Obținut prin unirea tuturor razelor care emană dintr-un punct ( culmi con) și trecând printr-o suprafață plană. Uneori, un con se numește o parte a unui astfel de corp, obținut prin unirea tuturor segmentelor care leagă vârful și punctele unei suprafețe plane (aceasta din urmă în acest caz se numește bază conuri, iar conul se numește bazat pe teren dat). Acest caz va fi analizat mai jos, dacă nu se specifică altfel. Dacă baza unui con este un poligon, conul devine o piramidă.

"== Definiții înrudite ==

• Se numește segmentul de linie care leagă vârful și limita bazei generatoarea conului.
• Unirea generatoarelor unui con se numește generator(sau latură) suprafata conului. Generatoarea unui con este o suprafață conică.
• Un segment coborât perpendicular de la vârf pe planul bazei (și, de asemenea, lungimea unui astfel de segment) se numește înălțimea conului.
• Dacă baza conului are un centru de simetrie (de exemplu, este un cerc sau o elipsă) și proiecție ortogonală vârful conului în planul bazei coincide cu acest centru, apoi se numește conul direct. Linia care leagă vârful și centrul bazei se numește axa conului.
• oblic (înclinat) con - un con în care proiecția ortogonală a vârfului la bază nu coincide cu centrul său de simetrie.
• con circular Un con a cărui bază este un cerc.
• Drept con circular (denumită adesea pur și simplu con) poate fi obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei linii care conține piciorul (această linie reprezintă axa conului).
• Un con bazat pe o elipsă, o parabolă sau o hiperbolă se numește, respectiv eliptic, parabolicși con hiperbolic(ultimele două au volum infinit).
• Partea unui con care se află între bază și un plan paralel cu bază și între vârf și bază se numește trunchi de con.

Proprietăți

• Dacă aria bazei este finită, atunci volumul conului este, de asemenea, finit și este egal cu o treime din produsul înălțimii și aria bazei. Astfel, toate conurile care se sprijină pe o bază dată și care au un vârf situat pe un plan dat paralel cu baza au volum egal deoarece înălțimile lor sunt egale.
• Centrul de greutate al oricărui con cu volum finit se află la un sfert din înălțimea de la bază.
• Unghiul solid la vârful unui con circular drept este egal cu

Unde - unghi de deschidere conuri (adică unghi dubluîntre axa conului şi orice linie dreaptă de pe suprafaţa sa laterală).

• Suprafața laterală a unui astfel de con este egală cu

unde este raza bazei, este lungimea generatricei.

• Volumul unui con circular este

• Intersecția unui plan cu un con circular drept este una dintre secțiunile conice (în cazurile nedegenerate, o elipsă, parabolă sau hiperbolă, în funcție de poziția planului secant).

Generalizări

În geometria algebrică con este o submulțime arbitrară a spațiului vectorial peste câmpul pentru care, pentru oricare

Vezi si

• Con (topologie)

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „Con (figura geometrică)” în alte dicționare:

Con: La Matematică Con figură geometrică. Un con peste un spațiu topologic. Con (Teoria categoriilor). În tehnologie, conul este o metodă de unealtă pentru împerecherea unei scule și a unui ax în mașinile-unelte. Nod dispozitiv conic ... ... Wikipedia

Geometria este o ramură a matematicii strâns legată de conceptul de spațiu; în funcţie de formele de descriere a acestui concept, există tipuri diferite geometrie. Se presupune că cititorul, începând să citească acest articol, are ceva ...... Enciclopedia Collier

Vizualizarea imaginii informațiilor pe ecranul de afișare (monitor). Spre deosebire de reproducerea unei imagini pe hârtie sau alte suporturi, o imagine creată pe un ecran poate fi ștearsă și/sau corectată, micșorată sau întinsă aproape imediat,… … Dicţionar enciclopedic

Istoria științei... Wikipedia

Istoria științei După materie Matematică Stiintele Naturii... Wikipedia

- (Geodaisia ​​greacă, de la ge Earth și daio I divide, I divide), știința determinării poziției obiectelor pe suprafața pământului, despre dimensiunea, forma și câmpul gravitațional al Pământului și al altor planete. Aceasta este o industrie matematici aplicate, strâns legat de geometrie, ...... Enciclopedia Collier

Definitii:
Definiție 1. Con
Definiție 2. Con circular
Definiție 3. Înălțimea conului
Definiție 4. Con drept
Definiție 5. Con circular drept
Teorema 1. Generatoarele unui con
Teorema 1.1. Secțiunea axială a conului

Volumul și suprafața:
Teorema 2. Volumul unui con
Teorema 3. Aria suprafeței laterale a conului

Frustum:
Teorema 4. Secțiune paralelă cu baza
Definiție 6. Trunchi de con
Teorema 5. Volumul unui trunchi de con
Teorema 6. Aria suprafeței laterale a unui trunchi de con

Definiție
Corp limitat lateral suprafata conica, luată între vârful său și planul ghidajului, iar baza plată a ghidajului, formată dintr-o curbă închisă, se numește con.

Noțiuni de bază
Un con circular este un corp care constă dintr-un cerc (bază), un punct care nu se află în planul bazei (sus) și toate segmentele care leagă vârful cu punctele bazei.

Un con drept este un con a cărui înălțime conține ca bază centrul bazei conului.

Luați în considerare orice linie (curbă, întreruptă sau mixtă) (de exemplu, l) culcat într-un avion, și punct arbitrar(de exemplu, M) nu se află în acest plan. Toate liniile posibile care leagă punctul M cu toate punctele dreptei date l, formă suprafata numita canonica. Punctul M este vârful unei astfel de suprafețe și linie dată l - ghid. Toate liniile care leagă punctul M cu toate punctele dreptei l, numit generatoare. O suprafață canonică nu este limitată de vârful sau ghidajul său. Se extinde la infinit de ambele părți ale vârfului. Acum lăsați ghidul să fie o linie convexă închisă. Dacă ghidajul este o linie întreruptă, atunci corpul delimitat lateral de o suprafață canonică luată între vârful său și planul ghidajului și o bază plată în planul ghidajului se numește piramidă.
Dacă ghidajul este o curbă sau o linie mixtă, atunci corpul delimitat lateral de o suprafață canonică luată între vârful său și planul ghidajului și o bază plată în planul ghidajului se numește con sau
Definiția 1 . Un con este un corp format dintr-o bază - figură plată, delimitat de o linie închisă (curbă sau mixtă), un vârf - un punct care nu se află în planul bazei și toate segmentele care leagă vârful cu toate punctele posibile ale bazei.
Toate liniile care trec prin vârful conului și oricare dintre punctele curbei care delimitează figura bazei conului sunt numite generatoare de con. Cel mai adesea în probleme geometrice o generatrică a unei linii drepte înseamnă un segment al acestei linii drepte cuprins între vârful și planul bazei conului.
Baza unei linii mixte limitate este foarte caz rar. Este listat aici doar pentru că poate fi considerat în geometrie. Cazul cu ghidaj curbat este mai des luat în considerare. Deși, că cazul cu o curbă arbitrară, că cazul cu un ghid mixt, este de puțin folos și este dificil să derivăm orice regularități în ele. Din numărul de conuri în cursul geometriei elementare, se studiază un con circular drept.

Se știe că cercul este caz special linie curbă închisă. Un cerc este o figură plată delimitată de un cerc. Luând un cerc ca ghid, puteți defini un con circular.
Definiția 2 . Un con circular este un corp care constă dintr-un cerc (bază), un punct care nu se află în planul bazei (sus) și toate segmentele care leagă vârful cu punctele bazei.
Definiția 3 . Înălțimea conului este perpendiculara coborâtă din vârf spre planul bazei conului. Este posibil să evidențiați un con, a cărui înălțime se încadrează în centrul figurii plate a bazei.
Definiția 4 . Un con drept este un con a cărui înălțime conține ca bază centrul bazei conului.
Dacă conectăm aceste două definiții, obținem un con, a cărui bază este un cerc, iar înălțimea cade în centrul acestui cerc.
Definiția 5 . Un con circular drept se numește con, a cărui bază este un cerc, iar înălțimea sa leagă vârful și centrul bazei acestui con. Un astfel de con se obține prin rotire triunghi dreptunghicîn jurul unuia dintre picioare. Prin urmare, un con circular drept este un corp de revoluție și este numit și con de revoluție. Dacă nu se specifică altfel, pentru concizie în cele ce urmează spunem pur și simplu un con.
Deci, iată câteva proprietăți ale conului:
Teorema 1. Toți generatorii conului sunt egali. Dovada. Înălțimea MO este perpendiculară pe toate liniile bazei prin definiție, perpendiculară pe dreapta pe plan. Prin urmare, triunghiurile MOA, MOV și MOS sunt dreptunghiulare și sunt egale în două catete (MO - general, OA \u003d OB \u003d OS - razele de bază. Prin urmare, ipotenuzele, adică generatoarele, sunt de asemenea egale.
Raza bazei unui con este uneori numită raza conului. Înălțimea unui con se mai numește axa conului, deci orice secțiune care trece printr-o înălțime se numește sectiune axiala. Orice secțiune axială intersectează baza în diametru (deoarece linia dreaptă de-a lungul căreia se intersectează secțiunea axială și planul bazei trece prin centrul cercului) și formează triunghi isoscel.
Teorema 1.1. Secțiunea axială a conului este un triunghi isoscel. Deci triunghiul AMB este isoscel, deoarece. cele două părți ale sale MB și MA sunt generatoare. Unghiul AMB este unghiul de la vârful secțiunii axiale.

Con (din grecescul "konos")- Con de brad. Conul este familiar oamenilor cu cele mai vechi timpuri. În 1906, a fost descoperită cartea „Despre metodă”, scrisă de Arhimede (287-212 î.Hr.), în această carte se dă o soluție problemei volumului părții comune a cilindrilor care se intersectează. Arhimede spune că această descoperire aparține vechiului filozof grec Democrit (470-380 î.Hr.), care, folosind acest principiu, a obținut formule de calcul al volumului unei piramide și al unui con.

Con (con circular) - un corp care constă dintr-un cerc - baza conului, puncte, nu aparținând avionului acest cerc, vârful conului și toate segmentele care leagă vârful conului și punctele circumferinței bazei. Segmentele care leagă vârful conului cu punctele cercului bazei se numesc generatoare ale conului. Suprafața conului este formată dintr-o bază și o suprafață laterală.

Un con se numește drept dacă linia care leagă vârful conului de centrul bazei este perpendiculară pe planul bazei. Un con circular drept poate fi considerat ca un corp obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul piciorului său ca axă.

Înălțimea unui con este perpendiculara trasă de la vârful său la planul bazei sale. La con drept baza înălțimii coincide cu centrul bazei. Axa unui con drept este o linie dreaptă care conține înălțimea acestuia.

Secțiunea unui con de către un plan care trece prin generatria conului și perpendiculară pe secțiunea axială trasată prin această generatrică se numește plan tangent al conului.

Un plan perpendicular pe axa conului intersectează conul într-un cerc și suprafata laterala- de-a lungul unui cerc centrat pe axa conului.

Un plan perpendicular pe axa conului decupează un con mai mic din acesta. Restul se numește trunchi de con.

Volumul unui con este egal cu o treime din produsul înălțimii și ariei bazei. Astfel, toate conurile care se sprijină pe o bază dată și care au un vârf situat pe un plan dat paralel cu baza au același volum, deoarece înălțimile lor sunt egale.

Suprafața laterală a unui con poate fi găsită folosind formula:

Latura S \u003d πRl,

Suprafața totală a conului se găsește prin formula:

S con \u003d πRl + πR 2,

unde R este raza bazei, l este lungimea generatricei.

Volumul unui con circular este

V = 1/3 πR 2 H,

unde R este raza bazei, H este înălțimea conului

Aria suprafeței laterale a unui trunchi de con poate fi găsită prin formula:

Latura S = π(R + r)l,

Suprafața totală a unui trunchi de con poate fi găsită folosind formula:

S con \u003d πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

unde R este raza bazei inferioare, r este raza bazei superioare, l este lungimea generatricei.

Volumul unui trunchi de con poate fi găsit după cum urmează:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

unde R este raza bazei inferioare, r este raza bazei superioare, H este înălțimea conului.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Este posibil să vi se ceară să furnizați informatii personaleîn orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte informații publice. ocazii importante.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Se obține un trunchi de con dacă un con mai mic este tăiat din con printr-un plan paralel cu baza (Fig. 8.10). Un trunchi de con are două baze: "inferioară" - baza conului original - și "superioară" - baza conului tăiat. Conform teoremei privind secțiunea conului, bazele trunchiului de con sunt similare .

Înălțimea unui trunchi de con este perpendiculara căzută dintr-un punct al unei baze pe planul alteia. Toate aceste perpendiculare sunt egale (vezi Sec. 3.5). Înălțimea se mai numește și lungimea lor, adică distanța dintre planurile bazelor.

Trunchiul de con de revoluție se obține din conul de revoluție (Fig. 8.11). Prin urmare, bazele sale și toate secțiunile sale paralele cu ele sunt cercuri cu centre pe o linie dreaptă - pe axă. Prin rotire se obține un trunchi de con de revoluție trapez dreptunghiularîn jurul ei perpendicular pe baze, sau rotație

trapez isoscel în jurul axei de simetrie (Fig. 8.12).

Suprafața laterală a unui trunchi de con de revoluție

Aceasta este partea din suprafața laterală a conului de revoluție care îi aparține, din care se obține. Suprafața unui trunchi de con de revoluție (sau a acestuia suprafata intreaga) constă din bazele sale și suprafața sa laterală.

8.5. Imagini cu conuri de revoluție și conuri trunchiate de revoluție.

Un con circular drept este desenat astfel. Mai întâi, este desenată o elipsă reprezentând circumferința bazei (Fig. 8.13). Apoi găsesc centrul bazei - punctul O și desenează vertical un segment RO, care ilustrează înălțimea conului. Din punctul P se trasează drepte tangente (de referință) la elipsă (practic acest lucru se face cu ochiul, aplicând o riglă) și se selectează segmentele RA și PB ale acestor drepte din punctul P până la punctele de contact A și B. Vă rugăm să rețineți că segmentul AB nu este diametrul conului de bază, iar triunghiul ARV nu este o secțiune axială a conului. Secțiunea axială a conului este triunghiul APC: segmentul AC trece prin punctul O. Se trasează linii invizibile cu linii; segmentul OP nu este adesea desenat, ci doar conturat mental pentru a reprezenta vârful conului P direct deasupra centrului bazei - punctul O.

Reprezentând un trunchi de con de revoluție, este convenabil să desenați mai întâi conul din care se obține trunchiul de con (Fig. 8.14).

8.6. Secțiuni conice. Am spus deja că planul intersectează suprafața laterală a unui cilindru de revoluție de-a lungul unei elipse (Sec. 6.4). De asemenea, secțiunea suprafeței laterale a conului de revoluție printr-un plan care nu intersectează baza acestuia este o elipsă (Fig. 8.15). Prin urmare, elipsa se numește secțiune conică.

Secțiunile conice includ și alte curbe binecunoscute - hiperbole și parabole. Se consideră un con nemărginit obținut prin extinderea suprafeței laterale a conului de revoluție (Fig. 8.16). Să-l intersectăm cu un plan a care nu trece prin vârf. Dacă a intersectează toți generatorii conului, atunci în secțiune, așa cum sa menționat deja, obținem o elipsă (Fig. 8.15).

Prin rotirea planului OS, este posibil să vă asigurați că acesta intersectează toți generatorii conului K, cu excepția unuia (cu care OS este paralel). Apoi în secțiune obținem o parabolă (Fig. 8.17). În cele din urmă, rotind în continuare planul OS, îl transferăm într-o astfel de poziție încât a, care traversează o parte a generatoarelor conului K, să nu se intersecteze set infinit celelalte generatoare ale sale și este paralelă cu două dintre ele (Fig. 8.18). Apoi în secțiunea conului K cu planul a obținem o curbă numită hiperbolă (mai precis, una dintre „ramurile”) ale acesteia. Deci, o hiperbolă, care este un grafic al unei funcții, este un caz special al unei hiperbole - o hiperbolă isoscelă, la fel cum un cerc este un caz special al unei elipse.

Orice hiperbolă poate fi obținută din isoscel folosind proiecția, similar modului în care se obține o elipsă proiectare paralelă cercuri.

Pentru a obține ambele ramuri ale hiperbolei, trebuie luată o secțiune a unui con care are două „cavități”, adică un con format nu din raze, ci din linii drepte care conțin generatrice ale suprafeței laterale a conului de revoluție (Fig. 8.19).

Secțiunile conice au fost studiate de geometrii greci antici, iar teoria lor a fost unul dintre vârfurile geometriei antice. Cel mai studiu complet secțiunile conice în antichitate a fost realizată de Apollonius din Perga (sec. III î.Hr.).

Există un număr proprietăți importante, combinând elipse, hiperbole și parabole într-o singură clasă. De exemplu, ele epuizează „nedegenerate”, adică nereductibile la un punct, o linie dreaptă sau o pereche de linii drepte, curbe care sunt definite pe un plan în coordonate carteziene ecuații de formă

Se joacă secțiuni conice rol importantîn natură: corpurile se deplasează de-a lungul orbitelor eliptice, parabolice și hiperbolice într-un câmp gravitațional (amintiți-vă de legile lui Kepler). Proprietățile remarcabile ale secțiunilor conice sunt adesea folosite în știință și tehnologie, de exemplu, la fabricarea unora dispozitive optice sau spoturi (suprafața unei oglinzi dintr-un reflector se obține prin rotirea arcului unei parabole în jurul axei parabolei). Secțiunile conice pot fi observate ca limite ale umbrei de la abajururile rotunde (Fig. 8.20).