Fracțiunea corespunzătoare

sferturi

1. Ordine. Ași b există o regulă care vă permite să identificați în mod unic între ele una și doar una dintre cele trei relații: „< », « >' sau ' = '. Această regulă se numește regula de ordonareşi se formulează astfel: doi numere nenegativeși sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive Ași b sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă deodată A nenegativ și b- negativ, atunci A > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   însumarea fracțiilor

2. operatie de adaugare. Pentru orice numere rationale Ași b există un așa-zis regula de însumare c. Cu toate acestea, numărul în sine c numit sumă numerele Ași bși se notează , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit însumare. Regula însumării are următoarea vedere: .
3. operația de înmulțire. Pentru orice numere raționale Ași b există un așa-zis regula înmulțirii, care le pune în corespondență cu un număr rațional c. Cu toate acestea, numărul în sine c numit muncă numerele Ași bși se notează , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare. Regula înmulțirii este următoarea: .
4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale A , bși c dacă A mai mici bși b mai mici c, apoi A mai mici c, si daca A egală bși b egală c, apoi A egală c. 6435">Comutativitatea adunării. Suma nu se schimbă din schimbarea locurilor termenilor raționali.
5. Asociativitatea adunării. Ordin adăugând trei numerele raționale nu afectează rezultatul.
6. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este însumat.
7. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care, însumat, dă 0.
8. Comutativitatea înmulțirii. Prin schimbarea locurilor factorilor raționali, produsul nu se schimbă.
9. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
10. Prezența unei unități. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
11. Prezența reciprocelor. Orice număr rațional are un număr rațional invers, care, înmulțit, dă 1.
12. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este în concordanță cu operația de adunare prin legea distribuției:
13. Legătura relației de ordine cu operația de adunare. la stânga şi părțile potrivite inegalitatea rațională puteți adăuga același număr rațional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, puteți lua atât de multe unități încât suma lor va depăși A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu sunt evidențiate ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi demonstrate pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția lui. niste obiect matematic. Astfel de proprietăți suplimentare Multe. Este logic să cităm doar câteva dintre ele.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Setați numărătoarea

Numerotarea numerelor raționale

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să oferim un algoritm care să enumere numerele raționale, adică să stabilească o bijecție între mulțimile de rațional și numere naturale.

Cel mai simplu dintre acești algoritmi este următorul. Se întocmește un tabel infinit de fracții obișnuite, pe fiecare i-a linie din fiecare j a cărei coloană este o fracțiune. Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate de la unu. Celulele din tabel sunt notate , unde i- numărul rândului tabelului în care se află celula și j- numărul coloanei.

Tabelul rezultat este gestionat de un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată de primul meci.

În procesul unei astfel de ocolire, fiecare număr rațional nou este atribuit următorului număr natural. Adică, fracțiilor 1/1 li se atribuie numărul 1, fracțiilor 2/1 - numărul 2 etc. Trebuie remarcat faptul că numai fracții ireductibile. Un semn formal de ireductibilitate este egalitatea la unul dintre cei mai mari divizor comun al numărătorului și numitorului unei fracții.

Urmând acest algoritm, se pot enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile numerelor raționale pozitive și negative, pur și simplu atribuind fiecărui număr rațional opusul său. Acea. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare nedumerire, deoarece la prima vedere se are impresia că este mult mai mare decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, acesta nu este cazul și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Insuficiența numerelor raționale

Ipotenuza unui astfel de triunghi nu este exprimată prin niciun număr rațional

Numere raționale de forma 1 / nîn mare n se pot măsura cantităţi arbitrar mici. Acest fapt creează impresie înșelătoare că numerele raționale pot măsura orice distanțe geometrice în general. Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat.

Din teorema lui Pitagora se știe că ipotenuza unui triunghi dreptunghic se exprimă ca rădăcina pătrată a sumei pătratelor catetelor sale. Acea. lungimea ipotenuzei isoscelă triunghi dreptunghic cu un singur picior este egal cu, adică un număr al cărui pătrat este 2.

Dacă presupunem că numărul este reprezentat de un număr rațional, atunci există un astfel de număr întreg mși un astfel de număr natural n, care, de altfel, fracția este ireductibilă, adică numerele mși n sunt coprime.

Daca atunci , adică m 2 = 2n 2. Prin urmare, numărul m 2 este par, dar produsul a doi numere impare impar, ceea ce înseamnă că numărul în sine m de asemenea clar. Deci există un număr natural k, astfel încât numărul m poate fi reprezentat ca m = 2k. Numărul pătrat m In acest sens m 2 = 4k 2 dar pe de altă parte m 2 = 2n 2 înseamnă 4 k 2 = 2n 2, sau n 2 = 2k 2. După cum sa arătat mai devreme pentru număr m, ceea ce înseamnă că numărul n- exact ca m. Dar atunci nu sunt coprime, deoarece ambele sunt divizibile în jumătate. Contradicția rezultată demonstrează că nu este un număr rațional.

La cuvântul „fracții” îi trec multe pielea de găină. Pentru că îmi amintesc de școală și de sarcinile care se rezolvau la matematică. Aceasta era o datorie care trebuia îndeplinită. Dar ce se întâmplă dacă tratăm sarcinile care conțin corect și fracții improprii cum să puzzle? La urma urmei, mulți adulți rezolvă cuvinte încrucișate digitale și japoneze. Înțelegeți regulile și atât. La fel şi eu. Trebuie doar să pătrundem în teorie - și totul va cădea la loc. Iar exemplele se vor transforma într-o modalitate de a antrena creierul.

Ce tipuri de fracții există?

Să începem cu ce este. O fracție este un număr care are o fracție de unu. Poate fi scris în două forme. Primul se numește obișnuit. Adică unul care are o cursă orizontală sau oblică. Echivalează cu semnul diviziunii.

Într-o astfel de notație, numărul de deasupra liniuței se numește numărător, iar dedesubt se numește numitor.

Printre fracțiile obișnuite se disting fracțiile corecte și cele greșite. Pentru primul, numărătorul modulo este întotdeauna mai mic decât numitorul. Cele greșite se numesc așa pentru că au opusul. Valoarea unei fracții adecvate este întotdeauna mai putin de unul. În timp ce cel greșit este întotdeauna mai mare decât acest număr.

Există și numere mixte, adică cele care au un întreg și o parte fracționară.

Al doilea tip de înregistrare este zecimal. Despre conversația ei separată.

Care este diferența dintre fracțiile improprie și numerele mixte?

Practic, nimic. Este doar o notație diferită a aceluiași număr. Fracțiile improprii după operații simple devin cu ușurință numere mixte. Si invers.

Totul depinde de situație specifică. Uneori, în sarcini este mai convenabil să folosești o fracție necorespunzătoare. Și uneori este necesar să o traducem în număr mixt si atunci exemplul se va rezolva foarte usor. Prin urmare, ce să folosiți: fracții improprii, numere mixte - depinde de observația rezolvatorului problemei.

Numărul mixt este, de asemenea, comparat cu suma părții întregi și a părții fracționale. Mai mult, al doilea este întotdeauna mai puțin decât unitate.

Cum se reprezintă un număr mixt ca o fracție improprie?

Dacă doriți să efectuați o acțiune cu mai multe numere în care sunt scrise tipuri diferite, atunci trebuie să le faci la fel. O metodă este reprezentarea numerelor ca fracții improprii.

În acest scop, va trebui să urmați următorul algoritm:

• înmulțiți numitorul cu partea întreagă;
• adăugați valoarea numărătorului la rezultat;
• scrieți răspunsul deasupra liniei;
• lăsați numitorul același.

Iată exemple despre cum să scrieți fracții improprii din numere mixte:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Cum se scrie o fracție improprie ca număr mixt?

Următoarea metodă este opusă celei discutate mai sus. Adică, atunci când toate numerele amestecate sunt înlocuite cu fracții improprii. Algoritmul acțiunilor va fi următorul:

• împărțiți numărătorul la numitor pentru a obține restul;
• scrieți câtul în locul părții întregi a amestecului;
• restul trebuie plasat deasupra liniei;
• divizorul va fi numitorul.

Exemple de astfel de transformare:

76/14; 76:14 = 5 cu un rest de 6; răspunsul este 5 numere întregi și 6/14; partea fracțională din acest exemplu trebuie redusă cu 2, obțineți 3/7; răspunsul final este 5 întreg 3/7.

108/54; după împărțire se obține câtul 2 fără rest; aceasta înseamnă că nu toate fracțiile improprii pot fi reprezentate ca număr mixt; răspunsul este un număr întreg - 2.

Cum transformi un întreg într-o fracție improprie?

Există situații în care o astfel de acțiune este necesară. Pentru a obține fracții improprii cu un numitor predeterminat, va trebui să efectuați următorul algoritm:

• înmulțiți un număr întreg cu numitorul dorit;
• scrieți această valoare deasupra liniei;
• plasați un numitor sub el.

Cea mai simplă opțiune este atunci când numitorul egal cu unu. Atunci nu este nevoie să se înmulțească. Este suficient doar să scrieți un număr întreg, care este dat în exemplu, și să plasați o unitate sub linie.

Exemplu: Faceți din 5 o fracție improprie cu numitorul 3. După ce înmulțiți 5 cu 3, obțineți 15. Acest număr va fi numitorul. Răspunsul la sarcină este o fracție: 15/3.

Două abordări pentru rezolvarea sarcinilor cu numere diferite

În exemplu, este necesar să se calculeze suma și diferența, precum și produsul și câtul a două numere: 2 numere întregi 3/5 și 14/11.

În prima abordare numărul mixt va fi reprezentat ca o fracție improprie.

După efectuarea pașilor descriși mai sus, obțineți următoarea valoare: 13/5.

Pentru a găsi suma, trebuie să convertiți fracțiile în același numitor. 13/5 înmulțit cu 11 devine 143/55. Iar 14/11 după înmulțirea cu 5 va lua forma: 70/55. Pentru a calcula suma, trebuie doar să adăugați numărătorii: 143 și 70, apoi să scrieți răspunsul cu un numitor. 213/55 - această fracție improprie este răspunsul la problemă.

Când se află diferența, se scad aceleași numere: 143 - 70 = 73. Răspunsul este o fracție: 73/55.

Când înmulți 13/5 și 14/11, nu trebuie să conduci la numitor comun. Doar înmulțiți numărătorii și numitorii în perechi. Răspunsul va fi: 182/55.

La fel și cu împărțirea. Pentru decizia corectă trebuie să înlocuiți diviziunea cu înmulțirea și să întoarceți divizorul: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

În a doua abordare O fracție improprie devine un număr mixt.

După efectuarea acțiunilor algoritmului, 14/11 se va transforma într-un număr mixt cu întreaga parte 1 și fracțional 3/11.

Când calculați suma, trebuie să adăugați separat părțile întregi și fracționale. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Răspunsul final este 3 întregi 48/55. În prima abordare a existat o fracție 213/55. Puteți verifica corectitudinea transformându-l într-un număr mixt. După împărțirea 213 la 55, câtul este 3, iar restul este 48. Este ușor de observat că răspunsul este corect.

La scădere, semnul „+” este înlocuit cu „-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Pentru a verifica răspunsul din abordarea anterioară, trebuie să-l convertiți într-un număr mixt: 73 este împărțit la 55 și obțineți un coeficient de 1 și un rest de 18.

Pentru a găsi produsul și coeficientul, este incomod să folosiți numere mixte. Aici este întotdeauna recomandat să treceți la fracții improprii.

Fracțiuneîn matematică, un număr format din una sau mai multe părți (fracții) ale unei unități. Fracțiile fac parte din câmpul numerelor raționale. Fracțiile sunt împărțite în 2 formate în funcție de modul în care sunt scrise: comun bun si zecimal .

Numătorul unei fracții- un număr care arată numărul de acțiuni luate (situat în partea de sus a fracției - deasupra liniei). Numitorul fracției- un număr care arată în câte părți este împărțită unitatea (situat sub linie - în partea de jos). , la rândul lor, se împart în: corectși gresit, amestecatși compozit strâns legate de unitățile de măsură. 1 metru conține 100 cm, ceea ce înseamnă că 1 m este împărțit în 100 de părți egale. Astfel, 1 cm = 1/100 m (un centimetru este egal cu o sutime de metru).

sau 3/5 (trei cincimi), aici 3 este numărătorul, 5 este numitorul. Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci fracția este mai mică decât unu și se numește corect:

Dacă numărătorul egal cu numitorul, fracția este egală cu unu. Dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, fracția este mai mare decât unu. În ambele cazuri recente fracția se numește gresit:

Pentru a izola cel mai mare număr întreg conținut într-o fracție improprie, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor. Dacă împărțirea se face fără rest, atunci fracția improprie luată este egală cu câtul:

Dacă împărțirea se face cu rest, atunci câtul (incomplet) dă numărul întreg dorit, restul devine numărătorul părții fracționale; numitorul părții fracționale rămâne același.

Se numește un număr care conține un întreg și o parte fracțională amestecat. Fracțiune număr mixt poate fracție improprie. Apoi este posibil să se extragă cel mai mare număr întreg din partea fracțională și să se reprezinte numărul mixt în așa fel încât partea fracțională să devină o fracție proprie (sau să dispară cu totul).

Acest articol este despre fracții comune. Aici ne vom familiariza cu conceptul de fracție a unui întreg, ceea ce ne va conduce la definirea unei fracții obișnuite. În continuare, ne vom opri asupra notației acceptate pentru fracțiile obișnuite și vom da exemple de fracții, să spunem despre numărătorul și numitorul unei fracții. După aceea, dăm definiții pentru bine și rău, pozitiv și fracții negative, și luați în considerare, de asemenea, poziția numerelor fracționale pe fascicul de coordonate. În concluzie, enumeram principalele acțiuni cu fracții.

Navigare în pagină.

Acțiuni ale întregului

Mai întâi vă prezentăm partajarea conceptului.

Să presupunem că avem un obiect format din mai multe părți absolut identice (adică egale). Pentru claritate, vă puteți imagina, de exemplu, un măr tăiat în mai multe părti egale, sau o portocală, constând din mai multe felii egale. Fiecare dintre aceste părți egale care alcătuiesc întregul obiect se numește cota din întreg sau pur și simplu acțiuni.

Rețineți că acțiunile sunt diferite. Să explicăm asta. Să presupunem că avem două mere. Să tăiem primul măr în două părți egale, iar al doilea în 6 părți egale. Este clar că cota primului măr va fi diferită de cota celui de-al doilea măr.

În funcție de numărul de acțiuni care alcătuiesc întregul obiect, aceste acțiuni au propriile nume. Să analizăm nume de partajare. Dacă obiectul este format din două părți, oricare dintre ele se numește o a doua parte a întregului obiect; dacă obiectul este format din trei părți, atunci oricare dintre ele se numește o a treia parte și așa mai departe.

O secundă ritm are un nume special - jumătate. O treime este numită al treileași un cvadruplu - sfert.

De dragul conciziei, următoarele desemnări de partajare. O a doua acțiune este desemnată ca sau 1/2, o a treia acțiune - ca sau 1/3; un sfert share - like sau 1/4, și așa mai departe. Rețineți că notația cu o bară orizontală este folosită mai des. Pentru a consolida materialul, să mai dăm un exemplu: intrarea denotă o sută șaizeci și șapte din întreg.

Conceptul de cotă se extinde în mod natural de la obiecte la mărimi. De exemplu, una dintre măsurile de lungime este metrul. Pentru a măsura lungimi mai mici de un metru, pot fi folosite fracțiuni de metru. Deci, puteți folosi, de exemplu, o jumătate de metru sau o zecime sau o miime de metru. Acțiunile altor cantități sunt aplicate în mod similar.

Fracții comune, definiție și exemple de fracții

Pentru a descrie numărul de acțiuni sunt utilizate fracții comune. Să dăm un exemplu care ne va permite să abordăm definiția fracțiilor obișnuite.

Lasă o portocală să fie formată din 12 părți. Fiecare acțiune în acest caz reprezintă o doisprezecea parte dintr-o portocală întreagă, adică . Să notăm două bătăi ca , trei bătăi ca și așa mai departe, 12 bătăi ca . Fiecare dintre aceste intrări se numește fracție obișnuită.

Acum să dăm un general definirea fracțiilor comune.

Definiția vocală a fracțiilor obișnuite ne permite să aducem exemple de fracții comune: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Și aici sunt înregistrările nu se potrivesc cu definiția vocală a fracțiilor obișnuite, adică nu sunt fracții obișnuite.

Numătorul și numitorul

Pentru comoditate, în fracțiile obișnuite distingem numărător și numitor.

Definiție.

Numărător fracția ordinară (m / n) este un număr natural m.

Definiție.

Numitor fracția ordinară (m / n) este un număr natural n.

Deci, numărătorul este situat deasupra barei de fracțiuni (în stânga barei oblice), iar numitorul este sub bara de fracțiuni (în dreapta barei oblice). De exemplu, să luăm o fracție obișnuită 17/29, numărătorul acestei fracții este numărul 17, iar numitorul este numărul 29.

Rămâne de discutat semnificația conținută în numărătorul și numitorul unei fracții obișnuite. Numitorul fracției arată din câte acțiuni este format un articol, numărătorul, la rândul său, indică numărul de astfel de acțiuni. De exemplu, numitorul 5 al fracției 12/5 înseamnă că un articol este format din cinci părți, iar numărătorul 12 înseamnă că sunt luate 12 astfel de părți.

Număr natural ca fracție cu numitorul 1

Numitorul unei fracții obișnuite poate fi egal cu unu. În acest caz, putem presupune că obiectul este indivizibil, cu alte cuvinte, este ceva întreg. Numătorul unei astfel de fracții indică câte articole întregi sunt luate. Prin urmare, fracție comună de forma m/1 are sensul unui număr natural m . Așa am fundamentat egalitatea m/1=m .

Să rescriem ultima egalitate astfel: m=m/1 . Această egalitate ne permite să reprezentăm orice număr natural m ca o fracție obișnuită. De exemplu, numărul 4 este fracția 4/1, iar numărul 103498 este fracția 103498/1.

Asa de, orice număr natural m poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită cu numitorul 1 ca m/1 , iar orice fracție obișnuită de forma m/1 poate fi înlocuită cu un număr natural m.

Bara de fracțiuni ca semn de diviziune

Reprezentarea obiectului original sub formă de n părți nu este altceva decât o împărțire în n părți egale. După ce articolul este împărțit în n părți, îl putem împărți în mod egal între n persoane - fiecare va primi o acțiune.

Dacă inițial avem m articole identice, dintre care fiecare este împărțită în n părți, atunci putem împărți în mod egal aceste m obiecte între n persoane, dând fiecărei persoane o cotă din fiecare dintre cele m obiecte. În acest caz, fiecare persoană va avea m acțiuni 1/n, iar m acțiuni 1/n dă o fracție obișnuită m/n. Astfel, fracția comună m/n poate fi utilizată pentru a reprezenta împărțirea m elemente între n oameni.

Așadar, am obținut o legătură explicită între fracțiile obișnuite și diviziune (vezi ideea generală a împărțirii numerelor naturale). Această relație se exprimă după cum urmează: Bara unei fracții poate fi înțeleasă ca semn de împărțire, adică m/n=m:n.

Cu ajutorul unei fracții obișnuite, puteți scrie rezultatul împărțirii a două numere naturale pentru care împărțirea nu este efectuată printr-un număr întreg. De exemplu, rezultatul împărțirii a 5 mere la 8 persoane poate fi scris ca 5/8, adică fiecare va primi cinci optimi dintr-un măr: 5:8=5/8.

Fracții ordinare egale și inegale, comparație de fracții

Destul acțiune naturală este o compararea fracțiilor comune, pentru că este clar că 1/12 dintr-o portocală este diferită de 5/12, iar 1/6 dintr-un măr este la fel cu cealaltă 1/6 din acest măr.

În urma comparării a două fracții obișnuite, se obține unul dintre rezultate: fracțiile fie sunt egale, fie nu sunt egale. În primul caz avem fracții comune egale, iar în al doilea fracții comune inegale. Să dăm o definiție a fracțiilor ordinare egale și inegale.

Definiție.

egal, dacă egalitatea a d=b c este adevărată.

Definiție.

Două fracții comune a/b și c/d nu este egal, dacă egalitatea a d=b c nu este satisfăcută.

Iată câteva exemple de fracții egale. De exemplu, fracția comună 1/2 este egală cu fracția 2/4, deoarece 1 4=2 2 (dacă este necesar, vezi regulile și exemplele de înmulțire a numerelor naturale). Pentru claritate, vă puteți imagina două mere identice, primul este tăiat în jumătate, iar al doilea - în 4 părți. Este evident că două sferturi dintr-un măr reprezintă 1/2 cotă. Alte exemple de fracții comune egale sunt fracțiile 4/7 și 36/63 și perechea de fracții 81/50 și 1620/1000.

Și fracțiile obișnuite 4/13 și 5/14 nu sunt egale, deoarece 4 14=56 și 13 5=65, adică 4 14≠13 5. Un alt exemplu de fracții comune inegale sunt fracțiile 17/7 și 6/4.

Dacă, atunci când comparăm două fracții obișnuite, se dovedește că acestea nu sunt egale, atunci poate fi necesar să aflați care dintre aceste fracții obișnuite mai mici alta, si care Mai mult. Pentru a afla, se folosește regula de comparare a fracțiilor obișnuite, a cărei esență este aducerea fracțiilor comparate la un numitor comun și apoi compararea numărătorilor. Informatii detaliate pe acest subiect este adunat în articolul compararea fracțiilor: reguli, exemple, soluții.

Numerele fracționale

Fiecare fracție este o înregistrare număr fracționar. Adică, o fracție este doar o „înveliș” a unui număr fracționar, ea aspect, si tot încărcătură semantică este cuprinsă într-un număr fracționar. Cu toate acestea, pentru concizie și comoditate, conceptul de fracție și un număr fracționar sunt combinate și pur și simplu numite fracție. Aici se cuvine să parafrazăm binecunoscuta zicală: spunem o fracție – vrem să spunem număr fracționar, spunem un număr fracționar - ne referim la o fracție.

Fracții pe fasciculul de coordonate

Toate numerele fracționale corespunzătoare fracțiilor obișnuite au propriile lor numere loc unic pe , adică există o corespondență unu-la-unu între fracțiile și punctele razei de coordonate.

Pentru a ajunge la punctul corespunzător fracției m / n pe raza de coordonate, este necesar să amânăm m segmente de la origine în direcția pozitivă, a căror lungime este 1 / n a segmentului unitar. Astfel de segmente pot fi obținute prin împărțirea unui singur segment în n părți egale, ceea ce se poate realiza întotdeauna folosind o busolă și o riglă.

De exemplu, să arătăm punctul M de pe raza de coordonate, corespunzător fracției 14/10. Lungimea segmentului cu capete în punctul O și punctul cel mai apropiat de acesta, marcat cu o liniuță mică, este 1/10 din segmentul unitar. Punctul cu coordonata 14/10 este îndepărtat de la origine prin 14 astfel de segmente.

Fracțiilor egale corespund aceluiași număr fracționar, adică fracții egale sunt coordonatele aceluiași punct de pe raza de coordonate. De exemplu, un punct corespunde coordonatelor 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 pe raza de coordonate, deoarece toate fracțiile scrise sunt egale (este situat la o distanță de jumătate din segmentul unității, amânat de la originea în sens pozitiv).

Pe o rază de coordonate orizontală și îndreptată spre dreapta, punctul a cărui coordonată este fracție mare, este situat în dreapta punctului a cărui coordonată este fracția mai mică. În mod similar, punctul cu coordonata mai mică se află la stânga punctului cu coordonata mai mare.

Fracții proprii și improprii, definiții, exemple

Printre fracțiile obișnuite, există fracții proprii și improprii. Această diviziune are practic o comparație a numărătorului și numitorului.

Să dăm o definiție a fracțiilor ordinare proprii și improprii.

Definiție.

Fracțiunea corespunzătoare este o fracție obișnuită, al cărei numărător este mai mic decât numitorul, adică dacă m

Definiție.

Fracție improprie este o fracție obișnuită în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, adică dacă m≥n, atunci fracția ordinară este improprie.

Iată câteva exemple de fracții proprii: 1/4 , , 32 765/909 003 . Într-adevăr, în fiecare dintre fracțiile ordinare scrise, numărătorul este mai mic decât numitorul (dacă este necesar, vezi articolul compararea numerelor naturale), deci sunt corecte prin definiție.

Și iată exemple de fracții improprii: 9/9, 23/4,. Într-adevăr, numărătorul primei dintre fracțiile ordinare scrise este egal cu numitorul, iar în fracțiile rămase numărătorul este mai mare decât numitorul.

Există, de asemenea, definiții ale fracțiilor proprii și improprii bazate pe compararea fracțiilor cu una.

Definiție.

corect dacă este mai mică de unu.

Definiție.

Fracția comună se numește gresit, dacă este fie egal cu unu, fie mai mare decât 1 .

Deci fracția obișnuită 7/11 este corectă, deoarece 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 și 27/27=1.

Să ne gândim la modul în care fracțiile obișnuite cu un numărător mai mare sau egal cu numitorul merită un astfel de nume - „greșit”.

Să luăm ca exemplu fracția improprie 9/9. Această fracție înseamnă că sunt luate nouă părți ale unui obiect, care constă din nouă părți. Adică din cele nouă acțiuni disponibile, putem alcătui un întreg subiect. Adică, fracția improprie 9/9 dă în esență un obiect întreg, adică 9/9=1. În general, fracțiile improprii cu un numărător egal cu numitorul denotă un obiect întreg, iar o astfel de fracție poate fi înlocuită cu un număr natural 1.

Acum luați în considerare fracțiile improprii 7/3 și 12/4. Este destul de evident că din aceste șapte treimi putem face două obiecte întregi (un obiect întreg este de 3 părți, apoi pentru a compune două obiecte întregi avem nevoie de 3 + 3 = 6 părți) și va mai fi o a treia cotă. Adică, fracția improprie 7/3 înseamnă în esență 2 articole și chiar 1/3 din cota unui astfel de articol. Și din douăsprezece sferturi putem face trei obiecte întregi (trei obiecte cu patru părți fiecare). Adică, fracția 12/4 înseamnă în esență 3 obiecte întregi.

Exemplele luate în considerare ne conduc la următoarea concluzie: fracțiile improprie pot fi înlocuite fie cu numere naturale, când numărătorul este împărțit în întregime la numitor (de exemplu, 9/9=1 și 12/4=3), fie suma dintre un număr natural și o fracție proprie, când numărătorul nu este divizibil egal cu numitorul (de exemplu, 7/3=2+1/3 ). Poate că tocmai acesta este ceea ce fracțiile improprii merită un astfel de nume - „greșit”.

Un interes deosebit este reprezentarea unei fracții improprie ca sumă a unui număr natural și a unei fracții proprii (7/3=2+1/3). Acest proces se numește extragerea unei părți întregi dintr-o fracție necorespunzătoare și merită o analiză separată și mai atentă.

De asemenea, este de remarcat faptul că există o relație foarte strânsă între fracțiile improprie și numerele mixte.

Fracții pozitive și negative

Fiecare fracție obișnuită îi corespunde un număr fracționar pozitiv (vezi articolul numere pozitive și negative). Adică, fracțiile obișnuite sunt fracții pozitive. De exemplu, fracțiile obișnuite 1/5, 56/18, 35/144 sunt fracții pozitive. Când este necesar să se sublinieze pozitivitatea unei fracții, atunci este plasat un semn plus în fața acesteia, de exemplu, +3/4, +72/34.

Dacă puneți un semn minus în fața unei fracții obișnuite, atunci această intrare va corespunde unui număr fracționar negativ. În acest caz, se poate vorbi de fracții negative. Iată câteva exemple de fracții negative: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Fracțiile pozitive și negative m/n și −m/n sunt numere opuse. De exemplu, fracțiile 5/7 și -5/7 sunt fracții opuse.

Fracțiile pozitive, cum ar fi numerele pozitive în general, denotă o creștere, un venit, o modificare a unei valori în sus etc. Fracțiunile negative corespund cheltuielilor, datoriilor, unei modificări a oricărei valori în direcția scăderii. De exemplu, o fracție negativă -3/4 poate fi interpretată ca o datorie, a cărei valoare este 3/4.

Pe orizontală și fracțiile negative direcționate spre dreapta sunt situate la stânga punctului de referință. Punctele dreptei de coordonate ale cărei coordonate sunt fracția pozitivă m/n și fracția negativă −m/n sunt situate la aceeași distanță de origine, dar pe laturi opuse punctului O .

Aici merită menționate fracțiile de forma 0/n. Aceste fracții sunt egale cu numărul zero, adică 0/n=0 .

Fracțiile pozitive, fracțiile negative și fracțiile 0/n se combină pentru a forma numere raționale.

Acțiuni cu fracții

O acțiune cu fracții obișnuite - compararea fracțiilor - am considerat-o deja mai sus. Încă patru aritmetice sunt definite operatii cu fractii- adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor. Să ne oprim asupra fiecăruia dintre ele.

Esența generală a acțiunilor cu fracții este similară cu esența acțiunilor corespunzătoare cu numere naturale. Să facem o analogie.

Înmulțirea fracțiilor poate fi considerată ca o acțiune în care se găsește o fracție dintr-o fracție. Pentru a clarifica, să luăm un exemplu. Să presupunem că avem 1/6 dintr-un măr și trebuie să luăm 2/3 din el. Partea de care avem nevoie este rezultatul înmulțirii fracțiilor 1/6 și 2/3. Rezultatul înmulțirii a două fracții ordinare este o fracție obișnuită (care într-un caz particular este egală cu un număr natural). În continuare vă recomandăm să studiați informațiile articolului înmulțirea fracțiilor - reguli, exemple și soluții.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică: manual pentru 5 celule. institutii de invatamant.
• Vilenkin N.Ya. etc.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

La cuvântul „fracții” îi trec multe pielea de găină. Pentru că îmi amintesc de școală și de sarcinile care se rezolvau la matematică. Aceasta era o datorie care trebuia îndeplinită. Dar dacă tratăm sarcinile care conțin fracții adecvate și improprii ca pe un puzzle? La urma urmei, mulți adulți rezolvă cuvinte încrucișate digitale și japoneze. Înțelegeți regulile și atât. La fel şi eu. Trebuie doar să pătrundem în teorie - și totul va cădea la loc. Iar exemplele se vor transforma într-o modalitate de a antrena creierul.

Ce tipuri de fracții există?

Să începem cu ce este. O fracție este un număr care are o fracție de unu. Poate fi scris în două forme. Primul se numește obișnuit. Adică unul care are o cursă orizontală sau oblică. Echivalează cu semnul diviziunii.

Într-o astfel de notație, numărul de deasupra liniuței se numește numărător, iar dedesubt se numește numitor.

Printre fracțiile obișnuite se disting fracțiile corecte și cele greșite. Pentru primul, numărătorul modulo este întotdeauna mai mic decât numitorul. Cele greșite se numesc așa pentru că au opusul. Valoarea unei fracții adecvate este întotdeauna mai mică decât unu. În timp ce cel greșit este întotdeauna mai mare decât acest număr.

Există și numere mixte, adică cele care au un întreg și o parte fracționară.

Al doilea tip de notație este zecimală. Despre conversația ei separată.

Care este diferența dintre fracțiile improprie și numerele mixte?

Practic, nimic. Este doar o notație diferită a aceluiași număr. Fracțiile improprii după operații simple devin cu ușurință numere mixte. Si invers.

Totul depinde de situația specifică. Uneori, în sarcini este mai convenabil să folosești o fracție necorespunzătoare. Și uneori este necesar să îl traduceți într-un număr mixt, iar apoi exemplul va fi rezolvat foarte ușor. Prin urmare, ce să folosiți: fracții improprii, numere mixte - depinde de observația rezolvatorului problemei.

Numărul mixt este, de asemenea, comparat cu suma părții întregi și a părții fracționale. Mai mult, al doilea este întotdeauna mai puțin decât unitate.

Cum se reprezintă un număr mixt ca o fracție improprie?

Dacă doriți să efectuați o acțiune cu mai multe numere care sunt scrise în forme diferite, atunci trebuie să le faceți la fel. O metodă este reprezentarea numerelor ca fracții improprii.

În acest scop, va trebui să urmați următorul algoritm:

• înmulțiți numitorul cu partea întreagă;
• adăugați valoarea numărătorului la rezultat;
• scrieți răspunsul deasupra liniei;
• lăsați numitorul același.

Iată exemple despre cum să scrieți fracții improprii din numere mixte:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Cum se scrie o fracție improprie ca număr mixt?

Următoarea metodă este opusă celei discutate mai sus. Adică, atunci când toate numerele amestecate sunt înlocuite cu fracții improprii. Algoritmul acțiunilor va fi următorul:

• împărțiți numărătorul la numitor pentru a obține restul;
• scrieți câtul în locul părții întregi a amestecului;
• restul trebuie plasat deasupra liniei;
• divizorul va fi numitorul.

Exemple de astfel de transformare:

76/14; 76:14 = 5 cu un rest de 6; răspunsul este 5 numere întregi și 6/14; partea fracțională din acest exemplu trebuie redusă cu 2, obțineți 3/7; răspunsul final este 5 întreg 3/7.

108/54; după împărțire se obține câtul 2 fără rest; aceasta înseamnă că nu toate fracțiile improprii pot fi reprezentate ca număr mixt; răspunsul este un număr întreg - 2.

Cum transformi un întreg într-o fracție improprie?

Există situații în care o astfel de acțiune este necesară. Pentru a obține fracții improprii cu un numitor predeterminat, va trebui să efectuați următorul algoritm:

• înmulțiți un număr întreg cu numitorul dorit;
• scrieți această valoare deasupra liniei;
• plasați un numitor sub el.

Cea mai simplă opțiune este atunci când numitorul este egal cu unu. Atunci nu este nevoie să se înmulțească. Este suficient doar să scrieți un număr întreg, care este dat în exemplu, și să plasați o unitate sub linie.

Exemplu: Faceți din 5 o fracție improprie cu numitorul 3. După ce înmulțiți 5 cu 3, obțineți 15. Acest număr va fi numitorul. Răspunsul la sarcină este o fracție: 15/3.

Două abordări pentru rezolvarea sarcinilor cu numere diferite

În exemplu, este necesar să se calculeze suma și diferența, precum și produsul și câtul a două numere: 2 numere întregi 3/5 și 14/11.

În prima abordare numărul mixt va fi reprezentat ca o fracție improprie.

După efectuarea pașilor descriși mai sus, obțineți următoarea valoare: 13/5.

Pentru a afla suma, trebuie să reduceți fracțiile la același numitor. 13/5 înmulțit cu 11 devine 143/55. Iar 14/11 după înmulțirea cu 5 va lua forma: 70/55. Pentru a calcula suma, trebuie doar să adăugați numărătorii: 143 și 70, apoi să scrieți răspunsul cu un numitor. 213/55 - această fracție improprie este răspunsul la problemă.

Când se află diferența, se scad aceleași numere: 143 - 70 = 73. Răspunsul este o fracție: 73/55.

Când înmulțiți 13/5 și 14/11, nu trebuie să reduceți la un numitor comun. Doar înmulțiți numărătorii și numitorii în perechi. Răspunsul va fi: 182/55.

La fel și cu împărțirea. Pentru soluția corectă, trebuie să înlocuiți diviziunea cu înmulțirea și să întoarceți divizorul: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

În a doua abordare O fracție improprie devine un număr mixt.

După efectuarea acțiunilor algoritmului, 14/11 se va transforma într-un număr mixt cu o parte întreagă de 1 și o parte fracțională de 3/11.

Când calculați suma, trebuie să adăugați separat părțile întregi și fracționale. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Răspunsul final este 3 întregi 48/55. În prima abordare a existat o fracție 213/55. Puteți verifica corectitudinea transformându-l într-un număr mixt. După împărțirea 213 la 55, câtul este 3, iar restul este 48. Este ușor de observat că răspunsul este corect.

La scădere, semnul „+” este înlocuit cu „-”. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Pentru a verifica răspunsul din abordarea anterioară, trebuie să-l convertiți într-un număr mixt: 73 este împărțit la 55 și obțineți un coeficient de 1 și un rest de 18.

Pentru a găsi produsul și coeficientul, este incomod să folosiți numere mixte. Aici este întotdeauna recomandat să treceți la fracții improprii.