Kami mempersembahkan kepada Anda tutorial video tentang topik "Membangun segitiga dengan tiga elemen." Anda akan dapat menyelesaikan beberapa contoh dari kelas masalah konstruksi. Guru akan menganalisis secara rinci masalah membangun segitiga menurut tiga elemen, dan juga mengingat teorema tentang persamaan segitiga.

Topik ini memiliki lebar penggunaan praktis, jadi mari kita pertimbangkan beberapa jenis pemecahan masalah. Ingatlah bahwa konstruksi apa pun dilakukan secara eksklusif dengan bantuan kompas dan penggaris.

Contoh 1:

Buatlah sebuah segitiga yang memiliki dua sisi dan sebuah sudut di antara mereka.

Diberikan: Misalkan segitiga yang dianalisis terlihat seperti ini

Beras. 1.1. Segitiga yang dianalisis misalnya 1

Biarlah segmen yang diberikan akan menjadi c dan a, dan sudut yang diberikan adalah

Beras. 1.2. Tetapkan Item misalnya 1

Bangunan:

Pertama, Anda harus menyisihkan sudut 1

Beras. 1.3. Sudut tertunda 1 misalnya 1

Kemudian, di sisi sudut tertentu, kami menyisihkan dua sisi yang diberikan dengan kompas: kami mengukur panjang sisi dengan kompas sebuah dan tempatkan ujung kompas pada titik sudut 1, dan dengan bagian lainnya kita buat takik pada sisi sudut 1. Kita lakukan prosedur yang sama dengan sisinya dengan

Beras. 1.4. Sisi yang ditunda sebuah dan dengan misalnya 1

Kemudian kami menghubungkan takik yang dihasilkan, dan kami mendapatkan segitiga ABC yang diinginkan

Beras. 1.5. Dibangun segitiga ABC misalnya 1

Akankah? segitiga yang diberikan sama dengan yang diharapkan? Akan, karena elemen-elemen segitiga yang dihasilkan (dua sisi dan sudut di antara mereka) masing-masing sama dengan kedua sisi dan sudut di antara mereka diberikan dalam kondisi. Oleh karena itu, menurut properti pertama persamaan segitiga - - yang diinginkan.

Konstruksi selesai.

Catatan:

Ingat bagaimana menyisihkan sudut yang sama dengan yang diberikan.

Contoh 2

Sisihkan dari sinar yang diberikan sudut yang sama dengan yang diberikan. Sudut A dan sinar OM diberikan. Membangun .

Bangunan:

Beras. 2.1. Kondisi misalnya 2

1. Bangun lingkaran Okr(A, r = AB). Titik B dan C adalah titik potong dengan sisi-sisi sudut A

Beras. 2.2. Solusi misalnya 2

1. Buatlah lingkaran Okr(D, r = CB). Titik E dan M - adalah titik potong dengan sisi-sisi sudut A

Beras. 2.3. Solusi misalnya 2

1. Sudut MOE adalah yang diinginkan, karena .

Konstruksi selesai.

Contoh 3

Bangun segitiga ABC pihak yang dikenal dan dua sudut yang berdekatan.

Biarkan segitiga yang dianalisis terlihat seperti ini:

Beras. 3.1. Kondisi misalnya 3

Kemudian segmen yang diberikan terlihat seperti ini

Beras. 3.2. Kondisi misalnya 3

Bangunan:

Sisihkan sudut di pesawat

Beras. 3.3. Solusi untuk Contoh 3

Di sisi sudut yang diberikan, mari kita plot panjang sisinya sebuah

Beras. 3.4. Solusi untuk Contoh 3

Kemudian kita tunda sudut dari titik C. Sisi-sisi yang tidak sama dari sudut dan berpotongan di titik A

Beras. 3.5. Solusi untuk Contoh 3

Apakah segitiga yang dibangun adalah yang diinginkan? Karena sisi dan dua sudut yang berdekatan dengannya dari segitiga yang dibangun masing-masing sama dengan sisi dan sudut di antara mereka, diberikan dalam kondisi

Disyaratkan oleh kriteria kedua untuk persamaan segitiga

Bangun selesai

Contoh 4

Bangun segitiga dengan 2 kaki

Biarkan segitiga yang dianalisis terlihat seperti ini

Beras. 4.1. Kondisi misalnya 4

Elemen yang diketahui - kaki

Beras. 4.2. Kondisi misalnya 4

Tugas ini berbeda dari yang sebelumnya karena sudut antara sisi dapat ditentukan secara default - 90 0

Bangunan:

Sisihkan sudut yang sama dengan 90 0 . Kami akan melakukan ini dengan cara yang persis sama seperti yang ditunjukkan pada contoh 2.

Beras. 4.3. Solusi misalnya 4

Kemudian, pada sisi-sisi sudut ini, kita sisihkan panjang sisi-sisinya sebuah dan b, diberikan dalam kondisi

Beras. 4.4. Solusi misalnya 4

Hasilnya, segitiga yang dihasilkan adalah yang diinginkan, karena kedua sisinya dan sudut di antara mereka masing-masing sama dengan kedua sisi dan sudut di antara mereka, diberikan dalam kondisi

Perhatikan bahwa Anda dapat menunda sudut 90 0 dengan membuat dua garis tegak lurus. Bagaimana menyelesaikan tugas ini, lihat contoh tambahan

Contoh tambahan

Kembalikan tegak lurus terhadap garis p yang melalui titik A,

Garis p, dan titik A terletak pada garis ini

Beras. 5.1. Kondisi untuk contoh tambahan

Bangunan:

Pertama, mari kita buat lingkaran dengan radius sembarang yang berpusat di titik A

Beras. 5.2. Solusi untuk contoh tambahan

Lingkaran ini memotong garis R di titik K dan E. Kemudian kita buat dua lingkaran Okr(K, R = KE), Okr(E, R = KE). Lingkaran-lingkaran ini berpotongan di titik C dan B. Segmen SV adalah yang diinginkan,

Beras. 5.3. Jawaban untuk contoh tambahan

1. Koleksi tunggal digital sumber daya pendidikan ().
2. Guru matematika ().

1. 285, 288. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. diedit oleh Tikhonov A. N. Geometri nilai 7-9. M.: Pencerahan. 2010
2. Membangun segitiga sama kaki sepanjang sisi dan sudut yang berlawanan dengan alas.
3. Membangun segitiga siku-siku sisi miring dan sudut lancip
4. Bangunlah sebuah segitiga yang diketahui sudut, tinggi, dan garis bagi yang ditarik dari titik sudut tertentu.

1 Konstruksi segitiga dengan dua sisi dan sudut di antara mereka

Konstruksi bangun geometris adalah salah satu dari tugas yang menarik dalam geometri. Tidak mudah untuk mendapatkan angka yang diperlukan hanya dengan bantuan kompas dan penggaris tanpa pembagian.

Bentuk segitiga sering digunakan dalam memecahkan masalah, tetapi bagaimana membangunnya dengan benar?

Biarkan perlu untuk membangun sebuah segitiga yang diberikan dua sisi dan sudut di antara mereka.

Pertama, apa itu dua sisi - ini adalah dua segmen arbitrer, misalnya, P1Q1 dan P2Q2, dan juga sudut sewenang-wenang alfa. Semua elemen ini sudah dibangun, dengan kata lain elemen ini diberi tugas.

Kedua, Anda perlu menentukan urutan konstruksi: pertama Anda perlu membangun satu sisi segitiga, lalu sudut, dan kemudian sisi kedua segitiga.

Jadi, kita memiliki selembar kertas putih di depan kita, buat garis lurus a dan tandai titik A di atasnya, lalu ambil kompas dan sisihkan ruas AB, sama dengan ruas P1Q1. Selanjutnya, kita memilih bukaan kompas sembarang dan menggambar satu lingkaran yang berpusat pada titik sudut alfa dan lingkaran lainnya berpusat di titik A. Lingkaran pertama akan memotong sinar-sinar sudut alfa di titik P dan K, dan lingkaran kedua akan memotong garis lurus a di titik M. Gambarlah ruas RK. Kemudian kita ambil bukaan kompas, sama dengan ruas RK, dan buat lingkaran yang berpusat di titik M. Lingkaran yang berpusat di titik M memotong lingkaran yang berpusat di titik A, biarkan titik ini menjadi M1. Mari kita menggambar balok AM1. Kemudian, pada sinar AM1, kami menyisihkan segmen AC, sama dengan segmen P2Q2. Hubungkan titik B dan C dengan ruas garis. Segitiga ABC yang dihasilkan adalah yang diinginkan.

Sekarang kita akan membuktikan bahwa segitiga ABC yang dihasilkan adalah yang diinginkan. Faktanya, segmen AB sama dengan segmen P1Q1 dan segmen AC sama dengan segmen P2Q2 berdasarkan konstruksi. Sudut alpha juga dengan konstruksi sama dengan sudut CAB. Dengan jalur konstruksi tertentu, untuk setiap segmen tertentu P1Q1 dan P2Q2 dan alfa sudut yang tidak dilipat, segitiga yang diinginkan dapat dibangun. Karena garis a dan titik A di atasnya dapat dipilih secara sewenang-wenang, ada banyak segitiga tak terhingga yang memenuhi kondisi masalah. Semua segitiga ini sama satu sama lain sesuai dengan kriteria pertama untuk persamaan segitiga, oleh karena itu biasanya dikatakan bahwa tugas yang diberikan memiliki solusi yang unik.

2 Konstruksi segitiga dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan

Sekarang perhatikan masalah membangun sebuah segitiga yang diketahui sisi dan dua sudut yang berdekatan.

Jadi, kita diberikan segmen PQ dan dua sudut alfa dan beta. Gambarlah garis a dan tandai di atasnya titik sewenang-wenang A. Sisihkan dari titik A ruas AB, sama dengan ruas PQ. Kemudian kita bangun sudut M1AB dengan titik di titik A, sama dengan sudut alpha, dan sudut M2BA dengan titik di titik B, sama dengan sudut beta. Titik perpotongan sinar AM1 dan VM2 akan menjadi titik C. Segitiga ABC adalah yang diinginkan.

Mari kita buktikan: ruas AB sama dengan ruas PQ secara konstruksi, juga dengan konstruksi sudut CAB sama dengan sudut alpha, dan sudut CBA sama dengan sudut beta.

Seperti yang Anda ketahui, jumlah sudut dalam segitiga sama dengan 180 derajat, oleh karena itu, dengan konstruksi tertentu, segitiga ABC yang diperlukan hanya dapat dibangun jika jumlah sudut alfa dan beta kurang dari 180 derajat. Jika jumlah sudut-sudut ini lebih besar dari atau sama dengan 180 derajat, segitiga tidak dapat dibangun.

Dalam soal ini, seperti pada soal sebelumnya, garis a dan titik A di atasnya dapat dipilih secara sewenang-wenang, yang berarti ada banyak segitiga tak terhingga yang memenuhi kondisi soal. Semua segitiga ini sama satu sama lain sesuai dengan kriteria kedua untuk kesetaraan segitiga, jadi kami mengatakan bahwa masalah ini memiliki solusi yang unik.

3 Konstruksi segitiga di tiga sisi

Membangun segitiga yang diberikan tiga sisi adalah tugas ketiga membangun segitiga.

Mari kita diberikan tiga segmen P1Q1, P2Q2 dan P3Q3. perlu untuk membuat segitiga ABC di mana AB sama dengan P1Q1, BC sama dengan P2Q2 dan CA sama dengan P3Q3.

Gambarlah garis lurus a dan di atasnya, dengan menggunakan kompas, sisihkan ruas AB, sama dengan ruas P1Q1. Kemudian kami membuat dua lingkaran: satu - dengan pusat di titik A dan jari-jari P3Q3, dan yang lainnya - dengan pusat di titik B dan jari-jari P2Q2. Biarkan titik C menjadi salah satu titik persimpangan lingkaran ini. Setelah menggambar segmen AC dan BC, kami memperoleh segitiga ABC yang diinginkan. Memang, dengan konstruksi, AB sama dengan P1Q1, BC sama dengan P2Q2, dan CA sama dengan P3Q3, yaitu, sisi segitiga sama dengan segmen ini.

Masalah yang dipertimbangkan tidak selalu memiliki solusi karena pertidaksamaan segitiga, yaitu, dalam segitiga apa pun jumlah dua sisi lebih besar dari sisi ketiga, oleh karena itu, jika salah satu dari segmen ini lebih besar dari atau sama dengan jumlah dua lainnya, maka tidak mungkin untuk membangun sebuah segitiga yang sisinya akan sama dengan segmen yang diberikan.

Daftar literatur yang digunakan:

1. Atanasyan L.S. Buku teks: Geometri. Kelas 7-9: buku teks. untuk pendidikan umum organisasi / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev dan lainnya - M .: Pendidikan, 2013. -383 hal.
2. Geometri. Bagian I Planimetri: tutorial/ I.B. Barsky, G.N. Timofeev. - Yoshkar-Ola: penerbit Negara Bagian Mari. un-ta, 2006 dan 2008. - 636s

Topik pelajaran:Konstruksi segitiga oleh tiga elemen

Tujuan pelajaran: untuk mempelajari cara membangun segitiga dengantiga elemen

Tujuan pelajaran: membuat segitiga menggunakan penggaris dan kompas

Selama kelas:

Tahap 1: momen org, salam, memeriksa pekerjaan rumah

Tahap 2: topik baru

Konstruksi segitiga yang diberikan dua sisi dan sudut di antara mereka .

Diberikan dua segmensebuahdanb, mereka sama dengan sisi segitiga yang diinginkan, dan sudut∡ 1 sama dengan sudut segitiga antara sisi-sisinya. Hal ini diperlukan untuk membangun segitiga dengan elemen yang sama dengan segmen dan sudut yang diberikan.

1. Gambarlah garis lurus.

Asebuah.

∡ 1 (sudut atasA

4. Di sisi lain sudut, sisihkan segmen yang sama dengan segmen ini b.

5. Hubungkan ujung segmen.

Menurut kriteria kesetaraan segitiga pada dua sisi dan sudut di antara mereka, segitiga yang dibangun adalah sama dengan semua segitiga yang memiliki elemen-elemen ini.

Konstruksi segitiga dengan sisi dan dua sudut yang berdekatan .

Diberikan segmensebuahdan dua sudut∡ 1 dan∡ 2 , sudut yang sama segitiga yang berdekatan dengan sisi tertentu. Hal ini diperlukan untuk membangun segitiga dengan elemen yang sama dengan segmen dan sudut yang diberikan.

1. Gambarlah garis lurus.

2. Pada garis lurus dari titik yang dipilihAgambarlah segmen yang sama dengan segmen yang diberikansebuahB.

3. Bangun sudut yang sama dengan yang diberikan∡ 1 (sudut atasA, satu sisi sudut terletak pada garis lurus).

4. Bangun sudut yang sama dengan yang diberikan∡ 2 (sudut atasB, satu sisi sudut terletak pada garis lurus).

5. Titik potong sisi-sisi sudut lainnya adalah titik sudut ketiga dari segitiga yang diinginkan.

Menurut kriteria kesetaraan segitiga sepanjang sisi dan dua sudut yang berdekatan dengannya, segitiga yang dibangun sama dengan semua segitiga yang dimiliki elemen-elemen ini.

Membangun Segitiga dengan Tiga Sisi .

Tiga segmen diberikan:sebuah, bdancsama dengan sisi segitiga yang diinginkan. Hal ini diperlukan untuk membangun segitiga dengan sisi yang sama dengan segmen yang diberikan.

Dalam hal ini, sebelum memulai konstruksi, Anda perlu memastikan bahwa pertidaksamaan segitiga terpenuhi (panjang setiap segmen kurang dari jumlah panjang dua segmen lainnya), dan segmen ini dapat berupa sisi segitiga.

1. Gambarlah garis lurus.

2. Pada garis lurus dari titik yang dipilihAgambarlah segmen yang sama dengan segmen yang diberikansebuah, dan tandai ujung segmen yang lainB.

3. Gambarlah sebuah lingkaran dengan pusatAdan radius sama dengan segmenb.

4. Gambarlah lingkaran dengan pusatBdan radius sama dengan segmenc.

5. Titik potong lingkaran adalah titik sudut ketiga dari segitiga yang diinginkan

Menurut kriteria persamaan segitiga pada tiga sisi, segitiga yang dibangun sama dengan semua segitiga yang memiliki sisi.

Tahap 3: pemecahan masalah

№ 239 halaman 74

bangun segitiga siku-siku dengan dua kaki

Tahap 4: tanya jawab

Tahap 5: pekerjaan rumah Nomor 240 halaman 74

segitiga adalah sosok geometris, yang terbentuk saat menghubungkan segmen tiga poin tidak termasuk dalam garis yang sama. Secara unik ditentukan oleh himpunan tiga data: tiga sisi, dua sisi dan satu sudut di antaranya, atau satu sisi dan dua sudut yang berdekatan.

Sebagai contoh, mari kita coba membangun sebuah segitiga dengan satu sisi dan dua sudut yang berdekatan?

Navigasi artikel cepat

Membangun segitiga

Pertama-tama, segmen diletakkan pada garis lurus, sama dengan panjang sisi yang diberikan. Ujung segmen ditandai dengan titik A dan B.

Untuk membangun sebuah segitiga, Anda perlu menyisihkan sudut yang diberikan dari titik A dan B. Jika nilai sudut diberikan, maka gunakan busur derajat untuk membangun:

• Kami menyelaraskan batang bawah busur derajat di sepanjang segmen garis lurus;
• Kami menetapkan titik referensi di titik A untuk tikungan pertama dan di titik B untuk tikungan kedua;
• Kemudian sisihkan sudutnya. Kami menempatkan titik-titik di sebelah pembagian skala yang sesuai dan menetapkannya M dan N;
• Kami menghubungkan titik A dan M, B dan N dengan garis lurus. Perpotongan garis yang dibangun akan menjadi titik ketiga dan terakhir dari segitiga C.

Jadi, sebuah segitiga dibangun di sepanjang sisi yang diberikan dan dua sudut yang disertakan.

Sudut grafis

Seringkali, untuk membangun sebuah segitiga yang diberi sisi dan dua sudut yang disertakan, sudut ditentukan secara grafis. Tugas menjadi lebih rumit, karena perlu untuk membangun sudut yang besarnya sama dengan sudut grafis yang diberikan.

Anda dapat mengukur nilai sudut yang diberikan secara grafis menggunakan busur derajat dan mendapatkan nilai sudut yang disertakan, lalu menggunakan metode yang dijelaskan dalam paragraf sebelumnya dan membuat segitiga.

Menggunakan kompas

Untuk cara lain membangun sudut yang besarnya sesuai dengan yang diberikan, Anda memerlukan kompas:

• Sebuah kompas, dengan solusi arbitrer, menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik awal sudut. Perpotongan lingkaran dan sisi-sisi sudut dilambangkan dengan M dan N;
• Sekarang kembali ke segmen AB, sisi yang sama segitiga yang diinginkan. Tanpa mengubah solusinya, gambar sebuah lingkaran dari titik A dan tandai titik perpotongannya dengan segmen AB - kita mendapatkan titik M1;
• Kembali ke sudut yang diberikan. Letakkan kaki kompas di titik M dan buat larutan sama dengan MN;
• Sekarang, tanpa mengubah solusi kompas, gambar sebuah lingkaran dari titik M1 hingga berpotongan dengan lingkaran pertama - kita mendapatkan titik N1;
• Hubungkan titik lurus A dan N1. Sudut M1AN1 dan akan sama dengan yang diberikan;
• Kami juga membangun sudut kedua di titik B. Perpotongan sisi sudut yang dibangun akan menjadi titik C yang hilang.

Dengan cara ini, segitiga dibangun menggunakan kompas di sepanjang sisi dan dua sudut yang diberikan disertakan menggunakan kompas.

Akhirnya, pertimbangkan masalahnya, solusinya mengarah pada konstruksi segitiga dengan sisi dan dua sudut:

Di sisi lain sungai (Gbr. 72) sebuah tonggak sejarah terlihat A. Diperlukan, tanpa menyeberangi sungai, untuk mengetahui jaraknya dari tonggak PADA di pantai ini.

Mari kita lakukan. Mengukur dari satu titik PADA jarak tertentu dalam garis lurus matahari dan di ujungnya PADA dan Dengan mari kita ukur sudut 1 dan 2 (Gbr. 73). Jika sekarang di medan yang nyaman, ukur jaraknya D.E. setara matahari, dan buat sudut di ujungnya sebuah dan b(Gbr. 74), sama dengan sudut 1 dan 2, maka pada titik persimpangan sisi-sisinya kita mendapatkan simpul ketiga F segi tiga DEF. Sangat mudah untuk melihat bahwa segitiga DEF sama dengan segitiga ABC; Memang, jika kita membayangkan bahwa segitiga DEF ditumpangkan pada ABC jadi sisi itu DE bertepatan dengan sisi yang sama matahari, lalu ug. sebuah berimpit dengan sudut 1, sudut b- dengan sudut 2, dan sisi D.F. akan pergi ke samping VA, dan sisi EF di samping SA. Karena dua garis hanya dapat berpotongan di satu titik, maka titik sudut F harus cocok dengan bagian atas A. Jadi jarak D.F. sama dengan jarak yang diinginkan WA.

Masalahnya, seperti yang kita lihat, hanya memiliki satu solusi. Secara umum, mengingat sisi dan dua sudut yang berdekatan dengan sisi ini, hanya satu segitiga yang dapat dibangun; tidak mungkin ada segitiga lain dengan sisi yang sama dan dua sudut yang sama berdekatan di tempat yang sama. Semua segitiga yang memiliki satu sisi identik dan dua sudut identik yang berdekatan di tempat yang sama dapat ditumpangkan menjadi kebetulan penuh. Jadi, ini adalah tanda yang dengannya Anda dapat menetapkan persamaan segitiga yang lengkap.

Bersama sebelumnya tanda-tanda didirikan segitiga yang sama, kita sekarang tahu tiga berikut:

Segitiga:

p o r e m s t o r o n dan m;

pada dua s tor o n a m dan sudut di antara;

p o r o n e dan d v u m u g l m.

Untuk singkatnya, kami akan menunjukkan tiga kasus persamaan segitiga sebagai berikut:

di tiga sisi: CCC;

pada dua sisi dan sudut di antara mereka: SUS;

sisi dan dua sudut: USU.

Aplikasi

14. Untuk mengetahui jarak ke suatu titik A di seberang sungai dari PADA di pantai ini (Gbr. 5), ukur dalam garis lurus beberapa garis matahari, kemudian pada titik PADA membangun sudut yang sama dengan ABC, di sisi lain matahari, dan pada satu titik Dengan- dengan cara yang sama, sudutnya sama dengan DIA. Jarak titik D perpotongan sisi kedua sisi sudut ke suatu titik PADA sama dengan jarak yang diinginkan AB. Mengapa?

Solusi: Segitiga ABC dan VDC sama di satu sisi matahari) dan dua sudut (ang. DCB= ang. DIA; sudut DBC= ang. ABC.) Karena itu, AB= BD, sebagai sisi berbaring di segitiga sama terhadap sudut yang sama.