Die Mathematik wurde geboren, als der Mensch sich seiner selbst bewusst wurde und begann, sich als autonome Einheit der Welt zu positionieren. Der Wunsch zu messen, zu vergleichen, zu berechnen, was einen umgibt, liegt einem zugrunde Grundlagenwissenschaften unsere Tage. Anfangs waren dies Teile der elementaren Mathematik, die es ermöglichten, Zahlen mit ihren physikalischen Ausdrücken zu verknüpfen, später wurden die Schlussfolgerungen (aufgrund ihrer Abstraktheit) nur noch theoretisch präsentiert, aber nach einer Weile, wie ein Wissenschaftler es ausdrückte: " Die Mathematik erreichte die Grenze der Komplexität, als alle Zahlen auftauchten." Das Konzept der "Quadratwurzel" entstand zu einer Zeit, als es leicht durch empirische Daten gestützt werden konnte, die über die Ebene der Berechnungen hinausgingen.

Wie alles begann

Die erste Erwähnung der Wurzel, die auf dieser Moment mit √ bezeichnet, wurde in den Schriften der babylonischen Mathematiker aufgezeichnet, die den Grundstein für die moderne Arithmetik legten. Natürlich sahen sie ein wenig aus wie die heutige Form – die Wissenschaftler jener Jahre verwendeten zuerst sperrige Tabletten. Aber im zweiten Jahrtausend v. e. Sie entwickelten eine ungefähre Berechnungsformel, die zeigte, wie man die Quadratwurzel zieht. Das Foto unten zeigt einen Stein, in den babylonische Wissenschaftler den Ausgabeprozess √2 gemeißelt haben, und es stellte sich als so richtig heraus, dass die Diskrepanz in der Antwort nur in der zehnten Dezimalstelle gefunden wurde.

Außerdem wurde die Wurzel verwendet, wenn es notwendig war, die Seite eines Dreiecks zu finden, vorausgesetzt, die anderen beiden waren bekannt. Nun, beim Lösen quadratischer Gleichungen führt kein Weg daran vorbei, die Wurzel zu ziehen.

Neben den babylonischen Werken wurde das Thema des Artikels auch in der chinesischen Arbeit "Mathematik in neun Büchern" untersucht, und die alten Griechen kamen zu dem Schluss, dass jede Zahl, aus der die Wurzel nicht ohne Rest gezogen wird, ein irrationales Ergebnis ergibt .

Herkunft dieser Begriff verbunden mit der arabischen Darstellung der Zahl: Alte Wissenschaftler glaubten, dass das Quadrat einer beliebigen Zahl wie eine Pflanze aus der Wurzel wächst. Im Lateinischen klingt dieses Wort wie Radix (Sie können ein Muster verfolgen - alles, was eine "Wurzel" hat semantische Belastung, übereinstimmend, ob es sich um Rettich oder Ischias handelt).

Wissenschaftler nachfolgender Generationen griffen diese Idee auf und bezeichneten sie als Rx. Um anzuzeigen, dass die Quadratwurzel aus einer beliebigen Zahl a gezogen wird, schrieben sie beispielsweise im 15. Jahrhundert R 2 a. Gewohnheit moderner Look„Tick“ √ tauchte erst im 17. Jahrhundert dank Rene Descartes auf.

Unsere Tage

Mathematisch gesehen ist die Quadratwurzel von y die Zahl z, deren Quadrat y ist. Mit anderen Worten, z 2 =y ist äquivalent zu √y=z. Jedoch diese Definition nur relevant für arithmetische Wurzel, da es einen nicht negativen Wert des Ausdrucks impliziert. Mit anderen Worten, √y=z, wobei z größer oder gleich 0 ist.

BEIM Allgemeiner Fall, die zur Bestimmung dient algebraische Wurzel, kann der Wert des Ausdrucks entweder positiv oder negativ sein. Aufgrund der Tatsache, dass z 2 =y und (-z) 2 =y, haben wir also: √y=±z oder √y=|z|.

Aufgrund der Tatsache, dass die Liebe zur Mathematik erst mit der Entwicklung der Wissenschaft zugenommen hat, gibt es verschiedene Manifestationen der Verbundenheit mit ihr, die sich nicht in trockenen Berechnungen ausdrücken. Zum Beispiel werden neben so interessanten Ereignissen wie dem Tag von Pi auch die Feiertage der Quadratwurzel gefeiert. Sie werden neun Mal in hundert Jahren gefeiert und nach folgendem Prinzip bestimmt: Die Zahlen, die den Tag und den Monat in der Reihenfolge bezeichnen, müssen die Quadratwurzel des Jahres sein. Das nächste Mal wird dieser Feiertag also am 4. April 2016 gefeiert.

Eigenschaften der Quadratwurzel auf dem Körper R

Fast alles mathematische Ausdrücke haben eine geometrische Grundlage, dieses Schicksal ist nicht passiert und √y, das als die Seite eines Quadrats mit der Fläche y definiert ist.

Wie finde ich die Wurzel einer Zahl?

Es gibt mehrere Berechnungsalgorithmen. Am einfachsten, aber gleichzeitig ziemlich umständlich, ist die übliche arithmetische Berechnung, die wie folgt lautet:

1) Von der Zahl, deren Wurzel wir brauchen, werden nacheinander ungerade Zahlen subtrahiert - bis der Rest der Ausgabe kleiner als die subtrahierte oder gerade ist Null. Die Anzahl der Züge wird schließlich zur gewünschten Anzahl. Zum Beispiel die Berechnung Quadratwurzel von 25:

Folgend ungerade Zahl 11 ist, haben wir folgenden Rest: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Für solche Fälle gibt es eine Taylorreihenentwicklung:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , wobei n Werte von 0 bis annimmt

+∞ und |y|≤1.

Grafische Darstellung der Funktion z=√y

Betrachten Sie eine elementare Funktion z=√y auf dem Körper der reellen Zahlen R, wobei y größer oder gleich Null ist. Ihr Diagramm sieht so aus:

Die Kurve wächst vom Ursprung aus und kreuzt notwendigerweise den Punkt (1; 1).

Eigenschaften der Funktion z=√y auf dem Körper der reellen Zahlen R

1. Der Definitionsbereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus Unendlich (Null ist eingeschlossen).

2. Der Wertebereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus unendlich (Null ist wieder enthalten).

3. Die Funktion nimmt den Minimalwert (0) nur an der Stelle (0; 0) an. Es gibt keinen Maximalwert.

4. Die Funktion z=√y ist weder gerade noch ungerade.

5. Die Funktion z=√y ist nicht periodisch.

6. Es gibt nur einen Schnittpunkt des Graphen der Funktion z=√y mit den Koordinatenachsen: (0; 0).

7. Der Schnittpunkt des Graphen der Funktion z=√y ist auch die Nullstelle dieser Funktion.

8. Die Funktion z=√y wächst ständig.

9. Die Funktion z=√y nimmt nur positive Werte an, daher nimmt ihr Graph den ersten Koordinatenwinkel ein.

Optionen zur Anzeige der Funktion z=√y

In der Mathematik wird zur Erleichterung der Berechnung komplexer Ausdrücke manchmal die Potenzform der Quadratwurzel verwendet: √y=y 1/2. Diese Option ist beispielsweise praktisch, um eine Funktion zu potenzieren: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Diese Methode ist auch eine gute Darstellung für die Differenzierung mit Integration, da dank ihr die Quadratwurzel durch eine gewöhnliche Potenzfunktion dargestellt wird.

Und beim Programmieren ist der Ersatz für das Symbol √ die Buchstabenkombination sqrt.

Es ist erwähnenswert, dass die Quadratwurzel in diesem Bereich sehr gefragt ist, da sie Teil der meisten geometrischen Formeln ist, die für Berechnungen erforderlich sind. Der Zählalgorithmus selbst ist ziemlich kompliziert und basiert auf Rekursion (einer Funktion, die sich selbst aufruft).

Die Quadratwurzel im komplexen Körper C

Im Großen und Ganzen war es das Thema dieses Artikels, das die Entdeckung des Gebiets der komplexen Zahlen C anregte, da Mathematiker von der Frage heimgesucht wurden, eine gerade Gradwurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen. So entstand die imaginäre Einheit i, die sich durch eine sehr interessante Eigenschaft auszeichnet: Ihr Quadrat ist -1. Dank dessen haben quadratische Gleichungen und mit negativer Diskriminante eine Lösung. In C sind für die Quadratwurzel die gleichen Eigenschaften relevant wie in R, nur dass die Beschränkungen für den Wurzelausdruck aufgehoben werden.

Exponentiation bedeutet, dass eine gegebene Zahl eine bestimmte Anzahl von Malen mit sich selbst multipliziert werden muss. Wenn Sie beispielsweise die Zahl 2 in die fünfte Potenz erheben, würde dies folgendermaßen aussehen:

Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert werden muss, wird Basis des Grads genannt, und die Anzahl der Multiplikationen ist sein Exponent. Das Potenzieren entspricht zwei entgegengesetzten Aktionen: dem Finden des Exponenten und dem Finden der Basis.

Wurzelextraktion

Das Bestimmen der Basis eines Exponenten wird als Wurzelziehen bezeichnet. Das bedeutet, dass Sie die Zahl finden müssen, die mit n potenziert werden muss, um die angegebene zu erhalten.

Zum Beispiel ist es notwendig, die 4. Wurzel der Zahl 16 zu ziehen, d.h. Um dies zu bestimmen, müssen Sie 4 mal mit sich selbst multiplizieren, um am Ende 16 zu erhalten. Diese Zahl ist 2.

Eine solche Rechenoperation wird mit einem besonderen Zeichen geschrieben - dem Radikal: √, über dem links der Exponent angegeben ist.

arithmetische Wurzel

Wenn der Exponent eine gerade Zahl ist, dann kann die Wurzel zwei Zahlen mit demselben Modul sein, aber c ist positiv und negativ. Im gegebenen Beispiel können es also die Zahlen 2 und -2 sein.

Der Ausdruck muss eindeutig sein, d.h. ein Ergebnis haben. Dazu wurde das Konzept einer arithmetischen Wurzel eingeführt, die nur eine positive Zahl sein kann. Eine arithmetische Wurzel kann nicht kleiner als Null sein.

Daher ist in dem oben diskutierten Beispiel nur die Zahl 2 die arithmetische Wurzel, und die zweite Antwort - -2 - ist per Definition ausgeschlossen.

Quadratwurzel

Für einige Abschlüsse, die häufiger verwendet werden als andere, gibt es spezielle Namen, die ursprünglich mit der Geometrie in Verbindung gebracht werden. Wir sprechen über die Anhebung auf den zweiten und dritten Grad.

Zur zweiten Potenz die Länge der Seite des Quadrats, wenn Sie seine Fläche berechnen müssen. Wenn Sie das Volumen eines Würfels finden müssen, wird die Länge seiner Kante in die dritte Potenz erhoben. Daher wird es das Quadrat der Zahl genannt, und das dritte heißt Würfel.

Dementsprechend heißt die Wurzel zweiten Grades quadratisch und die Wurzel dritten Grades kubisch. Die Quadratwurzel ist die einzige der Wurzeln, die keinen Exponenten über dem Radikal hat, wenn sie geschrieben wird:

Die arithmetische Quadratwurzel einer gegebenen Zahl ist also eine positive Zahl, die in die zweite Potenz erhoben werden muss, um die gegebene Zahl zu erhalten.

Die Fläche eines quadratischen Grundstücks beträgt 81 dm². Finde seine Seite. Angenommen, die Länge der Seite des Quadrats ist X Dezimeter. Dann ist die Fläche des Grundstücks X² Quadratdezimeter. Denn laut Bedingung beträgt diese Fläche dann 81 dm² X² = 81. Die Seitenlänge eines Quadrats ist eine positive Zahl. Eine positive Zahl, deren Quadrat 81 ist, ist die Zahl 9. Bei der Lösung des Problems musste die Zahl x gefunden werden, deren Quadrat 81 ist, d.h. die Gleichung lösen X² = 81. Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: x 1 = 9 und x 2 \u003d - 9, da 9² \u003d 81 und (- 9)² \u003d 81. Beide Zahlen 9 und - 9 werden als Quadratwurzeln der Zahl 81 bezeichnet.

Beachten Sie, dass einer von Quadratwurzeln X= 9 ist eine positive Zahl. Sie wird als arithmetische Quadratwurzel von 81 bezeichnet und mit √81 bezeichnet, also √81 = 9.

Arithmetische Quadratwurzel einer Zahl a ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist a.

Beispielsweise sind die Zahlen 6 und -6 die Quadratwurzeln von 36. Die Zahl 6 ist die arithmetische Quadratwurzel von 36, da 6 eine nicht negative Zahl und 6² = 36 ist. Die Zahl -6 ist keine arithmetische Wurzel.

Arithmetische Quadratwurzel einer Zahl a wie folgt bezeichnet: √ a.

Das Zeichen wird das arithmetische Quadratwurzelzeichen genannt; a wird als Wurzelausdruck bezeichnet. Ausdruck √ a lesen so: die arithmetische Quadratwurzel einer Zahl a. Beispiel: √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. In Fällen, in denen klar ist, dass es sich um eine arithmetische Wurzel handelt, heißt es kurz: „die Quadratwurzel von a«.

Das Ziehen der Quadratwurzel einer Zahl wird als Quadratwurzelziehen bezeichnet. Diese Aktion ist die Umkehrung des Quadrierens.

Jede Zahl kann quadriert werden, aber man kann aus keiner Zahl Quadratwurzeln ziehen. Zum Beispiel ist es unmöglich, die Quadratwurzel der Zahl - 4 zu ziehen. Wenn eine solche Wurzel existierte, dann bezeichnen Sie sie mit dem Buchstaben X, würden wir die falsche Gleichheit x² \u003d - 4 erhalten, da links eine nicht negative Zahl und rechts eine negative Zahl steht.

Ausdruck √ a macht nur Sinn wann ein ≥ 0. Die Definition der Quadratwurzel kann kurz geschrieben werden als: √ ein ≥ 0, (√a)² = a. Gleichheit (√ a)² = a Gültig für ein ≥ 0. So stellen Sie sicher, dass die Quadratwurzel eine nicht negative Zahl ist a gleich b, d.h. dass √ a =b, müssen Sie überprüfen, ob die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: b ≥ 0, b² = a.

Die Quadratwurzel eines Bruchs

Lass uns rechnen. Beachten Sie, dass √25 = 5, √36 = 6, und überprüfen Sie, ob die Gleichheit gilt.

Als und , dann ist die Gleichheit wahr. So, .

Satz: Wenn ein a≥ 0 und b> 0, also die Wurzel des Bruchs gleich der Wurzel aus dem Zähler dividiert durch die Wurzel des Nenners. Es muss nachgewiesen werden, dass: und .

Seit √ a≥0 und √ b> 0, dann .

Durch die Eigenschaft, einen Bruch zu potenzieren und die Quadratwurzel zu bestimmen der Satz ist bewiesen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Berechnen Sie nach dem bewiesenen Satz .

Zweites Beispiel: Beweisen Sie das , Wenn a ≤ 0, b < 0. .

Ein weiteres Beispiel: Berechnen .

.

Quadratwurzeltransformation

Nehmen Sie den Multiplikator unter dem Zeichen der Wurzel heraus. Lassen Sie sich einen Ausdruck geben. Wenn ein a≥ 0 und b≥ 0, dann können wir nach dem Satz über die Wurzel des Produkts schreiben:

Eine solche Transformation wird als Ausklammern des Wurzelzeichens bezeichnet. Betrachten Sie ein Beispiel;

Berechnen Sie bei X= 2. Direkter Ersatz X= 2 Zoll radikaler Ausdruck führt zu komplexen Berechnungen. Diese Berechnungen können vereinfacht werden, wenn wir zuerst die Faktoren unter dem Wurzelzeichen entfernen: . Wenn wir nun x = 2 einsetzen, erhalten wir:.

Wenn Sie also den Faktor unter dem Wurzelzeichen herausnehmen, stellen sie den Wurzelausdruck in Form eines Produkts dar, in dem ein oder mehrere Faktoren Quadrate sind nicht negative Zahlen. Dann wird der Wurzelproduktsatz angewendet und die Wurzel jedes Faktors gezogen. Betrachten Sie ein Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck A = √8 + √18 - 4√2, indem Sie die Faktoren unter dem Wurzelzeichen in den ersten beiden Termen herausnehmen, wir erhalten:. Wir betonen, dass die Gleichberechtigung gültig nur wann a≥ 0 und b≥ 0. wenn a < 0, то .

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Schüler fragen immer: „Warum darf ich bei einer Mathe-Klausur keinen Taschenrechner benutzen? Wie zieht man die Quadratwurzel einer Zahl ohne Taschenrechner? Versuchen wir, diese Frage zu beantworten.

Wie zieht man die Quadratwurzel einer Zahl ohne die Hilfe eines Taschenrechners?

Handlung Quadratwurzel ziehen das Gegenteil von quadrieren.

√81= 9 9 2 =81

Wenn von positive Zahl Ziehen Sie die Quadratwurzel und quadrieren Sie das Ergebnis, wir erhalten die gleiche Zahl.

Von kleinen Zahlen, die perfekte Quadrate sind natürliche Zahlen, zum Beispiel 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 Quadratwurzeln können verbal gezogen werden. Normalerweise lehren sie in der Schule eine Tabelle mit Quadraten natürlicher Zahlen bis zwanzig. Wenn Sie diese Tabelle kennen, ist es einfach, die Quadratwurzeln aus den Zahlen 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 zu ziehen. Ab Zahlen größer als 400 können Sie mithilfe der Auswahlmethode mithilfe einiger Tipps extrahieren. Versuchen wir ein Beispiel, um diese Methode zu betrachten.

Beispiel: Extrahiere die Wurzel der Zahl 676.

Wir bemerken, dass 20 2 \u003d 400 und 30 2 \u003d 900, was 20 bedeutet< √676 < 900.

Exakte Quadratzahlen natürlicher Zahlen enden auf 0; ein; 4; 5; 6; neun.
Die Zahl 6 ergibt sich aus 4 2 und 6 2 .
Wenn also die Wurzel aus 676 gezogen wird, dann ist es entweder 24 oder 26.

Es bleibt zu prüfen: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Antworten: √676 = 26 .

Noch Beispiel: √6889 .

Seit 80 2 \u003d 6400 und 90 2 \u003d 8100, dann 80< √6889 < 90.
Die Zahl 9 ergibt sich aus 3 2 und 7 2, dann ist √6889 entweder 83 oder 87.

Prüfen: 83 2 = 6889.

Antworten: √6889 = 83 .

Wenn Sie es schwierig finden, es mit der Auswahlmethode zu lösen, können Sie den Wurzelausdruck faktorisieren.

Zum Beispiel, finde √893025.

Lassen Sie uns die Zahl 893025 faktorisieren, denken Sie daran, Sie haben es in der sechsten Klasse gemacht.

Wir erhalten: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Noch Beispiel: √20736. Zerlegen wir die Zahl 20736:

Wir erhalten √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Factoring erfordert natürlich Kenntnisse über Teilbarkeitskriterien und Factoring-Fähigkeiten.

Und schließlich gibt es Quadratwurzelregel. Sehen wir uns diese Regel anhand eines Beispiels an.

Berechnen Sie √279841.

Um die Wurzel einer mehrstelligen Ganzzahl zu ziehen, teilen wir sie von rechts nach links in Seiten mit jeweils 2 Ziffern auf (es kann eine Ziffer in der äußersten linken Seite geben). Schreiben Sie so 27'98'41

Um die erste Ziffer der Wurzel (5) zu erhalten, extrahieren wir die Quadratwurzel des größten exakten Quadrats, das in der ersten linken Seite (27) enthalten ist.
Dann wird das Quadrat der ersten Ziffer der Wurzel (25) von der ersten Fläche subtrahiert und die nächste Fläche (98) wird der Differenz zugeschrieben (abgerissen).
Links von der erhaltenen Zahl 298 schreiben sie die Doppelziffer der Wurzel (10), dividieren durch sie die Zahl aller Zehner der zuvor erhaltenen Zahl (29/2 ≈ 2), erleben den Quotienten (102 ∙ 2 = 204 sollte nicht mehr als 298 sein) und schreiben Sie (2) nach der ersten Ziffer der Wurzel.
Dann wird der resultierende Quotient 204 von 298 subtrahiert, und die nächste Facette (41) wird der Differenz (94) zugeschrieben (abgerissen).
Links von der resultierenden Zahl 9441 schreiben sie das doppelte Produkt der Ziffern der Wurzel (52 ∙ 2 = 104), dividieren durch dieses Produkt die Anzahl aller Zehner der Zahl 9441 (944/104 ≈ 9), Erfahrung der Quotient (1049 ∙ 9 = 9441) sollte 9441 sein und notieren Sie ihn (9) nach der zweiten Ziffer der Wurzel.

Wir haben die Antwort √279841 = 529 erhalten.

Ebenso extrahieren Wurzeln von Dezimalzahlen. Nur die Radikalzahl muss in Flächen unterteilt werden, sodass das Komma zwischen den Flächen steht.

Beispiel. Suchen Sie den Wert √0,00956484.

Das musst du dir nur merken, wenn Dezimal eine ungerade Anzahl von Nachkommastellen hat, wird nicht exakt die Quadratwurzel gezogen.

So, jetzt haben Sie drei Möglichkeiten gesehen, die Wurzel zu extrahieren. Wählen Sie diejenige, die am besten zu Ihnen passt, und üben Sie. Um zu lernen, wie man Probleme löst, muss man sie lösen. Und wenn Sie Fragen haben, melden Sie sich für meinen Unterricht an.

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