वेक्टर- विशुद्ध रूप से गणितीय अवधारणा, जो केवल भौतिकी या अन्य में प्रयोग किया जाता है अनुप्रयुक्त विज्ञानऔर जो कुछ जटिल समस्याओं के समाधान को सरल बनाना संभव बनाता है।
 वेक्टर- निर्देशित रेखा खंड।
मुझे पता है प्राथमिक भौतिकीकिसी को मात्राओं की दो श्रेणियों के साथ काम करना पड़ता है - अदिश और सदिश.
 अदिशमात्राएँ (अदिश) वे मात्राएँ हैं जिनकी विशेषता है अंकीय मूल्यऔर हस्ताक्षर करें। अदिश लंबाई हैं - एल, मास - एम, पथ - एस, समय - टी, तापमान - टी, बिजली का आवेश − क्यू, ऊर्जा - डब्ल्यू, निर्देशांक, आदि।
सभी स्केलर्स पर लागू होते हैं। बीजगणितीय क्रियाएं(जोड़, घटाव, गुणा, आदि)।

 उदाहरण 1.
सिस्टम का कुल चार्ज निर्धारित करें, इसमें शामिल चार्ज शामिल हैं, यदि q 1 \u003d 2 nC, q 2 \u003d -7 nC, q 3 \u003d 3 nC।
फुल सिस्टम चार्ज
क्यू \u003d क्यू 1 + क्यू 2 + क्यू 3 \u003d (2 - 7 + 3) एनसी = -2 एनसी = -2 × 10 -9 सी।

 उदाहरण 2.
के लिए द्विघात समीकरणदयालु
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac))।

 वेक्टरमात्राएँ (वैक्टर) वे मात्राएँ हैं जिनकी परिभाषा के लिए संख्यात्मक मान के साथ-साथ दिशा को भी इंगित करना आवश्यक है। सदिश − गति वि, ताकत एफ, गति पी, तनाव विद्युत क्षेत्र इ, चुंबकीय प्रेरण बीऔर आदि।
वेक्टर (मॉड्यूलस) का संख्यात्मक मान बिना वेक्टर प्रतीक के एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है या वेक्टर ऊर्ध्वाधर रेखाओं के बीच संलग्न होता है आर = |आर|.
रेखांकन के रूप में, वेक्टर को एक तीर (चित्र 1) द्वारा दर्शाया गया है,

जिसकी लंबाई किसी दिए गए पैमाने में उसके मॉड्यूलस के बराबर होती है, और दिशा वेक्टर की दिशा के साथ मेल खाती है।
दो सदिश समान होते हैं यदि उनके मापांक और दिशाएँ समान हों।
वेक्टर राशियों को ज्यामितीय रूप से जोड़ा जाता है (वेक्टर बीजगणित के नियम के अनुसार)।
दिए गए घटक सदिशों का सदिश योग ज्ञात करना सदिश योग कहलाता है।
समांतर चतुर्भुज या त्रिभुज नियम के अनुसार दो सदिशों का योग किया जाता है। कुल वेक्टर
सी = ए + बी
सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के बराबर एऔर बी. इसे मॉड्यूल करें
с = √(a 2 + b 2 - 2abcosα) (चित्र 2)।


α = 90° के लिए, c = √(a 2 + b 2 ) पाइथागोरस प्रमेय है।

सदिश के अंत से समान सदिश c को त्रिभुज नियम द्वारा प्राप्त किया जा सकता है एस्थगित वेक्टर बी. क्लोजिंग वेक्टर सी (वेक्टर की शुरुआत को जोड़ना एऔर वेक्टर का अंत बी) शब्दों का सदिश योग है (वैक्टर के घटक एऔर बी).
परिणामी वेक्टर को टूटी हुई रेखा के समापन के रूप में पाया जाता है, जिसके लिंक घटक वैक्टर (चित्र 3) हैं।


 उदाहरण 3.
दो बल F 1 \u003d 3 N और F 2 \u003d 4 N, वैक्टर जोड़ें एफ 1और F2क्रमशः क्षितिज के साथ कोण α 1 \u003d 10 ° और α 2 \u003d 40 ° बनाएं
 एफ = एफ 1 + एफ 2(चित्र 4)।

इन दोनों बलों के योग का परिणाम एक बल होता है जिसे परिणामी कहते हैं। वेक्टर एफवैक्टर पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के साथ निर्देशित एफ 1और F2, पक्षों के रूप में, और मॉड्यूल इसकी लंबाई के बराबर है।
वेक्टर मापांक एफकोसाइन के कानून द्वारा खोजें
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 - α 1)),
एफ = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° - 10°)) ≈ 6.8 एच।
अगर
(α 2 - α 1) = 90°, तो F = √(F 1 2 + F 2 2 )।

कोण वेक्टर एफऑक्स अक्ष के साथ है, हम सूत्र द्वारा पाते हैं
α \u003d आर्कटग ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = आर्कटन ((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = आर्कटन0.51, α ≈ 0.47 रेड।

सदिश a का अक्ष ऑक्स (Oy) पर प्रक्षेपण सदिश की दिशा के बीच कोण α के आधार पर एक अदिश मान है एऔर कुल्हाड़ियों बैल (ओए)। (चित्र 5)


वेक्टर अनुमान एऑक्स और ओए कुल्हाड़ियों पर आयताकार प्रणालीनिर्देशांक। (चित्र 6)


अक्ष पर वेक्टर प्रक्षेपण के चिह्न का निर्धारण करते समय गलतियों से बचने के लिए, यह याद रखना उपयोगी होता है अगला नियम: यदि घटक की दिशा अक्ष की दिशा के साथ मेल खाती है, तो इस अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण धनात्मक होता है, लेकिन यदि घटक की दिशा अक्ष की दिशा के विपरीत होती है, तो वेक्टर का प्रक्षेपण होता है नकारात्मक। (चित्र 7)


वेक्टर घटाव एक जोड़ है जिसमें पहले वेक्टर में एक वेक्टर जोड़ा जाता है, संख्यात्मक रूप से दूसरे के बराबर, विपरीत दिशा में
ए - बी = ए + (-बी) = डी(चित्र 8)।

इसे वेक्टर से आवश्यक होने दें एघटाव वेक्टर बी, उनका अंतर - डी. दो सदिशों का अंतर ज्ञात करने के लिए सदिश का होना आवश्यक है एवेक्टर जोड़ें ( बी), यानी एक वेक्टर डी = ए - बीवेक्टर की शुरुआत से निर्देशित एक वेक्टर होगा एवेक्टर के अंत की ओर ( बी) (चित्र 9)।

सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज में एऔर बीदोनों तरफ, एक विकर्ण सीयोग का अर्थ है, और दूसरा डी- वेक्टर अंतर एऔर बी(चित्र 9)।
वेक्टर उत्पाद एप्रति अदिश k वेक्टर के बराबर है बी= के ए, जिसका मापांक k गुना है अधिक मॉड्यूलवेक्टर ए, और दिशा वही है जो दिशा है एधनात्मक k के लिए और विपरीत ऋणात्मक k के लिए।

 उदाहरण 4.
5 मीटर/सेकण्ड की गति से गतिमान 2 किग्रा द्रव्यमान के पिंड का संवेग ज्ञात कीजिए। (चित्र 10)

शरीर की गति पी= म वि; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s और गति की ओर निर्देशित है वि.

 उदाहरण 5.
आवेश q = -7.5 nC को विद्युत क्षेत्र में तीव्रता E = 400 V/m के साथ रखा गया है। आवेश पर कार्य करने वाले बल का मापांक और दिशा ज्ञात कीजिए।

शक्ति बराबर होती है एफ= क्यू इ. चूँकि आवेश ऋणात्मक है, बल वेक्टर को दिशा की ओर निर्देशित किया जाता है, वेक्टर विपरीत इ. (चित्र 11)


 विभाजनवेक्टर एएक अदिश k से गुणा करने के बराबर है ए 1/के द्वारा।
 डॉट उत्पादवैक्टर एऔर बीस्केलर "सी" कॉल करें उत्पाद के बराबरइन वैक्टरों के मॉड्यूल उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा
(एबी) = (बीए) = सी,
с = ab.cosα (चित्र 12)


 उदाहरण 6.
एक नौकरी की तलाश निरंतर बल F = 20 N यदि विस्थापन S = 7.5 m और कोण α बल और विस्थापन के बीच α = 120°।

बल का कार्य परिभाषा के अनुसार होता है डॉट उत्पादबलों और आंदोलनों
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7.5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.

 वेक्टर कलावैक्टर एऔर बीकॉल वेक्टर सी, संख्यात्मक रूप से वैक्टर ए और बी के मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर, उनके बीच के कोण की साइन से गुणा:
सी = ए × बी =,
सी = एबी × sinα।
वेक्टर सीउस समतल के लम्बवत् जिसमें सदिश स्थित हैं एऔर बी, और इसकी दिशा सदिशों की दिशा से संबंधित है एऔर बीसही पेंच नियम (चित्र 13)।


 उदाहरण 7.
एक चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए 0.2 मीटर लंबे कंडक्टर पर कार्य करने वाले बल का निर्धारण करें, जिसका प्रेरण 5 टी है, अगर कंडक्टर में करंट 10 ए है और यह क्षेत्र की दिशा के साथ कोण α = 30 ° बनाता है।

एएमपी शक्ति
dF = I = Idl × B या F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0.2 m × 1/2 = 5 N।

 समस्या समाधान पर विचार करें.
1. दो वैक्टर कैसे निर्देशित होते हैं, जिनमें से मापांक समान और बराबर होते हैं, यदि उनके योग का मापांक है: a) 0; बी) 2ए; सीए; डी) ए√ (2); ई) ए√(3)?

 समाधान.
ए) दो वैक्टर एक ही सीधी रेखा के साथ निर्देशित होते हैं विपरीत दिशाएं. इन वैक्टरों का योग शून्य के बराबर है।

बी) दो वैक्टर एक ही सीधी रेखा के साथ एक ही दिशा में निर्देशित होते हैं। इन सदिशों का योग 2a है।

c) दो सदिश एक दूसरे से 120° के कोण पर निर्देशित होते हैं। वैक्टर का योग एक के बराबर है। परिणामी वेक्टर कोसाइन प्रमेय द्वारा पाया जाता है:

एक 2 + एक 2 + 2aacosα = एक 2,
cosα = -1/2 और α = 120°।
d) दो सदिश एक दूसरे से 90° के कोण पर निर्देशित होते हैं। योग का मापांक है
एक 2 + एक 2 + 2acosα = 2एक 2,
cosα = 0 और α = 90°।

ई) दो वैक्टर एक दूसरे से 60 डिग्री के कोण पर निर्देशित होते हैं। योग का मापांक है
एक 2 + एक 2 + 2acosα = 3a 2,
cosα = 1/2 और α = 60°।
 उत्तर: सदिशों के बीच का कोण α बराबर है: a) 180°; बी) 0; सी) 120 डिग्री; डी) 90 डिग्री; ई) 60 डिग्री।

2. अगर ए = ए 1 + ए 2सदिशों का अभिविन्यास, सदिशों के पारस्परिक अभिविन्यास के बारे में क्या कहा जा सकता है एक 1और एक 2, अगर: ए) ए = ए 1 + ए 2; बी) ए 2 \u003d ए 1 2 + ए 2 2; सी) ए 1 + ए 2 \u003d ए 1 - ए 2?

 समाधान.
ए) यदि वैक्टरों का योग इन वैक्टरों के मॉड्यूल के योग के रूप में पाया जाता है, तो वैक्टर एक सीधी रेखा के साथ निर्देशित होते हैं, एक दूसरे के समानांतर ए 1 ||ए 2.
बी) यदि वैक्टर एक दूसरे से कोण पर निर्देशित होते हैं, तो उनका योग समांतर चतुर्भुज के लिए कोसाइन के नियम द्वारा पाया जाता है
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2,
cosα = 0 और α = 90°।
वेक्टर एक दूसरे के लंबवत हैं ए 1 ⊥ ए 2.
ग) स्थिति ए 1 + ए 2 = ए 1 - ए 2किया जा सकता है यदि एक 2− शून्य सदिश, तो a 1 + a 2 = a 1 ।
 जवाब. ए) ए 1 ||ए 2; बी) ए 1 ⊥ ए 2; वी) एक 2- शून्य सदिश।

3. 1.42 N के दो बल शरीर के एक बिंदु पर एक दूसरे से 60° के कोण पर लगाए जाते हैं। किस कोण पर 1.75 N के दो बल शरीर के एक ही बिंदु पर लगाए जाने चाहिए ताकि उनकी क्रिया पहले दो बलों की क्रिया को संतुलित कर दे?

समाधान।
समस्या की स्थिति के अनुसार, 1.75 N के दो बल प्रत्येक 1.42 N के दो बलों को संतुलित करते हैं। यह संभव है यदि बल युग्मों के परिणामी सदिशों के मॉड्यूल समान हों। परिणामी वेक्टर समांतरोग्राम के लिए कोसाइन प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है। बलों की पहली जोड़ी के लिए:
एफ 1 2 + एफ 1 2 + 2एफ 1 एफ 1 कॉसα \u003d एफ 2,
क्रमशः बलों की दूसरी जोड़ी के लिए
एफ 2 2 + एफ 2 2 + 2एफ 2 एफ 2 cosβ = एफ 2।
समीकरण के बाएँ भागों की बराबरी करना
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ।
सदिशों के बीच वांछित कोण β ज्ञात कीजिए
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα - F 2 2 - F 2 2)/(2F 2 F 2)।
गणना के बाद,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° - 2.1.752)/(2.1.752) = -0.0124,
β ≈ 90.7°.

 हल करने का दूसरा तरीका.
निर्देशांक अक्ष OX (चित्र) पर सदिशों के प्रक्षेपण पर विचार करें।

में पक्षों के बीच अनुपात का उपयोग करना सही त्रिकोण, हम पाते हैं
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
कहाँ
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) और β ≈ 90.7°।

4. वेक्टर ए = 3i - 4j. स्केलर मान c क्या होना चाहिए ताकि |c ए| = 7,5?
 समाधान.
सी ए= सी ( 3i - 4j) = 7,5
वेक्टर मापांक एके बराबर होगा
a 2 = 3 2 + 4 2 , और a = ±5,
फिर से
सी। (± 5) = 7.5,
यह पता करो
सी = ± 1.5।

5. वैक्टर एक 1और एक 2मूल से बाहर आओ और है कार्तीय निर्देशांकसमाप्त होता है (6, 0) और (1, 4), क्रमशः। एक वेक्टर खोजें एक 3जैसे: ए) एक 1 + एक 2 + एक 3= 0; बी) एक 1 − एक 2 + एक 3 = 0.

 समाधान.
आइए वैक्टर को अंदर खींचें कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक (चित्र।)

a) ऑक्स अक्ष के साथ परिणामी वेक्टर है
एक एक्स = 6 + 1 = 7।
Oy अक्ष के साथ परिणामी वेक्टर है
ए वाई = 4 + 0 = 4।
सदिशों का योग शून्य के बराबर होने के लिए, यह आवश्यक है कि स्थिति
एक 1 + एक 2 = −एक 3.
वेक्टर एक 3मॉड्यूलो कुल वेक्टर के बराबर होगा ए 1 + ए 2लेकिन विपरीत दिशा में निर्देशित। अंत वेक्टर समन्वय एक 3(−7, −4) और मापांक के बराबर है
ए 3 \u003d √ (7 2 + 4 2 ) \u003d 8.1।

बी) ऑक्स अक्ष के साथ परिणामी वेक्टर के बराबर है
एक एक्स = 6 − 1 = 5,
और ओए अक्ष के साथ परिणामी वेक्टर
ए वाई = 4 − 0 = 4।
जब हालत
एक 1 − एक 2 = −एक 3,
वेक्टर एक 3सदिश a x = -5 और ay = -4 के अंत के निर्देशांक होंगे, और इसका मापांक है
ए 3 \u003d √ (5 2 + 4 2) \u003d 6.4।

6. संदेशवाहक 30 मीटर उत्तर की ओर, 25 मीटर पूर्व की ओर, 12 मीटर दक्षिण की ओर यात्रा करता है और फिर भवन में 36 मीटर की ऊंचाई तक एक लिफ्ट में चढ़ता है। उसके द्वारा तय की गई दूरी L और विस्थापन क्या है एस?

 समाधान.
आइए हम समस्या में वर्णित स्थिति को एक मनमाना पैमाने (चित्र।) पर एक विमान पर चित्रित करें।

वेक्टर का अंत ओएपूर्व में 25 मीटर, उत्तर में 18 मीटर और 36 ऊपर (25; 18; 36) का समन्वय करता है। व्यक्ति द्वारा तय किया गया मार्ग है
एल = 30 मीटर + 25 मीटर + 12 मीटर +36 मीटर = 103 मीटर।
विस्थापन वेक्टर का मॉड्यूल सूत्र द्वारा पाया जाता है
एस = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
जहां एक्स ओ = 0, वाई ओ = 0, जेड ओ = 0।
एस \u003d √ (25 2 + 18 2 + 36 2 ) \u003d 47.4 (एम)।
 उत्तर: एल = 103 मीटर, एस = 47.4 मीटर।

7. दो सदिशों के बीच का कोण α एऔर बी 60° के बराबर होता है। वेक्टर की लंबाई निर्धारित करें सी = ए + बीऔर कोण β सदिशों के बीच एऔर सी. सदिशों का परिमाण a = 3.0 और b = 2.0 है।

 समाधान.
वेक्टर की लंबाई योग के बराबरवैक्टर एऔर बीहम समांतर चतुर्भुज (चित्र।) के लिए कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित करते हैं।

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
प्रतिस्थापन के बाद
सी = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4।
कोण β निर्धारित करने के लिए, हम साइन प्रमेय का उपयोग करते हैं त्रिकोण एबीसी:
b/sinβ = a/sin(α - β).
साथ ही आपको यह जानना चाहिए
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ.
सरल हल करना त्रिकोणमितीय समीकरण, हम अभिव्यक्ति पर आते हैं
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
इस तरह,
β = आर्कटग (bsinα/(a + bcosα)),
β = आर्कटग (2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°।
आइए त्रिकोण के लिए कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके देखें:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
कहाँ
cosβ = (ए 2 + सी 2 - बी 2)/(2एसी)
और
β \u003d आर्ककोस ((ए 2 + सी 2 - बी 2) / (2एसी)) \u003d आर्ककोस ((3 2 + 4.4 2 - 2 2) / (2.3.4.4)) \u003d 23 °।
 उत्तर: सी ≈ 4.4; β ≈ 23°।

 समस्याओं का समाधान.
8. वैक्टर के लिए एऔर बीउदाहरण 7 में परिभाषित, सदिश की लंबाई ज्ञात कीजिए डी = ए - बीकोना γ बीच में एऔर डी.

9. सदिश का प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए ए = 4.0i + 7.0jएक सीधी रेखा के लिए जिसकी दिशा ऑक्स अक्ष के साथ कोण α = 30° बनाती है। वेक्टर एऔर रेखा xOy तल में स्थित है।

10. वेक्टर एसीधी रेखा AB से α = 30° का कोण बनाता है, a = 3.0। रेखा AB को किस कोण पर वेक्टर को निर्देशित किया जाना चाहिए बी(बी = √(3)) ताकि वेक्टर सी = ए + बी AB के समांतर था? वेक्टर की लंबाई पाएं सी.

11. तीन सदिश दिए गए हैं: ए = 3i + 2j - के; बी = 2i - जे + के; सी = मैं + 3j. लगता है) क+ख; बी) ए + सी; वी) (ए, बी); जी) (ए, सी) बी - (ए, बी) सी.

12. सदिशों के बीच का कोण एऔर बीα = 60°, a = 2.0, b = 1.0 के बराबर है। सदिशों की लम्बाई ज्ञात कीजिए सी = (ए, बी) ए + बीऔर डी = 2बी - ए/2.

13. सिद्ध कीजिए कि सदिश एऔर बीलंबवत हैं यदि a = (2, 1, -5) और b = (5, -5, 1)।

14. सदिशों के बीच का कोण α ज्ञात कीजिए एऔर बी, अगर ए = (1, 2, 3), बी = (3, 2, 1)।

15. वेक्टर एऑक्स अक्ष के साथ α = 30° का कोण बनाता है, इस वेक्टर का Oy अक्ष पर प्रक्षेपण ay = 2.0 है। वेक्टर बीवेक्टर के लंबवत एऔर बी = 3.0 (चित्र देखें)।

वेक्टर सी = ए + बी. खोजें: ए) वेक्टर अनुमान बीबैल और ओय कुल्हाड़ियों पर; बी) मान सी और वेक्टर के बीच कोण β सीऔर अक्ष बैल; कैब); डी) (ए, सी)।

 जवाब:
9. ए 1 \u003d ए एक्स कॉसα + ए वाई पापα ≈ 7.0।
10. β = 300°; सी = 3.5।
11. ए) 5i + जे; बी) आई + 3जे - 2के; ग) 15i - 18j + 9k।
12. सी = 2.6; डी = 1.7।
14. α = 44.4°।
15. ए) बी एक्स \u003d -1.5; बी वाई = 2.6; बी) सी = 5; β ≈ 67°; सी) 0; घ) 16.0।
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 यह सभी देखें:

एक स्कूली बच्चे को डराने वाले दो शब्द - सदिश और अदिश - वास्तव में डरावने नहीं हैं। यदि आप विषय को रुचि के साथ देखते हैं, तो सब कुछ समझा जा सकता है। इस लेख में, हम इस बात पर विचार करेंगे कि कौन सी मात्रा सदिश है और कौन सी अदिश है। अधिक सटीक, उदाहरण देते हैं। प्रत्येक छात्र ने, शायद, इस तथ्य पर ध्यान दिया कि भौतिकी में कुछ मात्राएँ न केवल एक प्रतीक द्वारा, बल्कि ऊपर से एक तीर द्वारा भी इंगित की जाती हैं। वे किस लिए खड़े हैं? इस पर नीचे चर्चा की जाएगी। आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि यह स्केलर से कैसे भिन्न है।

वेक्टर उदाहरण। उन्हें कैसे लेबल किया जाता है

वेक्टर से क्या तात्पर्य है? वह जो गति की विशेषता हो। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह अंतरिक्ष में है या विमान पर। वेक्टर मात्रा क्या है? उदाहरण के लिए, एक हवाई जहाज एक निश्चित ऊंचाई पर एक निश्चित गति से उड़ता है, एक विशिष्ट द्रव्यमान होता है, और हवाई अड्डे से आवश्यक त्वरण के साथ चलना शुरू करता है। एक विमान की गति क्या है? उसे क्या उड़ाया? बेशक, त्वरण, गति। भौतिकी पाठ्यक्रम से सदिश राशियाँ हैं अच्छे उदाहरण. इसे स्पष्ट रूप से रखने के लिए, एक वेक्टर मात्रा गति, विस्थापन से जुड़ी होती है।

पहाड़ की ऊंचाई से पानी भी एक निश्चित गति से चलता है। देखना? आयतन या द्रव्यमान नहीं, बल्कि गति के कारण गति की जाती है। टेनिस खिलाड़ी रैकेट की मदद से गेंद को आगे बढ़ने देता है। यह त्वरण सेट करता है। वैसे, से जुड़ा हुआ है इस मामले मेंबल भी एक सदिश राशि है। क्योंकि यह दी गई गति और त्वरण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। बल भी बदलने में सक्षम है, विशिष्ट क्रियाएं. पेड़ों पर लगे पत्तों को हिलाने वाली हवा को भी एक उदाहरण माना जा सकता है। क्योंकि गति है।

सकारात्मक और नकारात्मक मूल्य

एक वेक्टर मात्रा एक मात्रा है जिसकी आसपास के स्थान और एक मॉड्यूल में एक दिशा है। भयावह शब्द फिर प्रकट हुआ, इस बार मॉड्यूल। कल्पना कीजिए कि आपको एक ऐसी समस्या को हल करने की आवश्यकता है जहां त्वरण का ऋणात्मक मान नियत किया जाएगा। प्रकृति में नकारात्मक मूल्यअस्तित्व प्रतीत नहीं होता है। गति ऋणात्मक कैसे हो सकती है?

एक वेक्टर की ऐसी अवधारणा है। यह, उदाहरण के लिए, उन बलों पर लागू होता है जो शरीर पर लागू होते हैं, लेकिन होते हैं अलग-अलग दिशाएँ. तीसरे को याद रखें जहां क्रिया प्रतिक्रिया के बराबर होती है। लोग रस्सी खींच रहे हैं। एक टीम नीली जर्सी में है तो दूसरी पीली जर्सी में। दूसरे वाले ज्यादा मजबूत हैं। मान लें कि उनके बल का वेक्टर सकारात्मक रूप से निर्देशित है। उसी समय, पूर्व रस्सी खींचने में विफल रहता है, लेकिन वे कोशिश करते हैं। एक विरोधी शक्ति है।

वेक्टर या अदिश मात्रा?

सदिश राशि और अदिश राशि के बीच के अंतर के बारे में बात करते हैं। किस पैरामीटर की कोई दिशा नहीं है, लेकिन इसका अपना अर्थ है? आइए कुछ सूचीबद्ध करें अदिशनीचे:

क्या उन सभी के पास दिशा है? नहीं। कौन-सी मात्रा सदिश है और कौन-सी अदिश राशि, केवल निदर्शी उदाहरणों द्वारा दर्शाई जा सकती है। भौतिकी में ऐसी अवधारणाएँ न केवल "यांत्रिकी, गतिकी और कीनेमेटीक्स" खंड में हैं, बल्कि "बिजली और चुंबकत्व" खंड में भी हैं। लोरेंत्ज़ बल भी एक सदिश राशि है।

सूत्रों में वेक्टर और स्केलर

भौतिकी की पाठ्यपुस्तकों में, अक्सर ऐसे सूत्र होते हैं जिनमें शीर्ष पर एक तीर होता है। न्यूटन का दूसरा नियम याद रखें। बल ("एफ" ऊपर एक तीर के साथ) द्रव्यमान ("एम") और त्वरण ("ए" ऊपर एक तीर के साथ) के उत्पाद के बराबर है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, बल और त्वरण सदिश राशियाँ हैं, लेकिन द्रव्यमान अदिश राशि है।

दुर्भाग्य से, सभी प्रकाशनों में इन मात्राओं का पदनाम नहीं है। शायद, यह आसान बनाने के लिए किया गया था, ताकि स्कूली बच्चों को गुमराह न किया जा सके। उन पुस्तकों और संदर्भ पुस्तकों को खरीदना सबसे अच्छा है जो सूत्रों में वैक्टर का संकेत देते हैं।

दृष्टांत दिखाएगा कि कौन सी मात्रा सदिश है। भौतिकी के पाठों में चित्रों और आरेखों पर ध्यान देने की अनुशंसा की जाती है। सदिश राशियों की एक दिशा होती है। जहां इसे निर्देशित किया जाता है, नीचे। तो तीर उसी दिशा में दिखाया जाएगा।

में तकनीकी विश्वविद्यालयोंभौतिकी का गहराई से अध्ययन करें। कई विषयों में, शिक्षक इस बारे में बात करते हैं कि कौन सी मात्राएँ अदिश और सदिश हैं। इस तरह के ज्ञान की आवश्यकता क्षेत्रों में होती है: निर्माण, परिवहन, प्राकृतिक विज्ञान।

सदिश द्वारा यह एक मात्रा को समझने के लिए प्रथागत है जिसमें 2 मुख्य विशेषताएं हैं:

1. मापांक;
2. दिशा।

इसलिए, दो वैक्टर समान माने जाते हैं यदि मॉड्यूल, साथ ही साथ दोनों की दिशाएँ मेल खाती हैं। विचाराधीन मूल्य को अक्सर एक अक्षर के रूप में लिखा जाता है, जिस पर एक तीर खींचा जाता है।

इसी प्रकार की सबसे सामान्य मात्राओं में गति, बल और उदाहरण के लिए त्वरण भी हैं।

साथ ज्यामितीय बिंदुदृष्टि से, एक सदिश एक निर्देशित खंड हो सकता है, जिसकी लंबाई इसके मापांक से संबंधित होती है।

यदि हम विचार करें वेक्टर क्वांटिटीदिशा के अलावा, इसे सिद्धांत रूप में मापा जा सकता है। सच है, यह एक तरह से या किसी अन्य, संबंधित मूल्य की आंशिक विशेषता होगी। पूर्ण - केवल तभी प्राप्त किया जाता है जब इसे निर्देशित खंड के मापदंडों के साथ पूरक किया जाता है।

स्केलर वैल्यू क्या है?

स्केलर द्वारा यह मान को समझने के लिए प्रथागत है जिसमें केवल 1 विशेषता है, अर्थात् - अंकीय मूल्य. इस मामले में, माना गया मान सकारात्मक या नकारात्मक मान ले सकता है।

सामान्य अदिश राशियों में द्रव्यमान, आवृत्ति, वोल्टेज, तापमान शामिल हैं। उनके साथ विभिन्न उत्पादन करना संभव है गणितीय संचालन- जोड़, घटाव, गुणा, भाग।

दिशा (एक विशेषता के रूप में) अदिश राशियों की विशेषता नहीं है।

तुलना

एक सदिश राशि और एक अदिश राशि के बीच मुख्य अंतर यह है कि पहला प्रमुख विशेषताऐं- मॉड्यूल और दिशा, दूसरा - एक संख्यात्मक मान। यह ध्यान देने योग्य है कि एक वेक्टर मात्रा, एक स्केलर की तरह, सिद्धांत रूप में मापा जा सकता है, हालांकि, इस मामले में, इसकी विशेषताओं को केवल आंशिक रूप से निर्धारित किया जाएगा, क्योंकि दिशा की कमी होगी।

यह निर्धारित करने के बाद कि सदिश और अदिश राशि के बीच क्या अंतर है, हम निष्कर्षों को एक छोटी तालिका में दर्शाएंगे।

भौतिकी में, मात्राओं की कई श्रेणियां हैं: सदिश और अदिश।

वेक्टर मात्रा क्या है?

एक वेक्टर मात्रा की दो मुख्य विशेषताएं होती हैं: दिशा और मॉड्यूल. दो सदिश समान होंगे यदि उनके मापांक मान और दिशा समान हों। सदिश मात्रा को निरूपित करने के लिए, अक्षरों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है, जिसके ऊपर एक तीर प्रदर्शित होता है। वेक्टर मात्रा का एक उदाहरण बल, वेग या त्वरण है।

एक वेक्टर मात्रा के सार को समझने के लिए, इसे ज्यामितीय दृष्टिकोण से विचार करना चाहिए। एक वेक्टर एक रेखा खंड है जिसकी एक दिशा होती है। ऐसे खंड की लंबाई उसके मॉड्यूल के मूल्य से मेल खाती है। भौतिक उदाहरणवेक्टर मात्रा विस्थापन है सामग्री बिंदुअंतरिक्ष में चल रहा है। पैरामीटर जैसे कि इस बिंदु का त्वरण, गति और उस पर कार्यरत बल, विद्युत चुम्बकीयवेक्टर मात्रा के रूप में भी प्रदर्शित किया जाएगा।

यदि हम दिशा की परवाह किए बिना एक सदिश राशि पर विचार करते हैं, तो ऐसे खंड को मापा जा सकता है। लेकिन, परिणाम मूल्य की केवल आंशिक विशेषताओं को प्रदर्शित करेगा। उसके लिए पूर्ण मापमूल्य को निर्देशित खंड के अन्य मापदंडों के साथ पूरक होना चाहिए।

वेक्टर बीजगणित में, एक अवधारणा है शून्य वेक्टर . इस अवधारणा के तहत एक बिंदु का मतलब है। शून्य वेक्टर की दिशा के लिए, इसे अनिश्चित माना जाता है। शून्य वेक्टर को बोल्ड में टाइप किए गए अंकगणितीय शून्य द्वारा निरूपित किया जाता है।

यदि हम उपरोक्त सभी का विश्लेषण करते हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी निर्देशित खंड वैक्टर को परिभाषित करते हैं। दो खंड एक सदिश को केवल तभी परिभाषित करेंगे जब वे बराबर हों। सदिशों की तुलना करते समय, वही नियम लागू होता है जो अदिश राशियों की तुलना करते समय होता है। समानता का अर्थ है सभी प्रकार से पूर्ण मेल।

स्केलर वैल्यू क्या है?

एक वेक्टर के विपरीत, एक अदिश राशि का केवल एक पैरामीटर होता है - यह है इसका संख्यात्मक मान. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विश्लेषण किए गए मूल्य में सकारात्मक संख्यात्मक मान और नकारात्मक दोनों हो सकते हैं।

उदाहरणों में द्रव्यमान, वोल्टेज, आवृत्ति, या तापमान शामिल हैं। इन मूल्यों के साथ, आप विभिन्न प्रदर्शन कर सकते हैं अंकगणितीय आपरेशनस: जोड़, भाग, घटाव, गुणा। एक अदिश राशि के लिए, दिशा जैसी विशेषता विशेषता नहीं है।

एक स्केलर मात्रा को एक संख्यात्मक मान द्वारा मापा जाता है, इसलिए इसे प्रदर्शित किया जा सकता है समन्वय अक्ष. उदाहरण के लिए, बहुत बार वे तय की गई दूरी, तापमान या समय की धुरी का निर्माण करते हैं।

अदिश और सदिश राशियों के बीच मुख्य अंतर

ऊपर दिए गए विवरणों से यह देखा जा सकता है कि सदिश राशियों और अदिश राशियों के बीच मुख्य अंतर उनके में निहित है विशेषताएँ. एक सदिश राशि की एक दिशा और एक मापांक होता है, जबकि एक अदिश राशि का केवल एक संख्यात्मक मान होता है। बेशक, एक वेक्टर मात्रा, एक स्केलर की तरह, मापा जा सकता है, लेकिन ऐसी विशेषता पूर्ण नहीं होगी, क्योंकि कोई दिशा नहीं है।

एक अदिश राशि और एक सदिश राशि के बीच के अंतर को अधिक स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने के लिए, एक उदाहरण दिया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम ज्ञान के ऐसे क्षेत्र को लेते हैं जलवायुविज्ञानशास्र. यदि हम कहें कि हवा 8 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रही है, तो एक अदिश मान का परिचय दिया जाएगा। लेकिन, अगर हम कहें कि उत्तरी हवा 8 मीटर प्रति सेकंड की रफ्तार से चलती है, तो हम वेक्टर वैल्यू के बारे में बात करेंगे।

वैक्टर खेलते हैं बहुत बड़ी भूमिकाआधुनिक गणित के साथ-साथ यांत्रिकी और भौतिकी के कई क्षेत्रों में। बहुमत भौतिक मात्रावैक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है। इससे उपयोग किए गए फ़ार्मुलों और परिणामों को सामान्य बनाना और काफी हद तक सरल बनाना संभव हो जाता है। अक्सर वेक्टर मान और वैक्टर एक दूसरे के साथ पहचाने जाते हैं। उदाहरण के लिए, भौतिकी में कोई सुनता है कि गति या बल एक सदिश राशि है।