Pamamahagi ng pag-aari ng pagdaragdag at pagpaparami. Mga pangunahing katangian ng pagpaparami ng mga integer

Layunin ng Aralin:

Kumuha ng mga pagkakapantay-pantay na nagpapahayag ng distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan at pagbabawas.
Turuan ang mga mag-aaral na ilapat ang property na ito mula kaliwa hanggang kanan.
Ipakita ang mahalaga praktikal na halaga ari-arian na ito.
Paunlarin sa mga mag-aaral lohikal na pag-iisip. Palakasin ang iyong mga kasanayan sa computer.

Kagamitan: mga computer, mga poster na may mga katangian ng pagpaparami, na may mga larawan ng mga kotse at mansanas, mga card.

Sa panahon ng mga klase

1. Panimulang talumpati ng guro.

Ngayon sa aralin ay isasaalang-alang natin ang isa pang pag-aari ng pagpaparami, na kung saan ay may malaking praktikal na kahalagahan, nakakatulong ito upang mabilis na dumami ang mga multi-digit na numero. Ulitin natin ang naunang pinag-aralan na mga katangian ng multiplikasyon. Habang nag-aaral tayo ng bagong paksa, susuriin natin ang ating takdang-aralin.

2. Solusyon ng oral exercises.

ako. Isulat sa pisara:

1 - Lunes
2 - Martes
3 - Miyerkules
4 - Huwebes
5 - Biyernes
6 - Sabado
7 – Linggo

Mag-ehersisyo. Isaalang-alang ang araw ng linggo. I-multiply ang bilang ng nakaplanong araw sa 2. Magdagdag ng 5 sa produkto. I-multiply ang kabuuan sa 5. Dagdagan ang produkto ng 10 beses. pangalanan ang resulta. Hulaan mo... isang araw.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10

II. Gawain mula sa elektronikong aklat-aralin"Matematika 5-11kl. Mga bagong pagkakataon para sa mastering ng kurso ng matematika. Practicum". Drofa LLC 2004, DOS LLC 2004, CD-ROM, NFPK. Seksyon “Matematika. Mga integer". Gawain bilang 8. Express control. Punan ang mga walang laman na cell sa chain. Pagpipilian 1.

III. Sa desk:

a+b
(a+b)*c
m-n
m * c – n * c

2) Pasimplehin:

5*x*6*y
3*2*a
isang * 8 * 7
3*a*b

3) Para sa anong mga halaga ng x nagiging totoo ang pagkakapantay-pantay:

x + 3 = 3 + x
407 * x = x * 407? Bakit?

Anong mga katangian ng pagpaparami ang ginamit?

3. Pag-aaral ng bagong materyal.

Sa board ay isang poster na may mga larawan ng mga sasakyan.

Larawan 1.

Gawain para sa 1 pangkat ng mga mag-aaral (lalaki).

Sa garahe sa 2 hilera mayroong mga trak at kotse. Sumulat ng mga expression.

Magkano mga trak sa 1st row? Ilang sasakyan?
Ilang trak ang nasa 2nd row? Ilang sasakyan?
Ilang sasakyan ang nasa garahe?
Ilang trak ang nasa lane 1? Ilang trak ang nasa dalawang hanay?
Ilang sasakyan ang nasa 1st row? Ilang sasakyan ang nasa dalawang hanay?
Ilang sasakyan ang nasa garahe?

Hanapin ang mga halaga ng mga expression 3 at 6. Ihambing ang mga halagang ito. Sumulat ng mga expression sa isang kuwaderno. Basahin ang pagkakapantay-pantay.

Gawain para sa 2 pangkat ng mga mag-aaral (lalaki).

Sa garahe sa 2 hilera mayroong mga trak at kotse. Ano ang ibig sabihin ng mga expression:

4 – 3
4 * 2
3 * 2
(4 – 3) * 2
4 * 2 – 3 * 2

Hanapin ang mga halaga ng huling dalawang expression.

Kaya, sa pagitan ng mga expression na ito, maaari mong ilagay ang sign =.

Basahin natin ang pagkakapantay-pantay: (4 - 3) * 2 = 4 * 2 - 3 * 2.

Poster na may mga larawan ng pula at berdeng mansanas.

Figure 2.

Gawain para sa ika-3 pangkat ng mga mag-aaral (mga babae).

Bumuo ng mga expression.

Ano ang masa ng isang pula at isang berdeng mansanas na magkasama?
Ano ang masa ng lahat ng mansanas na magkasama?
Ano ang masa ng lahat ng pulang mansanas na magkasama?
Ano ang masa ng lahat ng berdeng mansanas na magkasama?
Ano ang masa ng lahat ng mansanas?

Hanapin ang mga halaga ng mga expression 2 at 5 at ihambing ang mga ito. Isulat ang ekspresyong ito sa iyong kuwaderno. Basahin.

Gawain para sa 4 na pangkat ng mga mag-aaral (babae).

Ang masa ng isang pulang mansanas ay 100 g, isang berdeng mansanas ay 80 g.

Bumuo ng mga expression.

Ilang g ang mass ng isang pulang mansanas na mas malaki kaysa sa isang berde?
Ano ang masa ng lahat ng pulang mansanas?
Ano ang masa ng lahat ng berdeng mansanas?
Sa pamamagitan ng ilang g ay mas malaki ang masa ng lahat ng pulang mansanas kaysa sa mga berdeng mansanas?

Hanapin ang mga halaga ng mga expression 2 at 5. Ihambing ang mga ito. Basahin ang pagkakapantay-pantay. Totoo ba ang mga pagkakapantay-pantay para lamang sa mga numerong ito?

4. Pagsusuri ng takdang-aralin.

Mag-ehersisyo. Sa pamamagitan ng pagdadaglat kondisyon ng problema upang ilagay ang pangunahing tanong, bumuo ng isang expression at hanapin ang halaga nito para sa ibinigay na mga halaga ng mga variable.

1 pangkat

Hanapin ang halaga ng expression para sa a = 82, b = 21, c = 2.

2 pangkat

Hanapin ang halaga ng expression sa a = 82, b = 21, c = 2.

3 pangkat

Hanapin ang halaga ng expression para sa a = 60, b = 40, c = 3.

4 na pangkat

Hanapin ang halaga ng expression sa a = 60, b = 40, c = 3.

gawain sa klase.

Ihambing ang mga halaga ng expression.

Para sa mga pangkat 1 at 2: (a + b) * c at a * c + b * c

Para sa pangkat 3 at 4: (a - b) * c at a * c - b * c

(a + b) * c = a * c + b * c
(a - b) * c \u003d a * c - b * c

Kaya, para sa anumang mga numero a, b, c, ito ay totoo:

Kapag nagpaparami ng kabuuan sa isang numero, maaari mong i-multiply ang bawat termino sa numerong ito at idagdag ang mga resultang produkto.
Kapag nagpaparami ng pagkakaiba sa isang numero, maaari mong i-multiply ang minuend at ibawas sa numerong ito at ibawas ang pangalawa sa unang produkto.
Kapag nagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba sa isang numero, ang multiplikasyon ay ipinamamahagi sa bawat numero na nakapaloob sa mga bracket. Samakatuwid, ang katangiang ito ng multiplikasyon ay tinatawag na distributive property ng multiplikasyon na may paggalang sa karagdagan at pagbabawas.

Basahin natin ang pahayag ng ari-arian mula sa aklat-aralin.

5. Pagsasama-sama ng bagong materyal.

Kumpleto ang #548. Ilapat ang distributive property ng multiplication.

(68 + a) * 2
17 * (14 - x)
(b-7) * 5
13*(2+y)

1) Pumili ng mga gawain para sa pagtatasa.

Mga takdang-aralin para sa pagtatasa ng "5".

Halimbawa 1. Hanapin natin ang halaga ng produkto 42 * 50. Katawanin natin ang numero 42 bilang kabuuan ng mga numero 40 at 2.

Nakukuha namin ang: 42 * 50 = (40 + 2) * 50. Ngayon ay inilalapat namin ang ari-arian ng pamamahagi:

42 * 50 = (40 + 2) * 50 = 40 * 50 + 2 * 50 = 2 000 +100 = 2 100.

Katulad na lutasin ang #546:

a) 91 * 8
c) 6 * 52
e) 202 * 3
g) 24 * 11
h) 35 * 12
i) 4 * 505

Kinakatawan ang mga numerong 91.52, 202, 11, 12, 505 bilang kabuuan ng sampu at isa at ilapat ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan.

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng produkto 39 * 80.

Katawanin natin ang numerong 39 bilang pagkakaiba sa pagitan ng 40 at 1.

Nakukuha namin ang: 39 * 80 \u003d (40 - 1) \u003d 40 * 80 - 1 * 80 \u003d 3200 - 80 \u003d 3120.

Lutasin mula sa #546:

b) 7 * 59
e) 397 * 5
d) 198 * 4
j) 25 * 399

Kinakatawan ang mga numerong 59, 397, 198, 399 bilang pagkakaiba sa pagitan ng sampu at isa at ilapat ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa pagbabawas.

Mga gawain para sa pagtatasa ng "4".

Lutasin mula sa No. 546 (a, c, e, g, h, i). Ilapat ang distributive property ng multiplication na may paggalang sa karagdagan.

Lutasin mula sa No. 546 (b, d, f, j). Ilapat ang distributive property ng multiplication kaugnay ng subtraction.

Mga gawain para sa pagtatasa "3".

Lutasin ang No. 546 (a, c, e, g, h, i). Ilapat ang distributive property ng multiplication na may paggalang sa karagdagan.

Lutasin ang No. 546 (b, d, f, j).

Upang malutas ang problema Blg. 552, gumawa ng isang ekspresyon at gumuhit ng isang larawan.

Ang distansya sa pagitan ng dalawang nayon ay 18 km. Sa kanila napunta sa magkaibang panig dalawang siklista. Ang isa ay naglalakbay ng m km kada oras, at ang isa naman ay n km. Gaano kalayo ang agwat nila pagkatapos ng 4 na oras?

(Oral. Ang mga halimbawa ay naitala sa reverse side mga board.)

Palitan ng mga nawawalang numero:

Takdang-aralin mula sa elektronikong aklat-aralin na "Matematika 5-11kl. Mga bagong pagkakataon para sa mastering ng kurso ng matematika. Practicum". Drofa LLC 2004, DOS LLC 2004, CD-ROM, NFPK. Seksyon “Matematika. Mga integer". Gawain bilang 7. Express control. Ibalik ang mga nawawalang numero.

6. Paglagom ng aralin.

Kaya, isinaalang-alang namin ang distributive property ng multiplication na may paggalang sa karagdagan at pagbabawas. Ulitin natin ang pagbabalangkas ng ari-arian, basahin ang mga pagkakapantay-pantay na nagpapahayag ng ari-arian. Ang aplikasyon ng distributive property ng multiplikasyon mula kaliwa hanggang kanan ay maaaring ipahayag ng kondisyong "open bracket", dahil ang expression ay nakapaloob sa mga bracket sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, ngunit walang mga bracket sa kanan. Kapag nilulutas ang mga pagsasanay sa bibig para sa paghula sa araw ng linggo, ginamit din namin ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan.

(No. * 2 + 5) * 5 * 10 = 100 * No. + 250, at pagkatapos ay lutasin ang isang equation ng form:
100 * hindi + 250 = a

Tinukoy namin ang karagdagan, pagpaparami, pagbabawas at paghahati ng mga integer. Ang mga pagkilos na ito (mga operasyon) ay may ilang mga katangiang resulta, na tinatawag na mga katangian. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga pangunahing katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga integer, kung saan sinusunod ang lahat ng iba pang katangian ng mga operasyong ito, pati na rin ang mga katangian ng pagbabawas at paghahati ng mga integer.

Pag-navigate sa pahina.

Ang pagdaragdag ng integer ay may ilang iba pang napakahalagang katangian.

Ang isa sa mga ito ay nauugnay sa pagkakaroon ng zero. Ang pag-aari na ito ng pagdaragdag ng integer ay nagsasaad na Ang pagdaragdag ng zero sa anumang buong numero ay hindi nagbabago sa numerong iyon. Isulat natin ibinigay na ari-arian karagdagan gamit ang mga titik: a+0=a at 0+a=a (ang pagkakapantay-pantay na ito ay wasto dahil sa commutative property ng karagdagan), a ay anumang integer. Maaari mong marinig na ang integer zero ay tinatawag na neutral na elemento bilang karagdagan. Magbigay tayo ng ilang halimbawa. Ang kabuuan ng isang integer −78 at zero ay −78 ; kung magdagdag ka ng integer sa zero positibong numero 999 , pagkatapos ay bilang isang resulta makuha namin ang numero 999 .

Bubuo na kami ngayon ng isa pang katangian ng pagdaragdag ng integer, na nauugnay sa pagkakaroon ng isang kabaligtaran na numero para sa anumang integer. Ang kabuuan ng anumang buong numero na may kabaligtaran na numero ay zero. Narito ang literal na anyo ng property na ito: a+(−a)=0 , kung saan ang a at −a ay magkasalungat na integer. Halimbawa, ang kabuuan 901+(−901) ay zero; pareho, ang kabuuan ng magkasalungat na integer −97 at 97 ay zero.

Mga pangunahing katangian ng pagpaparami ng mga integer

Ang multiplikasyon ng mga integer ay may lahat ng mga katangian ng pagpaparami ng mga natural na numero. Inililista namin ang pangunahing mga katangiang ito.

Kung paanong ang zero ay isang neutral na integer na may kinalaman sa karagdagan, ang isa ay isang neutral na integer na may kinalaman sa multiplikasyon ng mga integer. I.e, ang pagpaparami ng anumang buong bilang sa isa ay hindi nagbabago sa bilang na pinaparami. Kaya 1·a=a , kung saan ang a ay anumang integer. Ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring muling isulat bilang isang 1=a , ito ay nagbibigay-daan sa amin na gawin ang commutative property ng multiplication. Magbigay tayo ng dalawang halimbawa. Ang produkto ng integer 556 by 1 ay 556; produkto ng isang yunit at isang kabuuan negatibong numero Ang −78 ay katumbas ng −78 .

Ang susunod na katangian ng integer multiplication ay nauugnay sa multiplikasyon ng zero. Ang resulta ng pagpaparami ng anumang integer a sa zero sero , ibig sabihin, a 0=0 . Ang pagkakapantay-pantay na 0·a=0 ay totoo rin dahil sa commutative property ng multiplication ng integers. Sa isang partikular na kaso, kapag a=0, ang produkto ng zero at zero ay katumbas ng zero.

Para sa pagpaparami ng mga integer, ang property na kabaligtaran ng nauna ay totoo din. Inaangkin nito iyon ang produkto ng dalawang integer ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Sa literal na anyo, maaaring isulat ang property na ito tulad ng sumusunod: a·b=0 , kung alinman sa a=0 , o b=0 , o pareho ang a at b ay katumbas ng zero sa parehong oras.

Distributive na ari-arian ng multiplikasyon ng mga integer na may paggalang sa karagdagan

Ang sabay-sabay na pagdaragdag at pagpaparami ng mga integer ay nagpapahintulot sa amin na isaalang-alang ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan, na nag-uugnay sa dalawang ipinahiwatig na mga aksyon. Magbubukas ang paggamit ng pagdaragdag at pagpaparami nang magkasama karagdagang mga tampok, na aalisan tayo ng pagsasaalang-alang sa karagdagan nang hiwalay sa multiplikasyon.

Kaya, ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan ay nagsasabi na ang produkto ng isang integer a at ang kabuuan ng dalawang integer a at b ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng a b at a c , iyon ay, a (b+c)=a b+a c. Ang parehong pag-aari ay maaaring isulat sa ibang anyo: (a+b) c=a c+b c .

pamamahagi ng ari-arian pagpaparami ng mga integer na may paggalang sa karagdagan, kasama ang nauugnay na pag-aari ng karagdagan, ay nagbibigay-daan sa amin upang matukoy ang multiplikasyon ng isang integer sa pamamagitan ng kabuuan ng tatlo at higit pa integers, at pagkatapos - at ang pagpaparami ng kabuuan ng mga integer sa kabuuan.

Tandaan din na ang lahat ng iba pang mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga integer ay maaaring makuha mula sa mga katangian na aming ipinahiwatig, iyon ay, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng mga katangian sa itaas.

Mga katangian ng pagbabawas ng integer

Mula sa nakuhang pagkakapantay-pantay, pati na rin mula sa mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga integer, ang mga sumusunod na katangian ng pagbabawas ng mga integer ay sumusunod (a, b at c ay mga di-makatwirang integer):

Pagbabawas ng mga integer sa pangkalahatang kaso WALANG commutative property: a−b≠b−a .
Ang pagkakaiba ng pantay na integer ay katumbas ng zero: a−a=0 .
Ang pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan ng dalawang integer mula sa isang ibinigay na integer: a−(b+c)=(a−b)−c .
Ang pag-aari ng pagbabawas ng isang integer mula sa kabuuan ng dalawang integer: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
Ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa pagbabawas: a (b−c)=a b−a c at (a−b) c=a c−b c.
At lahat ng iba pang katangian ng integer subtraction.

Mga katangian ng integer division

Sa pagtatalo tungkol sa kahulugan ng paghahati ng mga integer, nalaman namin na ang paghahati ng mga integer ay isang aksyon, kapalit ng multiplikasyon. Ibinigay namin ang sumusunod na kahulugan: ang paghahati ng mga integer ay paghahanap hindi kilalang multiplier sa sikat na gawain at isang kilalang multiplier. Ibig sabihin, tinatawag natin ang integer c ang quotient ng integer a na hinati ng integer b kapag ang produkto c·b ay katumbas ng a .

Ang kahulugan na ito, pati na rin ang lahat ng mga katangian ng mga pagpapatakbo sa mga integer na isinasaalang-alang sa itaas, ay nagbibigay-daan sa amin na itatag ang bisa ng mga sumusunod na katangian ng paghahati ng mga integer:

Walang integer ang maaaring hatiin ng zero.
Ang pag-aari ng paghahati ng zero sa isang arbitrary na non-zero integer a : 0:a=0 .
Property ng paghahati ng pantay na integer: a:a=1 , kung saan ang a ay anumang non-zero integer.
Ang pag-aari ng paghahati ng arbitrary integer a sa isa: a:1=a .
Sa pangkalahatan, WALANG commutative property ang dibisyon ng mga integer: a:b≠b:a .
Ang mga katangian ng paghahati ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang integer sa isang integer ay: (a+b):c=a:c+b:c at (a−b):c=a:c−b:c , kung saan a , b , at c ay mga integer na ang parehong a at b ay nahahati sa c , at ang c ay nonzero.
Ang pag-aari ng paghahati ng produkto ng dalawang integer a at b sa isang nonzero integer c : (a b):c=(a:c) b kung ang a ay nahahati sa c ; (a b):c=a (b:c) kung ang b ay nahahati sa c ; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) kung ang parehong a at b ay nahahati sa c .
Ang pag-aari ng paghahati ng integer a sa produkto ng dalawang integer b at c (mga numero a , b at c na posible ang paghahati ng a sa b c): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) b .
Anumang iba pang pag-aari ng integer division.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa na nagpapatunay sa bisa ng commutative property ng multiplication ng dalawa natural na mga numero. Batay sa kahulugan ng pagpaparami ng dalawang natural na numero, kinakalkula namin ang produkto ng mga numero 2 at 6, pati na rin ang produkto ng mga numero 6 at 2, at suriin ang pagkakapantay-pantay ng mga resulta ng pagpaparami. Ang produkto ng mga numero 6 at 2 ay katumbas ng kabuuan na 6+6, mula sa talahanayan ng karagdagan makikita natin ang 6+6=12. At ang produkto ng mga numero 2 at 6 ay katumbas ng kabuuan ng 2+2+2+2+2+2, na katumbas ng 12 (kung kinakailangan, tingnan ang materyal ng artikulo na nagdaragdag ng tatlo o higit pang mga numero). Samakatuwid, 6 2=2 6 .

Narito ang isang larawan na naglalarawan ng commutative property ng pagpaparami ng dalawang natural na numero.

Kaugnay na pag-aari ng pagpaparami ng mga natural na numero.

Ipahayag natin ang nauugnay na pag-aari ng multiplikasyon ng mga natural na numero: i-multiply ang isang binigay na numero sa gawaing ito Ang dalawang numero ay kapareho ng pagpaparami ng ibinigay na numero sa unang kadahilanan, at pagpaparami ng resulta sa pangalawang kadahilanan. I.e, a (b c)=(a b) c, kung saan ang a , b at c ay maaaring maging anumang natural na numero (sa mga bilog na bracket naglalaman ng mga expression na ang mga halaga ay unang sinusuri).

Magbigay tayo ng isang halimbawa upang kumpirmahin ang nauugnay na pag-aari ng pagpaparami ng mga natural na numero. Kalkulahin ang produkto 4·(3·2) . Sa kahulugan ng multiplikasyon, mayroon tayong 3 2=3+3=6 , pagkatapos ay 4 (3 2)=4 6=4+4+4+4+4+4=24 . Ngayon gawin natin ang multiplikasyon (4 3) 2 . Dahil 4 3=4+4+4=12 , kung gayon (4 3) 2=12 2=12+12=24 . Kaya, ang pagkakapantay-pantay na 4·(3·2)=(4·3)·2 ay totoo, na nagpapatunay sa bisa ng itinuturing na ari-arian.

Magpakita tayo ng isang larawan na naglalarawan ng kaakibat na katangian ng pagpaparami ng mga natural na numero.

Sa pagtatapos ng talatang ito, napapansin namin na ang nag-uugnay na pag-aari ng multiplikasyon ay nagbibigay-daan sa amin na natatanging matukoy ang multiplikasyon ng tatlo o higit pang mga natural na numero.

Distributive na ari-arian ng multiplikasyon na may paggalang sa karagdagan.

Ang susunod na pag-aari ay nauugnay sa pagdaragdag at pagpaparami. Ito ay nabuo tulad ng sumusunod: ang pagpaparami ng isang naibigay na kabuuan ng dalawang numero sa isang naibigay na numero ay kapareho ng pagdaragdag ng produkto ng unang termino at binigay na numero kasama ang produkto ng ikalawang termino at ang ibinigay na numero . Ito ang tinatawag na distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan.

Gamit ang mga titik, ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan ay isinusulat bilang (a+b) c=a c+b c(sa expression na a c + b c, ginagawa muna ang multiplikasyon, pagkatapos kung saan isinagawa ang karagdagan, higit pa tungkol dito ang nakasulat sa artikulo), kung saan ang a, b at c ay mga arbitrary na natural na numero. Tandaan na ang lakas ng commutative property ng multiplication, ang distributive property ng multiplication ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo: a (b+c)=a b+a c.

Magbigay tayo ng isang halimbawa na nagpapatunay sa distributive property ng multiplikasyon ng mga natural na numero. Suriin natin ang pagkakapantay-pantay (3+4) 2=3 2+4 2 . Mayroon kaming (3+4) 2=7 2=7+7=14 , at 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , kaya ang pagkakapantay-pantay ( 3+4 ) 2=3 2+4 2 ay tama.

Magpakita tayo ng isang larawan na tumutugma sa distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan.

Ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa subtraction.

Kung susundin natin ang kahulugan ng multiplikasyon, kung gayon ang produkto 0 n, kung saan ang n ay isang di-makatwirang natural na numero na mas malaki kaysa sa isa, ay ang kabuuan ng n termino, na ang bawat isa ay katumbas ng zero. kaya, . Ang mga katangian ng karagdagan ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang huling kabuuan ay zero.

Kaya, para sa anumang natural na bilang n, ang pagkakapantay-pantay na 0 n=0 ay humahawak.

Upang manatiling wasto ang commutative property ng multiplication, tinatanggap din namin ang validity ng equality n·0=0 para sa anumang natural na bilang n.

Kaya, ang produkto ng zero at isang natural na numero ay zero, ibig sabihin 0 n=0 at n 0=0, kung saan ang n ay isang arbitrary na natural na numero. Ang huling pahayag ay isang pagbabalangkas ng multiplication property ng isang natural na numero at zero.

Sa konklusyon, nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa na nauugnay sa pag-aari ng multiplikasyon na tinalakay sa subsection na ito. Ang produkto ng mga numerong 45 at 0 ay zero. Kung i-multiply natin ang 0 sa 45970, magkakaroon din tayo ng zero.

Ngayon ay maaari mong ligtas na magsimulang pag-aralan ang mga patakaran kung saan isinasagawa ang pagpaparami ng mga natural na numero.

Bibliograpiya.

Mathematics. Anumang mga aklat-aralin para sa mga baitang 1, 2, 3, 4 ng mga institusyong pang-edukasyon.
Mathematics. Anumang mga aklat-aralin para sa 5 klase ng mga institusyong pang-edukasyon.

Gumuhit tayo ng isang parihaba na may mga gilid na 5 cm at 3 cm sa isang piraso ng papel sa isang hawla. Hatiin natin ito sa mga parisukat na may gilid na 1 cm ( fig. 143). Bilangin natin ang bilang ng mga cell na matatagpuan sa parihaba. Ito ay maaaring gawin, halimbawa, tulad nito.

Ang bilang ng mga parisukat na may gilid na 1 cm ay 5 * 3. Ang bawat parisukat ay binubuo ng apat na mga cell. Kaya kabuuang bilang ang mga cell ay (5 * 3 ) * 4 .

Ang parehong problema ay maaaring malutas nang iba. Ang bawat isa sa limang hanay ng parihaba ay binubuo ng tatlong parisukat na may gilid na 1 cm, Samakatuwid, ang isang hanay ay naglalaman ng 3 * 4 na mga cell. Samakatuwid, magkakaroon ng 5 * (3 * 4 ) na mga cell sa kabuuan.

Ang bilang ng cell sa Figure 143 ay naglalarawan sa dalawang paraan nag-uugnay na pag-aari ng multiplikasyon para sa mga numero 5, 3 at 4. Mayroon kaming: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Upang i-multiply ang produkto ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang unang numero sa produkto ng pangalawa at pangatlong numero.

(ab)c = a(bc)

Ito ay sumusunod mula sa commutative at associative na katangian ng multiplication na kapag nagpaparami ng ilang numero, ang mga salik ay maaaring palitan at nakapaloob sa mga bracket, sa gayon ay matukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon.

Halimbawa, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo:

abc=cba

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Sa figure 144, hinahati ng segment AB ang rectangle na isinasaalang-alang sa itaas sa isang parihaba at isang parisukat.

Binibilang namin ang bilang ng mga parisukat na may gilid na 1 cm sa dalawang paraan.

Sa isang banda, mayroong 3 * 3 sa kanila sa resultang parisukat, at 3 * 2 sa parihaba. Sa kabuuan ay nakakakuha kami ng 3 * 3 + 3 * 2 na mga parisukat. Sa kabilang banda, sa bawat isa sa tatlong linya ibinigay na parihaba mayroong 3 + 2 parisukat. Tapos sila kabuuan katumbas ng 3 * (3 + 2 ).

Katumbas ng 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 ay naglalarawan distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan.

Upang i-multiply ang isang numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong i-multiply ang numerong ito sa bawat termino at idagdag ang mga resultang produkto.

Sa literal na anyo, ang pag-aari na ito ay nakasulat bilang mga sumusunod:

a(b + c) = ab + ac

Ito ay sumusunod mula sa distributive property ng multiplication na may paggalang sa karagdagan na

ab + ac = a(b + c).

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahintulot sa formula na P = 2 a + 2 b na mahanap ang perimeter ng isang parihaba na isusulat tulad ng sumusunod:

P = 2 (a + b).

Tandaan na ang ari-arian ng pamamahagi ay may bisa para sa tatlo o higit pang mga termino. Halimbawa:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa subtraction ay mayroon din: kung b > c o b = c, kung gayon

a(b − c) = ab − ac

Halimbawa 1 . Kalkulahin maginhawang paraan:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Ginagamit namin ang commutative, at ang eclipse nag-uugnay na ari-arian pagpaparami:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Mayroon kaming:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Halimbawa 2 . Pasimplehin ang expression:

1) 4 a * 3 b;

2 ) 18m − 13m.

1) Gamit ang commutative at associative na katangian ng multiplication, nakukuha natin ang:

4 a * 3 b \u003d (4 * 3) * ab \u003d 12 ab.

2) Gamit ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa pagbabawas, nakukuha natin ang:

18m - 13m = m(18 - 13 ) = m * 5 = 5m.

Halimbawa 3 . Isulat ang expression na 5 (2 m + 7) upang hindi ito maglaman ng mga bracket.

Ayon sa distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan, mayroon tayong:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Ang ganitong pagbabago ay tinatawag pambungad na mga bracket.

Halimbawa 4 . Kalkulahin ang halaga ng expression na 125 * 24 * 283 sa isang maginhawang paraan.

Desisyon. Meron kami:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Halimbawa 5 . Gawin ang multiplikasyon: 3 araw 18 oras * 6.