ចំណាំ. សម្ភារៈនេះ។មានទ្រឹស្តីបទ និងភស្តុតាងរបស់វា ក៏ដូចជាបញ្ហាមួយចំនួនដែលបង្ហាញពីការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទលើផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណប៉ោងនៅលើឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង.

ទ្រឹស្តីបទបូកមុំពហុកោណប៉ោង

.

ភស្តុតាង.

ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទលើផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណប៉ោង យើងប្រើទ្រឹស្តីបទដែលបានបញ្ជាក់រួចហើយថាផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណគឺ 180 ដឺក្រេ។

អនុញ្ញាតឱ្យ A 1 A 2 ... A n ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ពហុកោណប៉ោង, និង n > 3. គូរអង្កត់ទ្រូងទាំងអស់នៃពហុកោណពីចំនុចកំពូល A 1. ពួកគេបែងចែកវាទៅជាត្រីកោណ n – 2៖ Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n ។ ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណគឺដូចគ្នាទៅនឹងផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណទាំងអស់នេះ។ ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណនីមួយៗគឺ 180° ហើយចំនួនត្រីកោណគឺ (n - 2)។ ដូច្នេះផលបូកនៃមុំនៃប៉ោង n-gon A 1 A 2... A n គឺ 180° (n – 2)។

កិច្ចការមួយ។

នៅក្នុងពហុកោណប៉ោងមួយ មុំបីគឺ 80 ដឺក្រេ ហើយនៅសល់គឺ 150 ដឺក្រេ។ តើមានជ្រុងប៉ុន្មានក្នុងពហុកោណប៉ោង?

ដំណោះស្រាយ។

ទ្រឹស្តីបទនិយាយថា៖ សម្រាប់ប៉ោង n-gon ផលបូកនៃមុំគឺ 180°(n-2) .

ដូច្នេះសម្រាប់ករណីរបស់យើង៖

180(n-2)=3*80+x*150, កន្លែងណា

មុំ 3 នៃ 80 ដឺក្រេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយើងយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាហើយចំនួនមុំផ្សេងទៀតនៅតែមិនស្គាល់សម្រាប់យើងដូច្នេះយើងកំណត់លេខរបស់ពួកគេជា x ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ពីធាតុនៅផ្នែកខាងឆ្វេង យើងបានកំណត់ចំនួនជ្រុងនៃពហុកោណជា n ដោយសារយើងដឹងពីតម្លៃនៃបីនៃពួកវាពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា វាច្បាស់ណាស់ថា x=n-3 ។

ដូច្នេះសមីការនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

180(n-2)=240+150(n-3)

យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

ចម្លើយ៖ 5 កំពូល

កិច្ចការមួយ។

តើពហុកោណអាចមានមុំប៉ុន្មានប្រសិនបើមុំនីមួយៗតិចជាង 120 ដឺក្រេ?

ដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងប្រើទ្រឹស្តីបទលើផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណប៉ោង។

ទ្រឹស្តីបទនិយាយថា៖ សម្រាប់ប៉ោង n-gon ផលបូកនៃមុំទាំងអស់គឺ 180°(n-2) .

អាស្រ័យហេតុនេះ សម្រាប់ករណីរបស់យើង ចាំបាច់ត្រូវប៉ាន់ប្រមាណលក្ខខណ្ឌព្រំដែននៃបញ្ហាជាមុនសិន។ នោះគឺធ្វើឱ្យការសន្មត់ថាមុំនីមួយៗគឺស្មើនឹង 120 ដឺក្រេ។ យើង​ទទួល​បាន:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (យើងនឹងពិចារណាកន្សោមនេះដោយឡែកពីគ្នាខាងក្រោម)

ដោយផ្អែកលើសមីការដែលទទួលបាន យើងសន្និដ្ឋាន៖ នៅពេលដែលមុំតិចជាង 120 ដឺក្រេ ចំនួនជ្រុងនៃពហុកោណគឺតិចជាងប្រាំមួយ។

ការពន្យល់៖

ដោយផ្អែកលើកន្សោម 180n - 120n = 360 បានផ្តល់ថាផ្នែកខាងស្តាំដែលដកគឺតិចជាង 120n ភាពខុសគ្នាគួរតែមានច្រើនជាង 60n ។ ដូច្នេះ កូតានៃការបែងចែកនឹងតែងតែតិចជាងប្រាំមួយ។

ចម្លើយ៖ចំនួននៃពហុកោណបញ្ឈរនឹងមានតិចជាងប្រាំមួយ។

កិច្ចការមួយ។

ពហុកោណមានមុំបីគឺ 113 ដឺក្រេ ហើយនៅសល់គឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក និងរបស់វា។ រង្វាស់ដឺក្រេគឺជាចំនួនគត់។ រក​ចំនួន​បញ្ឈរ​នៃ​ពហុកោណ។

ដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងប្រើទ្រឹស្តីបទលើផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃពហុកោណប៉ោង។

ទ្រឹស្តីបទនិយាយថា៖ សម្រាប់ប៉ោង n-gon ផលបូកនៃមុំខាងក្រៅទាំងអស់គឺ 360° .

ដោយវិធីនេះ

3*(180-113)+(n-3)x=360

ផ្នែកខាងស្តាំនៃកន្សោមគឺជាផលបូកនៃមុំខាងក្រៅ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងផលបូកនៃមុំទាំងបីត្រូវបានដឹងដោយលក្ខខណ្ឌ ហើយរង្វាស់ដឺក្រេនៃសល់ (ចំនួនរបស់ពួកគេរៀងគ្នា n-3 ចាប់តាំងពីមុំបីគឺ ត្រូវបានគេស្គាល់) ត្រូវបានតំណាងថាជា x ។

159 ត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាពីរគឺ 53 និង 3 ហើយ 53 គឺជាចំនួនបឋម។ នោះគឺមិនមានកត្តាគូផ្សេងទៀតទេ។

ដូច្នេះ n-3 = 3, n=6, នោះគឺចំនួនជ្រុងនៃពហុកោណគឺប្រាំមួយ។

ចម្លើយ: ប្រាំមួយជ្រុង

កិច្ចការមួយ។

បង្ហាញថាពហុកោណប៉ោងអាចមានយ៉ាងហោចណាស់បី ជ្រុងមុតស្រួច.

ដំណោះស្រាយ

ដូចដែលអ្នកដឹង ផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃពហុកោណប៉ោងគឺ 360 0 ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ ប្រសិនបើពហុកោណប៉ោងមានយ៉ាងហោចណាស់បួនស្រួច ជ្រុងខាងក្នុងដូច្នេះហើយ ក្នុងចំនោមមុំខាងក្រៅរបស់វា យ៉ាងហោចណាស់មានមុំស្រួចចំនួនបួន ដែលមានន័យថាផលបូកនៃមុំខាងក្រៅទាំងអស់នៃពហុកោណគឺធំជាង 4*90 0 = 360 0 ។ យើងមានភាពផ្ទុយគ្នា។ ការ​អះអាង​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ឱ្យ​ឃើញ​។

ផលបូកនៃមុំនៃទ្រឹស្តីបទ n-gon ។ ផលបូកនៃមុំនៃប៉ោង n-gon គឺ 180 o (n-2) ។ ភស្តុតាង។ ពីចំនុចកំពូលមួយចំនួននៃប៉ោង n-gon យើងគូរអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។ បន្ទាប់មក n-gon នឹងបំបែកទៅជា n-2 ត្រីកោណ។ នៅក្នុងត្រីកោណនីមួយៗ ផលបូកនៃមុំគឺ 180 o ហើយមុំទាំងនេះបង្កើតបានជាមុំនៃ n-gon ។ ដូច្នេះផលបូកនៃមុំនៃ n-gon គឺ 180 o (n-2) ។

វិធីសាស្រ្តទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទភស្តុតាង។ ផលបូកនៃមុំនៃប៉ោង n-gon គឺ 180 o (n-2) ។ ភ័ស្តុតាង 2. អនុញ្ញាតឱ្យ O ខ្លះ ចំណុចខាងក្នុងប៉ោង n-gon A 1 …A n ។ ភ្ជាប់វាទៅនឹងចំនុចកំពូលនៃពហុកោណនេះ។ បន្ទាប់មក n-gon នឹងត្រូវបានបែងចែកទៅជា n ត្រីកោណ។ នៅក្នុងត្រីកោណនីមួយៗ ផលបូកនៃមុំគឺ 180 o ។ មុំទាំងនេះបង្កើតជាមុំ n-gon និង 360 o ផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះផលបូកនៃមុំនៃ n-gon គឺ 180 o (n-2) ។

លំហាត់ទី 3 បង្ហាញថាផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃប៉ោង n-gon គឺ 360 o ។ ភស្តុតាង។ មុំខាងក្រៅនៃពហុកោណប៉ោងគឺ 180° ដកមុំខាងក្នុងដែលត្រូវគ្នា។ ដូច្នេះផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃប៉ោង n-gon គឺ 180 o n ដកផលបូកនៃមុំខាងក្នុង។ ដោយសារផលបូកនៃមុំខាងក្នុងនៃប៉ោង n-gon គឺ 180 o (n-2) នោះផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនឹងមាន 180 o n o (n-2) = 360 o ។

លំហាត់ទី 4 តើមុំធម្មតាមានអ្វីខ្លះ: ក) ត្រីកោណ; ខ) បួនជ្រុង; គ) មន្ទីរបញ្ចកោណ; ឃ) ឆកោន; e) ប្រាំបី; e) decagon; g) dodecagon មួយ? ចម្លើយ៖ ក) 60 o; ខ) 90 o; គ) 108 o; ឃ) 120 o; e) 135 o; f) 144 o; g) 150 o ។

លំហាត់ 12 * អ្វី ចំនួនធំបំផុតតើប៉ោង n-gon អាចមានជ្រុងមុតស្រួចទេ? ដំណោះស្រាយ។ ដោយសារផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃពហុកោណប៉ោងគឺ 360 o ដូច្នេះពហុកោណប៉ោងមិនអាចមានលើសពីបីទេ ជ្រុង obtuseដូច្នេះ វាមិនអាចមានមុំស្រួចខាងក្នុងលើសពីបីទេ។ ចម្លើយ។ ៣.

រាងធរណីមាត្រទាំងនេះព័ទ្ធជុំវិញយើងគ្រប់ទីកន្លែង។ ពហុកោណប៉ោងគឺជាធម្មជាតិ ដូចជា Honeycombs ឬសិប្បនិម្មិត (មនុស្សបង្កើត)។ តួលេខទាំងនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងផលិតកម្ម ប្រភេទផ្សេងៗថ្នាំកូត, នៅក្នុងការគូរគំនូរ, ស្ថាបត្យកម្ម, ការតុបតែង, ល។ ពហុកោណប៉ោងមានលក្ខណសម្បត្តិដែលចំនុចទាំងអស់របស់វាស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់គូនៃចំនុចដែលនៅជាប់គ្នានៃបន្ទាត់នេះ។ រូបធរណីមាត្រ. មាននិយមន័យផ្សេងទៀតផងដែរ។ ពហុកោណត្រូវបានគេហៅថាប៉ោង ប្រសិនបើវាមានទីតាំងនៅពាក់កណ្តាលយន្តហោះតែមួយ ទាក់ទងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយដែលមានផ្នែកម្ខាងរបស់វា។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃធរណីមាត្របឋម មានតែពហុកោណសាមញ្ញប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានពិចារណា។ ដើម្បីយល់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃការបែបនេះវាចាំបាច់ត្រូវយល់ពីធម្មជាតិរបស់វា។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយវាគួរតែត្រូវបានយល់ថាបន្ទាត់ណាមួយត្រូវបានគេហៅថាបិទ, ចុងបញ្ចប់ដែលស្របគ្នា។ លើសពីនេះទៅទៀតតួលេខដែលបង្កើតឡើងដោយវាអាចមានភាពខុសគ្នានៃការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ។ ពហុកោណគឺជាបន្ទាត់ខូចបិទសាមញ្ញ ដែលតំណភ្ជាប់ជិតខាងមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ តំណ និង​បន្ទាត់​បញ្ឈរ​របស់​វា​គឺ​រៀង​គ្នា ជ្រុង និង​បញ្ឈរ​នៃ​តួលេខ​ធរណីមាត្រ​នេះ។ ប៉ូលីលីនសាមញ្ញមិនត្រូវមានប្រសព្វដោយខ្លួនឯងទេ។

ចំនុចកំពូលនៃពហុកោណត្រូវបានគេហៅថាជាប់ ប្រសិនបើពួកវាតំណាងឱ្យចុងម្ខាងរបស់វា។ រូបធរណីមាត្រដែលមាន លេខទីចំនុចកំពូល ហើយដូច្នេះ បរិមាណទីភាគីត្រូវបានគេហៅថា n-gon ។ បន្ទាត់ដែលខូចដោយខ្លួនវាត្រូវបានគេហៅថាព្រំដែនឬវណ្ឌវង្កនៃតួលេខធរណីមាត្រនេះ។ ប្លង់ពហុកោណ ឬពហុកោណរាងសំប៉ែតត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកចុងនៃយន្តហោះដែលចងជាប់នឹងវា។ ផ្នែកដែលនៅជាប់គ្នានៃតួលេខធរណីមាត្រនេះត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកនៃបន្ទាត់ដែលខូចដែលចេញពីចំនុចកំពូលមួយ។ ពួក​វា​នឹង​មិន​នៅ​ជាប់​គ្នា​ទេ ប្រសិន​បើ​វា​មក​ពី​ចំណុច​កំពូល​ផ្សេង​គ្នា​នៃ​ពហុកោណ។

និយមន័យផ្សេងទៀតនៃពហុកោណប៉ោង

នៅក្នុងធរណីមាត្របឋម មាននិយមន័យសមមូលជាច្រើនទៀតដែលបង្ហាញថាពហុកោណត្រូវបានគេហៅថាប៉ោង។ លើសពីនេះ ការបញ្ចេញមតិទាំងអស់នេះ សញ្ញាបត្រដូចគ្នា។គឺពិត។ ពហុកោណប៉ោងគឺជាផ្នែកមួយដែលមាន៖

គ្រប់ផ្នែកបន្ទាត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចពីរណាមួយនៅក្នុងវា គឺស្ថិតនៅក្នុងវាទាំងស្រុង។

អង្កត់ទ្រូងរបស់វាទាំងអស់ស្ថិតនៅក្នុងវា;

មុំខាងក្នុងណាមួយមិនលើសពី 180 °ទេ។

ពហុកោណតែងតែបំបែកយន្តហោះជា 2 ផ្នែក។ មួយក្នុងចំនោមពួកគេមានកំណត់ (វាអាចត្រូវបានរុំព័ទ្ធជារង្វង់) ហើយមួយទៀតគឺគ្មានដែនកំណត់។ ទីមួយត្រូវបានគេហៅថាតំបន់ខាងក្នុងហើយទីពីរគឺជាតំបន់ខាងក្រៅនៃតួលេខធរណីមាត្រនេះ។ ពហុកោណនេះគឺជាចំនុចប្រសព្វមួយ (និយាយម្យ៉ាងទៀត សមាសភាគទូទៅ) នៃយន្តហោះពាក់កណ្តាលជាច្រើន។ លើសពីនេះទៅទៀត ផ្នែកនីមួយៗដែលបញ្ចប់នៅចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពហុកោណជាកម្មសិទ្ធិរបស់វាទាំងស្រុង។

ប្រភេទនៃពហុកោណប៉ោង

និយមន័យនៃពហុកោណប៉ោងមិនបង្ហាញថាមានច្រើនប្រភេទទេ។ ហើយពួកគេម្នាក់ៗមានលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យជាក់លាក់។ ដូច្នេះ ពហុកោណប៉ោងដែលមានមុំខាងក្នុង 180° ត្រូវបានគេហៅថាប៉ោងខ្សោយ។ រូប​ធរណីមាត្រ​ប៉ោង​ដែល​មាន​បី​បញ្ឈរ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា ត្រីកោណ បួន - រាង​បួនជ្រុង ប្រាំ - ប៉ង់តាហ្គោន ។ល។ រាង​ប៉ោង​នីមួយ​ៗ​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​រូប​ខាងក្រោម។ តម្រូវការចាំបាច់: n ត្រូវតែស្មើ ឬធំជាង 3។ ត្រីកោណនីមួយៗមានរាងប៉ោង។ រូបធរណីមាត្រ នៃប្រភេទនេះ។ដែលក្នុងនោះចំនុចកំពូលទាំងអស់ស្ថិតនៅលើរង្វង់ដូចគ្នា ត្រូវបានគេហៅថាចារឹកក្នុងរង្វង់។ ពហុកោណប៉ោងត្រូវបានគេហៅថាគូសរង្វង់ ប្រសិនបើជ្រុងរបស់វានៅជិតរង្វង់ប៉ះវា។ ពហុកោណ​ពីរ​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​ស្មើ​គ្នា​លុះត្រា​តែ​ពួកវា​អាច​ត្រូវ​បាន​ដាក់​ដោយ​ការ​ដាក់​លើស។ ពហុកោណផ្ទះល្វែងហៅថា ប្លង់ពហុកោណ (ផ្នែកនៃយន្តហោះ) ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយតួលេខធរណីមាត្រនេះ។

ពហុកោណប៉ោងធម្មតា។

ពហុកោណធម្មតាគឺជារាងធរណីមាត្រជាមួយ មុំស្មើគ្នានិងភាគី។ នៅខាងក្នុងពួកវាមានចំនុច 0 ដែលនៅចំងាយដូចគ្នាពីចំនុចនីមួយៗរបស់វា។ វាត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាលនៃតួលេខធរណីមាត្រនេះ។ ផ្នែកដែលភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលជាមួយនឹងចំនុចកំពូលនៃតួលេខធរណីមាត្រនេះត្រូវបានគេហៅថា apothems ហើយផ្នែកដែលភ្ជាប់ចំនុច 0 ជាមួយជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា radii ។

បួនជ្រុងធម្មតាគឺជាការ៉េ។ ត្រីកោណកែងហៅថាសមភាព។ សម្រាប់តួលេខបែបនេះ មានច្បាប់ដូចខាងក្រោម៖ មុំនីមួយៗនៃពហុកោណប៉ោងគឺ 180° * (n-2)/ n,

ដែល n ជា​ចំនួន​បញ្ឈរ​នៃ​តួលេខ​ធរណីមាត្រ​ប៉ោង​នេះ។

តំបន់នៃណាមួយ។ ពហុកោណធម្មតា។កំណត់ដោយរូបមន្ត៖

ដែល p គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលផលបូកនៃភាគីទាំងអស់នៃពហុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយ h គឺស្មើនឹងប្រវែងនៃ apothem ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃពហុកោណប៉ោង

ពហុកោណប៉ោងមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់។ ដូច្នេះផ្នែកដែលភ្ជាប់ 2 ចំណុចណាមួយនៃតួលេខធរណីមាត្របែបនេះគឺចាំបាច់ស្ថិតនៅក្នុងវា។ ភស្តុតាង៖

ឧបមាថា P គឺជាពហុកោណប៉ោងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងយក 2 ចំណុចបំពានឧទាហរណ៍ A, B ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ R. ដោយ និយមន័យដែលមានស្រាប់នៃពហុកោណប៉ោង ចំនុចទាំងនេះមានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ដែលមានផ្នែក P. ដូច្នេះ AB ក៏មានទ្រព្យសម្បត្តិនេះផងដែរ ហើយមាននៅក្នុង P. ពហុកោណប៉ោងតែងតែអាចបែងចែកទៅជាត្រីកោណជាច្រើនដោយអង្កត់ទ្រូងទាំងអស់។ ទាញចេញពីចំណុចមួយរបស់វា។

មុំនៃរាងធរណីមាត្រប៉ោង

ជ្រុងនៃពហុកោណប៉ោងគឺជាជ្រុងដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយភាគីរបស់វា។ ជ្រុងខាងក្នុងស្ថិតនៅ តំបន់ខាងក្នុងតួលេខធរណីមាត្រនេះ។ មុំ​ដែល​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​ជ្រុង​របស់​វា​ដែល​ប៉ះ​គ្នា​នៅ​ចំណុច​កំពូល​មួយ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​មុំ​នៃ​ពហុកោណ​ប៉ោង។ ជាមួយនឹងមុំខាងក្នុងនៃតួលេខធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាខាងក្រៅ។ ជ្រុងនីមួយៗនៃពហុកោណប៉ោងដែលមានទីតាំងនៅខាងក្នុងវាស្មើនឹង៖

ដែល x ជាតម្លៃនៃមុំខាងក្រៅ។ នេះ។ រូបមន្តសាមញ្ញអនុវត្តចំពោះរាងធរណីមាត្រនៃប្រភេទនេះ។

អេ ករណីទូទៅសម្រាប់ជ្រុងខាងក្រៅមាន អនុវត្តតាមច្បាប់៖ មុំនីមួយៗនៃពហុកោណប៉ោងគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាង 180° និងតម្លៃនៃមុំខាងក្នុង។ វាអាចមានតម្លៃចាប់ពី -180° ដល់ 180°។ ដូច្នេះនៅពេលដែលមុំខាងក្នុងគឺ 120 ° មុំខាងក្រៅនឹងមាន 60 °។

ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណប៉ោង

ផលបូកនៃមុំខាងក្នុងនៃពហុកោណប៉ោងត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

ដែល n ជាចំនួនបញ្ឈរនៃ n-gon ។

ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណប៉ោងគឺងាយស្រួលគណនាណាស់។ ពិចារណារូបធរណីមាត្របែបនេះ។ ដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃមុំនៅខាងក្នុងពហុកោណប៉ោងមួយ ចំនុចកំពូលរបស់វាត្រូវតែភ្ជាប់ទៅកំពូលផ្សេងទៀត។ ជាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពនេះ ត្រីកោណ (n-2) ត្រូវបានទទួល។ យើងដឹងថាផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណណាមួយគឺតែងតែ 180°។ ដោយសារលេខរបស់ពួកគេនៅក្នុងពហុកោណគឺ (n-2) ផលបូកនៃមុំខាងក្នុងនៃតួលេខនេះគឺ 180° x (n-2) ។

ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណប៉ោង ពោលគឺមុំខាងក្រៅទាំងពីរខាងក្នុង និងនៅជាប់គ្នា សម្រាប់តួលេខធរណីមាត្រប៉ោងដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងតែងតែជា 180°។ ដោយផ្អែកលើនេះ អ្នកអាចកំណត់ផលបូកនៃមុំទាំងអស់របស់វា៖

ផលបូកនៃមុំខាងក្នុងគឺ 180° * (n-2)។ ដោយផ្អែកលើនេះ ផលបូកនៃមុំខាងក្រៅទាំងអស់នៃតួលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

180° * n-180°-(n-2)= 360°។

ផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃពហុកោណប៉ោងណាមួយនឹងតែងតែជា 360° (ដោយមិនគិតពីចំនួនជ្រុង)។

មុំខាងក្រៅនៃពហុកោណប៉ោងត្រូវបានតំណាងជាទូទៅដោយភាពខុសគ្នារវាង 180° និងមុំខាងក្នុង។

លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតនៃពហុកោណប៉ោង

បន្ថែមពីលើលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃរាងធរណីមាត្រទាំងនេះ ពួកវាមានផ្សេងទៀតដែលកើតឡើងនៅពេលរៀបចំពួកគេ។ ដូច្នេះ ពហុកោណណាមួយអាចត្រូវបានបែងចែកទៅជា ប៉ោង n-gons ជាច្រើន។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន វាចាំបាច់ក្នុងការបន្តផ្នែកនីមួយៗរបស់វា ហើយកាត់រូបធរណីមាត្រនេះតាមបន្ទាត់ត្រង់ទាំងនេះ។ វាក៏អាចធ្វើទៅបានផងដែរក្នុងការបំបែកពហុកោណទៅជាផ្នែកប៉ោងជាច្រើនតាមរបៀបដែលចំនុចកំពូលនៃបំណែកនីមួយៗស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនុចកំពូលរបស់វា។ ពីតួលេខធរណីមាត្របែបនេះ ត្រីកោណអាចត្រូវបានធ្វើឡើងយ៉ាងសាមញ្ញដោយគូរអង្កត់ទ្រូងទាំងអស់ពីចំនុចកំពូលមួយ។ ដូច្នេះ ពហុកោណណាមួយនៅទីបំផុតអាចត្រូវបានបែងចែកទៅជាចំនួនជាក់លាក់នៃត្រីកោណ ដែលវាមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការដោះស្រាយ កិច្ចការផ្សេងៗទាក់ទងនឹងរាងធរណីមាត្របែបនេះ។

បរិវេណនៃពហុកោណប៉ោង

ផ្នែក​នៃ​បន្ទាត់​ដែល​ខូច​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​ជ្រុង​នៃ​ពហុកោណ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ជាញឹកញាប់​បំផុត​ដោយ​អក្សរ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ ab, bc, cd, de, ea ។ ទាំងនេះគឺជាជ្រុងនៃតួលេខធរណីមាត្រដែលមានចំនុច a, b, c, d, e ។ ផលបូកនៃប្រវែងនៃជ្រុងទាំងអស់នៃពហុកោណប៉ោងនេះត្រូវបានគេហៅថាបរិវេណរបស់វា។

រង្វង់ពហុកោណ

ពហុកោណប៉ោងអាចត្រូវបានចារឹក និងគូសរង្វង់មូល។ រង្វង់ដែលប៉ះគ្រប់ជ្រុងទាំងអស់នៃតួលេខធរណីមាត្រនេះត្រូវបានគេហៅថាចារឹកនៅក្នុងវា។ ពហុកោណបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា circumscribed ។ ចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ដែលត្រូវបានចារឹកក្នុងពហុកោណគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃ bisectors នៃមុំទាំងអស់នៅក្នុងតួលេខធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តំបន់នៃពហុកោណបែបនេះគឺ៖

ដែល r គឺជាកាំនៃរង្វង់ដែលចារឹក ហើយ p គឺជាពាក់កណ្តាលបរិវេណនៃពហុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

រង្វង់ដែលមានចំនុចកំពូលនៃពហុកោណត្រូវបានគេហៅថាគូសរង្វង់ជុំវិញវា។ ជាងនេះទៅទៀត តួលេខធរណីមាត្រប៉ោងនេះត្រូវបានគេហៅថា ចារិក។ ចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ដែលត្រូវបានគូសរង្វង់អំពីពហុកោណបែបនេះ គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃអ្វីដែលគេហៅថា bisectors កាត់កែងនៃភាគីទាំងអស់។

អង្កត់ទ្រូងនៃរាងធរណីមាត្រប៉ោង

អង្កត់ទ្រូងនៃពហុកោណប៉ោងគឺជាផ្នែកបន្ទាត់ដែលតភ្ជាប់ បញ្ឈរជិតខាង. ពួកវានីមួយៗស្ថិតនៅក្នុងរូបធរណីមាត្រនេះ។ ចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃ n-gon បែបនេះត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

N = n (n − 3) / ២.

ចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃពហុកោណប៉ោងលេង តួនាទីសំខាន់នៅក្នុងធរណីមាត្របឋម។ ចំនួនត្រីកោណ (K) ដែលពហុកោណប៉ោងនីមួយៗអាចបែងចែកត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្តខាងក្រោម៖

ចំនួន​អង្កត់ទ្រូង​នៃ​ពហុកោណ​ប៉ោង​តែងតែ​អាស្រ័យ​លើ​ចំនួន​នៃ​ចំណុច​កំពូល​របស់វា។

ការបំបែកពហុកោណប៉ោង

ក្នុងករណីខ្លះដើម្បីដោះស្រាយ បញ្ហាធរណីមាត្រវាចាំបាច់ក្នុងការបំបែកពហុកោណប៉ោងទៅជាត្រីកោណជាច្រើនដែលមានអង្កត់ទ្រូងមិនប្រសព្វ។ បញ្ហានេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយទទួលបានរូបមន្តជាក់លាក់មួយ។

និយមន័យនៃបញ្ហា៖ ចូរហៅភាគត្រឹមត្រូវនៃប៉ោង n-gon ទៅជាត្រីកោណជាច្រើនដោយអង្កត់ទ្រូងដែលប្រសព្វគ្នាតែនៅចំនុចកំពូលនៃតួលេខធរណីមាត្រនេះ។

ដំណោះស្រាយ៖ ឧបមាថា Р1, Р2, Р3 …, Pn គឺជាចំនុចកំពូលនៃ n-gon នេះ។ លេខ Xn គឺជាចំនួនភាគថាសរបស់វា។ ចូរយើងពិចារណាដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវអង្កត់ទ្រូងលទ្ធផលនៃតួលេខធរណីមាត្រ Pi Pn ។ នៅក្នុងភាគថាសធម្មតាណាមួយ P1 Pn ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ត្រីកោណជាក់លាក់ P1 Pi Pn ដែលមាន 1

អនុញ្ញាតឱ្យ i = 2 ជាក្រុមមួយនៃភាគថាសធម្មតាតែងតែមានអង្កត់ទ្រូង Р2 Pn ។ ចំនួនភាគថាសដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវាស្របគ្នានឹងចំនួនភាគថាសនៃ (n-1)-gon Р2 Р3 Р4… Pn ។ និយាយម្យ៉ាងទៀតវាស្មើនឹង Xn-1 ។

ប្រសិនបើ i = 3 នោះក្រុមផ្សេងទៀតនៃភាគថាសនេះនឹងតែងតែមានអង្កត់ទ្រូង P3 P1 និង P3 Pn ។ ក្នុងករណីនេះ ចំនួននៃភាគថាសធម្មតាដែលមាននៅក្នុងក្រុមនេះនឹងស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនភាគថាសនៃ (n-2)-gon Р3 Р4… Pn ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតវានឹងស្មើនឹង Xn-2 ។

អនុញ្ញាតឱ្យ i = 4 បន្ទាប់មកក្នុងចំណោមត្រីកោណភាគថាសធម្មតានឹងមានត្រីកោណ P1 P4 Pn ដែល quadrangle P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 ... Pn នឹងនៅជាប់គ្នា។ ចំនួនភាគថាសធម្មតានៃបួនជ្រុងគឺ X4 ហើយចំនួនភាគថាសនៃ (n-3)-gon គឺ Xn-3 ។ ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ យើងអាចនិយាយបានថាចំនួនសរុបនៃភាគថាសត្រឹមត្រូវដែលមាននៅក្នុងក្រុមនេះគឺ Xn-3 X4។ ក្រុមផ្សេងទៀតដែល i = 4, 5, 6, 7… នឹងមាន Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … ភាគថាសធម្មតា។

អនុញ្ញាតឱ្យ i = n-2 បន្ទាប់មកចំនួនភាគថាសត្រឹមត្រូវនៅក្នុងក្រុមនេះនឹងដូចគ្នានឹងចំនួនភាគថាសក្នុងក្រុមដែល i=2 (និយាយម្យ៉ាងទៀតស្មើនឹង Xn-1)។

ចាប់តាំងពី X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2… បន្ទាប់មកចំនួននៃភាគថាសទាំងអស់នៃពហុកោណប៉ោងគឺស្មើនឹង៖

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1 ។

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

ចំនួននៃភាគថាសធម្មតាដែលកាត់តាមអង្កត់ទ្រូងមួយនៅខាងក្នុង

នៅពេលពិនិត្យមើលករណីពិសេស គេអាចសន្មត់ថាចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃប៉ោង n-gons គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃភាគថាសទាំងអស់នៃតួលេខនេះដោយ (n-3)។

ភស្តុតាងនៃការសន្មត់នេះ៖ ស្រមៃថា P1n = Xn * (n-3) បន្ទាប់មក n-gon ណាមួយអាចត្រូវបានបែងចែកទៅជា (n-2)-ត្រីកោណ។ លើសពីនេះទៅទៀត (n-3)-quadrilateral អាចត្រូវបានផ្សំឡើងពីពួកគេ។ ទន្ទឹមនឹងនេះ ចតុកោណនីមួយៗនឹងមានអង្កត់ទ្រូង។ ដោយសារអង្កត់ទ្រូងពីរអាចត្រូវបានគូរនៅក្នុងតួលេខធរណីមាត្រប៉ោងនេះ នេះមានន័យថានៅក្នុងណាមួយ (n-3)-quadrilaterals វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគូរអង្កត់ទ្រូងបន្ថែម (n-3) ។ ដោយផ្អែកលើចំណុចនេះ យើងអាចសន្និដ្ឋានថានៅក្នុងភាគធម្មតាណាមួយ វាអាចគូរ (n-3)-អង្កត់ទ្រូង ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានេះ។

តំបន់នៃពហុកោណប៉ោង

ជារឿយៗនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗនៃធរណីមាត្របឋម វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ផ្ទៃនៃពហុកោណប៉ោង។ សន្មត់ថា (Xi. Yi), i = 1,2,3… n គឺជាលំដាប់នៃកូអរដោណេនៃទីតាំងជិតខាងទាំងអស់នៃពហុកោណដែលមិនមានប្រសព្វដោយខ្លួនឯង។ ក្នុងករណីនេះផ្ទៃដីរបស់វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្តដូចខាងក្រោម:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

ដែល (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1) ។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រមូលដ្ឋាន វាត្រូវបានបង្ហាញថាផលបូកនៃមុំនៃប៉ោង n-gon គឺ 180° (n-2)។ វាប្រែថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះក៏ជាការពិតសម្រាប់ពហុកោណដែលមិនប៉ោង។

ទ្រឹស្តីបទ 3. ផលបូកនៃមុំនៃ n-gon បំពានគឺ 180° (n - 2) ។

ភស្តុតាង។ ចូរបែងចែកពហុកោណទៅជាត្រីកោណដោយគូរអង្កត់ទ្រូង (រូបភាពទី 11) ។ ចំនួននៃត្រីកោណបែបនេះគឺ n-2 ហើយនៅក្នុងត្រីកោណនីមួយៗផលបូកនៃមុំគឺ 180°។ ដោយសារមុំនៃត្រីកោណគឺជាមុំនៃពហុកោណ ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណគឺ 180° (n - 2)។

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ពិចារណា​លើ​បន្ទាត់​ដែល​ខូច​ដោយ​បំពាន ដែល​អាច​នឹង​មាន​ការ​ប្រសព្វ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង A1A2…AnA1 (រូបភាព 12, ក)។ បន្ទាត់ខូចដែលប្រសព្វដោយខ្លួនឯងបែបនេះនឹងត្រូវបានគេហៅថាពហុកោណរាងផ្កាយ (រូបភាព 12, ខ-ឃ) ។

ចូរយើងជួសជុលទិសដៅនៃការរាប់មុំច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ ចំណាំថាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយប៉ូលីលីនបិទជិតអាស្រ័យលើទិសដៅដែលវាត្រូវបានឆ្លងកាត់។ ប្រសិនបើទិសដៅនៃផ្លូវវាងពហុកោណត្រូវបានបញ្ច្រាស នោះមុំនៃពហុកោណនឹងជាមុំដែលបំពេញបន្ថែមមុំនៃពហុកោណដើមរហូតដល់ 360°។

ប្រសិនបើ M គឺជាពហុកោណដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ខូចបិទសាមញ្ញឆ្លងកាត់តាមទ្រនិចនាឡិកា (រូបភាព 13, ក) នោះផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណនេះនឹងស្មើនឹង 180 ° (n - 2) ។ ប្រសិនបើខ្សែដែលខូចត្រូវបានឆ្លងកាត់ក្នុងទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកា (រូបភាព 13, ខ) នោះផលបូកនៃមុំនឹងស្មើនឹង 180 ° (n + 2) ។

ដូច្នេះរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណដែលបង្កើតឡើងដោយពហុកោណបិទជិតមានទម្រង់ = 180 ° (n 2) ដែលផលបូកនៃមុំ n គឺជាចំនួនមុំនៃពហុកោណ " +" ឬ "-" ត្រូវ​បាន​យក​ដោយ​អាស្រ័យ​លើ​ទិសដៅ​នៃ​ការ​ឆ្លង​កាត់​ប៉ូលីលីន។

ភារកិច្ចរបស់យើងគឺទាញយករូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណតាមអំពើចិត្តដែលបង្កើតឡើងដោយប៉ូលីលីនបិទជិត (អាចប្រសព្វគ្នាដោយខ្លួនឯង)។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងណែនាំពីគំនិតនៃកម្រិតនៃពហុកោណ។

កម្រិតនៃពហុកោណ គឺជាចំនួននៃបដិវត្តន៍ដែលធ្វើឡើងដោយចំណុចមួយ កំឡុងពេលឆ្លងកាត់តាមលំដាប់លំដោយពេញលេញនៃភាគីរបស់វា។ លើសពីនេះទៅទៀត វេនដែលបានធ្វើឡើងក្នុងទិសដៅច្រាសទ្រនិចនាឡិកាត្រូវបានពិចារណាដោយសញ្ញា "+" ហើយការបត់ក្នុងទិសទ្រនិចនាឡិកា - ជាមួយនឹងសញ្ញា "-" ។

វាច្បាស់ណាស់ថាកម្រិតនៃពហុកោណដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ខូចសាមញ្ញគឺ +1 ឬ -1 អាស្រ័យលើទិសដៅនៃការឆ្លងកាត់។ កម្រិតនៃបន្ទាត់ដែលខូចនៅក្នុងរូបភាពទី 12, a គឺស្មើនឹងពីរ។ កម្រិតនៃផ្កាយ heptagons (រូបភាព 12, គ, ឃ) គឺស្មើនឹងពីរ និងបីរៀងគ្នា។

សញ្ញាណនៃដឺក្រេត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ខ្សែកោងបិទនៅក្នុងយន្តហោះ។ ឧទាហរណ៍កម្រិតនៃខ្សែកោងដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 14 គឺពីរ។

ដើម្បីស្វែងរកកម្រិតនៃពហុកោណ ឬខ្សែកោង អ្នកអាចបន្តដូចខាងក្រោម។ ឧបមាថា ដោយផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោង (រូបភាពទី 15, ក) យើងចាប់ផ្តើមពីកន្លែងណាមួយ A1 បត់ពេញមួយ ហើយបញ្ចប់ត្រឹមចំនុច A1 ដូចគ្នា។ ចូរដកផ្នែកដែលត្រូវគ្នាចេញពីខ្សែកោង ហើយបន្តផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោងដែលនៅសល់ (រូបភាព 15b)។ ប្រសិនបើចាប់ផ្តើមពីកន្លែងណាមួយ A2 យើងធ្វើវេនពេញលេញម្តងទៀតហើយឈានដល់ចំណុចដូចគ្នានោះយើងលុបផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃខ្សែកោងហើយបន្តផ្លាស់ទី (រូបភាព 15, គ) ។ ការរាប់ចំនួនផ្នែកដាច់ស្រយាលដែលមានសញ្ញា "+" ឬ "-" អាស្រ័យលើទិសដៅនៃផ្លូវវាងយើងទទួលបានកម្រិតដែលចង់បាននៃខ្សែកោង។

ទ្រឹស្តីបទ 4. សម្រាប់ពហុកោណបំពាន រូបមន្ត

180° (n+2m),

តើផលបូកនៃមុំស្ថិតនៅត្រង់ណា n ជាចំនួនមុំ m ជាដឺក្រេនៃពហុកោណ។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យពហុកោណ M មានដឺក្រេ m ហើយត្រូវបានបង្ហាញជាធម្មតានៅក្នុងរូបភាពទី 16 ។ M1, …, Mk គឺជាបន្ទាត់ដែលខូចដែលបិទយ៉ាងសាមញ្ញ ដែលឆ្លងកាត់ចំនុចនោះធ្វើឱ្យមានវេនពេញ។ A1, …, Ak គឺជាចំនុចប្រសព្វដោយខ្លួនឯងដែលត្រូវគ្នានៃប៉ូលីលីន ដែលមិនមែនជាចំនុចកំពូលរបស់វា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ចំនួនបញ្ឈរនៃពហុកោណ M ដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងពហុកោណ M1, …, Mk ដោយ n1, …, nk រៀងគ្នា។ ដោយសារ បន្ថែមពីលើចំនុចកំពូលនៃពហុកោណ M ចំនុចកំពូល A1, …, Ak ត្រូវបានបន្ថែមទៅពហុកោណទាំងនេះ ចំនួននៃកំពូលនៃពហុកោណ M1, …, Mk នឹងស្មើនឹង n1+1, …, nk+1, រៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មកផលបូកនៃមុំរបស់ពួកគេនឹងស្មើនឹង 180° (n1+12), …, 180° (nk+12)។ បូកឬដកត្រូវបានយកអាស្រ័យលើទិសដៅនៃការឆ្លងកាត់បន្ទាត់ដែលខូច។ ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណ M0 ដែលនៅសេសសល់ពីពហុកោណ M បន្ទាប់ពីការដកពហុកោណ M1, ..., Mk ស្មើនឹង 180° (n-n1- ...-nk+k2) ។ ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណ M0, M1, …, Mk ផ្តល់ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណ M ហើយនៅចំនុចកំពូលនីមួយៗ A1, …, Ak យើងទទួលបានបន្ថែម 360°។ ដូច្នេះ យើង​មាន​សមភាព

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k។

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

ដែល m ជាដឺក្រេនៃពហុកោណ M ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាពីការគណនាផលបូកនៃមុំនៃសញ្ញាផ្កាយប្រាំ (រូបភាព 17, ក)។ កម្រិតនៃប៉ូលីលីនបិទជិតដែលត្រូវគ្នាគឺ -2 ។ ដូច្នេះផលបូកដែលចង់បាននៃមុំគឺ 180 ។

បន្ទាត់ខូច

និយមន័យ

បន្ទាត់ខូចឬខ្លីជាងនេះ បន្ទាត់ខូចត្រូវបានគេហៅថាជាលំដាប់កំណត់នៃផ្នែក ដូចជាចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកទីមួយបម្រើជាចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកទីពីរ ចុងម្ខាងទៀតនៃផ្នែកទីពីរដើរតួជាចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកទីបី ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ក្នុងករណីនេះផ្នែកដែលនៅជាប់គ្នាមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នាទេ។ ផ្នែកទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាតំណភ្ជាប់ polyline ។

ប្រភេទនៃខ្សែដែលខូច

ខ្សែដែលខូចត្រូវបានគេហៅថា បិទប្រសិនបើការចាប់ផ្តើមនៃផ្នែកទីមួយស្របគ្នានឹងចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកចុងក្រោយ។

ខ្សែដែលខូចអាចឆ្លងកាត់ដោយខ្លួនឯង ប៉ះខ្លួនវាផ្ទាល់។ ប្រសិនបើមិនមានឯកវចនៈបែបនេះទេនោះខ្សែដែលខូចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សាមញ្ញ.

ពហុកោណ

និយមន័យ

ប៉ូលីលីនដែលបិទជិតធម្មតា រួមជាមួយនឹងផ្នែកមួយនៃយន្តហោះដែលជាប់នឹងវាត្រូវបានគេហៅថា ពហុកោណ.

មតិយោបល់

នៅចំនុចកំពូលនីមួយៗនៃពហុកោណ ជ្រុងរបស់វាកំណត់មុំមួយចំនួននៃពហុកោណ។ វាអាចតិចជាងការដាក់ពង្រាយ ឬច្រើនជាងការដាក់ពង្រាយ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ

ពហុកោណនីមួយៗមានមុំតិចជាង $180^\circ$។

ភស្តុតាង

អនុញ្ញាតឱ្យពហុកោណ $P$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

ចូរយើងគូរបន្ទាត់ត្រង់ខ្លះដែលមិនប្រសព្វ។ យើងនឹងផ្លាស់ទីវាស្របទៅនឹងផ្នែកម្ខាងនៃពហុកោណ។ នៅចំណុចខ្លះ ជាលើកដំបូងដែលយើងទទួលបានបន្ទាត់ $a$ ដែលមានចំណុចរួមមួយយ៉ាងតិចជាមួយពហុកោណ $P$។ ពហុកោណស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់នេះ (លើសពីនេះ ចំនុចខ្លះរបស់វាស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ $a$)។

បន្ទាត់ $a$ មានចំណុចកំពូលយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃពហុកោណ។ ជ្រុងទាំងពីររបស់វាប៉ះគ្នានៅក្នុងវា ដែលមានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ $a$ (រួមទាំងករណីនៅពេលដែលមួយក្នុងចំណោមពួកគេស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នេះ)។ ដូច្នេះ នៅចំនុចកំពូលនេះ មុំគឺតិចជាងចំណុចដែលបានអភិវឌ្ឍ។

និយមន័យ

ពហុកោណត្រូវបានគេហៅថា ប៉ោងប្រសិនបើវាស្ថិតនៅម្ខាងនៃបន្ទាត់នីមួយៗដែលមានផ្នែករបស់វា។ ប្រសិនបើពហុកោណមិនប៉ោងទេនោះវាត្រូវបានគេហៅថា មិនប៉ោង.

មតិយោបល់

ពហុកោណប៉ោងគឺជាចំនុចប្រសព្វនៃពាក់កណ្តាលប្លង់ដែលចងដោយបន្ទាត់ដែលមានជ្រុងនៃពហុកោណ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃពហុកោណប៉ោង

ពហុកោណប៉ោងមានមុំទាំងអស់តិចជាង $180^\circ$។

ផ្នែកបន្ទាត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចពីរនៃពហុកោណប៉ោងមួយ (ជាពិសេស អង្កត់ទ្រូងរបស់វា) មាននៅក្នុងពហុកោណនេះ។

ភស្តុតាង

ចូរយើងបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិដំបូង

យកជ្រុងណាមួយ $A$ នៃពហុកោណប៉ោង $P$ ហើយផ្នែករបស់វា $a$ មកពីចំនុចកំពូល $A$ ។ អនុញ្ញាតឱ្យ $l$ ជាបន្ទាត់ដែលមានចំហៀង $a$ ។ ដោយសារពហុកោណ $P$ គឺប៉ោង វាស្ថិតនៅម្ខាងនៃបន្ទាត់ $l$។ ដូច្នេះ មុំ $A$ របស់វាក៏ស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់នេះដែរ។ ដូច្នេះមុំ $A$ គឺតិចជាងមុំត្រង់ ពោលគឺតិចជាង $180^\circ$ ។

យើងបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរ

យកពីរចំណុច $A$ និង $B$ នៃពហុកោណប៉ោង $P$ ។ ពហុកោណ $P$ គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃពាក់កណ្តាលយន្តហោះជាច្រើន។ ផ្នែក $AB$ មាននៅក្នុងយន្តហោះពាក់កណ្តាលទាំងនេះ។ ដូច្នេះហើយ វាក៏មាននៅក្នុងពហុកោណ $P$ ផងដែរ។

និយមន័យ

ពហុកោណអង្កត់ទ្រូងត្រូវបានគេហៅថា ចម្រៀកដែលតភ្ជាប់ចំនុចកំពូលដែលមិនមែនជាអ្នកជិតខាងរបស់វា។

ទ្រឹស្តីបទ (នៅលើចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃ n-gon)

ចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃប៉ោង $n$-gon ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត $\dfrac(n(n-3))(2)$ ។

ភស្តុតាង

ពីចំនុចកំពូលនីមួយៗនៃ n-gon មួយអាចគូរអង្កត់ទ្រូង $n-3$ (មួយមិនអាចគូរអង្កត់ទ្រូងទៅចំនុចកំពូលជិតខាង និងទៅចំនុចកំពូលនេះដោយខ្លួនឯងបានទេ)។ ប្រសិនបើយើងរាប់ផ្នែកដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នោះ វានឹងមាន $n\cdot(n-3)$ ចាប់តាំងពីមាន $n$ vertices ។ ប៉ុន្តែអង្កត់ទ្រូងនីមួយៗនឹងត្រូវបានរាប់ពីរដង។ ដូច្នេះចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃ n-gon គឺ $\dfrac(n(n-3))(2)$ ។

ទ្រឹស្តីបទ (លើផលបូកនៃមុំនៃ n-gon)

ផលបូកនៃមុំនៃប៉ោង $n$-gon គឺ $180^\circ(n-2)$។

ភស្តុតាង

ពិចារណា $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$ ។

យកចំណុចបំពាន $O$ នៅខាងក្នុងពហុកោណនេះ។

ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណទាំងអស់ $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ គឺ $180^\circ\cdot n$។

ម្យ៉ាងវិញទៀត ផលបូកនេះគឺជាផលបូកនៃមុំខាងក្នុងទាំងអស់នៃពហុកោណ និងមុំសរុប $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$ ។

បន្ទាប់មកផលបូកនៃមុំនៃការពិចារណា $n$-gon គឺស្មើនឹង $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$ ។

ផលវិបាក

ផលបូកនៃមុំនៃការមិនប៉ោង $n$-gon គឺ $180^\circ(n-2)$។

ភស្តុតាង

ពិចារណាពហុកោណ $A_1A_2\ldots A_n$ ដែលមុំតែមួយគត់ $\angle A_2$ គឺមិនប៉ោង នោះគឺ $\angle A_2>180^\circ$ ។

ចូរបង្ហាញពីផលបូកនៃការចាប់របស់គាត់ $S$។

ភ្ជាប់ចំណុច $A_1A_3$ ហើយពិចារណាពហុកោណ $A_1A_3\ldots A_n$ ។

ផលបូកនៃមុំនៃពហុកោណនេះគឺ៖

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$ ។

ដូច្នេះ $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$។

ប្រសិនបើពហុកោណដើមមានជ្រុងមិនប៉ោងច្រើនជាងមួយ នោះប្រតិបត្តិការដែលបានពិពណ៌នាខាងលើអាចត្រូវបានធ្វើជាមួយជ្រុងនីមួយៗ ដែលនឹងនាំទៅដល់ការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ។

ទ្រឹស្តីបទ (នៅលើផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃប៉ោង n-gon)

ផលបូកនៃមុំខាងក្រៅនៃប៉ោង $n$-gon គឺ $360^\circ$។

ភស្តុតាង

មុំខាងក្រៅនៅចំនុចកំពូល $A_1$ គឺ $180^\circ-\angle A_1$។

ផលបូកនៃមុំខាងក្រៅទាំងអស់គឺ៖

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\រង្វង់$។