Un procent este o sutime dintr-un număr. Acest concept este utilizat atunci când este necesar să se indice raportul dintre o acțiune și un întreg. În plus, mai multe valori pot fi comparate ca procente, indicând în același timp în mod necesar la ce număr întreg sunt calculate procentele. De exemplu, cheltuielile sunt cu 10% mai mari decât veniturile sau prețul biletelor de tren a crescut cu 15% față de tarifele din anul precedent. Un procent peste 100 înseamnă că proporția este mai mare decât întregul, așa cum este adesea cazul în calculele statistice.

Dobânda ca concept financiar - de plată, împrumutatul către creditor pentru furnizarea de bani pentru utilizare temporară. În afaceri, există o expresie „a lucra pentru interes”. LA acest caz se intelege ca cuantumul remuneratiei depinde de profit sau cifra de afaceri (comision). Este imposibil să faci fără calcularea dobânzii în contabilitate, afaceri, bancar. Pentru a simplifica calculele, a fost dezvoltat un calculator procentual online.

Calculatorul vă permite să calculați:

• Procent din valoarea setată.
• Procent din suma (impozit pe salariul efectiv).
• Procentul diferenței (TVA de la ).
• Și mult mai mult...

Când rezolvați probleme la un calculator procentual, trebuie să operați cu trei valori, dintre care una este necunoscută (conform cu parametrii dați variabila este calculată). Scenariul de calcul ar trebui selectat pe baza condițiilor date.

Exemple de calcul

1. Calculați procentul unui număr

Pentru a găsi un număr care este de 25% din 1.000 de ruble, aveți nevoie de:

• 1.000 × 25 / 100 = 250 de ruble
• Sau 1.000 × 0,25 = 250 de ruble.

Pentru a calcula pe un calculator obișnuit, trebuie să înmulțiți 1.000 cu 25 și să apăsați butonul %.

2. Definiția unui număr întreg (100%)

Știm că 250 de ruble. este 25% dintr-un anumit număr. Cum se calculează?

Să facem o proporție simplă:

• 250 de ruble. - 25%
• Y freacă. - 100 %
• Y \u003d 250 × 100 / 25 \u003d 1.000 de ruble.

3. Procentul dintre două numere

Să presupunem că se presupunea un profit de 800 de ruble, dar au primit 1.040 de ruble. Care este procentul de exces?

Proporția va fi:

• 800 de ruble. - 100 %
• 1.040 RUB – Y%
• Y = 1040 × 100 / 800 = 130%

Îndeplinirea excesivă a planului de profit - 30%, adică punerea în aplicare - 130%.

4. Calcul nu de la 100%

De exemplu, un magazin cu trei departamente este vizitat de 100% dintre clienți. În departamentul de băcănie - 800 de persoane (67%), în departamentul de produse chimice de uz casnic - 55. Ce procent de cumpărători vin la departamentul de produse chimice de uz casnic?

Proporţie:

• 800 de vizitatori - 67%
• 55 de vizitatori - Y %
• Y = 55 × 67 / 800 = 4,6%

5. Ce procent este un număr mai mic decât altul

Prețul mărfurilor a scăzut de la 2.000 la 1.200 de ruble. Cu ce ​​procente s-a ieftinit marfa, sau cu ce procent este 1.200 mai puțin decât 2.000?

• 2 000 - 100 %
• 1 200 – Y%
• Y = 1200 × 100 / 2000 = 60% (60% până la 1200 din 2000)
• 100% − 60% = 40% (numărul 1200 este cu 40% mai mic decât 2000)

6. Cu ce ​​procent este un număr mai mare decât altul

Salariul a crescut de la 5.000 la 7.500 de ruble. Cu ce ​​procente a crescut salariul? Câte procente este cu 7.500 mai mult decât cu 5.000?

• 5 000 de ruble. - 100 %
• 7 500 de ruble. - Y%
• Y = 7.500 × 100 / 5.000 = 150% (în figura 7.500 este 150% din 5.000)
• 150% - 100% = 50% (numărul 7.500 este cu 50% mai mare decât 5.000)

7. Măriți numărul cu un anumit procent

Prețul bunurilor S este mai mare de 1.000 de ruble. cu 27%. Care este prețul articolului?

• 1 000 de ruble. - 100 %
• S - 100% + 27%
• S \u003d 1.000 × (100 + 27) / 100 \u003d 1.270 de ruble.

Calculatorul online face calculele mult mai ușoare: trebuie să selectați tipul de calcul, să introduceți numărul și procentul (în cazul calculului procent- al doilea număr), indicați exactitatea calculului și dați o comandă pentru a începe acțiuni.

Astăzi continuăm o serie de tutoriale video despre probleme procentuale de la Examenul Unificat de Stat la matematică. În special, vom analiza complet două sarcini reale de la Examenul Unificat de Stat și încă o dată vom vedea cât de important este să citim cu atenție starea problemei și să o interpretăm corect.

Deci prima sarcină este:

Sarcină. Doar 95% și 37.500 de absolvenți ai orașului au rezolvat corect problema B1. Câți oameni au rezolvat corect problema B1?

La prima vedere, se pare că acesta este un fel de sarcină pentru capace. Ca:

Sarcină. Pe copac erau 7 păsări. 3 dintre ei au zburat. Câte păsări au zburat?

Totuși, hai să facem calculul. Vom rezolva prin metoda proporțiilor. Deci, avem 37.500 de studenți - aceasta este 100%. Și, de asemenea, există un anumit număr x de elevi, adică 95% dintre cei foarte norocoși care au rezolvat corect problema B1. O scriem:

37 500 — 100%
X - 95%

Trebuie să faceți o proporție și să găsiți x. Primim:

Înaintea noastră proportie clasica, dar înainte de a folosi proprietatea principală și de a o înmulți în cruce, îmi propun să împărțim ambele părți ale ecuației la 100. Cu alte cuvinte, tăiem două zerouri în numărătorul fiecărei fracții. Să rescriem ecuația rezultată:

Conform proprietății de bază a proporției, produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii. Cu alte cuvinte:

x = 375 95

E dragut numere mari, așa că trebuie să le înmulțiți cu o coloană. Vă reamintesc că este strict interzisă folosirea calculatorului la examenul de matematică. Primim:

x = 35625

Răspuns total: 35 625. Acesta este câți oameni din cei 37 500 inițiali au rezolvat corect problema B1. După cum puteți vedea, aceste cifre sunt destul de apropiate, ceea ce are sens, deoarece 95% este, de asemenea, foarte aproape de 100%. În general, prima sarcină este rezolvată. Să trecem la al doilea.

Problema de interes #2

Sarcină. Doar 80% dintre cei 45.000 de absolvenți ai orașului au rezolvat corect problema B9. Câți oameni au rezolvat incorect problema B9?

Rezolvam in acelasi mod. Inițial, erau 45.000 de absolvenți - aceasta este 100%. Apoi, x absolvenți trebuie selectați din acest număr, care ar trebui să fie 80% din numărul inițial. Facem o proporție și rezolvăm:

45 000 — 100%
x - 80%

Să reducem un zero în numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții. Să rescriem încă o dată construcția rezultată:

Principala proprietate a proporției: produsul termenilor extremi este egal cu produsul celor mijlocii. Primim:

45.000 8 = x 10

Este cel mai simplu ecuație liniară. Să exprimăm variabila x din ea:

x = 45.000 8:10

Reducem unul zero la 45.000 și la 10, numitorul rămâne unul, așa că tot ce ne trebuie este să găsim valoarea expresiei:

x = 4500 8

Puteți, desigur, să faceți la fel ca ultima data, și înmulțiți aceste numere cu o coloană. Dar să nu ne facem viața dificilă și, în loc să înmulțim cu o coloană, îi descompunem pe cei opt în factori:

x = 4500 2 2 2 = 9000 2 2 = 36.000

Și acum - cel mai important lucru despre care am vorbit chiar la începutul lecției. Trebuie să citiți cu atenție starea problemei!

Ce trebuie să știm? Câți oameni au rezolvat problema B9 nu dreapta. Și tocmai am găsit acei oameni care au decis corect. Acestea s-au dovedit a fi 80% din numărul original, adică 36 000. Aceasta înseamnă că pentru a obține răspunsul final, 80% trebuie să fie scăzut din numărul inițial de studenți. Primim:

45 000 − 36 000 = 9000

Numărul rezultat 9000 este răspunsul la problemă. În total, în acest oraș, din 45.000 de absolvenți, 9.000 de oameni au rezolvat greșit problema B9. Totul, sarcina este rezolvată.

Din punctul de vedere al matematicii, o proporție este egalitatea a două rapoarte. Interdependența este caracteristică tuturor părților proporției, precum și rezultatul lor neschimbător. Puteți înțelege cum să faceți o proporție familiarizându-vă cu proprietățile și formula proporției. Pentru a înțelege principiul rezolvării proporțiilor, va fi suficient să luăm în considerare un exemplu. Doar rezolvând direct proporții, puteți învăța ușor și rapid aceste abilități. Și acest articol va ajuta cititorul în acest sens.

Proprietăți proporționale și formulă

1. Inversarea proporției. În cazul în care egalitatea dată arată ca 1a: 2b = 3c: 4d, scrieți 2b: 1a = 4d: 3c. (Mai mult, 1a, 2b, 3c și 4d sunt numere prime, altul decât 0).
2. multiplicare membrii dați proporții încrucișate. LA expresie literală arată astfel: 1a: 2b = 3c: 4d, iar scrierea 1a4d = 2b3c va fi echivalentă cu acesta. Astfel, produsul părților extreme ale oricărei proporții (numerele de la marginile egalității) este întotdeauna egal cu produsul părțile mijlocii (numerele situate în mijlocul egalității).
3. La compilarea unei proporții, o astfel de proprietate a acesteia ca o permutare a termenilor extremi și medii poate fi, de asemenea, utilă. Formula de egalitate 1a: 2b = 3c: 4d poate fi afișată în următoarele moduri:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (când membrii mijlocii ai proporției sunt rearanjați).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (când membrii extremi ai proporției sunt rearanjați).
4. Ajută perfect la rezolvarea proporției proprietății sale de creștere și scădere. Cu 1a: 2b = 3c: 4d, scrieți:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (egalitatea prin proporție crescătoare).
   • (1a - 2b) : 2b = (3c - 4d) : 4d (egalitate prin proporție descrescătoare).
5. Puteți crea proporții adunând și scăzând. Când proporția este scrisă ca 1a:2b = 3c:4d atunci:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (se adaugă proporția).
   • (1a - 3c) : (2b - 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (se scade proporția).
6. De asemenea, atunci când rezolvați o proporție care conține numere fracționale sau mari, puteți împărți sau înmulți ambii membri ai acesteia cu acelasi numar. De exemplu, componentele proporției 70:40=320:60 pot fi scrise astfel: 10*(7:4=32:6).
7. Varianta de rezolvare a proporției cu procente arată așa. De exemplu, notați, 30=100%, 12=x. Acum ar trebui să înmulțiți termenii de mijloc (12 * 100) și să împărțiți la extrema cunoscută (30). Astfel, răspunsul este: x=40%. Intr-un mod similar este posibil, dacă este necesar, înmulțirea termenilor extremi cunoscuți și împărțirea acestora la un număr mediu dat, obținându-se rezultatul dorit.

Dacă sunteți interesat de o anumită formulă de proporție, atunci în versiunea cea mai simplă și cea mai comună, proporția este o astfel de egalitate (formulă): a / b \u003d c / d, în care a, b, c și d sunt patru non -zero numere.

§ 125. Conceptul de proporţie.

Proporția este egalitatea a două rapoarte. Iată exemple de egalități numite proporții:

Notă. Numele cantităților din proporții nu sunt indicate.

Proporțiile se citesc de obicei după cum urmează: 2 este legat de 1 (unul), așa cum 10 este legat de 5 (prima proporție). Puteți citi diferit, de exemplu: 2 este de atâtea ori mai mare decât 1, de câte ori 10 este mai mare decât 5. A treia proporție poate fi citită astfel: - 0,5 este de atâtea ori mai mic decât 2, de câte ori 0,75 este mai mic de 3.

Se numesc numerele în proporție membri ai proporţiei. Prin urmare, proporția este formată din patru membri. Primul și ultimul membru, adică membrii care stau la margini, sunt numiți extrem, iar termenii proporției care sunt la mijloc se numesc in medie membrii. Aceasta înseamnă că în prima proporție, numerele 2 și 5 vor fi membrii extremi, iar numerele 1 și 10 vor fi membrii mijlocii ai proporției.

§ 126. Principala proprietate a proporţiei.

Luați în considerare proporția:

Îi înmulțim separat termenii extremi și medii. Produsul extremei 6 4 \u003d 24, produsul mediei 3 8 \u003d 24.

Luați în considerare o altă proporție: 10: 5 \u003d 12: 6. De asemenea, înmulțim aici separat termenii extremi și medii.

Produsul extremei 10 6 \u003d 60, produsul mediei 5 12 \u003d 60.

Principala proprietate a proporției: produsul termenilor extremi ai proporției este egal cu produsul termenilor săi medii.

LA vedere generala proprietatea principală a proporției se scrie după cum urmează: ad = bc .

Să o verificăm în mai multe proporții:

1) 12: 4 = 30: 10.

Această proporție este adevărată, deoarece rapoartele din care este compusă sunt egale. În același timp, luând produsul dintre termenii extremi ai proporției (12 10) și produsul termenilor ei medii (4 30), vom vedea că ei sunt egali între ei, i.e.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

Proporția este corectă, ceea ce este ușor de verificat prin simplificarea primei și a doua relații. Proprietatea principală a proporției va lua forma:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

Este ușor de observat că dacă scriem o astfel de egalitate, în care produsul a oricăror două numere este în partea stângă și produsul a altor două numere în partea dreaptă, atunci din acestea patru numere poți face o proporție.

Să avem o egalitate, care include patru numere, înmulțite în perechi:

aceste patru numere pot fi membre ale unei proporții, care nu este greu de scris, dacă luăm primul produs ca produs al termenilor extremi, iar al doilea ca produs al celor mijlocii. Egalitatea publicată se poate face, de exemplu, în următoarea proporție:

În general, din egalitate ad = bc puteți obține următoarele proporții:

Faceți următorul exercițiu pe cont propriu. Având în vedere produsul a două perechi de numere, scrieți proporția corespunzătoare fiecărei egalități:

a) 1 6 = 2 3;

b) 2 15 = b 5.

§ 127. Calculul membrilor necunoscuti ai proportiei.

Proprietatea principală a proporției vă permite să calculați oricare dintre termenii proporției dacă este necunoscut. Să luăm proporția:

X : 4 = 15: 3.

În această proporție, un termen extrem este necunoscut. Știm că în orice proporție produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii. Pe această bază, putem scrie:

X 3 = 4 15.

După înmulțirea lui 4 cu 15, putem rescrie această ecuație după cum urmează:

X 3 = 60.

Să ne uităm la această egalitate. În el, primul factor este necunoscut, al doilea factor este cunoscut și produsul este cunoscut. Știm că pentru a găsi un factor necunoscut este suficient să împărțim produsul la un alt factor (cunoscut). Apoi se va dovedi:

X = 60:3 sau X = 20.

Să verificăm rezultatul găsit înlocuind numărul 20 în loc de X in aceasta proportie:

Proporția este corectă.

Să ne gândim ce acțiuni am avut de efectuat pentru a calcula termenul extrem necunoscut al proporției. Din cei patru membri ai proporției, o singură extremă ne era necunoscută; erau cunoscute două extreme de mijloc și a doua. Pentru a găsi termenul extrem al proporției, am înmulțit mai întâi termenii de mijloc (4 și 15), apoi am împărțit produsul găsit la termenul extrem cunoscut. Acum vom arăta că acțiunile nu s-ar schimba dacă termenul extrem necesar al proporției nu ar fi pe primul loc, ci pe ultimul. Să luăm proporția:

70: 10 = 21: X .

Să notăm proprietatea principală a proporției: 70 X = 10 21.

Înmulțind numerele 10 și 21, rescriem egalitatea în următoarea formă:

70 X = 210.

Aici un factor este necunoscut, pentru a-l calcula este suficient să împărțim produsul (210) la un alt factor (70),

X = 210: 70; X = 3.

Astfel, putem spune că fiecare membru extrem al proporției este egal cu produsul mediilor împărțit la cealaltă extremă.

Să trecem acum la calculul termenului mediu necunoscut. Să luăm proporția:

30: X = 27: 9.

Să scriem proprietatea principală a proporției:

30 9 = X 27.

Calculăm produsul lui 30 cu 9 și rearanjam părțile ultimei egalități:

X 27 = 270.

Să găsim factorul necunoscut:

X = 270: 27 sau X = 10.

Să verificăm cu o înlocuire:

30:10 = 27:9.Proporția este corectă.

Să luăm o altă proporție:

12:b= X : 8. Să scriem proprietatea principală a proporției:

12 . 8 = 6 X . Înmulțind 12 și 8 și rearanjand părțile ecuației, obținem:

6 X = 96. Aflați factorul necunoscut:

X = 96:6 sau X = 16.

Prin urmare, toata lumea membru mijlociu proporția este egală cu produsul extremelor, împărțit la o altă medie.

Găsiți termenii necunoscuți ai următoarelor proporții:

1) A : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = X : 5;

2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .

Două ultimele reguli in general se poate scrie asa:

1) Dacă proporția arată astfel:

x: a = b: c , apoi

2) Dacă proporția arată astfel:

a: x = b: c , apoi

§ 128. Simplificarea proporției și rearanjarea membrilor săi.

În această secțiune, vom deriva reguli care ne permit să simplificăm proporția în cazul în care include numere mari sau termeni fracționari. Transformările care nu încalcă proporția includ următoarele:

1. Creșterea sau scăderea simultană a ambilor membri a oricărui raport de același număr de ori.

EXEMPLU 40:10 = 60:15.

Înmulțind ambii termeni ai primei relații cu 3 ori, obținem:

120:30 = 60: 15.

Proporția nu s-a schimbat.

Scăzând ambii termeni ai celei de-a doua relații de 5 ori, obținem:

Am primit din nou proporția corectă.

2. Creșterea sau scăderea simultană a ambilor termeni anteriori sau a ambilor ulterioare în același număr de ori.

Exemplu. 16:8 = 40:20.

Să dublăm membrii anteriori ai ambelor relații:

Am primit proporția potrivită.

Să reducem următorii termeni ai ambelor relații de 4 ori:

Proporția nu s-a schimbat.

Cele două concluzii obținute pot fi rezumate astfel: Proporția nu va fi încălcată dacă creștem sau micșorăm simultan orice membru extrem al proporției și orice membru mijlociu de același număr de ori.

De exemplu, reducând de 4 ori primul membru extrem și al doilea mijlociu al proporției 16:8 = 40:20, obținem:

3. Cresterea sau scaderea simultana a tuturor membrilor proportiei de acelasi numar de ori. Exemplu. 36:12 = 60:20. Să mărim toate cele patru numere de 2 ori:

Proporția nu s-a schimbat. Să reducem toate cele patru numere de 4 ori:

Proporția este corectă.

Transformările enumerate fac posibilă, în primul rând, simplificarea proporțiilor și, în al doilea rând, eliberarea acestora de membri fracționari. Să dăm exemple.

1) Să fie o proporție:

200: 25 = 56: X .

În ea, termenii primei relații sunt numere relativ mari și dacă am dori să aflăm valoarea X , atunci ar trebui să facem calcule pe aceste numere; dar știm că proporția nu este încălcată dacă ambii termeni ai raportului sunt împărțiți la același număr. Împărțiți fiecare dintre ele la 25. Proporția va lua forma:

8:1 = 56: X .

Am obţinut astfel o proporţie mai convenabilă, din care X pot fi găsite în minte:

2) Luați proporția:

2: 1 / 2 = 20: 5.

În această proporție există un termen fracționar (1 / 2), de care poți scăpa. Pentru a face acest lucru, va trebui să înmulțim acest termen, de exemplu, cu 2. Dar nu avem dreptul să creștem termenul mediu al proporției; este necesar, împreună cu acesta, să se mărească unul dintre termenii extremi; atunci proporția nu va fi încălcată (pe baza primelor două puncte). Să creștem primul dintre termenii extremi

(2 2) : (2 1 / 2) = 20: 5 sau 4: 1 = 20: 5.

Să creștem al doilea termen extrem:

2: (2 1 / 2) = 20: (2 5) sau 2: 1 = 20: 10.

Să luăm în considerare încă trei exemple de eliberare a proporției de termeni fracționari.

Exemplul 1. 1/4: 3/8 = 20:30.

Aduceți fracțiile la numitor comun:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

Înmulțind ambii termeni ai primei relații cu 8, obținem:

Exemplul 2. 12: 15 / 14 \u003d 16: 10 / 7. Să aducem fracțiile la un numitor comun:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

Înmulțim ambii termeni următori cu 14, obținem: 12:15 \u003d 16:20.

Exemplul 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.

Să înmulțim toți termenii proporției cu 48:

24: 1 = 960: 40.

Când se rezolvă probleme în care apar anumite proporții, este adesea necesară rearanjarea termenilor proporției în diferite scopuri. Luați în considerare care permutări sunt legale, adică nu încălcați proporțiile. Să luăm proporția:

3: 5 = 12: 20. (1)

Rearanjand termenii extremi din ea, obținem:

20: 5 = 12:3. (2)

Acum rearanjam termenii de mijloc:

3:12 = 5: 20. (3)

Rearanjam atât termenii extremi, cât și cei de mijloc în același timp:

20: 12 = 5: 3. (4)

Toate aceste proporții sunt corecte. Acum să punem prima relație în locul celei de-a doua, iar a doua în locul primei. Obțineți proporția:

12: 20 = 3: 5. (5)

În această proporție, vom face aceleași permutări pe care le-am făcut înainte, adică vom rearanja mai întâi termenii extremi, apoi pe cei mijlocii și, în final, atât pe cei extremi, cât și pe cei mijlocii în același timp. Vor rezulta încă trei proporții, care vor fi, de asemenea, corecte:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

Deci, dintr-o proporție dată, prin rearanjare, puteți obține încă 7 proporții, care împreună cu aceasta fac 8 proporții.

Valabilitatea tuturor acestor proporții se dezvăluie mai ales ușor când introducerea scrisorii. Cele 8 proporții obținute mai sus au forma:

a: b = c: d; c:d = a:b;

d:b = c:a; b:d = a:c;

a:c = b:d; c:a = d:b;

d:c=b:a; b:a = d:c.

Este ușor de observat că în fiecare dintre aceste proporții proprietatea principală ia forma:

ad = b.c.

Astfel, aceste permutări nu încalcă corectitudinea proporției și pot fi folosite dacă este necesar.

În ultimul tutorial video, am luat în considerare rezolvarea problemelor procentuale folosind proporții. Apoi, în funcție de starea problemei, trebuia să găsim valoarea uneia sau alteia cantități.

De data aceasta, valorile inițiale și finale ne sunt deja date. Prin urmare, în sarcini va fi necesar să se găsească procente. Mai precis, cu ce procent s-a schimbat cutare sau cutare valoare. Sa incercam.

Sarcină. Pantofii de sport costă 3200 de ruble. După creșterea prețului, au început să coste 4000 de ruble. Cu ce ​​procent a crescut prețul adidașilor?

Deci, rezolvăm prin proporție. Primul pas - prețul inițial a fost egal cu 3200 de ruble. Prin urmare, 3200 de ruble este 100%.

În plus, ni s-a dat prețul final - 4000 de ruble. Acesta este un procent necunoscut, deci să-l notăm ca x . Obținem următoarea construcție:

3200 — 100%
4000 - x%

Ei bine, starea problemei este scrisă. Facem o proporție:

Fracția din stânga este perfect redusă cu 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. În plus, puteți reduce cu 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Obținem următoarea proporție:

Să folosim proprietatea de bază a proporției: produsul termenilor extremi este egal cu produsul celor mijlocii. Primim:

8 x = 100 10;
8x = 1000.

Aceasta este ecuația liniară obișnuită. De aici găsim x:

x=1000:8=125

Deci, am obținut procentul final x = 125. Dar este numărul 125 soluția problemei? În nici un caz! Pentru că sarcina vă cere să aflați cu ce procent a crescut prețul pantofilor sport.

Cu câte procente - asta înseamnă că trebuie să găsim o schimbare:

∆ = 125 − 100 = 25

Am primit 25% - cu atât a crescut prețul inițial. Acesta este răspunsul: 25.

Problema B2 pentru dobânda #2

Să trecem la a doua sarcină.

Sarcină. Cămașa a costat 1800 de ruble. După reducerea prețului, a început să coste 1530 de ruble. Cu ce ​​procent s-a redus pretul camasii?

Traducem condiția în limbaj matematic. Prețul inițial de 1800 de ruble este de 100%. Și prețul final este de 1530 de ruble - îl știm, dar nu se știe câte procente este din valoarea inițială. Prin urmare, o notăm cu x. Obținem următoarea construcție:

1800 — 100%
1530 - x%

Pe baza înregistrării rezultate, alcătuim proporția:

Să separăm ambele părți pentru a simplifica calculele ulterioare. ecuația dată cu 100. Cu alte cuvinte, numărătorul din stânga și fracția dreaptă vom tăia două zerouri. Primim:

Acum să folosim din nou proprietatea de bază a proporției: produsul termenilor extremi este egal cu produsul celor medii.

18 x = 1530 1;
18x = 1530.

Rămâne de găsit x:

x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Am obținut că x = 85. Dar, ca și în problema anterioară, acest număr în sine nu este răspunsul. Să ne întoarcem la starea noastră. Știm acum că noul preț după reducere este de 85% din prețul vechi. Și pentru a găsi modificările, aveți nevoie de prețul vechi, adică. 100%, scade pret nou, adică 85%. Primim:

∆ = 100 − 85 = 15

Acest număr va fi răspunsul: Vă rugăm să rețineți: exact 15, și în niciun caz 85. Atât! Problema rezolvata.

Elevii atenți se vor întreba probabil: de ce la prima sarcină, la găsirea diferenței, am scăzut numărul inițial din numărul final, iar la a doua sarcină am făcut exact invers: din 100% inițial am scăzut 85% final?

Să lămurim asta. Formal, în matematică, schimbarea cantității este întotdeauna diferența dintre valoarea finală si initiala. Cu alte cuvinte, în a doua problemă, ar fi trebuit să obținem nu 15, ci -15.

Cu toate acestea, în niciun caz acest minus nu trebuie inclus în răspuns, deoarece a fost deja luat în considerare în starea problemei inițiale. Scrie chiar acolo despre reducerea prețului. O scădere a prețului cu 15% este aceeași cu o creștere a prețului cu -15%. De aceea, în rezolvarea și răspunsul problemei este suficient să scrieți doar 15 - fără niciun minus.

Tot, sper, cu acest moment le-am înțeles. Aceasta încheie lecția noastră de astăzi. Ne vedem în curând!