მაშინაც კი, როცა პირველ კურსზე ვიყავი, ერთ-ერთ თანაკლასელთან ცხარე კამათი მქონდა. მან თქვა, რომ ოთხგანზომილებიანი კუბი ვერანაირი ფორმით ვერ გამოისახებოდა და მე დავრწმუნდი, რომ ის საკმაოდ მკაფიოდ იყო წარმოდგენილი. შემდეგ მე გავაკეთე ჰიპერკუბის პროექცია ჩვენს სამგანზომილებიან სივრცეზე ქაღალდის სამაგრებისგან... მაგრამ მოდი ვისაუბროთ ყველაფერზე თანმიმდევრობით.
რა არის ჰიპერკუბი (ტესერაქტი) და ოთხგანზომილებიანი სივრცე
ჩვენს ჩვეულ სივრცეში სამი განზომილებაა. თან გეომეტრიული წერტილითვალსაზრისით, ეს ნიშნავს, რომ მასში შეიძლება მიეთითოს სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ხაზი. ანუ, ნებისმიერი ხაზისთვის შეგიძლიათ იპოვოთ მეორე ხაზი პირველზე პერპენდიკულარული, ხოლო წყვილისთვის შეგიძლიათ იპოვოთ მესამე ხაზი პირველი ორის პერპენდიკულარული. უკვე შეუძლებელი იქნება მეოთხე სწორი ხაზის პერპენდიკულარული სამი არსებულის პოვნა.
ოთხგანზომილებიანი სივრცე ჩვენისგან მხოლოდ იმით განსხვავდება, რომ მას აქვს კიდევ ერთი დამატებითი მიმართულება. თუ თქვენ უკვე გაქვთ სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ხაზი, მაშინ შეგიძლიათ იპოვოთ მეოთხე ისეთი, რომ ის სამივეს პერპენდიკულარული იყოს.
ჰიპერკუბი არის მხოლოდ კუბი ოთხ განზომილებაში.
შესაძლებელია თუ არა წარმოვიდგინოთ ოთხგანზომილებიანი სივრცე და ჰიპერკუბი?
ეს კითხვა ჰგავს კითხვას: „წარმოგიდგენიათ Ბოლო ვახშამიუყურებ ლეონარდო და ვინჩის (1452-1519) ამავე სახელწოდების ნახატს (1495-1498 წწ.)?
ერთის მხრივ, რასაკვირველია, ვერ წარმოიდგენთ, რა დაინახა იესომ (ის ზის მაყურებლის პირისპირ), მით უმეტეს, რომ ფანჯრის მიღმა ბაღის სუნი და სუფრაზე საკვების გემო არ გესმით, ჩიტები არ გესმით. სიმღერა... ვერ მიიღებ სრული ხედიიმის შესახებ, თუ რა მოხდა იმ საღამოს, მაგრამ არ შეიძლება ითქვას, რომ ახალს ვერაფერს გაიგებთ და რომ სურათი არ არის საინტერესო.
მსგავსი სიტუაციაა ჰიპერკუბის საკითხთან დაკავშირებით. მისი სრულად წარმოდგენა შეუძლებელია, მაგრამ შეგიძლიათ უფრო ახლოს გაიგოთ, რა არის ეს.
სივრცე-დრო და ევკლიდეს ოთხგანზომილებიანი სივრცე
იმედი მაქვს, თქვენ მოახერხეთ ჰიპერკუბის წარმოდგენა. მაგრამ მოახერხეთ მიახლოება იმის გაგებასთან, თუ როგორ მუშაობს ოთხგანზომილებიანი სივრცე-დრო, რომელშიც ჩვენ ვცხოვრობთ? ვაი, ნამდვილად არა.
აქ ვისაუბრეთ ევკლიდეს ოთხგანზომილებიან სივრცეზე, მაგრამ სივრცე-დროს აქვს ძალიან განსხვავებული თვისებები. კერძოდ, ნებისმიერი ბრუნვისას, სეგმენტები ყოველთვის დახრილი რჩება დროის ღერძისკენ, ან 45 გრადუსზე ნაკლები კუთხით, ან 45 გრადუსზე მეტი კუთხით.
ოთხგანზომილებიანი სივრცის მკვიდრის პროგნოზები და ხედვა
რამდენიმე სიტყვა მხედველობის შესახებ
ჩვენ ვცხოვრობთ სამგანზომილებიან სამყაროში, მაგრამ ვხედავთ მას ორგანზომილებიანად. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ჩვენი თვალების ბადურა მდებარეობს თვითმფრინავში, რომელსაც აქვს მხოლოდ ორი განზომილება. სწორედ ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია აღვიქვათ ორგანზომილებიანი სურათები და ვიპოვოთ ისინი რეალობის მსგავსი. (რა თქმა უნდა, განსახლების წყალობით, თვალს შეუძლია შეაფასოს მანძილი ობიექტამდე, მაგრამ ეს უკვე გვერდითი მოვლენაა, რომელიც დაკავშირებულია ჩვენს თვალში ჩაშენებულ ოპტიკასთან.)
ოთხგანზომილებიანი სივრცის მაცხოვრებლის თვალებს უნდა ჰქონდეს სამგანზომილებიანი ბადურა. ასეთ არსებას შეუძლია დაუყოვნებლივ დაინახოს სამგანზომილებიანი ფიგურა მთლიანად: მთელი მისი სახე და შიგნით. (ასევე, ჩვენ შეგვიძლია დავინახოთ ორგანზომილებიანი ფიგურა, მისი ყველა სახე და შიგნით.)
ამრიგად, ჩვენი მხედველობის ორგანოების დახმარებით, ჩვენ არ შეგვიძლია აღვიქვათ ოთხგანზომილებიანი კუბი ისე, როგორც ამას ოთხგანზომილებიანი სივრცის მკვიდრი აღიქვამს. ვაი. რჩება მხოლოდ გონების თვალსა და ფანტაზიაზე დაყრდნობა, რომელსაც, საბედნიეროდ, არანაირი ფიზიკური შეზღუდვა არ გააჩნია.
თუმცა, თვითმფრინავზე ჰიპერკუბის გამოსახვისას, უბრალოდ უნდა გავაპროექტო იგი ორგანზომილებიანი სივრცე. გაითვალისწინეთ ეს ნახატების შესწავლისას.
კიდეების კვეთები
ბუნებრივია, ჰიპერკუბის კიდეები არ იკვეთება. კვეთა მხოლოდ ფიგურებში ჩანს. თუმცა ეს გასაკვირი არ უნდა იყოს, რადგან ფიგურებში ჩვეულებრივი კუბის კიდეებიც იკვეთება.
ნეკნების სიგრძე
აღსანიშნავია, რომ ოთხგანზომილებიანი კუბის ყველა სახე და კიდე თანაბარია. ფიგურაში, ისინი არ არიან თანაბარი მხოლოდ იმიტომ, რომ ისინი მდებარეობს ქვეშ სხვადასხვა კუთხითხედვის მიმართულებით. თუმცა, შესაძლებელია ჰიპერკუბის გაშლა ისე, რომ ყველა პროგნოზს ჰქონდეს იგივე სიგრძე.
Tesseract - ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი - კუბი ოთხგანზომილებიან სივრცეში.
ოქსფორდის ლექსიკონის მიხედვით, სიტყვა ტესერაქტი გამოიგონა და გამოიყენა 1888 წელს ჩარლზ ჰოვარდ ჰინტონმა (1853-1907) თავის წიგნში " ახალი ერაფიქრები". მოგვიანებით ზოგიერთმა იმავე ფიგურას უწოდა ტეტრაკუბი (ბერძნული ოთხ - ოთხი) - ოთხგანზომილებიანი კუბი.
ჩვეულებრივი ტესერაქტი ევკლიდეს ოთხგანზომილებიან სივრცეში განისაზღვრება, როგორც წერტილების ამოზნექილი კორპუსი (±1, ±1, ±1, ±1). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შემდეგი ნაკრები:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = ტესერაქტი შემოსაზღვრულია რვა ჰიპერთრენით x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , რომელთა კვეთა ტესერაქტი თავად განსაზღვრავს მას 3D სახეებს (რაც ჩვეულებრივი კუბურებია) არაპარალელური 3D სახეების თითოეული წყვილი იკვეთება 2D სახეების (კვადრატების) ფორმირებისთვის. და ბოლოს, ტესერაქტს აქვს 8 3D სახე, 24 2D, 32 კიდე და 16 წვერო.
პოპულარული აღწერა
შევეცადოთ წარმოვიდგინოთ როგორი იქნება ჰიპერკუბი გაუსვლელად სამგანზომილებიანი სივრცე.
ერთგანზომილებიან „სივრცეში“ - წრფეზე - ვირჩევთ L სიგრძის AB სეგმენტს. AB-დან L მანძილზე მდებარე ორგანზომილებიან სიბრტყეზე ვხატავთ მის პარალელურად DC სეგმენტს და ვაკავშირებთ მათ ბოლოებს. თქვენ მიიღებთ კვადრატულ CDBA-ს. ამ ოპერაციის გამეორებით თვითმფრინავით მივიღებთ სამგანზომილებიან კუბს CDBAGHFE. ხოლო კუბის მეოთხე განზომილებაში (პირველი სამის პერპენდიკულარულად) L მანძილით გადაწევით მივიღებთ CDBAGHFEKLJIOPNM ჰიპერკუბს.
ერთგანზომილებიანი სეგმენტი AB ემსახურება როგორც ორგანზომილებიანი კვადრატის CDBA მხარე, კვადრატი არის CDBAGHFE კუბის მხარე, რომელიც, თავის მხრივ, იქნება ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის მხარე. სწორი ხაზის სეგმენტს აქვს ორი სასაზღვრო წერტილი, კვადრატს აქვს ოთხი წვერო, ხოლო კუბს აქვს რვა. ამრიგად, ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბში იქნება 16 წვერო: საწყისი კუბის 8 წვერო და მეოთხე განზომილებაში გადანაცვლებული 8 წვერო. მას აქვს 32 კიდე - თითოეული 12 იძლევა თავდაპირველი კუბის საწყის და საბოლოო პოზიციებს, ხოლო კიდევ 8 კიდე "ხატავს" მის რვა წვეროს, რომლებიც გადავიდა მეოთხე განზომილებაში. იგივე მსჯელობა შეიძლება გაკეთდეს ჰიპერკუბის სახეებისთვის. ორგანზომილებიან სივრცეში ის არის ერთი (თავად კვადრატი), კუბს აქვს 6 მათგანი (ორი სახე გადატანილი კვადრატიდან და კიდევ ოთხი აღწერს მის გვერდებს). ოთხგანზომილებიან ჰიპერკუბს აქვს 24 კვადრატული სახე - ორიგინალური კუბის 12 კვადრატი ორ პოზიციაზე და 12 კვადრატი მისი თორმეტი კიდედან.
როგორც კვადრატის გვერდები არის 4 ერთგანზომილებიანი სეგმენტი, ხოლო კუბის გვერდები (სახეები) არის 6 ორგანზომილებიანი კვადრატი, ასევე „ოთხგანზომილებიანი კუბისთვის“ (ტესერაქტი) გვერდები არის 8 სამგანზომილებიანი კუბი. ტეზერაქტის კუბების მოპირდაპირე წყვილის სივრცეები (ანუ სამგანზომილებიანი სივრცეები, რომლებსაც ეს კუბურები ეკუთვნის) პარალელურია. ფიგურაში ეს არის კუბურები: CDBAGHFE და KLJIOPNM, CDBAKLJI და GHFEOPNM, EFBAMNJI და GHDCOPLK, CKIAGOME და DLJBHPNF.
ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია გავაგრძელოთ მსჯელობა ჰიპერკუბებზე მეტიზომები, მაგრამ ბევრად უფრო საინტერესოა, თუ როგორ გამოიყურება ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი ჩვენთვის, სამგანზომილებიანი სივრცის მცხოვრებლებისთვის. ამისთვის გამოვიყენოთ უკვე ნაცნობი ანალოგიების მეთოდი.
ავიღოთ მავთულის კუბიკი ABCDHEFG და შევხედოთ მას ერთი თვალით სახის მხრიდან. ჩვენ დავინახავთ და შეგვიძლია დავხატოთ ორი კვადრატი სიბრტყეზე (მისი ახლო და შორი სახეები), რომლებიც დაკავშირებულია ოთხი ხაზით - გვერდითი კიდეებით. ანალოგიურად, ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი სამგანზომილებიან სივრცეში გამოიყურება როგორც ორი კუბური "ყუთი", რომელიც ჩასმულია ერთმანეთში და დაკავშირებულია რვა კიდით. ამ შემთხვევაში, თავად „ყუთები“ – სამგანზომილებიანი სახეები – იქნება დაპროექტებული „ჩვენს“ სივრცეზე და მათი დამაკავშირებელი ხაზები გადაჭიმული იქნება მეოთხე ღერძის მიმართულებით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ სცადოთ წარმოიდგინოთ კუბი არა პროექციაში, არამედ სივრცულ გამოსახულებაში.
ისევე, როგორც სამგანზომილებიანი კუბი წარმოიქმნება სახის სიგრძით გადანაცვლებული კვადრატით, მეოთხე განზომილებაში გადატანილი კუბი წარმოქმნის ჰიპერკუბს. ის შემოიფარგლება რვა კუბიკით, რომლებიც მომავალში საკმაოდ რთულ ფიგურას წააგავს. ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბი თავისთავად შედგება უსასრულო რაოდენობის კუბებისგან, ისევე როგორც სამგანზომილებიანი კუბი შეიძლება "დაიჭრას" უსასრულო რაოდენობის ბრტყელ კვადრატებად.
სამგანზომილებიანი კუბის ექვსი სახის მოჭრით, შეიძლება მისი დაშლა ბრტყელი ფიგურა- წმენდა. მას ექნება კვადრატი ორიგინალური სახის თითოეულ მხარეს, პლუს კიდევ ერთი - მის საპირისპირო სახე. ოთხგანზომილებიანი ჰიპერკუბის სამგანზომილებიანი განვითარება შედგება ორიგინალური კუბისაგან, ექვსი კუბისაგან, რომლებიც „იზრდებიან“ მისგან, პლუს კიდევ ერთი - საბოლოო „ჰიპერფეისი“.
ტეზერაქტის თვისებები არის თვისებების გაფართოება გეომეტრიული ფორმებიქვედა განზომილება ოთხგანზომილებიან სივრცეში.
გეომეტრიაში ჰიპერკუბი- ეს ნ- კვადრატის განზომილებიანი ანალოგია ( ნ= 2) და კუბი ( ნ= 3). ეს არის დახურული ამოზნექილი ფიგურა, რომელიც შედგება პარალელური ხაზების ჯგუფებისაგან, რომლებიც განლაგებულია ფიგურის მოპირდაპირე კიდეებზე და ერთმანეთთან დაკავშირებულია სწორი კუთხით.
ეს მაჩვენებელი ასევე ცნობილია როგორც ტესერაქტი(ტესერაქტი). ტესერაქტი არის კუბის მიმართ, როგორც კუბი კვადრატში. უფრო ფორმალურად, ტესერაქტი შეიძლება შეფასდეს, როგორც რეგულარული ამოზნექილი ოთხგანზომილებიანი პოლიტოპი (პოლიტოპი), რომლის საზღვარი შედგება რვა კუბური უჯრედისგან.
ოქსფორდის ინგლისური ლექსიკონის მიხედვით, სიტყვა „ტესერაქტი“ 1888 წელს ჩარლზ ჰოვარდ ჰინტონმა გამოიყენა და გამოიყენა თავის წიგნში „აზროვნების ახალი ერა“. სიტყვა ჩამოყალიბდა ბერძნულიდან "τεσσερες ακτινες" ("ოთხი სხივი"), არის ოთხი კოორდინატული ღერძის სახით. გარდა ამისა, ზოგიერთ წყაროში იგივე ფიგურა ეწოდებოდა ტეტრაკუბი(ტეტრაკუბი).
ნ-განზომილებიან ჰიპერკუბსაც უწოდებენ n-კუბი.
წერტილი არის 0 განზომილების ჰიპერკუბი. თუ თქვენ გადაანაცვლებთ წერტილს სიგრძის ერთეულით, მიიღებთ ერთეული სიგრძის სეგმენტს - ჰიპერკუბს 1 განზომილებით. გარდა ამისა, თუ თქვენ გადაიტანეთ სეგმენტი სიგრძის ერთეულით პერპენდიკულარული მიმართულებით. სეგმენტის მიმართულებამდე მიიღებთ კუბს - მე-2 განზომილების ჰიპერკუბს. კვადრატის სიგრძის ერთეულით გადაადგილებით კვადრატის სიბრტყის პერპენდიკულარული მიმართულებით, მიიღება კუბი - მე-3 განზომილების ჰიპერკუბი. ეს პროცესი შეიძლება განზოგადდეს ნებისმიერი რაოდენობის განზომილებაში. მაგალითად, თუ მეოთხე განზომილებაში გადაიტანეთ კუბი სიგრძის ერთეულით, მიიღებთ ტესერაქტს.
ჰიპერკუბების ოჯახი ერთ-ერთია იმ რამდენიმე რეგულარული პოლიედრიდან, რომელიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნებისმიერ განზომილებაში.
ჰიპერკუბის ელემენტები
განზომილების ჰიპერკუბი ნაქვს 2 ნ„გვერდები“ (ერთგანზომილებიან ხაზს აქვს 2 წერტილი; ორგანზომილებიანი კვადრატი - 4 გვერდი; სამგანზომილებიანი კუბი - 6 სახე; ოთხგანზომილებიანი ტესერაქტი - 8 უჯრედი). ჰიპერკუბის წვეროების (წერტილების) რაოდენობაა 2 ნ(მაგალითად, კუბისთვის - 2 3 წვერო).
რაოდენობა მ-განზომილებიანი ჰიპერკუბები საზღვარზე ნ-კუბი უდრის
მაგალითად, ჰიპერკუბის საზღვარზე არის 8 კუბი, 24 კვადრატი, 32 კიდე და 16 წვერო.
| n-კუბი | სახელი | ვერტექსი (0-სახე) |
ზღვარი (1-სახე) |
ზღვარი (2-სახე) |
უჯრედი (3-სახე) |
(4-სახე) | (5-სახე) | (6-სახე) | (7-სახე) | (8-სახე) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-კუბი | Წერტილი | 1 | ||||||||
| 1-კუბი | ხაზის სეგმენტი | 2 | 1 | |||||||
| 2-კუბი | მოედანი | 4 | 4 | 1 | ||||||
| 3-კუბი | კუბი | 8 | 12 | 6 | 1 | |||||
| 4-კუბი | ტესერაქტი | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||
| 5-კუბი | პენტერაქტი | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||
| 6-კუბი | ჰექსერაქტი | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||
| 7-კუბი | ჰეპტერაქტი | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |
| 8-კუბი | ოქტერაქტი | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 |
| 9-კუბი | Eneneract | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 |
თვითმფრინავის პროექცია
ჰიპერკუბის წარმოქმნა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:
- ორი წერტილი A და B შეიძლება დაუკავშირდეს ხაზის სეგმენტს AB.
- ორი პარალელური სეგმენტი AB და CD შეიძლება დაკავშირებული იყოს კვადრატული ABCD-ის შესაქმნელად.
- ორი პარალელური კვადრატი ABCD და EFGH შეიძლება შეუერთდეს ABCDEFGH კუბის შესაქმნელად.
- ორი პარალელური კუბი ABCDEFGH და IJKLMNOP შეიძლება იყოს დაკავშირებული ჰიპერკუბის ABCDEFGHIJKLMNOP-ის შესაქმნელად.
ამ უკანასკნელის სტრუქტურის წარმოდგენა ადვილი არ არის, მაგრამ შესაძლებელია მისი პროექციის გამოსახვა ორ ან სამ განზომილებაში. უფრო მეტიც, 2D სიბრტყეზე პროგნოზები შეიძლება უფრო სასარგებლო იყოს დაპროექტებული წვეროების პოზიციების გადალაგებით. ამ შემთხვევაში, შეიძლება მივიღოთ სურათები, რომლებიც აღარ ასახავს ელემენტების სივრცით კავშირებს ტესერაქტის შიგნით, მაგრამ ასახავს წვეროების კავშირების სტრუქტურას, როგორც ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში.
პირველი ილუსტრაცია გვიჩვენებს, თუ როგორ წარმოიქმნება პრინციპში ტესერაქტი ორი კუბის შეერთებით. ეს სქემა ორი კვადრატიდან კუბის შექმნის სქემის მსგავსია. მეორე დიაგრამა გვიჩვენებს, რომ ტესერაქტის ყველა კიდეს აქვს იგივე სიგრძე. ეს სქემა ასევე იძულებულია მოძებნოს ერთმანეთთან დაკავშირებული კუბურები. მესამე დიაგრამაში, ტესერაქტის წვეროები განლაგებულია ქვედა წერტილთან მიმართებაში არსებული მანძილების შესაბამისად. ეს სქემა საინტერესოა იმით, რომ იგი გამოიყენება როგორც ძირითადი წრეპროცესორების დამაკავშირებელი ქსელის ტოპოლოგიისთვის პარალელური გამოთვლის ორგანიზებაში: ნებისმიერ ორ კვანძს შორის მანძილი არ აღემატება 4 კიდეების სიგრძეს და დატვირთვის დაბალანსების მრავალი განსხვავებული გზა არსებობს.
ჰიპერკუბი ხელოვნებაში
ჰიპერკუბი სამეცნიერო ფანტასტიკაში 1940 წლიდან გამოჩნდა, როდესაც რობერტ ჰაინლეინმა მოთხრობაში "The House That Teal Built" ("და მან ააშენა მრუდე სახლი") აღწერა ტესერაქტის სახით აშენებული სახლი. მოთხრობაში, ეს შემდგომი, ეს სახლი იკეცება, გადაიქცევა ოთხგანზომილებიან ტესერაქტად. ამის შემდეგ, ჰიპერკუბი ჩნდება ბევრ წიგნსა და რომანში.
კუბი 2: ჰიპერკუბი არის დაახლოებით რვა ადამიანი, რომლებიც ჩარჩენილია ჰიპერკუბების ქსელში.
სალვადორ დალის 1954 წლის ნახატი ჯვარცმა (Corpus Hypercubus) ასახავს ჯვარცმულ იესოს ტესერაქტის სკანირებაზე. ეს ნახატი შეგიძლიათ ნახოთ ნიუ-იორკის ხელოვნების მუზეუმში (მეტროპოლიტენის მუზეუმი).
დასკვნა
ჰიპერკუბი ერთ-ერთი უმარტივესი ოთხგანზომილებიანი ობიექტია, რომლის მაგალითზეც შეგიძლიათ ნახოთ მთელი სირთულე და უჩვეულოობა. მეოთხე განზომილება. და ის, რაც შეუძლებლად გამოიყურება სამ განზომილებაში, შესაძლებელია ოთხში, მაგალითად, შეუძლებელ ფიგურებში. ასე, მაგალითად, შეუძლებელი სამკუთხედის ზოლები ოთხ განზომილებაში იქნება დაკავშირებული სწორი კუთხით. და ეს ფიგურა ასე გამოიყურება ყველა თვალსაზრისით და არ იქნება დამახინჯებული, სამგანზომილებიან სივრცეში შეუძლებელი სამკუთხედის განხორციელებისგან განსხვავებით (იხ.
სწავლებები შესახებ მრავალგანზომილებიანი სივრცეებიდაიწყო გამოჩენა მეცხრამეტე შუა რიცხვებისაუკუნეში G. Grassmann, A. Cayley, B. Riemann, W. Clifford, L. Schläfli და სხვა მათემატიკოსთა ნაშრომებში. მე-20 საუკუნის დასაწყისში, ა.აინშტაინის ფარდობითობის თეორიისა და გ.მინკოვსკის იდეების მოსვლასთან ერთად, ფიზიკამ დაიწყო ოთხგანზომილებიანი სივრცე-დროის კოორდინატთა სისტემის გამოყენება.
შემდეგ სამეცნიერო ფანტასტიკის მწერლებმა მეცნიერებისგან ისესხეს ოთხგანზომილებიანი სივრცის იდეა. თავიანთ ნამუშევრებში მათ მსოფლიოს უამბეს საოცარი სასწაულებიმეოთხე განზომილება. მათი ნამუშევრების გმირებს, ოთხგანზომილებიანი სივრცის თვისებების გამოყენებით, შეეძლოთ კვერცხის შიგთავსის ჭამა ნაჭუჭის დაზიანების გარეშე, სასმელის დალევა ბოთლის კორპის გახსნის გარეშე. გამტაცებლებმა საგანძური სეიფიდან მეოთხე განზომილების გავლით ამოიღეს. ჯაჭვის რგოლები ადვილად იშლება, თოკზე კვანძი კი ბოლოებზე შეხების გარეშე გაიხსნება. ქირურგებმა ოპერაციები ჩაუტარეს შინაგანი ორგანოებიპაციენტის სხეულის ქსოვილის მოჭრის გარეშე. მისტიკოსებმა მიცვალებულთა სულები მეოთხე განზომილებაში მოათავსეს. ამისთვის ჩვეულებრივი ადამიანიოთხგანზომილებიანი სივრცის იდეა გაუგებარი და იდუმალი დარჩა და ბევრი ზოგადად ოთხგანზომილებიან სივრცეს მეცნიერებისა და სამეცნიერო ფანტასტიკის მწერლების ფანტაზიის ნაყოფად თვლის, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო რეალობასთან.
აღქმის პრობლემა
ტრადიციულად ითვლება, რომ ადამიანი ვერ აღიქვამს და წარმოადგენს ოთხგანზომილებიან ფიგურებს, ვინაიდან ის სამგანზომილებიანი არსებაა. სუბიექტი აღიქვამს სამგანზომილებიან ფიგურებს ბადურის დახმარებით, რომელიც ორგანზომილებიანია. ოთხგანზომილებიანი ფიგურების აღქმისთვის საჭიროა სამგანზომილებიანი ბადურა, მაგრამ ადამიანს ასეთი შესაძლებლობა არ აქვს.
ოთხგანზომილებიანი ფიგურების ვიზუალური გამოსახულების მისაღებად, ჩვენ გამოვიყენებთ ანალოგებს ქვედა განზომილების სივრცეებიდან ექსტრაპოლაციისთვის უფრო მაღალი განზომილების ფიგურებზე, გამოვიყენებთ მოდელირების მეთოდს, გამოვიყენებთ მეთოდებს. სისტემის ანალიზიოთხგანზომილებიანი ფიგურების ელემენტებს შორის შაბლონების მოსაძებნად. შემოთავაზებულმა მოდელებმა ადეკვატურად უნდა აღწერონ ოთხგანზომილებიანი ფიგურების თვისებები, არ ეწინააღმდეგებოდეს ერთმანეთს და მისცეს საკმარისი წარმოდგენა ოთხგანზომილებიან ფიგურაზე და, პირველ რიგში, მის შესახებ. გეომეტრიული ფორმა. ვინაიდან ლიტერატურაში არ არსებობს ოთხგანზომილებიანი ფიგურების სისტემატური და ვიზუალური აღწერა, მაგრამ მხოლოდ მათი სახელები მიუთითებს ზოგიერთ თვისებაზე, ჩვენ ვთავაზობთ ოთხგანზომილებიანი ფიგურების შესწავლას დავიწყოთ უმარტივესი - ოთხგანზომილებიანი კუბი, რომელსაც ჰიპერკუბი ეწოდება.
ჰიპერკუბის განმარტება
ჰიპერკუბირეგულარული პოლიტოპი ეწოდება, რომლის უჯრედი არის კუბი.
პოლიტოპიარის ოთხგანზომილებიანი ფიგურა, რომლის საზღვარი შედგება პოლიედრებისაგან. პოლიტოპის უჯრედის ანალოგი არის პოლიედონის სახე. ჰიპერკუბი სამგანზომილებიანი კუბის ანალოგია.
ჰიპერკუბის შესახებ წარმოდგენა გვექნება, თუ ვიცით მისი თვისებები. სუბიექტი აღიქვამს რაღაც ობიექტს, წარმოადგენს მას რაღაც მოდელის სახით. მოდით გამოვიყენოთ ეს მეთოდი და წარმოვადგინოთ ჰიპერკუბის იდეა სხვადასხვა მოდელების სახით.
ანალიტიკური მოდელი
ჩვენ განვიხილავთ ერთგანზომილებიან სივრცეს (სწორ ხაზს), როგორც წერტილების მოწესრიგებულ სიმრავლესმ(x), სადაც x- კოორდინაცია თვითნებური წერტილისწორი. შემდეგ ერთეულის სეგმენტი მოცემულია ორი წერტილის მითითებით:ა(0) და ბ(1).
სიბრტყე (ორგანზომილებიანი სივრცე) შეიძლება განიხილებოდეს, როგორც წერტილების მოწესრიგებული ნაკრები მ(x; წ). ერთეულის კვადრატი მთლიანად განისაზღვრება მისი ოთხი წვერით: ა(0; 0), ბ(1; 0), C(1; 1), დ(0; 1). კვადრატის წვეროების კოორდინატები მიიღება სეგმენტის კოორდინატებზე ნულის მიმატებით, შემდეგ კი ერთით.
სამგანზომილებიანი სივრცე - პუნქტების მოწესრიგებული ნაკრები მ(x; წ; ზ). რვა ქულაა საჭირო 3D კუბის დასადგენად:
ა(0; 0; 0), ბ(1; 0; 0), C(1; 1; 0), დ(0; 1; 0),
ე(0; 0; 1), ფ(1; 0; 1), გ(1; 1; 1), ჰ(0; 1; 1).
კუბის კოორდინატები მიიღება კვადრატული კოორდინატებიდან ნულის და შემდეგ ერთის მიმატებით.
ოთხგანზომილებიანი სივრცე არის წერტილების მოწესრიგებული ნაკრები მ(x; წ; ზ; ტ). ჰიპერკუბის დასაზუსტებლად, თქვენ უნდა დაადგინოთ მისი თექვსმეტი წვერის კოორდინატები:
ა(0; 0; 0; 0), ბ(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), დ(0; 1; 0; 0),
ე(0; 0; 1; 0), ფ(1; 0; 1; 0), გ(1; 1; 1; 0), ჰ(0; 1; 1; 0),
კ(0; 0; 0; 1), ლ(1; 0; 0; 1), მ(1; 1; 0; 1), ნ(0; 1; 0; 1),
ო(0; 0; 1; 1), პ(1; 0; 1; 1), რ(1; 1; 1; 1), ს(0; 1; 1; 1).
ჰიპერკუბის კოორდინატები მიიღება 3D კუბის კოორდინატებიდან მეოთხე კოორდინატის დამატებით, ნულიდა შემდეგ ერთიანობა.
ფორმულების გამოყენება ანალიტიკური გეომეტრიაოთხგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცისთვის შეიძლება მივიღოთ ჰიპერკუბის თვისებები.
მაგალითად, განვიხილოთ ჰიპერკუბის მთავარი დიაგონალის სიგრძის გამოთვლა. დაე, საჭირო გახდეს წერტილებს შორის მანძილის პოვნა ა(0, 0, 0, 0) და რ(1, 1, 1, 1). ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ მანძილის ფორმულას ოთხგანზომილებიან ევკლიდეს სივრცეში.
ორგანზომილებიან სივრცეში (სიბრტყეზე), მანძილი წერტილებს შორის ა(x 1 , წ 1) და ბ(x 2 , წ 2) გამოითვლება ფორმულით
ეს ფორმულა გამომდინარეობს პითაგორას თეორემიდან.
წერტილებს შორის მანძილის შესაბამისი ფორმულა ა(x 1 , წ 1 , ზ 1) და ბ(x 2 , წ 2 , ზ 2) სამგანზომილებიან სივრცეში აქვს ფორმა
და ერთგანზომილებიან სივრცეში (სწორ ხაზზე) წერტილებს შორის A( x 1) და B ( x 2) შეგიძლიათ დაწეროთ შესაბამისი მანძილის ფორმულა:
ანალოგიურად, მანძილი წერტილებს შორის ა(x 1 , წ 1 , ზ 1 , ტ 1) და ბ(x 2 , წ 2 , ზ 2 , ტ 2) ოთხგანზომილებიან სივრცეში გამოითვლება ფორმულით:
შემოთავაზებული მაგალითისთვის ჩვენ ვხვდებით
ამრიგად, ჰიპერკუბი არსებობს ანალიტიკურად და მისი თვისებები შეიძლება აღიწეროს არა უარესი, ვიდრე სამგანზომილებიანი კუბის თვისებები.
დინამიური მოდელი
ჰიპერკუბის ანალიტიკური მოდელი ძალიან აბსტრაქტულია, ამიტომ განვიხილოთ სხვა მოდელი - დინამიური.
წერტილი (ნულ განზომილებიანი ფიგურა), რომელიც მოძრაობს ერთი მიმართულებით, წარმოქმნის სეგმენტს (ერთგანზომილებიან ფიგურას). სეგმენტი, რომელიც მოძრაობს თავის მიმართ პერპენდიკულარული მიმართულებით, ქმნის კვადრატს (ორგანზომილებიან ფიგურას). კვადრატი, რომელიც მოძრაობს კვადრატის სიბრტყის პერპენდიკულარული მიმართულებით, ქმნის კუბს (სამგანზომილებიანი ფიგურა).
კუბი, რომელიც მოძრაობს სამგანზომილებიანი სივრცის პერპენდიკულარულად, რომელშიც ის თავდაპირველად იყო განთავსებული, წარმოქმნის ჰიპერკუბს (ოთხგანზომილებიანი ფიგურა).
ჰიპერკუბის საზღვარი არის სამგანზომილებიანი, სასრული და დახურული. იგი შედგება სამგანზომილებიანი კუბისგან სახლის პოზიცია, სამგანზომილებიანი კუბი თავის საბოლოო პოზიციაზე და ექვსი კუბი, რომელიც წარმოიქმნება თავდაპირველი კუბის კვადრატების მეოთხე განზომილების მიმართულებით გადაადგილებით. ჰიპერკუბის მთელი საზღვარი შედგება 8 სამგანზომილებიანი კუბისაგან (უჯრედები).
საწყის მდგომარეობაში გადაადგილებისას კუბს ჰქონდა 8 წვერო და ბოლო პოზიციაში ასევე 8 წვერო. ამიტომ, ჰიპერკუბს აქვს სულ 16 მწვერვალი.
ოთხი ერთმანეთის პერპენდიკულური კიდე გამოდის თითოეული წვეროდან. მთლიანობაში ჰიპერკუბს აქვს 32 კიდე, საწყის მდგომარეობაში მას ჰქონდა 12 კიდე, ბოლო პოზიციაში ასევე 12 კიდე და მეოთხე განზომილებაში გადაადგილებისას კუბის ზედა ნაწილებს 8 კიდე ქმნიდა.
ამრიგად, ჰიპერკუბის საზღვარი შედგება 8 კუბისგან, რომლებიც შედგება 24 კვადრატისგან. კერძოდ, 6 კვადრატი საწყის მდგომარეობაში, 6 ბოლო პოზიციაზე და 12 კვადრატი, რომელიც წარმოიქმნება 12 კიდეების გადაადგილებით მეოთხე განზომილების მიმართულებით.
გეომეტრიული მოდელი
ჰიპერკუბის დინამიური მოდელი შეიძლება არასაკმარისად მკაფიო ჩანდეს. ამიტომ, განიხილეთ ჰიპერკუბის გეომეტრიული მოდელი. როგორ მივიღოთ 3D კუბის გეომეტრიული მოდელი? ვხსნით მას და გაშლიდან „წებავთ“ კუბის მოდელს. სამგანზომილებიანი კუბის განვითარება შედგება კვადრატისაგან, რომლის გვერდებზე მიმაგრებულია კვადრატი პლუს კიდევ ერთი კვადრატი. 
მეზობელ კვადრატებს ვაბრუნებთ კვადრატის გვერდების ირგვლივ და კვადრატების მიმდებარე გვერდებს ვუკავშირებთ ერთმანეთს. დარჩენილ ოთხ მხარეს კი ბოლო კვადრატით ვხურავთ (სურ. 1).
ანალოგიურად, განიხილეთ ჰიპერკუბის გაშლა. მისი განვითარება იქნება სამგანზომილებიანი ფიგურა, რომელიც შედგება ორიგინალური სამგანზომილებიანი კუბისაგან, ორიგინალური კუბის თითოეული სახის მიმდებარე ექვსი კუბისაგან და კიდევ ერთი კუბისაგან. სულ რვა სამგანზომილებიანი კუბია (ნახ. 2). იმისათვის, რომ მივიღოთ ოთხგანზომილებიანი კუბი (ჰიპერკუბი) ამ განვითარებისგან, თითოეული მიმდებარე კუბი უნდა შემობრუნდეს 90 გრადუსით. ეს მიმდებარე კუბურები განთავსდება განსხვავებულ 3D სივრცეში. დააკავშირეთ კუბების მიმდებარე სახეები (კვადრატები) ერთმანეთთან. ჩადეთ მერვე კუბი მისი სახეებით დარჩენილ შეუვსებელ სივრცეში. ვიღებთ ოთხგანზომილებიან ფიგურას - ჰიპერკუბს, რომლის საზღვარი შედგება რვა სამგანზომილებიანი კუბისაგან.
ჰიპერკუბის სურათი
ზემოთ ნაჩვენები იყო, თუ როგორ უნდა "წებოთ" ჰიპერკუბის მოდელი სამგანზომილებიანი წმენდისგან. ჩვენ ვიღებთ სურათებს პროექციის გამოყენებით. სამგანზომილებიანი კუბის ცენტრალური პროექცია (მისი გამოსახულება სიბრტყეზე) ასე გამოიყურება (ნახ. 3). მოედნის შიგნით არის კიდევ ერთი მოედანი. კვადრატის შესაბამისი წვერები დაკავშირებულია სეგმენტებით. მიმდებარე კვადრატები გამოსახულია ტრაპეციის სახით, თუმცა ისინი კვადრატებია 3D სივრცეში. შიდა და გარე კვადრატები სხვადასხვა ზომისაა, მაგრამ რეალურ 3D სივრცეში ისინი თანაბარი კვადრატებია.
ანალოგიურად, ოთხგანზომილებიანი კუბის ცენტრალური პროექცია სამგანზომილებიან სივრცეზე ასე გამოიყურება: ერთი კუბის შიგნით არის მეორე კუბი. კუბების შესაბამისი წვერები დაკავშირებულია სეგმენტებით. შიდა და გარე კუბურები აქვს სხვადასხვა ზომისსამ განზომილებაში, მაგრამ ოთხ განზომილებაში არის თანაბარი კუბურები(ნახ. 4).
ექვსი დამსხვრეული პირამიდა არის ოთხგანზომილებიანი კუბის ტოლი ექვსი უჯრედის (კუბის) გამოსახულება.
ამ სამგანზომილებიანი პროექციის დახატვა შესაძლებელია სიბრტყეზე და შეგიძლიათ გადაამოწმოთ დინამიური მოდელის გამოყენებით მიღებული ჰიპერკუბის თვისებების სიმართლე.
ჰიპერკუბს აქვს 16 წვერო, 32 კიდე, 24 სახე (კვადრატი), 8 უჯრედი (კუბი). ოთხი ერთმანეთის პერპენდიკულური კიდე გამოდის თითოეული წვეროდან. ჰიპერკუბის საზღვარი არის სამგანზომილებიანი დახურული ამოზნექილი ფიგურა, რომლის მოცულობა (ჰიპერკუბის გვერდითი მოცულობა) რვა ერთეული სამგანზომილებიანი კუბის ტოლია. თავის შიგნით ეს ფიგურა შეიცავს ერთეულ ჰიპერკუბს, რომლის ჰიპერმოცულობის ტოლია ერთეული ჰიპერკუბის ჰიპერმოცულობის.
დასკვნა
ამ ნამუშევარში მიზანი იყო ოთხგანზომილებიანი სივრცის თავდაპირველი გაცნობა. ეს გაკეთდა უმარტივესი ფიგურის - ჰიპერკუბის მაგალითზე.
ოთხგანზომილებიანი სივრცის სამყარო საოცარია! მასში, სამგანზომილებიან სივრცეში მსგავს ფიგურებთან ერთად, არის ფიგურებიც, რომლებსაც სამგანზომილებიან სივრცეში ანალოგი არ აქვთ.
ბევრი ფენომენი მატერიალური სამყარომაკროკოსმოსი და მეგასამყარო, ფიზიკაში, ქიმიასა და ასტრონომიაში გრანდიოზული წარმატებების მიუხედავად, აუხსნელი დარჩა.
არა ერთიანი თეორიარომელიც ხსნის ბუნების ყველა ძალას. არ არსებობს სამყაროს დამაკმაყოფილებელი მოდელი, რომელიც ხსნის მის სტრუქტურას და გამორიცხავს პარადოქსებს.
ოთხგანზომილებიანი სივრცის თვისებების ცოდნით და ოთხგანზომილებიანი გეომეტრიიდან გარკვეული იდეების სესხებით, შესაძლებელი იქნება არა მხოლოდ მატერიალური სამყაროს უფრო მკაცრი თეორიებისა და მოდელების აგება, არამედ ინსტრუმენტებისა და სისტემების შექმნა, რომლებიც მოქმედებენ კანონების შესაბამისად. ოთხგანზომილებიანი სამყაროს, მაშინ ადამიანის შესაძლებლობები კიდევ უფრო შთამბეჭდავი იქნება.
დავიწყოთ იმით, თუ რა არის ოთხგანზომილებიანი სივრცე.
ეს არის ერთგანზომილებიანი სივრცე, ანუ უბრალოდ OX ღერძი. მასზე ნებისმიერ წერტილს ახასიათებს ერთი კოორდინატი.
ახლა დავხატოთ OY ღერძი OX ღერძის პერპენდიკულარულად. ასე რომ, მივიღეთ ორგანზომილებიანი სივრცე, ანუ XOY თვითმფრინავი. მასზე ნებისმიერ წერტილს ორი კოორდინატი ახასიათებს - აბსცისა და ორდინატი.
დავხატოთ OZ ღერძი OX და OY ღერძების პერპენდიკულარულად. თქვენ მიიღებთ სამგანზომილებიან სივრცეს, რომელშიც ნებისმიერ წერტილს აქვს აბსციზა, ორდინატი და აპლიკატი.
ლოგიკურია, რომ მეოთხე ღერძი, OQ, ერთდროულად უნდა იყოს OX, OY და OZ ღერძების პერპენდიკულარული. მაგრამ ჩვენ არ შეგვიძლია ზუსტად ავაშენოთ ასეთი ღერძი და, შესაბამისად, რჩება მხოლოდ მისი წარმოსახვის მცდელობა. ოთხგანზომილებიან სივრცეში ყველა წერტილს აქვს ოთხი კოორდინატი: x, y, z და q.
ახლა ვნახოთ, როგორ გაჩნდა ოთხგანზომილებიანი კუბი.
სურათზე ნაჩვენებია ერთგანზომილებიანი სივრცის ფიგურა - ხაზი.
თუ გაკეთდა პარალელური გადაცემაეს ხაზი OY ღერძის გასწვრივ და შემდეგ დააკავშირეთ ორი მიღებული ხაზის შესაბამისი ბოლოები, მიიღებთ კვადრატს.
ანალოგიურად, თუ გავაკეთებთ კვადრატის პარალელურ თარგმნას OZ ღერძის გასწვრივ და დავაკავშირებთ შესაბამის წვეროებს, მივიღებთ კუბს.
და თუ კუბის პარალელურად გადათარგმნას გავაკეთებთ OQ ღერძის გასწვრივ და დავაკავშირებთ ამ ორი კუბის წვეროებს, მაშინ მივიღებთ ოთხგანზომილებიან კუბს. სხვათა შორის, ე.წ ტესერაქტი.
თვითმფრინავზე კუბის დახატვა გჭირდებათ პროექტი. ვიზუალურად ასე გამოიყურება: 
წარმოიდგინეთ, რომ ზედაპირზე ზემოთ ჰაერი კიდია მავთულის მოდელიკუბი, ანუ თითქოს "მავთულისგან დამზადებული" და მის ზემოთ - ნათურა. თუ ნათურას ჩართავთ, კუბის ჩრდილს ფანქრით მიადევნებთ და შემდეგ გამორთავთ ნათურას, მაშინ ზედაპირზე გამოჩნდება კუბის პროექცია.
მოდით გადავიდეთ ცოტა უფრო რთულზე. კიდევ ერთხელ შეხედეთ ნახატს ნათურის საშუალებით: როგორც ხედავთ, ყველა სხივი ერთ წერტილში გადავიდა. მას ეძახიან გაქრობის წერტილიდა გამოიყენება ასაშენებლად პერსპექტიული პროექცია(და ზოგჯერ პარალელური, როდესაც ყველა სხივი ერთმანეთის პარალელურია. შედეგი არის ის, რომ არ არის მოცულობის შეგრძნება, მაგრამ ის უფრო მსუბუქია და თუ გაქრობის წერტილი საკმარისად შორს არის დაპროექტებული ობიექტისგან, მაშინ განსხვავება მათ შორისაა. ორი პროგნოზი ძნელად შესამჩნევია). პროექტირება მოცემული წერტილიზე მოცემული თვითმფრინავი, გაქრობის წერტილის გამოყენებით, თქვენ უნდა დახაზოთ ხაზი გაქრობის წერტილსა და მოცემულ წერტილში, შემდეგ კი იპოვოთ მიღებული ხაზისა და სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი. და მეტი პროექციის მიზნით რთული ფიგურავთქვათ, კუბი, თქვენ უნდა დააპროექტოთ მისი თითოეული წვერო და შემდეგ დააკავშიროთ შესაბამისი წერტილები. უნდა აღინიშნოს, რომ სივრციდან ქვესივრცეში პროექციის ალგორითმიშეიძლება განზოგადდეს 4D->3D, არა მხოლოდ 3D->2D.
როგორც ვთქვი, ჩვენ ვერ წარმოვიდგენთ ზუსტად როგორ გამოიყურება OQ ღერძი და არც ტესერაქტი. მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია შეზღუდული წარმოდგენა მივიღოთ მასზე, თუ მას დავაპროექტებთ მოცულობაზე და შემდეგ დავხატავთ კომპიუტერის ეკრანზე!
ახლა მოდით ვისაუბროთ ტესერაქტის პროექციაზე.
მარცხნივ არის კუბის პროექცია სიბრტყეზე, ხოლო მარჯვნივ არის ტესერაქტი მოცულობაზე. ისინი საკმაოდ ჰგვანან: კუბის პროექცია ჰგავს ორ კვადრატს, პატარას და დიდს, ერთი მეორის შიგნით, შესაბამისი წვეროებით, რომლებიც დაკავშირებულია ხაზებით. და ტესერაქტის პროექცია ჰგავს ორ კუბს, პატარა და დიდს, ერთი მეორის შიგნით და რომელთა შესაბამისი წვეროები დაკავშირებულია. მაგრამ ჩვენ ყველამ ვნახეთ კუბი და შეგვიძლია დარწმუნებით ვთქვათ, რომ როგორც პატარა კვადრატი, ასევე დიდი და ოთხი ტრაპეცია ზემოთ, ქვემოთ, მარჯვნივ და მარცხნივ. პატარა მოედანიფაქტობრივად, არის კვადრატები, უფრო მეტიც, ისინი ტოლია. იგივე ეხება Tesseract-ს. და დიდი კუბი, პატარა კუბი და ექვსი დამსხვრეული პირამიდებიპატარა კუბის გვერდებზე - ეს ყველაფერი კუბურებია და თანაბარია.
ჩემს პროგრამას შეუძლია არა მხოლოდ ტესერაქტის პროექცია დახატოს მოცულობაზე, არამედ მოაბრუნოს იგი. ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს.
ჯერ გეტყვით რა არის ბრუნვა სიბრტყის პარალელურად.
წარმოიდგინეთ, რომ კუბი ბრუნავს OZ ღერძის გარშემო. შემდეგ მისი ყოველი წვერო აღწერს წრეს OZ ღერძის გარშემო. 
წრე ბრტყელი ფიგურაა. და თითოეული ამ წრის სიბრტყეები ერთმანეთის პარალელურია და შიგნით ამ საქმესარიან XOY სიბრტყის პარალელურად. ანუ ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ არა მხოლოდ OZ ღერძის გარშემო ბრუნვაზე, არამედ XOY სიბრტყის პარალელურად ბრუნვაზეც.როგორც ხედავთ, წერტილებისთვის, რომლებიც ბრუნავენ XOY ღერძის პარალელურად, იცვლება მხოლოდ აბსცისა და ორდინატი, ხოლო აპლიკაციის უცვლელი რჩება და, ფაქტობრივად, ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ ბრუნვაზე სწორი ხაზის გარშემო მხოლოდ მაშინ, როდესაც საქმე გვაქვს სამგანზომილებიან სივრცესთან. 2D-ში ყველაფერი ბრუნავს წერტილის გარშემო, 4D-ში ყველაფერი ბრუნავს სიბრტყის გარშემო, 5D სივრცეში ვსაუბრობთ ბრუნვაზე მოცულობის გარშემო. და თუ ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ ბრუნვა წერტილის გარშემო, მაშინ სიბრტყისა და მოცულობის გარშემო ბრუნვა წარმოუდგენელია. და თუ ვსაუბრობთ ბრუნვაზე სიბრტყის პარალელურად, მაშინ ნებისმიერ n-განზომილებიან სივრცეში წერტილი შეიძლება ბრუნავდეს სიბრტყის პარალელურად.
ბევრ თქვენგანს ალბათ გსმენიათ ბრუნვის მატრიცის შესახებ. მასზე წერტილის გამრავლებით, მივიღებთ სიბრტყის პარალელურად შემობრუნებულ წერტილს phi კუთხით. ორგანზომილებიანი სივრცისთვის ეს ასე გამოიყურება: 
როგორ გავამრავლოთ: x წერტილის ბრუნვა კუთხით phi = საწყისი წერტილის phi*x კუთხის კოსინუსი გამოკლებული საწყისი წერტილის კუთხის phi*y;
წერტილის y, რომელიც ბრუნავს კუთხით phi=phi*x კუთხით საწყისი წერტილის პლუს თავდაპირველი წერტილის კუთხის phi*y კოსინუსი.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya
, სადაც Xa და Ya არის დასაბრუნებელი წერტილის აბსცისა და ორდინატი, Xa` და Ya` არის უკვე შემობრუნებული წერტილის აბსცისა და ორდინატი.
სამგანზომილებიანი სივრცისთვის, ეს მატრიცა განზოგადებულია შემდეგნაირად: 
როტაცია XOY სიბრტყის პარალელურად. როგორც ხედავთ, Z კოორდინატი არ იცვლება, მაგრამ იცვლება მხოლოდ X და Y.
Xa`=cosФ*Xa - sinФ*Ya + Za*0
Ya`=sinФ*Xa + cosФ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (არსებითად Za`=Za)
როტაცია XOZ სიბრტყის პარალელურად. Ახალი არაფერია,
Xa`=cosФ*Xa + Ya*0 - sinФ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (ფაქტობრივად, Ya`=Ya)
Za`=sinФ*Xa + Ya*0 + cosФ*Za
და მესამე მატრიცა.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (არსებითად Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosФ*Ya - sinФ*Za
Za`=Xa*0 + sinФ*Ya + cosФ*Za
მეოთხე განზომილებისთვის კი ისინი ასე გამოიყურება: 
მგონი უკვე მიხვდით რაზე უნდა გაამრავლოთ, ამიტომ აღარ დავხატავ. მაგრამ მე აღვნიშნავ, რომ ის იგივეს აკეთებს, როგორც მატრიცა სიბრტყის პარალელურად ბრუნვისთვის სამგანზომილებიან სივრცეში! ეს და ეს ცვლის მხოლოდ ორდინატს და აპლიკაციას, ხოლო დანარჩენი კოორდინატები არ არის შეხებული, ამიტომ მისი გამოყენება შეიძლება სამგანზომილებიან შემთხვევაში, უბრალოდ მეოთხე კოორდინატის იგნორირება.
მაგრამ პროექციის ფორმულით ყველაფერი ასე მარტივი არ არის. რამდენიც არ უნდა წავიკითხო ფორუმები, პროექციის არცერთი მეთოდი არ მაწყობდა. პარალელი არ მომეწონა, რადგან პროექცია არ გამოიყურება სამგანზომილებიანი. ზოგიერთ პროექციის ფორმულაში, წერტილის მოსაძებნად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა (და მე არ ვიცი როგორ ვასწავლო კომპიუტერს მათი ამოხსნა), მე უბრალოდ არ მესმოდა სხვები ... ზოგადად, მე გადავწყვიტე საკუთარი გზის მოფიქრება. ამისათვის განვიხილოთ პროექცია 2D->1D.
pov ნიშნავს "ხედვის წერტილს" (ხედვა), ptp ნიშნავს "პროექტის წერტილს" (პროექტის წერტილს) და ptp" არის სასურველი წერტილი OX ღერძზე.
კუთხეები povptpB და ptpptp`A ტოლია, როგორც შესაბამისი (დაწყვეტილი ხაზი პარალელურია ღერძის OX-ის, ხაზი povptp არის სეკანტური).
ptp`-ის x უდრის ptp-ის x-ს გამოკლებული ptp`A სეგმენტის სიგრძე. ეს სეგმენტი შეიძლება მოიძებნოს ptpptp`A სამკუთხედიდან: ptp`A = ptpA/კუთხის ptpptp`A ტანგენსი. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ეს ტანგენსი სამკუთხედიდან povptpB: კუთხის tangent ptpptp`A = (Ypov-Yptp) (Xpov-Xptp).
პასუხი: Xptp`=Xptp-Yptp/კუთხის tangent ptpptp`A.
მე აქ დეტალურად არ აღვწერე ეს ალგორითმი, რადგან არის ბევრი განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც ფორმულა გარკვეულწილად იცვლება. ვის აინტერესებს - გადახედე პროგრამის საწყის კოდს, ყველაფერი წერია კომენტარებში.
სამგანზომილებიანი სივრცის წერტილის სიბრტყეზე დასაპროექტებლად, ჩვენ უბრალოდ განვიხილავთ ორ სიბრტყეს - XOZ და YOZ და მოვაგვარებთ თითოეულ მათგანს ამ პრობლემას. ოთხგანზომილებიანი სივრცის შემთხვევაში აუცილებელია უკვე სამი სიბრტყის გათვალისწინება: XOQ, YOQ და ZOQ.
და ბოლოს, პროგრამის შესახებ. ის ასე მუშაობს: ტეზერაქტის თექვსმეტი წვერის ინიციალიზაცია -> მომხმარებლის მიერ შეყვანილი ბრძანებების მიხედვით, დაატრიალეთ იგი -> პროექტი მოცულობაზე -> მომხმარებლის მიერ შეყვანილი ბრძანებების მიხედვით, დაატრიალეთ მისი პროექცია -> პროექტი სიბრტყეზე -> ხატვა.
პროგნოზები და ბრუნვები მე თვითონ დავწერე. ისინი მუშაობენ იმ ფორმულების მიხედვით, რომლებიც ახლახან აღვწერე. OpenGL ბიბლიოთეკა ხაზავს ხაზებს და ასევე ურევს ფერებს. და ტესერაქტის წვეროების კოორდინატები გამოითვლება ამ გზით:
წრფის წვეროს კოორდინატები, რომლებიც ორიენტირებულია საწყისზე და სიგრძეზე 2 - (1) და (-1);
- "-" - კვადრატი - "-" - და 2 სიგრძის კიდე:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) და (-1; -1);
- " - " - კუბი - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
როგორც ხედავთ, კვადრატი არის ერთი ხაზი OY ღერძის ზემოთ და ერთი ხაზი OY ღერძის ქვემოთ; კუბი არის ერთი კვადრატი XOY სიბრტყის წინ და ერთი მის უკან; ტესერაქტი არის ერთი კუბი XOYZ მოცულობის მეორე მხარეს და ერთი ამ მხარეს. მაგრამ ბევრად უფრო ადვილია ერთეულებისა და მინუს ერთეულების ამ მონაცვლეობის აღქმა, თუ ისინი იწერება სვეტში
1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1
პირველ სვეტში ერთი და მინუს ერთი ალტერნატიულია. მეორე სვეტში ჯერ ორი პლიუსია, შემდეგ ორი მინუსი. მესამეში - ოთხს პლუს ერთი, შემდეგ კი ოთხი მინუს ერთი. ეს იყო კუბის მწვერვალები. ტესერაქტს ორჯერ მეტი აქვს და ამიტომ საჭირო იყო მათი გამოცხადების ციკლის დაწერა, წინააღმდეგ შემთხვევაში ძალიან ადვილია დაბნეულობა.
ჩემმა პროგრამამ ანაგლიფის დახატვაც იცის. 3D სათვალეების ბედნიერ მფლობელებს შეუძლიათ სტერეოსკოპიული სურათის ყურება. ნახატის დახატვაში არაფერია რთული, ის მხოლოდ ორ პროექციას ასახავს სიბრტყეზე, მარჯვენა და მარცხენა თვალებისთვის. მაგრამ პროგრამა ხდება ბევრად უფრო ვიზუალური და საინტერესო და რაც მთავარია - იძლევა საუკეთესო შესრულებაოთხგანზომილებიანი სამყაროს შესახებ.
ნაკლებად მნიშვნელოვანი ფუნქციები - ერთ-ერთი სახის ხაზგასმა წითლად, რათა უკეთ დაინახოთ მოხვევები, ასევე მცირე მოხერხებულობა - "თვალის" წერტილების კოორდინატების რეგულირება, ბრუნვის სიჩქარის გაზრდა და შემცირება.
დაარქივეთ პროგრამა, წყარო კოდი და გამოყენების ინსტრუქცია.
