Vrei să te simți ca un sapator? Atunci această lecție este pentru tine! Pentru că acum vom studia fracțiile - sunt atât de simple și inofensive obiecte matematice care depășesc restul cursului de algebră în capacitatea lor de a „suporta creierul”.

Principalul pericol al fracțiilor este că apar în viata reala. Prin aceasta ele diferă, de exemplu, de polinoame și logaritmi, care pot fi promovate și uitate cu ușurință după examen. Prin urmare, materialul prezentat în această lecție, fără exagerare poate fi numit exploziv.

O fracție numerică (sau pur și simplu o fracție) este o pereche de numere întregi scrise printr-o bară oblică sau orizontală.

Fracții scrise printr-o bară orizontală:

Aceleași fracții scrise cu bară oblică:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

De obicei, fracțiile sunt scrise printr-o linie orizontală - este mai ușor să lucrezi cu ele și arată mai bine. Numărul scris deasupra se numește numărător al fracției, iar numărul scris în jos se numește numitor.

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție cu numitorul 1. De exemplu, 12 = 12/1 este fracția din exemplul de mai sus.

În general, puteți pune orice număr întreg în numărătorul și numitorul unei fracții. Singura restricție este că numitorul trebuie să fie diferit de zero. Amintiți-vă vechea regulă: „Nu puteți împărți la zero!”

Dacă numitorul este încă zero, fracția se numește nedefinită. O astfel de înregistrare nu are sens și nu poate participa la calcule.

Proprietatea de bază a fracției

Fracțiile a /b și c /d se numesc egale dacă ad = bc.

Din această definiție rezultă că aceeași fracție poate fi scrisă în moduri diferite. De exemplu, 1/2 = 2/4 pentru că 1 4 = 2 2. Desigur, există multe fracții care nu sunt egale între ele. De exemplu, 1/3 ≠ 5/4 deoarece 1 4 ≠ 3 5.

Apare o întrebare rezonabilă: cum să găsiți toate fracțiile egale cu una dată? Dăm răspunsul sub forma unei definiții:

Principala proprietate a unei fracții este că numărătorul și numitorul pot fi înmulțite cu același număr, altul decât zero. Aceasta va avea ca rezultat o fracție egală cu cea dată.

Aceasta este foarte proprietate importantă- ține minte asta. Cu ajutorul proprietății de bază a unei fracții, multe expresii pot fi simplificate și scurtate. În viitor, va „apari” în mod constant sub formă proprietăți diverseși teoreme.

Fracții incorecte. Selectarea întregii părți

Dacă numărătorul mai mic decât numitorul, o astfel de fracție se numește proprie. În caz contrar (adică atunci când numărătorul este mai mare sau cel puțin egal cu numitorul), fracția se numește fracție improprie și o parte întreagă poate fi distinsă în ea.

Partea întreagă este scrisă ca un număr mare în fața fracției și arată astfel (marcat cu roșu):

Pentru a izola întreaga parte într-o fracție necorespunzătoare, trebuie să urmați trei pași simpli:

1. Află de câte ori se încadrează numitorul în numărător. Cu alte cuvinte, găsiți numărul întreg maxim care, atunci când este înmulțit cu numitorul, va fi tot mai mic decât numărătorul (în cazul extrem, egal). Acest număr va fi întreaga parte, așa că o scriem în față;
2. Înmulțiți numitorul cu partea întreagă găsită în pasul anterior și scădeți rezultatul din numărător. „Stub” rezultat se numește restul diviziunii, va fi întotdeauna pozitiv (în cazuri extreme, zero). O notăm la numărătorul noii fracții;
3. Rescriem numitorul neschimbat.

Ei bine, este greu? La prima vedere, poate fi dificil. Dar este nevoie de puțină practică - și o vei face aproape verbal. Deocamdată, aruncați o privire la exemplele:

Sarcină. Selectați întreaga parte din fracțiile date:

În toate exemplele, partea întreagă este evidențiată cu roșu, iar restul diviziunii este în verde.

Acordați atenție ultimei fracțiuni, unde s-a dovedit a fi restul diviziunii zero. Se pare că numărătorul este complet împărțit la numitor. Acest lucru este destul de logic, deoarece 24: 6 \u003d 4 este un fapt dur din tabla înmulțirii.

Dacă totul este făcut corect, numărătorul noii fracții va fi neapărat mai mic decât numitorul, adică. fracția devine corectă. De asemenea, observ că este mai bine să evidențiezi întreaga parte chiar la sfârșitul sarcinii, înainte de a scrie răspunsul. În caz contrar, puteți complica semnificativ calculele.

Trecerea la fracția improprie

Există și o operație inversă, când scăpăm de toată piesa. Aceasta se numește tranziția fracțiilor improprie și este mult mai comună, deoarece fracțiile improprie sunt mult mai ușor de lucrat.

Trecerea la o fracție improprie se face și în trei pași:

1. Înmulțiți partea întreagă cu numitorul. Rezultatul poate fi destul de bun numere mari, dar nu ar trebui să ne fie rușine;
2. Adăugați numărul rezultat la numărătorul fracției inițiale. Scrieți rezultatul la numărătorul unei fracții improprie;
3. Rescrieți numitorul - din nou, fără schimbare.

Iată exemple specifice:

Sarcină. Convertiți într-o fracție improprie:

Pentru claritate, partea întreagă este din nou evidențiată în roșu, iar numărătorul fracției originale este în verde.

Luați în considerare cazul în care numărătorul sau numitorul unei fracții conține un număr negativ. De exemplu:

În principiu, nu este nimic criminal în asta. Cu toate acestea, lucrul cu astfel de fracții poate fi incomod. Prin urmare, în matematică se obișnuiește să se scoată minusurile ca semn de fracție.

Acest lucru este foarte ușor de făcut dacă vă amintiți regulile:

1. Plus ori minus este egal cu minus. Prin urmare, dacă numărătorul este un număr negativ, iar numitorul este pozitiv (sau invers), nu ezitați să tăiați minusul și să-l puneți în fața întregii fracții;
2. „Două negative fac o afirmație”. Când minusul este atât la numărător, cât și la numitor, pur și simplu le eliminăm - nu este necesară nicio acțiune suplimentară.

Desigur, aceste reguli pot fi aplicate și la direcție inversă, adică puteți adăuga un minus sub semnul fracției (cel mai adesea - la numărător).

În mod deliberat, nu luăm în considerare cazul „plus pe plus” - cu el, cred, oricum totul este clar. Să aruncăm o privire la modul în care funcționează aceste reguli în practică:

Sarcină. Scoateți minusurile celor patru fracții scrise mai sus.

Atenție la ultima fracție: are deja semnul minus în față. Cu toate acestea, este „ars” conform regulii „minus ori minus dă plus”.

De asemenea, nu mutați minusurile în fracțiile cu o parte întreagă evidențiată. Aceste fracții sunt mai întâi convertite în fracțiuni improprii - și abia apoi încep să calculeze.

Vom începe examinarea acestui subiect prin studierea conceptului de fracție ca întreg, ceea ce ne va oferi o înțelegere mai completă a semnificației unei fracții obișnuite. Să dăm termenii principali și definiția lor, să studiem subiectul într-o interpretare geometrică, i.e. pe linia de coordonate și, de asemenea, definiți o listă de acțiuni de bază cu fracții.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Acțiuni ale întregului

Imaginați-vă un obiect format din mai multe, complet părti egale. De exemplu, poate fi o portocală, constând din mai multe felii identice.

Definiția 1

Cotă dintr-un întreg sau cotă este fiecare dintre părțile egale care alcătuiesc întregul obiect.

Evident, acțiunile pot fi diferite. Pentru a explica clar această afirmație, imaginați-vă două mere, dintre care unul este tăiat în două părți egale, iar al doilea în patru. Este clar că mărimea cotelor rezultate pentru diferite mere va varia.

Acțiunile au nume proprii, care depind de numărul de acțiuni care alcătuiesc întregul subiect. Dacă un articol are două părți, atunci fiecare dintre ele va fi definită ca o a doua parte a acestui articol; când un obiect este format din trei părți, atunci fiecare dintre ele este o treime și așa mai departe.

Definiția 2

Jumătate- o a doua parte a subiectului.

Al treilea- o treime din subiect.

Sfert- un sfert din subiect.

Pentru a scurta înregistrarea, a fost introdusă următoarea notație pentru acțiuni: jumătate - 1 2 sau 1 / 2 ; al treilea - 1 3 sau 1 / 3 ; o parte a patra 1 4 sau 1/4 și așa mai departe. Intrările cu o bară orizontală sunt folosite mai des.

Conceptul de cotă se extinde în mod natural de la obiecte la mărimi. Deci, puteți folosi fracțiuni de metru (o treime sau o sutime) pentru a măsura obiecte mici, ca una dintre unitățile de lungime. Acțiunile altor cantități pot fi aplicate în mod similar.

Fracții comune, definiție și exemple

Fracții comune folosit pentru a descrie numărul de acțiuni. Luați în considerare un exemplu simplu care ne va aduce mai aproape de definiția unei fracții obișnuite.

Imaginați-vă o portocală, formată din 12 felii. Fiecare cotă va fi apoi - o doisprezecea parte sau 1 / 12. Doua actiuni - 2/12; trei acțiuni - 3 / 12 etc. Toate cele 12 părți sau un număr întreg ar arăta astfel: 12 / 12 . Fiecare dintre intrările utilizate în exemplu este un exemplu de fracție comună.

Definiția 3

Fracție comună este o înregistrare a formularului m n sau m / n , unde m și n sunt numere naturale.

Conform această definiție, exemple de fracții ordinare pot fi intrări: 4 / 9, 1134, 91754. Și aceste intrări: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 nu sunt fracții obișnuite.

Numătorul și numitorul

Definiția 4

numărător fracție comună m n sau m / n este un număr natural m .

numitor fracție comună m n sau m / n este un număr natural n .

Acestea. numărătorul este numărul de deasupra barei unei fracții obișnuite (sau din stânga barei oblice), iar numitorul este numărul de sub bară (în dreapta barei oblice).

Care este semnificația numărătorului și numitorului? Numitorul unei fracții ordinare indică din câte acțiuni este format un articol, iar numărătorul ne oferă informații despre câte astfel de acțiuni sunt luate în considerare. De exemplu, fracția comună 7 54 ne indică faptul că un anumit obiect este format din 54 de acțiuni, iar pentru considerare am luat 7 astfel de acțiuni.

Număr natural ca fracție cu numitorul 1

Numitorul unei fracții comune poate fi egal cu unu. În acest caz, se poate spune că obiectul (valoarea) luat în considerare este indivizibil, este ceva întreg. Numărător în ca o fracțiune va indica câte astfel de articole sunt luate, de ex. o fracție obișnuită de forma m 1 are sens numar natural m . Această afirmație servește drept justificare pentru egalitatea m 1 = m .

Să scriem ultima egalitate astfel: m = m 1 . Ne va oferi posibilitatea de a folosi orice număr natural sub forma unei fracții obișnuite. De exemplu, numărul 74 este o fracție obișnuită de forma 74 1 .

Definiția 5

Orice număr natural m poate fi scris ca o fracție obișnuită, unde numitorul este unu: m 1 .

La rândul său, orice fracție obișnuită de forma m 1 poate fi reprezentată printr-un număr natural m .

Bara de fracțiuni ca semn de diviziune

Reprezentarea folosită mai sus acest subiect modul în care n acțiuni nu este altceva decât o împărțire în n părți egale. Când un obiect este împărțit în n părți, avem posibilitatea de a-l împărți în mod egal între n persoane - fiecare își are partea sa.

În cazul când avem inițial m articole identice(fiecare este împărțit în n părți), atunci acești m articole pot fi împărțiți în mod egal între n persoane, oferindu-le fiecăruia o cotă din fiecare dintre cei m elemente. În acest caz, fiecare persoană va avea m acțiuni 1 n , iar m acțiuni 1 n va da o fracție obișnuită m n . Prin urmare, fracția comună m n poate fi utilizată pentru a reprezenta împărțirea m elemente între n oameni.

Declarația rezultată stabilește o legătură între fracțiile obișnuite și diviziune. Și această relație poate fi exprimată după cum urmează : este posibil să se înțeleagă linia unei fracții ca semn de împărțire, i.e. m/n=m:n.

Cu ajutorul unei fracții obișnuite, putem scrie rezultatul împărțirii a două numere naturale. De exemplu, împărțirea a 7 mere la 10 persoane va fi scrisă ca 7 10: fiecare persoană va primi șapte zecimi.

Fracții comune egale și inegale

Acțiunea logică este de a compara fracțiile obișnuite, deoarece este evident că, de exemplu, 1 8 dintr-un măr este diferit de 7 8 .

Rezultatul comparării fracțiilor obișnuite poate fi: egal sau inegal.

Definiția 6

Fracții comune egale sunt fracții ordinare a b și c d , pentru care egalitatea este adevărată: a d = b c .

Fracții comune inegale- fracțiile ordinare a b și c d , pentru care egalitatea: a · d = b · c nu este adevărată.

Exemplu fracții egale: 1 3 și 4 12 - întrucât egalitatea 1 · 12 = 3 · 4 este îndeplinită.

În cazul în care se dovedește că fracțiile nu sunt egale, este de obicei necesar să se afle care dintre fracțiile date este mai mică și care este mai mare. Pentru a răspunde la aceste întrebări, se compară fracțiile obișnuite, ducându-le la numitor comun iar apoi compararea numărătorilor.

Numerele fracționale

Fiecare fracție este o înregistrare a unui număr fracționar, care de fapt este doar o „cochilie”, vizualizare încărcătură semantică. Dar totuși, pentru comoditate, combinăm conceptele de fracție și număr fracționar, pur și simplu vorbind - o fracție.

Toate numerele fracționale, ca orice alt număr, au propria lor locație unică fascicul de coordonate: există o corespondență unu-la-unu între fracțiile și punctele razei de coordonate.

Pentru a găsi un punct pe raza de coordonate, notând fracția m n , este necesar să se amâne m segmente în direcția pozitivă de la originea coordonatelor, lungimea fiecăruia dintre ele va fi de 1 n fracțiune a unui segment unitar. Segmentele pot fi obținute prin împărțirea unui singur segment în n părți identice.

Ca exemplu, să notăm punctul M pe raza de coordonate, care corespunde fracției 14 10 . Lungimea segmentului, ale cărui capete este punctul O și cel mai apropiat punct, marcat cu o lovitură mică, este egală cu 1 10 fracții ale segmentului unitar. Punctul corespunzător fracției 14 10 este situat la o distanță de originea coordonatelor la o distanță de 14 astfel de segmente.

Dacă fracțiile sunt egale, i.e. ele corespund aceluiași număr fracționar, atunci aceste fracții servesc ca coordonate ale aceluiași punct pe raza de coordonate. De exemplu, coordonatele sub formă de fracții egale 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 corespund aceluiași punct de pe raza de coordonate, situat la o distanță de o treime din segmentul unitar, amânat de la originea in sens pozitiv.

Același principiu funcționează aici ca și în cazul numerelor întregi: pe o rază de coordonate orizontală, îndreptată spre dreapta, punctul corespunzător unei fracții mari va fi situat la dreapta punctului corespunzător fracție mai mică. Și invers: punctul, a cărui coordonată este fracția mai mică, va fi situat în stânga punctului, care corespunde coordonatei mai mari.

Fracții proprii și improprii, definiții, exemple

Împărțirea fracțiilor în proprii și improprii se bazează pe compararea numărătorului și numitorului în cadrul aceleiași fracții.

Definiția 7

Fracțiunea corespunzătoare este o fracție obișnuită în care numărătorul este mai mic decât numitorul. Adică dacă inegalitatea m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Nu Fracțiunea corespunzătoare este o fracție al cărei numărător este mai mare sau egal cu numitorul. Adică, dacă inegalitatea nedefinită este adevărată, atunci fracția ordinară m n este improprie.

Iată câteva exemple: - fracții proprii:

Exemplul 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Fracții improprii:

Exemplul 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

De asemenea, se poate da o definiție a fracțiilor proprii și improprii, pe baza comparației unei fracții cu o unitate.

Definiția 8

Fracțiunea corespunzătoare este o fracție obișnuită mai putin de unul.

Fracție improprie este o fracție comună egală sau mai mare decât unu.

De exemplu, fracția 8 12 este corectă, deoarece 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 și 14 14 = 1.

Să ne aprofundăm puțin în gândirea de ce fracțiile în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul sunt numite „improprii”.

Luați în considerare fracția improprie 8 8: ne spune că se iau 8 părți dintr-un obiect format din 8 părți. Astfel, din cele opt acțiuni disponibile, putem compune un întreg obiect, adică. fracția dată 8 8 reprezintă în esență întregul obiect: 8 8 \u003d 1. Fracțiile în care numărătorul și numitorul sunt egali înlocuiesc pe deplin numărul natural 1.

Luați în considerare și fracțiile în care numărătorul depășește numitorul: 11 5 și 36 3 . Este clar că fracția 11 5 indică faptul că putem face două obiecte întregi din ea și va mai exista o cincime din ea. Acestea. fracția 11 5 este 2 obiecte și încă 1 5 din ea. La rândul său, 36 3 este o fracție, ceea ce înseamnă în esență 12 obiecte întregi.

Aceste exemple fac posibilă concluzia că fracțiile improprii pot fi înlocuite cu numere naturale (dacă numărătorul este divizibil cu numitorul fără rest: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) sau suma unui număr natural și a unui fracție proprie (dacă numărătorul nu este divizibil cu numitorul fără rest: 11 5 = 2 + 1 5). Acesta este probabil motivul pentru care astfel de fracții sunt numite „improprii”.

Și aici întâlnim una dintre cele mai importante abilități numerice.

Definiția 9

Extragerea părții întregi dintr-o fracție improprie este o fracție improprie scrisă ca sumă a unui număr natural și a unei fracții proprii.

De asemenea, rețineți că există relatie puternicaîntre fracții improprie și numere mixte.

Fracții pozitive și negative

Mai sus am spus că fiecărei fracții obișnuite îi corespunde un număr fracționar pozitiv. Acestea. fracțiile obișnuite sunt fracții pozitive. De exemplu, fracțiile 5 17 , 6 98 , 64 79 sunt pozitive, iar când este necesar să se sublinieze „pozitivitatea” unei fracții, aceasta se scrie folosind semnul plus: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Dacă atribuim un semn minus unei fracții obișnuite, atunci înregistrarea rezultată va fi o înregistrare a unui număr fracționar negativ, iar în acest caz vorbim despre fracții negative. De exemplu, - 8 17 , - 78 14 etc.

Fracțiile pozitive și negative m n și - m n sunt numere opuse, de exemplu, fracțiile 7 8 și - 7 8 sunt opuse.

Fracții pozitive, ca oricare numere pozitiveîn general, ele înseamnă o adăugare, o schimbare a direcției de creștere. La rândul lor, fracțiilor negative corespund consumului, o schimbare în direcția scăderii.

Dacă luăm în considerare linia de coordonate, vom vedea că fracțiile negative sunt situate în stânga punctului de referință. Punctele cărora le corespund fracțiile, care sunt opuse (m n și - m n), sunt situate la aceeași distanță de originea coordonatelor O, dar de-a lungul laturi diferite de la ea.

Aici vorbim separat și despre fracțiile scrise sub forma 0 n . O astfel de fracție este egală cu zero, adică. 0 n = 0 .

Rezumând toate cele de mai sus, ajungem la cel mai important concept numere rationale.

Definiția 10

Numere rationale este o mulțime de fracții pozitive, fracții negative si fractii de forma 0 n .

Acțiuni cu fracții

Să enumerăm operațiile de bază cu fracții. În general, esența lor este aceeași cu operațiile corespunzătoare cu numere naturale

1. Comparația fracțiunilor - această acțiune am revizuit mai sus.
2. Adunarea fracțiilor - rezultatul adunării fracțiilor obișnuite este o fracție obișnuită (într-un caz particular, redusă la un număr natural).
3. Scăderea fracțiilor este o acțiune, opusă adunării, atunci când o fracție cunoscută și suma dată fracțiile este determinată de fracția necunoscută.
4. Înmulțirea fracțiilor - această acțiune poate fi descrisă ca găsirea unei fracții dintr-o fracție. Rezultatul înmulțirii a două fracții ordinare este o fracție obișnuită (într-un caz particular, egală cu un număr natural).
5. Împărțirea fracțiilor - acțiune, reciproca înmulțirii, când determinăm fracția cu care este necesar să o înmulțim pe cea dată pentru a obține lucrare celebră doua fractii.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Numătorul și cel cu care este împărțit este numitorul.

Pentru a scrie o fracție, scrieți mai întâi numărătorul acesteia, apoi trageți o linie orizontală sub acest număr și scrieți numitorul sub linie. Linia orizontală care separă numărătorul și numitorul se numește bară fracțională. Uneori este descris ca un „/” sau „∕” oblic. În acest caz, numărătorul este scris în stânga liniei, iar numitorul în dreapta. Deci, de exemplu, fracția „două treimi” va fi scrisă ca 2/3. Pentru claritate, numărătorul este de obicei scris în partea de sus a liniei, iar numitorul în partea de jos, adică în loc de 2/3, puteți găsi: ⅔.

Pentru a calcula produsul fracțiilor, mai întâi înmulțiți numărătorul lui unu fractii la alt numărător. Scrieți rezultatul la numărătorul noului fractii. Apoi înmulțiți și numitorii. Specificați valoarea finală în noua fractii. De exemplu, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Pentru a împărți o fracție la alta, mai întâi înmulțiți numărătorul primei cu numitorul celei de-a doua. Faceți același lucru cu a doua fracție (divizor). Sau, înainte de a efectua toți pașii, mai întâi „întoarceți” divizorul, dacă vă este mai convenabil: numitorul ar trebui să fie în locul numărătorului. Apoi înmulțiți numitorul dividendului cu noul numitor al divizorului și înmulțiți numărătorii. De exemplu, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Surse:

• Sarcini de bază pentru fracții

Numerele fracționale vă permit să vă exprimați formă diferită valoare exacta cantități. Cu fracțiile, puteți efectua aceleași operații matematice ca și cu numerele întregi: scădere, adunare, înmulțire și împărțire. Să înveți cum să decizi fractii, este necesar să ne amintim unele dintre caracteristicile lor. Ele depind de tip fractii, prezența unei părți întregi, un numitor comun. niste operatii aritmetice după execuție, ele necesită reducerea părții fracționale a rezultatului.

Vei avea nevoie

• - calculator

Instruire

Privește cu atenție numerele. Dacă există zecimale și neregulate printre fracții, uneori este mai convenabil să efectuați mai întâi acțiuni cu zecimale și apoi să le convertiți în forma greșită. Poti sa traduci fractiiîn această formă inițial, scriind valoarea după virgulă la numărător și punând 10 la numitor. Dacă este necesar, reduceți fracția împărțind numerele de mai sus și de dedesubt la un divizor. Fracțiile în care se evidențiază întreaga parte duc la forma greșită înmulțind-o cu numitorul și adunând numărătorul la rezultat. Valori date va deveni noul numărător fractii. Pentru a extrage întreaga parte din inițial incorectă fractii, împărțiți numărătorul la numitor. Scrieți întregul rezultat din fractii. Iar restul diviziunii devine noul numărător, numitorul fractiiîn timp ce nu se schimbă. Pentru fracțiile cu o parte întreagă, este posibil să se efectueze acțiuni separat, mai întâi pentru întregul și apoi pentru părțile fracționale. De exemplu, suma 1 2/3 și 2 ¾ poate fi calculată:
- Conversia fracțiilor la forma greșită:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Însumarea separată a părților întregi și fracționale ale termenilor:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Rescrieți-le cu un separator „:” și continuați împărțirea obișnuită.

A primi rezultat final reduceți fracția rezultată prin împărțirea numărătorului și numitorului la un număr întreg, cel mai mare posibil în acest caz. În acest caz, trebuie să existe numere întregi deasupra și sub linie.

Notă

Nu faceți aritmetică cu fracții care au numitori diferiți. Alegeți un număr astfel încât, atunci când numărătorul și numitorul fiecărei fracții sunt înmulțiți cu acesta, ca rezultat, numitorii ambelor fracții să fie egali.

Sfaturi utile

Când scrieți numere fracționale, dividendul este scris deasupra liniei. Această cantitate este denumită numărătorul unei fracții. Sub linie se scrie divizorul sau numitorul fracției. De exemplu, un kilogram și jumătate de orez sub formă de fracție se va scrie astfel: 1 ½ kg de orez. Dacă numitorul unei fracții este 10, se numește fracție zecimală. În acest caz, numărătorul (dividendul) se scrie în dreapta întregii părți, despărțit prin virgulă: 1,5 kg de orez. Pentru comoditatea calculelor, o astfel de fracție poate fi întotdeauna scrisă într-o formă greșită: 1 2/10 kg de cartofi. Pentru a simplifica, puteți reduce valorile numărătorului și numitorului împărțindu-le la un singur număr întreg. LA acest exemplu este posibilă împărțirea la 2. Rezultatul va fi 1 1/5 kg de cartofi. Asigurați-vă că numerele cu care veți face aritmetica sunt în aceeași formă.

Apropo de matematică, nu se poate să nu-ți amintești fracțiile. Studiului lor i se acordă multă atenție și timp. Amintiți-vă câte exemple a trebuit să rezolvați pentru a învăța anumite reguli de lucru cu fracțiile, cum ați memorat și aplicat proprietatea principală a unei fracții. Câți nervi s-au cheltuit pentru a găsi un numitor comun, mai ales dacă în exemple erau mai mult de doi termeni!

Să ne amintim ce este și să ne reîmprospătăm puțin memoria despre informațiile de bază și regulile de lucru cu fracții.

Definiţia fractions

Să începem cu cel mai important lucru - definițiile. O fracție este un număr format din una sau mai multe părți de unitate. Un număr fracționar este scris ca două numere separate prin orizontală sau oblică. În acest caz, cel de sus (sau primul) se numește numărător, iar cel de jos (al doilea) este numit numitor.

Este de remarcat faptul că numitorul arată în câte părți este împărțită unitatea, iar numărătorul arată numărul de acțiuni sau părți luate. Adesea, fracțiile, dacă sunt corecte, sunt mai mici de unu.

Acum să ne uităm la proprietățile acestor numere și la regulile de bază care sunt folosite atunci când lucrați cu ele. Dar înainte de a analiza un astfel de lucru ca „proprietate de bază fracție rațională Să vorbim despre tipurile de fracții și despre caracteristicile lor.

Ce sunt fracțiile

Există mai multe tipuri de astfel de numere. În primul rând, acestea sunt obișnuite și zecimale. Primele sunt tipul de înregistrare deja indicat de noi folosind o orizontală sau o oblică. Al doilea tip de fracții este indicat folosind așa-numita notație pozițională, atunci când este indicată mai întâi partea întreagă a numărului, iar apoi, după virgulă zecimală, este indicată partea fracțională.

Este demn de remarcat aici că în matematică atât fracțiile zecimale, cât și fracțiile ordinare sunt folosite în mod egal. Proprietatea principală a fracției este valabilă doar pentru a doua opțiune. În plus, în fracțiile obișnuite, corectează și numere greșite. Pentru primul, numărătorul este întotdeauna mai mic decât numitorul. De asemenea, rețineți că o astfel de fracție este mai mică decât unitatea. Într-o fracție improprie, dimpotrivă, numărătorul este mai mare decât numitorul și el însuși este mai mare decât unu. În acest caz, un număr întreg poate fi extras din acesta. În acest articol, vom lua în considerare doar fracțiile obișnuite.

Proprietățile fracțiunii

Orice fenomen, chimic, fizic sau matematic, are propriile caracteristici și proprietăți. Numerele fracționale nu fac excepție. Au o caracteristică importantă, cu ajutorul căreia este posibilă efectuarea anumitor operațiuni asupra lor. Care este proprietatea principală a unei fracții? Regula spune că dacă numărătorul și numitorul lui sunt înmulțiți sau împărțiți la același Numar rational, obținem o nouă fracție, a cărei valoare va fi egală cu valoarea originalului. Adică, înmulțind cele două părți ale numărului fracționar 3/6 cu 2, obținem o nouă fracție 6/12, în timp ce acestea vor fi egale.

Pe baza acestei proprietăți, puteți reduce fracțiile, precum și selectați numitori comuni pentru o anumită pereche de numere.

Operațiuni

Deși fracțiile ni se par mai complexe, ele pot efectua și operații matematice de bază, precum adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea. În plus, există o acțiune specifică precum reducerea fracțiilor. Desigur, fiecare dintre aceste acțiuni este efectuată în funcție de anumite reguli. Cunoașterea acestor legi facilitează lucrul cu fracții, făcându-l mai ușor și mai interesant. De aceea, vom lua în considerare în continuare regulile de bază și algoritmul acțiunilor atunci când lucrăm cu astfel de numere.

Dar înainte de a vorbi despre astfel de operații matematice precum adunarea și scăderea, vom analiza o astfel de operație ca reducerea la un numitor comun. Aici va fi utilă cunoașterea proprietăților de bază ale unei fracții.

Numitor comun

Pentru a reduce un număr la un numitor comun, mai întâi trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun al celor doi numitori. i.e cel mai mic număr, care este divizibil simultan cu ambii numitori fără rest. Cel mai simplu mod de a găsi LCM (cel mai mic multiplu comun) este să scrieți într-o linie pentru un numitor, apoi pentru al doilea și să găsiți un număr care se potrivește între ele. În cazul în care nu se găsește LCM, adică aceste numere nu au un multiplu comun, ele trebuie înmulțite, iar valoarea rezultată ar trebui considerată LCM.

Deci, am găsit NOC, acum trebuie să găsim multiplicator suplimentar. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți alternativ LCM în numitori de fracții și să notați numărul rezultat peste fiecare dintre ele. Apoi, înmulțiți numărătorul și numitorul cu factorul suplimentar rezultat și scrieți rezultatele ca o nouă fracție. Dacă vă îndoiți că numărul primit este egal cu cel anterior, amintiți-vă de proprietatea principală a fracției.

Plus

Acum să trecem direct la operații matematice pe numere fracționale. Să începem cu cel mai simplu. Există mai multe opțiuni pentru a adăuga fracții. În primul caz, ambele numere au același numitor. În acest caz, rămâne doar să adunăm numărătorii. Dar numitorul nu se schimbă. De exemplu, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Dacă fracţiile numitori diferiti, ar trebui să le reduceți la una comună și abia apoi să efectuați adăugarea. Cum să faci asta, am discutat cu tine puțin mai sus. În această situație, proprietatea principală a fracției va fi utilă. Regula vă va permite să aduceți numerele la un numitor comun. Valoarea nu se va schimba în niciun fel.

Alternativ, se poate întâmpla ca fracția să fie amestecată. Apoi ar trebui să adăugați mai întâi părțile întregi, apoi pe cele fracționale.

Multiplicare

Nu necesită trucuri, iar pentru a efectua această acțiune nu este necesar să cunoașteți proprietatea de bază a fracției. Este suficient să înmulțiți mai întâi numărătorii și numitorii împreună. În acest caz, produsul numărătorilor va deveni noul numărător, iar produsul numitorilor va deveni noul numitor. După cum puteți vedea, nimic complicat.

Singurul lucru care ți se cere este cunoașterea tabelului înmulțirii, precum și atenție. În plus, după primirea rezultatului, este imperativ să verificați dacă este posibilă reducerea număr dat sau nu. Vom vorbi despre cum să reducem fracțiile puțin mai târziu.

Scădere

Performanța ar trebui să fie ghidată de aceleași reguli ca atunci când adăugați. Deci, în cifre cu același numitor este suficient să scădem numărătorul subtraendului din numărătorul minuendului. În cazul în care fracțiile au numitori diferiți, ar trebui să le aduceți la unul comun și apoi să executați această operațiune. Ca și în cazul de adăugare analog, va trebui să utilizați proprietatea principală fracție algebrică, precum și abilități în găsirea NOC și divizori comuni pentru fracții.

Divizia

Iar ultima, cea mai interesantă operație atunci când lucrați cu astfel de numere este împărțirea. Este destul de simplu și nu provoacă dificultăți deosebite chiar și pentru cei care nu înțeleg cum să lucreze cu fracții, în special pentru a efectua operații de adunare și scădere. La împărțire, regula este să se înmulțească cu reciproc. Proprietatea principală a unei fracții, ca și în cazul înmulțirii, nu va fi folosită pentru această operație. Să aruncăm o privire mai atentă.

La împărțirea numerelor, dividendul rămâne neschimbat. Divizorul este inversat, adică numărătorul și numitorul sunt inversate. După aceea, numerele sunt înmulțite între ele.

Reducere

Deci, am examinat deja definiția și structura fracțiilor, tipurile lor, regulile de operații pe numere date și am aflat principala proprietate a unei fracții algebrice. Acum să vorbim despre o astfel de operațiune precum reducerea. Reducerea unei fracții este procesul de transformare a acesteia - împărțirea numărătorului și numitorului la același număr. Astfel, fracția este redusă fără a-și modifica proprietățile.

De obicei, când se face operatie matematica ar trebui să priviți cu atenție rezultatul final și să aflați dacă este posibil să reduceți sau nu fracția rezultată. Ține minte că în rezultat final se scrie întotdeauna un număr fracționar care nu necesită reducere.

Alte operațiuni

În sfârșit, observăm că am enumerat departe de toate operațiunile pe numere fracționale, menționându-le doar pe cele mai cunoscute și necesare. De asemenea, fracțiile pot fi comparate, convertite în zecimale și invers. Dar în acest articol nu am luat în considerare aceste operații, deoarece în matematică ele sunt efectuate mult mai rar decât cele pe care le-am dat mai sus.

constatări

Am vorbit despre numere fracționareși tranzacții cu aceștia. Am analizat și proprietatea principală, dar observăm că toate aceste aspecte au fost luate în considerare de noi în treacăt. Am dat doar cele mai cunoscute și folosite reguli, am dat cele mai importante, după părerea noastră, sfaturi.

Acest articol are scopul de a reîmprospăta informațiile pe care le-ați uitat despre fracții, mai degrabă decât de a le oferi informație nouăși te lovește la cap reguli nesfârșiteși formule de care, cel mai probabil, nu vei avea nevoie niciodată.

Sperăm că materialul prezentat în articol simplu și concis v-a devenit util.