Mga aksyon na may mga fraction. Sa artikulong ito, susuriin namin ang mga halimbawa, ang lahat ay detalyado sa mga paliwanag. Isasaalang-alang namin mga karaniwang fraction. Sa hinaharap, susuriin namin ang mga decimal. Inirerekomenda kong panoorin ang kabuuan at pag-aralan nang sunud-sunod.
1. Kabuuan ng mga fraction, pagkakaiba ng mga fraction.
Panuntunan: kapag nagdaragdag ng mga fraction na may pantay na denominador, bilang isang resulta nakakakuha tayo ng isang fraction - ang denominator nito ay nananatiling pareho, at ang numerator nito ay magiging ay katumbas ng kabuuan fraction numerators.
Panuntunan: kapag kinakalkula ang pagkakaiba ng mga fraction na may parehong denominator, nakakakuha tayo ng isang fraction - ang denominator ay nananatiling pareho, at ang numerator ng pangalawa ay ibawas mula sa numerator ng unang fraction.
Pormal na notasyon ng kabuuan at pagkakaiba ng mga fraction na may pantay na denominator:
Mga halimbawa (1):
Ito ay malinaw na kapag ang mga ordinaryong fraction ay ibinigay, kung gayon ang lahat ay simple, ngunit kung sila ay halo-halong? Walang kumplikado...
Pagpipilian 1- maaari mong i-convert ang mga ito sa mga ordinaryong at pagkatapos ay kalkulahin ang mga ito.
Opsyon 2- maaari mong hiwalay na "gumana" sa integer at fractional na mga bahagi.
Mga halimbawa (2):
Higit pa:
At kung ang pagkakaiba ng dalawang pinaghalong fraction ay ibinigay at ang numerator ng unang fraction ay mas mababa kaysa sa numerator ng pangalawa? Maaari rin itong gawin sa dalawang paraan.
Mga Halimbawa (3):
* Na-convert sa mga ordinaryong fraction, kinakalkula ang pagkakaiba, isinalin ang resulta hindi wastong bahagi sa isang halo-halong isa.
* Hinati sa integer at fractional na mga bahagi, nakakuha ng tatlo, pagkatapos ay ipinakita ang 3 bilang kabuuan ng 2 at 1, kasama ang unit na ipinakita bilang 11/11, pagkatapos ay natagpuan ang pagkakaiba sa pagitan ng 11/11 at 7/11 at kinakalkula ang resulta. Ang kahulugan ng mga pagbabagong nasa itaas ay ang kumuha (pumili) ng isang yunit at ipakita ito bilang isang fraction na may denominator na kailangan natin, pagkatapos mula sa fraction na ito ay maaari na nating ibawas ang isa pa.
Isa pang halimbawa:
Konklusyon: mayroong isang unibersal na diskarte - upang makalkula ang kabuuan (pagkakaiba) ng mga halo-halong fraction na may pantay na denominator, maaari silang palaging ma-convert sa mga hindi wasto, pagkatapos ay isagawa kinakailangang aksyon. Pagkatapos nito, kung bilang resulta ay nakakakuha tayo ng hindi wastong bahagi, isinasalin natin ito sa isang halo-halong bahagi.
Sa itaas, tumingin kami sa mga halimbawa na may mga fraction na may pantay na denominator. Paano kung magkaiba ang mga denominador? Sa kasong ito, ang mga fraction ay binabawasan sa parehong denominator at ang tinukoy na aksyon ay ginanap. Upang baguhin (ibahin ang anyo) ng isang fraction, ang pangunahing katangian ng fraction ay ginagamit.
Isaalang-alang ang mga simpleng halimbawa:
Sa mga halimbawang ito, makikita natin kaagad kung paano mako-convert ang isa sa mga fraction upang makakuha ng pantay na denominator.
Kung magtatalaga tayo ng mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa isang denominator, kung gayon ito ang tatawagin UNANG PARAAN.
Iyon ay, kaagad kapag "pagsusuri" ng bahagi, kailangan mong malaman kung gagana ang gayong diskarte - sinusuri namin kung ang mas malaking denominator ay nahahati sa mas maliit. At kung ito ay nahahati, pagkatapos ay ginagawa namin ang pagbabagong-anyo - pinarami namin ang numerator at denominator upang ang mga denominator ng parehong mga fraction ay maging pantay.
Ngayon tingnan ang mga halimbawang ito:
Ang pamamaraang ito ay hindi naaangkop sa kanila. Mayroong iba pang mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa karaniwang denominador Tingnan natin ang mga ito.
Pamamaraan PANGALAWA.
I-multiply namin ang numerator at denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at ang numerator at denominator ng pangalawang fraction sa denominator ng una:
*Sa katunayan, nagdadala tayo ng mga fraction sa anyo kapag naging pantay ang mga denominador. Susunod, ginagamit namin ang panuntunan ng pagdaragdag ng mahiyain na may pantay na denominator.
Halimbawa:
*Maaaring tawaging unibersal ang paraang ito, at palagi itong gumagana. Ang negatibo lang ay pagkatapos ng mga kalkulasyon, maaaring lumabas ang isang fraction na kailangang bawasan pa.
Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Makikita na ang numerator at denominator ay nahahati sa 5:
Pamamaraan PANGATLO.
Hanapin ang least common multiple (LCM) ng mga denominator. Ito ang magiging common denominator. Ano ang numerong ito? Ito ang pinakamaliit natural na numero, na nahahati sa bawat isa sa mga numero.
Tingnan, narito ang dalawang numero: 3 at 4, maraming mga numero na nahahati sa kanila - ito ay 12, 24, 36, ... Ang pinakamaliit sa kanila ay 12. O 6 at 15, 30, 60, 90 ay mahahati sa kanila.... Hindi bababa sa 30. Tanong - paano matukoy ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ito?
Mayroong isang malinaw na algorithm, ngunit kadalasan ito ay maaaring gawin kaagad nang walang mga kalkulasyon. Halimbawa, ayon sa mga halimbawa sa itaas (3 at 4, 6 at 15), walang algorithm na kailangan, kumuha kami ng malalaking numero (4 at 15), dinoble ang mga ito at nakita na sila ay nahahati sa pangalawang numero, ngunit mga pares ng mga numero. maaaring iba, gaya ng 51 at 119.
Algorithm. Upang matukoy ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero, dapat mong:
- I-decompose ang bawat isa sa mga numero sa SIMPLE na mga kadahilanan
- isulat ang pagkabulok ng MAS MALAKI sa kanila
- i-multiply ito sa MISSING factor ng iba pang numero
Isaalang-alang ang mga halimbawa:
50 at 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
sa agnas higit pa kulang ng isa lima
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 at 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, dalawa at tatlo ang nawawala
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawa mga pangunahing numero katumbas ng kanilang produkto
Tanong! At bakit kapaki-pakinabang upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, dahil maaari mong gamitin ang pangalawang paraan at bawasan lamang ang resultang fraction? Oo, maaari mo, ngunit hindi ito palaging maginhawa. Tingnan ang denominator para sa mga numerong 48 at 72, kung i-multiply mo lang ang mga ito 48∙72 = 3456. Sumang-ayon na mas kaaya-aya na magtrabaho sa mas maliliit na numero.
Isaalang-alang ang mga halimbawa:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
sa pagpapalawak ng mas malaking bilang, isang triple ang nawawala
=> LCM(51,119) = 3∙7∙17
At ngayon inilalapat namin ang unang paraan:
* Tingnan ang pagkakaiba sa mga kalkulasyon, sa unang kaso mayroong isang minimum ng mga ito, at sa pangalawa kailangan mong magtrabaho nang hiwalay sa isang piraso ng papel, at kahit na ang bahagi na nakuha mo ay kailangang bawasan. Ang paghahanap ng LCM ay lubos na nagpapasimple sa gawain.
Higit pang mga halimbawa:
* Sa pangalawang halimbawa, malinaw na pinakamaliit na bilang, na hinati sa 40 at 60 ay katumbas ng 120.
KABUUAN! PANGKALAHATANG PAGKUKULANG ALGORITHM!
- nagdadala kami ng mga fraction sa mga ordinaryong, kung mayroong isang integer na bahagi.
- dinadala natin ang mga fraction sa isang common denominator (tinitingnan muna natin kung ang isang denominator ay nahahati sa isa pa, kung ito ay nahahati, pagkatapos ay i-multiply natin ang numerator at denominator ng ibang fraction na ito; kung hindi ito mahahati, kumikilos tayo gamit ang iba pang mga pamamaraan na ipinahiwatig sa itaas).
- pagkakaroon ng natanggap na mga fraction na may pantay na denominator, nagsasagawa kami ng mga aksyon (pagdaragdag, pagbabawas).
- kung kinakailangan, binabawasan namin ang resulta.
- kung kinakailangan, piliin ang buong bahagi.
2. Produkto ng mga fraction.
Simple lang ang panuntunan. Kapag nagpaparami ng mga fraction, ang kanilang mga numerator at denominator ay pinaparami:
Mga halimbawa:
Unang antas
Pagbabagong ekspresyon. Detalyadong teorya (2019)
Pagbabagong ekspresyon
Madalas nating marinig ito isang hindi kanais-nais na parirala: "pasimplehin ang expression." Karaniwan, sa kasong ito, mayroon kaming ilang uri ng halimaw na tulad nito:
"Oo, mas madali," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.
Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain. Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa (lang!) ordinaryong numero(oo, sa impiyerno sa mga titik na iyon).
Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong mahawakan ang mga fraction at factor polynomial. Samakatuwid, una, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".
Basahin? Kung oo, handa ka na.
Pangunahing pagpapasimpleng operasyon
Ngayon ay susuriin natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.
Ang pinakasimple sa kanila ay
1. Nagdadala ng katulad
Ano ang mga katulad? Naranasan mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw ang mga titik sa matematika sa halip na mga numero. Magkatulad ang mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, sa kabuuan parang terms- ito at.
Naalala?
Upang magdala ng mga katulad na termino ay nangangahulugang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa isa't isa at makakuha ng isang termino.
Ngunit paano natin pagsasamahin ang mga titik? - tanong mo.
Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay. Halimbawa, ang liham ay isang upuan. Saka ano ang expression? Dalawang upuan at tatlong upuan, magkano ito? Tama, upuan: .
Ngayon subukan ang expression na ito:
Upang hindi malito, hayaan iba't ibang titik kumakatawan sa iba't ibang bagay. Halimbawa, - ito ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ito ay isang mesa. Pagkatapos:
upuan tables chair tables chairs chairs tables
Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients. Halimbawa, sa monomial ang coefficient ay pantay. At siya ay pantay-pantay.
Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng katulad:
Mga halimbawa:
Magdala ng katulad:
Mga sagot:
2. (at magkatulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).
2. Factorization
Ito ang kadalasang pinaka pangunahing bahagi sa pagpapasimple ng mga ekspresyon. Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ang nagreresultang expression ay dapat na isasaalang-alang, iyon ay, ipinakita bilang isang produkto. Ito ay lalong mahalaga sa mga fraction: pagkatapos ng lahat, upang mabawasan ang isang fraction, ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.
Dumaan ka sa mga detalyadong pamamaraan ng pag-factor ng mga expression sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan. Upang gawin ito, lutasin ang ilan mga halimbawa(isasaalang-alang):
Mga solusyon:
3. Pagbabawas ng fraction.
Buweno, ano ang maaaring mas maganda kaysa sa ekis ang bahagi ng numerator at denominator, at itapon ang mga ito sa iyong buhay?
Yan ang kagandahan ng abbreviation.
Ito ay simple:
Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.
Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:
Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).
Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mo:
1) numerator at denominator i-factorize
2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang tanggalin.
Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?
Gusto kong makatawag pansin sa isa tipikal na pagkakamali kapag binabawasan. Kahit na ang paksang ito ay simple, ngunit maraming mga tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi napagtatanto iyon gupitin- ibig sabihin hatiin numerator at denominator sa parehong numero.
Walang pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay ang kabuuan.
Halimbawa: kailangan mong gawing simple.
Ginagawa ito ng ilan: na talagang mali.
Isa pang halimbawa: bawasan.
"The smartest" will do this:.
Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, kaya maaari mong bawasan.
Ngunit hindi: - ito ay isang salik ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi nabubulok sa mga salik.
Narito ang isa pang halimbawa: .
Ang expression na ito ay nabubulok sa mga kadahilanan, na nangangahulugan na maaari mong bawasan, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:
Maaari mong agad na hatiin sa pamamagitan ng:
Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, tandaan madaling paraan kung paano matukoy kung ang isang expression ay naka-factor:
Ang aritmetika na operasyon na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng expression ay ang "pangunahing". Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik, at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay nabulok sa mga kadahilanan). Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi factorized (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).
Upang ayusin ito, lutasin ito sa iyong sarili ng ilang mga halimbawa:
Mga sagot:
1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:
Ang unang hakbang ay dapat na i-factorize:
4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.
Pagdagdag at pagbawas ordinaryong fraction- kilalang kilala ang operasyon: naghahanap kami ng common denominator, pinarami namin ang bawat fraction sa nawawalang factor at idinagdag / ibawas ang mga numerator. Tandaan natin:
Mga sagot:
1. Ang mga denominador at ay coprime, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:
2. Narito ang karaniwang denominator ay:
3. Unang bagay dito pinaghalong fraction gawing mali ang mga ito, at pagkatapos - ayon sa karaniwang pamamaraan:
Ito ay medyo ibang bagay kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:
Magsimula tayo sa simple:
a) Ang mga denominador ay hindi naglalaman ng mga titik
Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: nakakahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator:
ngayon sa numerator maaari kang magdala ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:
Subukan ito sa iyong sarili:
b) Ang mga denominator ay naglalaman ng mga titik
Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng isang karaniwang denominator na walang mga titik:
Una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang kadahilanan;
Pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;
at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.
Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, una naming i-decompose ang mga ito sa mga simpleng salik:
Binibigyang-diin namin ang mga karaniwang salik:
Ngayon ay isinusulat namin ang mga karaniwang salik nang isang beses at idinaragdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:
Ito ang karaniwang denominador.
Bumalik tayo sa mga titik. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:
Binubulok namin ang mga denominador sa mga salik;
tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na multiplier;
isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;
Pinaparami namin ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.
Kaya, sa pagkakasunud-sunod:
1) i-decompose ang mga denominator sa mga salik:
2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:
3) isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:
Kaya ang karaniwang denominador ay narito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:
Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:
Halimbawa: .
Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominador, lahat lamang ng may iba't ibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:
hanggang sa
hanggang sa
hanggang sa
sa degree.
Gawin nating kumplikado ang gawain:
Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?
Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:
Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!
Tingnan mo ang iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Ano ang natutunan?
Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:
Kapag nagdala ka ng mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!
Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?
Dito at paramihin. At i-multiply sa:
Ang mga expression na hindi maaaring i-factor ay tatawaging "elementarya na mga kadahilanan". Halimbawa, ay isang elementary factor. - masyadong. Ngunit - hindi: ito ay nabubulok sa mga kadahilanan.
Paano naman ang expression? Elementary ba?
Hindi, dahil maaari itong i-factor:
(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang "").
Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang expression na may mga titik ay isang analogue pangunahing mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At ganoon din ang gagawin natin sa kanila.
Nakikita natin na ang parehong denominator ay may salik. Mapupunta ito sa common denominator sa kapangyarihan (tandaan kung bakit?).
Ang multiplier ay elementarya, at hindi nila ito pagkakatulad, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:
Isa pang halimbawa:
Desisyon:
Bago i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:
ayos! Pagkatapos:
Isa pang halimbawa:
Desisyon:
Gaya ng dati, pinapa-factor namin ang mga denominator. Sa unang denominator, inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:
Mukhang walang mga karaniwang kadahilanan. Ngunit kung titingnang mabuti, sila ay magkatulad na ... At ang totoo ay:
Kaya't magsulat tayo:
Iyon ay, naging ganito: sa loob ng bracket, ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras, ang tanda sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.
Ngayon dinadala namin sa isang karaniwang denominator:
Nakuha ko? Ngayon suriin natin.
Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:
Mga sagot:
Narito dapat nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:
Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito:
Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:
Paano kung mayroon nang tatlong fraction?
Oo, pareho! Una sa lahat, gawin natin ito maximum na halaga Ang mga kadahilanan sa mga denominador ay pareho:
Bigyang-pansin: kung babaguhin mo ang mga palatandaan sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga senyales sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay mababaligtad muli. Bilang resulta, siya (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.
Isinulat namin nang buo ang unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idinagdag namin dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisusulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Ibig sabihin, ito ay ganito:
Hmm ... Sa mga fraction, malinaw kung ano ang gagawin. Ngunit paano ang dalawa?
Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan mong tiyakin na ang deuce ay magiging isang fraction! Tandaan: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling bigla mong nakalimutan). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:
Eksakto kung ano ang kailangan!
5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.
Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na. At nasa unahan natin ang pinakasimple, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:
Pamamaraan
Ano ang pamamaraan sa pagbibilang numeric na expression? Tandaan, isinasaalang-alang ang halaga ng naturang expression:
Nagbilang ka ba?
Dapat itong gumana.
Kaya, pinaalalahanan kita.
Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.
Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong maraming multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari mong gawin ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod.
At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.
Ngunit: ang nakakulong na expression ay sinusuri nang wala sa ayos!
Kung maraming bracket ang pinarami o hinati sa bawat isa, sinusuri muna namin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.
Paano kung may iba pang panaklong sa loob ng mga bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Ano ang unang dapat gawin kapag sinusuri ang isang expression? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.
Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):
Okay, simple lang lahat.
Ngunit hindi iyon katulad ng isang ekspresyon na may mga titik, hindi ba?
Hindi, pareho lang! Sa halip lamang mga operasyon sa aritmetika kailangan mong gawin ang algebraic, iyon ay, ang mga aksyon na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para sa factorization, kailangan mong mag-apply ng i o simpleng take out karaniwang salik para sa mga bracket.
Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa isang expression bilang isang produkto o quotient.
Halimbawa:
Pasimplehin natin ang expression.
1) Una, pinasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon ay mayroon tayong pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay i-represent ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idagdag:
Imposibleng pasimplehin ang expression na ito, lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).
2) Nakukuha namin ang:
Multiplikasyon ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas madali.
3) Ngayon ay maaari mong paikliin:
Ayan yun. Walang kumplikado, tama?
Isa pang halimbawa:
Pasimplehin ang expression.
Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.
Una sa lahat, tukuyin natin ang pamamaraan. Una, idagdag natin ang mga fraction sa mga bracket, sa halip na dalawang fraction, isa ang lalabas. Pagkatapos ay gagawin natin ang paghahati ng mga fraction. Well, idinagdag namin ang resulta sa huling fraction. Bibilangin ko nang eskematiko ang mga hakbang:
Ngayon ay ipapakita ko ang buong proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon na may pula:
Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:
1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang sandali na mayroon tayong mga katulad, ipinapayong dalhin ang mga ito kaagad.
2. Ganoon din sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling magkaroon ng pagkakataon na bawasan, dapat itong gamitin. Ang exception ay mga fraction na idinaragdag o ibinabawas mo: kung mayroon sila parehong denominador, pagkatapos ay ang pagbawas ay dapat iwan para sa ibang pagkakataon.
Narito ang ilang mga gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:
At nangako sa simula pa lang:
Mga Solusyon (maikli):
Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, kung gayon ikaw, isaalang-alang, ay pinagkadalubhasaan ang paksa.
Ngayon sa pag-aaral!
CONVERSION NG PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA
Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:
- Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) tulad ng mga termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
- Factorization: inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, pag-aaplay, atbp.
- Pagbabawas ng fraction: ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, kung saan ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago.
1) numerator at denominator i-factorize
2) kung may mga karaniwang salik sa numerator at denominator, maaari silang i-cross out.MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!
- Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
; - Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
;
Sa VIII type school, nakikilala ng mga mag-aaral ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo ng mga fraction: pagpapahayag ng isang fraction sa mas malalaking fraction (6th grade), expression ng improper fraction na may integer o mixed number (6th grade), expression ng mga fraction sa pantay na bahagi (ika-7 baitang), pagpapahayag halo-halong numero hindi wastong bahagi (ika-7 baitang).
Hindi wastong pagpapahayag ng fractiono pinaghalong numero
Nag-aral ako materyal na ito dapat kang magsimula sa gawain: kumuha ng 2 sewn na bilog at hatiin ang bawat isa sa kanila sa 4 na pantay na bahagi, bilangin ang bilang ng ikaapat na bahagi (Larawan 25). Dagdag pa, iminumungkahi na isulat ang halagang ito bilang isang fraction (t) Pagkatapos ang ikaapat na bahagi ay idinagdag sa bawat isa at ang mga mag-aaral ay kumbinsido na ito ay naging.
1st circle. Kaya naman, -t= isa. Nagdaragdag sa apat na quarter - sunud-sunod na higit pa -t, at isulat ng mga mag-aaral ang: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9
Iginuhit ng guro ang atensyon ng mga mag-aaral sa katotohanan na sa lahat ng mga kaso na isinasaalang-alang ay kumuha sila ng hindi tamang fraction, at bilang resulta ng pagbabagong natanggap nila alinman sa isang integer o isang mixed number, iyon ay, nagpahayag sila ng isang hindi tamang fraction bilang isang integer o pinaghalong numero. Susunod, dapat nating sikaping tiyakin na ang mga mag-aaral ay nakapag-iisa na matukoy kung anong operasyon ng aritmetika ang maaaring gawin ng pagbabagong ito. Matingkad na mga halimbawa na humahantong sa sagot
4 . 8 0 5 .1 7 .3 „ L
sa tanong ay: -2-=! at t = 2, 4" = 1t at t T " YV °D : sa
Upang ipahayag ang isang hindi wastong fraction bilang isang buo o pinaghalong numero, kailangan mong hatiin ang numerator ng fraction sa denominator, isulat ang quotient bilang isang integer, isulat ang natitira sa numerator, at iwanan ang denominator na pareho. Dahil masalimuot ang tuntunin, hindi na kailangang isaulo ito ng mga mag-aaral. Dapat ay palagi nilang nasasabi ang tungkol sa mga aksyon kapag ginagawa ang pagbabagong ito.
Bago ipakilala sa mga mag-aaral ang pagpapahayag ng isang hindi wastong fraction sa pamamagitan ng isang integer o pinaghalong numero, ipinapayong ulitin sa kanila ang paghahati ng isang integer sa isang integer na may natitira.
Ang pagsasama-sama ng isang bagong pagbabago para sa mga mag-aaral ay pinadali ng solusyon ng mga problema ng isang mahalaga at praktikal na kalikasan, halimbawa:
"Mayroong nine-fourths ng isang orange sa plorera. Skol| Maaaring idagdag ang buong dalandan mula sa mga bahaging ito? Ilang pang-apat ang natitira?"
"Para sa paggawa ng mga takip para sa mga kahon, bawat sheet ng card
35 ay pinutol sa 16 pantay na bahagi. nakuha -^. Gaano karaming mga layunin!
Gupitin ang mga sheet ng karton? Ilang ikalabing-anim ng isang hiwa! mula sa susunod na piraso? atbp.
Pagpapahayag ng integer at mixed numberhindi wastong bahagi
Ang pagpapakilala ng mga mag-aaral sa bagong pagbabagong ito ay dapat na mauna sa paglutas ng problema, halimbawa:
“2 piraso ng tela, magkapareho ang haba, na may hugis na parisukat. > gupitin sa 4 pantay na bahagi. Isang panyo ang tinahi mula sa bawat ganoong bahagi. Ilang panyo ang nakuha mo? I Record: 2= - 1 4^-, 2= -% ]
nakakuha ka ba ng alak? Isulat: mayroong 1 * bilog, naging * bilog, ibig sabihin
Kaya, batay sa isang visual at praktikal na batayan, isinasaalang-alang namin ang isang bilang ng mga halimbawa. Sa mga halimbawang isinasaalang-alang, hinihiling sa mga mag-aaral na ihambing ang orihinal na numero (mixed o integer) at ang bilang na lumabas pagkatapos ng conversion (improper fraction).
Upang mabatid sa mga mag-aaral ang tuntunin ng pagpapahayag ng buo at pinaghalong numero bilang hindi wastong fraction, kinakailangang ituon ang kanilang pansin sa paghahambing ng mga denominador ng magkahalong numero at hindi wastong bahagi, gayundin kung paano nakuha ang numerator, para sa halimbawa:
1 2"=?, 1 = 2", plus ^, kabuuan ^ 3 ^=?, 3=-^-, plus ^, kabuuan
ay magiging -^-. Bilang resulta, ang panuntunan ay nabuo: upang ang isang halo-halong numero
ipinahayag bilang isang hindi tamang fraction, kailangan mong i-multiply ang denominator sa isang integer, idagdag ang numerator sa produkto at isulat ang kabuuan bilang numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago.
Una, kailangan mong magsanay sa mga mag-aaral sa pagpapahayag ng isang yunit bilang isang hindi wastong fraction, pagkatapos ay anumang iba pang buong numero na may denominator, at pagkatapos ay isang halo-halong numero:
Pangunahing katangian ng isang fraction 1
[ang konsepto ng immutability ng isang fraction habang lumalaki
1 pagbaba sa mga miyembro nito, ibig sabihin, ang numerator at denominator, ay natutunan ng mga mag-aaral ng uri ng VIII na paaralan na may na may matinding kahirapan. Ang konseptong ito ay dapat ipakilala sa visual at didactic na materyal,
Bakit mahalaga na hindi lamang obserbahan ng mga mag-aaral ang mga aktibidad ng guro, ngunit aktibong gumagana sa materyal na didaktiko at, batay sa mga obserbasyon at praktikal na aktibidad, dumating sa ilang mga konklusyon, mga generalization.
Halimbawa, ang guro ay kumuha ng isang buong singkamas, hinati ito sa 2 pantay na paghihiganti at nagtanong: "Ano ang nakuha mo nang hatiin ang buong singkamas
sa kalahati? (2 halves.) Ipakita ang * singkamas. Maghiwa-hiwalay tayo
kalahati ng singkamas sa 2 higit pang pantay na bahagi. Ano ang makukuha natin? -y. Sumulat tayo:
tt \u003d - m - Ihambing natin ang mga numerator at denominator ng mga praksyon na ito. Anong oras
beses na tumaas ang numerator? Ilang beses tumaas ang denominator? Ilang beses na nadagdagan ang numerator at denominator? Nagbago ba ang fraction? Bakit hindi nagbago? Ano ang mga bahagi: mas malaki o mas maliit? Nadagdagan o nabawasan ba ang bilang
Pagkatapos ay hatiin ng lahat ng mag-aaral ang bilog sa 2 pantay na bahagi, ang bawat kalahati ay nahahati sa 2 higit pang pantay na bahagi, ang bawat quarter ay nahahati pa sa
2 pantay na bahagi, atbp., at isulat: "o ^ A ^ tg ^ tgg at t - L- Pagkatapos ay itatag nila kung ilang beses tumaas ang numerator at denominator ng fraction, kung nagbago ang fraction. Pagkatapos ay gumuhit sila ng isang segment at hatiin ito nang sunud-sunod sa 3 , 6, 12 pantay na bahagi at magsulat:
1 21 4 Kapag ikinukumpara ang mga praksyon -^ at -^, -^ at -^, nalaman na
ang numerator at denominator ng fraction tg ay tumataas ng parehong bilang ng beses, ang fraction ay hindi nagbabago mula dito.
Matapos isaalang-alang ang ilang mga halimbawa, ang mga mag-aaral ay dapat hilingin na sagutin ang tanong na: "Magbabago ba ang fraction kung ang numerator Ang ilang kaalaman sa paksang" Ordinaryong mga fraction "ay hindi kasama sa kurikulum sa matematika sa mga correctional na paaralan ng uri ng VIII, ngunit sila ay ipinapaalam sa mga mag-aaral sa mga paaralan para sa mga batang may mental retardation, sa mga leveling class para sa mga batang may kahirapan sa pag-aaral sa matematika. Sa aklat-aralin na ito, ang mga talata na nagbibigay ng pamamaraan para sa pag-aaral ng materyal na ito,
minarkahan ng asterisk (*).
Ang mga katulad na halimbawa ay ibinibigay kapag isinasaalang-alang ang pagbawas ng numerator at denominator sa parehong bilang ng beses (numerator at denominator ay hinati sa parehong numero). Halimbawa, cr>"
( 4 \ nahahati sa 8 pantay na bahagi, kumuha ng 4 na ikawalo ng isang bilog I -o-]
na pinalaki ang mga bahagi, kinuha nila ang pang-apat, magkakaroon ng 2 sa kanila. Kapag pinalaki ang mga bahagi
4 2 1 kunin ang pangalawa. Magkakaroon ng 1 : ~ika = -d--%- Ikumpara ang tagasunod!I
mga numerator at denominator ng mga fraction na ito, na sumasagot sa mga tanong na: “Sa<>ilang beses bumababa ang numerator at denominator? Magbabago ba ang fraction?
Ang isang magandang benepisyo ay ang mga guhitan, nahahati sa 12, 6, 3 pantay na bahagi (Larawan 26).
H
12 6 3 Fig. 26
Batay sa mga halimbawang isinaalang-alang, mahihinuha ng mga mag-aaral na ang fraction ay hindi magbabago kung ang numerator at denominator ng fraction ay hinati sa parehong bilang (nababawasan ng parehong bilang ng beses). Pagkatapos ay ibinigay ang isang pangkalahatang konklusyon - ang pangunahing pag-aari ng isang fraction: ang fraction ay hindi magbabago kung ang numerator at denominator ng fraction ay nadagdagan o nababawasan ng parehong bilang ng beses.Ang mga numero at expression na bumubuo sa orihinal na expression ay maaaring mapalitan ng mga expression na kapareho ng mga ito. Ang ganitong pagbabago ng orihinal na ekspresyon ay humahantong sa isang ekspresyon na kapareho nito.
Halimbawa, sa expression na 3+x, ang numero 3 ay maaaring palitan ng sum 1+2 , na nagreresulta sa expression na (1+2)+x , na kaparehong katumbas ng orihinal na expression. Isa pang halimbawa: sa expression na 1+a 5 ang antas ng isang 5 ay maaaring mapalitan ng isang produkto na kapareho nito, halimbawa, ng anyong a·a 4 . Bibigyan tayo nito ng expression na 1+a·a 4 .
Ang pagbabagong ito ay walang alinlangan na artipisyal, at kadalasan ay isang paghahanda para sa ilang karagdagang pagbabago. Halimbawa, sa kabuuan na 4·x 3 +2·x 2 , na isinasaalang-alang ang mga katangian ng degree, ang terminong 4·x 3 ay maaaring katawanin bilang isang produkto 2·x 2 ·2·x . Pagkatapos ng naturang pagbabago, ang orihinal na expression ay magkakaroon ng anyong 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Malinaw, ang mga termino sa resultang kabuuan ay may isang karaniwang kadahilanan na 2 x 2, upang maisagawa natin ang sumusunod na pagbabago - mga panaklong. Pagkatapos nito, pupunta tayo sa expression: 2 x 2 (2 x+1) .
Pagdaragdag at pagbabawas ng parehong numero
Ang isa pang artipisyal na pagbabago ng isang expression ay ang pagdaragdag at pagbabawas ng parehong numero o expression sa parehong oras. Ang ganitong pagbabago ay magkapareho, dahil ito ay, sa katunayan, katumbas ng pagdaragdag ng zero, at ang pagdaragdag ng zero ay hindi nagbabago sa halaga.
Isaalang-alang ang isang halimbawa. Kunin natin ang expression na x 2 +2 x . Kung magdagdag ka ng isa dito at ibawas ang isa, kung gayon ito ay magpapahintulot sa iyo na magsagawa ng isa pang magkaparehong pagbabago sa hinaharap - piliin ang parisukat ng binomial: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliograpiya.
- Algebra: aklat-aralin para sa 7 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebra. ika-7 baitang. Sa 2 p.m. Bahagi 1. Batayang aklat ng mag-aaral institusyong pang-edukasyon/ A. G. Mordkovich. - 17th ed., idagdag. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
Among iba't ibang ekspresyon, na isinasaalang-alang sa algebra, mahalagang lugar ay mga kabuuan ng monomials. Narito ang mga halimbawa ng gayong mga expression:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Ang kabuuan ng monomials ay tinatawag na polynomial. Ang mga termino sa isang polynomial ay tinatawag na mga miyembro ng polynomial. Ang mga monomial ay tinutukoy din bilang mga polynomial, na isinasaalang-alang ang isang monomial bilang isang polynomial na binubuo ng isang miyembro.
Halimbawa, polynomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
maaaring gawing simple.
Kinakatawan namin ang lahat ng mga termino sa anyo ng mga monomial karaniwang view:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Nagbibigay kami ng mga katulad na termino sa nagresultang polynomial:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Ang resulta ay isang polynomial, ang lahat ng mga miyembro nito ay monomials ng karaniwang anyo, at kasama ng mga ito ay walang mga katulad. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag polynomial ng karaniwang anyo.
sa likod polynomial degree karaniwang anyo ang pinakamalaki sa mga kapangyarihan ng mga miyembro nito. Kaya, ang binomial \(12a^2b - 7b \) ay may ikatlong antas, at ang trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) ay may pangalawa.
Karaniwan, ang mga tuntunin ng mga karaniwang anyo na polynomial na naglalaman ng isang variable ay nakaayos sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga exponent nito. Halimbawa:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Ang kabuuan ng ilang polynomial ay maaaring i-convert (pinasimple) sa isang karaniwang anyo na polynomial.
Minsan ang mga miyembro ng isang polynomial ay kailangang hatiin sa mga grupo, na nakapaloob sa bawat pangkat sa mga panaklong. Dahil ang mga panaklong ay kabaligtaran ng mga panaklong, madali itong bumalangkas mga panuntunan sa pagbubukas ng panaklong:
Kung ang + sign ay inilalagay bago ang mga bracket, ang mga termino na nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may parehong mga palatandaan.
Kung ang isang "-" na palatandaan ay inilagay sa harap ng mga bracket, ang mga termino na nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may kabaligtaran na mga palatandaan.
Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng isang monomial at isang polynomial
Sa pamamagitan ng distributive na ari-arian ang multiplikasyon ay maaaring i-convert (pinasimple) sa isang polynomial, ang produkto ng isang monomial at isang polynomial. Halimbawa:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Ang produkto ng isang monomial at isang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng monomial na ito at bawat isa sa mga termino ng polynomial.
Ang resultang ito ay kadalasang binabalangkas bilang panuntunan.
Upang i-multiply ang isang monomial sa isang polynomial, dapat isa paramihin ang monomial na ito sa bawat isa sa mga tuntunin ng polynomial.
Paulit-ulit naming ginamit ang panuntunang ito para sa pagpaparami ng kabuuan.
Ang produkto ng polynomials. Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng dalawang polynomial
Sa pangkalahatan, ang produkto ng dalawang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng produkto ng bawat termino ng isang polynomial at bawat termino ng isa.
Karaniwang gamitin ang sumusunod na panuntunan.
Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa at idagdag ang mga resultang produkto.
Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Mga parisukat ng Kabuuan, Pagkakaiba, at Pagkakaiba
Sa ilang mga ekspresyon sa mga pagbabagong algebraic kailangang harapin ang higit sa iba. Marahil ang pinakakaraniwang mga expression ay \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) at \(a^2 - b^2 \), iyon ay, ang parisukat ng kabuuan, ang parisukat ng pagkakaiba, at parisukat na pagkakaiba. Napansin mo na ang mga pangalan ng ipinahiwatig na mga expression ay tila hindi kumpleto, kaya, halimbawa, \((a + b)^2 \) ay, siyempre, hindi lamang ang parisukat ng kabuuan, ngunit ang parisukat ng kabuuan ng a at b. Gayunpaman, ang parisukat ng kabuuan ng a at b ay hindi pangkaraniwan, bilang panuntunan, sa halip na mga titik a at b, naglalaman ito ng iba't ibang, minsan medyo kumplikadong mga expression.
Ang mga ekspresyong \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ay madaling i-convert (pasimplehin) sa mga polynomial ng karaniwang anyo, sa katunayan, natugunan mo na ang ganoong gawain kapag nagpaparami ng mga polynomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Ang mga resultang pagkakakilanlan ay kapaki-pakinabang na tandaan at ilapat nang walang mga intermediate na kalkulasyon. Ang mga maikling pormulasyon sa salita ay nakakatulong dito.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ang parisukat ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat at ang dobleng produkto.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ang parisukat ng pagkakaiba ay ang kabuuan ng mga parisukat nang hindi nadodoble ang produkto.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ang pagkakaiba ng mga parisukat ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan.
Ang tatlong pagkakakilanlan na ito ay nagpapahintulot sa mga pagbabagong palitan ang kanilang mga kaliwang bahagi ng mga kanan at vice versa - mga kanang bahagi ng mga kaliwa. Ang pinakamahirap na bagay sa kasong ito ay upang makita ang kaukulang mga expression at maunawaan kung ano ang mga variable na a at b ay pinapalitan sa kanila. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.
