Exemplos:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Como resolver equações logarítmicas:

Ao resolver uma equação logarítmica, você precisa se esforçar para convertê-la para a forma \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), e então fazer a transição para \(f( x)=g(x)\).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Exemplo:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Solução: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Exame:\(10>2\) - adequado para ODZ Responda:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Muito importante! Essa transição só pode ser feita se:

Você escreveu para a equação original e, no final, verifique se as encontradas estão incluídas no DPV. Se isso não for feito, raízes extras podem aparecer, o que significa uma decisão errada.

O número (ou expressão) é o mesmo à esquerda e à direita;

Os logaritmos à esquerda e à direita são "puros", ou seja, não deve haver nenhum, multiplicações, divisões, etc. - apenas logaritmos solitários em ambos os lados do sinal de igual.

Por exemplo:

Observe que as equações 3 e 4 podem ser facilmente resolvidas aplicando-se propriedades desejadas logaritmos.

Exemplo . Resolva a equação \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Solução :

		Vamos escrever ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		À esquerda na frente do logaritmo está o coeficiente, à direita está a soma dos logaritmos. Isso nos incomoda. Vamos transferir os dois para o expoente \(x\) pela propriedade: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Representamos a soma dos logaritmos como um único logaritmo pela propriedade: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Trouxemos a equação para a forma \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) e anotamos a ODZ, o que significa que podemos fazer a transição para a forma \(f (x)=g(x)\).
		Ocorrido . Resolvemos e obtemos as raízes.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Verificamos se as raízes se encaixam na ODZ. Para fazer isso, em \(x>0\) em vez de \(x\) substituímos \(5\) e \(-5\). Esta operação pode ser realizada oralmente.
\(5>0\), \(-5>0\)		A primeira desigualdade é verdadeira, a segunda não. Então \(5\) é a raiz da equação, mas \(-5\) não é. Nós anotamos a resposta.

Responda : \(5\)

Exemplo : Resolva a equação \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Solução :

		Vamos escrever ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Equação Típica, resolvido com . Substitua \(\log_2⁡x\) por \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Recebeu o habitual. Em busca de suas raízes.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Fazendo uma substituição reversa
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Transformamos as partes certas, representando-as como logaritmos: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) e \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Agora nossas equações são \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) e podemos pular para \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Verificamos a correspondência das raízes da ODZ. Para fazer isso, em vez de \(x\) substituímos \(4\) e \(2\) na desigualdade \(x>0\).
\(4>0\) \(2>0\)		Ambas as desigualdades são verdadeiras. Portanto, \(4\) e \(2\) são as raízes da equação.

Responda : \(4\); \(2\).

Hoje vamos aprender a resolver as equações logarítmicas mais simples, que não requerem transformações preliminares e seleção de raízes. Mas se você aprender a resolver essas equações, será muito mais fácil.

A equação logarítmica mais simples é uma equação da forma log a f (x) \u003d b, onde a, b são números (a\u003e 0, a ≠ 1), f (x) é alguma função.

Uma característica distintiva de todas as equações logarítmicas é a presença da variável x sob o sinal do logaritmo. Se tal equação é dada inicialmente no problema, ela é chamada de mais simples. Quaisquer outras equações logarítmicas são reduzidas às mais simples por transformações especiais (veja "Propriedades básicas dos logaritmos"). No entanto, inúmeras sutilezas devem ser levadas em consideração: raízes extras podem aparecer, então equações logarítmicas complexas serão consideradas separadamente.

Como resolver tais equações? Basta substituir o número à direita do sinal de igual por um logaritmo na mesma base que à esquerda. Então você pode se livrar do sinal do logaritmo. Nós temos:

log a f (x) \u003d b ⇒ log a f (x) \u003d log a a b ⇒ f (x) \u003d a b

Temos a equação usual. Suas raízes são as raízes da equação original.

Pronunciamento de graus

Muitas vezes, equações logarítmicas, que parecem complicadas e ameaçadoras, são resolvidas em apenas algumas linhas sem envolver fórmulas complexas. Hoje vamos considerar apenas esses problemas, onde tudo o que é exigido de você é reduzir cuidadosamente a fórmula para a forma canônica e não se confundir ao procurar o domínio de definição de logaritmos.

Hoje, como você provavelmente adivinhou pelo título, vamos resolver equações logarítmicas usando as fórmulas para a transição para a forma canônica. O principal “truque” desta vídeo aula será trabalhar com diplomas, ou melhor, tirar o diploma da base e do argumento. Vejamos a regra:

Da mesma forma, você pode tirar o grau da base:

Como você pode ver, se ao tirar o grau do argumento do logaritmo, simplesmente temos multiplicador adicional na frente, depois ao tirar o grau da base - não apenas um fator, mas um fator invertido. Isso deve ser lembrado.

Por fim, o mais interessante. Essas fórmulas podem ser combinadas, então temos:

É claro que, ao realizar essas transições, existem certas armadilhas associadas à possível expansão domínio da definição ou, inversamente, estreitando o domínio da definição. Julgue por si mesmo:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Se no primeiro caso x pode ser qualquer número diferente de 0, ou seja, o requisito x ≠ 0, então no segundo caso, ficaremos satisfeitos apenas com x, que não são apenas diferentes, mas estritamente maiores que 0, porque o domínio do logaritmo é que o argumento seja estritamente maior que 0. Portanto, vou lembrá-lo de uma fórmula maravilhosa do curso de álgebra nas séries 8-9:

Ou seja, devemos escrever nossa fórmula da seguinte forma:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

Então, nenhum estreitamento do domínio de definição ocorrerá.

No entanto, no tutorial em vídeo de hoje não haverá quadrados. Se você observar nossas tarefas, verá apenas as raízes. Portanto, aplique Esta regra nós não vamos, mas ainda precisa ser mantido em mente para momento certo quando você vê função quadrática no argumento ou base do logaritmo, você lembrará dessa regra e fará todas as transformações corretamente.

Então a primeira equação é:

Para resolver esse problema, proponho examinar cuidadosamente cada um dos termos presentes na fórmula.

Vamos reescrever o primeiro termo como uma potência com um expoente racional:

Nós olhamos para o segundo termo: log 3 (1 − x ). Você não precisa fazer nada aqui, tudo já está sendo transformado.

Finalmente, 0, 5. Como eu disse em lições anteriores, ao resolver equações e fórmulas logarítmicas, eu recomendo passar de frações decimais para frações ordinárias. Vamos fazer isso:

0,5 = 5/10 = 1/2

Vamos reescrever nossa fórmula original levando em consideração os termos obtidos:

log 3 (1 − x ) = 1

Agora vamos para a forma canônica:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Livre-se do sinal do logaritmo igualando os argumentos:

1 − x = 3

-x = 2

x = -2

Pronto, resolvemos a equação. No entanto, ainda vamos jogar pelo seguro e encontrar o domínio da definição. Para isso, voltemos a fórmula original e veja:

1 − x > 0

-x > -1

x< 1

Nossa raiz x = −2 satisfaz esse requisito, então x = −2 é uma solução para a equação original. Agora temos uma justificação clara e estrita. Tudo, a tarefa está resolvida.

Vamos para a segunda tarefa:

Vamos lidar com cada termo separadamente.

Escrevemos o primeiro:

Modificamos o primeiro termo. Trabalhamos com o segundo termo:

Finalmente, o último termo, que está à direita do sinal de igual:

Substituímos as expressões resultantes para os termos na fórmula resultante:

log 3 x = 1

Passamos para a forma canônica:

log 3 x = log 3 3

Nós nos livramos do sinal do logaritmo igualando os argumentos, e obtemos:

x=3

Novamente, apenas no caso, vamos jogar pelo seguro, volte para a equação original e veja. Na fórmula original, a variável x está presente apenas no argumento, portanto,

x > 0

No segundo logaritmo, x está sob a raiz, mas novamente no argumento, portanto, a raiz deve ser maior que 0, ou seja, expressão radical deve ser maior que 0. Observamos nossa raiz x = 3. Obviamente, ela atende a esse requisito. Portanto, x = 3 é a solução da equação logarítmica original. Tudo, a tarefa está resolvida.

Há dois pontos-chave no tutorial em vídeo de hoje:

1) não tenha medo de converter logaritmos e, em particular, não tenha medo de tirar graus do sinal do logaritmo, lembrando nossos fórmula básica: ao retirar o grau do argumento, ele é retirado simplesmente sem alterações como fator, e ao retirar o grau da base, esse grau é invertido.

2) o segundo ponto está relacionado à forma autocanônica. Realizamos a transição para a forma canônica no final da transformação da fórmula da equação logarítmica. Lembre-se da seguinte fórmula:

a = log b b a

Obviamente, pela expressão "qualquer número b", quero dizer aqueles números que satisfazem os requisitos impostos na base do logaritmo, ou seja,

1 ≠ b > 0

Para tal b , e como já conhecemos a base, este requisito será cumprido automaticamente. Mas para tal b - qualquer um que satisfaça este requisito- essa transição pode ser realizada e obteremos uma forma canônica na qual podemos nos livrar do sinal do logaritmo.

Extensão do domínio de definição e raízes extras

No processo de transformação de equações logarítmicas, pode ocorrer uma extensão implícita do domínio de definição. Muitas vezes, os alunos nem percebem isso, o que leva a erros e respostas incorretas.

Vamos começar com os designs mais simples. A equação logarítmica mais simples é a seguinte:

logar a f(x) = b

Observe que x está presente em apenas um argumento de um logaritmo. Como resolvemos essas equações? Usamos a forma canônica. Para fazer isso, representamos o número b \u003d log a a b, e nossa equação será reescrita da seguinte forma:

log a f(x) = log a a b

Essa notação é chamada de forma canônica. É a ela que qualquer equação logarítmica que você encontrará não apenas na lição de hoje, mas também em qualquer trabalho independente e de controle deve ser reduzida.

Como chegar à forma canônica, quais técnicas usar - isso já é uma questão de prática. A principal coisa a entender: assim que você receber esse registro, podemos supor que o problema foi resolvido. Porque Próxima Etapa haverá uma entrada:

f(x) = ab

Em outras palavras, nos livramos do sinal do logaritmo e simplesmente igualamos os argumentos.

Por que toda essa conversa? O fato é que a forma canônica é aplicável não apenas aos problemas mais simples, mas também a qualquer outro. Em particular, àqueles que abordaremos hoje. Vamos ver.

Primeira tarefa:

Qual é o problema dessa equação? O fato de que a função está em dois logaritmos ao mesmo tempo. O problema pode ser reduzido ao mais simples simplesmente subtraindo um logaritmo de outro. Mas há problemas com o domínio da definição: raízes extras podem aparecer. Então, vamos apenas mover um dos logaritmos para a direita:

Aqui esse registro já é muito mais parecido com a forma canônica. Mas há mais uma nuance: na forma canônica, os argumentos devem ser os mesmos. E temos o logaritmo na base 3 à esquerda e o logaritmo na base 1/3 à direita. Você sabe, você precisa trazer essas bases para o mesmo número. Por exemplo, vamos lembrar o que são expoentes negativos:

E então usaremos o expoente "-1" fora do log como multiplicador:

Observe: o grau que estava na base é virado e se transforma em uma fração. Obtemos uma notação quase canônica eliminando várias bases, mas em vez disso, obtivemos o fator “−1” à direita. Vamos colocar esse fator no argumento transformando-o em uma potência:

É claro que, tendo recebido a forma canônica, riscamos ousadamente o sinal do logaritmo e igualamos os argumentos. Ao mesmo tempo, deixe-me lembrá-lo de que, quando elevado à potência de “-1”, a fração simplesmente vira - uma proporção é obtida.

Vamos usar a propriedade principal da proporção e multiplicá-la transversalmente:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x2 - 9x + 4 = 3x2 - 19x + 20

x2 − 10x + 16 = 0

Diante de nós está o Equação quadrática, então resolvemos usando as fórmulas Vieta:

(x − 8)(x − 2) = 0

x1 = 8; x2 = 2

Isso é tudo. Você acha que a equação está resolvida? Não! Para tal solução, obteremos 0 pontos, pois na equação original existem dois logaritmos com a variável x de uma só vez. Portanto, é necessário levar em conta o domínio de definição.

E é aqui que a diversão começa. A maioria dos alunos está confusa: qual é o domínio do logaritmo? Claro, todos os argumentos (temos dois) devem ser maiores que zero:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Cada uma dessas desigualdades deve ser resolvida, marcada em uma linha reta, cruzada - e só então ver quais raízes estão na interseção.

Serei honesto: essa técnica tem o direito de existir, é confiável e você obterá a resposta certa, mas há muitas etapas extras nela. Então, vamos analisar nossa solução novamente e ver: onde exatamente você deseja aplicar o escopo? Em outras palavras, você precisa entender claramente exatamente quando as raízes extras aparecem.

1. Inicialmente, tínhamos dois logaritmos. Em seguida, movemos um deles para a direita, mas isso não afetou a área de definição.
2. Em seguida, removemos a potência da base, mas ainda existem dois logaritmos, e cada um deles contém a variável x .
3. Por fim, riscamos os sinais de log e obtemos o clássico equação racional fracionária.

É na última etapa que se expande o domínio da definição! Assim que mudamos para uma equação racional fracionária, eliminando os sinais de log, os requisitos para a variável x mudaram drasticamente!

Portanto, o domínio de definição pode ser considerado não no início da solução, mas apenas na etapa mencionada - antes de equacionarmos diretamente os argumentos.

É aqui que reside a oportunidade de otimização. Por um lado, é exigido que ambos os argumentos sejam maiores que zero. Por outro lado, igualamos ainda mais esses argumentos. Portanto, se pelo menos um deles for positivo, o segundo também será positivo!

Acontece que exigir o cumprimento de duas desigualdades ao mesmo tempo é um exagero. Basta considerar apenas uma dessas frações. Qual deles? Aquele que é mais fácil. Por exemplo, vamos olhar para a fração certa:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Isso é típico desigualdade racional fracionária, resolvemos pelo método intervalar:

Como colocar sinais? Vamos pegar um número, obviamente maior que todas as nossas raízes. Por exemplo, 1 bilhão e substituímos sua fração. Obtemos um número positivo, ou seja, à direita da raiz x = 5 haverá um sinal de mais.

Então os sinais se alternam, porque não há raízes de multiplicidade uniforme em nenhum lugar. Estamos interessados ​​em intervalos onde a função é positiva. Portanto, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Agora vamos lembrar as respostas: x = 8 e x = 2. A rigor, ainda não são respostas, mas apenas candidatas a uma resposta. Qual deles pertence conjunto especificado? Claro, x = 8. Mas x = 2 não nos convém em termos de domínio de definição.

No total, a resposta para a primeira equação logarítmica será x = 8. Agora temos uma solução competente e razoável, levando em consideração o domínio de definição.

Vamos para a segunda equação:

log 5 (x - 9) = log 0,5 4 - log 5 (x - 5) + 3

Lembro-lhe que, se houver uma fração decimal na equação, você deve se livrar dela. Em outras palavras, reescrevemos 0,5 como fração ordinária. Imediatamente notamos que o logaritmo que contém esta base é facilmente considerado:

Este é um momento muito importante! Quando temos graus na base e no argumento, podemos tirar os indicadores desses graus usando a fórmula:

Voltamos à nossa equação logarítmica original e a reescrevemos:

log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)

Temos uma construção bastante próxima da forma canônica. No entanto, estamos confusos com os termos e o sinal de menos à direita do sinal de igual. Vamos representar a unidade como um logaritmo na base 5:

log 5 (x - 9) = log 5 5 1 - log 5 (x - 5)

Subtraia os logaritmos à direita (enquanto seus argumentos são divididos):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Maravilhoso. Então temos a forma canônica! Cruzamos os sinais de log e igualamos os argumentos:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Esta é uma proporção que é facilmente resolvida por multiplicação cruzada:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x2 − 14x + 40 = 0

Obviamente, temos uma dada equação quadrática. É facilmente resolvido usando as fórmulas Vieta:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Temos duas raízes. Mas essas não são respostas finais, mas apenas candidatas, pois a equação logarítmica também requer a verificação do domínio.

Eu te lembro: não olhe quando cada dos argumentos será maior que zero. Basta exigir que um argumento, seja x − 9 ou 5/(x − 5) seja maior que zero. Considere o primeiro argumento:

x − 9 > 0

x > 9

Obviamente, apenas x = 10 satisfaz este requisito.Esta é a resposta final. Todo problema resolvido.

Novamente pensamentos-chave A lição de hoje:

1. Assim que a variável x aparece em vários logaritmos, a equação deixa de ser elementar, e para isso é necessário calcular o domínio de definição. Caso contrário, você pode facilmente escrever raízes extras em resposta.
2. Trabalhar com o próprio domínio de definição pode ser bastante simplificado se a desigualdade não for escrita imediatamente, mas exatamente no momento em que nos livramos dos sinais de log. Afinal, quando os argumentos são equiparados, basta exigir que apenas um deles seja maior que zero.

Claro, nós mesmos escolhemos de qual argumento fazer uma desigualdade, então é lógico escolher o mais simples. Por exemplo, na segunda equação, escolhemos o argumento (x − 9) − Função linear, em oposição ao segundo argumento fracionalmente racional. Concordo, resolver a inequação x − 9 > 0 é muito mais fácil do que 5/(x − 5) > 0. Embora o resultado seja o mesmo.

Esta observação simplifica muito a busca por ODZ, mas tenha cuidado: você pode usar uma desigualdade em vez de duas somente quando os argumentos são precisamente igualar um ao outro!

Claro, alguém agora perguntará: o que acontece de diferente? Sim as vezes. Por exemplo, no próprio passo, quando multiplicamos dois argumentos contendo uma variável, existe o perigo de raízes extras.

Julgue por si mesmo: inicialmente é necessário que cada um dos argumentos seja maior que zero, mas após a multiplicação é suficiente que seu produto seja maior que zero. Como resultado, o caso em que cada uma dessas frações é negativa é perdido.

Portanto, se você está apenas começando a lidar com equações logarítmicas complexas, em nenhum caso não multiplique logaritmos contendo a variável x - muitas vezes isso levará a raízes extras. Melhor dar um passo a mais, transferir um termo para o outro lado, formar a forma canônica.

Bem, o que fazer se você não puder fazer sem multiplicar esses logaritmos, discutiremos no próximo tutorial em vídeo. :)

Mais uma vez sobre as potências na equação

Hoje vamos analisar um tópico bastante escorregadio sobre equações logarítmicas, ou melhor, a retirada de potências dos argumentos e bases dos logaritmos.

Diria mesmo que falaremos em retirar potências pares, porque é com potências pares que surgem a maioria das dificuldades na resolução de equações logarítmicas reais.

Vamos começar com a forma canônica. Digamos que temos uma equação como log a f (x) = b. Nesse caso, reescrevemos o número b de acordo com a fórmula b = log a a b . Acontece o seguinte:

log a f(x) = log a a b

Então igualamos os argumentos:

f(x) = ab

A penúltima fórmula é chamada de forma canônica. É para ela que tentam reduzir qualquer equação logarítmica, por mais complicada e terrível que possa parecer à primeira vista.

Aqui, vamos tentar. Vamos começar com a primeira tarefa:

Observação preliminar: como disse, todos decimais em uma equação logarítmica, é melhor traduzi-la para as ordinárias:

0,5 = 5/10 = 1/2

Vamos reescrever nossa equação com esse fato em mente. Observe que tanto 1/1000 quanto 100 são potências de 10, e então tiramos as potências de onde quer que estejam: dos argumentos e até da base dos logaritmos:

E aqui surge a pergunta para muitos alunos: “De onde veio o módulo da direita?” De fato, por que não escrever apenas (x − 1)? Claro, agora vamos escrever (x − 1), mas o direito a tal registro nos dá a explicação do domínio de definição. Afinal, o outro logaritmo já contém (x − 1), e essa expressão deve ser maior que zero.

Mas quando tiramos o quadrado da base do logaritmo, devemos deixar o módulo na base. Eu vou explicar o porquê.

O fato é que, do ponto de vista da matemática, formar-se equivale a criar raízes. Em particular, quando a expressão (x − 1) 2 é elevada ao quadrado, estamos essencialmente extraindo a raiz do segundo grau. Mas a raiz quadrada nada mais é do que um módulo. Exatamente módulo, porque mesmo que a expressão x - 1 seja negativa, ao elevar ao quadrado "menos" ainda queimará. A extração adicional da raiz nos dará um número positivo - já sem desvantagens.

Em geral, para evitar erros ofensivos, lembre-se de uma vez por todas:

A raiz de um grau par de qualquer função elevada à mesma potência é igual não à função em si, mas ao seu módulo:

Voltamos à nossa equação logarítmica. Falando sobre o módulo, argumentei que podemos removê-lo sem problemas. Isso é verdade. Agora vou explicar o porquê. A rigor, tivemos que considerar duas opções:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Cada uma dessas opções precisaria ser abordada. Mas há um problema: a fórmula original já contém a função (x − 1) sem nenhum módulo. E seguindo o domínio de definição dos logaritmos, podemos escrever imediatamente que x − 1 > 0.

Este requisito deve ser atendido independentemente de quaisquer módulos e outras transformações que realizamos no processo de solução. Portanto, é inútil considerar a segunda opção - ela nunca surgirá. Mesmo que, ao resolver este ramo da inequação, obtenhamos alguns números, eles ainda não serão incluídos na resposta final.

Agora estamos literalmente a um passo da forma canônica da equação logarítmica. Vamos representar a unidade da seguinte forma:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

Além disso, introduzimos o fator −4, que está à direita, no argumento:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Diante de nós está a forma canônica da equação logarítmica. Livre-se do sinal do logaritmo:

10 −4 = x − 1

Mas como a base era uma função (e não um número primo), também exigimos que essa função seja maior que zero e não igual a um. Obtenha o sistema:

Como o requisito x − 1 > 0 é automaticamente satisfeito (porque x − 1 = 10 −4), uma das desigualdades pode ser excluída do nosso sistema. A segunda condição também pode ser riscada porque x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Esta é a única raiz que automaticamente satisfaz todos os requisitos para o domínio de definição do logaritmo (no entanto, todos os requisitos foram eliminados como conscientemente preenchidos nas condições do nosso problema).

Então a segunda equação é:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

Como esta equação é fundamentalmente diferente da anterior? Já pelo menos o fato de as bases dos logaritmos - 3x e 9x - não serem graus naturais uns aos outros. Portanto, a transição que usamos na solução anterior não é possível.

Vamos pelo menos nos livrar dos diplomas. No nosso caso, o único poder está no segundo argumento:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

No entanto, o sinal do módulo pode ser removido, pois a variável x também está na base, ou seja, x > 0 ⇒ |x| = x. Vamos reescrever nossa equação logarítmica:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Temos logaritmos em que os argumentos são os mesmos, mas motivos diferentes. Como proceder? Existem muitas opções aqui, mas consideraremos apenas duas delas, que são as mais lógicas e, o mais importante, são truques rápidos e compreensíveis para a maioria dos alunos.

Já consideramos a primeira opção: em qualquer situação incompreensível traduzir logaritmos de base variável para alguma fundação permanente. Por exemplo, para um deuce. A fórmula de conversão é simples:

É claro que um número normal deve agir como uma variável c: 1 ≠ c > 0. No nosso caso, seja c = 2. Agora temos uma equação racional fracionária ordinária. Coletamos todos os elementos à esquerda:

Obviamente, o fator log 2 x é melhor retirar, pois está presente tanto na primeira quanto na segunda fração.

log2x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

Dividimos cada log em dois termos:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Vamos reescrever ambos os lados da igualdade levando em conta estes fatos:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Agora resta adicionar um deuce sob o sinal do logaritmo (se transformará em uma potência: 3 2 \u003d 9):

log 2 9 = log 2 x

Diante de nós está a forma canônica clássica, nos livramos do sinal do logaritmo e obtemos:

Como esperado, essa raiz acabou sendo maior que zero. Resta verificar o domínio da definição. Vejamos as bases:

Mas a raiz x = 9 satisfaz esses requisitos. Portanto, é a decisão final.

Conclusão de esta decisão simples: não tenha medo de cálculos longos! É só que no início escolhemos uma nova base aleatoriamente - e isso complicou significativamente o processo.

Mas então surge a pergunta: qual é a base ótimo? Vou falar sobre isso da segunda maneira.

Vamos voltar à nossa equação original:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Agora vamos pensar um pouco: qual número ou função será a base ótima? É óbvio que A melhor opção será c = x - o que já está nos argumentos. Nesse caso fórmula de registro a b = log c b /log c a se torna:

Em outras palavras, a expressão é simplesmente invertida. Neste caso, o argumento e a base são invertidos.

Esta fórmula é muito útil e muitas vezes usada na resolução de equações logarítmicas complexas. No entanto, ao usar esta fórmula, há uma armadilha muito séria. Se em vez da base substituirmos a variável x, serão impostas restrições que não foram observadas anteriormente:

Não havia tal restrição na equação original. Portanto, devemos verificar separadamente o caso quando x \u003d 1. Vamos substituir esse valor em nossa equação:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Obtemos o direito igualdade numérica. Portanto, x = 1 é uma raiz. Encontramos exatamente a mesma raiz no método anterior no início da solução.

Mas agora, quando consideramos separadamente isso caso especial, assumimos com segurança que x ≠ 1. Então nossa equação logarítmica será reescrita da seguinte forma:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Expandimos ambos os logaritmos de acordo com a mesma fórmula de antes. Observe que log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 log x 3 = 1

Aqui chegamos à forma canônica:

log x 9 = log x x 1

x=9

Temos a segunda raiz. Satisfaz o requisito x ≠ 1. Portanto, x = 9 junto com x = 1 é a resposta final.

Como você pode ver, o volume de cálculos diminuiu ligeiramente. Mas ao resolver uma equação logarítmica real, o número de etapas também será muito menor porque você não precisa descrever cada etapa com tantos detalhes.

A regra chave da lição de hoje é a seguinte: se a tarefa contém grau par, da qual uma raiz do mesmo grau é extraída, na saída obtemos um módulo. No entanto, este módulo pode ser removido se você prestar atenção ao domínio de definição de logaritmos.

Mas tenha cuidado: a maioria dos alunos depois desta lição pensa que entendeu tudo. Mas ao decidir tarefas reais eles não podem reproduzir toda a cadeia lógica. Como resultado, a equação adquire raízes extras e a resposta está errada.

propriedades básicas.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

mesmos motivos

log6 4 + log6 9.

Agora vamos complicar um pouco a tarefa.

Exemplos de resolução de logaritmos

E se houver um grau na base ou argumento do logaritmo? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

Claro, todas essas regras fazem sentido se o logaritmo ODZ for observado: a > 0, a ≠ 1, x >

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Transição para uma nova fundação

Seja o logaritmo logax. Então, para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Veja também:

Propriedades básicas do logaritmo

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O expoente é 2,718281828…. Para lembrar o expoente, você pode estudar a regra: o expoente é 2,7 e duas vezes o ano de nascimento de Leo Tolstoy.

Propriedades básicas dos logaritmos

Conhecendo esta regra você conhecerá e valor exato expositores, e a data de nascimento de Leo Tolstoy.

Exemplos de logaritmos

Pegue o logaritmo das expressões

Exemplo 1
uma). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Pelas propriedades 3,5 calculamos

2.

3.

4. Onde .

Exemplo 2 Encontre x se

Exemplo 3. Seja dado o valor dos logaritmos

Calcule log(x) se

Propriedades básicas dos logaritmos

Logaritmos, como qualquer número, podem ser somados, subtraídos e convertidos de todas as formas possíveis. Mas como os logaritmos não são realmente números comuns, existem regras aqui, que são chamadas propriedades básicas.

Essas regras devem ser conhecidas - sem elas, nem um único problema logarítmico. Além disso, há muito poucos deles - tudo pode ser aprendido em um dia. Então vamos começar.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com a mesma base: logax e logay. Então eles podem ser adicionados e subtraídos, e:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é o logaritmo do quociente. Observação: momento chave aqui - mesmos motivos. Se as bases forem diferentes, essas regras não funcionam!

Estas fórmulas irão ajudá-lo a calcular expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são consideradas (veja a lição "O que é um logaritmo"). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

Como as bases dos logaritmos são as mesmas, usamos a fórmula da soma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log2 48 − log2 3.

As bases são as mesmas, usamos a fórmula da diferença:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log3 135 − log3 5.

Novamente, as bases são as mesmas, então temos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como você pode ver, as expressões originais são compostas de logaritmos "ruins", que não são considerados separadamente. Mas depois de transformações números bastante normais resultam. Com base nesse fato, muitos papéis de teste. Sim, quais são os controles - expressões semelhantes com toda a seriedade (às vezes praticamente inalterada) são oferecidos no exame.

Removendo o expoente do logaritmo

É fácil ver que última regra segue os dois primeiros. Mas é melhor lembrar de qualquer maneira - em alguns casos, reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Claro, todas essas regras fazem sentido se o logaritmo ODZ for observado: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não apenas da esquerda para a direita, mas também vice-versa, ou seja, você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo. Isso é o que é mais frequentemente exigido.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log7 496.

Vamos nos livrar do grau no argumento de acordo com a primeira fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Observe que o denominador é um logaritmo cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 24; 49 = 72. Temos:

eu acho que último exemploé necessário esclarecimento. Para onde foram os logaritmos? Todo o caminho último momento trabalhamos apenas com o denominador.

Fórmulas de logaritmos. Os logaritmos são exemplos de soluções.

Eles apresentaram a base e o argumento do logaritmo ali na forma de graus e retiraram os indicadores - eles obtiveram uma fração de “três andares”.

Agora vamos olhar para a fração principal. O numerador e o denominador têm o mesmo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. De acordo com as regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, o que foi feito. O resultado é a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

Falando sobre as regras para somar e subtrair logaritmos, enfatizei especificamente que elas só funcionam com as mesmas bases. E se as bases forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?

Fórmulas de transição para uma nova base vêm em socorro. Nós os formulamos na forma de um teorema:

Seja o logaritmo logax. Então, para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:

Em particular, se colocarmos c = x, obtemos:

Segue-se da segunda fórmula que é possível trocar a base e o argumento do logaritmo, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo está no denominador.

Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas. É possível avaliar quão convenientes eles são apenas ao resolver equações logarítmicas e desigualdades.

No entanto, existem tarefas que não podem ser resolvidas, exceto pela mudança para uma nova fundação. Vamos considerar alguns deles:

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log5 16 log2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos são expoentes exatos. Vamos tirar os indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Agora vamos inverter o segundo logaritmo:

Como o produto não muda com a permutação de fatores, multiplicamos calmamente quatro e dois, e então descobrimos os logaritmos.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotá-lo e nos livrar dos indicadores:

Agora vamos nos livrar logaritmo decimal, movendo-se para uma nova base:

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes, no processo de resolução, é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Nesse caso, as fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se o expoente no argumento. O número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas o valor do logaritmo.

A segunda fórmula é na verdade uma definição parafraseada. É chamado assim:

De fato, o que acontecerá se o número b for elevado a tal grau que o número b neste grau dê o número a? Isso mesmo: este é o mesmo número a. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas “se penduram” nele.

Assim como as fórmulas para mudar para uma nova base, o principal identidade logarítmicaàs vezes é a única solução possível.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Observe que log25 64 = log5 8 - apenas tirou o quadrado da base e o argumento do logaritmo. Dadas as regras para multiplicar potências com a mesma base, Nós temos:

Se alguém não sabe, essa foi uma tarefa real do Exame Estadual Unificado 🙂

Unidade logarítmica e zero logarítmico

Em conclusão, darei duas identidades que são difíceis de chamar de propriedades - ao contrário, são consequências da definição do logaritmo. Eles são constantemente encontrados em problemas e, surpreendentemente, criam problemas mesmo para alunos "avançados".

1. logaa = 1 é. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo para qualquer base a dessa própria base é igual a um.
2. loga 1 = 0 é. A base a pode ser qualquer coisa, mas se o argumento for um - o logaritmo zero! Porque a0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Certifique-se de praticar colocá-los em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima e resolva os problemas.

Veja também:

O logaritmo do número b na base a denota a expressão. Calcular o logaritmo significa encontrar tal potência x () na qual a igualdade é verdadeira

Propriedades básicas do logaritmo

As propriedades acima precisam ser conhecidas, pois, com base nelas, quase todos os problemas e exemplos são resolvidos com base em logaritmos. As propriedades exóticas restantes podem ser derivadas por manipulações matemáticas com essas fórmulas

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Ao calcular as fórmulas para a soma e diferença de logaritmos (3.4) são encontradas com bastante frequência. O resto é um pouco complexo, mas em várias tarefas são indispensáveis ​​para simplificar expressões complexas e calcular seus valores.

Casos comuns de logaritmos

Alguns dos logaritmos comuns são aqueles em que a base é mesmo dez, exponencial ou deuce.
O logaritmo de base dez é geralmente chamado de logaritmo de base dez e é simplesmente denotado lg(x).

Pode-se ver no registro que o básico não está escrito no registro. Por exemplo

O logaritmo natural é o logaritmo cuja base é o expoente (indicado ln(x)).

O expoente é 2,718281828…. Para lembrar o expoente, você pode estudar a regra: o expoente é 2,7 e duas vezes o ano de nascimento de Leo Tolstoy. Conhecendo essa regra, você saberá o valor exato do expoente e a data de nascimento de Leo Tolstoy.

E outro logaritmo de base dois importante é

A derivada do logaritmo da função é igual a um dividido pela variável

O logaritmo integral ou antiderivado é determinado pela dependência

O material acima é suficiente para você resolver uma ampla classe de problemas relacionados a logaritmos e logaritmos. Para entender o material, darei apenas alguns exemplos comuns de currículo escolar e universidades.

Exemplos de logaritmos

Pegue o logaritmo das expressões

Exemplo 1
uma). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Pelas propriedades 3,5 calculamos

2.
Pela propriedade da diferença dos logaritmos, temos

3.
Usando as propriedades 3.5 encontramos

4. Onde .

Pelo olhar expressão complexa usando uma série de regras é simplificado para a forma

Encontrando valores de logaritmo

Exemplo 2 Encontre x se

Solução. Para o cálculo, aplicamos as propriedades 5 e 13 até o último termo

Substitua no registro e chore

Como as bases são iguais, igualamos as expressões

Logaritmos. Primeiro nível.

Seja dado o valor dos logaritmos

Calcule log(x) se

Solução: Pegue o logaritmo da variável para escrever o logaritmo através da soma dos termos

Este é apenas o começo do conhecimento dos logaritmos e suas propriedades. Pratique cálculos, enriqueça suas habilidades práticas - em breve você precisará do conhecimento adquirido para resolver equações logarítmicas. Tendo estudado os métodos básicos para resolver tais equações, expandiremos seu conhecimento para outro não menos tópico importante- desigualdades logarítmicas...

Propriedades básicas dos logaritmos

Logaritmos, como qualquer número, podem ser somados, subtraídos e convertidos de todas as formas possíveis. Mas como os logaritmos não são números bem comuns, existem regras aqui, que são chamadas de propriedades básicas.

Você deve conhecer essas regras - nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido sem elas. Além disso, há muito poucos deles - tudo pode ser aprendido em um dia. Então vamos começar.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com a mesma base: logax e logay. Então eles podem ser adicionados e subtraídos, e:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é o logaritmo do quociente. Por favor, note: o ponto-chave aqui é - mesmos motivos. Se as bases forem diferentes, essas regras não funcionam!

Essas fórmulas ajudarão a calcular a expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não forem consideradas (consulte a lição "O que é um logaritmo"). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log6 4 + log6 9.

Como as bases dos logaritmos são as mesmas, usamos a fórmula da soma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log2 48 − log2 3.

As bases são as mesmas, usamos a fórmula da diferença:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log3 135 − log3 5.

Novamente, as bases são as mesmas, então temos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como você pode ver, as expressões originais são compostas de logaritmos "ruins", que não são considerados separadamente. Mas depois de transformações números bastante normais resultam. Muitos testes são baseados neste fato. Sim, controle - expressões semelhantes com toda a seriedade (às vezes - praticamente sem alterações) são oferecidas no exame.

Removendo o expoente do logaritmo

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. E se houver um grau na base ou argumento do logaritmo? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

É fácil ver que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar de qualquer maneira - em alguns casos, reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Claro, todas essas regras fazem sentido se o logaritmo ODZ for observado: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não apenas da esquerda para a direita, mas também vice-versa, ou seja, você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo.

Como resolver logaritmos

Isso é o que é mais frequentemente exigido.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log7 496.

Vamos nos livrar do grau no argumento de acordo com a primeira fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Observe que o denominador é um logaritmo cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 24; 49 = 72. Temos:

Acho que o último exemplo precisa de esclarecimento. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento, trabalhamos apenas com o denominador. Eles apresentaram a base e o argumento do logaritmo ali na forma de graus e retiraram os indicadores - eles obtiveram uma fração de “três andares”.

Agora vamos olhar para a fração principal. O numerador e o denominador têm o mesmo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. De acordo com as regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, o que foi feito. O resultado é a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

Falando sobre as regras para somar e subtrair logaritmos, enfatizei especificamente que elas só funcionam com as mesmas bases. E se as bases forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?

Fórmulas de transição para uma nova base vêm em socorro. Nós os formulamos na forma de um teorema:

Seja o logaritmo logax. Então, para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:

Em particular, se colocarmos c = x, obtemos:

Segue-se da segunda fórmula que é possível trocar a base e o argumento do logaritmo, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo está no denominador.

Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar quão convenientes eles são apenas ao resolver equações logarítmicas e desigualdades.

No entanto, existem tarefas que não podem ser resolvidas, exceto pela mudança para uma nova fundação. Vamos considerar alguns deles:

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log5 16 log2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos são expoentes exatos. Vamos tirar os indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Agora vamos inverter o segundo logaritmo:

Como o produto não muda com a permutação de fatores, multiplicamos calmamente quatro e dois, e então descobrimos os logaritmos.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotá-lo e nos livrar dos indicadores:

Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal movendo para uma nova base:

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes, no processo de resolução, é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Nesse caso, as fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se o expoente no argumento. O número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas o valor do logaritmo.

A segunda fórmula é na verdade uma definição parafraseada. É chamado assim:

De fato, o que acontecerá se o número b for elevado a tal grau que o número b neste grau dê o número a? Isso mesmo: este é o mesmo número a. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas “se penduram” nele.

Como as novas fórmulas de conversão de base, a identidade logarítmica básica às vezes é a única solução possível.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Observe que log25 64 = log5 8 - apenas tirou o quadrado da base e o argumento do logaritmo. Dadas as regras para multiplicar potências de mesma base, temos:

Se alguém não sabe, essa foi uma tarefa real do Exame Estadual Unificado 🙂

Unidade logarítmica e zero logarítmico

Em conclusão, darei duas identidades que são difíceis de chamar de propriedades - ao contrário, são consequências da definição do logaritmo. Eles são constantemente encontrados em problemas e, surpreendentemente, criam problemas mesmo para alunos "avançados".

1. logaa = 1 é. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo para qualquer base a dessa própria base é igual a um.
2. loga 1 = 0 é. A base a pode ser qualquer coisa, mas se o argumento for um, o logaritmo será zero! Porque a0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Certifique-se de praticar colocá-los em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima e resolva os problemas.

Vamos considerar alguns tipos de equações logarítmicas que não são tão frequentemente consideradas nas aulas de matemática na escola, mas são amplamente utilizadas na preparação de tarefas competitivas, inclusive para o USE.

1. Equações resolvidas pelo método do logaritmo

Ao resolver equações contendo uma variável tanto na base quanto no expoente, o método do logaritmo é usado. Se, além disso, o expoente contiver um logaritmo, ambos os lados da equação devem ser logaritmizados na base desse logaritmo.

Exemplo 1

Resolva a equação: x log 2 x + 2 = 8.

Solução.

Tomamos o logaritmo dos lados esquerdo e direito da equação na base 2. Obtemos

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3.

Seja log 2 x = t.

Então (t + 2)t = 3.

t 2 + 2t - 3 = 0.

D \u003d 16. t 1 \u003d 1; t 2 \u003d -3.

Portanto, registre 2 x \u003d 1 e x 1 \u003d 2 ou registre 2 x \u003d -3 e x 2 \u003d 1/8

Resposta: 1/8; 2.

2. Equações logarítmicas homogêneas.

Exemplo 2

Resolva a equação log 2 3 (x 2 - 3x + 4) - 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 - 3x + 4) - 2log 2 3 (x + 5) = 0

Solução.

Domínio da equação

(x 2 - 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

log 3 (x + 5) = 0 para x = -4. Verificando, determinamos que dado valor x não é a raiz da equação original. Portanto, podemos dividir ambos os lados da equação por log 2 3 (x + 5).

Obtemos log 2 3 (x 2 - 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) - 3 log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Seja log 3 (x 2 - 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Então t 2 - 3 t + 2 = 0. As raízes desta equação são 1; 2. Voltando à variável original, obtemos um conjunto de duas equações

Mas levando em consideração a existência do logaritmo, apenas os valores de (0; 9] devem ser considerados. Isso significa que a expressão do lado esquerdo leva valor mais alto 2 para x = 1. Considere agora a função y = 2 x-1 + 2 1-x. Se tomarmos t \u003d 2 x -1, então assumirá a forma y \u003d t + 1 / t, onde t\u003e 0. Sob tais condições, tem um único ponto crítico t = 1. Este é o ponto mínimo. Y vin \u003d 2. E é alcançado em x \u003d 1.

Agora é óbvio que os gráficos das funções consideradas podem se cruzar apenas uma vez no ponto (1; 2). Acontece que x \u003d 1 é a única raiz da equação que está sendo resolvida.

Resposta: x = 1.

Exemplo 5. Resolva a equação log 2 2 x + (x - 1) log 2 x \u003d 6 - 2x

Solução.

Nós vamos decidir dada equação em relação ao log 2 x. Seja log 2 x = t. Então t 2 + (x - 1) t - 6 + 2x \u003d 0.

D \u003d (x - 1) 2 - 4 (2x - 6) \u003d (x - 5) 2. t 1 \u003d -2; t 2 \u003d 3 - x.

Obtemos a equação log 2 x \u003d -2 ou log 2 x \u003d 3 - x.

A raiz da primeira equação é x 1 = 1/4.

A raiz da equação log 2 x \u003d 3 - x será encontrada por seleção. Esse número é 2. Essa raiz é única, pois a função y \u003d log 2 x está aumentando em todo o domínio de definição e a função y \u003d 3 - x está diminuindo.

Verificando é fácil ter certeza de que ambos os números são as raízes da equação

Resposta: 1/4; 2.

site, com cópia total ou parcial do material, é necessário um link para a fonte.

Álgebra 11º ano

Tópico: "Métodos para resolver equações logarítmicas"

Lições objetivas:

educacional: a formação do conhecimento sobre jeitos diferentes resolver equações logarítmicas, a capacidade de aplicá-las em cada situação específica e escolha qualquer método para resolver;

desenvolvimento: desenvolvimento de habilidades para observar, comparar, aplicar conhecimentos em uma nova situação, identificar padrões, generalizar; formação de habilidades de controle mútuo e autocontrole;

educacional: educação de uma atitude responsável para trabalho educativo, percepção cuidadosa do material na lição, precisão na manutenção de registros.

Tipo de lição: uma lição de familiarização com o novo material.

"A invenção dos logaritmos, encurtando o trabalho do astrônomo, prolongou sua vida."
matemático francês e o astrônomo P.S. Laplace

Durante as aulas

I. Definindo o objetivo da lição

A definição estudada do logaritmo, as propriedades dos logaritmos e a função logarítmica nos permitirão resolver equações logarítmicas. Todas as equações logarítmicas, por mais complexas que sejam, são resolvidas usando algoritmos unificados. Vamos considerar esses algoritmos hoje na lição. Existem poucos deles. Se você os dominar, qualquer equação com logaritmos será viável para cada um de vocês.

Escreva em seu caderno o tópico da lição: "Métodos para resolver equações logarítmicas". Convido a todos à cooperação.

II. Atualizar conhecimento básico

Vamos nos preparar para estudar o tópico da lição. Você resolve cada tarefa e anota a resposta, não pode escrever a condição. Trabalho em dupla.

1) Para quais valores de x a função faz sentido:

(As respostas são verificadas para cada slide e os erros são resolvidos)

2) Os gráficos das funções coincidem?

3) Reescreva as igualdades como igualdades logarítmicas:

4) Escreva os números como logaritmos com base 2:

5) Calcule:

6) Tente restaurar ou completar os elementos que faltam nestas igualdades.

III. Introdução ao novo material

A declaração é mostrada na tela:

"A equação é a chave de ouro que abre todo o gergelim matemático."
O matemático polonês moderno S. Koval

Tente formular a definição de uma equação logarítmica. (Uma equação contendo a incógnita sob o sinal do logaritmo).

Considerar a equação logarítmica mais simples:registroumax = b(onde a>0, a ≠ 1). Porque função logarítmica está aumentando (ou diminuindo) no set números positivos e toma todos os valores reais, então pelo teorema da raiz segue que para qualquer b, esta equação tem, e além disso, apenas uma solução, e além disso, uma solução positiva.

Lembre-se da definição de logaritmo. (O logaritmo do número x na base a é o expoente ao qual a base a deve ser elevada para obter o número x). Segue imediatamente da definição do logaritmo que umadentroé tal solução.

Anote o título: Métodos para resolver equações logarítmicas

1. Por definição do logaritmo.

É assim que as equações simples da forma são resolvidas.

Considerar Nº 514 (a): Resolva a equação

Como você se propõe a resolvê-lo? (Por definição de logaritmo)

Solução. , Portanto 2x - 4 = 4; x = 4.

Nesta tarefa, 2x - 4 > 0, pois > 0, portanto raízes estranhas não pode aparecer, e não há necessidade de verificar. A condição 2x - 4 > 0 não é necessária para escrever nesta tarefa.

2. Potenciação(transição do logaritmo dada expressão a esta expressão).

Considerar Nº 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Qual característica você notou? (As bases são as mesmas e os logaritmos das duas expressões são iguais). O que pode ser feito? (potenciar).

Neste caso, deve-se levar em conta que qualquer solução está contida entre todos os x para os quais as expressões logarítmicas são positivas.

Solução: ODZ:

X2+8>0 desigualdade extra

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Potenciar a equação original

obtemos a equação x2+8= 8x+8

Resolvemos: x2-8x=0

Resposta: 0; oito

NO visão geral transição para um sistema equivalente:

A equação

(O sistema contém uma condição redundante - uma das desigualdades pode ser ignorada).

Pergunta para a classe: Qual destas três soluções você mais gostou? (Discussão de métodos).

Você tem o direito de decidir de qualquer maneira.

3. Introdução de uma nova variável.

Considerar Nº 520(g). .

O que você notou? (Esta é uma equação quadrática para log3x) Alguma sugestão? (Introduzir nova variável)

Solução. ODZ: x > 0.

Seja , então a equação terá a forma:. Discriminante D > 0. Raízes pelo teorema de Vieta:.

Voltemos à substituição: ou .

Resolvendo as equações logarítmicas mais simples, obtemos:

Resposta: 27;

4. Logaritmo de ambos os lados da equação.

Resolva a equação:.

Solução: ODZ: x>0, pegue o logaritmo de ambos os lados da equação na base 10:

Aplique a propriedade do logaritmo do grau:

(lgx + 3) lgx = 4

Seja lgx = y, então (y + 3)y = 4

, (D > 0) as raízes de acordo com o teorema de Vieta: y1 = -4 e y2 = 1.

Vamos voltar para a substituição, temos: lgx = -4,; logx = 1, .

Resposta: 0,0001; dez.

5. Redução a uma base.

Nº 523(c). Resolva a equação:

Solução: ODZ: x>0. Vamos para a base 3.

6. Método gráfico-funcional.

№ 509(d). Resolva graficamente a equação: = 3 - x.

Como você se propõe a resolver? (Construa gráficos de duas funções y \u003d log2x e y \u003d 3 - x por pontos e procure a abcissa dos pontos de interseção dos gráficos).

Veja sua solução no slide.

Existe uma maneira de evitar plotagem . É o seguinte : se uma das funções y = f(x) aumenta e o outro y = g(x) diminui no intervalo X, então a equação f(x)=g(x) tem no máximo uma raiz no intervalo X.

Se houver uma raiz, então ela pode ser adivinhada.

No nosso caso, a função aumenta para x>0 e a função y \u003d 3 - x diminui para todos os valores de x, incluindo x>0, o que significa que a equação não tem mais de uma raiz. Observe que para x = 2, a equação se transforma em uma verdadeira igualdade, pois .

« Uso correto métodos podem ser aprendidos
apenas aplicá-los vários exemplos».
Historiador dinamarquês da matemática G. G. Zeiten

EUv. Trabalho de casa

P. 39 considere o exemplo 3, resolva o nº 514 (b), nº 529 (b), nº 520 (b), nº 523 (b)

V. Resumindo a lição

Que métodos para resolver equações logarítmicas consideramos na lição?

Na próxima lição, veremos mais equações complexas. Para resolvê-los, os métodos estudados são úteis.

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“O que é mais do que qualquer coisa no mundo?
Espaço.
Qual é o mais sábio?
Tempo.
Qual é o mais agradável?
Alcance o que você quer."
Tales

Quero que todos alcancem o que desejam. Obrigado por sua cooperação e compreensão.