წრფეს და სიბრტყეს პარალელურს უწოდებენ, თუ მათ არ აქვთ საერთო წერტილები. თუ წრფე, რომელიც მოცემულ სიბრტყეში არ არის, პარალელურია ამ სიბრტყის წრფის

1. თუ სიბრტყე გადის მოცემულ წრფეზე სხვა სიბრტყის პარალელურად და კვეთს ამ სიბრტყეს, მაშინ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი მოცემული წრფის პარალელურია.

2. თუ ორი პარალელური წრფედან ერთი პარალელურია მოცემული სიბრტყის, ხოლო მეორე წრფეს აქვს სიბრტყე. საერთო წერტილი, მაშინ ეს ხაზი დევს მოცემულ სიბრტყეში. თვითმფრინავი, მაშინ ის თავად თვითმფრინავის პარალელურია.

შემთხვევები შედარებითი პოზიციასწორი და თვითმფრინავი:ა) ხაზი დევს სიბრტყეში;

ბ) წრფესა და სიბრტყეს აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი, გ) წრფესა და სიბრტყეს არ აქვთ საერთო წერტილი.

2. მართკუთხა სამკუთხედის მეთოდით სწორი ხაზის სეგმენტის ბუნებრივი ზომის განსაზღვრა ზოგად მდგომარეობაში.

AB ხაზის სეგმენტის ბუნებრივი მნიშვნელობა (n.v.) ზოგად პოზიციაში არის მართკუთხა სამკუთხედის ABK ჰიპოტენუზა. ამ სამკუთხედში ფეხი AK პარალელურია π1 პროგნოზების სიბრტყის და უდრის A"B სეგმენტის ჰორიზონტალურ პროექციას". ფეხი BK უდრის π1 სიბრტყიდან A და B წერტილების მანძილებს შორის სხვაობას.

ზოგადად, სწორი ხაზის სეგმენტის ბუნებრივი ზომის დასადგენად, აუცილებელია მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის აგება, რომლის ერთი ფეხი არის სეგმენტის ჰორიზონტალური (შუბლის) პროექცია, მეორე კი ტოლი სეგმენტი. სეგმენტის უკიდურესი წერტილების Z (Y) კოორდინატების ალგებრული სხვაობის სიდიდით.

კუთხე α გვხვდება მართკუთხა სამკუთხედიდან - სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე პროექციების ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე.

სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის დასადგენად შუბლის საპროექციო სიბრტყეზე საჭიროა მსგავსი კონსტრუქციების შესრულება სეგმენტის შუბლის პროექციაზე.

3. სიბრტყის ძირითადი ხაზები (ჰორიზონტალური, ფრონტალური).

P სიბრტყის ჰორიზონტალური არის სწორი ხაზი, რომელიც მდებარეობს ამ სიბრტყეში და პარალელურია ჰორიზონტალური სიბრტყის. ჰორიზონტალურ ხაზს, როგორც ჰორიზონტალურ სიბრტყეს პარალელურად, აქვს შუბლის პროექცია x-ღერძის პარალელურად.

P სიბრტყის წინა მხარე არის სწორი ხაზი, რომელიც დევს ამ სიბრტყეში და არის შუბლის სიბრტყის პარალელურად.

ფრონტალი არის სწორი ხაზი შუბლის სიბრტყის პარალელურად, ხოლო მისი ჰორიზონტალური პროექცია f არის x ღერძის პარალელურად.

4. სწორი ხაზების ურთიერთგანლაგება სივრცეში. ხილვადობის განსაზღვრა კონკურენტი ქულებით.სივრცეში ორ სწორ ხაზს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული მდებარეობა: ა) იკვეთება (იყოს იმავე სიბრტყეში). გადაკვეთის განსაკუთრებული შემთხვევა - მართი კუთხით; ბ) შეიძლება იყოს პარალელური (იყოს იმავე სიბრტყეში); გ) ემთხვევა - პარალელურობის განსაკუთრებული შემთხვევა; დ) ჯვარი (წოლა სხვადასხვა სიბრტყეში და არ იკვეთება).

წერტილები, რომელთა პროგნოზები P1-ზე ემთხვევა, ეწოდება კონკურენციას P1 სიბრტყის მიმართ და იმ წერტილებს, რომელთა პროგნოზები P2-ზე ემთხვევა, ეწოდება კონკურენციასთვითმფრინავ P2-ის მიმართ.

K და L წერტილები ერთმანეთს ეჯიბრებიან P1 სიბრტყის მიმართ, ვინაიდან P1 სიბრტყეზე K და L წერტილები დაპროექტებულია ერთ წერტილში: K1 = L1.

წერტილი K უფრო მაღალია ვიდრე L წერტილი, რადგან K2 უფრო მაღალია ვიდრე L2 წერტილი, ამიტომ K1 ჩანს P1-ზე.

თეორემა

თუ სწორი, არა თვითმფრინავს ეკუთვნის, პარალელურია ამ სიბრტყეში რაღაც წრფის პარალელურად, შემდეგ ის ასევე პარალელურია თავად სიბრტყის.

მტკიცებულება

მოდით α იყოს სიბრტყე, a წრფე არ დევს მასში და a1 წრფე α სიბრტყეში a წრფის პარალელურად. დავხატოთ α1 სიბრტყე a და a1 წრფეებში. α და α1 სიბრტყეები იკვეთება a1 წრფის გასწვრივ. თუ a წრფე კვეთს α სიბრტყეს, მაშინ გადაკვეთის წერტილი მიეკუთვნება a1 წრფეს. მაგრამ ეს შეუძლებელია, რადგან წრფეები a და a1 პარალელურია. მაშასადამე, a წრფე არ კვეთს α სიბრტყეს და, შესაბამისად, არის α სიბრტყის პარალელურად. თეორემა დადასტურდა.

18. თვითმფრინავები

თუ ორი პარალელური სიბრტყე იკვეთება მესამესთან, მაშინ გადაკვეთის ხაზები პარალელურია.(სურ. 333).

მართლაც, განმარტების მიხედვით პარალელური ხაზები არის ხაზები, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და არ იკვეთება.ჩვენი ხაზები დევს იმავე სიბრტყეში - სეკანტური სიბრტყეზე. ისინი არ იკვეთებიან, ვინაიდან მათ შემცველი პარალელური სიბრტყეები არ იკვეთება.

ასე რომ, ხაზები პარალელურია, რისი დამტკიცება გვინდოდა.

Თვისებები

თუ α სიბრტყე პარალელურია მეორე β სიბრტყეში მდებარე ორი გადამკვეთი წრფის, მაშინ ეს სიბრტყეები პარალელურია.

§ თუ ორი პარალელური სიბრტყე იკვეთება მესამეზე, მაშინ მათი გადაკვეთის წრფეები პარალელურია.

§ მოცემული სიბრტყის გარეთ არსებული წერტილის გავლით შესაძლებელია მოცემული სიბრტყის პარალელურად და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი სიბრტყის დახატვა.

§ ორი პარალელური სიბრტყით შემოსაზღვრული პარალელური წრფეების მონაკვეთები ტოლია

§ ორი კუთხე, შესაბამისად პარალელური და თანაბრად მიმართული გვერდით, ტოლია და დევს პარალელურ სიბრტყეში

19.

თუ ორი ხაზი დევს ერთ სიბრტყეში, მათ შორის კუთხის გაზომვა ადვილია - მაგალითად, პროტრატორის გამოყენებით. და როგორ გავზომოთ კუთხე ხაზსა და სიბრტყეს შორის?

დაე, წრფე გადაკვეთოს სიბრტყეს და არა მართი კუთხით, არამედ სხვა კუთხით. ასეთ ხაზს ე.წ ირიბი.

მოდით ჩამოვაგდოთ პერპენდიკულარი ჩვენი სიბრტყისკენ მიდრეკილი რაღაც წერტილიდან. შეაერთეთ პერპენდიკულარულის საფუძველი დახრილისა და სიბრტყის გადაკვეთის წერტილთან. Მივიღეთ ირიბი სიბრტყის პროექცია.

წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხე არის კუთხე წრფესა და მის პროექციას მოცემულ სიბრტყეზე..

გთხოვთ გაითვალისწინოთ - ხაზსა და სიბრტყეს შორის კუთხედ ვირჩევთ მახვილ კუთხეს.

თუ წრფე სიბრტყის პარალელურია, მაშინ წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხე არის ნული.

თუ ხაზი სიბრტყის პერპენდიკულარულია, მისი პროექცია სიბრტყეზე არის წერტილი. ცხადია, ამ შემთხვევაში კუთხე ხაზსა და სიბრტყეს შორის არის 90°.

წრფე პერპენდიკულარულია სიბრტყეზე, თუ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის რომელიმე წრფეზე..

ეს არის განმარტება. მაგრამ როგორ ვიმუშაოთ მასთან? როგორ შევამოწმოთ, რომ მოცემული ხაზი პერპენდიკულარულია სიბრტყეში მდებარე ყველა წრფეზე? ყოველივე ამის შემდეგ, მათ შორის უსასრულო რაოდენობაა.

პრაქტიკაში იგი გამოიყენება წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობის ნიშანი:

წრფე პერპენდიკულარულია სიბრტყეზე, თუ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე ორი გადამკვეთი წრფის მიმართ.

21. დიჰედრული კუთხე- სივრცითი გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ერთი სწორი ხაზიდან გამომავალი ორი ნახევრად სიბრტყით, აგრეთვე ამ ნახევარსიბრტყეებით შემოსაზღვრული სივრცის ნაწილით.

ამბობენ, რომ ორ სიბრტყეს პერპენდიკულარულია, თუ მათ შორის ორმხრივი კუთხე 90 გრადუსია.

§ თუ სიბრტყე გადის სხვა სიბრტყის პერპენდიკულარულ წრფეზე, მაშინ ეს სიბრტყეები პერპენდიკულარულია.

§ თუ ამ ორიდან ერთ-ერთის კუთვნილი წერტილიდან პერპენდიკულარული სიბრტყეები, დახაზეთ პერპენდიკულარი სხვა სიბრტყეზე, შემდეგ ეს პერპენდიკულარი მთლიანად დევს პირველ სიბრტყეში.

§ თუ ორი პერპენდიკულარული სიბრტყიდან ერთ-ერთში ვხატავთ პერპენდიკულარს მათი გადაკვეთის წრფეზე, მაშინ ეს პერპენდიკულარი მეორე სიბრტყის პერპენდიკულარული იქნება.

ორი გადამკვეთი სიბრტყე ქმნის ოთხ ორმხრივ კუთხეს საერთო კიდით: წყვილები ვერტიკალური კუთხეებიტოლია და ორი მიმდებარე კუთხის ჯამი არის 180°. თუ ოთხი კუთხიდან ერთი სწორია, მაშინ დანარჩენი სამი ასევე ტოლი და მართია. ორ სიბრტყეს ეწოდება პერპენდიკულარული, თუ მათ შორის კუთხე სწორია.

თეორემა. თუ სიბრტყე გადის სხვა სიბრტყის პერპენდიკულარულ წრფეზე, მაშინ ეს სიბრტყეები პერპენდიკულარულია.

ვთქვათ და იყოს ორი სიბრტყე ისეთი, რომ გაიაროს AB წრფეზე, პერპენდიკულარულად და გადაკვეთს მას A წერტილში (სურ. 49). დავამტკიცოთ რომ _|_ . სიბრტყეები და იკვეთება რაღაც ხაზის გასწვრივ AC, და AB _|_ AC, რადგან AB _|_ . მოდით დავხატოთ AD წრფე სიბრტყეში, AC წრფის პერპენდიკულარული.

მაშინ კუთხე BAD არის წრფივი კუთხე დიედრული კუთხე, განათლებული და . მაგრამ< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. პოლიედონი არის სხეული, რომლის ზედაპირი შედგება ბრტყელი მრავალკუთხედების სასრული რაოდენობისგან.

1. მრავალკუთხედის შემადგენელი მრავალკუთხედი, შეგიძლიათ მიაღწიოთ ნებისმიერ მათგანს მის გვერდით მიმავალთან და აქედან, თავის მხრივ, მის მიმდებარესთან და ა.შ.

ამ მრავალკუთხედებს ე.წ სახეებიმათი მხარეები - ნეკნებიდა მათი წვეროებია მწვერვალებიმრავალწახნაგოვანი. პოლიედრების უმარტივესი მაგალითებია ამოზნექილი პოლიედრები, ანუ ევკლიდური სივრცის შემოსაზღვრული ქვესიმრავლის საზღვარი, რომელიც არის ნახევარსივრცეების სასრული რაოდენობის კვეთა.

მრავალკუთხედის ზემოაღნიშნული განმარტება განსხვავებულ მნიშვნელობას იძენს იმისდა მიხედვით, თუ როგორ არის განსაზღვრული მრავალკუთხედი, რისთვისაც შესაძლებელია შემდეგი ორი ვარიანტი:

§ ბრტყელი დახურული გატეხილი ხაზები (თუნდაც ისინი თვითგადაკვეთისას);

§ თვითმფრინავის ნაწილები, რომლებიც შემოსაზღვრულია გატეხილი ხაზებით.

პირველ შემთხვევაში ვიღებთ ვარსკვლავური პოლიედრონის კონცეფციას. მეორეში, პოლიედონი არის ზედაპირი, რომელიც შედგება მრავალკუთხა ნაწილებისგან. თუ ეს ზედაპირი თავისთავად არ იკვეთება, მაშინ ეს არის რაიმე გეომეტრიული სხეულის სრული ზედაპირი, რომელსაც ასევე უწოდებენ პოლიედრონს. აქედან გამომდინარე, ჩნდება პოლიედრონის მესამე განმარტება, როგორც თავად გეომეტრიული სხეული.

სწორი პრიზმა

პრიზმა ე.წ სწორითუ ის გვერდითი ნეკნებიფუძეების პერპენდიკულარული.
პრიზმა ე.წ ირიბითუ მისი გვერდითი კიდეები არ არის ფუძეების პერპენდიკულარული.
სწორ პრიზმას აქვს მართკუთხედის სახეები.

პრიზმა ე.წ სწორითუ მისი ფუძეები რეგულარული მრავალკუთხედებია.
პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობიეწოდება გვერდითი სახეების ფართობების ჯამი.
პრიზმის სრული ზედაპირიგვერდითი ზედაპირისა და ფუძეების ფართობების ჯამის ტოლია

პრიზმის ელემენტები:
წერტილები - წვეროებს უწოდებენ
სეგმენტებს გვერდითი კიდეები ეწოდება
მრავალკუთხედებს და - ფუძეებს უწოდებენ. თვით თვითმფრინავებს ასევე უწოდებენ ბაზებს.

24. პარალელეპიპედი(ბერძნულიდან παράλλος - პარალელური და ბერძნულიდან επιπεδον - სიბრტყე) - პრიზმა, რომლის ფუძე არის პარალელოგრამი, ან (ექვივალენტურად) მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს ექვსი სახე და თითოეული მათგანი პარალელოგრამია.

§ პარალელეპიპედი სიმეტრიულია მისი დიაგონალის შუა წერტილის მიმართ.

§ ნებისმიერი სეგმენტი ბოლოებით, ზედაპირის კუთვნილებაპარალელეპიპედი და გადის მისი დიაგონალის შუაზე, ყოფს მას შუაზე; კერძოდ, პარალელეპიპედის ყველა დიაგონალი იკვეთება ერთ წერტილში და ორად ყოფს მას.

§ პარალელეპიპედის საპირისპირო სახეები პარალელურია და ტოლია.

§ დიაგონალის სიგრძის კვადრატი კუბოიდური ჯამის ტოლიამისი სამი განზომილების კვადრატები.

კუბოიდის ზედაპირის ფართობიუდრის ამ პარალელეპიპედის სამი სახის ფართობების ჯამის ორჯერ ჯამს:

1.	ს= 2(ს ა+სბ+ს ს)= 2(აბ+ძვ.წ+აწ)

25 .პირამიდა და მისი ელემენტები

განვიხილოთ სიბრტყე, მასში მდებარე მრავალკუთხედი და წერტილი S, რომელიც არ არის მასში. შეაერთეთ S მრავალკუთხედის ყველა წვეროსთან. შედეგად წარმოქმნილ პოლიედრონს პირამიდა ეწოდება. სეგმენტებს გვერდითი კიდეები ეწოდება. მრავალკუთხედს ეწოდება ფუძე, ხოლო S წერტილს - პირამიდის მწვერვალი. n რიცხვიდან გამომდინარე, პირამიდას ეწოდება სამკუთხა (n=3), ოთხკუთხა (n=4), ხუთკუთხა (n=5) და ა.შ. სამკუთხა პირამიდის ალტერნატიული სახელი - ტეტრაედონი. პირამიდის სიმაღლე არის პერპენდიკულური, რომელიც გამოყვანილია მისი მწვერვალიდან ფუძის სიბრტყემდე.

პირამიდას ეწოდება სწორი თუ რეგულარული მრავალკუთხედი, და პირამიდის სიმაღლის ფუძე (პერპენდიკულარულის საფუძველი) არის მისი ცენტრი.

პროგრამა შექმნილია გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად სწორი პირამიდა.
პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომელსაც აქვს ბაზა მრავალკუთხედის სახით, ხოლო დარჩენილი სახეები არის სამკუთხედები საერთო წვერით.

რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოთვლის ფორმულა არის:

სადაც p არის ფუძის პერიმეტრი (პოლიგონი ABCDE),
a - აპოთემა (OS);

აპოთემა არის ჩვეულებრივი პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, რომელიც გამოყვანილია მისი ზემოდან.

ჩვეულებრივი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის საპოვნელად, შეიყვანეთ პირამიდის პერიმეტრის და აპოთემის მნიშვნელობები, შემდეგ დააჭირეთ ღილაკს "CALCULATE". პროგრამა განსაზღვრავს ჩვეულებრივი პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობს, რომლის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს მოთავსებულია ბუფერზე.

შეკვეცილი პირამიდა

დამსხვრეული პირამიდა არის ნაწილი სრული პირამიდაჩასმულია ფუძესა და მის პარალელურ მონაკვეთს შორის.
განივი მონაკვეთი ე.წ დამსხვრეული პირამიდის ზედა ფუძედა სრული პირამიდის საფუძველია ქვედა ბაზაშეკვეცილი პირამიდა. (ბაზები მსგავსია.) გვერდითი სახეებიშეკვეცილი პირამიდა - ტრაპეცია. დამსხვრეულ პირამიდაში 3 ნნეკნები, 2 ნმწვერვალები, ნ+ 2 სახე, ნ(ნ- 3) დიაგონალები. ზედა და ქვედა ფუძეებს შორის მანძილი არის დამსხვრეული პირამიდის სიმაღლე (სრული პირამიდის სიმაღლიდან მოწყვეტილი სეგმენტი).
მოედანი სრული ზედაპირიშეკვეცილი პირამიდა უდრის მისი სახეების ფართობების ჯამს.
დამსხვრეული პირამიდის მოცულობა ( სდა ს- ბაზის ფართობი, ჰ- სიმაღლე)

ბრუნვის სხეულიეწოდება სხეული, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზის გარშემო წრფის ბრუნვის შედეგად.

მარჯვენა წრიული ცილინდრი იწერება სფეროში, თუ მისი ფუძის წრეები დევს სფეროზე. ცილინდრის ფუძეები არის ბურთის პატარა წრეები, ბურთის ცენტრი ემთხვევა ცილინდრის ღერძის შუას. [ 2 ]

მარჯვენა წრიული ცილინდრი იწერება სფეროში, თუ მისი ფუძის წრეები დევს სფეროზე. ცხადია, სფეროს ცენტრი არც ცილინდრის ღერძის შუაშია. [ 3 ]

ნებისმიერი ცილინდრის მოცულობა უდრის პროდუქტსბაზის ფართობი სიმაღლემდე:

1.

ვ=π რ 2 თ

სრული ფართობიცილინდრის ზედაპირი ტოლია ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ჯამის და ორმაგი კვადრატიცილინდრის საფუძველი.

ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობის გამოთვლის ფორმულა არის:

27. მრგვალი კონუსის მიღება შესაძლებელია მისი ერთ-ერთი ფეხის გარშემო მართკუთხა სამკუთხედის მობრუნებით, რის გამოც მრგვალ კონუსს რევოლუციის კონუსსაც უწოდებენ. აგრეთვე იხილეთ მრგვალი კონუსის მოცულობა

წრიული კონუსის მთლიანი ზედაპირიუდრის კონუსის გვერდითი ზედაპირისა და მისი ფუძის ფართობების ჯამს. კონუსის საფუძველი არის წრე და მისი ფართობი გამოითვლება წრის ფართობის ფორმულით:

2.	ს=π რ ლ+π რ 2=π რ(რ+ლ)

28. ფრუსტუმიმიღებული კონუსის ფუძის პარალელურად მონაკვეთის გაყვანით. ამ მონაკვეთით შემოზღუდულ სხეულს, კონუსის ფუძითა და გვერდითი ზედაპირით შემოჭრილი კონუსი ეწოდება. იხილეთ აგრეთვე მოკვეთილი კონუსის მოცულობა

დამსხვრეული კონუსის მთლიანი ზედაპირიუდრის შეკვეცილი კონუსის გვერდითი ზედაპირის ფართობების ჯამს და მის ფუძეებს. შეკვეცილი კონუსის საფუძვლები არის წრეები და მათი ფართობი გამოითვლება წრის ფართობის ფორმულის გამოყენებით: ს= π (რ 1 2 + (რ 1 + რ 2)ლ+ რ 2 2)

29. ბურთი არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია ზედაპირით, რომლის ყველა წერტილი მდებარეობს თანაბარი მანძილიცენტრიდან. ამ მანძილს სფეროს რადიუსი ეწოდება.

სფერო(ბერძნ. σφαῖρα - ბურთი) - დახურული ზედაპირი, გეომეტრიული ადგილიწერტილები სივრცეში მოცემული წერტილიდან თანაბარ მანძილზე, რომელსაც სფეროს ცენტრს უწოდებენ. სფერო არის ელიფსოიდის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელშიც სამივე ღერძი (ნახევარი ღერძი, რადიუსი) ტოლია. სფერო არის ბურთის ზედაპირი.

სფერული სეგმენტის (სფერული სექტორი) და სფერული ფენის სფერული ზედაპირის ფართობი დამოკიდებულია მხოლოდ მათ სიმაღლეზე და ბურთის რადიუსზე და უდრის ბურთის დიდი წრის გარშემოწერილობას, გამრავლებული სიმაღლეზე.

ბურთის მოცულობაუდრის პირამიდის მოცულობას, რომლის ფუძეს აქვს იგივე ფართობი, როგორც ბურთის ზედაპირი, ხოლო სიმაღლე არის ბურთის რადიუსი.

სფეროს მოცულობა ერთნახევარჯერ ნაკლებია მის გარშემო შემოხაზული ცილინდრის მოცულობაზე.

ბურთის ელემენტები

ბურთის სეგმენტი საჭრელი სიბრტყე ყოფს ბურთს ორ ბურთულ სეგმენტად. ჰ- სეგმენტის სიმაღლე, 0< ჰ < 2 რ, რ- სეგმენტის ბაზის რადიუსი, ბურთის სეგმენტის მოცულობა სფერული სეგმენტის სფერული ზედაპირის ფართობი
სფერული ფენა სფერული ფენა არის სფეროს ნაწილი, რომელიც ჩაკეტილია ორ პარალელურ მონაკვეთს შორის. მანძილი ( ჰ) განყოფილებებს შორის ეწოდება ფენის სიმაღლედა თავად სექციები - ფენის ბაზები. სფერული ზედაპირის ფართობი ( მოცულობა) სფერული ფენა გვხვდება არეების სხვაობის სახით სფერული ზედაპირებისფერული სეგმენტების (მოცულობები).

 1. ვექტორის გამრავლება რიცხვზე(სურ. 56).

ვექტორული პროდუქტი მაგრამთითო რიცხვზე λ ვექტორი ეწოდება AT, რომლის მოდული უდრის ვექტორის მოდულის ნამრავლს მაგრამმოდულის ნომერზე λ :

მიმართულება არ იცვლება თუ λ > 0 ; იცვლება პირიქით, თუ λ < 0 . Თუ λ = −1, შემდეგ ვექტორი

ვექტორად წოდებული, საპირისპირო ვექტორი მაგრამ, და აღინიშნება

 2. ვექტორის დამატება. იპოვონ ორი ვექტორის ჯამი მაგრამდა ATვექტორი

მაშინ ჯამი იქნება ვექტორი, რომლის დასაწყისი ემთხვევა პირველის დასაწყისს, ხოლო დასასრული - მეორის დასასრულს. ამ ვექტორის დამატების წესს ეწოდება "სამკუთხედის წესი" (სურ. 57). აუცილებელია შემაჯამებელი ვექტორების გამოსახვა ისე, რომ მეორე ვექტორის დასაწყისი ემთხვევა პირველის დასასრულს.

ადვილია იმის მტკიცება, რომ ვექტორებისთვის „ჯამი არ იცვლება ტერმინების ადგილების ცვლილებით“.
მოდით მივუთითოთ ვექტორების დამატების კიდევ ერთი წესი - "პარალელოგრამის წესი". თუ შეკრების ვექტორების საწყისებს გავაერთიანებთ და მათზე ავაშენებთ პარალელოგრამს, მაშინ ჯამი იქნება ვექტორი, რომელიც ემთხვევა ამ პარალელოგრამის დიაგონალს (სურ. 58).

ცხადია, რომ „პარალელოგრამის წესის“ მიხედვით მიმატება იწვევს იგივე შედეგს, რაც „სამკუთხედის წესის“ მიხედვით.
„სამკუთხედის წესი“ ადვილად განზოგადდება (რამდენიმე ტერმინის შემთხვევაში). რათა იპოვონ ვექტორთა ჯამი

აუცილებელია მეორე ვექტორის დასაწყისი პირველის დასასრულთან, მესამეს დასაწყისი - მეორის დასასრულთან და ა.შ. შემდეგ ვექტორის დასაწყისი. თანემთხვევა პირველის დასაწყისს და დასასრულს თან- ამ უკანასკნელის ბოლოთი (სურ. 59).

 3. ვექტორების გამოკლება. გამოკლების ოპერაცია მცირდება ორ წინა ოპერაციამდე: ორი ვექტორის სხვაობა არის პირველის ჯამი მეორეს საპირისპირო ვექტორთან:

თქვენ ასევე შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ "სამკუთხედის წესი" ვექტორების გამოკლებისთვის: აუცილებელია ვექტორების საწყისების გაერთიანება. მაგრამდა AT, მაშინ მათი განსხვავება იქნება ვექტორი

დახატულია ვექტორის ბოლოდან ATვექტორის ბოლოსკენ მაგრამ(სურ. 60).

შემდეგში ვისაუბრებთ გადაადგილების ვექტორზე მატერიალური წერტილი, ანუ წერტილის საწყისი და საბოლოო პოზიციების დამაკავშირებელი ვექტორი. დამეთანხმებით, რომ ვექტორებზე მოქმედების შემოღებული წესები საკმაოდ აშკარაა გადაადგილების ვექტორებისთვის.

 4. ვექტორთა წერტილოვანი ნამრავლი. შედეგი წერტილოვანი პროდუქტიორი ვექტორი მაგრამდა ATარის რიცხვი c ტოლი ვექტორების მოდულების ნამრავლისა და კუთხის კოსინუსის α შორის

ვექტორების სკალარული პროდუქტი ძალიან ფართოდ გამოიყენება ფიზიკაში. სამომავლოდ ხშირად მოგვიწევს ასეთ ოპერაციასთან შეხება.

პარალელური წრფეების განმარტება და მათი თვისებები სივრცეში იგივეა, რაც სიბრტყეში (იხ. პუნქტი 11).

ამავდროულად, სივრცეში შესაძლებელია ხაზების მოწყობის კიდევ ერთი შემთხვევა - დახრილი ხაზები. წრფეებს, რომლებიც არ იკვეთება და არ დევს ერთ სიბრტყეში, გადამკვეთ ხაზებს უწოდებენ.

სურათი 121 გვიჩვენებს მისაღები ოთახის განლაგებას. ხედავთ, რომ ხაზები, რომლებსაც მიეკუთვნება AB და BC სეგმენტები, დახრილია.

კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორის არის კუთხე მათ პარალელურად გადამკვეთ ხაზებს შორის. ეს კუთხე არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რომელი გადამკვეთი ხაზებია აღებული.

პარალელურ წრფეებს შორის კუთხის გრადუსული ზომა ითვლება ნულამდე.

ორი გადამკვეთი ხაზის საერთო პერპენდიკულარი არის სეგმენტი ამ ხაზებზე ბოლოებით, რომელიც არის თითოეული მათგანის პერპენდიკულარული. შეიძლება დადასტურდეს, რომ ორ გადამკვეთ წრფეს აქვს საერთო პერპენდიკულარული და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი. ეს არის ამ წრფეებზე გამავალი პარალელური სიბრტყეების საერთო პერპენდიკულარი.

გადაკვეთის ხაზებს შორის მანძილი არის მათი საერთო პერპენდიკულურის სიგრძე. ის უდრის მანძილს ამ ხაზებზე გამავალ პარალელურ სიბრტყეებს შორის.

ამრიგად, a და b ხაზებს შორის მანძილის საპოვნელად (ნახ. 122), აუცილებელია პარალელური სიბრტყეების დახაზვა a და თითოეული ამ წრფეების გავლით. მანძილი ამ სიბრტყეებს შორის იქნება მანძილი a და b გადამკვეთ ხაზებს შორის. ფიგურაში 122, ეს მანძილი არის, მაგალითად, მანძილი AB.

მაგალითი. წრფეები a და b პარალელურია და c და d წრფეები იკვეთება. შეუძლია თუ არა a წრფეს თითოეულმა და ორივე წრფის გადაკვეთა

გადაწყვეტილება. წრფეები a და b დევს ერთ სიბრტყეში და, შესაბამისად, თითოეული მათგანის გადამკვეთი ნებისმიერი წრფე ერთ სიბრტყეშია. მაშასადამე, თუ a, b წრფეები კვეთს ორივე წრფეს c და d-ს, მაშინ წრფეები იმავე სიბრტყეში იქნება a და b წრფეებთან და ეს არ შეიძლება იყოს, რადგან წრფეები იკვეთება.

42. სწორი ხაზისა და სიბრტყის პარალელიზმი.

წრფეს და სიბრტყეს პარალელურს უწოდებენ, თუ ისინი არ იკვეთებიან, ანუ არ აქვთ საერთო წერტილები. თუ a წრფე პარალელურია a სიბრტყის, მაშინ წერენ:.

ნახაზი 123 გვიჩვენებს სწორ ხაზს a სიბრტყის პარალელურად.

თუ წრფე, რომელიც არ ეკუთვნის სიბრტყეს, პარალელურია ამ სიბრტყის რომელიმე წრფის პარალელურად, მაშინ ის ასევე პარალელურია თავად სიბრტყისაც (წრფისა და სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი).

ეს თეორემა იძლევა საშუალებას კონკრეტული სიტუაციადაამტკიცეთ, რომ წრფე და სიბრტყე პარალელურია. ნახაზი 124 გვიჩვენებს სწორ ხაზს b პარალელურად a სიბრტყეში a სიბრტყის პარალელურად, ე.ი. a სიბრტყის პარალელურად b სწორი ხაზის გასწვრივ, ე.ი.

მაგალითი. ზემოდან სწორი კუთხემართკუთხადან სამკუთხედი ABCსიბრტყე დახატულია ჰიპოტენუზის პარალელურად მისგან 10 სმ მანძილზე. ამ სიბრტყეზე ფეხების პროექცია არის 30 და 50 სმ. იპოვეთ ჰიპოტენუზის პროექცია იმავე სიბრტყეზე.

გადაწყვეტილება. დან მართკუთხა სამკუთხედები BBVC და (ნახ. 125) ვხვდებით:

ABC სამკუთხედიდან ვხვდებით:

AB ჰიპოტენუზის პროექცია a სიბრტყეზე არის . ვინაიდან AB პარალელურია a სიბრტყის, მაშინ So,.

43. პარალელური სიბრტყეები.

ორ სიბრტყეს პარალელურს უწოდებენ. თუ ისინი არ იკვეთებიან.

ორი სიბრტყე პარალელურია" თუ ერთი მათგანი პარალელურია მეორე სიბრტყეში მდებარე ორი გადამკვეთი წრფის პარალელურად (ორი სიბრტყის პარალელურობის ნიშანი).

სურათზე 126, სიბრტყე a არის პარალელურად გადამკვეთი ხაზების a და b სიბრტყეში, შემდეგ ამ სიბრტყეების გასწვრივ არის პარალელური.

მოცემული სიბრტყის გარეთ არსებული წერტილის გავლით შეიძლება მოცემული სიბრტყის პარალელურად და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი სიბრტყის დახატვა.

თუ ორი პარალელური სიბრტყე იკვეთება მესამესთან, მაშინ გადაკვეთის ხაზები პარალელურია.

ნახაზი 127 გვიჩვენებს ორ პარალელურ სიბრტყეს და სიბრტყე y კვეთს მათ a და b სწორი ხაზების გასწვრივ. შემდეგ, თეორემა 2.7-ით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ a და b წრფეები პარალელურია.

ორ პარალელურ სიბრტყეს შორის ჩასმული პარალელური წრფეების მონაკვეთები ტოლია.

T.2.8-ის მიხედვით, AB და 128-ზე ნაჩვენები სეგმენტები ტოლია, ვინაიდან

დაე ეს თვითმფრინავები იკვეთოს. დახაზეთ სიბრტყე მათი გადაკვეთის წრფეზე პერპენდიკულარული. ის კვეთს ამ სიბრტყეებს ორი სწორი ხაზის გასწვრივ. ამ ხაზებს შორის კუთხეს ამ სიბრტყეებს შორის კუთხე ეწოდება (სურ. 129). ამ გზით განსაზღვრულ სიბრტყეებს შორის კუთხე არ არის დამოკიდებული სეკანტური სიბრტყის არჩევანზე.