वेक्टर- विशुद्ध रूप से गणितीय अवधारणा, जिसका उपयोग केवल भौतिकी या अन्य में किया जाता है अनुप्रयुक्त विज्ञानऔर जो कुछ जटिल समस्याओं के समाधान को सरल बनाना संभव बनाता है।
 वेक्टर-निर्देशित रेखा खंड।
मुझे पता है प्राथमिक भौतिकीकिसी को मात्राओं की दो श्रेणियों के साथ काम करना पड़ता है - अदिश और वेक्टर.
 अदिशमात्राएँ (स्केलर) वे मात्राएँ होती हैं जिनकी विशेषता होती है अंकीय मूल्यऔर हस्ताक्षर। अदिश लंबाई है - मैं, द्रव्यमान - एम, पथ - एस, समय - टी, तापमान - टी, आवेश − क्यू, ऊर्जा - वू, निर्देशांक, आदि
सभी स्केलर पर लागू होते हैं। बीजीय क्रिया(जोड़, घटाव, गुणा, आदि)।

 उदाहरण 1.
सिस्टम का कुल चार्ज निर्धारित करें, इसमें शामिल शुल्क शामिल हैं, यदि q 1 \u003d 2 nC, q 2 \u003d -7 nC, q 3 \u003d 3 nC।
पूरा सिस्टम चार्ज
क्यू \u003d क्यू 1 + क्यू 2 + क्यू 3 \u003d (2 - 7 + 3) एनसी = -2 एनसी = -2 × 10 -9 सी।

 उदाहरण 2.
के लिए द्विघात समीकरणतरह
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± (b 2 - 4ac))।

 वेक्टरमात्राएँ (वैक्टर) वे मात्राएँ हैं जिनकी परिभाषा के लिए संख्यात्मक मान के साथ-साथ दिशा भी निर्दिष्ट करना आवश्यक है। सदिश - गति वी, बल एफ, गति पी, तनाव विद्युत क्षेत्र इ, चुंबकीय प्रेरण बीऔर आदि।
वेक्टर (मॉड्यूलो) का संख्यात्मक मान एक वेक्टर प्रतीक के बिना एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है या वेक्टर लंबवत रेखाओं के बीच संलग्न होता है आर = |आर|.
ग्राफिक रूप से, वेक्टर को एक तीर द्वारा दर्शाया जाता है (चित्र 1),

किसी दिए गए पैमाने में जिसकी लंबाई उसके मापांक के बराबर होती है, और दिशा वेक्टर की दिशा के साथ मेल खाती है।
दो सदिश समान होते हैं यदि उनके मापांक और दिशाएं समान हों।
सदिश राशियों को ज्यामितीय रूप से जोड़ा जाता है (वेक्टर बीजगणित के नियम के अनुसार)।
दिए गए घटक सदिशों का सदिश योग ज्ञात करना सदिश योग कहलाता है।
दो सदिशों का योग समांतर चतुर्भुज या त्रिभुज नियम के अनुसार किया जाता है। कुल वेक्टर
सी = ए + बी
सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के बराबर एऔर बी. मॉड्यूल इसे
с = (a 2 + b 2 - 2abcosα) (चित्र 2)।


α = 90° के लिए, c = (a 2 + b 2) पाइथागोरस प्रमेय है।

वही सदिश c त्रिभुज नियम द्वारा प्राप्त किया जा सकता है यदि सदिश के अंत से एस्थगित वेक्टर बी. क्लोजिंग वेक्टर c (वेक्टर की शुरुआत को जोड़ना एऔर वेक्टर का अंत बी) पदों का सदिश योग है (सदिशों के अवयव .) एऔर बी).
परिणामी वेक्टर टूटी हुई रेखा में से एक के रूप में पाया जाता है, जिसके लिंक घटक वैक्टर हैं (चित्र 3)।


 उदाहरण 3.
दो बल जोड़ें एफ 1 \u003d 3 एन और एफ 2 \u003d 4 एन, वैक्टर एफ1और F2क्रमशः क्षितिज के साथ कोण α 1 \u003d 10 ° और α 2 \u003d 40 ° बनाएं
 एफ = एफ 1 + एफ 2(चित्र 4)।

इन दोनों बलों के योग का परिणाम एक बल है जिसे परिणामी कहा जाता है। वेक्टर एफवैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के साथ निर्देशित एफ1और F2, पक्षों के रूप में, और इसकी लंबाई के बराबर मोडुलो।
वेक्टर मापांक एफकोसाइन के नियम द्वारा खोजें
एफ = √ (एफ 1 2 + एफ 2 2 + 2 एफ 1 एफ 2 कॉस (α 2 - α 1)),
एफ = √ (3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × कॉस (40 डिग्री -10 डिग्री)) 6.8 एच।
यदि एक
(α 2 - α 1) = 90°, फिर F = (F 1 2 + F 2 2 )।

कोण वह वेक्टर एफऑक्स अक्ष के साथ है, हम सूत्र द्वारा पाते हैं
α \u003d आर्कटग ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = आर्कटैन ((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = आर्कटैन 0.51, α 0.47 रेड।

सदिश a का अक्ष पर प्रक्षेपण ऑक्स (Oy) एक अदिश मान है जो सदिश की दिशा के बीच के कोण α पर निर्भर करता है एऔर कुल्हाड़ियों बैल (Oy)। (चित्र 5)


वेक्टर अनुमान एबैल और ओए कुल्हाड़ियों पर आयताकार प्रणालीनिर्देशांक। (चित्र 6)


अक्ष पर वेक्टर प्रक्षेपण के संकेत का निर्धारण करते समय गलतियों से बचने के लिए, यह याद रखना उपयोगी है अगला नियम: यदि घटक की दिशा अक्ष की दिशा के साथ मेल खाती है, तो इस अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण सकारात्मक है, लेकिन यदि घटक की दिशा अक्ष की दिशा के विपरीत है, तो वेक्टर का प्रक्षेपण है नकारात्मक। (चित्र 7)


वेक्टर घटाव एक जोड़ है जिसमें पहले वेक्टर में एक वेक्टर जोड़ा जाता है, संख्यात्मक रूप से दूसरे के बराबर, विपरीत दिशा में निर्देशित
ए - बी = ए + (-बी) = डी(चित्र 8)।

इसे वेक्टर से आवश्यक होने दें एवेक्टर घटाना बी, उनका अंतर - डी. दो सदिशों का अंतर ज्ञात करने के लिए सदिश का होना आवश्यक है एवेक्टर जोड़ें ( बी), वह है, एक वेक्टर डी = ए - बीवेक्टर की शुरुआत से निर्देशित एक वेक्टर होगा एवेक्टर के अंत की ओर ( बी) (चित्र 9)।

वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज में एऔर बीदोनों पक्ष, एक विकर्ण सीयोग का अर्थ है, और दूसरा डी- वेक्टर अंतर एऔर बी(चित्र 9)।
वेक्टर उत्पाद एप्रति अदिश k बराबर सदिश बी= के ए, जिसका मापांक k गुना है अधिक मॉड्यूलवेक्टर ए, और दिशा दिशा के समान है एसकारात्मक k के लिए और ऋणात्मक k के विपरीत।

 उदाहरण 4.
एक पिंड का संवेग ज्ञात कीजिए जिसका द्रव्यमान 2 किग्रा है जो 5 मी/से की चाल से गतिमान है। (चित्र 10)

शरीर की गति पी= एम वी; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s और गति की ओर निर्देशित है वी.

 उदाहरण 5.
आवेश q = -7.5 nC को E = 400 V/m तीव्रता वाले विद्युत क्षेत्र में रखा गया है। आवेश पर लगने वाले बल का मापांक तथा दिशा ज्ञात कीजिए।

ताकत बराबर एफ= क्यू इ. चूँकि आवेश ऋणात्मक है, बल सदिश को पक्ष की ओर निर्देशित किया जाता है, वेक्टर विपरीत इ. (चित्र 11)


 विभाजनवेक्टर एएक अदिश k से गुणा करने के बराबर है ए 1/के द्वारा।
 डॉट उत्पादवैक्टर एऔर बीअदिश "सी" को बुलाओ उत्पाद के बराबरइन वैक्टरों के मॉड्यूल उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा
(ए.बी) = (बी.ए) = सी,
с = ab.cosα (चित्र 12)


 उदाहरण 6.
एक नौकरी खोजने के लिए निरंतर ताकतएफ = 20 एन यदि विस्थापन एस = 7.5 मीटर और कोण α बल और विस्थापन के बीच α = 120 डिग्री।

बल का कार्य परिभाषा के अनुसार होता है डॉट उत्पादबल और आंदोलन
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7.5 m × cos120° = -150 × 1/2 = -75 J।

 वेक्टर कलावैक्टर एऔर बीकॉल वेक्टर सी, संख्यात्मक रूप से वैक्टर ए और बी के मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर, उनके बीच के कोण की साइन से गुणा किया जाता है:
सी = ए × बी = ,
सी = एबी × sinα।
वेक्टर सीउस तल के लंबवत जिसमें सदिश स्थित हैं एऔर बी, और इसकी दिशा वैक्टर की दिशा से संबंधित है एऔर बीसही पेंच नियम (चित्र। 13)।


 उदाहरण 7.
एक चुंबकीय क्षेत्र में रखे 0.2 मीटर लंबे कंडक्टर पर अभिनय करने वाले बल का निर्धारण करें, जिसका इंडक्शन 5 टी है, यदि कंडक्टर में करंट 10 ए है और यह क्षेत्र की दिशा के साथ कोण α = 30 ° बनाता है।

amp शक्ति
dF = I = Idl × B या F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0.2 m × 1/2 = 5 N।

 समस्या समाधान पर विचार करें.
1. दो सदिशों को कैसे निर्देशित किया जाता है, जिनके मापांक समान और बराबर हैं, यदि उनके योग का मापांक बराबर है: a) 0; बी) 2ए; सीए; घ) ए√(2); ई) ए√(3)?

 फेसला.
ए) दो वैक्टर एक ही सीधी रेखा के साथ निर्देशित होते हैं विपरीत दिशाएं. इन वैक्टरों का योग शून्य के बराबर है।

बी) दो वैक्टर एक ही सीधी रेखा के साथ एक ही दिशा में निर्देशित होते हैं। इन सदिशों का योग 2a है।

c) दो सदिश एक दूसरे से 120° के कोण पर निर्देशित होते हैं। सदिशों का योग a के बराबर होता है। परिणामी वेक्टर कोसाइन प्रमेय द्वारा पाया जाता है:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = -1/2 और α = 120°।
d) दो सदिश एक दूसरे से 90° के कोण पर निर्देशित होते हैं। योग का मापांक है
a 2 + a 2 + 2acosα = 2a 2 ,
cosα = 0 और α = 90°।

e) दो सदिश एक दूसरे से 60° के कोण पर निर्देशित होते हैं। योग का मापांक है
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 और α = 60°।
 जवाब: सदिशों के बीच का कोण α बराबर होता है: a) 180°; बी) 0; सी) 120 डिग्री; घ) 90°; ई) 60 डिग्री।

2. अगर ए = ए1 + ए2वैक्टर का अभिविन्यास, वैक्टर के पारस्परिक अभिविन्यास के बारे में क्या कहा जा सकता है एक 1और एक 2, अगर: ए) ए = ए 1 + ए 2; बी) ए 2 \u003d ए 1 2 + ए 2 2; ग) ए 1 + ए 2 \u003d ए 1 - ए 2?

 फेसला.
a) यदि सदिशों का योग इन सदिशों के मॉड्यूलों के योग के रूप में पाया जाता है, तो सदिश एक सीधी रेखा में एक दूसरे के समानांतर निर्देशित होते हैं ए 1 ||ए 2.
बी) यदि वैक्टर एक दूसरे के कोण पर निर्देशित होते हैं, तो उनका योग समांतर चतुर्भुज के लिए कोसाइन के नियम द्वारा पाया जाता है
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 और α = 90°।
वेक्टर एक दूसरे के लंबवत हैं एक 1 एक 2.
सी) शर्त ए 1 + ए 2 = ए 1 - ए 2किया जा सकता है अगर एक 2- शून्य सदिश, फिर a 1 + a 2 = a 1 ।
 जवाब. ए) ए 1 ||ए 2; बी) एक 1 एक 2; में) एक 2- शून्य वेक्टर।

3. 1.42 N के दो बल शरीर के एक बिंदु पर एक दूसरे से 60° के कोण पर लागू होते हैं। शरीर के एक ही बिंदु पर 1.75 N के दो बलों को किस कोण पर लगाया जाना चाहिए ताकि उनकी कार्रवाई पहले दो बलों की कार्रवाई को संतुलित कर सके?

फेसला।
समस्या की स्थिति के अनुसार, 1.75 N के दो बल प्रत्येक 1.42 N के दो बलों को संतुलित करते हैं। यह संभव है यदि बल जोड़े के परिणामी वैक्टर के मॉड्यूल समान हों। परिणामी वेक्टर एक समांतर चतुर्भुज के लिए कोसाइन प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है। बलों की पहली जोड़ी के लिए:
एफ 1 2 + एफ 1 2 + 2एफ 1 एफ 1 cosα \u003d एफ 2,
बलों की दूसरी जोड़ी के लिए, क्रमशः
एफ 2 2 + एफ 2 2 + 2एफ 2 एफ 2 cosβ = एफ 2।
समीकरणों के बाएँ भागों की बराबरी करना
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ।
सदिशों के बीच वांछित कोण β ज्ञात कीजिए
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα - F 2 2 - F 2 2)/(2F 2 F 2)।
गणना के बाद,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° - 2.1.752)/(2.1.752) = -0.0124,
β 90.7 डिग्री।

 हल करने का दूसरा तरीका.
निर्देशांक अक्ष OX (चित्र) पर सदिशों के प्रक्षेपण पर विचार करें।

पक्षों के बीच अनुपात का उपयोग करना सही त्रिकोण, हम पाते हैं
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
कहाँ पे
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1.42/1.75) × cos(60/2) और β 90.7°।

4. वेक्टर ए = 3i - 4j. अदिश मान c क्या होना चाहिए ताकि |c ए| = 7,5?
 फेसला.
सी ए= सी ( 3i - 4j) = 7,5
वेक्टर मापांक एके बराबर होगा
a 2 = 3 2 + 4 2 , और a = ±5,
फिर से
सी.(±5) = 7.5,
उसे धून्डो
सी = ± 1.5।

5. वैक्टर एक 1और एक 2मूल से बाहर आओ और है कार्तीय निर्देशांकअंत (6, 0) और (1, 4), क्रमशः। एक वेक्टर खोजें एक 3ऐसा है कि: ए) एक 1 + एक 2 + एक 3= 0; बी) एक 1 − एक 2 + एक 3 = 0.

 फेसला.
आइए सदिशों को ड्रा करें कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक (चित्र।)

ए) ऑक्स अक्ष के साथ परिणामी वेक्टर है
एक एक्स = 6 + 1 = 7.
ओए अक्ष के साथ परिणामी वेक्टर है
ए वाई = 4 + 0 = 4।
सदिशों का योग शून्य के बराबर होने के लिए, यह आवश्यक है कि स्थिति
एक 1 + एक 2 = −एक 3.
वेक्टर एक 3मॉड्यूलो कुल वेक्टर के बराबर होगा ए1 + ए2लेकिन विपरीत दिशा में निर्देशित। अंत वेक्टर निर्देशांक एक 3(−7, −4) के बराबर है, और मापांक
ए 3 \u003d (7 2 + 4 2 ) \u003d 8.1।

बी) ऑक्स अक्ष के साथ परिणामी वेक्टर बराबर है
एक एक्स = 6 - 1 = 5,
और परिणामी वेक्टर ओए अक्ष के साथ
ए वाई = 4 - 0 = 4।
जब हालत
एक 1 − एक 2 = −एक 3,
वेक्टर एक 3सदिश a x = -5 और a y = -4 के अंत के निर्देशांक होंगे, और इसका मापांक है
ए 3 \u003d (5 2 + 4 2) \u003d 6.4।

6. दूत उत्तर की ओर 30 मीटर, पूर्व में 25 मीटर, दक्षिण में 12 मीटर की यात्रा करता है, और फिर इमारत में 36 मीटर की ऊंचाई तक एक लिफ्ट में चढ़ता है। उसके द्वारा तय की गई दूरी और विस्थापन क्या है एस?

 फेसला.
आइए हम समस्या में वर्णित स्थिति को एक मनमाना पैमाने पर एक समतल पर चित्रित करें (चित्र।)

वेक्टर का अंत ओएपूर्व में 25 मीटर, उत्तर में 18 मीटर और 36 ऊपर (25; 18; 36) के निर्देशांक हैं। एक व्यक्ति द्वारा तय किया गया पथ है
एल = 30 मीटर + 25 मीटर + 12 मीटर +36 मीटर = 103 मीटर।
विस्थापन वेक्टर का मॉड्यूल सूत्र द्वारा पाया जाता है
एस = √((x - x o) 2 + (y - y o) 2 + (z - z o) 2 ),
जहां एक्स ओ = 0, वाई ओ = 0, जेड ओ = 0।
एस \u003d (25 2 + 18 2 + 36 2 ) \u003d 47.4 (एम)।
 जवाब: एल = 103 मीटर, एस = 47.4 मीटर।

7. दो सदिशों के बीच कोण α एऔर बी 60° के बराबर होता है। वेक्टर की लंबाई निर्धारित करें सी = ए + बीऔर कोण β सदिशों के बीच एऔर सी. सदिशों के परिमाण a = 3.0 और b = 2.0 हैं।

 फेसला.
वेक्टर की लंबाई योग के बराबरवैक्टर एऔर बीहम समांतर चतुर्भुज (चित्र) के लिए कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके निर्धारित करते हैं।

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα)।
प्रतिस्थापन के बाद
c = (3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4.4।
कोण β निर्धारित करने के लिए, हम के लिए साइन प्रमेय का उपयोग करते हैं त्रिभुज एबीसी:
b/sinβ = a/sin(α - β).
साथ ही, आपको पता होना चाहिए कि
पाप (α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ।
सरल को हल करना त्रिकोणमितीय समीकरण, हम व्यंजक पर पहुँचते हैं
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
इस तरह,
β = आर्कटग (bsinα/(a + bcosα)),
β = आर्कटीजी (2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°।
आइए एक त्रिभुज के लिए कोज्या प्रमेय का उपयोग करके जाँच करें:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
कहाँ पे
cosβ = (a 2 + c 2 - b 2)/(2ac)
और
β \u003d आर्ककोस ((a 2 + c 2 - b 2) / (2ac)) \u003d आर्ककोस ((3 2 + 4.4 2 - 2 2) / (2.3.4.4)) \u003d 23 °।
 जवाब: सी 4.4; β 23 डिग्री।

 समस्याओं का समाधान.
8. वैक्टर के लिए एऔर बीउदाहरण 7 में परिभाषित, वेक्टर की लंबाई पाएं डी = ए - बीइंजेक्शन γ के बीच एऔर डी.

9. वेक्टर का प्रक्षेपण खोजें ए = 4.0i + 7.0jएक सीधी रेखा की ओर जिसकी दिशा ऑक्स अक्ष के साथ α = 30° का कोण बनाती है। वेक्टर एऔर रेखा xOy तल में स्थित है।

10. वेक्टर एसीधी रेखा AB, a = 3.0 से α = 30° का कोण बनाता है। रेखा AB से किस कोण पर सदिश को निर्देशित किया जाना चाहिए बी(बी = √(3)) ताकि वेक्टर सी = ए + बी AB के समानांतर था? वेक्टर की लंबाई पाएं सी.

11. तीन सदिश दिए गए हैं: ए = 3i + 2j - के; बी = 2i - जे + के; सी = मैं + 3j. लगता है) ए+बी; बी) ए+सी; में) (ए, बी); जी) (ए, सी)बी - (ए, बी)सी.

12. सदिशों के बीच का कोण एऔर बीबराबर α = 60°, a = 2.0, b = 1.0। वैक्टर की लंबाई पाएं सी = (ए, बी)ए + बीऔर डी = 2बी - ए/2.

13. सिद्ध कीजिए कि सदिश एऔर बीलंबवत हैं यदि a = (2, 1, −5) और b = (5, −5, 1)।

14. सदिशों के बीच कोण α ज्ञात कीजिए एऔर बी, यदि a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1)।

15. वेक्टर एऑक्स अक्ष के साथ कोण α = 30° बनाता है, इस वेक्टर का ओए अक्ष पर प्रक्षेपण एक y = 2.0 है। वेक्टर बीवेक्टर के लंबवत एऔर बी = 3.0 (आकृति देखें)।

वेक्टर सी = ए + बी. खोजें: a) वेक्टर प्रोजेक्शन बीबैल और ओए कुल्हाड़ियों पर; बी) मूल्य सी और कोण β वेक्टर के बीच सीऔर अक्ष ऑक्स; टैक्सी); डी) (ए, सी)।

 जवाब:
9. ए 1 \u003d ए एक्स कॉसα + ए वाई साइनα 7.0।
10. β = 300°; सी = 3.5।
11. ए) 5i + जे; बी) मैं + 3j - 2k; सी) 15i - 18j + 9k।
12. सी = 2.6; डी = 1.7।
14. α = 44.4°।
15. ए) बी एक्स \u003d -1.5; बी वाई = 2.6; बी) सी = 5; β 67°; ग) 0; घ) 16.0।
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 यह सभी देखें:

वेक्टर द्वारा एक मात्रा को समझने की प्रथा है जिसमें 2 मुख्य विशेषताएं हैं:

1. मापांक;
2. दिशा।

तो, दो वैक्टर समान के रूप में पहचाने जाते हैं यदि मॉड्यूल, साथ ही साथ दोनों की दिशाएं मेल खाती हैं। विचाराधीन मूल्य को अक्सर एक अक्षर के रूप में लिखा जाता है, जिस पर एक तीर खींचा जाता है।

संबंधित प्रकार की सबसे सामान्य मात्राओं में गति, बल और उदाहरण के लिए त्वरण भी शामिल हैं।

साथ में ज्यामितीय बिंदुदेखने के लिए, एक वेक्टर एक निर्देशित खंड हो सकता है, जिसकी लंबाई इसके मापांक से संबंधित होती है।

अगर हम विचार करें वेक्टर क्वांटिटीदिशा के अलावा, इसे सिद्धांत रूप में मापा जा सकता है। सच है, यह एक तरह से या किसी अन्य, संबंधित मूल्य की आंशिक विशेषता होगी। पूर्ण - केवल तभी प्राप्त किया जाता है जब इसे निर्देशित खंड के मापदंडों के साथ पूरक किया जाता है।

एक अदिश मूल्य क्या है?

अदिश द्वारा यह एक ऐसे मान को समझने की प्रथा है जिसमें केवल 1 विशेषता होती है, अर्थात् - अंकीय मूल्य. इस मामले में, माना गया मान सकारात्मक या नकारात्मक मान ले सकता है।

सामान्य अदिश राशियों में द्रव्यमान, आवृत्ति, वोल्टेज, तापमान शामिल हैं। उनके साथ विभिन्न उत्पादन करना संभव है गणितीय संचालन- जोड़, घटा, गुणा, भाग।

दिशा (एक विशेषता के रूप में) अदिश राशियों की विशेषता नहीं है।

तुलना

एक सदिश राशि और एक अदिश राशि के बीच मुख्य अंतर यह है कि पहला प्रमुख विशेषताऐं- मॉड्यूल और दिशा, दूसरा - एक संख्यात्मक मान। यह ध्यान देने योग्य है कि एक स्केलर की तरह एक वेक्टर मात्रा, सिद्धांत रूप में मापा जा सकता है, हालांकि, इस मामले में, इसकी विशेषताओं को केवल आंशिक रूप से निर्धारित किया जाएगा, क्योंकि दिशा की कमी होगी।

यह निर्धारित करने के बाद कि एक सदिश और एक अदिश राशि में क्या अंतर है, हम एक छोटी तालिका में निष्कर्षों को प्रतिबिंबित करेंगे।

स्कूली बच्चे को डराने वाले दो शब्द - वेक्टर और अदिश - वास्तव में डरावने नहीं हैं। यदि आप रुचि के साथ विषय पर पहुंचते हैं, तो सब कुछ समझा जा सकता है। इस लेख में, हम विचार करेंगे कि कौन सी मात्रा सदिश है और कौन सी अदिश राशि है। अधिक सटीक रूप से, आइए उदाहरण दें। प्रत्येक छात्र ने, शायद, इस तथ्य पर ध्यान दिया कि भौतिकी में कुछ मात्राएँ न केवल एक प्रतीक द्वारा, बल्कि ऊपर से एक तीर द्वारा भी इंगित की जाती हैं। वे किस लिए खड़े हैं? इस पर नीचे चर्चा की जाएगी। आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि यह स्केलर से कैसे भिन्न है।

वेक्टर उदाहरण। उन्हें कैसे लेबल किया जाता है

वेक्टर का क्या अर्थ है? वह जो आंदोलन की विशेषता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वह अंतरिक्ष में है या विमान में। एक वेक्टर मात्रा क्या है? उदाहरण के लिए, एक हवाई जहाज एक निश्चित ऊंचाई पर एक निश्चित गति से उड़ता है, एक विशिष्ट द्रव्यमान होता है, और हवाई अड्डे से आवश्यक त्वरण के साथ चलना शुरू करता है। एक विमान की गति क्या है? उसे क्या उड़ाया? बेशक, त्वरण, गति। भौतिकी पाठ्यक्रम से सदिश राशियाँ हैं अच्छे उदाहरण. इसे सीधे शब्दों में कहें तो एक सदिश राशि गति, विस्थापन से जुड़ी होती है।

पानी भी पहाड़ की ऊंचाई से एक निश्चित गति से चलता है। देखो? गति या द्रव्यमान नहीं, अर्थात् गति के कारण गति की जाती है। टेनिस खिलाड़ी रैकेट की मदद से गेंद को आगे बढ़ने देता है। यह त्वरण सेट करता है। वैसे, से जुड़ा हुआ है इस मामले मेंबल भी एक सदिश राशि है। क्योंकि यह दी गई गति और त्वरण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। बल भी बदलने में सक्षम है, विशिष्ट क्रियाएं. पेड़ों पर पत्तियों को झकझोरने वाली हवा को भी एक उदाहरण माना जा सकता है। क्योंकि गति है।

सकारात्मक और नकारात्मक मूल्य

एक वेक्टर मात्रा एक मात्रा है जिसमें आसपास के स्थान और एक मॉड्यूल में एक दिशा होती है। भयावह शब्द फिर से प्रकट हुआ, इस बार मॉड्यूल। कल्पना कीजिए कि आपको एक समस्या को हल करने की आवश्यकता है जहां त्वरण का नकारात्मक मूल्य तय किया जाएगा। प्रकृति में नकारात्मक मानअस्तित्व नहीं लगता। गति ऋणात्मक कैसे हो सकती है?

एक वेक्टर की ऐसी अवधारणा होती है। यह लागू होता है, उदाहरण के लिए, उन बलों पर जो शरीर पर लागू होते हैं, लेकिन हैं अलग दिशा. तीसरे को याद करें जहां क्रिया प्रतिक्रिया के बराबर है। लोग रस्सी खींच रहे हैं। एक टीम नीली जर्सी में है तो दूसरी पीली जर्सी में। दूसरे मजबूत हैं। मान लें कि उनके बल का सदिश धनात्मक रूप से निर्देशित है। उसी समय, पूर्व रस्सी खींचने में विफल रहता है, लेकिन वे कोशिश करते हैं। एक विरोधी ताकत है।

वेक्टर या अदिश मात्रा?

आइए एक सदिश राशि और एक अदिश राशि के बीच अंतर के बारे में बात करते हैं। किस पैरामीटर की कोई दिशा नहीं है, लेकिन उसका अपना अर्थ है? आइए कुछ सूचीबद्ध करें अदिशनीचे:

क्या उन सभी के पास दिशा है? नहीं। कौन सी मात्रा सदिश है और कौन सी अदिश राशि को केवल उदाहरण के द्वारा ही दिखाया जा सकता है। भौतिकी में ऐसी अवधारणाएँ न केवल "यांत्रिकी, गतिकी और कीनेमेटीक्स" खंड में हैं, बल्कि "विद्युत और चुंबकत्व" खंड में भी हैं। लोरेंत्ज़ बल भी एक सदिश राशि है।

सूत्रों में वेक्टर और अदिश

भौतिकी की पाठ्यपुस्तकों में अक्सर ऐसे सूत्र होते हैं जिनमें शीर्ष पर एक तीर होता है। न्यूटन का दूसरा नियम याद रखें। बल ("एफ" ऊपर एक तीर के साथ) द्रव्यमान ("एम") और त्वरण ("ए" ऊपर एक तीर के साथ) के उत्पाद के बराबर है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, बल और त्वरण सदिश राशियाँ हैं, लेकिन द्रव्यमान अदिश राशि है।

दुर्भाग्य से, सभी प्रकाशनों में इन मात्राओं का पदनाम नहीं है। शायद, यह सरल बनाने के लिए किया गया था, ताकि स्कूली बच्चों को गुमराह न किया जा सके। उन पुस्तकों और संदर्भ पुस्तकों को खरीदना सबसे अच्छा है जो सूत्रों में वैक्टर को इंगित करते हैं।

चित्रण दिखाएगा कि कौन सी मात्रा एक वेक्टर है। भौतिकी के पाठों में चित्रों और आरेखों पर ध्यान देने की सिफारिश की जाती है। वेक्टर मात्राओं की एक दिशा होती है। जहाँ यह निर्देशित है बेशक, नीचे। तो तीर उसी दिशा में दिखाया जाएगा।

पर तकनीकी विश्वविद्यालयभौतिकी का गहराई से अध्ययन करें। कई विषयों में, शिक्षक इस बारे में बात करते हैं कि कौन सी मात्राएँ अदिश और सदिश हैं। क्षेत्रों में इस तरह के ज्ञान की आवश्यकता है: निर्माण, परिवहन, प्राकृतिक विज्ञान।

मात्राओं को अदिश (स्केलर) कहा जाता है, यदि माप की एक इकाई चुनने के बाद, वे पूरी तरह से एक संख्या द्वारा विशेषता होती हैं। अदिश राशियों के उदाहरण कोण, सतह, आयतन, द्रव्यमान, घनत्व, विद्युत आवेश, प्रतिरोध, तापमान हैं।

दो प्रकार के अदिशों को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए: शुद्ध अदिश और स्यूडोस्केलर।

3.1.1. शुद्ध स्केलर।

शुद्ध स्केलर पूरी तरह से एकल संख्या द्वारा परिभाषित होते हैं, जो संदर्भ अक्षों की पसंद से स्वतंत्र होते हैं। तापमान और द्रव्यमान शुद्ध अदिश के उदाहरण हैं।

3.1.2. स्यूडोस्केलर।

शुद्ध अदिश की तरह, स्यूडोस्केलर को एक ही संख्या से परिभाषित किया जाता है, निरपेक्ष मूल्यजो संदर्भ अक्षों की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। हालाँकि, इस संख्या का चिन्ह निर्देशांक अक्षों पर सकारात्मक दिशाओं के चुनाव पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए विचार करें, घनाभ, किनारों के अनुमान जिसके आयताकार निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः बराबर हैं इस समांतर चतुर्भुज का आयतन निर्धारक का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है

जिसका निरपेक्ष मान आयताकार निर्देशांक अक्षों की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। हालाँकि, यदि आप निर्देशांक अक्षों में से किसी एक पर धनात्मक दिशा बदलते हैं, तो सारणिक चिह्न बदल देगा। आयतन एक स्यूडोस्केलर है। स्यूडोस्केलर भी कोण, क्षेत्र, सतह हैं। नीचे (धारा 5.1.8) हम देखेंगे कि एक स्यूडोस्केलर वास्तव में एक विशेष प्रकार का टेंसर है।

वेक्टर मात्रा

3.1.3. एक्सिस।

अक्ष एक अनंत सीधी रेखा है जिस पर सकारात्मक दिशा चुनी जाती है। ऐसी एक सीधी रेखा, और दिशा से

सकारात्मक माना जाता है। इस सरल रेखा पर एक खंड पर विचार करें और मान लें कि लंबाई मापने वाली संख्या एक है (चित्र 3.1)। तब खंड की बीजगणितीय लंबाई a के बराबर होती है, खंड की बीजगणितीय लंबाई बराबर होती है - a.

यदि हम कई समानांतर रेखाएँ लेते हैं, तो उनमें से एक पर सकारात्मक दिशा निर्धारित करने के बाद, हम इसे बाकी पर निर्धारित करते हैं। यदि रेखाएँ समानांतर न हों तो स्थिति भिन्न होती है; तो प्रत्येक सीधी रेखा के लिए सकारात्मक दिशा के चुनाव के संबंध में विशेष व्यवस्था करना आवश्यक है।

3.1.4. रोटेशन की दिशा।

धुरी चलो। हम अक्ष के परितः घूर्णन को धनात्मक या प्रत्यक्ष कहेंगे यदि यह अक्ष की धनात्मक दिशा में दायीं और बायीं ओर खड़े प्रेक्षक के लिए किया जाता है (चित्र 3.2)। अन्यथा, इसे नकारात्मक या उलटा कहा जाता है।

3.1.5. प्रत्यक्ष और उलटा त्रिकोण।

कुछ त्रिभुज (आयताकार या गैर-आयताकार) दें। कुल्हाड़ियों पर क्रमशः O से x, O से y और O से z तक धनात्मक दिशाएँ चुनी जाती हैं।

भौतिकी में, मात्राओं की कई श्रेणियां हैं: सदिश और अदिश।

एक वेक्टर मात्रा क्या है?

एक सदिश राशि की दो मुख्य विशेषताएं होती हैं: दिशा और मॉड्यूल. दो सदिश समान होंगे यदि उनके मोडुलो मान और दिशा समान हों। एक सदिश मात्रा को निर्दिष्ट करने के लिए, अक्षरों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है, जिसके ऊपर एक तीर प्रदर्शित होता है। सदिश राशि का एक उदाहरण बल, वेग या त्वरण है।

एक सदिश राशि के सार को समझने के लिए, इसे ज्यामितीय दृष्टिकोण से विचार करना चाहिए। एक वेक्टर एक रेखा खंड है जिसमें एक दिशा होती है। ऐसे खंड की लंबाई इसके मॉड्यूल के मूल्य से मेल खाती है। भौतिक उदाहरणवेक्टर मात्रा विस्थापन है सामग्री बिंदुअंतरिक्ष में घूम रहा है। इस बिंदु का त्वरण, गति और उस पर कार्य करने वाले बल जैसे पैरामीटर, विद्युत चुम्बकीयवेक्टर मात्रा के रूप में भी प्रदर्शित किया जाएगा।

यदि हम दिशा की परवाह किए बिना एक वेक्टर मात्रा पर विचार करते हैं, तो ऐसे खंड को मापा जा सकता है। लेकिन, परिणाम मूल्य की केवल आंशिक विशेषताओं को प्रदर्शित करेगा। उसके लिए पूर्ण मापमान को निर्देशित खंड के अन्य मापदंडों के साथ पूरक किया जाना चाहिए।

वेक्टर बीजगणित में, एक अवधारणा है शून्य वेक्टर . इस अवधारणा के तहत एक बिंदु है। शून्य सदिश की दिशा के लिए, इसे अनिश्चित माना जाता है। शून्य वेक्टर को अंकगणितीय शून्य द्वारा बोल्ड में टाइप किया जाता है।

यदि हम उपरोक्त सभी का विश्लेषण करते हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी निर्देशित खंड वैक्टर को परिभाषित करते हैं। दो खंड एक वेक्टर को तभी परिभाषित करेंगे जब वे बराबर हों। वैक्टर की तुलना करते समय, वही नियम लागू होता है जो अदिश राशियों की तुलना करते समय लागू होता है। समानता का अर्थ है सभी प्रकार से पूर्ण मिलान।

एक अदिश मूल्य क्या है?

एक सदिश के विपरीत, एक अदिश राशि का केवल एक पैरामीटर होता है - वह है इसका संख्यात्मक मान. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विश्लेषण किए गए मूल्य में सकारात्मक संख्यात्मक मान और नकारात्मक दोनों हो सकते हैं।

उदाहरणों में द्रव्यमान, वोल्टेज, आवृत्ति या तापमान शामिल हैं। इन मूल्यों के साथ, आप विभिन्न प्रदर्शन कर सकते हैं अंकगणितीय आपरेशनस: जोड़, भाग, घटा, गुणा। एक अदिश राशि के लिए, दिशा जैसी विशेषता विशेषता नहीं है।

एक अदिश राशि को एक संख्यात्मक मान द्वारा मापा जाता है, इसलिए इसे पर प्रदर्शित किया जा सकता है समन्वय अक्ष. उदाहरण के लिए, बहुत बार वे तय की गई दूरी, तापमान या समय की धुरी का निर्माण करते हैं।

अदिश और सदिश राशियों के बीच मुख्य अंतर

ऊपर दिए गए विवरण से यह देखा जा सकता है कि सदिश राशियों और अदिश राशियों के बीच मुख्य अंतर उनके में निहित है विशेषताएँ. एक सदिश राशि में एक दिशा और एक मापांक होता है, जबकि एक अदिश राशि का केवल एक संख्यात्मक मान होता है। बेशक, एक स्केलर की तरह एक वेक्टर मात्रा को मापा जा सकता है, लेकिन ऐसी विशेषता पूर्ण नहीं होगी, क्योंकि कोई दिशा नहीं है।

एक अदिश राशि और एक सदिश राशि के बीच अंतर को अधिक स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने के लिए, एक उदाहरण दिया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, हम ज्ञान का ऐसा क्षेत्र लेते हैं जैसे जलवायुविज्ञानशास्र. यदि हम कहें कि हवा 8 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रही है, तो एक अदिश मान का परिचय दिया जाएगा। लेकिन, अगर हम कहें कि उत्तरी हवा 8 मीटर प्रति सेकेंड की रफ्तार से चलती है तो हम वेक्टर वैल्यू की बात करेंगे।

वेक्टर खेलते हैं बड़ी भूमिकाआधुनिक गणित में, साथ ही यांत्रिकी और भौतिकी के कई क्षेत्रों में। बहुमत भौतिक मात्रावैक्टर के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। इससे उपयोग किए गए फ़ार्मुलों और परिणामों को सामान्य बनाना और काफी हद तक सरल बनाना संभव हो जाता है। अक्सर वेक्टर मान और वैक्टर एक दूसरे के साथ पहचाने जाते हैं। उदाहरण के लिए, भौतिकी में कोई यह सुनता है कि गति या बल एक सदिश है।