Notați cu a unghiul dintre vector și axa de proiecție și mutați vectorul

astfel încât originea sa coincide cu un punct de pe axă. Dacă direcțiile componentei vectorului și ale axei sunt aceleași, atunci unghiul a va fi ascuțit și, după cum se poate observa din fig. 24, a,

unde a este modulul vectorului a. Dacă direcțiile vectorului și ale axei sunt opuse, atunci, ținând cont de semnul proiecției, vom avea - (vezi Fig. 24, b)

adică expresia anterioară (rețineți că în acest caz unghiul a este obtuz şi

Astfel, proiecția unui vector pe o axă este egală cu produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului dintre vector și axă:

Pe lângă aceasta exclusiv importanţă formule, pentru proiecția unui vector pe o axă, încă una foarte o formulă simplă. Să setăm punctul de referință pe axă și să alegem o scară care este comună cu scara vectorilor. După cum știți, coordonata unui punct este un număr care exprimă, pe scara selectată, distanța de la originea axei până la proiecția punctului dat pe axă, iar acest număr este luat cu semnul plus dacă proiecția punctului este îndepărtată de la origine în direcția axei, iar cu un semn minus în caz contrar. Deci, de exemplu, coordonata punctului A (Fig. 23, b) va fi un număr cu semn care exprimă lungimea segmentului, iar coordonata punctului B va fi luată cu un semn - un număr care determină lungimea segmentului. segment (nu ne oprim asupra acestui lucru

mai detaliat, presupunând că cititorul este familiarizat cu conceptul de coordonate punctuale din cursul de matematică elementară).

Se notează prin coordonatele începutului și prin coordonatele sfârșitului vectorului pe axa x. Apoi, după cum se poate observa din fig. 23, a, vom avea

Proiecția vectorului pe axa x va fi egală cu

sau, având în vedere egalitățile anterioare,

Este ușor de observat că această formulă are caracter generalși nu depinde de locația vectorului față de axă și de origine. Într-adevăr, luăm în considerare cazul prezentat în Fig. 23, b. Din definirea coordonatelor punctelor și proiecția vectorului se obține succesiv

(Cititorul poate verifica cu ușurință validitatea formulei și și pentru o locație diferită a vectorului în raport cu axa și originea).

Din (6.11) rezultă că proiecția vectorului pe axă este egală cu diferența dintre coordonatele sfârșitului și începutului vectorului.

Calculul proiecției unui vector pe o axă este foarte comun în majoritatea diverse probleme. Prin urmare, este necesar să se dezvolte abilități solide în calcularea proiecțiilor. Puteți specifica câteva trucuri care facilitează procesul de calcul al proiecțiilor.

1. Semnul proiecției vectorului pe axă, de regulă, poate fi determinat direct din desen, iar modulul de proiecție poate fi calculat prin formula

Unde - colt ascutitîntre vector și axa proiecțiilor - dacă și dacă Această tehnică, fără a introduce ceva fundamental nou, este oarecum

facilitează calculul proiecției, deoarece nu necesită transformări trigonometrice.

2. Dacă doriți să determinați proiecția vectorului pe două axe x și y reciproc perpendiculare (se presupune că vectorul se află în planul acestor axe) și este un unghi ascuțit între vector și axa x, atunci

(semnul de proiecție se determină din desen).

Exemplu. Găsiți proiecțiile pe axele de coordonate x și y ale forței prezentate în fig. 25. Din desen se poate observa că ambele proiecții vor fi negative. Prin urmare,

3. Uneori se aplică regula dublei proiectări, care constă în următoarele. Să se dea un vector și o axă situate într-un plan.Să lăsăm perpendicularele de la capătul vectorului spre plan și dreapta și apoi conectăm bazele perpendicularelor cu un segment de dreaptă (Fig. 26). Să notăm unghiul dintre vector și plan prin unghiul dintre și prin și unghiul dintre vector și axa de proiecție prin a. Deoarece unghiul este drept (prin construcție), atunci

Introducere…………………………………………………………………………………………… 3

1. Valoarea unui vector și a unui scalar……………………………………………………….4

2. Definirea proiecției, axei și coordonatei unui punct…………..5

3. Proiecție vectorială pe axă……………………………………………………………6

4. Formula de bază a algebrei vectoriale………………………………………..8

5. Calculul modulului vectorului din proiecțiile acestuia………...9

Concluzie………………………………………………………………………………….11

Literatură……………………………………………………………………….12

Introducere:

Fizica este indisolubil legată de matematică. Matematica dă fizicii mijloacele și tehnicile generale și expresie exactă dependențe între mărimi fizice, care sunt descoperite în urma unui experiment sau a unei cercetări teoretice.La urma urmei, principala metodă de cercetare în fizică este experimentală. Aceasta înseamnă că omul de știință dezvăluie calculele cu ajutorul măsurătorilor. Indică relația dintre diferitele mărimi fizice. Apoi, totul este tradus în limbajul matematicii. Format model matematic. Fizica este o știință care studiază cel mai simplu și, în același timp, cel mai mult tipare generale. Sarcina fizicii este de a crea în mintea noastră o astfel de imagine lume fizică, care reflectă cel mai pe deplin proprietățile sale și oferă astfel de relații între elementele modelului care există între elemente.

Deci, fizica creează un model al lumii din jurul nostru și îi studiază proprietățile. Dar orice model este limitat. Atunci când se creează modele ale unui anumit fenomen, sunt luate în considerare numai proprietățile și conexiunile care sunt esențiale pentru o gamă dată de fenomene. Aceasta este arta unui om de știință - din toată varietatea pentru a alege principalul lucru.

Modelele fizice sunt matematice, dar matematica nu este baza lor. Rapoarte cantitativeîntre mărimile fizice se află în urma măsurătorilor, observaţiilor şi studii experimentaleși sunt exprimate doar în limbajul matematicii. Cu toate acestea, un alt limbaj de construit teorii fizice nu exista.

1. Valoarea unui vector și a unui scalar.

În fizică și matematică, un vector este o mărime care se caracterizează prin ea valoare numerică si directie. În fizică, există multe mărimi importante care sunt vectori, cum ar fi forța, poziția, viteza, accelerația, cuplul, impulsul, câmpurile electrice și magnetice. Ele pot fi contrastate cu alte cantități, cum ar fi masa, volumul, presiunea, temperatura și densitatea, care pot fi descrise număr comun, și se numesc scalari" .

Ele sunt scrise fie cu litere ale unui font obișnuit, fie cu cifre (a, b, t, G, 5, -7 ....). Scalari poate fi pozitivă și negativă. În același timp, unele obiecte de studiu pot avea astfel de proprietăți, pt descriere completa despre care cunoașterea doar a unei măsuri numerice se dovedește a fi insuficientă, este necesară și caracterizarea acestor proprietăți printr-o direcție în spațiu. Astfel de proprietăți sunt caracterizate de mărimi vectoriale (vectori). Vectorii, spre deosebire de scalari, sunt notați cu litere aldine: a, b, g, F, C ....
Adesea, un vector este notat printr-o literă obișnuită (neîngroșată), dar cu o săgeată deasupra sa:

În plus, un vector este adesea notat cu o pereche de litere (de obicei cu majuscule), prima literă indicând începutul vectorului, iar a doua literă indicând sfârșitul acestuia.

Modulul vectorului, adică lungimea segmentului rectiliniu direcționat, este notat cu aceleași litere ca și vectorul însuși, dar în scrierea obișnuită (nebold) și fără săgeată deasupra lor, sau în același mod ca vector (adică cu aldine sau obișnuit, dar cu o săgeată), dar apoi desemnarea vectorului este închisă în liniuțe verticale.
Un vector este un obiect complex care este caracterizat atât de mărime, cât și de direcție în același timp.

De asemenea, nu există pozitive vectori negativi. Dar vectorii pot fi egali între ei. Acesta este atunci când, de exemplu, a și b au aceleași module și sunt direcționate în aceeași direcție. În acest caz, înregistrarea A= b. De asemenea, trebuie avut în vedere că simbolul vectorial poate fi precedat de un semn minus, de exemplu, -c, cu toate acestea, acest semn indică simbolic că vectorul -c are același modul ca vectorul c, dar este direcționat în direcție opusă.

Vectorul -c se numește opusul (sau inversul) vectorului c.
În fizică, totuși, fiecare vector este umplut cu conținut specific, iar atunci când se compară vectori de același tip (de exemplu, forțe), punctele de aplicare a acestora pot avea, de asemenea, o importanță semnificativă.

2.Determinarea proiecției, axei și coordonatei punctului.

Axă este o linie dreaptă căreia i se dă o direcție.
Axa este indicată prin orice literă: X, Y, Z, s, t ... De obicei, pe axă se alege (arbitrar) un punct, care se numește origine și, de regulă, este indicat prin litera O Distanțele către alte puncte de interes pentru noi sunt măsurate din acest punct.

proiecția punctului pe axă se numește baza perpendicularei căzute din acest punct către axa dată. Adică proiecția unui punct pe axă este un punct.

coordonata punctului pe această axă se numește număr, valoare absolută care este egală cu lungimea segmentului axei (în scara selectată) cuprins între originea axei și proiecția punctului pe această axă. Acest număr se ia cu semnul plus dacă proiecția punctului este situată în direcția axei de la începutul ei și cu semnul minus dacă este în sens opus.

3.Proiecția unui vector pe o axă.

Proiecția unui vector pe o axă este un vector care se obține prin înmulțirea proiecției scalare a unui vector pe această axă și a vectorului unitar al acestei axe. De exemplu, dacă a x este proiecția scalară a vectorului a pe axa X, atunci a x i este proiecția sa vectorială pe această axă.

Să notăm proiecția vectorială în același mod ca și vectorul însuși, dar cu indicele axei pe care este proiectat vectorul. Deci, proiecția vectorială a vectorului a pe axa X este notă cu x (litera îngroșată care indică vectorul și indicele numelui axei) sau

(litera fără caractere aldine care indică un vector, dar cu o săgeată în partea de sus (!) și un indice al numelui axei).

Proiecție scalară se numește vector pe axă număr, a cărui valoare absolută este egală cu lungimea segmentului axei (în scara selectată) cuprins între proiecțiile punctului de început și punctul final al vectorului. De obicei, în locul expresiei proiecție scalară spune pur și simplu - proiecție. Proiecția se notează cu aceeași literă ca și vectorul proiectat (în scriere normală, fără caractere aldine), cu un indice (de obicei) al numelui axei pe care este proiectat acest vector. De exemplu, dacă un vector este proiectat pe axa x A, atunci proiecția sa se notează cu x . Când proiectați același vector pe o altă axă, dacă axa este Y , proiecția sa va fi notă cu y .

Pentru a calcula proiecția vector pe o axă (de exemplu, axa X) este necesar să se scadă coordonatele punctului de început din coordonatele punctului său final, adică

și x \u003d x k - x n.

Proiecția unui vector pe o axă este un număr.În plus, proiecția poate fi pozitivă dacă valoarea x la mai multă valoare x n,

negativ dacă valoarea lui x k este mai mică decât valoarea lui x n

și zero, dacă x k este egal cu x n.

Proiecția unui vector pe o axă poate fi găsită și cunoscând modulul vectorului și unghiul pe care îl formează cu axa respectivă.

Din figură se poate observa că a x = a Cos α

Adică, proiecția vectorului pe axă este egală cu produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului dintre direcția axei și direcția vectorială. Dacă unghiul este ascuțit, atunci
Cos α > 0 și a x > 0, iar dacă este obtuz, atunci cosinusul unghi obtuz este negativă, iar proiecția vectorului pe axă va fi, de asemenea, negativă.

Unghiurile numărate de pe axă în sens invers acelor de ceasornic sunt considerate pozitive, iar în direcția - negative. Totuși, deoarece cosinusul este o funcție pară, adică Cos α = Cos (− α), atunci când se calculează proiecțiile, unghiurile pot fi numărate atât în ​​sensul acelor de ceasornic, cât și în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru a găsi proiecția unui vector pe o axă, modulul acestui vector trebuie înmulțit cu cosinusul unghiului dintre direcția axei și direcția vectorului.

4. Formula de bază a algebrei vectoriale.

Să proiectăm un vector a pe axele X și Y sistem dreptunghiular coordonate. Găsiți proiecțiile vectoriale ale vectorului a pe aceste axe:

și x = a x i și y = a y j.

Dar conform regulii de adunare vectorială

a \u003d a x + a y.

a = a x i + a y j.

Astfel, am exprimat un vector în termenii proiecțiilor sale și ortele unui sistem de coordonate dreptunghiulare (sau în termenii proiecțiilor sale vectoriale).

Proiecțiile vectoriale a x și a y se numesc componente sau componente ale vectorului a. Operația pe care am efectuat-o se numește descompunerea vectorului de-a lungul axelor unui sistem de coordonate dreptunghiulare.

Dacă vectorul este dat în spațiu, atunci

a = a x i + a y j + a z k.

Această formulă se numește formula de baza algebră vectorială. Desigur, se poate scrie și așa.

Proiecția algebrică vector pe orice axă este egal cu produsul dintre lungimea vectorului și cosinusul unghiului dintre axă și vector:

Dreapta a b = |b|cos(a,b) sau

unde un b - produs scalar al vectorilor, |a| - modulul vectorului a .

Instruire. Pentru a găsi proiecția vectorului Пp a b in modul online trebuie să specificați coordonatele vectorilor a și b . În acest caz, vectorul poate fi dat în plan (două coordonate) și în spațiu (trei coordonate). Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word. Dacă vectorii sunt dați prin coordonatele punctelor, atunci este necesar să se folosească acest calculator.

Dat :
două coordonate vectoriale
trei vector de coordonate
A: ; ;
b: ; ;

Clasificarea proiecției vectoriale

Tipuri de proiectii prin definitie proiectie vectoriala

Tipuri de proiecții după sistemul de coordonate

Proprietăți de proiecție vectorială

1. Proiecția geometrică a unui vector este un vector (are o direcție).
2. Proiecția algebrică a unui vector este un număr.

Teoreme de proiecție vectorială

Teorema 1. Proiecția sumei vectorilor pe orice axă este egală cu proiecția termenilor vectorilor pe aceeași axă.

Teorema 2. Proiecția algebrică a unui vector pe orice axă este egală cu produsul dintre lungimea vectorului și cosinusul unghiului dintre axă și vector:

Dreapta a b = |b|cos(a,b)

Tipuri de proiectii vectoriale

1. proiecție pe axa OX.
2. proiecție pe axa OY.
3. proiecție pe un vector.

Proiecție pe axa OX	Proiecție pe axa OY	Proiecție la vector
Dacă direcția vectorului A'B' coincide cu direcția axei OX, atunci proiecția vectorului A'B' are semn pozitiv.	Dacă direcția vectorului A'B' coincide cu direcția axei OY, atunci proiecția vectorului A'B' are semn pozitiv.	Dacă direcția vectorului A'B' coincide cu direcția vectorului NM, atunci proiecția vectorului A'B' are semn pozitiv.
Dacă direcția vectorului este opusă direcției axei OX, atunci proiecția vectorului A’B’ are semn negativ.	Dacă direcția vectorului A'B' este opusă direcției axei OY, atunci proiecția vectorului A'B' are semn negativ.	Dacă direcția vectorului A'B' este opusă direcției vectorului NM, atunci proiecția vectorului A'B' are semn negativ.
Dacă vectorul AB este paralel cu axa OX, atunci proiecția vectorului A'B' este egală cu modulul vectorului AB.	Dacă vectorul AB este paralel cu axa OY, atunci proiecția vectorului A'B' este egală cu modulul vectorului AB.	Dacă vectorul AB este paralel cu vectorul NM, atunci proiecția vectorului A'B' este egală cu modulul vectorului AB.
Dacă vectorul AB este perpendicular pe axa OX, atunci proiecția lui A'B' este egală cu zero (vector zero).	Dacă vectorul AB este perpendicular pe axa OY, atunci proiecția lui A'B' este egală cu zero (un vector nul).	Dacă vectorul AB este perpendicular pe vectorul NM, atunci proiecția lui A'B' este egală cu zero (un vector nul).

1. Întrebare: Proiectia unui vector poate avea semn negativ. Răspuns: Da, proiecțiile vectoriale pot fi valoare negativă. În acest caz, vectorul are direcție opusă(vezi cum sunt direcționate axa OX și vectorul AB)
2. Întrebare: Poate proiecția unui vector să coincidă cu modulul vectorului. Răspuns: Da, se poate. În acest caz, vectorii sunt paraleli (sau se află pe aceeași linie).
3. Întrebare: Poate fi proiecția unui vector egală cu zero (vector zero). Răspuns: Da, se poate. În acest caz, vectorul este perpendicular pe axa corespunzătoare (vector).

Exemplul 1. Vectorul (Fig. 1) formează un unghi de 60 o cu axa OX (este dat de vectorul a). Dacă OE este o unitate de scară, atunci |b|=4, deci .

Într-adevăr, lungimea vectorului ( proiecție geometrică b) este egal cu 2, iar direcția este aceeași cu direcția axei OX.

Exemplul 2 . Vectorul (Fig. 2) formează un unghi cu axa OX (cu vectorul a) (a,b) = 120 o . Lungimea |b| vectorul b este egal cu 4, deci pr a b=4 cos120 o = -2.

Într-adevăr, lungimea vectorului este egală cu 2, iar direcția este opusă direcției axei.