Exemplos:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Como resolver equações exponenciais

Ao resolver qualquer equação exponencial, nos esforçamos para trazê-la para a forma \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) e, em seguida, fazemos a transição para a igualdade de indicadores, ou seja:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Por exemplo:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Importante! Da mesma lógica, seguem dois requisitos para tal transição:
- número em esquerda e direita devem ser iguais;
- graus à esquerda e à direita devem ser "puros", ou seja, não deve haver nenhuma, multiplicações, divisões, etc.

Por exemplo:

Para trazer a equação para a forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\) e são usados.

Exemplo . Resolva a equação exponencial \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Solução:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Sabemos que \(27 = 3^3\). Com isso em mente, transformamos a equação.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Pela propriedade da raiz \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) obtemos que \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Além disso, usando a propriedade de grau \((a^b)^c=a^(bc)\), obtemos \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Também sabemos que \(a^b a^c=a^(b+c)\). Aplicando isso ao lado esquerdo, temos: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Agora lembre-se que: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Essa fórmula também pode ser usada em lado reverso: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Então \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Aplicando a propriedade \((a^b)^c=a^(bc)\) ao lado direito, obtemos: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		E agora temos as bases iguais e não há coeficientes interferentes, etc. Assim podemos fazer a transição.
		Exemplo . Resolva a equação exponencial \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Solução: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Usamos novamente a propriedade de grau \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) em direção oposta. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Agora lembre-se que \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Usando as propriedades do grau, transformamos: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Observamos cuidadosamente a equação e vemos que a substituição \(t=2^x\) se sugere aqui. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) No entanto, encontramos os valores \(t\), e precisamos de \(x\). Voltamos ao X, fazendo a substituição inversa. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformamos a segunda equação usando a propriedade grau negativo… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...e resolva até a resposta. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Responda : \(-1; 1\). A questão permanece - como entender quando aplicar qual método? Ele vem com a experiência. Enquanto isso, você não ganhou, use recomendação geral para soluções Tarefas desafiantes“Se você não sabe o que fazer, faça o que puder.” Ou seja, procure como você pode transformar a equação em princípio e tente fazê-lo - e se sair? O principal é fazer apenas transformações matematicamente justificadas. equações exponenciais sem soluções Vejamos mais duas situações que muitas vezes confundem os alunos: - número positivoé igual a zero elevado à potência, por exemplo, \(2^x=0\); - número positivo elevado à potência igual número negativo, por exemplo, \(2^x=-4\). Vamos tentar resolvê-lo pela força bruta. Se x é um número positivo, então, à medida que x cresce, toda a potência \(2^x\) só aumentará: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Também passado. Existem x negativos. Lembrando a propriedade \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), verificamos: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Apesar de o número se tornar menor a cada passo, ele nunca chegará a zero. Então o grau negativo também não nos salvou. Chegamos a uma conclusão lógica: Um número positivo para qualquer potência permanecerá um número positivo. Assim, ambas as equações acima não têm soluções. equações exponenciais com bases diferentes Na prática, às vezes existem equações exponenciais com bases diferentes que não são redutíveis entre si e ao mesmo tempo com os mesmos expoentes. Eles se parecem com isso: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), onde \(a\) e \(b\) são números positivos. Por exemplo: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Essas equações podem ser facilmente resolvidas dividindo-se por qualquer uma das partes da equação (geralmente dividindo-se pelo lado direito, ou seja, por \ (b ^ (f (x)))). Você pode dividir dessa forma, porque um resultado positivo número é positivo em qualquer grau (ou seja, não dividimos por zero). Obtemos: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Exemplo . Resolva a equação exponencial \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Solução: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Aqui não podemos transformar um cinco em três, ou vice-versa (de acordo com pelo menos, sem uso). Portanto, não podemos chegar à forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Ao mesmo tempo, os indicadores são os mesmos. Vamos dividir a equação pelo lado direito, ou seja, por \(3^(x+7)\) (podemos fazer isso, pois sabemos que a tripla não será zero em nenhum grau). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Agora lembre-se da propriedade \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) e use-a da esquerda na direção oposta. À direita, simplesmente reduzimos a fração. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Não parecia melhorar. Mas lembre-se de outra propriedade do grau: \(a^0=1\), ou seja: "qualquer número em grau zero igual a \(1\)". O inverso também é verdadeiro: "uma unidade pode ser representada como qualquer número elevado à potência de zero". Usamos isso fazendo a base da direita igual à da esquerda. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voilá! Nós nos livramos das fundações. Nós escrevemos a resposta. Responda : \(-7\). Às vezes, a "mesmice" dos expoentes não é óbvia, mas o uso hábil das propriedades do grau resolve esse problema. Exemplo . Resolva a equação exponencial \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Solução: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) A equação parece muito triste... Além disso, as bases não podem ser reduzidas a o mesmo número(sete não será igual a \(\frac(1)(3)\)), então também os indicadores são diferentes... No entanto, vamos colocar dois no indicador de grau esquerdo. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Tendo em mente a propriedade \((a^b)^c=a^(b c)\) , transforme à esquerda: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Agora, lembrando da propriedade de potência negativa \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformamos à direita: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluia! A pontuação é a mesma! Agindo de acordo com o esquema já familiar para nós, decidimos antes da resposta. Responda : \(2\).

Palestra: "Métodos para resolução de equações exponenciais".

1 . equações exponenciais.

Equações contendo incógnitas no expoente são chamadas de equações exponenciais. A mais simples delas é a equação ax = b, onde a > 0 e a ≠ 1.

1) Para b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 função exponencial, não tem solução.

2) Para b > 0, usando a monotonicidade da função e o teorema da raiz, a equação tem uma única raiz. Para encontrá-lo, b deve ser representado como b = añ, ax = bñ ó x = c ou x = logab.

equações exponenciais por transformações algébricas leva a equação padrão, que são resolvidos usando os seguintes métodos:

1) método de redução a uma base;

2) método de avaliação;

3) método gráfico;

4) o método de introdução de novas variáveis;

5) método de fatoração;

6) indicativo - equações de potência;

7) exponencial com um parâmetro.

2 . Método de redução a uma base.

O método é baseado na seguinte propriedade de graus: se dois graus são iguais e suas bases são iguais, então seus expoentes são iguais, ou seja, a equação deve ser tentada para ser reduzida à forma

Exemplos. Resolva a equação:

1 . 3x=81;

Vamos representar o lado direito da equação na forma 81 = 34 e escrever a equação equivalente ao original 3 x = 34; x = 4. Resposta: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> e vá para a equação para expoentes 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Resposta: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" largura="105" altura="47">

Observe que os números 0,2, 0,04, √5 e 25 são potências de 5. Vamos usar isso e transformar a equação original da seguinte forma:

, de onde 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, da qual encontramos a solução x = -1. Resposta 1.

5. 3x = 5. Por definição do logaritmo, x = log35. Resposta: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Vamos reescrever a equação como 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" largura="181" altura="49 src="> Portanto x - 4 =0, x = 4. Resposta: quatro.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Usando as propriedades das potências, escrevemos a equação na forma e.x+1 = 2, x =1. Resposta 1.

Banco de tarefas nº 1.

Resolva a equação:

Teste número 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) sem raízes
	1) 7;1 2) sem raízes 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Teste nº 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) sem raízes 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Método de avaliação.

O teorema da raiz: se a função f (x) aumenta (diminui) no intervalo I, o número a é qualquer valor tomado por f nesse intervalo, então a equação f (x) = a tem uma única raiz no intervalo I.

Ao resolver equações pelo método de estimação, este teorema e as propriedades de monotonicidade da função são usados.

Exemplos. Resolva as equações: 1. 4x = 5-x.

Solução. Vamos reescrever a equação como 4x + x = 5.

1. se x \u003d 1, então 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 for verdadeiro, então 1 é a raiz da equação.

A função f(x) = 4x é crescente em R e g(x) = x é crescente em R => h(x)= f(x)+g(x) é crescente em R como a soma das funções crescentes, então x = 1 é a única raiz da equação 4x = 5 – x. Resposta 1.

2.

Solução. Reescrevemos a equação na forma .

1. se x = -1, então , 3 = 3-verdadeiro, então x = -1 é a raiz da equação.

2. provar que é único.

3. A função f(x) = - diminui em R, e g(x) = - x - diminui em R => h(x) = f(x) + g(x) - diminui em R, como a soma de funções decrescentes. Então, pelo teorema da raiz, x = -1 é a única raiz da equação. Resposta 1.

Banco de tarefas nº 2. resolva a equação

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Método de introdução de novas variáveis.

O método é descrito na seção 2.1. A introdução de uma nova variável (substituição) geralmente é realizada após transformações (simplificação) dos termos da equação. Considere exemplos.

Exemplos. R comer equação: 1. .

Vamos reescrever a equação de forma diferente: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Solução. Vamos reescrever a equação de forma diferente:

Denote https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - não adequado.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - equação irracional. Nós notamos que

A solução da equação é x = 2,5 ≤ 4, então 2,5 é a raiz da equação. Resposta: 2.5.

Solução. Vamos reescrever a equação na forma e dividir ambos os lados por 56x+6 ≠ 0. Obtemos a equação

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, então..png" largura="118" altura="56">

As raízes da equação quadrática - t1 = 1 e t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Solução . Reescrevemos a equação na forma

e note que é uma equação homogênea do segundo grau.

Dividindo a equação por 42x, obtemos

Substitua https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Resposta: 0; 0,5.

Banco de Tarefas #3. resolva a equação

b)

G)

Teste nº 3 com uma escolha de respostas. Nível mínimo.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) sem raízes 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) sem raízes 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Teste #4 com uma escolha de respostas. Nível geral.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
À2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) sem raízes

5. Método de fatoração.

1. Resolva a equação: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , de onde

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Solução. Vamos tirar 6x do lado esquerdo da equação e 2x do lado direito. Obtemos a equação 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Como 2x > 0 para todo x, podemos dividir ambos os lados dessa equação por 2x sem medo de perder soluções. Obtemos 3x = 1ó x = 0.

3.

Solução. Resolvemos a equação por fatoração.

Selecionamos o quadrado do binômio

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 é a raiz da equação.

Equação x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Teste nº 6 Nível geral.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponencial - equações de potência.

As chamadas equações de potência exponencial são adjacentes a equações exponenciais, isto é, equações da forma (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Se for conhecido que f(x)>0 e f(x) ≠ 1, então a equação, como a exponencial, é resolvida igualando os expoentes g(x) = f(x).

Se a condição não exclui a possibilidade de f(x)=0 e f(x)=1, então temos que considerar esses casos ao resolver a equação da potência exponencial.

1..png" largura="182" altura="116 src=">

2.

Solução. x2 +2x-8 - faz sentido para qualquer x, porque um polinômio, então a equação é equivalente ao conjunto

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" largura="137" altura="35">

b)

7. Equações exponenciais com parâmetros.

1. Para quais valores do parâmetro p a equação 4 (5 – 3)  2 +4p2–3p = 0 (1) tem única decisão?

Solução. Vamos introduzir a mudança 2x = t, t > 0, então a equação (1) terá a forma t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

O discriminante da equação (2) é D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

A equação (1) tem uma solução única se a equação (2) tiver uma raiz positiva. Isso é possível nos seguintes casos.

1. Se D = 0, ou seja, p = 1, então a equação (2) terá a forma t2 – 2t + 1 = 0, portanto t = 1, portanto, a equação (1) tem uma solução única x = 0.

2. Se p1, então 9(p – 1)2 > 0, então a equação (2) tem duas raízes diferentes t1 = p, t2 = 4p – 3. O conjunto de sistemas satisfaz a condição do problema

Substituindo t1 e t2 nos sistemas, temos

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Solução. Deixar então a equação (3) terá a forma t2 – 6t – a = 0. (4)

Vamos encontrar os valores parâmetro a para o qual pelo menos uma raiz da equação (4) satisfaz a condição t > 0.

Vamos introduzir a função f(t) = t2 – 6t – a. Os seguintes casos são possíveis.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} trinômio quadrado f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Caso 2. A equação (4) tem um único decisão positiva, E se

D = 0, se a = – 9, então a equação (4) terá a forma (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Caso 3. A equação (4) tem duas raízes, mas uma delas não satisfaz a desigualdade t > 0. Isso é possível se

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Assim, em a 0 a equação (4) tem uma única raiz positiva . Então a equação (3) tem uma única solução

Para< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

se um< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
se a = – 9, então x = – 1;

se a  0, então

Vamos comparar os métodos para resolver as equações (1) e (3). Observe que ao resolver a equação (1) ela foi reduzida a uma equação quadrática, cujo discriminante é um quadrado completo; assim, as raízes da equação (2) foram imediatamente calculadas pela fórmula das raízes da equação quadrática, e então foram tiradas conclusões sobre essas raízes. A equação (3) foi reduzida a uma equação quadrática (4), cujo discriminante não é um quadrado perfeito, portanto, ao resolver a equação (3), é aconselhável usar teoremas sobre a localização das raízes de um trinômio quadrado e um modelo gráfico. Observe que a equação (4) pode ser resolvida usando o teorema de Vieta.

Vamos resolver equações mais complexas.

Tarefa 3. Resolva a equação

Solução. ODZ: x1, x2.

Vamos introduzir um substituto. Seja 2x = t, t > 0, então, como resultado das transformações, a equação terá a forma t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Encontre os valores de a para os quais pelo menos uma raiz de a equação (*) satisfaz a condição t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Resposta: se a > - 13, a  11, a  5, então se a - 13,

a = 11, a = 5, então não há raízes.

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18. Escrita D. Preparação para o exame de matemática. M. Rolf, 1999

19. e outros Aprendendo a resolver equações e inequações.

M. "Intelecto - Centro", 2003

20. e outros. Educacional - materiais de treinamento para se preparar para o E G E.

M. "Intelecto - Centro", 2003 e 2004

21 e outros Variantes de CMM. Centro de Testes do Ministério da Defesa da Federação Russa, 2002, 2003

22. Equações de Goldberg. "Quantum" Nº 3, 1971

23. Volovich M. Como ensinar matemática com sucesso.

Matemática, 1997 nº 3.

24 Okunev para a lição, crianças! M. Iluminismo, 1988

25. Yakimanskaya - aprendizagem orientada na escola.

26. Os limites funcionam na aula. M. Conhecimento, 1975

Primeiro nível

equações exponenciais. Guia completo (2019)

Olá! Hoje vamos discutir com você como resolver equações que podem ser tanto elementares (e espero que depois de ler este artigo, quase todas elas sejam assim para você), e aquelas que geralmente recebem "preenchimento". Aparentemente, para adormecer completamente. Mas vou tentar fazer o meu melhor para que agora você não tenha problemas ao se deparar com esse tipo de equação. Não vou mais fazer rodeios, mas vou abrir imediatamente pequeno segredo: hoje vamos trabalhar equações exponenciais.

Antes de proceder a uma análise das maneiras de resolvê-los, vou delinear imediatamente para você um círculo de perguntas (bem pequeno) que você deve repetir antes de se apressar em atacar este tópico. Então, para obter melhor resultado, por favor, repetir:

1. propriedades e
2. Solução e equações

Repetido? Maravilhoso! Então não será difícil para você notar que a raiz da equação é um número. Tem certeza que entendeu como eu fiz isso? Verdade? Então continuamos. Agora me responda a pergunta, o que é igual à terceira potência? Você está absolutamente correto: . Oito é qual potência de dois? Isso mesmo - o terceiro! Porque. Bem, agora vamos tentar resolver o seguinte problema: Deixe-me multiplicar o número por ele mesmo uma vez e obter o resultado. A questão é, quantas vezes eu multipliquei por mim mesmo? É claro que você pode verificar isso diretamente:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( alinhar)

Então você pode concluir que eu multipliquei vezes por ele mesmo. De que outra forma isso pode ser verificado? E aqui está como: diretamente pela definição do grau: . Mas, você deve admitir, se eu perguntasse quantas vezes dois deve ser multiplicado por si mesmo para obter, digamos, você me diria: não vou me enganar e multiplicar por mim mesmo até você ficar azul. E ele estaria absolutamente certo. Porque como você pode anote todas as ações brevemente(e a brevidade é irmã do talento)

onde - este é o próprio "vezes" quando você multiplica por si mesmo.

Eu acho que você sabe (e se você não sabe, com urgência, com muita urgência repita os graus!) que então meu problema será escrito na forma:

Como você pode concluir razoavelmente que:

Então, calmamente, escrevi o mais simples equação exponencial:

E até achou raiz. Você não acha que tudo é bastante trivial? É exatamente o que eu acho também. Aqui está outro exemplo para você:

Mas o que fazer? Afinal, não pode ser escrito como um grau de um número (razoável). Não vamos nos desesperar e notar que esses dois números são perfeitamente expressos em termos da potência do mesmo número. O que? Certo: . Então a equação original é transformada para a forma:

De onde, como você já entendeu, . Não vamos puxar mais e anotar definição:

No nosso caso com você: .

Essas equações são resolvidas reduzindo-as à forma:

com solução subsequente da equação

Nós, de fato, fizemos isso no exemplo anterior: conseguimos isso. E resolvemos a equação mais simples com você.

Parece que não é nada complicado, certo? Vamos praticar no mais simples primeiro. exemplos:

Vemos novamente que os lados direito e esquerdo da equação devem ser representados como uma potência de um número. É verdade que isso já foi feito à esquerda, mas à direita há um número. Mas tudo bem, afinal, e minha equação milagrosamente se transformará nisso:

O que eu tinha que fazer aqui? Que regra? Regra de poder para poder que lê:

E se:

Antes de responder a esta pergunta, vamos preencher a tabela a seguir com você:

Não é difícil para nós notar que quanto menos, mais menos valor, mas mesmo assim, todos esses valores são maiores que zero. E SEMPRE SERÁ ASSIM!!! A mesma propriedade vale PARA QUALQUER BASE COM QUALQUER ÍNDICE!! (para qualquer e). Então, o que podemos concluir sobre a equação? E aqui está um: é não tem raízes! Assim como qualquer equação não tem raízes. Agora vamos praticar e Vamos resolver alguns exemplos simples:

Vamos checar:

1. Nada é exigido de você aqui, exceto conhecer as propriedades das potências (o que, aliás, eu pedi que você repetisse!) Via de regra, tudo leva à menor base: , . Então a equação original será equivalente ao seguinte: Tudo que eu preciso é usar as propriedades das potências: ao multiplicar números com a mesma base, os expoentes são adicionados e, ao dividir, eles são subtraídos. Então eu obterei: Bem, agora com a consciência limpa, passarei da equação exponencial para a linear: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(alinhar)

2. No segundo exemplo, você precisa ter mais cuidado: o problema é que no lado esquerdo também não podemos representar o mesmo número como uma potência. Neste caso, às vezes é útil representam números como um produto de potências com bases diferentes, mas os mesmos expoentes:

O lado esquerdo da equação terá a forma: O que isso nos deu? E aqui está o que: Números com bases diferentes, mas com o mesmo expoente, podem ser multiplicados.Neste caso, as bases são multiplicadas, mas o expoente não muda:

Aplicado à minha situação, isso dará:

\begin(alinhar)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(alinhar)

Nada mal, certo?

3. Não gosto quando tenho dois termos em um lado da equação e nenhum no outro (às vezes, é claro, isso se justifica, mas não é o caso agora). Mova o termo negativo para a direita:

Agora, como antes, escreverei tudo pelas potências do triplo:

Somo as potências à esquerda e obtenho uma equação equivalente

Você pode facilmente encontrar sua raiz:

4. Como no exemplo três, o termo com menos - um lugar no lado direito!

À esquerda, quase tudo está bem comigo, exceto o quê? Sim, o “grau errado” do deuce me incomoda. Mas posso corrigir isso facilmente escrevendo: . Eureka - à esquerda, todas as bases são diferentes, mas todos os graus são iguais! Multiplicamos rapidamente!

Aqui novamente, tudo está claro: (se você não entendeu como magicamente eu consegui a última igualdade, faça uma pausa por um minuto, faça uma pausa e leia as propriedades do grau novamente com muito cuidado. Quem disse que você pode pular o grau com indicador negativo? Bem, aqui estou eu sobre a mesma coisa que ninguém). Agora vou pegar:

\begin(alinhar)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(alinhar)

Aqui estão as tarefas para você praticar, para as quais darei apenas as respostas (mas de forma “mista”). Resolva-os, verifique e continuaremos nossa pesquisa!

Preparar? Respostas como estes:

1. qualquer número

Ok, ok, eu estava brincando! Aqui estão os esboços das soluções (algumas são bastante breves!)

Você não acha que não é coincidência que uma fração à esquerda seja uma outra "invertida"? Seria um pecado não usar isso:

Esta regra é muito usada na resolução de equações exponenciais, lembre-se bem!

Então a equação original fica:

Resolvendo Equação quadrática, você obterá as seguintes raízes:

2. Outra solução: dividir ambas as partes da equação pela expressão à esquerda (ou à direita). Vou dividir pelo que está à direita, então ficarei:

Onde porque?!)

3. Não quero nem me repetir, tudo já foi “mastigado” tanto.

4. equivalente a uma equação quadrática, as raízes

5. Você precisa usar a fórmula dada na primeira tarefa, então você obterá isso:

A equação se transformou em uma identidade trivial, o que é verdade para qualquer um. Então a resposta é qualquer número real.

Bem, aqui está você e praticado para decidir as equações exponenciais mais simples. Agora eu quero te dar um pouco exemplos de vida, que o ajudará a entender por que eles são necessários em princípio. Aqui vou dar dois exemplos. Um deles é bastante cotidiano, mas o outro é mais de interesse científico do que prático.

Exemplo 1 (mercantil) Deixe você ter rublos, mas você quer transformá-lo em rublos. O banco oferece a você a retirada desse dinheiro a uma taxa de juros anual com capitalização mensal de juros (acumulação mensal). A questão é, por quantos meses você precisa abrir um depósito para receber o valor final desejado? Uma tarefa bastante mundana, não é? No entanto, sua solução está ligada à construção da equação exponencial correspondente: Seja - o valor inicial, - o valor final, - taxa de juro por período, - o número de períodos. Então:

No nosso caso (se a taxa for anual, então ela é calculada por mês). Por que é dividido em? Se você não sabe a resposta para esta pergunta, lembre-se do tópico ""! Então obtemos a seguinte equação:

Esta equação exponencial já pode ser resolvida apenas com uma calculadora (sua aparência sugere isso, e isso requer conhecimento de logaritmos, que conheceremos um pouco mais adiante), o que farei: ... Assim, para receber um milhão, precisamos fazer um depósito de um mês (não muito rápido, né?).

Exemplo 2 (bastante científico). Apesar dele, de algum “isolamento”, recomendo que preste atenção nele: ele regularmente “escorrega no exame!! (tarefa retirada da versão "real") Durante o colapso isótopo radioativo sua massa diminui de acordo com a lei, onde (mg) é a massa inicial do isótopo, (min.) é o tempo decorrido desde o momento inicial, (min.) é a meia-vida. NO momento inicial tempo isótopo massa mg. Sua meia-vida é min. Em quantos minutos a massa do isótopo será igual a mg? Tudo bem: nós apenas pegamos e substituímos todos os dados na fórmula que nos é proposta:

Vamos dividir as duas partes por, "na esperança" de que à esquerda tenhamos algo digerível:

Pois temos muita sorte! Ele fica à esquerda, então vamos passar para a equação equivalente:

Onde min.

Como você pode ver, as equações exponenciais têm uma aplicação muito real na prática. Agora quero discutir com você outra maneira (simples) de resolver equações exponenciais, que se baseia em tirar o fator comum dos colchetes e depois agrupar os termos. Não tenha medo das minhas palavras, você já encontrou esse método na 7ª série quando estudou polinômios. Por exemplo, se você precisar fatorar a expressão:

Vamos agrupar: o primeiro e o terceiro termos, assim como o segundo e o quarto. É claro que o primeiro e o terceiro são a diferença dos quadrados:

e o segundo e o quarto têm fator comum Top três:

Então a expressão original é equivalente a isso:

Onde tirar o fator comum não é mais difícil:

Consequentemente,

É aproximadamente assim que vamos agir ao resolver equações exponenciais: procure por “comunalidade” entre os termos e tire-a dos colchetes, e então - aconteça o que acontecer, acredito que teremos sorte =)) Por exemplo:

À direita está longe da potência de sete (eu verifiquei!) E à esquerda - um pouco melhor, você pode, é claro, "cortar" o fator a do primeiro termo e do segundo e depois lidar com o que você tem, mas vamos fazer mais prudentemente com você. Eu não quero lidar com as frações que são inevitavelmente produzidas pela "seleção", então não seria melhor eu perdurar? Então não terei frações: como dizem, ambos os lobos estão cheios e as ovelhas estão seguras:

Conte a expressão entre parênteses. Magicamente, magicamente, acontece que (surpreendentemente, embora o que mais podemos esperar?).

Em seguida, reduzimos ambos os lados da equação por esse fator. Obtemos: onde.

Aqui está um exemplo mais complicado (um pouco, na verdade):

Aqui está o problema! não temos aqui terreno comum! Não está totalmente claro o que fazer agora. E vamos fazer o que podemos: primeiro, vamos mover os “quatros” em uma direção e os “cinco” na outra:

Agora vamos tirar o "comum" à esquerda e à direita:

E agora? Qual é o benefício de um agrupamento tão estúpido? À primeira vista, não é visível, mas vamos olhar mais profundamente:

Bem, agora vamos fazer com que à esquerda tenhamos apenas a expressão c e à direita - todo o resto. Como podemos fazer isso? E aqui está como: Divida ambos os lados da equação primeiro por (para nos livrarmos do expoente à direita) e, em seguida, divida os dois lados por (para nos livrarmos do fator numérico à esquerda). Finalmente obtemos:

Incrível! À esquerda temos uma expressão e à direita - apenas. Então concluímos imediatamente que

Aqui está outro exemplo para reforçar:

vou trazê-lo solução curta(sem se preocupar em explicar), tente descobrir todas as “sutilezas” da solução por conta própria.

Agora a consolidação final do material abordado. Tente resolver os seguintes problemas por conta própria. eu só vou trazer breves recomendações e dicas para resolvê-los:

1. Vamos tirar o fator comum dos colchetes:
2. Representamos a primeira expressão na forma: , divida ambas as partes por e obtenha que
3. , então a equação original é convertida para a forma: Bem, agora uma dica - procure onde você e eu já resolvemos esta equação!
4. Imagine como, como, ah, bem, então divida ambas as partes por, então você obtém a equação exponencial mais simples.
5. Tire-o dos colchetes.
6. Tire-o dos colchetes.

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. NÍVEL MÉDIO

Presumo que depois de ler o primeiro artigo, que dizia o que são equações exponenciais e como resolvê-las você dominou mínimo necessário conhecimento necessário para resolver exemplos simples.

Agora vou analisar outro método para resolver equações exponenciais, este é

"método de introdução de uma nova variável" (ou substituição). Ele resolve a maioria dos problemas "difíceis", no tópico de equações exponenciais (e não apenas equações). Este método é um dos mais utilizados na prática. Primeiramente, recomendo que você se familiarize com o tema.

Como você já entendeu pelo nome, a essência desse método é introduzir tal mudança de variável que sua equação exponencial milagrosamente se transformará em uma que você já pode resolver facilmente. Tudo o que resta para você depois de resolver essa “equação muito simplificada” é fazer uma “substituição reversa”: ou seja, retornar do substituído para o substituído. Vamos ilustrar o que acabamos de dizer com um exemplo muito simples:

Exemplo 1:

Essa equação é resolvida por uma "simples substituição", como os matemáticos a chamam depreciativamente. De fato, a substituição aqui é a mais óbvia. Só precisa ser visto que

Então a equação original fica:

Se também imaginarmos como, fica bem claro o que precisa ser substituído: é claro, . O que então se torna a equação original? E aqui está o que:

Você pode facilmente encontrar suas raízes por conta própria:. O que devemos fazer agora? É hora de retornar à variável original. O que eu esqueci de incluir? A saber: ao substituir um certo grau por uma nova variável (ou seja, ao substituir um tipo), estarei interessado em só raízes positivas! Você pode facilmente responder por quê. Assim, não estamos interessados ​​em você, mas a segunda raiz é bastante adequada para nós:

Então onde.

Responda:

Como você pode ver, no exemplo anterior, a substituição estava pedindo nossas mãos. Infelizmente, nem sempre é assim. No entanto, não vamos direto ao triste, mas pratique em mais um exemplo com uma substituição bastante simples

Exemplo 2

É claro que muito provavelmente será necessário substituir (esta é a menor das potências incluídas em nossa equação), porém, antes de introduzir uma substituição, nossa equação precisa estar “preparada” para isso, a saber: , . Então você pode substituir, como resultado, obterei a seguinte expressão:

Oh Deus: equação cúbica com fórmulas absolutamente terríveis para resolvê-lo (bem, falando em termos gerais). Mas não vamos nos desesperar imediatamente, mas pensar no que devemos fazer. Sugiro trapacear: sabemos que, para obter uma resposta "bonita", precisamos obter alguma potência de três (por que seria, hein?). E vamos tentar adivinhar pelo menos uma raiz da nossa equação (vou começar a adivinhar pelas potências de três).

Primeiro palpite. Não é uma raiz. Ai e ai...

.
O lado esquerdo é igual.
Parte direita: !
Há! Achou a primeira raiz. Agora as coisas vão ficar mais fáceis!

Você conhece o esquema de divisão "canto"? Claro que você sabe, você usa quando divide um número por outro. Mas poucas pessoas sabem que o mesmo pode ser feito com polinômios. Existe um teorema maravilhoso:

Aplicável à minha situação, ele me diz o que é divisível sem resto por. Como é feita a divisão? É assim que:

Eu olho para qual monômio devo multiplicar para obter Clear, então:

Eu subtraio a expressão resultante de, recebo:

Agora, o que eu preciso multiplicar para obter? É claro que, então, obterei:

e novamente subtraia a expressão resultante da restante:

Bem, o último passo, eu multiplico e subtraio da expressão restante:

Viva, a divisão acabou! O que acumulamos em privado? Por si próprio: .

Então temos a seguinte expansão do polinômio original:

Vamos resolver a segunda equação:

Tem raízes:

Então a equação original:

tem três raízes:

Nós, é claro, descartamos a última raiz, já que ela menos que zero. E os dois primeiros após a substituição inversa nos darão duas raízes:

Responda: ..

Com este exemplo, eu não queria assustá-lo; em vez disso, comecei a mostrar que pelo menos tínhamos o suficiente substituição simples, no entanto, levou a bastante equação complexa, cuja solução exigiu algumas habilidades especiais de nós. Bem, ninguém está imune a isso. Mas a substituição em este caso era bem óbvio.

Aqui está um exemplo com uma substituição um pouco menos óbvia:

Não está nada claro o que devemos fazer: o problema é que em nossa equação há dois bases diferentes e um fundamento não é obtido de outro elevando-o a qualquer grau (razoável, naturalmente). No entanto, o que vemos? Ambas as bases diferem apenas em sinal, e seu produto é a diferença de quadrados igual a um:

Definição:

Assim, os números que são bases em nosso exemplo são conjugados.

Nesse caso, a jogada inteligente seria multiplique ambos os lados da equação pelo número conjugado.

Por exemplo, em, então o lado esquerdo da equação se tornará igual e o lado direito. Se fizermos uma substituição, nossa equação original com você ficará assim:

suas raízes, então, mas lembrando disso, nós entendemos isso.

Responda: , .

Como regra, o método de substituição é suficiente para resolver a maioria das equações exponenciais da "escola". As seguintes tarefas são retiradas do USE C1 ( nível elevado dificuldades). Você já é alfabetizado o suficiente para resolver esses exemplos por conta própria. Só darei a substituição necessária.

1. Resolva a equação:
2. Encontre as raízes da equação:
3. Resolva a equação: . Encontre todas as raízes desta equação que pertencem ao segmento:

Agora, para algumas explicações e respostas rápidas:

1. Aqui é suficiente notar que e. Então a equação original será equivalente a isso: Esta equação resolvido por substituição Faça você mesmo os cálculos adicionais. No final, sua tarefa será reduzida a resolver a trigonométrica mais simples (dependendo do seno ou cosseno). Solução exemplos semelhantes exploraremos em outras seções.
2. Aqui você pode até fazer sem substituição: basta transferir o subtraendo para a direita e representar ambas as bases por potências de dois: e depois ir imediatamente para a equação quadrática.
3. A terceira equação também é resolvida de maneira bastante padrão: imagine como. Então, substituindo temos uma equação quadrática: então,

   Você já sabe o que é um logaritmo? Não? Então leia com urgência o tópico!

   A primeira raiz, obviamente, não pertence ao segmento, e a segunda é incompreensível! Mas vamos descobrir muito em breve! Desde então (esta é uma propriedade do logaritmo!) Vamos comparar:

   Subtraindo de ambas as partes, temos:

   O lado esquerdo pode ser representado como:

   multiplique os dois lados por:

   pode ser multiplicado por, então

   Então vamos comparar:

   desde então:

   Então a segunda raiz pertence ao intervalo desejado

   Responda:

Como você vê, a seleção das raízes das equações exponenciais requer conhecimento profundo propriedades dos logaritmos, então eu aconselho você a ser o mais cuidadoso possível ao resolver equações exponenciais. Como você sabe, na matemática tudo está interligado! Como meu professor de matemática costumava dizer: "Você não pode ler matemática como história da noite para o dia".

Via de regra, todos a dificuldade na resolução dos problemas C1 é justamente a seleção das raízes da equação. Vamos praticar com outro exemplo:

É claro que a equação em si é resolvida de forma bastante simples. Tendo feito a substituição, reduzimos nossa equação original para o seguinte:

Vamos olhar para a primeira raiz primeiro. Compare e: desde, então. (propriedade da função logarítmica, at). Então fica claro que a primeira raiz também não pertence ao nosso intervalo. Agora a segunda raiz: . É claro que (já que a função é crescente). Resta comparar e

desde então, ao mesmo tempo. Assim, posso "dirigir um pino" entre e. Este pino é um número. A primeira expressão é menor que e a segunda é maior que. Então a segunda expressão é maior que a primeira e a raiz pertence ao intervalo.

Responda: .

Em conclusão, vamos ver outro exemplo de uma equação em que a substituição é bastante fora do padrão:

Vamos começar imediatamente com o que você pode fazer e o que - em princípio, você pode, mas é melhor não fazê-lo. É possível - representar tudo através dos poderes de três, dois e seis. Onde isso leva? Sim, e não levará a nada: uma miscelânea de graus, alguns dos quais serão bastante difíceis de se livrar. O que então é necessário? Vamos notar que a E o que isso nos dará? E o fato de podermos reduzir a solução deste exemplo à solução de uma equação exponencial bastante simples! Primeiro, vamos reescrever nossa equação como:

Agora dividimos ambos os lados da equação resultante em:

Eureca! Agora podemos substituir, temos:

Bem, agora é sua vez de resolver problemas para demonstração, e farei apenas breves comentários a eles para que você não se desvie! Boa sorte!

1. O mais difícil! Ver um substituto aqui é oh, que feio! No entanto, este exemplo pode ser completamente resolvido usando alocação quadrado cheio . Para resolvê-lo, basta observar que:

Então aqui está o seu substituto:

(Observe que aqui, em nossa substituição, não podemos descartar raiz negativa!!! Por que você pensa?)

Agora, para resolver o exemplo, você tem que resolver duas equações:

Ambos são resolvidos pela "substituição padrão" (mas o segundo em um exemplo!)

2. Observe isso e faça uma substituição.

3. Expanda o número em fatores coprimos e simplifique a expressão resultante.

4. Divida o numerador e denominador da fração por (ou se preferir) e faça a substituição ou.

5. Observe que os números e são conjugados.

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. NÍVEL AVANÇADO

Além disso, vamos ver outra maneira - solução de equações exponenciais pelo método do logaritmo. Não posso dizer que a solução de equações exponenciais por este método seja muito popular, mas em alguns casos só pode nos levar a decisão certa nossa equação. Especialmente muitas vezes é usado para resolver o chamado " equações mistas ': ou seja, aqueles onde existem funções de diferentes tipos.

Por exemplo, uma equação como:

dentro caso Geral só pode ser resolvido tomando o logaritmo de ambas as partes (por exemplo, por base), em que a equação original se transforma no seguinte:

Vamos considerar o seguinte exemplo:

É claro que estamos interessados ​​apenas na ODZ da função logarítmica. No entanto, isso decorre não apenas da ODZ do logaritmo, mas por outro motivo. Acho que não será difícil para você adivinhar qual.

Vamos levar o logaritmo de ambos os lados da nossa equação para a base:

Como você pode ver, tomar o logaritmo de nossa equação original rapidamente nos levou à resposta correta (e bonita!). Vamos praticar com outro exemplo:

Aqui também não há com o que se preocupar: tomamos o logaritmo de ambos os lados da equação em termos da base, então temos:

Vamos fazer uma substituição:

No entanto, perdemos algo! Você notou onde eu errei? Afinal, então:

que não satisfaz o requisito (pense de onde veio!)

Responda:

Tente escrever a solução das equações exponenciais abaixo:

Agora verifique sua solução com isso:

1. Logaritmos ambas as partes na base, dado que:

(a segunda raiz não nos convém devido à substituição)

2. Logaritmo na base:

Vamos transformar a expressão resultante para a seguinte forma:

EQUAÇÕES EXPOSICIONAIS. BREVE DESCRIÇÃO E FÓRMULA BÁSICA

equação exponencial

Equação do tipo:

chamado a equação exponencial mais simples.

Propriedades do grau

Abordagens de solução

• Redução para a mesma base
• Transmitindo para o mesmo indicador graus
• Substituição de variável
• Simplifique a expressão e aplique uma das opções acima.

As equações são chamadas exponenciais se a incógnita estiver contida no expoente. A equação exponencial mais simples tem a forma: a x \u003d a b, onde a> 0 e 1, x é uma incógnita.

As principais propriedades dos graus, com a ajuda das quais as equações exponenciais são transformadas: a>0, b>0.

Ao resolver equações exponenciais, as seguintes propriedades da função exponencial também são usadas: y = a x , a > 0, a1:

Para representar um número como uma potência, use a base identidade logarítmica: b = , a > 0, a1, b > 0.

Tarefas e testes sobre o tema "Equações Exponenciais"

• equações exponenciais

  Lições: 4 Tarefas: 21 Testes: 1

• equações exponenciais - Tópicos importantes repetir o exame em matemática

  Tarefas: 14

• Sistemas de equações exponenciais e logarítmicas - Demonstrativo e funções logarítmicas Grau 11

  Lições: 1 Tarefas: 15 Testes: 1

• §2.1. Solução de equações exponenciais

  Lições: 1 Tarefas: 27

• §7 Equações e desigualdades exponenciais e logarítmicas - Seção 5. Funções exponenciais e logarítmicas Grau 10

  Lições: 1 Tarefas: 17

Por solução de sucesso equações exponenciais Você deve conhecer as propriedades básicas das potências, as propriedades da função exponencial, a identidade logarítmica básica.

Ao resolver equações exponenciais, dois métodos principais são usados:

1. transição da equação a f(x) = a g(x) para a equação f(x) = g(x);
2. introdução de novas linhas.

Exemplos.

1. Equações Reduzidas ao Mais Simples. Eles são resolvidos trazendo ambos os lados da equação para uma potência com a mesma base.

3x \u003d 9x - 2.

Solução:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Responda: 4.

2. Equações resolvidas colocando o fator comum entre colchetes.

Solução:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Responda: 3.

3. Equações Resolvidas por Mudança de Variável.

Solução:

2 2x + 2x - 12 = 0
Denotamos 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; e 2 = 3.
a) 2 x = - 4. A equação não tem solução, porque 2 x > 0.
b) 2x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Responda: registro 2 3.

4. Equações contendo potências com duas bases diferentes (não redutíveis entre si).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 x 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Responda: 2.

5. Equações homogêneas em relação a a x e b x .

Forma geral: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Solução:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Denote (3/2) x = y.
y 2 - 2,5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Responda: log 3/2 2; - log 3/2 2.

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Para começar, vamos lembrar fórmulas básicas graus e suas propriedades.

Produto de um número uma ocorre em si mesmo n vezes, podemos escrever esta expressão como a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Potência ou equações exponenciais- São equações em que as variáveis ​​estão em potências (ou expoentes), e a base é um número.

Exemplos de equações exponenciais:

NO este exemplo o número 6 é a base, está sempre na parte inferior, e a variável x grau ou medida.

Vamos dar mais exemplos de equações exponenciais.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Agora vamos ver como as equações exponenciais são resolvidas?

Vamos pegar uma equação simples:

2 x = 2 3

Tal exemplo pode ser resolvido até mesmo na mente. Pode-se ver que x = 3. Afinal, para que a esquerda e parte direita fossem iguais, você precisa colocar o número 3 em vez de x.
Agora vamos ver como essa decisão deve ser tomada:

2 x = 2 3
x = 3

Para resolver esta equação, removemos mesmos motivos(isto é, deuces) e anotou o que sobrou, estes são graus. Conseguimos a resposta que procurávamos.

Agora vamos resumir nossa solução.

Algoritmo para resolver a equação exponencial:
1. Precisa verificar o mesmo se as bases da equação à direita e à esquerda. Se os motivos não forem os mesmos, procuramos opções para resolver este exemplo.
2. Depois que as bases forem iguais, igualar grau e resolva a nova equação resultante.

Agora vamos resolver alguns exemplos:

Vamos começar simples.

As bases dos lados esquerdo e direito são iguais ao número 2, o que significa que podemos descartar a base e igualar seus graus.

x+2=4 A equação mais simples acabou.
x=4 - 2
x=2
Resposta: x=2

NO próximo exemplo Pode-se ver que as bases são diferentes - 3 e 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Para começar, transferindo o nove para o lado direito, obtemos:

Agora você precisa fazer as mesmas bases. Sabemos que 9=3 2 . Vamos usar a fórmula da potência (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Obtemos 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 agora você pode ver isso à esquerda e lado direito as bases são iguais e iguais a três, o que significa que podemos descartá-las e igualar os graus.

3x=2x+16 obteve a equação mais simples
3x-2x=16
x=16
Resposta: x=16.

Vejamos o seguinte exemplo:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Primeiro de tudo, olhamos para as bases, as bases são diferentes dois e quatro. E precisamos ser iguais. Transformamos o quádruplo de acordo com a fórmula (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

E também usamos uma fórmula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adicione à equação:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Demos um exemplo pelas mesmas razões. Mas outros números 10 e 24 interferem em nós, o que fazer com eles? Se você olhar de perto, verá que no lado esquerdo repetimos 2 2x, aqui está a resposta - podemos colocar 2 2x fora dos colchetes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Vamos calcular a expressão entre parênteses:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividimos toda a equação por 6:

Imagine 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 bases são iguais, descarte-as e iguale os graus.
2x \u003d 2 acabou sendo a equação mais simples. Dividimos por 2, obtemos
x = 1
Resposta: x = 1.

Vamos resolver a equação:

9 x - 12*3 x +27= 0

Vamos transformar:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtemos a equação:
3 2x - 12 3x +27 = 0

As bases são as mesmas para nós, iguais a 3. Neste exemplo, pode-se ver que a primeira tripla tem um grau duas vezes (2x) que a segunda (apenas x). Neste caso, você pode decidir método de substituição. Número com grau mínimo substituir:

Então 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Substituímos todos os graus por x's na equação com t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Obtemos uma equação quadrática. Resolvendo pelo discriminante, obtemos:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Voltar para a variável x.

Tomamos t1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Aquilo é,

3x = 9
3x = 3 2
x 1 = 2

Uma raiz foi encontrada. Estamos procurando o segundo, de t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3x = 3 1
x 2 = 1
Resposta: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

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