टिप्पणी. पदार्थइसमें प्रमेय और इसके प्रमाण के साथ-साथ व्यावहारिक उदाहरणों पर उत्तल बहुभुज के कोणों के योग पर प्रमेय के अनुप्रयोग को दर्शाने वाली कई समस्याएं शामिल हैं।.

उत्तल बहुभुज कोण योग प्रमेय

.

प्रमाण.

उत्तल बहुभुज के कोणों के योग पर प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, हम पहले से ही सिद्ध प्रमेय का उपयोग करते हैं कि त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

मान लीजिए A 1 A 2... A n दिया गया है उत्तल बहुभुज, और n > 3. शीर्ष A से बहुभुज के सभी विकर्ण खींचिए 1. वे इसे n - 2 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं: A 1 A 2 A 3, A 1 A 3 A 4, ..., Δ A 1 ए एन - 1 ए एन। बहुभुज के कोणों का योग इन सभी त्रिभुजों के कोणों के योग के बराबर होता है। प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है तथा त्रिभुजों की संख्या (n-2) होती है। इसलिए, उत्तल n-gon A 1 A 2... A n के कोणों का योग 180° (n - 2) होता है।

काम।

एक उत्तल बहुभुज में तीन कोण 80 डिग्री और शेष 150 डिग्री होते हैं। उत्तल बहुभुज में कितने कोने होते हैं?

फेसला।

प्रमेय कहता है: उत्तल n-gon के लिए, कोणों का योग 180°(n-2) होता है .

तो हमारे मामले के लिए:

180(n-2)=3*80+x*150, जहां

समस्या की स्थिति के अनुसार हमें 80 डिग्री के 3 कोण दिए गए हैं, और अन्य कोणों की संख्या अभी भी हमारे लिए अज्ञात है, इसलिए हम उनकी संख्या को x के रूप में दर्शाते हैं।

हालाँकि, बाईं ओर की प्रविष्टि से, हमने बहुभुज के कोनों की संख्या n के रूप में निर्धारित की, क्योंकि हम समस्या की स्थिति से उनमें से तीन के मूल्यों को जानते हैं, यह स्पष्ट है कि x = n-3।

तो समीकरण इस तरह दिखेगा:

180(n-2)=240+150(n-3)

हम परिणामी समीकरण को हल करते हैं

180एन - 360 = 240 + 150एन - 450

180एन - 150एन = 240 + 360 - 450

जवाब: 5 चोटियाँ

काम।

एक बहुभुज के कितने शीर्ष हो सकते हैं यदि प्रत्येक कोण 120 डिग्री से कम हो?

फेसला।

इस समस्या को हल करने के लिए, हम उत्तल बहुभुज के कोणों के योग पर प्रमेय का उपयोग करते हैं।

प्रमेय कहता है: उत्तल n-gon के लिए, सभी कोणों का योग 180°(n-2) होता है .

इसलिए, हमारे मामले के लिए, पहले समस्या की सीमा स्थितियों का अनुमान लगाना आवश्यक है। अर्थात्, यह मान लीजिए कि प्रत्येक कोण 120 डिग्री के बराबर है। हम पाते हैं:

180एन - 360 = 120एन

180n - 120n = 360 (हम नीचे इस व्यंजक पर अलग से विचार करेंगे)

प्राप्त समीकरण के आधार पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं: जब कोण 120 डिग्री से कम होते हैं, तो बहुभुज के कोनों की संख्या छह से कम होती है।

व्याख्या:

व्यंजक 180n - 120n = 360 के आधार पर, बशर्ते कि घटाई गई दाहिनी ओर 120n से कम हो, अंतर 60n से अधिक होना चाहिए। इस प्रकार, भाग का भागफल हमेशा छह से कम होगा।

जवाब:बहुभुज के शीर्षों की संख्या छह से कम होगी।

काम

एक बहुभुज में 113 डिग्री के तीन कोण होते हैं, और शेष एक दूसरे के बराबर होते हैं और उनके डिग्री उपायएक पूर्णांक है। बहुभुज के शीर्षों की संख्या ज्ञात कीजिए।

फेसला।

इस समस्या को हल करने के लिए, हम एक उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों के योग पर प्रमेय का उपयोग करते हैं।

प्रमेय कहता है: उत्तल एन-गॉन के लिए, सभी बाहरी कोणों का योग 360° . होता है .

इस प्रकार,

3*(180-113)+(n-3)x=360

अभिव्यक्ति का दाहिना भाग बाहरी कोणों का योग है, बाईं ओर तीन कोणों का योग स्थिति से जाना जाता है, और बाकी की डिग्री माप (उनकी संख्या, क्रमशः, n-3, क्योंकि तीन कोण हैं ज्ञात) को x के रूप में दर्शाया गया है।

159 केवल दो गुणनखंड 53 और 3 में विघटित होता है, और 53 एक अभाज्य संख्या है। अर्थात्, कारकों के अन्य जोड़े नहीं हैं।

अत: n-3 = 3, n=6, अर्थात् बहुभुज के कोनों की संख्या छह है।

जवाब: छह कोने

काम

सिद्ध कीजिए कि एक उत्तल बहुभुज में अधिकतम तीन . हो सकते हैं धारदार कोना.

फेसला

जैसा कि आप जानते हैं, उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग 360 0 होता है। आइए हम विरोधाभास से साबित करें। यदि उत्तल बहुभुज में कम से कम चार न्यूनकोण हों आंतरिक कोने, इसलिए, इसके बाहरी कोणों में कम से कम चार अधिक कोण हैं, जिसका अर्थ है कि बहुभुज के सभी बाहरी कोणों का योग 4*90 0 = 360 0 से अधिक है। हमारे पास एक विरोधाभास है। अभिकथन सिद्ध हो चुका है।

एन-गॉन प्रमेय के कोणों का योग। उत्तल n-gon के कोणों का योग 180 o (n-2) होता है। प्रमाण। उत्तल n-gon के किसी शीर्ष से हम उसके सभी विकर्ण खींचते हैं। तब n-gon n-2 त्रिभुजों में टूट जाएगा। प्रत्येक त्रिभुज में, कोणों का योग 180 o होता है, और ये कोण n-gon के कोण बनाते हैं। इसलिए, एक n-gon के कोणों का योग 180 o (n-2) होता है।

प्रमाण प्रमेय की दूसरी विधि। उत्तल n-gon के कोणों का योग 180 o (n-2) होता है। उपपत्ति 2. मान लीजिए O कुछ है भीतरी बिंदुउत्तल एन-गॉन ए 1 ... ए एन। इसे इस बहुभुज के शीर्षों से जोड़िए। फिर n-gon को n त्रिभुजों में विभाजित किया जाएगा। प्रत्येक त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है। ये कोण n-gon और अन्य 360 o के कोण बनाते हैं। इसलिए, एक n-gon के कोणों का योग 180 o (n-2) होता है।

अभ्यास 3 सिद्ध कीजिए कि उत्तल n-gon के बाह्य कोणों का योग 360° होता है। प्रमाण। एक उत्तल बहुभुज का बाह्य कोण संबंधित आंतरिक कोण से 180° घटा है। इसलिए, एक उत्तल n-gon के बहिष्कोणों का योग 180 o n घटा आंतरिक कोणों का योग होता है। चूँकि एक उत्तल n-gon के आंतरिक कोणों का योग 180 o (n-2) है, तो बाह्य कोणों का योग 180 o n o (n-2) = 360 o होगा।

अभ्यास 4 एक नियमित के कोण क्या हैं: क) त्रिभुज; बी) चतुर्भुज; ग) एक पंचकोण; घ) षट्भुज; ई) एक अष्टकोना; ई) दशमलव; जी) एक डोडेकागन? उत्तर: ए) 60 ओ; बी) 90 ओ; सी) 108 ओ; डी) 120 ओ; ई) 135 ओ; एफ) 144 ओ; जी) 150 ओ।

व्यायाम 12* क्या सबसे बड़ी संख्याक्या उत्तल n-gon में नुकीले कोने हो सकते हैं? फेसला। चूँकि उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग 360° होता है, तो उत्तल बहुभुज में तीन से अधिक नहीं हो सकते। मोटे कोनेइसलिए, इसमें तीन से अधिक आंतरिक न्यून कोण नहीं हो सकते। जवाब। 3.

ये ज्यामितीय आकृतियाँ हमें हर जगह घेर लेती हैं। उत्तल बहुभुज प्राकृतिक होते हैं, जैसे मधुकोश, या कृत्रिम (मानव निर्मित)। इन आंकड़ों का उपयोग उत्पादन में किया जाता है विभिन्न प्रकारकोटिंग्स, पेंटिंग, वास्तुकला, सजावट, आदि में। उत्तल बहुभुजों में यह गुण होता है कि उनके सभी बिंदु एक रेखा के एक ही तरफ होते हैं जो इस रेखा के आसन्न शीर्षों के एक जोड़े से होकर गुजरती है। ज्यामितीय आकृति. अन्य परिभाषाएँ भी हैं। एक बहुभुज को उत्तल कहा जाता है यदि यह किसी एक सीधी रेखा के संबंध में एक एकल अर्ध-तल में स्थित होता है जिसमें इसकी एक भुजा होती है।

प्राथमिक ज्यामिति के दौरान, केवल साधारण बहुभुजों को ही हमेशा माना जाता है। ऐसे सभी गुणों को समझने के लिए उनके स्वभाव को समझना आवश्यक है। आरंभ करने के लिए, यह समझा जाना चाहिए कि किसी भी रेखा को बंद कहा जाता है, जिसके सिरे मेल खाते हैं। इसके अलावा, इसके द्वारा बनाई गई आकृति में कई प्रकार के विन्यास हो सकते हैं। बहुभुज एक साधारण बंद टूटी हुई रेखा है, जिसमें पड़ोसी लिंक एक ही सीधी रेखा पर स्थित नहीं होते हैं। इसके लिंक और कोने, क्रमशः, इस ज्यामितीय आकृति की भुजाएँ और शीर्ष हैं। एक साधारण पॉलीलाइन में स्व-चौराहे नहीं होना चाहिए।

एक बहुभुज के कोने आसन्न कहलाते हैं यदि वे इसके किसी एक पक्ष के सिरों का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक ज्यामितीय आकृति जिसमें नौवां नंबरशिखर, और इसलिए नौवां मात्रापक्षों को एन-गॉन कहा जाता है। टूटी हुई रेखा को ही इस ज्यामितीय आकृति की सीमा या समोच्च कहा जाता है। बहुभुज तल या समतल बहुभुज इससे घिरे किसी तल का अंतिम भाग कहलाता है। इस ज्यामितीय आकृति के आसन्न पक्षों को एक शीर्ष से निकलने वाली टूटी हुई रेखा के खंड कहा जाता है। यदि वे बहुभुज के विभिन्न शीर्षों से आते हैं तो वे आसन्न नहीं होंगे।

उत्तल बहुभुज की अन्य परिभाषाएँ

प्राथमिक ज्यामिति में, कई और समान परिभाषाएँ हैं जो दर्शाती हैं कि किस बहुभुज को उत्तल कहा जाता है। इसके अलावा, ये सभी भाव एक ही डिग्रीसच हैं। उत्तल बहुभुज वह होता है जिसमें:

प्रत्येक रेखा खंड जो अपने भीतर किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ता है, पूरी तरह से उसके भीतर स्थित है;

इसके सभी विकर्ण इसके अंदर हैं;

कोई भी आंतरिक कोण 180° से अधिक नहीं होता है।

एक बहुभुज हमेशा एक समतल को 2 भागों में विभाजित करता है। उनमें से एक सीमित है (इसे एक सर्कल में संलग्न किया जा सकता है), और दूसरा असीमित है। पहले को आंतरिक क्षेत्र कहा जाता है, और दूसरा इस ज्यामितीय आकृति का बाहरी क्षेत्र है। यह बहुभुज कई अर्ध-तलों का एक प्रतिच्छेदन (दूसरे शब्दों में, एक सामान्य घटक) है। इसके अलावा, प्रत्येक खंड जो बहुभुज से संबंधित बिंदुओं पर समाप्त होता है, वह पूरी तरह से उसी का होता है।

उत्तल बहुभुजों की किस्में

उत्तल बहुभुज की परिभाषा यह नहीं दर्शाती है कि ये कई प्रकार के होते हैं। और उनमें से प्रत्येक के कुछ मानदंड हैं। अतः उत्तल बहुभुज जिनका आंतरिक कोण 180° होता है, दुर्बल उत्तल कहलाते हैं। एक उत्तल ज्यामितीय आकृति जिसमें तीन शीर्ष होते हैं, त्रिभुज कहलाती है, चार - एक चतुर्भुज, पाँच - एक पंचभुज, आदि। प्रत्येक उत्तल n-gons निम्नलिखित से मेल खाता है आवश्यक आवश्यकता: n 3 के बराबर या उससे बड़ा होना चाहिए। प्रत्येक त्रिभुज उत्तल है। ज्यामितीय आकृति इस प्रकार के, जिसमें सभी शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं, वृत्त में अंकित कहलाते हैं। एक उत्तल बहुभुज परिवृत्ता कहा जाता है यदि वृत्त के पास की सभी भुजाएँ उसे स्पर्श करती हैं। दो बहुभुजों को तभी बराबर कहा जाता है जब उन्हें अध्यारोपण द्वारा अध्यारोपित किया जा सके। समतल बहुभुजएक बहुभुज तल (तल का हिस्सा) कहा जाता है, जो इस ज्यामितीय आकृति द्वारा सीमित है।

नियमित उत्तल बहुभुज

नियमित बहुभुज ज्यामितीय आकार के होते हैं समान कोणऔर पार्टियां। उनके अंदर एक बिंदु 0 है, जो इसके प्रत्येक कोने से समान दूरी पर है। इसे इस ज्यामितीय आकृति का केंद्र कहा जाता है। केंद्र को इस ज्यामितीय आकृति के शीर्षों से जोड़ने वाले खंड एपोथेम्स कहलाते हैं, और जो बिंदु 0 को भुजाओं से जोड़ते हैं, त्रिज्या कहलाते हैं।

एक नियमित चतुर्भुज एक वर्ग है। सही त्रिकोणसमबाहु कहा जाता है। ऐसी आकृतियों के लिए, निम्नलिखित नियम है: उत्तल बहुभुज का प्रत्येक कोण 180° * (n-2)/n होता है,

जहाँ n इस उत्तल ज्यामितीय आकृति के शीर्षों की संख्या है।

किसी का क्षेत्रफल नियमित बहुभुजसूत्र द्वारा निर्धारित:

जहाँ p दिए गए बहुभुज की सभी भुजाओं के योग के आधे के बराबर है, और h एपोटेम की लंबाई के बराबर है।

उत्तल बहुभुजों के गुण

उत्तल बहुभुजों में कुछ गुण होते हैं। तो, ऐसी ज्यामितीय आकृति के किन्हीं 2 बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड आवश्यक रूप से उसमें स्थित होता है। प्रमाण:

मान लीजिए P एक दिया गया उत्तल बहुभुज है। हम 2 . लेते हैं मनमाना अंक, उदाहरण के लिए, A, B, जो R से संबंधित हैं। By मौजूदा परिभाषाएक उत्तल बहुभुज के, ये बिंदु रेखा के एक तरफ स्थित होते हैं, जिसमें कोई भी पक्ष P होता है। इसलिए, AB में भी यह गुण होता है और P में समाहित होता है। एक उत्तल बहुभुज को हमेशा सभी विकर्णों द्वारा कई त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। इसके एक कोने से खींचा गया।

उत्तल ज्यामितीय आकृतियों के कोण

उत्तल बहुभुज के कोने वे कोने होते हैं जो इसकी भुजाओं से बनते हैं। आंतरिक कोनों में हैं आंतरिक क्षेत्रयह ज्यामितीय आकृति। इसकी भुजाओं से बनने वाला कोण जो एक शीर्ष पर अभिसरित होता है, उत्तल बहुभुज का कोण कहलाता है। किसी दी गई ज्यामितीय आकृति के आंतरिक कोणों को बाह्य कोण कहते हैं। इसके अंदर स्थित उत्तल बहुभुज का प्रत्येक कोना बराबर होता है:

जहाँ x बाह्य कोण का मान है। यह सरल सूत्रइस प्रकार के किसी भी ज्यामितीय आकार पर लागू होता है।

पर सामान्य मामला, बाहरी कोनों के लिए मौजूद है निम्नलिखित नियम: एक उत्तल बहुभुज का प्रत्येक कोण 180° के अंतर और आंतरिक कोण के मान के बराबर होता है। इसका मान -180° से 180° तक हो सकता है। अत: जब आंतरिक कोण 120° है, तो बाहरी कोण 60° होगा।

उत्तल बहुभुजों के कोणों का योग

उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

जहाँ n, n-gon के शीर्षों की संख्या है।

उत्तल बहुभुज के कोणों का योग गणना करना काफी आसान है। ऐसी किसी भी ज्यामितीय आकृति पर विचार कीजिए। उत्तल बहुभुज के अंदर कोणों का योग निर्धारित करने के लिए, इसके एक शीर्ष को अन्य शीर्षों से जोड़ा जाना चाहिए। इस क्रिया के परिणामस्वरूप, (n-2) त्रिभुज प्राप्त होते हैं। हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180° होता है। चूँकि किसी भी बहुभुज में उनकी संख्या (n-2) होती है, ऐसी आकृति के अंतः कोणों का योग 180° x (n-2) होता है।

एक उत्तल बहुभुज के कोणों का योग, अर्थात् किन्हीं दो आंतरिक और आसन्न बाहरी कोणों, किसी दिए गए उत्तल ज्यामितीय आकृति के लिए हमेशा 180° होगा। इसके आधार पर, आप इसके सभी कोणों का योग निर्धारित कर सकते हैं:

आंतरिक कोणों का योग 180°* (n-2) होता है। इसके आधार पर, किसी दी गई आकृति के सभी बाह्य कोणों का योग सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

180° * n-180°-(n-2)= 360°।

किसी भी उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होगा (चाहे भुजाओं की संख्या कुछ भी हो)।

उत्तल बहुभुज के बाह्य कोण को सामान्यतः 180° और आंतरिक कोण के बीच के अंतर द्वारा दर्शाया जाता है।

उत्तल बहुभुज के अन्य गुण

इन ज्यामितीय आकृतियों के मूल गुणों के अलावा, उनके पास अन्य हैं जो उनमें हेरफेर करते समय उत्पन्न होते हैं। तो, किसी भी बहुभुज को कई उत्तल n-gons में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, इसके प्रत्येक पक्ष को जारी रखना और इन सीधी रेखाओं के साथ इस ज्यामितीय आकृति को काटना आवश्यक है। किसी भी बहुभुज को कई उत्तल भागों में इस प्रकार विभाजित करना भी संभव है कि प्रत्येक टुकड़े के शीर्ष उसके सभी शीर्षों के साथ मेल खाते हों। ऐसी ज्यामितीय आकृति से, एक शीर्ष से सभी विकर्णों को खींचकर बहुत ही सरलता से त्रिभुज बनाए जा सकते हैं। इस प्रकार, किसी भी बहुभुज को अंततः एक निश्चित संख्या में त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, जो हल करने में बहुत उपयोगी साबित होता है विभिन्न कार्यइस तरह के ज्यामितीय आकार के साथ जुड़ा हुआ है।

उत्तल बहुभुज का परिमाप

एक टूटी हुई रेखा के खंड, जिन्हें बहुभुज की भुजाएँ कहा जाता है, को अक्सर निम्नलिखित अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है: ab, bc, cd, de, ea। ये एक ज्यामितीय आकृति की भुजाएँ हैं जिनके शीर्ष a, b, c, d, e हैं। इस उत्तल बहुभुज की सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग इसका परिमाप कहलाता है।

बहुभुज वृत्त

उत्तल बहुभुजों को अंकित और परिबद्ध किया जा सकता है। एक वृत्त जो इस ज्यामितीय आकृति के सभी पक्षों को स्पर्श करता है, इसमें उत्कीर्ण कहलाता है। ऐसे बहुभुज को परिबद्ध कहा जाता है। एक वृत्त का केंद्र जो एक बहुभुज में खुदा हुआ है, किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति के सभी कोणों के द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु है। ऐसे बहुभुज का क्षेत्रफल है:

जहाँ r खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या है और p दिए गए बहुभुज का अर्ध-परिधि है।

किसी बहुभुज के शीर्षों वाले वृत्त को उसके चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है। इसके अलावा, इस उत्तल ज्यामितीय आकृति को खुदा हुआ कहा जाता है। वृत्त का केंद्र, जो ऐसे बहुभुज के चारों ओर परिबद्ध है, सभी पक्षों के तथाकथित लंबवत समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

उत्तल ज्यामितीय आकृतियों के विकर्ण

उत्तल बहुभुज के विकर्ण रेखाखंड होते हैं जो जुड़ते हैं पड़ोसी कोने. उनमें से प्रत्येक इस ज्यामितीय आकृति के अंदर स्थित है। ऐसे एन-गॉन के विकर्णों की संख्या सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

एन = एन (एन - 3) / 2।

उत्तल बहुभुज के विकर्णों की संख्या है महत्वपूर्ण भूमिकाप्राथमिक ज्यामिति में। त्रिभुजों की संख्या (K) जिसमें प्रत्येक उत्तल बहुभुज को विभाजित किया जा सकता है, की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

उत्तल बहुभुज के विकर्णों की संख्या हमेशा उसके शीर्षों की संख्या पर निर्भर करती है।

उत्तल बहुभुज को विभाजित करना

कुछ मामलों में, हल करने के लिए ज्यामितीय समस्याएंएक उत्तल बहुभुज को अप्रतिच्छेदी विकर्णों वाले कई त्रिभुजों में विभाजित करना आवश्यक है। एक विशिष्ट सूत्र प्राप्त करके इस समस्या को हल किया जा सकता है।

समस्या की परिभाषा: आइए एक उत्तल एन-गॉन के एक सही विभाजन को विकर्णों द्वारा कई त्रिभुजों में कहते हैं जो केवल इस ज्यामितीय आकृति के शीर्षों पर प्रतिच्छेद करते हैं।

हल: मान लीजिए कि Р1, Р2, Р3 …, Pn इस n-gon के शीर्ष हैं। संख्या Xn इसके विभाजनों की संख्या है। आइए हम ज्यामितीय आकृति Pi Pn के परिणामी विकर्ण पर ध्यानपूर्वक विचार करें। किसी भी नियमित विभाजन में P1 Pn एक निश्चित त्रिभुज P1 Pi Pn से संबंधित है, जिसमें 1 . है

मान लीजिए कि i = 2 नियमित विभाजन का एक समूह है जिसमें हमेशा विकर्ण 2 Pn होता है। इसमें शामिल विभाजनों की संख्या (n-1)-gon Р2 Р3 Р4… Pn के विभाजनों की संख्या के साथ मेल खाती है। दूसरे शब्दों में, यह Xn-1 के बराबर है।

यदि i = 3 है, तो विभाजन के इस अन्य समूह में हमेशा विकर्ण P3 P1 और P3 Pn होंगे। इस स्थिति में, इस समूह में निहित नियमित विभाजनों की संख्या (n-2)-gon 3 Р4… Pn के विभाजनों की संख्या के साथ मेल खाएगी। दूसरे शब्दों में, यह Xn-2 के बराबर होगा।

मान लीजिए कि i = 4 है, तो त्रिभुजों के बीच एक नियमित विभाजन में निश्चित रूप से एक त्रिभुज P1 P4 Pn होगा, जिसमें चतुर्भुज P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 ... Pn संलग्न होगा। ऐसे चतुर्भुज के नियमित विभाजनों की संख्या X4 है, और एक (n-3)-गॉन के विभाजनों की संख्या Xn-3 है। पूर्वगामी के आधार पर, हम कह सकते हैं कि इस समूह में निहित सही विभाजनों की कुल संख्या Xn-3 X4 है। अन्य समूह जिनके लिए i = 4, 5, 6, 7… में Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … नियमित विभाजन होंगे।

मान लीजिए कि i = n-2 है, तो इस समूह में सही विभाजनों की संख्या वही होगी जो उस समूह में विभाजनों की संख्या है जहाँ i=2 (दूसरे शब्दों में, Xn-1 के बराबर है)।

चूँकि X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, तो उत्तल बहुभुज के सभी विभाजनों की संख्या बराबर होती है:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1।

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

अंदर एक विकर्ण को प्रतिच्छेद करने वाले नियमित विभाजनों की संख्या

विशेष मामलों की जाँच करते समय, कोई इस धारणा पर आ सकता है कि उत्तल n-gons के विकर्णों की संख्या (n-3) द्वारा इस आकृति के सभी विभाजनों के गुणनफल के बराबर है।

इस धारणा का प्रमाण: कल्पना कीजिए कि P1n = Xn * (n-3), तो किसी भी n-gon को (n-2)-त्रिकोणों में विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, एक (n-3)-चतुर्भुज की रचना की जा सकती है। इसके साथ ही प्रत्येक चतुर्भुज का एक विकर्ण होगा। चूँकि इस उत्तल ज्यामितीय आकृति में दो विकर्ण खींचे जा सकते हैं, इसका अर्थ है कि किसी भी (n-3)-चतुर्भुज में अतिरिक्त विकर्ण (n-3) खींचना संभव है। इसके आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी भी नियमित विभाजन में (n-3)-विकर्ण खींचना संभव है जो इस समस्या की शर्तों को पूरा करते हैं।

उत्तल बहुभुजों का क्षेत्रफल

अक्सर, प्राथमिक ज्यामिति की विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, उत्तल बहुभुज के क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक हो जाता है। मान लें कि (Xi. Yi), i = 1,2,3… n एक बहुभुज के सभी पड़ोसी शीर्षों के निर्देशांकों का क्रम है जिसमें स्व-प्रतिच्छेदन नहीं है। इस मामले में, इसके क्षेत्र की गणना निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

एस = ½ (∑ (एक्स आई + एक्स आई + 1) (वाई आई + वाई आई + 1)),

जहां (एक्स 1, वाई 1) = (एक्स एन +1, वाई एन + 1)।

बुनियादी ज्यामिति पाठ्यक्रम में, यह साबित होता है कि उत्तल n-gon के कोणों का योग 180° (n-2) होता है। यह पता चला है कि यह कथन गैर-उत्तल बहुभुजों के लिए भी सत्य है।

प्रमेय 3. एक स्वेच्छ n-gon के कोणों का योग 180° (n - 2) होता है।

प्रमाण। आइए विकर्णों को खींचकर बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित करें (चित्र 11)। ऐसे त्रिभुजों की संख्या n-2 है, और प्रत्येक त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है। चूँकि त्रिभुजों के कोण बहुभुज के कोण होते हैं, बहुभुज के कोणों का योग 180° (n - 2) होता है।

आइए अब हम स्व-प्रतिच्छेदों A1A2…AnA1 (चित्र 12, a) के साथ, संभवतः स्व-प्रतिच्छेदन वाली बंद टूटी हुई रेखाओं पर विचार करें। ऐसी स्व-प्रतिच्छेदन टूटी रेखाओं को तारे के आकार का बहुभुज कहा जाएगा (चित्र 12, b-d)।

आइए हम कोणों को वामावर्त गिनने की दिशा निर्धारित करें। ध्यान दें कि एक बंद पॉलीलाइन द्वारा बनाए गए कोण उस दिशा पर निर्भर करते हैं जिसमें इसे पार किया जाता है। यदि पॉलीलाइन बायपास की दिशा उलट दी जाती है, तो बहुभुज के कोण वे कोण होंगे जो मूल बहुभुज के कोणों को 360° तक पूरक करते हैं।

यदि M दक्षिणावर्त दिशा में गुजरने वाली एक साधारण बंद टूटी हुई रेखा से बना बहुभुज है (चित्र 13, ए), तो इस बहुभुज के कोणों का योग 180 ° (n - 2) के बराबर होगा। यदि टूटी हुई रेखा को वामावर्त दिशा (चित्र 13, बी) में पारित किया जाता है, तो कोणों का योग 180 ° (n + 2) के बराबर होगा।

इस प्रकार, एक साधारण बंद पॉलीलाइन द्वारा गठित बहुभुज के कोणों के योग के लिए सामान्य सूत्र का रूप है = 180 ° (n 2), कोणों का योग कहाँ है, n बहुभुज के कोणों की संख्या है, " +" या "-" पॉलीलाइन को बायपास करने की दिशा के आधार पर लिया जाता है।

हमारा कार्य एक बंद (संभवतः आत्म-प्रतिच्छेदन) पॉलीलाइन द्वारा गठित एक मनमाना बहुभुज के कोणों के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त करना है। ऐसा करने के लिए, हम बहुभुज की डिग्री की अवधारणा का परिचय देते हैं।

एक बहुभुज की डिग्री उसके पक्षों के एक पूर्ण अनुक्रमिक बाईपास के दौरान एक बिंदु द्वारा किए गए चक्करों की संख्या है। इसके अलावा, वामावर्त दिशा में किए गए घुमावों को "+" चिह्न के साथ माना जाता है, और दक्षिणावर्त दिशा में घुमावों को "-" चिह्न के साथ माना जाता है।

यह स्पष्ट है कि ट्रैवर्सल की दिशा के आधार पर एक साधारण बंद टूटी हुई रेखा द्वारा गठित बहुभुज की डिग्री +1 या -1 है। चित्र 12, में टूटी हुई रेखा की डिग्री दो के बराबर है। स्टार हेप्टागन्स (चित्र 12, सी, डी) की डिग्री क्रमशः दो और तीन के बराबर है।

तल में बंद वक्रों के लिए डिग्री की धारणा को इसी तरह परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, चित्र 14 में दिखाए गए वक्र की डिग्री दो है।

बहुभुज या वक्र की घात ज्ञात करने के लिए, आप निम्न प्रकार से आगे बढ़ सकते हैं। मान लीजिए कि, वक्र के अनुदिश चलते हुए (चित्र 15, a), हम किसी स्थान A1 से शुरू करते हुए, एक पूर्ण मोड़ बनाते हैं, और उसी बिंदु A1 पर समाप्त होते हैं। आइए वक्र से संबंधित खंड को हटा दें और शेष वक्र के साथ आगे बढ़ना जारी रखें (चित्र 15 बी)। यदि, किसी स्थान A2 से शुरू करते हुए, हम फिर से एक पूर्ण मोड़ बनाते हैं और उसी बिंदु पर पहुंच जाते हैं, तो हम वक्र के संबंधित खंड को हटा देते हैं और आगे बढ़ते रहते हैं (चित्र 15, c)। "+" या "-" संकेतों के साथ दूरस्थ वर्गों की संख्या की गणना करते हुए, बाईपास की उनकी दिशा के आधार पर, हम वक्र की वांछित डिग्री प्राप्त करते हैं।

प्रमेय 4. एक स्वेच्छ बहुभुज के लिए, सूत्र

180° (n+2m),

कोणों का योग कहाँ है, n कोणों की संख्या है, m बहुभुज की घात है।

प्रमाण। मान लें कि बहुभुज M की डिग्री m है और इसे पारंपरिक रूप से चित्र 16 में दिखाया गया है। M1, ..., Mk सरल बंद टूटी हुई रेखाएँ हैं, जिनसे होकर बिंदु पूर्ण मोड़ लेता है। A1, …, Ak पॉलीलाइन के संगत स्व-प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, जो इसके शीर्ष नहीं हैं। आइए हम बहुभुज M के शीर्षों की संख्या को क्रमशः n1, …, nk द्वारा, बहुभुज M1,…, Mk में शामिल करें, को निरूपित करें। चूंकि, बहुभुज M के शीर्षों के अतिरिक्त, इन बहुभुजों में शीर्ष A1, …, Ak जोड़ दिए जाते हैं, बहुभुज M1, …, Mk के शीर्षों की संख्या n1+1,…, nk+1 के बराबर होगी, क्रमश। तब उनके कोणों का योग 180° (n1+12),…, 180° (nk+12) के बराबर होगा। प्लस या माइनस टूटी हुई लाइनों को बायपास करने की दिशा के आधार पर लिया जाता है। बहुभुज M1, ..., Mk को हटाने के बाद बहुभुज M से बचे हुए बहुभुज M0 के कोणों का योग 180° (n-n1- ...-nk+k2) के बराबर होता है। बहुभुज M0, M1, …, Mk के कोणों का योग बहुभुज M के कोणों का योग देता है, और प्रत्येक शीर्ष A1, …, Ak पर हमें 360° भी प्राप्त होता है। इसलिए, हमारे पास समानता है

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k।

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

जहाँ m बहुभुज M की घात है।

एक उदाहरण के रूप में, पांच-बिंदु वाले तारक के कोणों के योग की गणना पर विचार करें (चित्र 17, ए)। संगत बंद पॉलीलाइन की डिग्री -2 है। इसलिए, कोणों का वांछित योग 180 है।

टूटी पंक्ति

परिभाषा

टूटी पंक्ति, या छोटा, टूटी पंक्ति, खंडों का एक परिमित अनुक्रम कहा जाता है, जैसे कि पहले खंड का एक सिरा दूसरे के अंत के रूप में कार्य करता है, दूसरे खंड का दूसरा छोर तीसरे के अंत के रूप में कार्य करता है, और इसी तरह। इस मामले में, आसन्न खंड एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। इन खंडों को पॉलीलाइन लिंक कहा जाता है।

टूटी हुई रेखा के प्रकार

टूटी हुई रेखा को कहा जाता है बंद किया हुआयदि पहले खंड की शुरुआत पिछले एक के अंत के साथ मेल खाती है।

टूटी हुई रेखा खुद को पार कर सकती है, खुद को छू सकती है, खुद पर झुक सकती है। यदि ऐसी कोई विलक्षणता न हो, तो ऐसी टूटी हुई रेखा कहलाती है सरल.

बहुभुज

परिभाषा

एक साधारण बंद पॉलीलाइन, इसके द्वारा बंधे हुए समतल के एक भाग के साथ, कहलाती है बहुभुज.

टिप्पणी

बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर, इसकी भुजाएँ बहुभुज के कुछ कोणों को परिभाषित करती हैं। यह या तो तैनात से कम या तैनात से अधिक हो सकता है।

संपत्ति

प्रत्येक बहुभुज का कोण $180^\circ$ से कम होता है।

प्रमाण

मान लीजिए कि एक बहुभुज $P$ दिया गया है।

आइए कुछ ऐसी सीधी रेखा खींचते हैं जो इसे काटती नहीं है। हम इसे बहुभुज की भुजा के समानांतर घुमाएंगे। किसी बिंदु पर, पहली बार हमें एक पंक्ति $a$ प्राप्त होती है जिसमें बहुभुज $P$ के साथ कम से कम एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। बहुभुज इस रेखा के एक तरफ स्थित है (इसके अलावा, इसके कुछ बिंदु $a$ रेखा पर स्थित हैं)।

लाइन $a$ में बहुभुज का कम से कम एक शीर्ष होता है। इसके दोनों पक्ष इसमें अभिसरण करते हैं, $a$ रेखा के एक ही तरफ स्थित होते हैं (उस स्थिति सहित जब उनमें से एक इस रेखा पर स्थित हो)। अत: इस शीर्ष पर कोण विकसित कोण से कम होता है।

परिभाषा

बहुभुज कहलाता है उत्तलयदि वह अपनी भुजा वाली प्रत्येक रेखा के एक ओर स्थित हो। यदि बहुभुज उत्तल नहीं है, तो इसे कहते हैं गैर उत्तल.

टिप्पणी

एक उत्तल बहुभुज बहुभुज की भुजाओं वाली रेखाओं से घिरे अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन है।

उत्तल बहुभुज के गुण

एक उत्तल बहुभुज के सभी कोण $180^\circ$ से कम होते हैं।

उत्तल बहुभुज के किन्हीं दो बिंदुओं (विशेषकर, इसके किसी भी विकर्ण) को जोड़ने वाला एक रेखा खंड इस बहुभुज में समाहित है।

प्रमाण

आइए पहली संपत्ति साबित करें

उत्तल बहुभुज $P$ का कोई भी कोना $A$ लें और इसके किनारे $a$ शीर्ष $A$ से आ रहे हैं। $l$ को $a$ वाली एक लाइन होने दें। चूंकि बहुभुज $P$ उत्तल है, यह $l$ रेखा के एक तरफ स्थित है। इसलिए, इसका कोण $A$ भी इस रेखा के एक ही तरफ स्थित है। इसलिए कोण $A$ सीधे कोण से छोटा है, अर्थात $180^\circ$ से कम है।

आइए दूसरी संपत्ति साबित करें

उत्तल बहुभुज $P$ के कोई दो बिंदु $A$ और $B$ लें। बहुभुज $P$ कई अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन है। खंड $AB$ इन आधे विमानों में से प्रत्येक में निहित है। इसलिए, यह बहुभुज $P$ में भी समाहित है।

परिभाषा

विकर्ण बहुभुजअपने गैर-पड़ोसी शीर्षों को जोड़ने वाला खंड कहलाता है।

प्रमेय (एक एन-गॉन के विकर्णों की संख्या पर)

उत्तल $n$-gon के विकर्णों की संख्या की गणना सूत्र $\dfrac(n(n-3))(2)$ द्वारा की जाती है।

प्रमाण

एक एन-गॉन के प्रत्येक शीर्ष से एक $n-3$ विकर्ण खींच सकता है (कोई भी पड़ोसी कोने और इस शीर्ष पर एक विकर्ण नहीं खींच सकता है)। यदि हम ऐसे सभी संभावित खंडों को गिनें, तो $n\cdot(n-3)$ होगा, क्योंकि $n$ शीर्ष हैं। लेकिन प्रत्येक विकर्ण को दो बार गिना जाएगा। इस प्रकार, एक एन-गॉन के विकर्णों की संख्या $\dfrac(n(n-3))(2)$ है।

प्रमेय (एन-गॉन के कोणों के योग पर)

उत्तल $n$-gon के कोणों का योग $180^\circ(n-2)$ है।

प्रमाण

$n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$ पर विचार करें।

इस बहुभुज के अंदर एक मनमाना बिंदु $O$ लें।

सभी त्रिभुजों के कोणों का योग $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ $180^\circ\cdot n$ है।

दूसरी ओर, यह योग बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों और कुल कोण $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$ का योग है।

फिर माना $n$-gon के कोणों का योग $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$ के बराबर है।

परिणाम

एक गैर-उत्तल $n$-gon के कोणों का योग $180^\circ(n-2)$ है।

प्रमाण

एक बहुभुज पर विचार करें $A_1A_2\ldots A_n$ जिसका एकमात्र कोण $\angle A_2$ गैर-उत्तल है, अर्थात $\angle A_2>180^\circ$।

आइए उसके कैच $S$ के योग को निरूपित करें।

बिंदु $A_1A_3$ कनेक्ट करें और बहुभुज $A_1A_3\ldots A_n$ पर विचार करें।

इस बहुभुज के कोणों का योग है:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$।

इसलिए, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$।

यदि मूल बहुभुज में एक से अधिक गैर-उत्तल कोने हैं, तो ऊपर वर्णित ऑपरेशन प्रत्येक ऐसे कोने से किया जा सकता है, जिससे अभिकथन सिद्ध हो जाएगा।

प्रमेय (उत्तल n-gon के बाह्य कोणों के योग पर)

उत्तल $n$-gon के बाहरी कोणों का योग $360^\circ$ है।

प्रमाण

शीर्ष $A_1$ पर बाहरी कोण $180^\circ-\angle A_1$ है।

सभी बाहरी कोणों का योग है:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n) -2)=360^\परिपत्र$।