Matematica s-a născut atunci când o persoană a devenit conștientă de sine și a început să se poziționeze ca unitate autonomă a lumii. Dorința de a măsura, compara, calcula ceea ce te înconjoară este ceea ce stă la baza unuia stiinte fundamentale zilele noastre. La început, acestea au fost particule de matematică elementară, care au făcut posibilă conectarea numerelor cu expresiile lor fizice, ulterior concluziile au început să fie prezentate doar teoretic (din cauza abstractității lor), dar după un timp, așa cum a spus un om de știință, " matematica a atins plafonul complexității când toate numerele”. Conceptul de „rădăcină pătrată” a apărut într-un moment în care putea fi susținut cu ușurință de date empirice, trecând dincolo de planul calculelor.

Cum a început totul

Prima mențiune a rădăcinii, care pe acest moment notat ca √, a fost consemnat în scrierile matematicienilor babilonieni, care au pus bazele aritmeticii moderne. Desigur, semănau puțin cu forma actuală - oamenii de știință din acei ani au folosit pentru prima dată tablete voluminoase. Dar în mileniul II î.Hr. e. au venit cu o formulă de calcul aproximativă care arăta cum să ia rădăcina pătrată. Fotografia de mai jos arată o piatră pe care oamenii de știință babilonien au sculptat procesul de ieșire √2 și s-a dovedit a fi atât de corectă încât discrepanța în răspuns a fost găsită doar în a zecea zecimală.

În plus, rădăcina era folosită dacă era necesar să se găsească latura unui triunghi, cu condiția ca celelalte două să fie cunoscute. Ei bine, atunci când rezolvați ecuații pătratice, nu există nicio scăpare de a extrage rădăcina.

Alături de lucrările babiloniene, obiectul articolului a fost studiat și în lucrarea chineză „Matematica în nouă cărți”, iar grecii antici au ajuns la concluzia că orice număr din care nu este extrasă rădăcina fără rest dă un rezultat irațional. .

Origine acest termen asociat cu reprezentarea arabă a numărului: oamenii de știință antici credeau că pătratul unui număr arbitrar crește de la rădăcină, ca o plantă. În latină, acest cuvânt sună ca radix (puteți urmări un model - tot ce are o „rădăcină” încărcătură semantică, consonant, fie că este vorba de ridiche sau sciatică).

Oamenii de știință din generațiile următoare au preluat această idee, desemnând-o drept Rx. De exemplu, în secolul al XV-lea, pentru a indica că rădăcina pătrată este luată dintr-un număr arbitrar a, au scris R 2 a. Obișnuit aspect modern„căpușa” √ a apărut abia în secolul al XVII-lea datorită lui Rene Descartes.

Zilele noastre

Matematic, rădăcina pătrată a lui y este numărul z al cărui pătrat este y. Cu alte cuvinte, z 2 =y este echivalent cu √y=z. in orice caz această definiție relevante numai pentru rădăcină aritmetică, deoarece implică o valoare nenegativă a expresiei. Cu alte cuvinte, √y=z, unde z este mai mare sau egal cu 0.

LA caz general, care acționează pentru a determina rădăcină algebrică, valoarea expresiei poate fi fie pozitivă, fie negativă. Astfel, datorită faptului că z 2 =y și (-z) 2 =y, avem: √y=±z sau √y=|z|.

Datorită faptului că dragostea pentru matematică a crescut doar odată cu dezvoltarea științei, există diverse manifestări de atașament față de aceasta, neexprimate în calcule seci. De exemplu, alături de evenimente atât de interesante precum ziua lui Pi, sunt sărbătorite și sărbătorile rădăcinii pătrate. Ele sunt sărbătorite de nouă ori într-o sută de ani și sunt determinate după următorul principiu: numerele care indică ziua și luna în ordine trebuie să fie rădăcina pătrată a anului. Deci, data viitoare această sărbătoare va fi sărbătorită pe 4 aprilie 2016.

Proprietățile rădăcinii pătrate pe câmpul R

Aproape tot expresii matematice au o bază geometrică, această soartă nu a trecut și √y, care este definită ca latura unui pătrat cu aria y.

Cum să găsești rădăcina unui număr?

Există mai mulți algoritmi de calcul. Cel mai simplu, dar în același timp destul de greoi, este calculul aritmetic obișnuit, care este după cum urmează:

1) din numărul a cărui rădăcină avem nevoie, numerele impare se scad pe rând - până când restul de la ieșire este mai mic decât cel scăzut sau par zero. Numărul de mișcări va deveni în cele din urmă numărul dorit. De exemplu, calculul rădăcină pătrată din 25:

Ca urmare a numar impar este 11, avem următorul rest: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Pentru astfel de cazuri, există o extindere a seriei Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , unde n ia valori de la 0 la

+∞ și |y|≤1.

Reprezentarea grafică a funcției z=√y

Se consideră o funcție elementară z=√y pe câmpul numerelor reale R, unde y este mai mare sau egal cu zero. Graficul ei arată astfel:

Curba crește de la origine și traversează în mod necesar punctul (1; 1).

Proprietățile funcției z=√y pe câmpul numerelor reale R

1. Domeniul de definire al funcției considerate este intervalul de la zero la plus infinit (zero este inclus).

2. Gama de valori ale funcției considerate este intervalul de la zero la plus infinit (zero este din nou inclus).

3. Funcția ia valoarea minimă (0) numai în punctul (0; 0). Nu există o valoare maximă.

4. Funcția z=√y nu este nici pară, nici impară.

5. Funcția z=√y nu este periodică.

6. Există un singur punct de intersecție a graficului funcției z=√y cu axele de coordonate: (0; 0).

7. Punctul de intersecție al graficului funcției z=√y este și zero al acestei funcții.

8. Funcția z=√y este în continuă creștere.

9. Funcția z=√y ia doar valori pozitive, prin urmare, graficul său ocupă primul unghi de coordonate.

Opțiuni pentru afișarea funcției z=√y

În matematică, pentru a facilita calculul expresiilor complexe, se folosește uneori forma de putere a scrierii rădăcinii pătrate: √y=y 1/2. Această opțiune este convenabilă, de exemplu, pentru ridicarea unei funcții la o putere: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Această metodă este, de asemenea, o reprezentare bună pentru diferențierea cu integrare, deoarece datorită ei rădăcina pătrată este reprezentată de o funcție de putere obișnuită.

Și în programare, înlocuirea simbolului √ este combinația de litere sqrt.

Este de remarcat faptul că în această zonă rădăcina pătrată este la mare căutare, deoarece face parte din majoritatea formulelor geometrice necesare calculelor. Algoritmul de numărare în sine este destul de complicat și se bazează pe recursivitate (o funcție care se numește singură).

Rădăcina pătrată din câmpul complex C

În general, subiectul acestui articol a stimulat descoperirea domeniului numerelor complexe C, deoarece matematicienii erau bântuiți de problema obținerii unei rădăcini de grad par dintr-un număr negativ. Așa a apărut unitatea imaginară i, care se caracterizează printr-o proprietate foarte interesantă: pătratul său este -1. Datorită acestui fapt, ecuațiile pătratice și cu un discriminant negativ au obținut o soluție. În C, pentru rădăcina pătrată, aceleași proprietăți sunt relevante ca și în R, singurul lucru este că restricțiile privind expresia rădăcinii sunt eliminate.

Exponentiația implică faptul că un anumit număr trebuie înmulțit cu el însuși de un anumit număr de ori. De exemplu, ridicarea numărului 2 la puterea a cincea ar arăta astfel:

Numărul care trebuie înmulțit cu el însuși se numește baza gradului, iar numărul de înmulțiri este exponentul său. Ridicarea la o putere corespunde a doua actiuni opuse: gasirea exponentului si gasirea bazei.

extragerea rădăcinilor

Găsirea bazei unui exponent se numește extracție rădăcină. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți numărul care trebuie ridicat la puterea lui n pentru a obține numărul dat.

De exemplu, este necesar să se extragă a patra rădăcină a numărului 16, adică. pentru a determina, trebuie să vă înmulțiți singur de 4 ori pentru a obține în final 16. Acest număr este 2.

O astfel de operație aritmetică se scrie folosind un semn special - radicalul: √, deasupra căruia este indicat exponentul în stânga.

rădăcină aritmetică

Dacă exponentul este un număr par, atunci rădăcina poate fi două numere cu același modul, dar c este pozitiv și negativ. Deci, în exemplul dat, pot fi numerele 2 și -2.

Expresia trebuie să fie lipsită de ambiguitate, adică au un singur rezultat. Pentru aceasta a fost introdus conceptul de rădăcină aritmetică, care nu poate fi decât un număr pozitiv. O rădăcină aritmetică nu poate fi mai mică de zero.

Astfel, în exemplul considerat mai sus, doar numărul 2 va fi rădăcina aritmetică, iar al doilea răspuns - -2 - este exclus prin definiție.

Rădăcină pătrată

Pentru unele grade care sunt folosite mai des decât altele, există nume speciale care sunt inițial asociate cu geometria. Vorbim despre ridicarea la gradul doi și trei.

La a doua putere, lungimea laturii pătratului atunci când trebuie să calculați aria acestuia. Dacă trebuie să găsiți volumul unui cub, lungimea muchiei acestuia este ridicată la a treia putere. Prin urmare, se numește pătratul numărului, iar al treilea se numește cub.

În consecință, rădăcina gradului al doilea se numește pătrat, iar rădăcina gradului al treilea se numește cubic. Rădăcina pătrată este singura dintre rădăcini care nu are un exponent deasupra radicalului atunci când este scrisă:

Deci, rădăcina pătrată aritmetică a unui număr dat este un număr pozitiv care trebuie ridicat la a doua putere pentru a obține numărul dat.

Suprafața unui teren pătrat este de 81 dm². Găsiți partea lui. Să presupunem că lungimea laturii pătratului este X decimetri. Atunci aria parcelei este X² decimetri pătrați. Întrucât, conform stării, această suprafață este de 81 dm², atunci X² = 81. Lungimea laturii unui pătrat este un număr pozitiv. Un număr pozitiv al cărui pătrat este 81 este numărul 9. La rezolvarea problemei, a fost necesar să se găsească numărul x, al cărui pătrat este 81, adică să se rezolve ecuația X² = 81. Această ecuație are două rădăcini: X 1 = 9 și X 2 \u003d - 9, deoarece 9² \u003d 81 și (- 9)² \u003d 81. Ambele numere 9 și - 9 sunt numite rădăcini pătrate ale numărului 81.

Rețineți că unul dintre rădăcini pătrate X= 9 este un număr pozitiv. Se numește rădăcina pătrată aritmetică a lui 81 și se notează √81, deci √81 = 9.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu A.

De exemplu, numerele 6 și -6 sunt rădăcinile pătrate ale lui 36. Numărul 6 este rădăcina pătrată aritmetică a lui 36, deoarece 6 este un număr nenegativ și 6² = 36. Numărul -6 nu este o rădăcină aritmetică.

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A notată după cum urmează: √ A.

Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice; A se numește expresie rădăcină. Expresia √ A citit astfel: rădăcina pătrată aritmetică a unui număr A. De exemplu, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. În cazurile în care este clar că vorbim despre o rădăcină aritmetică, ei spun pe scurt: „rădăcina pătrată a A«.

Acțiunea de a găsi rădăcina pătrată a unui număr se numește luarea rădăcinii pătrate. Această acțiune este inversul pătratului.

Orice număr poate fi pătrat, dar nu orice număr poate fi rădăcină pătrată. De exemplu, este imposibil să se extragă rădăcina pătrată a numărului - 4. Dacă o astfel de rădăcină a existat, atunci, notând-o cu litera X, am obține egalitatea greșită x² \u003d - 4, deoarece există un număr nenegativ în stânga și unul negativ în dreapta.

Expresia √ A are sens doar când a ≥ 0. Definiția rădăcinii pătrate poate fi scrisă pe scurt ca: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Egalitatea (√ A)² = A valabil pentru a ≥ 0. Astfel, pentru a vă asigura că rădăcina pătrată a unui număr nenegativ A egală b, adică că √ A =b, trebuie să verificați dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții: b ≥ 0, b² = A.

Rădăcina pătrată a unei fracții

Să calculăm. Rețineți că √25 = 5, √36 = 6 și verificați dacă egalitatea este valabilă.

pentru că și , atunci egalitatea este adevărată. Asa de, .

Teorema:În cazul în care un A≥ 0 și b> 0, adică rădăcina fracției egal cu rădăcina de la numărător împărțit la rădăcina numitorului. Se cere să se demonstreze că: și .

Din moment ce √ A≥0 și √ b> 0, atunci .

Prin proprietatea de a ridica o fractie la o putere si de a determina radacina patrata teorema este demonstrată. Să ne uităm la câteva exemple.

Calculați , conform teoremei dovedite .

Al doilea exemplu: Demonstrează asta , dacă A ≤ 0, b < 0. .

Un alt exemplu: Calculați .

.

Transformarea rădăcinii pătrate

Scoaterea multiplicatorului de sub semnul rădăcinii. Să fie dată o expresie. În cazul în care un A≥ 0 și b≥ 0, apoi prin teorema rădăcinii produsului, putem scrie:

O astfel de transformare se numește factorizarea semnului rădăcină. Luați în considerare un exemplu;

Calculați la X= 2. Substituție directă X= 2 in expresie radicală conduce la calcule complexe. Aceste calcule pot fi simplificate dacă mai întâi eliminăm factorii de sub semnul rădăcinii: . Acum înlocuind x = 2, obținem:.

Deci, atunci când se scoate factorul de sub semnul rădăcinii, expresia radicală este reprezentată ca un produs în care unul sau mai mulți factori sunt pătrate numere nenegative. Apoi se aplică teorema produsului rădăcină și se ia rădăcina fiecărui factor. Luați în considerare un exemplu: simplificați expresia A = √8 + √18 - 4√2 scotând factorii de sub semnul rădăcinii în primii doi termeni, obținem:. Subliniem că egalitatea valabil numai atunci când A≥ 0 și b≥ 0. dacă A < 0, то .

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte informații publice. ocazii importante.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Elevii întreabă mereu: „De ce nu pot folosi un calculator la un examen de matematică? Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără calculator? Să încercăm să răspundem la această întrebare.

Cum se extrage rădăcina pătrată a unui număr fără ajutorul unui calculator?

Acțiune extragerea rădăcinii pătrate opusul pătrarii.

√81= 9 9 2 =81

Dacă de la număr pozitiv luăm rădăcina pătrată și rezultatul pătratul, obținem același număr.

Din numere mici care sunt pătrate perfecte numere naturale, de exemplu 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 de rădăcini pătrate pot fi extrase verbal. De obicei, la școală se preda un tabel cu pătrate de numere naturale până la douăzeci. Cunoscând acest tabel, este ușor să extragi rădăcinile pătrate din numerele 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Din numerele mai mari de 400, poți extrage folosind metoda de selecție folosind câteva sfaturi. Să încercăm un exemplu pentru a lua în considerare această metodă.

Exemplu: Extrageți rădăcina numărului 676.

Observăm că 20 2 \u003d 400 și 30 2 \u003d 900, ceea ce înseamnă 20< √676 < 900.

Pătratele exacte ale numerelor naturale se termină cu 0; unu; patru; 5; 6; 9.
Numărul 6 este dat de 4 2 și 6 2 .
Deci, dacă rădăcina este luată de la 676, atunci este fie 24, fie 26.

Rămâne de verificat: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Răspuns: √676 = 26 .

Mai mult exemplu: √6889 .

Deoarece 80 2 \u003d 6400 și 90 2 \u003d 8100, apoi 80< √6889 < 90.
Numărul 9 este dat de 3 2 și 7 2, atunci √6889 este fie 83, fie 87.

Verificați: 83 2 = 6889.

Răspuns: √6889 = 83 .

Dacă vi se pare dificil de rezolvat prin metoda de selecție, atunci puteți factoriza expresia rădăcină.

De exemplu, găsiți √893025.

Să factorizăm numărul 893025, ține minte, ai făcut-o în clasa a șasea.

Se obține: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mai mult exemplu: √20736. Să factorizăm numărul 20736:

Se obține √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Desigur, factoring necesită cunoașterea criteriilor de divizibilitate și abilități de factoring.

Și, în sfârșit, există regula rădăcinii pătrate. Să ne uităm la această regulă cu un exemplu.

Calculați √279841.

Pentru a extrage rădăcina unui număr întreg cu mai multe cifre, îl împărțim de la dreapta la stânga în fețe care conțin câte 2 cifre fiecare (poate fi o cifră în fața extremă din stânga). Scrie asa 27'98'41

Pentru a obține prima cifră a rădăcinii (5), extragem rădăcina pătrată a celui mai mare pătrat exact conținut în prima față din stânga (27).
Apoi pătratul primei cifre a rădăcinii (25) este scăzut din prima față și următoarea față (98) este atribuită (demolată) diferenței.
În stânga numărului primit 298, ei scriu cifra dublă a rădăcinii (10), împart la ea numărul tuturor zecilor din numărul obținut anterior (29/2 ≈ 2), experimentează câtul (102 ∙ 2 = 204 nu trebuie să fie mai mare de 298) și scrieți (2) după prima cifră a rădăcinii.
Apoi, coeficientul rezultat 204 este scăzut din 298, iar următoarea fațetă (41) este atribuită (demolată) diferenței (94).
În stânga numărului rezultat 9441, se scrie produsul dublu al cifrelor rădăcinii (52 ∙ 2 = 104), se împarte la acest produs numărul tuturor zecilor numărului 9441 (944/104 ≈ 9), experiență câtul (1049 ∙ 9 = 9441) ar trebui să fie 9441 și scrieți-l (9) după a doua cifră a rădăcinii.

Am primit răspunsul √279841 = 529.

În mod similar, extrageți rădăcinile zecimalelor. Doar numărul radical trebuie împărțit în fețe, astfel încât virgula să fie între fețe.

Exemplu. Găsiți valoarea √0,00956484.

Trebuie doar să-ți amintești că dacă zecimal are un număr impar de zecimale, nu ia exact rădăcina pătrată.

Deci, acum ați văzut trei moduri de a extrage rădăcina. Alege-l pe cel care ti se potriveste cel mai bine si exerseaza-te. Pentru a învăța cum să rezolvi problemele, trebuie să le rezolvi. Și dacă aveți întrebări, înscrieți-vă la lecțiile mele.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.