ako. Mga ekspresyon kung saan, kasama ang mga titik, numero, mga palatandaan ay maaaring gamitin mga operasyon sa aritmetika at ang mga bracket ay tinatawag na algebraic expression.

Mga halimbawa ng algebraic expression:

2m-n; 3 · (2a+b); 0.24x; 0.3a-b · (4a + 2b); isang 2 - 2ab;

Dahil ang isang titik sa isang algebraic expression ay maaaring mapalitan ng ilan iba't ibang numero, pagkatapos ang titik ay tinatawag na variable, at ang algebraic expression mismo ay tinatawag na expression na may variable.

II. Kung sa isang algebraic expression ang mga titik (mga variable) ay pinalitan ng kanilang mga halaga at ang mga tinukoy na aksyon ay ginanap, kung gayon ang resultang numero ay tinatawag na halaga ng algebraic expression.

Mga halimbawa. Hanapin ang halaga ng isang expression:

1) a + 2b -c para sa a = -2; b = 10; c = -3.5.

2) |x| + |y| -|z| sa x = -8; y=-5; z = 6.

Solusyon.

1) a + 2b -c para sa a = -2; b = 10; c = -3.5. Sa halip na mga variable, pinapalitan namin ang kanilang mga halaga. Nakukuha namin:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| sa x = -8; y=-5; z = 6. Pinapalitan namin ang mga ipinahiwatig na halaga. Tandaan na ang modyul negatibong numero ay katumbas ng kabaligtaran na numero nito, at ang modulus positibong numero katumbas ng bilang na iyon. Nakukuha namin:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Ang mga halaga ng isang titik (variable) kung saan ang algebraic expression ay may katuturan ay tinatawag na mga wastong halaga ng titik (variable).

Mga halimbawa. Sa anong halaga variable na pagpapahayag walang saysay?

Solusyon. Alam namin na imposibleng hatiin sa zero, samakatuwid, ang bawat isa sa mga expression na ito ay hindi magkakaroon ng kahulugan sa halaga ng titik (variable) na nagiging zero ang denominator ng fraction!

Sa halimbawa 1), ito ang halaga a = 0. Sa katunayan, kung sa halip na a ay papalitan natin ang 0, ang numero 6 ay kailangang hatiin ng 0, ngunit hindi ito magagawa. Sagot: expression 1) ay hindi makatwiran kapag a = 0.

Sa halimbawa 2) ang denominator x - 4 = 0 sa x = 4, samakatuwid, ang halagang ito x = 4 at hindi maaaring kunin. Sagot: expression 2) ay walang kahulugan para sa x = 4.

Sa halimbawa 3) ang denominator ay x + 2 = 0 para sa x = -2. Sagot: expression 3) ay walang kahulugan sa x = -2.

Sa halimbawa 4) ang denominator ay 5 -|x| = 0 para sa |x| = 5. At dahil |5| = 5 at |-5| \u003d 5, pagkatapos ay hindi ka maaaring kumuha ng x \u003d 5 at x \u003d -5. Sagot: expression 4) ay walang kahulugan para sa x = -5 at para sa x = 5.
IV. Dalawang expression ay tinatawag na magkaparehong pantay kung para sa alinman pinahihintulutang halaga variable, ang mga katumbas na halaga ng mga expression na ito ay pantay.

Halimbawa: 5 (a - b) at 5a - 5b ay magkapareho, dahil ang pagkakapantay-pantay 5 (a - b) = 5a - 5b ay magiging totoo para sa anumang mga halaga ng a at b. Ang pagkakapantay-pantay 5 (a - b) = 5a - 5b ay isang pagkakakilanlan.

Pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na wasto para sa lahat ng mga tinatanggap na halaga ng mga variable na kasama dito. Ang mga halimbawa ng pagkakakilanlan na alam mo na ay, halimbawa, ang mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami, distributive na ari-arian.

Ang pagpapalit ng isang ekspresyon ng isa pa, na kapareho nito, ay tinatawag na magkaparehong pagbabago o simpleng pagbabago ng isang ekspresyon. Mga pagbabago sa pagkakakilanlan ang mga expression na may mga variable ay isinasagawa batay sa mga katangian ng mga operasyon sa mga numero.

Mga halimbawa.

a) i-convert ang expression sa magkaparehong pantay gamit ang distributive property ng multiplication:

1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Solusyon. Alalahanin ang distributive property (batas) ng multiplikasyon:

(a+b) c=a c+b c(distributive law of multiplication na may kinalaman sa karagdagan: upang i-multiply ang kabuuan ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang bawat termino sa numerong ito at idagdag ang mga resulta).
(a-b) c=a c-b c(distributive law of multiplication na may kinalaman sa pagbabawas: upang i-multiply ang pagkakaiba ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang bilang na ito na binawasan at ibawas nang hiwalay at ibawas ang pangalawa sa unang resulta).

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y.

2) 1.5 (a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) i-convert ang expression sa identically equal gamit ang commutative at nag-uugnay na mga katangian(mga batas ng) karagdagan:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Solusyon. Inilalapat namin ang mga batas (mga katangian) ng karagdagan:

a+b=b+a(displacement: hindi nagbabago ang kabuuan mula sa muling pagsasaayos ng mga termino).
(a+b)+c=a+(b+c)(nag-uugnay: upang magdagdag ng pangatlong numero sa kabuuan ng dalawang termino, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlo sa unang numero).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

sa) baguhin ang expression sa magkaparehong pantay gamit ang commutative at associative properties (mga batas) ng multiplication:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2y · (-isa); 9) 3a · (-3) · 2s.

Solusyon. Ilapat natin ang mga batas (properties) ng multiplikasyon:

a b=b a(displacement: hindi binabago ng permutation of factors ang produkto).
(a b) c=a (b c)(combinative: upang i-multiply ang produkto ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang unang numero sa produkto ng pangalawa at pangatlo).

Solusyonan natin ang problema.

Bumili ang estudyante ng mga notebook sa halagang 2 kopecks. para sa isang kuwaderno at isang aklat-aralin para sa 8 kopecks. Magkano ang binayaran niya para sa buong pagbili?

Upang malaman ang halaga ng lahat ng mga notebook, kailangan mong i-multiply ang presyo ng isang notebook sa bilang ng mga notebook. Nangangahulugan ito na ang halaga ng mga notebook ay magiging katumbas ng kopecks.

Ang halaga ng buong pagbili ay magiging

Tandaan na kaugalian na alisin ang multiplication sign sa harap ng multiplier na ipinahayag ng isang titik, ito ay ipinahiwatig lamang. Samakatuwid, ang nakaraang entry ay maaaring katawanin tulad ng sumusunod:

Nakakuha kami ng isang pormula para sa paglutas ng problema. Ito ay nagpapakita na upang malutas ang problema ay kinakailangan upang i-multiply ang presyo ng isang kuwaderno sa bilang ng mga biniling notebook at idagdag ang halaga ng isang aklat-aralin sa produkto.

Sa halip na salitang "formula" para sa mga naturang entry, ginagamit din ang pangalang "algebraic expression".

Ang isang algebraic expression ay isang talaan na binubuo ng mga numero na ipinahiwatig ng mga numero o mga titik at konektado ng mga palatandaan ng aksyon.

Para sa kaiklian, sa halip na "algebraic expression" minsan ay "expression" lang ang sinasabi nila.

Narito ang ilan pang halimbawa ng mga algebraic expression:

Mula sa mga halimbawang ito, makikita natin na ang isang algebraic expression ay maaaring binubuo lamang ng isang letra, o maaaring hindi naglalaman ng mga numero, na ipinapahiwatig ng mga titik (dalawa kamakailang mga halimbawa). Sa ganyan huling kaso Ang expression ay tinatawag ding arithmetic expression.

Ibigay natin sa titik ang halaga 5 sa algebraic expression na natanggap natin (ibig sabihin, bumili ang mag-aaral ng 5 notebook). Sa halip, pinapalitan ang numero 5, nakukuha natin ang:

na katumbas ng 18 (iyon ay, 18 kopecks).

Ang numero 18 ay ang halaga ng algebraic expression na ito kapag

Ang halaga ng isang algebraic expression ay ang numero na makukuha kung papalitan natin ang data ng kanilang mga halaga sa expression na ito sa halip na mga titik at gagawin ang mga ipinahiwatig na aksyon sa mga numero.

Halimbawa, masasabi natin: ang halaga ng expression sa ay 12 (12 kopecks).

Ang halaga ng parehong expression para sa ay 14 (14 kopecks), atbp.

Nakikita namin na ang kahulugan ng isang algebraic expression ay nakasalalay sa kung anong mga halaga ang ibinibigay namin sa mga titik na kasama dito. Totoo, kung minsan nangyayari na ang kahulugan ng isang expression ay hindi nakasalalay sa mga kahulugan ng mga titik na kasama dito. Halimbawa, ang expression ay katumbas ng 6 para sa anumang mga halaga ng a.

Hanapin natin sa anyo ng isang halimbawa mga numerong halaga mga ekspresyon para sa iba't ibang halaga titik a at b.

Palitan sa ibinigay na pagpapahayag sa halip na a, ang numero 4, at sa halip na 6, ang numero 2 at kalkulahin ang resultang expression:

Kaya, kapag ang halaga ng expression na Para ay katumbas ng 16.

Sa parehong paraan, nalaman namin na kapag ang halaga ng expression ay 29, kapag at ito ay katumbas ng 2, atbp.

Ang mga resulta ng mga kalkulasyon ay maaaring isulat sa anyo ng isang talahanayan na malinaw na magpapakita kung paano nagbabago ang halaga ng expression depende sa pagbabago sa mga halaga ng mga titik na kasama dito.

Gumawa tayo ng table na may tatlong row. Sa unang linya isusulat namin ang mga halaga a, sa pangalawa - ang mga halaga 6 at

sa pangatlo - ang mga halaga ng expression. Nakukuha namin ang ganoong talahanayan.

Ang mga aralin sa algebra ay nagpapakilala sa atin iba't ibang uri mga ekspresyon. Sa pagdating ng bagong materyal, nagiging mas kumplikado ang mga expression. Kapag nakilala mo ang mga kapangyarihan, unti-unting idinaragdag ang mga ito sa ekspresyon, na nagpapakumplikado dito. Nangyayari rin ito sa mga fraction at iba pang mga expression.

Upang gawing maginhawa ang pag-aaral ng materyal hangga't maaari, ginagawa ito ng ilang mga pangalan upang mai-highlight ang mga ito. Ang artikulong ito ay magbibigay buong pagsusuri lahat ng basic school algebraic expression.

Monomials at polynomials

Pinag-aaralan ang mga expression na monomial at polynomial kurikulum ng paaralan simula sa ika-7 baitang. Ang mga aklat-aralin ay nagbigay ng mga kahulugan ng ganitong uri.

Kahulugan 1

monomials ay mga numero, mga variable, ang kanilang mga degree na may natural na tagapagpahiwatig, anumang mga gawa na ginawa sa kanilang tulong.

Kahulugan 2

polynomials ay tinatawag na kabuuan ng monomials.

Kung kukunin natin, halimbawa, ang numero 5, ang variable x, ang degree z 7, pagkatapos ay ang mga produkto ng form 5 x at 7 x 2 7 z 7 ay itinuturing na mga solong miyembro. Kapag kinuha ang kabuuan ng monomials ng form 5+x o z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, pagkatapos ay makakakuha tayo ng polynomial.

Upang makilala ang isang monomial mula sa isang polynomial, bigyang-pansin ang mga degree at ang kanilang mga kahulugan. Ang konsepto ng coefficient ay mahalaga. Kapag nag-cast magkatulad na termino sila ay nahahati sa libreng termino ng polynomial o ang nangungunang koepisyent.

Kadalasan, ang ilang mga aksyon ay ginagawa sa mga monomial at polynomial, pagkatapos nito ay binabawasan ang expression upang makita ang isang monomial. Ang pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati ay ginagawa, umaasa sa isang algorithm upang maisagawa ang mga operasyon sa mga polynomial.

Kapag mayroong isang variable, posibleng hatiin ang polynomial sa isang polynomial, na kinakatawan bilang isang produkto. Ang pagkilos na ito ay tinatawag na factorization ng isang polynomial.

Rational (algebraic) fractions

Ang konsepto ng rational fractions ay pinag-aralan sa grade 8 mataas na paaralan. Ang ilang mga may-akda ay tumatawag sa kanila algebraic fractions.

Kahulugan 3

Rational algebraic fraction Tinatawag nila ang isang fraction kung saan ang mga polynomial o monomials, mga numero, ay pumapalit sa numerator at denominator.

Isaalang-alang ang halimbawa ng rekord rational fractions ng uri 3 x + 2 , 2 a + 3 b 4 , x 2 + 1 x 2 - 2 at 2 2 x + - 5 1 5 y 3 x x 2 + 4 . Batay sa kahulugan, masasabi natin na ang bawat fraction ay itinuturing na rational fraction.

Ang mga algebraic fraction ay maaaring idagdag, ibawas, i-multiply, hatiin, itaas sa isang kapangyarihan. Ito ay tinalakay nang mas detalyado sa seksyon sa mga operasyon na may mga algebraic fraction. Kung kinakailangan upang i-convert ang isang fraction, madalas nilang ginagamit ang pag-aari ng pagbawas at pagbabawas sa isang karaniwang denominator.

Mga Makatwirang Ekspresyon

AT kurso sa paaralan ang konsepto ng mga di-makatwirang fraction ay pinag-aaralan, dahil ito ay kinakailangan upang gumana sa mga makatwirang expression.

Kahulugan 4

Mga Makatwirang Ekspresyon ay itinuturing na mga numerical at alphabetic na expression, kung saan ang mga rational na numero at titik ay ginagamit na may karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, paghahati, pagtaas sa isang integer na kapangyarihan.

Ang mga makatwirang ekspresyon ay maaaring walang mga senyales na kabilang sa function na humahantong sa irrationality. Ang mga rational na expression ay hindi naglalaman ng mga ugat, degree na may fractional hindi makatwiran na mga tagapagpahiwatig, degrees na may mga variable sa exponent, logarithmic expression, trigonometriko function at iba pa.

Batay sa tuntunin sa itaas, magbibigay kami ng mga halimbawa ng mga rational expression. Mula sa kahulugan sa itaas, mayroon tayong parehong numerical expression ng form 1 2 + 3 4, at 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 , 3 ay itinuturing na makatwiran. Mga ekspresyong naglalaman ng mga pagtatalaga ng liham, sumangguni din sa rational a 2 + b 2 3 a - 0 , 5 b , na may mga variable ng anyong a x 2 + b x + c at x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

Lahat mga makatwirang ekspresyon nahahati sa mga integer at fraction.

Integer rational expression

Kahulugan 5

Integer rational expression ay mga expression na hindi naglalaman ng paghahati sa mga expression na may mga variable na negatibong antas.

Mula sa kahulugan, mayroon kaming isang buong rational na expression ay isa ring expression na naglalaman ng mga titik, halimbawa, a + 1 , isang expression na naglalaman ng ilang variable, halimbawa, x 2 · y 3 − z + 3 2 at a + b 3 .

Mga expression tulad ng x: (y − 1) at 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 ay hindi maaaring maging rational integer, dahil mayroon silang dibisyon sa pamamagitan ng isang expression na may mga variable.

Fractional rational expressions

Kahulugan 6

Fractional rational expression ay isang expression na naglalaman ng dibisyon sa pamamagitan ng isang expression na may mga negatibong degree na variable.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang fractional rational expression ay maaaring 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 at 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .

Kung isasaalang-alang natin ang ganitong uri ng mga expression (2 x - x 2): 4 at a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2, kung gayon hindi sila itinuturing na fractional rational, dahil wala silang mga expression na may mga variable sa ang denominator.

Mga ekspresyong may kapangyarihan

Kahulugan 7

Ang mga ekspresyong naglalaman ng mga kapangyarihan sa alinmang bahagi ng notasyon ay tinatawag mga pagpapahayag ng kapangyarihan o mga pagpapahayag ng kapangyarihan.

Para sa konsepto, nagbibigay kami ng isang halimbawa ng gayong pagpapahayag. Maaaring hindi naglalaman ang mga ito ng mga variable, halimbawa, 2 3 , 32 - 1 5 + 1 . 5 3 . 5 · 5 - 2 5 - 1. 5 . Katangian din ang mga power expression ng form 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3. Upang malutas ang mga ito, kinakailangan na magsagawa ng ilang mga pagbabagong-anyo.

Hindi makatwiran na mga ekspresyon, mga ekspresyong may mga ugat

Ang ugat, na may lugar sa expression, ay nagbibigay dito ng ibang pangalan. Ang mga ito ay tinatawag na irrational.

Kahulugan 8

Mga hindi makatwirang ekspresyon mga expression ng pangalan na may mga palatandaan ng mga ugat sa talaan.

Makikita sa depinisyon na ito ay mga ekspresyon ng anyong 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x y , 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x at x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . Ang bawat isa sa kanila ay may kahit isang root icon. Ang mga ugat at degree ay konektado, kaya makikita mo ang mga expression tulad ng x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3.

Mga expression na trigonometriko

Kahulugan 9

trigonometriko expression ay mga expression na naglalaman ng sin , cos , tg at ctg at ang kanilang mga inverses - arcsin , arccos , arctg at arcctg .

Ang mga halimbawa ng trigonometriko function ay halata: sin π 4 cos π 6 cos 6 x - 1 at 2 sin x t g 2 x + 3 , 4 3 t g π - arcsin - 3 5 .

Upang gumana sa gayong mga pag-andar, kailangan mong gamitin ang mga katangian, mga pangunahing pormula direkta at kabaligtaran na mga pag-andar. Ang artikulong pagbabago ng trigonometriko function ay magbubunyag ng isyung ito nang mas detalyado.

Logarithmic Expressions

Matapos makilala ang mga logarithms, maaari nating pag-usapan ang mga kumplikadong logarithmic expression.

Kahulugan 10

Ang mga ekspresyong may logarithms ay tinatawag logarithmic.

Ang isang halimbawa ng naturang mga function ay ang log 3 9 + ln e , log 2 (4 a b) , log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Makakakita ka ng mga ganitong expression kung saan mayroong mga degree at logarithms. Ito ay naiintindihan, dahil mula sa kahulugan ng logarithm ito ay sumusunod na ito ay isang exponent. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng mga expression tulad ng x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 .

Upang mapalalim ang pag-aaral ng materyal, dapat kang sumangguni sa materyal sa pagbabago ng logarithmic expression.

Mga Fraction

May mga expression espesyal na uri, na tinatawag na mga fraction. Dahil mayroon silang numerator at denominator, maaari silang maglaman hindi lamang ng mga numeric na halaga, kundi pati na rin ang mga expression ng anumang uri. Isaalang-alang ang kahulugan ng isang fraction.

Kahulugan 11

Nabaril tinatawag nila ang gayong ekspresyon na mayroong numerator at denominator kung saan mayroong parehong numerical at alphabetic na mga pagtatalaga o mga ekspresyon.

Ang mga halimbawa ng mga fraction na may mga numero sa numerator at denominator ay ganito ang hitsura 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . Ang numerator at denominator ay maaaring maglaman ng parehong numerical at literal na mga pagpapahayag ng anyong (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α , 2 + ln 5 ln x .

Bagama't ang mga ekspresyong gaya ng 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 ay hindi mga fraction, gayunpaman, mayroon silang fraction sa kanilang notasyon.

Pangkalahatang pagpapahayag

Isinasaalang-alang ng mga senior na klase ang mga gawain na mas mahirap, na naglalaman ng lahat ng pinagsamang gawain ng pangkat C sa USE. Ang mga expression na ito ay partikular na kumplikado at may iba't ibang kumbinasyon ng mga ugat, logarithms, kapangyarihan, at trigonometriko function. Ito ay mga trabaho tulad ng x 2-1 sin x + π 3 o sin a r c t g x - a x 1 + x 2 .

Ang kanilang hitsura ay nagpapahiwatig na maaari itong maiugnay sa alinman sa mga species sa itaas. Kadalasan hindi sila inuri bilang anuman, dahil mayroon silang isang tiyak pinagsamang solusyon. Itinuturing silang mga expression pangkalahatang pananaw, at walang karagdagang paglilinaw o ekspresyon ang ginagamit para sa paglalarawan.

Kapag nilulutas ang gayong algebraic expression, palaging kinakailangang bigyang-pansin ang notasyon nito, ang pagkakaroon ng mga fraction, kapangyarihan, o karagdagang mga expression. Ito ay kinakailangan upang tumpak na matukoy ang paraan upang malutas ito. Kung hindi ka sigurado tungkol sa pangalan nito, inirerekumenda na tawagan itong isang expression pangkalahatang uri at magpasya ayon sa algorithm sa itaas.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Mga katangian ng degree:

(1) a m ⋅ a n = a m + n

Halimbawa:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

Halimbawa:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 - 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n

Halimbawa:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

Halimbawa:

$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (isang m ) n = a m ⋅ n

Halimbawa:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

Mga halimbawa:

$$(a^( - 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( - 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

Ari-arian parisukat na ugat:

(1) a b = a ⋅ b , para sa a ≥ 0 , b ≥ 0

Halimbawa:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b , para sa a ≥ 0 , b > 0

Halimbawa:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a , para sa isang ≥ 0

Halimbawa:

(4) a 2 = | isang | para sa anumang a

Mga halimbawa:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

Makatuwiran at hindi nakapangangatwiran numero

Mga rational na numero ay mga numero na maaaring ilarawan bilang karaniwang fraction m n

Mga halimbawa ng mga rational na numero:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

Hindi nakapangangatwiran numero - mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang ordinaryong fraction m n, ito ay walang katapusan na non-periodic decimal fraction.

Mga halimbawa ng mga hindi makatwirang numero:

e = 2.71828182845…

π = 3.1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

Sa madaling salita, ang mga irrational na numero ay mga numero na naglalaman ng square root sign sa kanilang notasyon. Ngunit hindi lahat ay napakasimple. Ang ilang mga rational na numero ay nagpapakilala sa kanilang mga sarili bilang mga hindi makatwiran, halimbawa, ang numero 4 ay naglalaman ng isang square root sign sa notasyon nito, ngunit alam namin na maaari naming pasimplehin ang notasyon 4 = 2. Nangangahulugan ito na ang numero 4 ay isang rational na numero.

Katulad nito, ang bilang na 4 81 = 4 81 = 2 9 ay isang rational na numero.

Ang ilang mga problema ay nangangailangan sa iyo na matukoy kung aling mga numero ang makatwiran at kung alin ang hindi makatwiran. Ang gawain ay upang maunawaan kung aling mga numero ang hindi makatwiran at kung alin ang nagkukunwari bilang mga ito. Upang gawin ito, kailangan mong magawa ang mga operasyon ng pagkuha ng factor mula sa ilalim ng square root sign at pagpapakilala ng factor sa ilalim ng root sign.

Pagpasok at pagtanggal ng factor para sa tanda ng square root

Sa pamamagitan ng pag-alis ng factor mula sa square root sign, maaari mong makabuluhang pasimplehin ang ilang mga mathematical expression.

Halimbawa:

Pasimplehin ang expression 2 8 2 .

1 paraan (tinatanggal ang multiplier mula sa ilalim ng root sign): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

Paraan 2 (pagpapakilala ng multiplier sa ilalim ng root sign): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami (FSU)

sum square

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Halimbawa:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

Ang parisukat ng pagkakaiba

(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

Halimbawa:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

Ang kabuuan ng mga parisukat ay hindi salik

a 2 + b 2 ≠

Pagkakaiba ng mga parisukat

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

Halimbawa:

25 x 2 - 4 y 2 = (5 x) 2 - (2 y) 2 = (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)

sum cube

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Halimbawa:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

pagkakaiba cube

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Halimbawa:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

Kabuuan ng mga cube

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

Halimbawa:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

Pagkakaiba ng mga cube

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

Halimbawa:

x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

Pamantayang anyo ng numero

Upang maunawaan kung paano magdala ng arbitrary makatwirang numero sa karaniwang anyo, kailangan mong malaman kung ano ang unang makabuluhang digit ng numero.

Una makabuluhang pigura numero tawagin itong unang di-zero na digit sa kaliwa.

Mga halimbawa:
2 5 ; 3, 05; 0 , 143 ; 0 , 00 1 2 . Ang unang makabuluhang digit ay naka-highlight sa pula.

Upang i-convert ang isang numero sa karaniwang form:

1. Ilipat ang kuwit upang ito ay kasunod kaagad ng unang makabuluhang digit.
2. I-multiply ang resultang numero sa pamamagitan ng 10 n, kung saan ang n ay isang numero, na tinukoy bilang sumusunod:
3. n > 0 kung ang kuwit ay inilipat sa kaliwa (pag-multiply ng 10 n ay nagpapahiwatig na ang kuwit ay dapat na nasa kanan);
4. n< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. ang absolute value ng numero n ay katumbas ng bilang ng mga digit kung saan inilipat ang kuwit.

Mga halimbawa:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

Ang kuwit ay inilipat sa kaliwa ng 1 digit. Dahil ang decimal point ay inilipat sa kaliwa, ang exponent ay positibo.

Nadala na sa karaniwang anyo, hindi mo kailangang gumawa ng anuman dito. Maaari itong isulat bilang 3.05 ⋅ 10 0 , ngunit dahil 10 0 = 1, iniiwan natin ang numero sa orihinal nitong anyo.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

Ang kuwit ay inilipat sa kanan ng 1 digit. Dahil ang decimal point ay inilipat sa kanan, ang exponent ay negatibo.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

Inilipat ng kuwit ang tatlong lugar sa kanan. Dahil ang decimal point ay inilipat sa kanan, ang exponent ay negatibo.

Nagsisimulang pag-aralan ang mga algebraic expression sa ika-7 baitang. Mayroon silang ilang mga katangian at ginagamit sa paglutas ng problema. Pag-aralan natin ang paksang ito nang mas detalyado at isaalang-alang ang isang halimbawa ng paglutas ng problema.

Depinisyon ng konsepto

Anong mga expression ang tinatawag na algebraic? ito mathematical notation, na binubuo ng mga numero, letra at senyales ng mga operasyong arithmetic. Ang pagkakaroon ng mga titik ay ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng mga numerical at algebraic na expression. Mga halimbawa:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

Ang isang titik sa algebraic expression ay kumakatawan sa isang numero. Samakatuwid, ito ay tinatawag na variable - sa unang halimbawa ito ay ang titik a, sa pangalawa - b, at sa pangatlo - c. Ang algebraic expression mismo ay tinatawag din variable na pagpapahayag.

Halaga ng pagpapahayag

Kahulugan ng isang algebraic expression ay ang bilang na nakuha bilang resulta ng pagsasagawa ng lahat ng mga pagpapatakbo ng arithmetic na tinukoy sa expression na ito. Ngunit upang makuha ito, ang mga titik ay dapat mapalitan ng mga numero. Samakatuwid, ang mga halimbawa ay palaging nagpapahiwatig kung aling numero ang tumutugma sa titik. Isaalang-alang kung paano hanapin ang halaga ng expression na 8a-14*(5-a) kung a=3.

Palitan natin ang numero 3 sa halip na titik a. Nakuha natin ang sumusunod na entry: 8*3-14*(5-3).

Tulad ng sa mga numerical expression, ang solusyon ng isang algebraic expression ay isinasagawa ayon sa mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga operasyong aritmetika. Solusyonan natin ang lahat sa pagkakasunud-sunod.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Kaya, ang halaga ng expression na 8a-14*(5-a) para sa a=3 ay -4.

Ang halaga ng isang variable ay tinatawag na wasto kung ang expression ay may katuturan para dito, iyon ay, posible na mahanap ang solusyon nito.

Ang isang halimbawa ng isang wastong variable para sa expression na 5:2a ay ang numero 1. Ang pagpapalit nito sa expression, makakakuha tayo ng 5:2*1=2.5.

Ang di-wastong variable para sa expression na ito ay 0. Kung papalitan natin ang zero sa expression, makakakuha tayo ng 5:2*0, ibig sabihin, 5:0. Hindi mo maaaring hatiin sa zero, kaya walang kahulugan ang expression.

Mga ekspresyon ng pagkakakilanlan

Kung ang dalawang expression ay pantay-pantay para sa anumang mga halaga ng kanilang mga constituent variable, sila ay tinatawag magkapareho.
Halimbawa ng magkatulad na ekspresyon :
4(a+c) at 4a+4c.
Anuman ang halaga ng mga titik a at c, ang mga expression ay palaging pantay. Ang anumang expression ay maaaring mapalitan ng isa pa, kapareho nito. Ang prosesong ito ay tinatawag na pagbabago ng pagkakakilanlan.

Isang halimbawa ng magkatulad na pagbabago .
4*(5a+14c) - ang expression na ito ay maaaring mapalitan ng magkapareho sa pamamagitan ng paglalapat batas sa matematika pagpaparami. Upang i-multiply ang isang numero sa kabuuan ng dalawang numero, kailangan mong i-multiply ang numerong ito sa bawat termino at idagdag ang mga resulta.

• 4*5a=20a.
• 4*14s=64s.
• 20a + 64s.

Kaya, ang expression na 4*(5a+14c) ay kapareho ng 20a+64c.

Ang bilang na nauuna sa literal na variable sa isang algebraic expression ay tinatawag na coefficient. Ang koepisyent at variable ay mga multiplier.

Pagtugon sa suliranin

Ginagamit ang mga algebraic expression upang malutas ang mga problema at equation.
Isaalang-alang natin ang problema. Nakaisip si Petya ng isang numero. Upang mahulaan ito ng kaklase na si Sasha, sinabi sa kanya ni Petya: idinagdag ko muna ang 7 sa numero, pagkatapos ay ibinawas ang 5 mula dito at i-multiply sa 2. Bilang resulta, nakuha ko ang numero 28. Anong numero ang nahulaan ko?

Upang malutas ang problema, kailangan mong italaga ang nakatagong numero na may titik a, at pagkatapos ay isagawa ang lahat ng ipinahiwatig na mga aksyon kasama nito.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Ngayon lutasin natin ang nagresultang equation.

Nahulaan ni Petya ang numero 12.

Ano ang natutunan natin?

Ang isang algebraic expression ay isang talaan na binubuo ng mga titik, numero at mga senyales ng mga operasyong aritmetika. Ang bawat expression ay may halaga na makikita sa pamamagitan ng paggawa ng lahat ng arithmetic sa expression. Ang titik sa isang algebraic expression ay tinatawag na variable, at ang numero sa harap nito ay tinatawag na coefficient. Ginagamit ang mga algebraic expression upang malutas ang mga problema.