Poznámka. Tento materiál obsahuje vetu a jej dôkaz, ako aj množstvo problémov ilustrujúcich aplikáciu vety o súčte uhlov konvexného mnohouholníka na praktických príkladoch.

Veta o súčte konvexného mnohouholníka

.

Dôkaz.

Na dôkaz vety o súčte uhlov konvexného mnohouholníka použijeme už osvedčenú vetu, že súčet uhlov trojuholníka je 180 stupňov.

Nech je dané A 1 A 2... A n konvexný mnohouholník, a n > 3. Nakreslite všetky uhlopriečky mnohouholníka z vrcholu A 1. Rozdelia ho na n – 2 trojuholníky: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Súčet uhlov mnohouholníka je rovnaký ako súčet uhlov všetkých týchto trojuholníkov. Súčet uhlov každého trojuholníka je 180° a počet trojuholníkov je (n - 2). Preto súčet uhlov konvexného n-uholníka A 1 A 2... A n je 180° (n – 2).

Úloha.

V konvexnom mnohouholníku sú tri uhly 80 stupňov a zvyšok je 150 stupňov. Koľko rohov je v konvexnom mnohouholníku?

rozhodnutie.

Teorém hovorí: Pre konvexný n-uholník je súčet uhlov 180° (n-2) .

Takže pre náš prípad:

180(n-2)=3*80+x*150, kde

Podľa stavu úlohy sú nám dané 3 uhly 80 stupňov a počet ďalších uhlov je nám zatiaľ neznámy, preto ich počet označíme x.

Zo zadania na ľavej strane sme však určili počet rohov polygónu ako n, keďže z podmienky úlohy poznáme hodnoty troch z nich, je zrejmé, že x=n-3.

Takže rovnica bude vyzerať takto:

180(n-2)=240+150(n-3)

Vyriešime výslednú rovnicu

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

odpoveď: 5 vrcholov

Úloha.

Koľko vrcholov môže mať mnohouholník, ak je každý uhol menší ako 120 stupňov?

rozhodnutie.

Na vyriešenie tohto problému použijeme vetu o súčte uhlov konvexného mnohouholníka.

Teorém hovorí: Pre konvexný n-uholník je súčet všetkých uhlov 180° (n-2) .

Preto je v našom prípade potrebné najskôr odhadnúť okrajové podmienky problému. To znamená, že predpokladajte, že každý z uhlov sa rovná 120 stupňom. Dostaneme:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (tento výraz zvážime samostatne nižšie)

Na základe získanej rovnice sme dospeli k záveru: keď sú uhly menšie ako 120 stupňov, počet rohov mnohouholníka je menší ako šesť.

vysvetlenie:

Na základe výrazu 180n - 120n = 360, za predpokladu, že odčítaná pravá strana je menšia ako 120n, rozdiel by mal byť väčší ako 60n. Kvocient delenia bude teda vždy menší ako šesť.

odpoveď: počet vrcholov polygónu bude menší ako šesť.

Úloha

Mnohouholník má tri uhly 113 stupňov a ostatné sú si navzájom rovné miera stupňa je celé číslo. Nájdite počet vrcholov mnohouholníka.

rozhodnutie.

Na vyriešenie tohto problému použijeme vetu o súčte vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka.

Teorém hovorí: Pre konvexný n-uholník je súčet všetkých vonkajších uhlov 360° .

Touto cestou,

3*(180-113)+(n-3)x=360

pravá strana výrazu je súčet vonkajších uhlov, na ľavej strane je súčet troch uhlov známy podmienkou a miera zvyšku (ich počet n-3, keďže tri uhly sú známy) sa označuje ako x.

159 sa rozkladá iba na dva faktory 53 a 3 a 53 je prvočíslo. To znamená, že neexistujú žiadne ďalšie dvojice faktorov.

Teda n-3 = 3, n=6, to znamená, že počet rohov mnohouholníka je šesť.

Odpoveď: šesť rohov

Úloha

Dokážte, že konvexný mnohouholník môže mať najviac tri ostré rohy.

Riešenie

Ako viete, súčet vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka je 360 ​​0 . Dokážme protirečením. Ak má konvexný mnohouholník aspoň štyri akútne vnútorné rohy, preto sú medzi jeho vonkajšími uhlami aspoň štyri tupé, čo znamená, že súčet všetkých vonkajších uhlov mnohouholníka je väčší ako 4*90 0 = 360 0 . Máme rozpor. Tvrdenie bolo dokázané.

Súčet uhlov n-uholníkovej vety. Súčet uhlov konvexného n-uholníka je 180 o (n-2). Dôkaz. Z nejakého vrcholu konvexného n-uholníka nakreslíme všetky jeho uhlopriečky. Potom sa n-uholník rozpadne na n-2 trojuholníkov. V každom trojuholníku je súčet uhlov 180 o a tieto uhly tvoria uhly n-uholníka. Preto súčet uhlov n-uholníka je 180 o (n-2).

Druhá metóda dôkazu Veta. Súčet uhlov konvexného n-uholníka je 180 o (n-2). Dôkaz 2. Nech O je nejaký vnútorný bod konvexný n-uholník A 1 …A n. Pripojte ho k vrcholom tohto mnohouholníka. Potom sa n-uholník rozdelí na n trojuholníkov. V každom trojuholníku je súčet uhlov 180 o. Tieto uhly tvoria uhly n-uholníka a ďalších 360 o. Preto súčet uhlov n-uholníka je 180 o (n-2).

Cvičenie 3 Dokážte, že súčet vonkajších uhlov konvexného n-uholníka je 360 ​​o. Dôkaz. Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka je 180° mínus zodpovedajúci vnútorný uhol. Preto súčet vonkajších uhlov konvexného n-uholníka je 180 o n mínus súčet vnútorných uhlov. Keďže súčet vnútorných uhlov konvexného n-uholníka je 180 o (n-2), potom súčet vonkajších uhlov bude 180 o n o (n-2) = 360 o.

Cvičenie 4 Aké uhly má pravidelný: a) trojuholník; b) štvoruholník; c) päťuholník; d) šesťuholník; e) osemuholník; e) desaťuholník; g) dvanásťuholník? Odpoveď: a) 60 o; b) 90 o; c) 108 o; d) 120 o; e) 135 o, f) 144 o, g) 150 o.

Cvičenie 12* Čo najväčší počet môže mať konvexný n-uholník ostré rohy? rozhodnutie. Keďže súčet vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka je 360 ​​o, potom konvexný mnohouholník nemôže mať viac ako tri tupé rohy, preto nemôže mať viac ako tri vnútorné ostré uhly. Odpoveď. 3.

Tieto geometrické tvary nás obklopujú všade. Konvexné polygóny sú prirodzené, ako sú plásty, alebo umelé (vyrobené človekom). Tieto figúrky sa používajú pri výrobe rôzne druhy nátery, v maliarstve, architektúre, dekorácii atď. Konvexné polygóny majú tú vlastnosť, že všetky ich body sú na tej istej strane priamky, ktorá prechádza dvojicou susedných vrcholov tejto priamky. geometrický obrazec. Existujú aj iné definície. Mnohouholník sa nazýva konvexný, ak je umiestnený v jednej polrovine vzhľadom na akúkoľvek priamku obsahujúcu jednu z jeho strán.

Pri elementárnej geometrii sa vždy berú do úvahy iba jednoduché polygóny. Aby sme pochopili všetky vlastnosti takýchto, je potrebné pochopiť ich povahu. Na začiatok je potrebné pochopiť, že každá čiara sa nazýva uzavretá, ktorej konce sa zhodujú. Okrem toho, obrazec, ktorý tvorí, môže mať rôzne konfigurácie. Mnohouholník je jednoduchá uzavretá prerušovaná čiara, v ktorej susedné prepojenia nie sú umiestnené na rovnakej priamke. Jeho spojnice a vrcholy sú strany a vrcholy tohto geometrického útvaru. Jednoduchá lomená čiara nesmie mať vlastné priesečníky.

Vrcholy mnohouholníka sa nazývajú susedné, ak predstavujú konce jednej z jeho strán. Geometrický obrazec, ktorý má n-té číslo vrcholy, a teda n-té množstvo strany sa nazývajú n-uholník. Samotná prerušovaná čiara sa nazýva hranica alebo obrys tohto geometrického útvaru. Polygonálna rovina alebo plochý mnohouholník sa nazýva koncová časť akejkoľvek roviny, ktorá je ňou ohraničená. Priľahlé strany tohto geometrického útvaru sa nazývajú segmenty prerušovanej čiary vychádzajúcej z jedného vrcholu. Nebudú susediť, ak pochádzajú z rôznych vrcholov mnohouholníka.

Iné definície konvexných polygónov

V elementárnej geometrii existuje niekoľko ekvivalentných definícií, ktoré označujú, ktorý polygón sa nazýva konvexný. Navyše všetky tieto výrazy rovnaký stupeň sú pravdivé. Konvexný mnohouholník je taký, ktorý má:

Každá úsečka, ktorá spája akékoľvek dva body v nej leží úplne v nej;

Všetky jeho diagonály ležia v ňom;

Žiadny vnútorný uhol nepresahuje 180°.

Mnohouholník vždy rozdeľuje rovinu na 2 časti. Jeden z nich je obmedzený (môže byť uzavretý v kruhu) a druhý je neobmedzený. Prvá sa nazýva vnútorná oblasť a druhá je vonkajšia oblasť tohto geometrického útvaru. Tento mnohouholník je priesečníkom (inými slovami, spoločným komponentom) niekoľkých polrovín. Navyše, každý segment, ktorý končí v bodoch, ktoré patria do polygónu, k nemu úplne patrí.

Odrody konvexných polygónov

Definícia konvexného mnohouholníka nenaznačuje, že existuje veľa druhov. A každý z nich má určité kritériá. Takže konvexné polygóny, ktoré majú vnútorný uhol 180°, sa nazývajú slabo konvexné. Konvexný geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy, sa nazýva trojuholník, štyri - štvoruholník, päť - päťuholník atď. Každý z konvexných n-uholníkov zodpovedá nasledujúcim nevyhnutná požiadavka: n musí byť rovné alebo väčšie ako 3. Každý z trojuholníkov je konvexný. Geometrický obrazec tohto typu, v ktorej sú všetky vrcholy umiestnené na tej istej kružnici, sa nazýva vpísaná do kruhu. Konvexný mnohouholník sa nazýva opísaný, ak sa ho dotýkajú všetky jeho strany v blízkosti kruhu. O dvoch polygónoch sa hovorí, že sú rovnaké iba vtedy, ak sa dajú superponovať superpozíciou. Plochý mnohouholník nazývaná polygonálna rovina (časť roviny), ktorá je ohraničená týmto geometrickým obrazcom.

Pravidelné konvexné mnohouholníky

Pravidelné mnohouholníky sú geometrické tvary s rovnaké uhly a večierky. V ich vnútri sa nachádza bod 0, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od každého z jeho vrcholov. Nazýva sa stredom tohto geometrického útvaru. Segmenty spájajúce stred s vrcholmi tohto geometrického útvaru sa nazývajú apotémy a tie, ktoré spájajú bod 0 so stranami, sa nazývajú polomery.

Pravidelný štvoruholník je štvorec. správny trojuholník nazývaný rovnostranný. Pre takéto obrázky platí nasledujúce pravidlo: každý uhol konvexného mnohouholníka je 180° * (n-2)/n,

kde n je počet vrcholov tohto konvexného geometrického útvaru.

Oblasť akéhokoľvek pravidelný mnohouholník určený podľa vzorca:

kde p sa rovná polovici súčtu všetkých strán daného mnohouholníka a h sa rovná dĺžke apotému.

Vlastnosti konvexných polygónov

Konvexné polygóny majú určité vlastnosti. Segment, ktorý spája akékoľvek 2 body takéhoto geometrického útvaru, sa teda nevyhnutne nachádza v ňom. dôkaz:

Predpokladajme, že P je daný konvexný mnohouholník. berieme 2 ľubovoľné body, napríklad A, B, ktoré patria R. By existujúcej definície konvexného mnohouholníka sa tieto body nachádzajú na jednej strane úsečky, ktorá obsahuje ľubovoľnú stranu P. Preto má túto vlastnosť aj AB a je obsiahnutá v P. Konvexný mnohouholník možno vždy rozdeliť na niekoľko trojuholníkov absolútne všetkými uhlopriečkami nakreslený z jedného z jeho vrcholov.

Uhly konvexných geometrických tvarov

Rohy konvexného mnohouholníka sú rohy, ktoré tvoria jeho strany. Vnútorné rohy sú in vnútorný región tento geometrický útvar. Uhol, ktorý tvoria jeho strany, ktoré sa zbiehajú v jednom vrchole, sa nazýva uhol konvexného mnohouholníka. s vnútornými uhlami daného geometrického útvaru sa nazývajú vonkajšie. Každý roh konvexného mnohouholníka, ktorý sa v ňom nachádza, sa rovná:

kde x je hodnota vonkajšieho uhla. Toto jednoduchý vzorec platí pre akékoľvek geometrické tvary tohto typu.

AT všeobecný prípad, pre vonkajšie rohy existuje nasledujúce pravidlo: každý uhol konvexného mnohouholníka sa rovná rozdielu medzi 180° a hodnotou vnútorného uhla. Môže mať hodnoty od -180° do 180°. Preto, keď je vnútorný uhol 120°, vonkajší uhol bude 60°.

Súčet uhlov konvexných mnohouholníkov

Súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka je určený vzorcom:

kde n je počet vrcholov n-uholníka.

Súčet uhlov konvexného mnohouholníka sa dá pomerne ľahko vypočítať. Zvážte akýkoľvek takýto geometrický útvar. Na určenie súčtu uhlov vo vnútri konvexného mnohouholníka musí byť jeden z jeho vrcholov spojený s ostatnými vrcholmi. V dôsledku tejto akcie sa získajú (n-2) trojuholníky. Vieme, že súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je vždy 180°. Keďže ich počet v ľubovoľnom mnohouholníku je (n-2), súčet vnútorných uhlov takéhoto obrazca je 180° x (n-2).

Súčet uhlov konvexného mnohouholníka, menovite akýchkoľvek dvoch vnútorných a susedných vonkajších uhlov, pre daný konvexný geometrický útvar bude vždy 180°. Na základe toho môžete určiť súčet všetkých jeho uhlov:

Súčet vnútorných uhlov je 180° * (n-2). Na základe toho je súčet všetkých vonkajších uhlov daného útvaru určený vzorcom:

180°* n-180°-(n-2)= 360°.

Súčet vonkajších uhlov akéhokoľvek konvexného mnohouholníka bude vždy 360° (bez ohľadu na počet strán).

Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka je vo všeobecnosti reprezentovaný rozdielom medzi 180° a vnútorným uhlom.

Ďalšie vlastnosti konvexného mnohouholníka

Okrem základných vlastností týchto geometrických tvarov majú aj ďalšie, ktoré vznikajú pri manipulácii s nimi. Takže ktorýkoľvek z polygónov môže byť rozdelený na niekoľko konvexných n-uholníkov. Aby ste to dosiahli, je potrebné pokračovať v každej z jej strán a vyrezať túto geometrickú postavu pozdĺž týchto priamych línií. Je tiež možné rozdeliť ľubovoľný mnohouholník na niekoľko konvexných častí tak, aby sa vrcholy každého z dielov zhodovali so všetkými jeho vrcholmi. Z takéhoto geometrického útvaru sa dajú veľmi jednoducho vyrobiť trojuholníky nakreslením všetkých uhlopriečok z jedného vrcholu. Akýkoľvek mnohouholník sa teda môže nakoniec rozdeliť na určitý počet trojuholníkov, čo sa pri riešení ukazuje ako veľmi užitočné rôzne úlohy spojené s takýmito geometrickými tvarmi.

Obvod konvexného mnohouholníka

Segmenty prerušovanej čiary, nazývané strany mnohouholníka, sú najčastejšie označené týmito písmenami: ab, bc, cd, de, ea. Sú to strany geometrického útvaru s vrcholmi a, b, c, d, e. Súčet dĺžok všetkých strán tohto konvexného mnohouholníka sa nazýva jeho obvod.

Mnohouholníkový kruh

Konvexné mnohouholníky možno vpísať a opísať. Kruh, ktorý sa dotýka všetkých strán tohto geometrického útvaru, sa nazýva vpísaný do neho. Takýto mnohouholník sa nazýva opísaný. Stred kruhu, ktorý je vpísaný do mnohouholníka, je priesečníkom priesečníkov všetkých uhlov v rámci daného geometrického útvaru. Plocha takéhoto mnohouholníka je:

kde r je polomer vpísanej kružnice a p je polobvod daného mnohouholníka.

Kruh obsahujúci vrcholy mnohouholníka sa nazýva opísaný okolo neho. Okrem toho sa tento konvexný geometrický útvar nazýva vpísaný. Stred kružnice, ktorá je opísaná okolo takého mnohouholníka, je priesečníkom takzvaných odvesníc všetkých strán.

Uhlopriečky konvexných geometrických tvarov

Uhlopriečky konvexného mnohouholníka sú úsečky, ktoré sa spájajú susedné vrcholy. Každý z nich leží vo vnútri tohto geometrického útvaru. Počet uhlopriečok takéhoto n-uholníka je určený vzorcom:

N = n (n - 3)/2.

Počet uhlopriečok konvexného mnohouholníka je dôležitá úloha v elementárnej geometrii. Počet trojuholníkov (K), na ktoré možno rozdeliť každý konvexný mnohouholník, sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

Počet uhlopriečok konvexného mnohouholníka vždy závisí od počtu jeho vrcholov.

Rozdelenie konvexného mnohouholníka

V niektorých prípadoch riešiť geometrické problémy je potrebné rozdeliť konvexný mnohouholník na niekoľko trojuholníkov s nepretínajúcimi sa uhlopriečkami. Tento problém možno vyriešiť odvodením špecifického vzorca.

Definícia úlohy: nazvime správne rozdelenie konvexného n-uholníka na niekoľko trojuholníkov uhlopriečkami, ktoré sa pretínajú len vo vrcholoch tohto geometrického útvaru.

Riešenie: Predpokladajme, že Р1, Р2, Р3 …, Pn sú vrcholy tohto n-uholníka. Číslo Xn je počet jeho oddielov. Pozorne zvážme výslednú uhlopriečku geometrického útvaru Pi Pn. V ktoromkoľvek z pravidelných oddielov P1 Pn patrí do určitého trojuholníka P1 Pi Pn, ktorý má 1

Nech i = 2 je jedna skupina pravidelných priečok obsahujúcich vždy uhlopriečku Р2 Pn. Počet priečok v ňom zahrnutých sa zhoduje s počtom priečok (n-1)-uholníka Р2 Р3 Р4… Pn. Inými slovami, rovná sa Xn-1.

Ak i = 3, potom táto ďalšia skupina priečok bude vždy obsahovať uhlopriečky P3 P1 a P3 Pn. V tomto prípade sa počet bežných partícií obsiahnutých v tejto skupine bude zhodovať s počtom partícií (n-2)-uholníka Р3 Р4… Pn. Inými slovami, bude sa rovnať Xn-2.

Nech i = 4, potom bude medzi trojuholníkmi pravidelná priečka určite obsahovať trojuholník P1 P4 Pn, ku ktorému bude priliehať štvoruholník P1 P2 P3 P4, (n-3)-uholník P4 P5 ... Pn. Počet pravidelných delení takéhoto štvoruholníka je X4 a počet delení (n-3)-uholníka je Xn-3. Na základe vyššie uvedeného môžeme povedať, že celkový počet správnych partícií obsiahnutých v tejto skupine je Xn-3 X4. Ostatné skupiny, pre ktoré i = 4, 5, 6, 7… budú obsahovať Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … bežné oddiely.

Nech i = n-2, potom počet správnych partícií v tejto skupine bude rovnaký ako počet partícií v skupine, kde i=2 (inými slovami, rovná sa Xn-1).

Pretože X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, potom sa počet všetkých častí konvexného mnohouholníka rovná:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Počet pravidelných priečok pretínajúcich jednu uhlopriečku vo vnútri

Pri kontrole špeciálnych prípadov možno dospieť k predpokladu, že počet uhlopriečok konvexných n-uholníkov sa rovná súčinu všetkých delení tohto obrázku (n-3).

Dôkaz tohto predpokladu: predstavte si, že P1n = Xn * (n-3), potom ľubovoľný n-uholník možno rozdeliť na (n-2)-trojuholníky. Navyše z nich môže byť zložený (n-3)-štvoruholník. Spolu s tým bude mať každý štvoruholník uhlopriečku. Keďže v tomto konvexnom geometrickom obrazci možno nakresliť dve uhlopriečky, znamená to, že ďalšie (n-3) uhlopriečky možno nakresliť v ľubovoľných (n-3)-štvorhranoch. Na základe toho môžeme usúdiť, že v akomkoľvek pravidelnom oddiele je možné nakresliť (n-3)-uhlopriečky, ktoré spĺňajú podmienky tejto úlohy.

Oblasť konvexných polygónov

Pri riešení rôznych problémov elementárnej geometrie je často potrebné určiť oblasť konvexného mnohouholníka. Predpokladajme, že (Xi. Yi), i = 1,2,3… n je postupnosť súradníc všetkých susedných vrcholov polygónu, ktorý nemá vlastné priesečníky. V tomto prípade sa jeho plocha vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

kde (X1, Y1) = (Xn+1, Yn + 1).

V kurze základnej geometrie je dokázané, že súčet uhlov konvexného n-uholníka je 180° (n-2). Ukazuje sa, že toto tvrdenie platí aj pre nekonvexné polygóny.

Veta 3. Súčet uhlov ľubovoľného n-uholníka je 180° (n - 2).

Dôkaz. Rozdeľme polygón na trojuholníky nakreslením uhlopriečok (obr. 11). Počet takýchto trojuholníkov je n-2 a v každom trojuholníku je súčet uhlov 180°. Keďže uhly trojuholníkov sú uhlami mnohouholníka, súčet uhlov mnohouholníka je 180° (n - 2).

Uvažujme teraz ľubovoľné uzavreté prerušované čiary, prípadne s vlastnými priesečníkmi A1A2…AnA1 (obr. 12, a). Takéto sebapretínajúce sa prerušované čiary budeme nazývať hviezdicové polygóny (obr. 12, b-d).

Upravme smer počítania uhlov proti smeru hodinových ručičiek. Všimnite si, že uhly tvorené uzavretou lomenou čiarou závisia od smeru, v ktorom sa prechádza. Ak je smer premostenia lomenej čiary obrátený, potom uhly mnohouholníka budú uhly, ktoré dopĺňajú uhly pôvodného mnohouholníka až do 360°.

Ak M je mnohouholník tvorený jednoduchou uzavretou prerušovanou čiarou prechádzajúcou v smere hodinových ručičiek (obr. 13, a), potom sa súčet uhlov tohto mnohouholníka bude rovnať 180 ° (n - 2). Ak prerušovaná čiara prechádza proti smeru hodinových ručičiek (obr. 13, b), potom sa súčet uhlov bude rovnať 180 ° (n + 2).

Všeobecný vzorec pre súčet uhlov mnohouholníka tvoreného jednoduchou uzavretou lomenou čiarou má teda tvar = 180° (n 2), kde je súčet uhlov, n je počet uhlov mnohouholníka, " +" alebo "-" sa berie v závislosti od smeru obchádzania lomenej čiary.

Našou úlohou je odvodiť vzorec pre súčet uhlov ľubovoľného mnohouholníka tvoreného uzavretou (prípadne samopretínajúcou) lomenou čiarou. Na tento účel zavedieme pojem stupňa mnohouholníka.

Stupeň mnohouholníka je počet otáčok vykonaných bodom počas úplného sekvenčného obídenia jeho strán. Okrem toho sa zákruty proti smeru hodinových ručičiek považujú za znamienko „+“ a zákruty v smere hodinových ručičiek so znamienkom „-“.

Je zrejmé, že stupeň mnohouholníka tvoreného jednoduchou uzavretou prerušovanou čiarou je +1 alebo -1 v závislosti od smeru prechodu. Stupeň prerušovanej čiary na obrázku 12 a je rovný dvom. Stupeň hviezdnych sedemuholníkov (obr. 12, c, d) je rovný dvom a trom.

Pojem stupňa je definovaný podobne pre uzavreté krivky v rovine. Napríklad stupeň krivky znázornený na obrázku 14 je dva.

Ak chcete nájsť stupeň mnohouholníka alebo krivky, môžete postupovať nasledovne. Predpokladajme, že pri pohybe pozdĺž krivky (obr. 15, a) sme, vychádzajúc z nejakého miesta A1, úplne otočili a skončili v rovnakom bode A1. Odstránime zodpovedajúcu časť z krivky a pokračujeme v pohybe pozdĺž zostávajúcej krivky (obr. 15b). Ak sme od nejakého miesta A2 opäť urobili úplnú zákrutu a dostali sa do rovnakého bodu, potom vymažeme zodpovedajúcu časť krivky a pokračujeme v pohybe (obr. 15, c). Spočítaním počtu vzdialených úsekov so znamienkami "+" alebo "-" v závislosti od ich smeru obchvatu získame požadovaný stupeň oblúka.

Veta 4. Pre ľubovoľný mnohouholník vzorec

180° (n+2m),

kde je súčet uhlov, n je počet uhlov, m je stupeň mnohouholníka.

Dôkaz. Nech polygón M má stupeň m a je konvenčne znázornený na obrázku 16. M1, …, Mk sú jednoduché uzavreté prerušované čiary, cez ktoré sa bod otáča. A1, …, Ak sú zodpovedajúce samopriesečníky lomenej čiary, ktoré nie sú jej vrcholmi. Označme počet vrcholov mnohouholníka M, ktoré sú zahrnuté v mnohouholníkoch M1, …, Mk, n1, …, nk, resp. Keďže k týmto polygónom sa okrem vrcholov mnohouholníka M pridajú aj vrcholy A1, …, Ak, počet vrcholov mnohouholníkov M1, …, Mk bude rovný n1+1, …, nk+1, resp. Potom sa súčet ich uhlov bude rovnať 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Plus alebo mínus sa berie v závislosti od smeru obchádzania prerušovaných čiar. Súčet uhlov mnohouholníka M0, zostávajúcich z mnohouholníka M po odstránení mnohouholníkov M1, ..., Mk, je rovný 180° (n-n1- ...-nk+k2). Súčty uhlov mnohouholníkov M0, M1, …, Mk dávajú súčet uhlov mnohouholníka M a pri každom vrchole A1, …, Ak navyše získame 360°. Preto máme rovnosť

180° (n1+12)+...+180° (nk+12)+180° (n-n1-...-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

kde m je stupeň mnohouholníka M.

Ako príklad zvážte výpočet súčtu uhlov päťčlennej hviezdičky (obr. 17, a). Stupeň zodpovedajúcej uzavretej lomenej čiary je -2. Preto je požadovaný súčet uhlov 180.

prerušovaná čiara

Definícia

prerušovaná čiara alebo kratšie, prerušovaná čiara, sa nazýva konečná postupnosť segmentov tak, že jeden z koncov prvého segmentu slúži ako koniec druhého, druhý koniec druhého segmentu slúži ako koniec tretieho atď. V tomto prípade susedné segmenty neležia na rovnakej priamke. Tieto segmenty sa nazývajú polyline linky.

Typy prerušovanej čiary

Prerušovaná čiara je tzv zatvorené ak sa začiatok prvého segmentu zhoduje s koncom posledného.

Prerušovaná čiara sa môže prekrížiť, dotknúť sa, oprieť sa o seba. Ak takéto singularity neexistujú, potom sa takáto prerušovaná čiara nazýva jednoduché.

Polygóny

Definícia

Jednoduchá uzavretá lomená čiara spolu s ňou ohraničenou časťou roviny sa nazýva mnohouholník.

Komentujte

V každom vrchole mnohouholníka jeho strany vymedzujú určitý uhol mnohouholníka. Môže byť buď menej, ako je nasadené, alebo viac ako nasadené.

Nehnuteľnosť

Každý mnohouholník má uhol menší ako $180^\circ$.

Dôkaz

Nech je daný mnohouholník $P$.

Nakreslíme nejakú priamku, ktorá ju nepretína. Posunieme ho rovnobežne so stranou mnohouholníka. V určitom bode po prvýkrát získame priamku $a$, ktorá má aspoň jeden spoločný bod s mnohouholníkom $P$. Polygón leží na jednej strane tejto priamky (navyše niektoré jeho body ležia na priamke $a$).

Čiara $a$ obsahuje aspoň jeden vrchol mnohouholníka. Zbiehajú sa v nej jej dve strany, ktoré sa nachádzajú na tej istej strane priamky $a$ (vrátane prípadu, keď jedna z nich leží na tejto priamke). Takže v tomto vrchole je uhol menší ako rozvinutý uhol.

Definícia

Polygón je tzv konvexné ak leží na jednej strane každého riadku obsahujúceho jeho stranu. Ak polygón nie je konvexný, nazýva sa tzv nekonvexné.

Komentujte

Konvexný mnohouholník je priesečník polrovín ohraničených čiarami, ktoré obsahujú strany mnohouholníka.

Vlastnosti konvexného mnohouholníka

Konvexný mnohouholník má všetky uhly menšie ako $180^\circ$.

Tento mnohouholník obsahuje úsečku spájajúcu dva ľubovoľné body konvexného mnohouholníka (najmä ktorúkoľvek z jeho uhlopriečok).

Dôkaz

Dokážme prvú vlastnosť

Vezmite ľubovoľný roh $A$ konvexného mnohouholníka $P$ a jeho stranu $a$ pochádzajúcu z vrcholu $A$. Nech $l$ je čiara obsahujúca stranu $a$. Keďže polygón $P$ je konvexný, leží na jednej strane priamky $l$. Preto aj jeho uhol $A$ leží na tej istej strane tejto priamky. Preto je uhol $A$ menší ako narovnaný uhol, teda menší ako $180^\circ$.

Dokážme druhú vlastnosť

Vezmite ľubovoľné dva body $A$ a $B$ konvexného mnohouholníka $P$. Polygón $P$ je priesečníkom niekoľkých polrovín. Segment $AB$ je obsiahnutý v každej z týchto polrovín. Preto je obsiahnutý aj v polygóne $P$.

Definícia

Diagonálny mnohouholník sa nazýva segment spájajúci jeho nesusedné vrcholy.

Veta (o počte uhlopriečok n-uholníka)

Počet uhlopriečok konvexného $n$-uholníka sa vypočíta podľa vzorca $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Dôkaz

Z každého vrcholu n-uholníka možno nakresliť $n-3$ uhlopriečky (nedá sa nakresliť uhlopriečka k susedným vrcholom a k tomuto vrcholu samotnému). Ak spočítame všetky takéto možné segmenty, potom bude $n\cdot(n-3)$, keďže vrcholov je $n$. Ale každá uhlopriečka sa bude počítať dvakrát. Počet uhlopriečok n-uholníka je teda $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Veta (o súčte uhlov n-uholníka)

Súčet uhlov konvexného $n$-uholníka je $180^\circ(n-2)$.

Dôkaz

Zvážte $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Vezmite ľubovoľný bod $O$ vo vnútri tohto mnohouholníka.

Súčet uhlov všetkých trojuholníkov $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ je $180^\circ\cdot n$.

Na druhej strane je tento súčet súčtom všetkých vnútorných uhlov mnohouholníka a celkového uhla $\uhol O=\uhol 1+\uhol 2+\uhol 3+\ldots=30^\circ$.

Potom sa súčet uhlov uvažovaného $n$-uholníka rovná $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Dôsledok

Súčet uhlov nekonvexného $n$-uholníka je $180^\circ(n-2)$.

Dôkaz

Uvažujme mnohouholník $A_1A_2\ldots A_n$, ktorého jediný uhol $\uhol A_2$ je nekonvexný, tj $\uhol A_2>180^\circ$.

Označme súčet jeho úlovku $S$.

Spojte body $A_1A_3$ a zvážte mnohouholník $A_1A_3\ldots A_n$.

Súčet uhlov tohto mnohouholníka je:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\uhol A_2+\uhol 1+\uhol 2=S-\uhol A_2+180^\circ-\uhol A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \uhol A_1A_2A_3+\uhol A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Preto $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Ak má pôvodný mnohouholník viac ako jeden nekonvexný roh, vyššie popísaná operácia môže byť vykonaná s každým takýmto rohom, čo povedie k preukázaniu tvrdenia.

Veta (o súčte vonkajších uhlov konvexného n-uholníka)

Súčet vonkajších uhlov konvexného $n$-uholníka je $360^\circ$.

Dôkaz

Vonkajší uhol pri vrchole $A_1$ je $180^\circ-\uhol A_1$.

Súčet všetkých vonkajších uhlov je:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\uhol A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.