay mga espesyal na kaso ng pangkalahatang kahulugan ng geometric na posibilidad. Kung tukuyin natin ang sukat (haba, lugar, volume) ng lugar sa pamamagitan ng mes, kung gayon ang posibilidad na matamaan ang isang punto na itinapon nang random (sa kahulugan sa itaas) sa lugar g- bahagi ng rehiyon G, ay katumbas ng
P=ako g/ mes G.
Puna 2. Sa kaso ng klasikal na kahulugan, ang posibilidad ng isang tiyak (imposible) kaganapan ay katumbas ng isa (zero); totoo rin ang converse assertions (halimbawa, kung zero ang probabilidad ng isang event, imposible ang event). Sa kaso ng isang geometric na kahulugan ng probabilidad, ang mga baligtad na assertion ay hindi nagaganap. Halimbawa, ang posibilidad ng isang itinapon na punto na tumama sa isang partikular na punto sa lugar G ay zero, ngunit maaaring mangyari ang kaganapang ito, at samakatuwid ay hindi imposible.
Mga gawain
1. Mayroong 50 magkatulad na bahagi sa isang kahon, 5 sa kanila ay pininturahan. Ang isang piraso ay iginuhit nang random. Hanapin ang posibilidad na ang nakuhang bahagi ay maipinta
Sumagot. p = 0,1.
2. Isang dice ang inihagis. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng pantay na bilang ng mga puntos.
Sumagot. p = 0,5.
3. Ang mga kalahok sa draw ay gumuhit ng mga token na may mga numero mula 1 hanggang 100 mula sa kahon. Hanapin ang posibilidad na ang numero ng unang random na iginuhit na token ay hindi naglalaman ng numero 5.
Sumagot. p = 0,81.
4. Mayroong 5 magkaparehong cube sa bag. Sa lahat ng mukha ng bawat kubo ang isa sa mga sumusunod na titik ay nakasulat: o, p, p, s, m. Hanapin ang posibilidad na ang salitang "sport" ay mababasa sa mga cube na nakaunat nang paisa-isa at matatagpuan "sa isa linya”.
Sumagot. p = 1/120.
5. Sa bawat isa sa anim na magkakahawig na card ang isa sa mga sumusunod na titik ay nakalimbag: a, t, m, p, s, o. Maingat na pinaghalo ang mga card. Hanapin ang posibilidad na sa apat na card na nakaunat nang paisa-isa at nakaayos "sa isang linya" posible na basahin ang salitang "cable".
Sumagot. p = 1/ = 1/360.
6. Ang isang kubo, ang lahat ng panig nito ay pininturahan, ay pinaglagari sa isang libong kubo na may parehong laki, na pagkatapos ay lubusang pinaghalo. Hanapin ang posibilidad na ang isang random na iginuhit na kubo ay magkakaroon ng mga kulay na mukha: a) isa; b) dalawa; alas tres.
Sumagot. a) 0.384; b) 0.096; c) 0.008.
7. Mula sa isang maingat na pinaghalong kumpletong set ng 28 domino, isang buto ang random na kinukuha. Hanapin ang posibilidad na ang pangalawang random na iginuhit na buto ay maaaring ikabit sa una, kung ang unang buto ay: a) naging doble; b) walang doble.
Sumagot. a) 2/9; b) 4/9.
8. Mayroong limang mga disc sa lock sa isang karaniwang axis. Ang bawat disk ay nahahati sa anim na sektor kung saan nakasulat ang iba't ibang mga titik. Ang lock ay bubukas lamang kung ang bawat disc ay sumasakop sa isang partikular na posisyon na may kaugnayan sa lock body. Hanapin ang posibilidad na mabuksan ang lock gamit ang isang di-makatwirang pag-aayos ng mga disk.
Sumagot. p = 1/6 5 .
9. Walong magkakaibang libro ang inilalagay nang random sa isang istante. Hanapin ang posibilidad na magkatabi ang dalawang partikular na aklat.
Sumagot. p= 7*2!*6!/8! = ¼.
10. Ang aklatan ay binubuo ng sampung iba't ibang mga libro, na may limang aklat na nagkakahalaga ng 4 na rubles bawat isa, tatlong mga libro - isang ruble bawat isa, at dalawang libro - 3 rubles bawat isa. Hanapin ang posibilidad na ang dalawang aklat na pinili sa random na halaga ay $5.
Sumagot. p = 
11. Sa isang batch ng 100 bahagi, nakahanap ang departamento ng teknikal na kontrol ng 5 hindi karaniwang mga bahagi. Ano ang relatibong dalas ng paglitaw ng mga hindi karaniwang bahagi?
Sumagot. w = 0,05.
12. Kapag bumaril mula sa isang rifle, ang kamag-anak na dalas ng pagpindot sa target ay naging 0.85. Hanapin ang bilang ng mga hit kung 120 na putok ang ginawa sa kabuuan.
Sumagot. 102 hit.
13. Para sa isang segment OA haba L numerical axis baka random na punto B(x).Hanapin ang posibilidad na ang mas maliit sa mga segment OB at BA ay may haba na mas mababa sa L/3. Ipinapalagay na ang posibilidad na tumama ang isang punto sa isang segment ay proporsyonal sa haba ng segment at hindi nakadepende sa lokasyon nito sa totoong axis.
Sumagot. p = 2/3.
14. Sa loob ng radius ng bilog R ang isang tuldok ay itinapon nang random. Hanapin ang posibilidad na ang punto ay nasa loob ng parisukat na nakasulat sa bilog. Ipinapalagay na ang posibilidad ng isang punto na bumagsak sa isang parisukat ay proporsyonal sa lugar ng parisukat at hindi nakasalalay sa lokasyon nito na may kaugnayan sa bilog.
P = 7/16.
Ikalawang Kabanata
Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad
Probability - isa sa mga pangunahing konsepto ng probability theory. Mayroong ilang mga kahulugan ng konseptong ito. Probability ay isang numero na nagpapakilala sa antas ng posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan.
Ang bawat isa sa mga posibleng resulta ng pagsusulit ay tinatawag elementarya kinalabasan (elementarya kaganapan). Mga pagtatalaga: …,
Yaong mga elementarya na kinalabasan kung saan nangyayari ang kaganapan ng interes sa amin, tatawagan namin kanais-nais.
Halimbawa: Ang isang urn ay naglalaman ng 10 magkaparehong bola, 4 sa mga ito ay itim at 6 ay puti. Kaganapan - isang puting bola ang nakuha mula sa urn. Ang bilang ng mga kanais-nais na resulta kung saan kukunin ang mga puting bola mula sa urn ay 4.
Ang ratio ng bilang ng mga elementarya na kinalabasan na paborable sa kaganapan sa kanilang kabuuang bilang ay tinatawag na probabilidad ng kaganapan; notasyon Sa ating halimbawa 
Probability ng isang kaganapan tawagan ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable sa kaganapang ito sa kabuuang bilang ng lahat ng pantay na posibleng hindi tugmang elementarya na mga resulta na bumubuo ng isang kumpletong grupo,
saan ang bilang ng mga elementarya na kinalabasan na pumapabor sa kaganapan; ang bilang ng lahat ng posibleng elementarya na resulta ng pagsusulit.
Probability properties:
1. Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng isa, i.e.
2. Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero, i.e. e.
3. Ang posibilidad ng isang random na kaganapan ay isang positibong numero sa pagitan ng zero at isa, i.e. e.
o 
Isinasaalang-alang ang mga katangian 1 at 2, ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay
4 . Mga pangunahing formula ng combinatorics
Pinag-aaralan ng Combinatorics ang bilang ng mga kumbinasyon na napapailalim sa ilang partikular na kundisyon na maaaring binubuo ng isang tiyak na hanay ng mga elemento na may arbitraryong kalikasan. Kapag direktang nagkalkula ng mga probabilidad, madalas na ginagamit ang mga pormula ng combinatorics. Ipinakita namin ang pinakakaraniwang ginagamit sa kanila.
Mga permutasyon mga kumbinasyon ng pangalan na binubuo ng magkaparehong magkakaibang elemento at magkakaiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng kanilang pagkakaayos.
Bilang ng lahat ng posibleng permutasyon
saan 
Tanggap naman yun
Halimbawa. Ang bilang ng tatlong-digit na numero, kapag ang bawat digit ay kasama sa larawan ng tatlong-digit na numero nang isang beses lang, ay
Mga pagkakalagay tinatawag na mga kumbinasyong binubuo ng iba't ibang elemento ng mga elemento na nagkakaiba sa komposisyon ng mga elemento o sa kanilang pagkakasunud-sunod. Bilang ng lahat ng posibleng pagkakalagay
Halimbawa. Ang bilang ng mga signal mula sa 6 na flag na may iba't ibang kulay, kinuha ng 2:
Mga kumbinasyon tinatawag na mga kumbinasyong binubuo ng iba't ibang elemento ng mga elemento na nagkakaiba ng kahit isang elemento. Bilang ng mga kumbinasyon
Halimbawa. Bilang ng mga paraan upang pumili ng dalawang bahagi mula sa isang kahon na naglalaman ng 10 bahagi:
Ang mga bilang ng mga pagkakalagay, permutasyon at kumbinasyon ay nauugnay sa pagkakapantay-pantay
Kapag nilutas ang mga problema, ginagamit ng combinatorics ang mga sumusunod na patakaran:
Panuntunan ng kabuuan. Kung ang ilang bagay ay maaaring piliin mula sa isang hanay ng mga bagay sa mga paraan, at ang isa pang bagay ay maaaring piliin sa mga paraan, kung gayon alinman sa , o maaaring mapili sa mga paraan.
tuntunin ng produkto. Kung ang isang bagay ay maaaring mapili mula sa isang koleksyon ng mga bagay sa mga paraan, at pagkatapos ng bawat naturang pagpili ay maaaring piliin ang bagay sa mga paraan, kung gayon ang isang pares ng mga bagay sa ganoong pagkakasunud-sunod ay maaaring mapili sa mga paraan.
Kamag-anak na dalas din ay ang pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad.
Kamag-anak na dalas Ang mga kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga pagsubok kung saan lumitaw ang kaganapan sa kabuuang bilang ng mga pagsubok na aktwal na ginawa at tinutukoy ng formula
,
kung saan ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan sa mga pagsubok, ang kabuuang bilang ng mga pagsubok.
Ang paghahambing ng mga kahulugan ng probabilidad at kamag-anak na dalas, napagpasyahan namin na ang kahulugan ng posibilidad ay hindi nangangailangan ng pagsubok, at ang kahulugan ng kamag-anak na dalas ay kinabibilangan ng aktwal na pagsubok.
Ang mga pangmatagalang obserbasyon ay nagpapakita na kapag nagsasagawa ng mga eksperimento sa ilalim ng parehong mga kundisyon, ang relatibong dalas ay may katangian ng katatagan. Ang pag-aari na ito ay binubuo sa katotohanan na sa iba't ibang serye ng mga eksperimento ang relatibong dalas ng mga pagsubok ay nag-iiba-iba sa bawat serye, na nagbabago-bago sa isang tiyak na pare-parehong numero. Ang pare-parehong bilang na ito ay ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.
Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad ay may ilang mga kakulangan:
1) ang bilang ng mga elementarya na kinalabasan ng pagsusulit ay may hangganan, sa pagsasagawa ng numerong ito ay maaaring walang katapusan;
2) napakadalas ang resulta ng pagsusulit ay hindi maaaring katawanin bilang isang hanay ng mga elementarya na kaganapan;
Para sa mga kadahilanang ito, kasama ang klasikal na kahulugan ng posibilidad, isang istatistikal na kahulugan ay ginagamit: sa kalidad istatistikal na posibilidad ang mga kaganapan ay tumatagal sa isang relatibong dalas.
Sa klasikal na kahulugan, ang posibilidad ng isang kaganapan ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay Р(А)=m/n, kung saan ang m ay ang bilang ng mga resulta ng elementarya na pagsubok na pumapabor sa hitsura ng kaganapan А; n ay ang kabuuang bilang ng mga posibleng resulta ng elementarya na pagsusulit.
Ipinapalagay na ang mga elementarya na kinalabasan ay bumubuo ng isang kumpletong grupo at pareho ang posibilidad.
Relatibong dalas ng kaganapan A: W(A)=m/n, kung saan ang m ay ang bilang ng mga pagsubok kung saan nangyari ang kaganapan A; n ay ang kabuuang bilang ng mga pagsubok na isinagawa.
Sa isang istatistikal na kahulugan, ang relatibong dalas ng isang kaganapan ay kinuha bilang ang posibilidad ng isang kaganapan.
Halimbawa: dalawang dice ang inihagis. Hanapin ang posibilidad na ang kabuuan ng mga puntos sa mga nahulog na mukha ay pantay, at isang anim ang lilitaw sa mukha ng hindi bababa sa isa sa mga dice.
Desisyon: isang punto, ..., maaaring lumitaw ang anim na puntos sa nahulog na mukha ng "unang" dice. katulad na anim na elementarya na kinalabasan ay posible kapag inihagis ang "ikalawang" mamatay. Ang bawat isa sa mga kinalabasan ng "unang" paghagis ay maaaring isama sa bawat isa sa mga kinalabasan ng "pangalawang" paghagis. ang kabuuang bilang ng elementarya na resulta ng pagsusulit ay 6 * 6 = 36. Ang mga resultang ito ay bumubuo ng isang kumpletong grupo at, dahil sa simetrya ng mga buto, ay pantay na posible. Ang mga paborableng kaganapan ay 5 galaw: 1) 6.2; 2) 6.4; 3) 6.6; 4) 2.6; 5) 4.6;
Ninanais na posibilidad: P(A)=5/36
Maaari ka ring makahanap ng impormasyon ng interes sa siyentipikong search engine na Otvety.Online. Gamitin ang form sa paghahanap:
Higit pa sa paksa 3. Relative frequency. Katatagan ng mga kamag-anak na frequency. Istatistikong kahulugan ng posibilidad.:
- 4. Klasikal na kahulugan ng posibilidad. Ang relatibong dalas ng kaganapan. istatistikal na posibilidad. geometric na posibilidad.
- 27. Istatistikong kahulugan ng sample. Variational series at ang kanilang graphic na representasyon. Polygon at histogram ng mga frequency (relative frequency).
- 39. Pagbubuo ng isang serye ng pagkakaiba-iba ng pagitan. Histogram ng mga frequency at relative frequency.
- 4. Probability ng deviation ng relative frequency mula sa pare-parehong probabilidad sa independent tests
Kamag-anak na dalas. Relatibong katatagan ng dalas
Ang kamag-anak na dalas, kasama ang posibilidad, ay kabilang sa mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad.
Kamag-anak na dalas Ang mga kaganapan ay tumutukoy sa ratio ng bilang ng mga pagsubok kung saan naganap ang kaganapan sa kabuuang bilang ng mga pagsubok na aktwal na ginawa. Kaya, ang kamag-anak na dalas ng kaganapan A ay tinutukoy ng formula
kung saan ang m ay ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan, n ay ang kabuuang bilang ng mga pagsubok.
Ang paghahambing ng mga kahulugan ng probabilidad at kamag-anak na dalas, napagpasyahan namin: ang kahulugan ng probabilidad ay hindi nangangailangan na ang mga pagsubok ay isagawa sa katotohanan; ang pagpapasiya ng relatibong dalas ay ipinapalagay na ang mga pagsusulit ay aktwal na isinagawa. Sa madaling salita, ang posibilidad ay kinakalkula bago ang karanasan, at ang relatibong dalas pagkatapos ng karanasan.
Halimbawa 1. Nakahanap ang departamento ng teknikal na kontrol ng 3 hindi karaniwang mga bahagi sa isang batch ng 80 na random na napiling mga bahagi. Kamag-anak na dalas ng paglitaw ng mga di-karaniwang bahagi
Halimbawa 2 24 na putok ang nagpaputok sa target, at 19 na tama ang nairehistro. Kamag-anak na rate ng hit
Ang mga pangmatagalang obserbasyon ay nagpakita na kung ang mga eksperimento ay isinasagawa sa ilalim ng parehong mga kondisyon, sa bawat isa kung saan ang bilang ng mga pagsubok ay sapat na malaki, kung gayon ang kamag-anak na dalas ay nagpapakita ng pag-aari ng katatagan. Ang ari-arian na ito ay na sa iba't ibang mga eksperimento ang relatibong dalas ay bahagyang nagbabago (mas kaunti, mas maraming pagsubok ang ginagawa), nagbabago-bago sa isang tiyak na pare-parehong numero. Ito ay lumabas na ang pare-parehong bilang na ito ay ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan.
Kaya, kung ang relatibong dalas ay empirically itinatag, ang resultang numero ay maaaring kunin bilang isang tinatayang halaga ng probabilidad.
Ang kaugnayan sa pagitan ng relatibong dalas at posibilidad ay ilalarawan nang mas detalyado at mas tiyak sa ibaba. Ngayon ilarawan natin ang katangian ng katatagan na may mga halimbawa.
Halimbawa 3 Ayon sa istatistika ng Suweko, ang kamag-anak na dalas ng kapanganakan ng mga batang babae noong 1935 sa pamamagitan ng mga buwan ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga sumusunod na numero (ang mga numero ay nakaayos sa pagkakasunud-sunod ng mga buwan, simula sa Enero): 0.486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473.
Ang relatibong dalas ay nagbabago sa paligid ng bilang na 0.482, na maaaring kunin bilang isang tinatayang halaga para sa posibilidad na magkaroon ng mga batang babae.
Tandaan na ang mga istatistika ng iba't ibang bansa ay nagbibigay ng humigit-kumulang sa parehong halaga ng relatibong dalas.
Halimbawa 4. Ang mga paulit-ulit na eksperimento ay isinagawa sa paghagis ng barya, na binibilang ang bilang ng mga paglitaw ng "coat of arms". Ang mga resulta ng ilang mga eksperimento ay ibinigay sa talahanayan. isa.
Dito, ang mga kamag-anak na frequency ay bahagyang lumihis mula sa bilang na 0.5, at ang daloy ay mas mababa, mas malaki ang bilang ng mga pagsubok. Halimbawa, sa 4040 na pagsubok, ang paglihis ay 0.0069, at sa 24,000 na pagsubok ito ay 0.0005 lamang. Isinasaalang-alang na ang posibilidad ng isang "coat of arms" na lumitaw kapag ang isang barya ay inihagis ay 0.5, muli nating nakikita na ang relatibong dalas nagbabago sa paligid ng posibilidad.
