Pravidlo na násobenie alebo delenie rovnice. Pravidlo na riešenie jednoduchých rovníc

Nedávno mi volá mama školáka, s ktorým sa učím, a žiada ma, aby som dieťaťu vysvetlila matematiku, lebo nerozumie, ale nekričí naňho a rozhovor so synom nevychádza.

nemám matematický sklad myseľ, kreatívnych ľudí Nie je to typické, ale povedal som si, že uvidím, čím si prechádzajú a vyskúšam. A toto sa stalo.

Vzal som do rúk hárok papiera A4, obyčajné biele, fixky, ceruzku a začal som zvýrazňovať to, čo stojí za pochopenie, zapamätanie, pozornosť. A aby ste videli, kam tento údaj smeruje a ako sa mení.

Vysvetlenie príkladov na ľavej strane, na pravá strana.

Príklad #1

Príklad rovnice pre 4. ročník so znamienkom plus.

Úplne prvým krokom je pozrieť sa na to, čo môžeme urobiť v tejto rovnici? Tu môžeme vykonať násobenie. Vynásobíme 80*7 a dostaneme 560. Prepíšte to znova.

X + 320 = 560 (čísla sú zvýraznené zelenou značkou).

X = 560 – 320. Mínus dávame preto, lebo pri prenose čísla sa znamienko pred ním zmení na opačné. Urobme odčítanie.

X = 240 Nezabudnite skontrolovať. Kontrola ukáže, či sme rovnicu vyriešili správne. Namiesto x vložíme číslo, ktoré sme dostali.

Vyšetrenie:

240 + 320 = 80*7 Čísla sčítame a na druhej strane vynásobíme.

To je správne! Tak sme rovnicu vyriešili správne!

Príklad č.2

Príklad rovnice pre 4. ročník so znamienkom mínus.

X – 180 = 240/3

Prvým krokom je pozrieť sa na to, čo môžeme urobiť v tejto rovnici? IN v tomto príklade môžeme zdieľať. Vydelíme 240 deleno 3 a dostaneme 80. Rovnicu prepíšte znova.

X – 180 = 80 (čísla sú zvýraznené zelenou značkou).

Teraz vidíme, že máme x (neznáme) a čísla, ale nie vedľa seba, ale oddelené znamienkom rovnosti. X v jednom smere, čísla v druhom.

X = 80 + 180 Znamienko plus sme dali, pretože pri prenose čísla sa znamienko, ktoré bolo pred číslom, zmení na opačné. Počítame.

X = 260 Vykonať skúšobná práca. Kontrola ukáže, či sme rovnicu vyriešili správne. Namiesto x vložíme číslo, ktoré sme dostali.

Vyšetrenie:

260 – 180 = 240/3

To je správne!

Príklad č.3

400 – x = 275 + 25 Sčítajte čísla.

400 – x = 300 Čísla sú oddelené znamienkom rovnosti, x je záporné. Aby to bolo pozitívne, musíme ho posunúť cez znamienko rovnosti, zbierame čísla na jednej strane, x na druhej.

400 - 300 = x Číslo 300 bolo kladné, ale pri presune na druhú stranu zmenilo znamienko a stalo sa mínusom. Počítame.

Keďže nie je zvykom písať týmto spôsobom a prvé v rovnici by malo byť x, jednoducho ich vymeníme.

Vyšetrenie:

400 – 100 = 275 + 25 Počítajme.

To je správne!

Príklad č.4

Príklad rovnice pre 4. ročník so znamienkom mínus, kde x je v strede, inými slovami, príklad rovnice, kde x je v strede záporné.

72 – x = 18 * 3 Vykonávame násobenie. Prepíšme príklad.

72 – x = 54 Čísla zoradíme v jednom smere, x v druhom. Číslo 54 zmení znamienko na opačné, pretože preskočí cez znamienko rovnosti.

72 – 54 = x Počítajme.

18 = x Vymeňte miesta pre pohodlie.

Vyšetrenie:

72 – 18 = 18 * 3

To je správne!

Príklad č.5

Príklad x rovnice s odčítaním a sčítaním pre 4. ročník.

X – 290 = 470 + 230 Pridať.

X – 290 = 700 Položíme čísla na jednu stranu.

X = 700 + 290 Počítajme.

Vyšetrenie:

990 – 290 = 470 + 230 Vykonávame sčítanie.

To je správne!

Príklad č.6

Príklad x rovnice pre násobenie a delenie pre 4. ročník.

15 * x = 630/70 Vykonávame delenie. Prepíšeme rovnicu.

15 * x = 90 To je to isté ako 15x = 90 Na jednej strane necháme x, na druhej čísla. Táto rovnica má nasledujúci tvar.

X = 90/15, pri prenesení čísla 15 sa znamienko násobenia zmení na delenie. Počítame.

Vyšetrenie:

15*6 = 630 / 7 Vykonávame násobenie a odčítanie.

To je správne!

Teraz si povedzme o základných pravidlách:

Násobiť, sčítať, deliť alebo odčítať;
Tým, čo môžeme urobiť, bude rovnica o niečo kratšia.
X v jednom smere, čísla v druhom.
Neznáma premenná v jednom smere (nie je to vždy x, môže to byť iné písmeno), čísla v druhom smere.
Keď prenesiete x alebo číslo cez znamienko rovnosti, ich znamienko sa zmení na opačné.
Ak bolo číslo kladné, pri prenose dáme pred číslo znamienko mínus. A naopak, ak číslo alebo x malo znamienko mínus, potom pri prenose cez rovná sa dáme znamienko plus.
Ak rovnica na konci začína číslom, jednoducho ju zameňte.
Vždy kontrolujeme!

Vykonávaním domáca úloha, dobrá práca, testy, vždy si môžete najprv vziať hárok a napísať naň a urobiť kontrolu.

Okrem toho nájdeme podobné príklady na internete, ďalšie knihy, manuály. Je jednoduchšie nemeniť čísla, ale brať hotové príklady.

Ako väčšie dieťa sa rozhodne sám, študuje sám, tým rýchlejšie sa naučí látku.

Ak dieťa nerozumie príkladom s rovnicou, stojí za to vysvetliť príklad a povedať mu, aby zvyšok urobil podľa vzoru.

Dané Detailný popis, ako vysvetliť rovnice s x školákovi pre:

rodičia;
školáci;
tútori;
starí rodičia;
učitelia;

Deti musia robiť všetko farebne, s rôznymi pastelkami na tabuli, ale bohužiaľ, nie každý to robí.

Z mojej praxe

Chlapec písal tak, ako chcel, v rozpore s existujúcimi pravidlami v matematike. Pri kontrole rovnice boli rôzne čísla a jedno číslo (na ľavej strane) sa nerovnalo druhému (to na pravej strane), strávil čas hľadaním chyby.

Na otázku, prečo to robí? Odpoveď bola, že sa snažil hádať a rozmýšľal, čo ak to urobí správne.

IN v tomto prípade podobné príklady treba riešiť každý deň (každý druhý deň). Priviesť akcie k automatizácii a samozrejme, že všetky deti sú iné, sa nemusí dosiahnuť od prvej hodiny.

Ak rodičia nemajú čas a často je to tak preto, lebo rodičia zarábajú hotovosť, potom je lepšie nájsť vo svojom meste lektora, ktorý preberanú látku dokáže dieťaťu vysvetliť.

Teraz je vek jednotnej štátnej skúšky, testov, testy, existujú ďalšie zbierky a príručky. Pri robení domácich úloh pre dieťa by rodičia mali pamätať na to, že nebudú zahrnuté do školskej skúšky. Je lepšie to dieťaťu raz jasne vysvetliť, aby príklady vedelo dieťa samostatne riešiť.

Rovnica je rovnosť obsahujúca písmeno, ktorého hodnotu treba nájsť.

V rovniciach je neznáma zvyčajne reprezentovaná malým písmenom latinské písmeno. Najčastejšie používané písmená sú „x“ [ix] a „y“ [y].

Koreň rovnice- je to hodnota písmena, pri ktorej sa z rovnice získa správna číselná rovnosť.
Vyriešte rovnicu- znamená nájsť všetky svoje korene alebo sa uistiť, že tam nie sú žiadne korene.

Po vyriešení rovnice vždy za odpoveďou zapíšeme kontrolu.

Informácie pre rodičov

Vážení rodičia, dávame do pozornosti, že Základná škola a v 5. ročníku deti NEPOZNAJÚ tému „Záporné čísla“.

Preto musia riešiť rovnice iba pomocou vlastností sčítania, odčítania, násobenia a delenia. Metódy riešenia rovníc pre 5. ročník sú uvedené nižšie.

Nesnažte sa vysvetľovať riešenie rovníc prenášaním čísel a písmen z jednej časti rovnice do druhej so zmenou znamienka.

Pojmy súvisiace so sčítaním, odčítaním, násobením a delením si môžete oprášiť v lekcii „Zákony aritmetiky“.

Riešenie rovníc sčítania a odčítania

Ako nájsť neznáme
termín

Ako nájsť neznáme
minend

Ako nájsť neznáme
subtrahend

Ak chcete nájsť neznámy výraz, musíte od súčtu odčítať známy výraz.

Ak chcete nájsť neznámy minuend, musíte k rozdielu pridať subtrahend.

Ak chcete nájsť neznámy subtrahend, musíte odpočítať rozdiel od minuendu.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Vyšetrenie

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Vyšetrenie

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Vyšetrenie

Riešenie rovníc násobenia a delenia

Ako nájsť neznámeho
faktor

Ako nájsť neznáme
dividenda

Ako nájsť neznámeho
rozdeľovač

Nájsť neznámy multiplikátor, musíte rozdeliť produkt známym faktorom.

Ak chcete nájsť neznámu dividendu, musíte vynásobiť podiel deliteľom.

Ak chcete nájsť neznámeho deliteľa, musíte rozdeliť dividendu podielom.

y4 = 12
y=12:4
y=3
Vyšetrenie

y: 7 = 2
y = 27
y=14
Vyšetrenie

8:y=4
y=8:4
y=2
Vyšetrenie

Rovnica je rovnosť obsahujúca písmeno, ktorého znamienko treba nájsť. Riešením rovnice je množina písmenových hodnôt, ktoré menia rovnicu na skutočnú rovnosť:

Pripomeňme si to vyriešiť rovnica musíte preniesť výrazy s neznámym do jednej časti rovnosti a číselné výrazy do druhej, priniesť podobné a získať nasledujúcu rovnosť:

Z poslednej rovnosti určíme neznámu podľa pravidla: „jeden z faktorov sa rovná podielu deleného druhým faktorom“.

Pretože racionálne čísla a a b môžu mať rovnaké a rôzne znamenia, potom znamienko neznámej určujú pravidlá delenia racionálnych čísel.

Postup riešenia lineárnych rovníc

Lineárna rovnica sa musí zjednodušiť otvorením zátvoriek a vykonaním operácií druhého kroku (násobenie a delenie).

Presuňte neznáme na jednu stranu znamienka rovnosti a čísla na druhú stranu znamienka rovnosti, čím získate rovnosť identickú s danou,

Prineste podobné naľavo a napravo od znamienka rovnosti, čím získate rovnosť tvaru sekera = b.

Vypočítajte koreň rovnice (nájdite neznámu X z rovnosti X = b : a),

Vykonajte test nahradením neznámeho daná rovnica.

Ak získame identitu v číselná rovnosť, potom je rovnica vyriešená správne.

Špeciálne prípady riešenia rovníc

Ak rovnica ak je súčin rovný 0, potom na jeho vyriešenie použijeme vlastnosť násobenia: „súčin sa rovná nule, ak sa jeden z faktorov alebo oba faktory rovnajú nule“.

27 (X - 3) = 0
27 sa nerovná 0, čo znamená X - 3 = 0

Druhý príklad má dve riešenia rovnice, pretože
toto je rovnica druhého stupňa:

Ak sú koeficienty rovnice obyčajné zlomky, potom sa v prvom rade musíme zbaviť menovateľov. Pre to:

Nájsť spoločný menovateľ;

Definujte dodatočné multiplikátory pre každý člen rovnice;

Vynásobte čitateľov zlomkov a celých čísel ďalšími faktormi a napíšte všetky členy rovnice bez menovateľov (spoločný menovateľ môže byť vyradený);

Presuňte členy s neznámymi na jednu stranu rovnice a číselné členy na druhú od znamienka rovnosti, čím získate ekvivalentnú rovnosť;

Priveďte podobných členov;

Základné vlastnosti rovníc

V ktorejkoľvek časti rovnice môžeme dať podobné výrazy alebo otvorte držiak.

Akýkoľvek člen rovnice možno preniesť z jednej časti rovnice do druhej zmenou jej znamienka na opačné.

Obe strany rovnice možno vynásobiť (vydeliť) rovnakým číslom, okrem 0.

Vo vyššie uvedenom príklade boli všetky jeho vlastnosti použité na riešenie rovnice.

Pravidlo na riešenie jednoduchých rovníc

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v Špeciálna sekcia 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi. »
A pre tých, ktorí „veľmi veľmi. ")

Lineárne rovnice.

Lineárne rovnice nie sú najviac zložitá téma školská matematika. Existuje však niekoľko trikov, ktoré dokážu zmiasť aj trénovaného študenta. Poďme na to?)

Lineárna rovnica je zvyčajne definovaná ako rovnica v tvare:

Nič zložité, však? Najmä ak si nevšimnete slová: „kde a a b sú ľubovoľné čísla“. A ak si to všimnete a bezstarostne o tom premýšľate?) Koniec koncov, ak a=0, b = 0(sú možné nejaké čísla?), potom dostaneme vtipný výraz:

Ale to nie je všetko! Ak povedzme a=0, A b=5, Toto sa ukáže ako niečo úplne nezvyčajné:

Čo je stresujúce a podkopáva to dôveru v matematiku, áno.) Najmä počas skúšok. Ale z týchto zvláštnych výrazov musíte nájsť aj X! Ktorý vôbec neexistuje. A prekvapivo, toto X je veľmi ľahké nájsť. Naučíme sa to robiť. V tejto lekcii.

Ako rozpoznať lineárnu rovnicu podľa jej vzhľadu? Záleží na čom vzhľad.) Trik je v tom, že nielen rovnice tvaru sa nazývajú lineárne rovnice sekera + b = 0 , ale aj akékoľvek rovnice, ktoré je možné transformáciou a zjednodušením zredukovať do tejto podoby. A ktovie, či spadne alebo nie?)

V niektorých prípadoch možno jasne rozpoznať lineárnu rovnicu. Povedzme, že ak máme rovnicu, v ktorej sú len neznáme do prvého stupňa a čísla. A v rovnici nie je zlomky delené o neznámy , to je dôležité! A rozdelenie podľa číslo, alebo číselný zlomok - to je vítané! Napríklad:

Toto je lineárna rovnica. Sú tu zlomky, ale nie sú x v druhej mocnine, kocke atď., a nie sú x v menovateľoch, t.j. Nie delenie x. A tu je rovnica

nemožno nazvať lineárnym. Tu sú X všetky na prvom stupni, ale sú delenie výrazom s x. Po zjednodušeniach a transformáciách môžete získať lineárnu rovnicu, kvadratickú rovnicu alebo čokoľvek, čo sa vám páči.

Ukazuje sa, že je nemožné rozpoznať lineárnu rovnicu v nejakom komplikovanom príklade, kým ju takmer nevyriešite. Toto je znepokojujúce. Ale v zadaniach sa spravidla nepýtajú na formu rovnice, však? Zadania si pýtajú rovnice rozhodnúť. Toto ma robí šťastným.)

Riešenie lineárnych rovníc. Príklady.

Celé riešenie lineárne rovnice pozostáva z identických transformácií rovníc. Mimochodom, tieto transformácie (dve z nich!) sú základom riešení všetky matematické rovnice. Inými slovami, riešenie akýkoľvek rovnica začína práve týmito transformáciami. V prípade lineárnych rovníc je to (riešenie) založené na týchto transformáciách a končí úplnou odpoveďou. Dáva zmysel sledovať odkaz, nie?) Okrem toho sú tam aj príklady riešenia lineárnych rovníc.

Najprv sa pozrime na najjednoduchší príklad. Bez akýchkoľvek nástrah. Predpokladajme, že musíme vyriešiť túto rovnicu.

Toto je lineárna rovnica. Všetky X sú v prvej mocnine, neexistuje žiadne delenie X. Ale v skutočnosti nám nezáleží na tom, o aký druh rovnice ide. Musíme to vyriešiť. Schéma je tu jednoduchá. Zbierajte všetko s X na ľavej strane rovnice, všetko bez X (čísel) na pravej strane.

Ak to chcete urobiť, musíte preniesť — 4x na ľavú stranu, samozrejme so zmenou znamienka a — 3 - doprava. Mimochodom, toto je prvá identická transformácia rovníc. Prekvapený? To znamená, že ste nesledovali odkaz, ale márne.) Dostávame:

Tu sú podobné, uvažujeme:

Na čo potrebujeme úplné šťastie? Áno, takže vľavo je čisté X! Päť je v ceste. Zbavte sa piatich s pomocou druhá identická transformácia rovníc. Totiž obe strany rovnice vydelíme 5. Dostaneme hotovú odpoveď:

Samozrejme elementárny príklad. Toto je na zahriatie.) Nie je celkom jasné, o čom tu hovorím transformácie identity spomenul si? OK. Vezmime býka za rohy.) Rozhodnime sa niečo pevnejšie.

Napríklad tu je rovnica:

kde začneme? S X - vľavo, bez X - vpravo? Môže to tak byť. Po malých krokoch dlhá cesta. Alebo to môžete urobiť hneď, univerzálnym a výkonným spôsobom. Ak, samozrejme, máte vo svojom arzenáli identické transformácie rovníc.

Položím vám kľúčovú otázku: Čo sa vám na tejto rovnici najviac nepáči?

95 zo 100 ľudí odpovie: zlomky ! Odpoveď je správna. Tak sa ich zbavme. Preto okamžite začneme s druhá transformácia identity. Čím treba vynásobiť zlomok vľavo, aby sa menovateľ úplne zmenšil? Správne, o 3. A vpravo? 4. Ale matematika nám umožňuje vynásobiť obe strany rovnaké číslo. Ako sa dostaneme von? Vynásobme obe strany 12! Tie. na spoločného menovateľa. Potom sa zníži trojka aj štvorka. Nezabudnite, že každú časť je potrebné vynásobiť úplne. Prvý krok vyzerá takto:

Poznámka! Čitateľ (x+2) Dal som to do zátvoriek! Pri násobení zlomkov sa totiž násobí celý čitateľ! Teraz môžete znížiť zlomky:

Rozbaľte zostávajúce zátvorky:

Nie príklad, ale číre potešenie!) Teraz si spomeňme na kúzlo z nižšej strednej školy: s X - doľava, bez X - doprava! A použite túto transformáciu:

A obe časti vydeľte 25, t.j. znova použite druhú transformáciu:

To je všetko. odpoveď: X=0,16

Poznámka: Aby sme dostali pôvodnú mätúcu rovnicu do peknej podoby, použili sme dve (len dve!) transformácie identity– preklad zľava doprava so zmenou znamienka a násobením-delenie rovnice rovnakým číslom. Toto je univerzálna metóda! Týmto spôsobom budeme pracovať s akýkoľvek rovnice! Úplne ktokoľvek. Preto únavne opakujem tieto identické premeny stále dookola.)

Ako vidíte, princíp riešenia lineárnych rovníc je jednoduchý. Zoberieme rovnicu a zjednodušíme ju pomocou identických transformácií, kým nedostaneme odpoveď. Hlavné problémy sú tu vo výpočtoch, nie v princípe riešenia.

Ale. V procese riešenia tých najelementárnejších lineárnych rovníc sú také prekvapenia, že vás môžu priviesť až do silnej strnulosti.) Našťastie, takéto prekvapenia môžu byť len dve. Nazvime ich špeciálne prípady.

Špeciálne prípady pri riešení lineárnych rovníc.

Prvé prekvapenie.

Predpokladajme, že narazíte na veľmi základnú rovnicu, niečo ako:

Mierne znudený sa pohybujeme s X doľava, bez X - doprava. So zmenou znamenia je všetko v poriadku. Dostaneme:

Myslíme si, a ups. Dostaneme:

Táto rovnosť sama osebe nie je sporná. Nula je naozaj nula. Ale X chýba! A v odpovedi musíme napísať, čo sa rovná x? Inak sa riešenie nepočíta, však.) Deadlock?

Pokojne! V takýchto pochybných prípadoch vás zachránia najvšeobecnejšie pravidlá. Ako riešiť rovnice? Čo znamená vyriešiť rovnicu? To znamená, nájdite všetky hodnoty x, ktoré nám po dosadení do pôvodnej rovnice dajú správnu rovnosť.

Ale máme skutočnú rovnosť už Stalo! 0=0, o koľko presnejšie?! Zostáva zistiť, pri akom x sa to stane. Do akých hodnôt X možno dosadiť originálny rovnica, ak sú tieto x budú stále znížené na nulu? Poď?)

Áno. X môžu byť nahradené akýkoľvek! Ktoré z nich chcete? Aspoň 5, aspoň 0,05, aspoň -220. Stále sa budú zmenšovať. Ak mi neveríte, môžete si to overiť.) Dosaďte ľubovoľné hodnoty X do originálny rovnica a výpočet. Po celú dobu budete dostávať čistú pravdu: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 a tak ďalej.

Tu je vaša odpoveď: x - ľubovoľné číslo.

Odpoveď môže byť napísaná rôznymi matematickými symbolmi, podstata sa nemení. Toto je úplne správna a úplná odpoveď.

Druhé prekvapenie.

Zoberme si rovnakú elementárnu lineárnu rovnicu a zmeňme v nej len jedno číslo. Takto sa rozhodneme:

Po rovnakých identických transformáciách dostaneme niečo zaujímavé:

Páči sa ti to. Vyriešili sme lineárnu rovnicu a dostali sme zvláštnu rovnosť. Z matematického hľadiska máme falošná rovnosť. A rozprávanie jednoduchým jazykom, to nie je pravda. Rave. Ale napriek tomu je tento nezmysel veľmi dobrým dôvodom správne rozhodnutie rovnice.)

Opäť uvažujeme na základe všeobecných pravidiel. Čo nám dá x, keď dosadíme do pôvodnej rovnice pravda rovnosť? Áno, žiadne! Také X neexistujú. Bez ohľadu na to, čo vložíte, všetko sa zredukuje, zostanú len nezmysly.)

Tu je vaša odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Toto je tiež úplne úplná odpoveď. V matematike sa takéto odpovede často nachádzajú.

Páči sa ti to. Teraz vás, dúfam, zmiznutie X v procese riešenia akejkoľvek (nielen lineárnej) rovnice vôbec nebude zmiasť. Toto je už známa vec.)

Teraz, keď sme sa vysporiadali so všetkými úskaliami v lineárnych rovniciach, má zmysel ich riešiť.

Budú na jednotnej štátnej skúške? - Počujem otázku praktických ľudí. Odpovedám. IN čistej forme- Nie. Príliš základné. Ale v GIA, alebo pri riešení problémov v Jednotnej štátnej skúške sa s nimi určite stretnete! Takže zmeníme myš na pero a rozhodneme sa.

Odpovede sú uvedené neusporiadane: 2,5; žiadne riešenia; 51; 17.

Stalo?! Gratulujem! Máte dobrú šancu na skúškach.)

Odpovede sa nezhodujú? Hmmm. Toto ma nerobí šťastným. Toto nie je téma, bez ktorej sa nezaobídete. Odporúčam navštíviť sekciu 555. Je veľmi podrobne popísaná, Čo treba urobiť a Ako urobte tak, aby ste sa pri rozhodovaní nezmiatli. Použitie týchto rovníc ako príklad.

A ako riešiť rovnice prefíkanejší - to je v ďalšej téme.

Ak sa vám táto stránka páči.

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Tu si môžete precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

A tu sa môžete zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Riešenie lineárnych rovníc 7. ročník

Pre riešenie lineárnych rovníc použiť dve základné pravidlá (vlastnosti).

Nehnuteľnosť č.1
alebo
pravidlo prevodu

Pri prenose z jednej časti rovnice do druhej člen rovnice zmení svoje znamienko na opačné.

Pozrime sa na prenosové pravidlo na príklade. Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť lineárnu rovnicu.

Pripomeňme, že každá rovnica má ľavú a pravú stranu.

Presuňme číslo „3“ z ľavej strany rovnice doprava.

Keďže číslo „3“ malo znamienko „+“ na ľavej strane rovnice, znamená to, že pravá strana rovnica „3“ sa prenesie so znamienkom „-“.

Prijaté číselná hodnota"x = 2" sa nazýva koreň rovnice.

Po vyriešení akejkoľvek rovnice si nezabudnite zapísať odpoveď.

Uvažujme o inej rovnici.

Podľa pravidla prenosu sa posunieme „4x“ z ľavej strany rovnice doprava, pričom znamienko zmeníme na opačné.

Aj keď pred „4x“ nie je žiadny znak, chápeme, že pred „4x“ je znak „+“.

Teraz dajme podobné a doriešme rovnicu až do konca.

Nehnuteľnosť č.2
alebo
pravidlo rozdelenia

V ľubovoľnej rovnici môžete rozdeliť ľavú a pravú stranu rovnakým číslom.

Ale nemôžete sa rozdeliť na neznáme!

Pozrime sa na príklad, ako použiť pravidlo delenia pri riešení lineárnych rovníc.

Číslo „4“, ktoré znamená „x“, sa nazýva číselný koeficient neznáma.

Medzi číselným koeficientom a neznámou vždy existuje násobenie.

Na vyriešenie rovnice sa musíte uistiť, že „x“ má koeficient „1“.

Položme si otázku: „Čím by sme mali rozdeliť „4“, aby sme mohli
dostať "1"? Odpoveď je zrejmá, musíte deliť „4“.

Použijeme pravidlo delenia a vydelíme ľavú a pravú stranu rovnice „4“. Nezabudnite, že je potrebné rozdeliť ľavú aj pravú časť.

Využime redukciu zlomkov a doriešme lineárnu rovnicu až do konca.

Ako vyriešiť rovnicu, ak je "x" záporné

V rovniciach často nastáva situácia, keď „x“ má záporný koeficient. Ako v rovnici nižšie.

Na vyriešenie takejto rovnice si opäť položíme otázku: „Čím musíme deliť „-2“, aby sme dostali „1“? Musíte deliť „-2“.

Riešenie jednoduchých lineárnych rovníc

V tomto videu budeme analyzovať celý súbor lineárnych rovníc, ktoré sú riešené pomocou rovnakého algoritmu - preto sa nazývajú najjednoduchšie.

Najprv definujme: čo je lineárna rovnica a ktorá sa nazýva najjednoduchšia?

Lineárna rovnica je taká, v ktorej existuje iba jedna premenná a iba do prvého stupňa.

Najjednoduchšia rovnica znamená konštrukciu:

Všetky ostatné lineárne rovnice sú redukované na najjednoduchšie pomocou algoritmu:

Rozbaľte zátvorky, ak existujú;
Presuňte výrazy obsahujúce premennú na jednu stranu znamienka rovnosti a výrazy bez premennej na druhú;
Uveďte podobné výrazy vľavo a vpravo od znamienka rovnosti;
Výslednú rovnicu vydeľte koeficientom premennej $x$.

Samozrejme, tento algoritmus nie vždy pomáha. Faktom je, že niekedy po všetkých týchto machináciách sa koeficient premennej $ x $ rovná nule. V tomto prípade sú možné dve možnosti:

Rovnica nemá vôbec žiadne riešenia. Keď napríklad vyjde niečo ako $0\cdot x=8$, t.j. vľavo je nula a vpravo je číslo iné ako nula. Vo videu nižšie sa pozrieme na niekoľko dôvodov, prečo je táto situácia možná.
Riešením sú všetky čísla. Jediný prípad, kedy je to možné, je, keď bola rovnica zredukovaná na konštrukciu $0\cdot x=0$. Je celkom logické, že bez ohľadu na to, aké $x$ dosadíme, stále to vyjde „nula sa rovná nule“, t.j. správna číselná rovnosť.

Teraz sa pozrime, ako to všetko funguje na príkladoch zo skutočného života.

Príklady riešenia rovníc

Dnes sa zaoberáme lineárnymi rovnicami, a to len tými najjednoduchšími. Vo všeobecnosti lineárna rovnica znamená akúkoľvek rovnosť, ktorá obsahuje práve jednu premennú a ide len do prvého stupňa.

Takéto konštrukcie sú riešené približne rovnakým spôsobom:

Najprv musíte otvoriť zátvorky, ak nejaké existujú (ako v našom posledný príklad);
Potom skombinujte podobné
Nakoniec izolujte premennú, t.j. presunúť všetko, čo je spojené s premennou - pojmy, v ktorých je obsiahnutá - na jednu stranu a všetko, čo zostane bez nej, presunúť na druhú stranu.

Potom spravidla musíte priniesť podobné na každej strane výslednej rovnosti a potom už zostáva len deliť koeficientom „x“ a dostaneme konečnú odpoveď.

Teoreticky to vyzerá pekne a jednoducho, ale v praxi môžu aj skúsení stredoškoláci robiť útočné chyby v celkom jednoduchých lineárnych rovniciach. Chyby sa zvyčajne robia buď pri otváraní zátvoriek alebo pri výpočte „plusov“ a „mínusov“.

Okrem toho sa stáva, že lineárna rovnica nemá vôbec žiadne riešenia, alebo že riešením je celá číselná os, t.j. ľubovoľné číslo. Na tieto jemnosti sa pozrieme v dnešnej lekcii. Ale začneme, ako ste už pochopili, od samotného jednoduché úlohy.

Schéma riešenia jednoduchých lineárnych rovníc

Najprv mi dovoľte ešte raz napísať celú schému riešenia najjednoduchších lineárnych rovníc:

Rozbaľte zátvorky, ak existujú.
Izolujeme premenné, t.j. Všetko, čo obsahuje „X“ presunieme na jednu stranu a všetko bez „X“ na druhú stranu.
Uvádzame podobné pojmy.
Všetko vydelíme koeficientom „x“.

Samozrejme, táto schéma nie vždy funguje, sú v nej určité jemnosti a triky a teraz ich spoznáme.

Riešenie reálnych príkladov jednoduchých lineárnych rovníc

Prvý krok vyžaduje, aby sme otvorili zátvorky. Ale v tomto príklade nie sú, takže ich preskočíme tejto fáze. V druhom kroku musíme izolovať premenné. Poznámka: hovoríme o len o jednotlivých termínoch. Poďme si to zapísať:

Podobné výrazy uvádzame vľavo a vpravo, ale to tu už bolo urobené. Preto prejdeme na štvrtý krok: delenie koeficientom:

Tak sme dostali odpoveď.

V tomto probléme vidíme zátvorky, tak ich rozviňme:

Naľavo aj napravo vidíme približne rovnaký dizajn, ale konajme podľa algoritmu, t.j. oddelenie premenných:

Na akých koreňoch to funguje? Odpoveď: pre akékoľvek. Preto môžeme napísať, že $x$ je ľubovoľné číslo.

Zaujímavejšia je tretia lineárna rovnica:

\[\vľavo(6-x \vpravo)+\vľavo(12+x \vpravo)-\vľavo(3-2x \vpravo)=15\]

Zátvoriek je niekoľko, ale nie sú ničím násobené, jednoducho sú pred nimi rôzne znaky. Poďme si ich rozobrať:

Vykonávame druhý krok, ktorý je nám známy:

Vykonáme posledný krok - všetko vydelíme koeficientom „x“:

Na čo treba pamätať pri riešení lineárnych rovníc

Ak ignorujeme príliš jednoduché úlohy, rád by som povedal nasledovné:

Ako som povedal vyššie, nie každá lineárna rovnica má riešenie - niekedy jednoducho neexistujú žiadne korene;
Aj keď sú korene, môže byť medzi nimi nula – na tom nie je nič zlé.

Nula je rovnaké číslo ako ostatné; nemali by ste ju nijako diskriminovať ani predpokladať, že ak dostanete nulu, urobili ste niečo zle.

Ďalšia funkcia súvisí s otváraním zátvoriek. Upozornenie: keď je pred nimi „mínus“, odstránime ho, ale v zátvorkách zmeníme znamienka na opak. A potom ho môžeme otvoriť pomocou štandardných algoritmov: dostaneme to, čo sme videli vo výpočtoch vyššie.

Pochopenie tohto jednoduchý fakt vám umožní vyhnúť sa hlúpym a urážlivým chybám na strednej škole, keď sa takéto konanie považuje za samozrejmosť.

Riešenie zložitých lineárnych rovníc

Poďme na viac zložité rovnice. Teraz budú konštrukcie zložitejšie a pri rôznych transformáciách sa objaví kvadratická funkcia. Nemali by sme sa toho však báť, pretože ak podľa plánu autora riešime lineárnu rovnicu, potom sa počas transformačného procesu určite zrušia všetky monomály obsahujúce kvadratickú funkciu.

Je zrejmé, že prvým krokom je otvorenie zátvoriek. Urobme to veľmi opatrne:

Teraz sa pozrime na súkromie:

Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia, takže to napíšeme do odpovede:

Vykonávame rovnaké akcie. Prvý krok:

Presuňme všetko s premennou doľava a bez nej - doprava:

Je zrejmé, že táto lineárna rovnica nemá riešenie, takže ju napíšeme takto:

alebo tam nie sú korene.

Nuansy riešenia

Obe rovnice sú úplne vyriešené. Na príklade týchto dvoch výrazov sme sa opäť presvedčili, že ani v najjednoduchších lineárnych rovniciach nemusí byť všetko také jednoduché: môže byť buď jeden, alebo žiadny, alebo nekonečne veľa koreňov. V našom prípade sme zvažovali dve rovnice, obe jednoducho nemajú korene.

Chcel by som vás však upozorniť na inú skutočnosť: ako pracovať so zátvorkami a ako ich otvárať, ak je pred nimi znamienko mínus. Zvážte tento výraz:

Pred otvorením musíte všetko vynásobiť „X“. Poznámka: násobí sa každý jednotlivý termín. Vo vnútri sú dva termíny – respektíve dva termíny a násobené.

A až po dokončení týchto zdanlivo elementárnych, no veľmi dôležitých a nebezpečných premien, môžete zátvorku otvárať z pohľadu toho, že je za ňou znamienko mínus. Áno, áno: až teraz, keď sú transformácie dokončené, si pamätáme, že pred zátvorkami je znamienko mínus, čo znamená, že všetko nižšie jednoducho mení znamienka. Zároveň zmiznú samotné zátvorky a čo je najdôležitejšie, zmizne aj predné „mínus“.

To isté urobíme s druhou rovnicou:

Nie náhodou venujem pozornosť týmto malým, zdanlivo bezvýznamným skutočnostiam. Pretože riešenie rovníc je vždy postupnosť elementárne transformácie, kde nemožnosť jasne a kvalifikovane vykonávať jednoduché kroky vedie k tomu, že za mnou chodia stredoškoláci a opäť sa učia riešiť takéto jednoduché rovnice.

Samozrejme, príde deň, keď tieto zručnosti vycibríte až do automatizácie. Už nebudete musieť zakaždým vykonávať toľko transformácií, všetko napíšete na jeden riadok. Ale kým sa len učíte, musíte si každú akciu napísať samostatne.

Riešenie aj zložitejších lineárnych rovníc

To, čo teraz vyriešime, možno len ťažko nazvať najjednoduchšou úlohou, no význam zostáva rovnaký.

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]

Vynásobme všetky prvky v prvej časti:

Urobme si trochu súkromia:

Dokončime posledný krok:

Tu je naša konečná odpoveď. A napriek tomu, že v procese riešenia sme mali koeficienty s kvadratickou funkciou, navzájom sa rušili, čím je rovnica lineárna a nie kvadratická.

\[\vľavo(1-4x \vpravo)\vľavo(1-3x \vpravo)=6x\vľavo(2x-1 \vpravo)\]

Opatrne vykonajte prvý krok: vynásobte každý prvok z prvej zátvorky každým prvkom z druhej. Po transformáciách by mali byť celkom štyri nové termíny:

Teraz opatrne vykonajte násobenie v každom výraze:

Presuňme výrazy s "X" doľava a tie bez - doprava:

Tu sú podobné výrazy:

Opäť sme dostali konečnú odpoveď.

Najdôležitejšia poznámka o týchto dvoch rovniciach je, že akonáhle začneme násobiť zátvorky obsahujúce viac ako jeden člen, urobí to tak, že ďalšie pravidlo: vezmeme prvý člen z prvého a vynásobíme každým prvkom z druhého; potom vezmeme druhý prvok z prvého a podobne vynásobíme každým prvkom z druhého. V dôsledku toho budeme mať štyri volebné obdobia.

O algebraickom súčte

Týmto posledným príkladom by som chcel žiakom pripomenúť čo algebraický súčet. V klasickej matematike pod pojmom $1-7$ rozumieme jednoduchú konštrukciu: odpočítajte sedem od jednej. V algebre tým myslíme nasledovné: k číslu „jedna“ pridáme ďalšie číslo, a to „mínus sedem“. Týmto sa algebraický súčet líši od obyčajného aritmetického súčtu.

Akonáhle pri vykonávaní všetkých transformácií, každého sčítania a násobenia, začnete vidieť konštrukcie podobné tým, ktoré sú popísané vyššie, jednoducho nebudete mať problémy v algebre pri práci s polynómami a rovnicami.

Nakoniec sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov, ktoré budú ešte zložitejšie ako tie, na ktoré sme sa práve pozreli, a na ich vyriešenie budeme musieť mierne rozšíriť náš štandardný algoritmus.

Riešenie rovníc so zlomkami

Na vyriešenie takýchto úloh budeme musieť do nášho algoritmu pridať ešte jeden krok. Najprv mi však dovoľte pripomenúť náš algoritmus:

Samostatné premenné.

Bohužiaľ, tento úžasný algoritmus sa pri všetkej svojej účinnosti ukazuje ako nie úplne vhodný, keď máme pred sebou zlomky. A v tom, čo uvidíme nižšie, máme zlomok vľavo aj vpravo v oboch rovniciach.

Ako v tomto prípade pracovať? Áno, je to veľmi jednoduché! Aby ste to dosiahli, musíte do algoritmu pridať ešte jeden krok, ktorý je možné vykonať pred aj po prvej akcii, konkrétne zbaviť sa zlomkov. Algoritmus bude teda nasledujúci:

Zbavte sa zlomkov.
Otvorte zátvorky.
Prineste si podobné.
Vydeliť pomerom.

Čo to znamená „zbaviť sa zlomkov“? A prečo sa to dá urobiť aj po, aj pred prvým štandardným krokom? V skutočnosti sú v našom prípade všetky zlomky vo svojom menovateli číselné, t.j. Všade je menovateľom len číslo. Ak teda vynásobíme obe strany rovnice týmto číslom, zbavíme sa zlomkov.

Zbavme sa zlomkov v tejto rovnici:

Pozor: všetko sa násobí „štyri“ raz, t.j. to, že máte dve zátvorky, neznamená, že musíte každú z nich vynásobiť „štyri“. Zapíšme si:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]

Vylúčime premennú:

Vykonávame redukciu podobných výrazov:

\[-4x=-1\vľavo| :\vľavo(-4 \vpravo) \vpravo.\]

Máme konečné rozhodnutie, prejdime k druhej rovnici.

Tu vykonávame všetky rovnaké akcie:

To je vlastne všetko, čo som vám dnes chcel povedať.

Kľúčové body

Kľúčové zistenia sú:

Poznať algoritmus na riešenie lineárnych rovníc.
Možnosť otvárania zátvoriek.
Nerobte si starosti, ak uvidíte kvadratické funkcie, s najväčšou pravdepodobnosťou sa v procese ďalších transformácií znížia.
V lineárnych rovniciach existujú tri typy koreňov, dokonca aj tie najjednoduchšie: jeden jediný koreň, celá číselná os je koreň a žiadne korene.

Dúfam, že vám táto lekcia pomôže zvládnuť jednoduchú, no veľmi dôležitú tému pre ďalšie pochopenie celej matematiky. Ak niečo nie je jasné, prejdite na stránku a vyriešte príklady, ktoré sú tam uvedené. Zostaňte naladení, čaká na vás ešte veľa zaujímavých vecí!

Iracionálna rovnica: naučiť sa riešiť pomocou metódy koreňovej izolácie
Ako vyriešiť bikvadratickú rovnicu
Test na lekciu" Komplexné výrazy so zlomkami“ (jednoduché)
Skúšobná jednotná štátna skúška 2012 od 7. decembra. Možnosť 1 (bez logaritmov)
Video lekcia o problémoch C2: vzdialenosť od bodu k rovine
Doučovateľ matematiky: kde nájsť študentov?

Ak si chcete pozrieť video, zadajte svoj e-mail a kliknite na tlačidlo „Začať tréning“.

Lektor s 12 ročnou praxou
Video záznam každej lekcie
Jednorazové náklady na triedy - 3 000 rubľov za 60 minút

V tomto videu budeme analyzovať celý súbor lineárnych rovníc, ktoré sú riešené pomocou rovnakého algoritmu - preto sa nazývajú najjednoduchšie.

Najprv definujme: čo je lineárna rovnica a ktorá sa nazýva najjednoduchšia?

Lineárna rovnica je taká, v ktorej existuje iba jedna premenná a iba do prvého stupňa.

Najjednoduchšia rovnica znamená konštrukciu:

Všetky ostatné lineárne rovnice sú redukované na najjednoduchšie pomocou algoritmu:

Rozbaľte zátvorky, ak existujú;
Presuňte výrazy obsahujúce premennú na jednu stranu znamienka rovnosti a výrazy bez premennej na druhú;
Uveďte podobné výrazy vľavo a vpravo od znamienka rovnosti;
Výslednú rovnicu vydeľte koeficientom premennej $x$.

Samozrejme, tento algoritmus nie vždy pomáha. Faktom je, že niekedy po všetkých týchto machináciách sa koeficient premennej $ x $ rovná nule. V tomto prípade sú možné dve možnosti:

Rovnica nemá vôbec žiadne riešenia. Keď napríklad vyjde niečo ako $0\cdot x=8$, t.j. vľavo je nula a vpravo je číslo iné ako nula. Vo videu nižšie sa pozrieme na niekoľko dôvodov, prečo je táto situácia možná.
Riešením sú všetky čísla. Jediný prípad, kedy je to možné, je, keď bola rovnica zredukovaná na konštrukciu $0\cdot x=0$. Je celkom logické, že bez ohľadu na to, aké $x$ dosadíme, stále to vyjde „nula sa rovná nule“, t.j. správna číselná rovnosť.

Teraz sa pozrime, ako to všetko funguje na príkladoch zo skutočného života.

Príklady riešenia rovníc

Takéto konštrukcie sú riešené približne rovnakým spôsobom:

Najprv musíte rozbaliť zátvorky, ak nejaké existujú (ako v našom poslednom príklade);
Potom skombinujte podobné
Nakoniec izolujte premennú, t.j. presunúť všetko, čo je spojené s premennou – pojmy, v ktorých je obsiahnutá – na jednu stranu a všetko, čo zostane bez nej, presunúť na druhú stranu.

Potom spravidla musíte priniesť podobné na každej strane výslednej rovnosti a potom už zostáva len deliť koeficientom „x“ a dostaneme konečnú odpoveď.

Schéma riešenia jednoduchých lineárnych rovníc

Najprv mi dovoľte ešte raz napísať celú schému riešenia najjednoduchších lineárnych rovníc:

Rozbaľte zátvorky, ak existujú.
Izolujeme premenné, t.j. Všetko, čo obsahuje „X“ presunieme na jednu stranu a všetko bez „X“ na druhú stranu.
Uvádzame podobné pojmy.
Všetko vydelíme koeficientom „x“.

Samozrejme, táto schéma nie vždy funguje, sú v nej určité jemnosti a triky a teraz ich spoznáme.

Riešenie reálnych príkladov jednoduchých lineárnych rovníc

Úloha č.1

Prvý krok vyžaduje, aby sme otvorili zátvorky. Ale nie sú v tomto príklade, takže tento krok preskočíme. V druhom kroku musíme izolovať premenné. Pozor: hovoríme len o jednotlivých termínoch. Poďme si to zapísať:

Podobné výrazy uvádzame vľavo a vpravo, ale to tu už bolo urobené. Preto prejdeme na štvrtý krok: delenie koeficientom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tak sme dostali odpoveď.

Úloha č.2

V tomto probléme vidíme zátvorky, tak ich rozviňme:

Naľavo aj napravo vidíme približne rovnaký dizajn, ale konajme podľa algoritmu, t.j. oddelenie premenných:

Tu sú niektoré podobné:

Na akých koreňoch to funguje? Odpoveď: pre akékoľvek. Preto môžeme napísať, že $x$ je ľubovoľné číslo.

Úloha č.3

Zaujímavejšia je tretia lineárna rovnica:

\[\vľavo(6-x \vpravo)+\vľavo(12+x \vpravo)-\vľavo(3-2x \vpravo)=15\]

Zátvoriek je tu niekoľko, ale nie sú ničím násobené, jednoducho sú pred nimi rôzne znamienka. Poďme si ich rozobrať:

Vykonávame druhý krok, ktorý je nám známy:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Poďme si to spočítať:

Vykonáme posledný krok - všetko vydelíme koeficientom „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Na čo treba pamätať pri riešení lineárnych rovníc

Ak ignorujeme príliš jednoduché úlohy, rád by som povedal nasledovné:

Ako som povedal vyššie, nie každá lineárna rovnica má riešenie - niekedy jednoducho neexistujú žiadne korene;
Aj keď sú korene, môže byť medzi nimi nula – na tom nie je nič zlé.

Nula je rovnaké číslo ako ostatné; nemali by ste ju nijako diskriminovať ani predpokladať, že ak dostanete nulu, urobili ste niečo zle.

Pochopenie tohto jednoduchého faktu vám pomôže vyhnúť sa hlúpym a zraňujúcim chybám na strednej škole, keď sa takéto veci považujú za samozrejmosť.

Riešenie zložitých lineárnych rovníc

Prejdime k zložitejším rovniciam. Teraz budú konštrukcie zložitejšie a pri rôznych transformáciách sa objaví kvadratická funkcia. Nemali by sme sa toho však báť, pretože ak podľa plánu autora riešime lineárnu rovnicu, potom sa počas transformačného procesu určite zrušia všetky monomály obsahujúce kvadratickú funkciu.

Príklad č.1

Je zrejmé, že prvým krokom je otvorenie zátvoriek. Urobme to veľmi opatrne:

Teraz sa pozrime na súkromie:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tu sú niektoré podobné:

Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia, takže to napíšeme do odpovede:

\[\varnothing\]

alebo tam nie sú korene.

Príklad č.2

Vykonávame rovnaké akcie. Prvý krok:

Presuňme všetko s premennou doľava a bez nej - doprava:

Tu sú niektoré podobné:

Je zrejmé, že táto lineárna rovnica nemá riešenie, takže ju napíšeme takto:

\[\varnothing\],

alebo tam nie sú korene.

Nuansy riešenia

Chcel by som vás však upozorniť na inú skutočnosť: ako pracovať so zátvorkami a ako ich otvárať, ak je pred nimi znamienko mínus. Zvážte tento výraz:

Pred otvorením musíte všetko vynásobiť „X“. Poznámka: násobí sa každý jednotlivý termín. Vo vnútri sú dva termíny – respektíve dva termíny a násobené.

To isté urobíme s druhou rovnicou:

Nie náhodou venujem pozornosť týmto malým, zdanlivo bezvýznamným skutočnostiam. Pretože riešenie rovníc je vždy sled elementárnych transformácií, kde neschopnosť jasne a kompetentne vykonávať jednoduché úkony vedie k tomu, že za mnou chodia stredoškoláci a opäť sa učia riešiť takéto jednoduché rovnice.

Riešenie aj zložitejších lineárnych rovníc

To, čo teraz vyriešime, možno len ťažko nazvať najjednoduchšou úlohou, no význam zostáva rovnaký.

Úloha č.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Vynásobme všetky prvky v prvej časti:

Urobme si trochu súkromia:

Tu sú niektoré podobné:

Dokončime posledný krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tu je naša konečná odpoveď. A napriek tomu, že v procese riešenia sme mali koeficienty s kvadratickou funkciou, navzájom sa rušili, čím je rovnica lineárna a nie kvadratická.

Úloha č.2

\[\vľavo(1-4x \vpravo)\vľavo(1-3x \vpravo)=6x\vľavo(2x-1 \vpravo)\]

Opatrne vykonajte prvý krok: vynásobte každý prvok z prvej zátvorky každým prvkom z druhej. Po transformáciách by mali byť celkom štyri nové termíny:

Teraz opatrne vykonajte násobenie v každom výraze:

Presuňme výrazy s „X“ doľava a výrazy bez – doprava:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tu sú podobné výrazy:

Opäť sme dostali konečnú odpoveď.

Nuansy riešenia

Najdôležitejšia poznámka o týchto dvoch rovniciach je nasledujúca: akonáhle začneme násobiť zátvorky, ktoré obsahujú viac ako jeden člen, robíme to podľa nasledujúceho pravidla: vezmeme prvý člen z prvého a násobíme každým prvkom z druhy; potom vezmeme druhý prvok z prvého a podobne vynásobíme každým prvkom z druhého. V dôsledku toho budeme mať štyri volebné obdobia.

O algebraickom súčte

Týmto posledným príkladom by som chcel žiakom pripomenúť, čo je to algebraický súčet. V klasickej matematike pod pojmom $1-7$ rozumieme jednoduchú konštrukciu: odpočítajte sedem od jednej. V algebre tým myslíme nasledovné: k číslu „jedna“ pridáme ďalšie číslo, a to „mínus sedem“. Týmto sa algebraický súčet líši od obyčajného aritmetického súčtu.

Riešenie rovníc so zlomkami

Na vyriešenie takýchto úloh budeme musieť do nášho algoritmu pridať ešte jeden krok. Najprv mi však dovoľte pripomenúť náš algoritmus:

Otvorte zátvorky.
Samostatné premenné.
Prineste si podobné.
Vydeliť pomerom.

Zbavte sa zlomkov.
Otvorte zátvorky.
Samostatné premenné.
Prineste si podobné.
Vydeliť pomerom.

Príklad č.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Zbavme sa zlomkov v tejto rovnici:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pozor: všetko sa násobí „štyri“ raz, t.j. to, že máte dve zátvorky, neznamená, že musíte každú z nich vynásobiť „štyri“. Zapíšme si:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Teraz rozšírime:

Vylúčime premennú:

Vykonávame redukciu podobných výrazov:

\[-4x=-1\vľavo| :\vľavo(-4 \vpravo) \vpravo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dostali sme konečné riešenie, prejdime k druhej rovnici.

Príklad č.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Tu vykonávame všetky rovnaké akcie:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problém je vyriešený.

To je vlastne všetko, čo som vám dnes chcel povedať.

Kľúčové body

Kľúčové zistenia sú:

Poznať algoritmus na riešenie lineárnych rovníc.
Možnosť otvárania zátvoriek.
Nerobte si starosti, ak máte niekde kvadratické funkcie, s najväčšou pravdepodobnosťou sa v procese ďalších transformácií znížia.
V lineárnych rovniciach existujú tri typy koreňov, dokonca aj tie najjednoduchšie: jeden jediný koreň, celá číselná os je koreň a žiadne korene.

Rovnice sú jednou z ťažké témy na asimiláciu, no zároveň sú dostatočné mocný nástroj na riešenie väčšiny problémov.

Na opis sa používajú rovnice rôzne procesy, vyskytujúce sa v prírode. Rovnice sú široko používané v iných vedách: ekonómii, fyzike, biológii a chémii.

IN túto lekciu Pokúsime sa pochopiť podstatu najjednoduchších rovníc, naučíme sa vyjadrovať neznáme a vyriešiť niekoľko rovníc. Keď sa naučíte nové materiály, rovnice budú zložitejšie, takže pochopenie základov je veľmi dôležité.

Predbežné zručnosti

Obsah lekcie

čo je rovnica?

Rovnica je rovnosť, ktorá obsahuje premennú, ktorej hodnotu chcete nájsť. Táto hodnota musí byť taká, aby sa po dosadení do pôvodnej rovnice získala správna číselná rovnosť.

Napríklad výraz 2 + 2 = 4 je rovnosť. Pri výpočte ľavej strany sa získa správna číselná rovnosť 4 = 4.

Ale rovnosť je 2+ X= 4 je rovnica, pretože obsahuje premennú X, ktorej hodnotu je možné zistiť. Hodnota musí byť taká, aby pri dosadení tejto hodnoty do pôvodnej rovnice bola získaná správna číselná rovnosť.

Inými slovami, musíme nájsť hodnotu, pri ktorej by znamienko rovnosti odôvodňovalo jeho umiestnenie – ľavá strana sa musí rovnať pravej strane.

Rovnica 2 + X= 4 je elementárna. Variabilná hodnota X sa rovná číslu 2. Pre akúkoľvek inú hodnotu nebude dodržaná rovnosť

Hovorí sa, že číslo 2 je koreň alebo riešenie rovnice 2 + X = 4

Root alebo riešenie rovnice- je to hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica zmení na skutočnú číselnú rovnosť.

Koreňov môže byť niekoľko alebo žiadny. Vyriešte rovnicu znamená nájsť svoje korene alebo dokázať, že žiadne korene neexistujú.

Premenná zahrnutá v rovnici sa nazýva inak neznámy. Máte právo nazvať to, ako chcete. Toto sú synonymá.

Poznámka. Fráza „vyriešiť rovnicu“ hovorí sama za seba. Riešenie rovnice znamená „vyrovnanie“ rovnice – vyváženie tak, aby sa ľavá strana rovnala pravej.

Vyjadrite jednu vec cez druhú

Štúdium rovníc tradične začína učením sa vyjadrovať jedno číslo zahrnuté v rovnosti cez množstvo ďalších. Neporušme túto tradíciu a urobme to isté.

Zvážte nasledujúci výraz:

8 + 2

Tento výraz je súčtom čísel 8 a 2. Význam daný výraz rovná sa 10

8 + 2 = 10

Dostali sme rovnosť. Teraz môžete vyjadriť akékoľvek číslo z tejto rovnosti prostredníctvom iných čísel zahrnutých v rovnakej rovnosti. Vyjadrime napríklad číslo 2.

Aby ste vyjadrili číslo 2, musíte si položiť otázku: „Čo treba urobiť s číslami 10 a 8, aby ste dostali číslo 2“. Je jasné, že ak chcete získať číslo 2, musíte od čísla 10 odpočítať číslo 8.

To je to, čo robíme. Zapíšeme si číslo 2 a cez znamienko rovnosti povieme, že na získanie tohto čísla 2 sme od čísla 10 odčítali číslo 8:

2 = 10 − 8

Číslo 2 sme vyjadrili z rovnosti 8 + 2 = 10. Ako je zrejmé z príkladu, nie je v tom nič zložité.

Pri riešení rovníc, najmä pri vyjadrení jedného čísla inými, je vhodné nahradiť znamienko rovnosti slovom „ existuje" . Toto sa musí robiť mentálne a nie v samotnom prejave.

Vyjadrením čísla 2 z rovnosti 8 + 2 = 10 sme teda dostali rovnosť 2 = 10 − 8. Túto rovnosť možno čítať takto:

2 Existuje 10 − 8

Teda znamenie = nahrádza slovom „je“. Navyše, rovnosť 2 = 10 − 8 sa dá preložiť z matematický jazyk na plnohodnotné ľudský jazyk. Potom sa to dá čítať takto:

číslo 2 Existuje rozdiel medzi číslom 10 a číslom 8

číslo 2 Existuje rozdiel medzi číslom 10 a číslom 8.

Obmedzíme sa však len na nahradenie znamienka rovnosti slovom „je“ a nebudeme to robiť vždy. Elementárne výrazy sa dá porozumieť bez prekladania matematického jazyka do ľudského jazyka.

Vráťme výslednú rovnosť 2 = 10 − 8 do pôvodného stavu:

8 + 2 = 10

Vyjadrime tentokrát číslo 8. Čo treba urobiť so zvyšnými číslami, aby sme dostali číslo 8? Správne, od čísla 10 musíte odpočítať 2

8 = 10 − 2

Vráťme výslednú rovnosť 8 = 10 − 2 do pôvodného stavu:

8 + 2 = 10

Tentokrát vyjadríme číslo 10. Ukazuje sa však, že desiatku netreba vyjadrovať, keďže je už vyjadrená. Stačí vymeniť ľavú a pravú časť, potom dostaneme to, čo potrebujeme:

10 = 8 + 2

Príklad 2. Zvážte rovnosť 8 − 2 = 6

Vyjadrime z tejto rovnosti číslo 8. Na vyjadrenie čísla 8 je potrebné pridať zvyšné dve čísla:

8 = 6 + 2

Vráťme výslednú rovnosť 8 = 6 + 2 do pôvodného stavu:

8 − 2 = 6

Vyjadrime z tejto rovnosti číslo 2. Na vyjadrenie čísla 2 je potrebné odpočítať 6 od 8

2 = 8 − 6

Príklad 3. Zvážte rovnosť 3 × 2 = 6

Vyjadrime číslo 3. Na vyjadrenie čísla 3 potrebujete 6 delené 2

Vráťme výslednú rovnosť do pôvodného stavu:

3 × 2 = 6

Vyjadrime z tejto rovnosti číslo 2. Na vyjadrenie čísla 2 potrebujete 6 delené 3

Príklad 4. Zvážte rovnosť

Vyjadrime z tejto rovnosti číslo 15. Na vyjadrenie čísla 15 je potrebné vynásobiť čísla 3 a 5

15 = 3 × 5

Vráťme výslednú rovnosť 15 = 3 × 5 do pôvodného stavu:

Vyjadrime z tejto rovnosti číslo 5. Na vyjadrenie čísla 5 potrebujete 15 delené 3

Pravidlá pre hľadanie neznámych

Zoberme si niekoľko pravidiel pre hľadanie neznámych. Možno sú vám povedomé, ale nezaškodí si ich zopakovať. V budúcnosti sa na ne môže zabudnúť, pretože sa naučíme riešiť rovnice bez použitia týchto pravidiel.

Vráťme sa k prvému príkladu, na ktorý sme sa pozreli predchádzajúca téma, kde v rovnosti 8 + 2 = 10 bolo potrebné vyjadriť číslo 2.

V rovnosti 8 + 2 = 10 sú čísla 8 a 2 členy a číslo 10 je súčet.

Aby sme vyjadrili číslo 2, urobili sme nasledovné:

2 = 10 − 8

To znamená, že od súčtu 10 sme odčítali výraz 8.

Teraz si predstavte, že v rovnosti 8 + 2 = 10 je namiesto čísla 2 premenná X

8 + X = 10

V tomto prípade sa z rovnosti 8 + 2 = 10 stane rovnica 8 + X= 10 a premenná X neznámy termín

Našou úlohou je nájsť tento neznámy člen, teda vyriešiť rovnicu 8 + X= 10. Ak chcete nájsť neznámy výraz, použite nasledujúce pravidlo:

Ak chcete nájsť neznámy výraz, musíte od súčtu odčítať známy výraz.

Čo je v podstate to, čo sme urobili, keď sme vyjadrili dva v rovnosti 8 + 2 = 10. Na vyjadrenie člena 2 sme od súčtu 10 odčítali ďalší člen 8

2 = 10 − 8

Teraz nájsť neznámy výraz X, musíme od súčtu 10 odčítať známy člen 8:

X = 10 − 8

Ak vypočítate pravú stranu výslednej rovnosti, môžete zistiť, čomu sa premenná rovná X

X = 2

Rovnicu sme vyriešili. Variabilná hodnota X rovná sa 2. Na kontrolu hodnoty premennej X poslal na pôvodnú rovnicu 8+ X= 10 a náhradník X. Odporúča sa to urobiť s akoukoľvek vyriešenou rovnicou, pretože si nemôžete byť úplne istí, že rovnica bola vyriešená správne:

Ako výsledok

Rovnaké pravidlo by platilo, ak by neznámy výraz bol prvým číslom 8.

X + 2 = 10

V tejto rovnici X je neznámy pojem, 2 je známy pojem, 10 je súčet. Nájsť neznámy výraz X, musíte od súčtu 10 odčítať známy výraz 2

X = 10 − 2

X = 8

Vráťme sa k druhému príkladu z predchádzajúcej témy, kde v rovnosti 8 − 2 = 6 bolo potrebné vyjadriť číslo 8.

V rovnosti 8 − 2 = 6 je číslo 8 minuend, číslo 2 je subtrahend a číslo 6 je rozdiel

Aby sme vyjadrili číslo 8, urobili sme nasledovné:

8 = 6 + 2

To znamená, že sme pridali rozdiel 6 a odčítali 2.

Teraz si predstavte, že v rovnosti 8 − 2 = 6 je namiesto čísla 8 premenná X

X − 2 = 6

V tomto prípade premenná X preberá úlohu tzv neznámy podvečer

Na nájdenie neznámej menštruácie je poskytnuté nasledujúce pravidlo:

Ak chcete nájsť neznámy minuend, musíte k rozdielu pridať subtrahend.

To sme urobili, keď sme vyjadrili číslo 8 v rovnosti 8 − 2 = 6. Na vyjadrenie minuendu 8 sme k rozdielu 6 pridali subtrahend 2.

Teraz nájsť neznámu minuend X, k rozdielu 6 musíme pripočítať poddruh 2

X = 6 + 2

Ak vypočítate pravú stranu, môžete zistiť, čomu sa premenná rovná X

X = 8

Teraz si predstavte, že v rovnosti 8 − 2 = 6 je namiesto čísla 2 premenná X

8 − X = 6

V tomto prípade premenná X preberá rolu neznámy subtrahend

Na nájdenie neznámeho subtrahendu je poskytnuté nasledujúce pravidlo:

Ak chcete nájsť neznámy subtrahend, musíte odpočítať rozdiel od minuendu.

Takto sme to urobili, keď sme vyjadrili číslo 2 v rovnosti 8 − 2 = 6. Aby sme vyjadrili číslo 2, odčítali sme od čísla 8 rozdiel 6.

Teraz nájsť neznámeho subtrahendu X, opäť musíte odpočítať rozdiel 6 od mínusu 8

X = 8 − 6

Vypočítame pravú stranu a nájdeme hodnotu X

X = 2

Vráťme sa k tretiemu príkladu z predchádzajúcej témy, kde sme sa v rovnosti 3 × 2 = 6 snažili vyjadriť číslo 3.

V rovnosti 3 × 2 = 6 je číslo 3 násobiteľ, číslo 2 je násobiteľ, číslo 6 je súčin

Aby sme vyjadrili číslo 3, urobili sme nasledovné:

To znamená, že sme vydelili súčin 6 faktorom 2.

Teraz si predstavte, že v rovnosti 3 × 2 = 6 je namiesto čísla 3 premenná X

X× 2 = 6

V tomto prípade premenná X preberá rolu neznámy multiplikand.

Na nájdenie neznámeho multiplikandu je poskytnuté nasledujúce pravidlo:

Nájsť neznámy multiplikand, je potrebné rozdeliť produkt faktorom.

Takto sme to urobili, keď sme z rovnosti 3 × 2 = 6 vyjadrili číslo 3. Produkt 6 sme vydelili faktorom 2.

Teraz nájsť neznámy multiplikand X, musíte vydeliť súčin 6 faktorom 2.

Výpočet na pravej strane nám umožňuje nájsť hodnotu premennej X

X = 3

Rovnaké pravidlo platí, ak premenná X sa nachádza namiesto násobiteľa, nie násobiteľa. Predstavme si, že v rovnosti 3 × 2 = 6 je namiesto čísla 2 premenná X.

V tomto prípade premenná X preberá rolu neznámy multiplikátor. Na nájdenie neznámeho faktora sa používa rovnaký postup ako na nájdenie neznámeho multiplikandu, a to rozdelenie produktu známym faktorom:

Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt násobiteľom.

Takto sme to urobili, keď sme z rovnosti 3 × 2 = 6 vyjadrili číslo 2. Potom, aby sme dostali číslo 2, vydelili sme súčin 6 jeho násobkom 3.

Teraz nájsť neznámy faktor X Súčin 6 sme vydelili násobkom 3.

Výpočet pravej strany rovnosti umožňuje zistiť, čomu sa x rovná

X = 2

Multiplikand a multiplikátor sa spolu nazývajú faktory. Keďže pravidlá na nájdenie multiplikandu a multiplikátora sú rovnaké, môžeme formulovať všeobecné pravidlo zistenie neznámeho faktora:

Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt podľa známeho faktora.

Napríklad vyriešme rovnicu 9 × X= 18. Variabilné X je neznámy faktor. Ak chcete nájsť tento neznámy faktor, musíte rozdeliť súčin 18 známym faktorom 9

Poďme vyriešiť rovnicu X× 3 = 27. Variabilné X je neznámy faktor. Ak chcete nájsť tento neznámy faktor, musíte rozdeliť súčin 27 známym faktorom 3

Vráťme sa k štvrtý príklad z predchádzajúcej témy, kde v rovnosti bolo potrebné vyjadriť číslo 15. V tejto rovnosti je číslo 15 deliteľ, číslo 5 je deliteľ a číslo 3 je podiel.

Na vyjadrenie čísla 15 sme urobili nasledovné:

15 = 3 × 5

To znamená, že sme vynásobili podiel 3 deliteľom 5.

Teraz si predstavte, že v rovnosti je namiesto čísla 15 premenná X

V tomto prípade premenná X preberá rolu neznáma dividenda.

Na nájdenie neznámej dividendy je poskytnuté nasledujúce pravidlo:

Ak chcete nájsť neznámu dividendu, musíte vynásobiť podiel deliteľom.

To sme urobili, keď sme vyjadrili číslo 15 z rovnosti. Na vyjadrenie čísla 15 vynásobíme podiel 3 deliteľom 5.

Teraz nájsť neznámu dividendu X, musíte vynásobiť podiel 3 deliteľom 5

X= 3 × 5

X .

X = 15

Teraz si predstavte, že v rovnosti je namiesto čísla 5 premenná X .

V tomto prípade premenná X preberá rolu neznámy deliteľ .

Na nájdenie neznámeho deliteľa platí nasledujúce pravidlo:

To sme urobili, keď sme vyjadrili číslo 5 z rovnosti. Na vyjadrenie čísla 5 vydelíme dividendu 15 podielom 3.

Teraz nájsť neznámeho deliteľa X, musíte dividendu 15 vydeliť podielom 3

Vypočítajme pravú stranu výslednej rovnosti. Takto zistíme, čomu sa premenná rovná X .

X = 5

Aby sme našli neznáme, študovali sme nasledujúce pravidlá:

Ak chcete nájsť neznámy výraz, musíte od súčtu odčítať známy výraz;
Ak chcete nájsť neznámy minuend, musíte k rozdielu pridať subtrahend;
Ak chcete nájsť neznámy subtrahend, musíte odpočítať rozdiel od minuendu;
Ak chcete nájsť neznámy multiplikand, musíte rozdeliť produkt koeficientom;
Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt multiplikandom;
Ak chcete nájsť neznámu dividendu, musíte vynásobiť podiel deliteľom;
Ak chcete nájsť neznámeho deliteľa, musíte rozdeliť dividendu podielom.

Komponenty

Komponenty budeme nazývať čísla a premenné zahrnuté v rovnosti

Takže zložky sčítania sú podmienky A súčet

Zložky odčítania sú minend, subtrahend A rozdiel

Komponenty násobenia sú multiplikát, faktor A práca

Zložkami delenia sú dividenda, deliteľ a kvocient.

V závislosti od toho, s ktorými komponentmi máme čo do činenia, budú platiť zodpovedajúce pravidlá pre hľadanie neznámych. Tieto pravidlá sme študovali v predchádzajúcej téme. Pri riešení rovníc je vhodné poznať tieto pravidlá naspamäť.

Príklad 1. Nájdite koreň rovnice 45 + X = 60

45 - termín, X- neznámy pojem, 60 - súč. Zaoberáme sa komponentmi sčítania. Pripomíname, že ak chcete nájsť neznámy výraz, musíte od súčtu odčítať známy výraz:

X = 60 − 45

Vypočítajme pravú stranu a získame hodnotu X rovný 15

X = 15

Takže koreň rovnice je 45 + X= 60 sa rovná 15.

Najčastejšie sa neznámy pojem musí zredukovať na formu, v ktorej sa dá vyjadriť.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu

Tu, na rozdiel od predchádzajúceho príkladu, neznámy člen nemôže byť vyjadrený okamžite, pretože obsahuje koeficient 2. Našou úlohou je uviesť túto rovnicu do tvaru, v ktorom by ju bolo možné vyjadriť X

V tomto príklade máme do činenia so zložkami sčítania – pojmami a súčtom. 2 X je prvý člen, 4 je druhý člen, 8 je súčet.

V tomto prípade termín 2 X obsahuje premennú X. Po nájdení hodnoty premennej X termín 2 X bude mať iný vzhľad. Preto termín 2 X možno brať ako úplne neznámy pojem:

Teraz použijeme pravidlo na nájdenie neznámeho výrazu. Odčítajte známy výraz od súčtu:

Vypočítajme pravú stranu výslednej rovnice:

Máme novú rovnicu. Teraz sa zaoberáme komponentmi násobenia: multiplikandom, multiplikátorom a súčinom. 2 - multiplikát, X- multiplikátor, 4 - súčin

V tomto prípade premenná X nie je len multiplikátor, ale neznámy multiplikátor

Ak chcete nájsť tento neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt multiplikátom:

Vypočítajme pravú stranu a získame hodnotu premennej X

Pre kontrolu odošlite nájdený koreň do pôvodnej rovnice a dosaďte X

Príklad 3. Vyriešte rovnicu 3X+ 9X+ 16X= 56

Okamžite vyjadrite neznáme X je zakázané. Najprv musíte túto rovnicu uviesť do formy, v ktorej ju možno vyjadriť.

Na ľavej strane tejto rovnice uvádzame:

Zaoberáme sa komponentmi násobenia. 28 - multiplikát, X- multiplikátor, 56 - súčin. V čom X je neznámy faktor. Ak chcete nájsť neznámy faktor, musíte rozdeliť produkt multiplikandom:

Odtiaľ X rovná sa 2

Ekvivalentné rovnice

V predchádzajúcom príklade pri riešení rovnice 3X + 9X + 16X = 56 , na ľavej strane rovnice sme uviedli podobné pojmy. V dôsledku toho sme dostali novú rovnicu 28 X= 56. Stará rovnica 3X + 9X + 16X = 56 a výsledná nová rovnica 28 X= 56 sa volá ekvivalentné rovnice, keďže ich korene sa zhodujú.

Rovnice sa nazývajú ekvivalentné, ak sa ich korene zhodujú.

Poďme sa na to pozrieť. Pre rovnicu 3X+ 9X+ 16X= 56 našli sme koreň rovný 2. Najprv dosadíme tento koreň do rovnice 3X+ 9X+ 16X= 56 a potom do rovnice 28 X= 56, ktorý bol získaný prinesením podobných členov na ľavú stranu predchádzajúcej rovnice. Musíme získať správne číselné rovnosti

Podľa poradia operácií sa najskôr vykoná násobenie:

Dosaďte koreň 2 do druhej rovnice 28 X= 56

Vidíme, že obe rovnice majú rovnaké korene. Takže rovnice 3X+ 9X+ 16X= 6 a 28 X= 56 sú skutočne ekvivalentné.

Na vyriešenie rovnice 3X+ 9X+ 16X= 56 Použili sme jeden z nich – redukciu podobných výrazov. Správna transformácia identity rovnice nám umožnila získať ekvivalentná rovnica 28X= 56, čo je jednoduchšie vyriešiť.

Od identických premien do tento moment vieme len zmenšiť zlomky, pridať podobné výrazy, odobrať spoločný multiplikátor za zátvorkami a tiež zátvorky otvorte. Existujú aj ďalšie konverzie, o ktorých by ste mali vedieť. Ale pre Všeobecná myšlienka o identických transformáciách rovníc nám naštudované témy úplne postačujú.

Uvažujme o niektorých transformáciách, ktoré nám umožňujú získať ekvivalentnú rovnicu

Ak pridáte rovnaké číslo na obe strany rovnice, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici.

a podobne:

Ak odpočítate rovnaké číslo od oboch strán rovnice, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici.

Inými slovami, koreň rovnice sa nezmení, ak sa rovnaké číslo pripočíta (alebo odpočíta od oboch strán) rovnakému číslu.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu

Odčítajte 10 od oboch strán rovnice

Dostali sme rovnicu 5 X= 10. Zaoberáme sa komponentmi násobenia. Nájsť neznámy faktor X, musíte vydeliť súčin 10 známym faktorom 5.

a nahradiť X nájdená hodnota 2

Dostali sme správnu číselnú rovnosť. To znamená, že rovnica je vyriešená správne.

Riešenie rovnice odčítali sme číslo 10 z oboch strán rovnice. V dôsledku toho sme dostali ekvivalentnú rovnicu. Koreň tejto rovnice, ako rovnica sa tiež rovná 2

Príklad 2. Vyriešte rovnicu 4( X+ 3) = 16

Odčítajte číslo 12 z oboch strán rovnice

Zostanú 4 na ľavej strane X a na pravej strane číslo 4

Dostali sme rovnicu 4 X= 4. Zaoberáme sa komponentmi násobenia. Nájsť neznámy faktor X, musíte rozdeliť súčin 4 známym faktorom 4

Vráťme sa k pôvodnej rovnici 4( X+ 3) = 16 a náhradník X zistená hodnota 1

Dostali sme správnu číselnú rovnosť. To znamená, že rovnica je vyriešená správne.

Riešenie rovnice 4( X+ 3) = 16 sme odčítali číslo 12 z oboch strán rovnice. V dôsledku toho sme dostali ekvivalentnú rovnicu 4 X= 4. Koreň tejto rovnice, podobne ako rovnica 4( X+ 3) = 16 sa tiež rovná 1

Príklad 3. Vyriešte rovnicu

Rozviňme zátvorky na ľavej strane rovnice:

Pridajte číslo 8 na obe strany rovnice

Uveďme podobné pojmy na oboch stranách rovnice:

Zostanú 2 na ľavej strane X a na pravej strane číslo 9

Vo výslednej rovnici 2 X= 9 vyjadrujeme neznámy pojem X

Vráťme sa k pôvodnej rovnici a nahradiť X zistená hodnota 4,5

Dostali sme správnu číselnú rovnosť. To znamená, že rovnica je vyriešená správne.

Riešenie rovnice na obe strany rovnice sme pridali číslo 8. V dôsledku toho sme dostali ekvivalentnú rovnicu. Koreň tejto rovnice, ako rovnica tiež sa rovná 4,5

Ďalšie pravidlo, ktoré nám umožňuje získať ekvivalentnú rovnicu, je nasledovné

Ak presuniete člen v rovnici z jednej časti do druhej a zmeníte jej znamienko, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici.

To znamená, že koreň rovnice sa nezmení, ak presunieme člen z jednej časti rovnice do druhej, čím sa zmení jeho znamienko. Táto vlastnosť je jedna z dôležitých a jedna z často využívaných pri riešení rovníc.

Zvážte nasledujúcu rovnicu:

Koreň tejto rovnice sa rovná 2. Dosadme X tento koreň a skontrolujte, či je číselná rovnosť správna

Výsledkom je správna rovnosť. To znamená, že číslo 2 je skutočne koreňom rovnice.

Teraz skúsme experimentovať s podmienkami tejto rovnice, presúvať ich z jednej časti do druhej, meniť znamienka.

Napríklad termín 3 X sa nachádza na ľavej strane rovnice. Presuňme ho na pravú stranu a zmeníme znamienko na opačný:

Výsledkom je rovnica 12 = 9X − 3X . na pravej strane tejto rovnice:

X je neznámy faktor. Poďme nájsť tento známy faktor:

Odtiaľ X= 2. Ako vidíte, koreň rovnice sa nezmenil. Takže rovnice sú 12 + 3 X = 9X A 12 = 9X − 3X sú rovnocenné.

V skutočnosti, túto premenu je zjednodušená metóda predchádzajúcej transformácie, kde sa k obom stranám rovnice pridalo (alebo odčítalo) rovnaké číslo.

Povedali sme to v rovnici 12 + 3 X = 9X termín 3 X bol presunutý na pravú stranu, pričom sa zmenil znak. V skutočnosti sa stalo nasledovné: člen 3 bol odčítaný z oboch strán rovnice X

Potom boli na ľavej strane uvedené podobné pojmy a získala sa rovnica 12 = 9X − 3X. Potom boli opäť uvedené podobné pojmy, ale na pravej strane, a získala sa rovnica 12 = 6 X.

Ale takzvaný „preklad“ je pre takéto rovnice vhodnejší, a preto sa tak rozšíril. Pri riešení rovníc budeme často používať práve túto transformáciu.

Rovnice 12 + 3 sú tiež ekvivalentné X= 9X A 3x− 9X= −12 . Tentoraz je rovnica 12 + 3 X= 9X termín 12 bol presunutý na pravú stranu a termín 9 X doľava. Nemali by sme zabúdať, že znaky týchto pojmov sa počas prevodu zmenili

Ďalšie pravidlo, ktoré nám umožňuje získať ekvivalentnú rovnicu, je nasledovné:

Ak sú obe strany rovnice vynásobené alebo delené rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej jednotke.

Inými slovami, korene rovnice sa nezmenia, ak sú obe strany vynásobené alebo delené rovnakým číslom. Táto akcia sa často používa, keď potrebujete vyriešiť rovnicu obsahujúcu zlomkové výrazy.

Najprv sa pozrime na príklady, v ktorých budú obe strany rovnice vynásobené rovnakým číslom.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu

Pri riešení rovníc obsahujúcich zlomkové výrazy je zvykom najprv rovnicu zjednodušiť.

V tomto prípade máme do činenia práve s takouto rovnicou. Na zjednodušenie tejto rovnice je možné obe strany vynásobiť 8:

Pamätáme si, že pre , musíme vynásobiť čitateľa daného zlomku týmto číslom. Máme dva zlomky a každý z nich je vynásobený číslom 8. Našou úlohou je vynásobiť čitateľov zlomkov týmto číslom 8

Teraz prichádza tá zaujímavá časť. Čitatelia a menovatelia oboch zlomkov obsahujú faktor 8, ktorý je možné znížiť o 8. To nám umožní zbaviť sa zlomkového výrazu:

V dôsledku toho zostáva najjednoduchšia rovnica

Nie je ťažké uhádnuť, že koreň tejto rovnice je 4

X zistená hodnota 4

Výsledkom je správna číselná rovnosť. To znamená, že rovnica je vyriešená správne.

Pri riešení tejto rovnice sme obe strany vynásobili 8. Výsledkom sme dostali rovnicu. Koreň tejto rovnice, rovnako ako rovnica, je 4. To znamená, že tieto rovnice sú ekvivalentné.

Faktor, ktorým sa násobia obe strany rovnice, sa zvyčajne píše pred časťou rovnice a nie za ňou. Takže pri riešení rovnice sme obe strany vynásobili faktorom 8 a dostali sme nasledujúci záznam:

Koreň rovnice sa tým nezmenil, ale keby sme to urobili v škole, boli by sme pokarhaní, keďže v algebre je zvykom písať faktor pred výraz, ktorým sa násobí. Preto je vhodné prepísať násobenie oboch strán rovnice faktorom 8 takto:

Príklad 2. Vyriešte rovnicu

Na ľavej strane môžu byť faktory 15 znížené o 15 a na pravej strane môžu byť faktory 15 a 5 znížené o 5

Otvorme zátvorky na pravej strane rovnice:

Presuňme termín X z ľavej strany rovnice na pravú stranu so zmenou znamienka. A presunieme člen 15 z pravej strany rovnice na ľavú stranu, pričom opäť zmeníme znamienko:

Na oboch stranách uvádzame podobné výrazy

Zaoberáme sa komponentmi násobenia. Variabilné X

Vráťme sa k pôvodnej rovnici a nahradiť X zistená hodnota 5

Výsledkom je správna číselná rovnosť. To znamená, že rovnica je vyriešená správne. Pri riešení tejto rovnice sme obe strany vynásobili 15. Ďalším vykonaním rovnakých transformácií sme dostali rovnicu 10 = 2 X. Koreň tejto rovnice, ako rovnica rovná sa 5. To znamená, že tieto rovnice sú ekvivalentné.

Príklad 3. Vyriešte rovnicu

Na ľavej strane môžete zmenšiť dve trojky a pravá strana sa bude rovnať 18

Zostáva najjednoduchšia rovnica. Zaoberáme sa komponentmi násobenia. Variabilné X je neznámy faktor. Poďme nájsť tento známy faktor:

Vráťme sa k pôvodnej rovnici a dosaďte X zistená hodnota 9

Výsledkom je správna číselná rovnosť. To znamená, že rovnica je vyriešená správne.

Príklad 4. Vyriešte rovnicu

Vynásobte obe strany rovnice 6

Otvorme zátvorky na ľavej strane rovnice. Na pravej strane možno koeficient 6 zvýšiť na čitateľa:

Zredukujme to, čo sa dá znížiť na oboch stranách rovníc:

Prepíšme, čo nám zostalo:

Využime prenos pojmov. Pojmy obsahujúce neznáme X, zoskupujeme na ľavej strane rovnice a členy bez neznámych - na pravej strane:

Uveďme podobné pojmy v oboch častiach:

Teraz nájdime hodnotu premenlivý X. Za týmto účelom vydeľte súčin 28 známym faktorom 7

Odtiaľ X= 4.

Vráťme sa k pôvodnej rovnici a nahradiť X zistená hodnota 4

Výsledkom je správna číselná rovnica. To znamená, že rovnica je vyriešená správne.

Príklad 5. Vyriešte rovnicu

Ak je to možné, otvorme zátvorky na oboch stranách rovnice:

Vynásobte obe strany rovnice 15

Otvorme zátvorky na oboch stranách rovnice:

Zredukujme to, čo sa dá znížiť na oboch stranách rovnice:

Prepíšme, čo nám zostalo:

Ak je to možné, rozšírme zátvorky:

Využime prenos pojmov. Zoskupujeme členy obsahujúce neznáme na ľavej strane rovnice a členy bez neznámych na pravej strane. Nezabudnite, že počas prevodu sa výrazy menia na opačné:

Uveďme podobné pojmy na oboch stranách rovnice:

Poďme nájsť hodnotu X

Výslednú odpoveď možno rozdeliť na celú časť:

Vráťme sa k pôvodnej rovnici a dosaďte X zistená hodnota

Ukazuje sa, že ide o dosť ťažkopádny výraz. Použime premenné. Ľavú stranu rovnosti dáme do premennej A, a pravú stranu rovnosti do premennej B

Našou úlohou je uistiť sa, či sa ľavá strana rovná pravej. Inými slovami, dokážte rovnosť A = B

Nájdite hodnotu výrazu v premennej A.

Variabilná hodnota A rovná sa . Teraz nájdime hodnotu premennej B. Teda hodnotu pravej strany našej rovnosti. Ak sa tiež rovná, rovnica bude vyriešená správne

Vidíme, že hodnota premennej B, ako aj hodnota premennej A je . To znamená, že ľavá strana sa rovná pravej strane. Z toho usúdime, že rovnica je vyriešená správne.

Teraz skúsme nenásobiť obe strany rovnice rovnakým číslom, ale deliť.

Zvážte rovnicu 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 . Riešime to obvyklou metódou: zoskupíme členy obsahujúce neznáme na ľavej strane rovnice a členy bez neznámych na pravej strane. Ďalej, vykonaním známych transformácií identity, nájdeme hodnotu X

Namiesto toho dosadíme nájdenú hodnotu 2 X do pôvodnej rovnice:

Teraz sa pokúsime oddeliť všetky členy rovnice 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 o nejaké číslo. Všimli sme si, že všetky členy tejto rovnice majú spoločný faktor 2. Každý člen ním delíme:

Vykonajte redukciu v každom termíne:

Prepíšme, čo nám zostalo:

Vyriešme túto rovnicu pomocou známych transformácií identity:

Máme root 2. Takže rovnice 15X+ 7X+ 7 = 35x− 20X+ 21 A 30X+ 14X+ 14 = 70X− 40X+ 42 sú rovnocenné.

Delenie oboch strán rovnice rovnakým číslom umožňuje odstrániť neznámu z koeficientu. V predchádzajúcom príklade, keď sme dostali rovnicu 7 X= 14, potrebovali sme vydeliť súčin 14 známym faktorom 7. Ak by sme však oslobodili neznáme od faktora 7 na ľavej strane, koreň by sa našiel okamžite. Na to stačilo rozdeliť obe strany 7

Túto metódu budeme tiež často používať.

Násobenie mínus jedna

Ak sa obe strany rovnice vynásobia mínus jedna, dostanete rovnicu ekvivalentnú tejto rovnici.

Toto pravidlo vyplýva zo skutočnosti, že vynásobením (alebo delením) oboch strán rovnice rovnakým číslom sa nemení koreň danej rovnice. To znamená, že koreň sa nezmení, ak sa obe jeho časti vynásobia −1.

Toto pravidlo vám umožňuje zmeniť znamienka všetkých komponentov zahrnutých v rovnici. Načo to je? Opäť, aby sme dostali ekvivalentnú rovnicu, ktorá sa ľahšie rieši.

Zvážte rovnicu. Prečo? rovná koreňu túto rovnicu?

Pridajte číslo 5 na obe strany rovnice

Pozrime sa na podobné pojmy:

Teraz si spomeňme na. Aká je ľavá strana rovnice? Toto je súčin mínus jedna a premennej X

Teda znamienko mínus pred premennou X sa nevzťahuje na samotnú premennú X, ale do jednej, ktorú nevidíme, keďže koeficient 1 sa zvyčajne nezapisuje. To znamená, že rovnica v skutočnosti vyzerá takto:

Zaoberáme sa komponentmi násobenia. Nájsť X, musíte súčin −5 vydeliť známym faktorom −1.

alebo vydeľte obe strany rovnice −1, čo je ešte jednoduchšie

Takže koreň rovnice je 5. Pre kontrolu ho dosaďte do pôvodnej rovnice. Nezabudnite, že v pôvodnej rovnici je mínus pred premennou X označuje neviditeľnú jednotku

Výsledkom je správna číselná rovnica. To znamená, že rovnica je vyriešená správne.

Teraz skúsme vynásobiť obe strany rovnice mínusom jedna:

Po otvorení zátvoriek sa výraz vytvorí na ľavej strane a pravá strana sa bude rovnať 10

Koreň tejto rovnice, rovnako ako rovnica, je 5

To znamená, že rovnice sú ekvivalentné.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu

V tejto rovnici sú všetky zložky záporné. Je pohodlnejšie pracovať s kladnými komponentmi ako so zápornými, preto zmeňme znamienka všetkých komponentov zahrnutých v rovnici. Aby ste to dosiahli, vynásobte obe strany tejto rovnice číslom -1.

Je jasné, že po vynásobení −1 zmení každé číslo svoje znamienko na opačné. Preto postup násobenia −1 a otvárania zátvoriek nie je podrobne popísaný, ale zložky rovnice s opačnými znamienkami sú okamžite zapísané.

Vynásobenie rovnice číslom -1 sa teda dá podrobne zapísať takto:

alebo môžete jednoducho zmeniť znamienka všetkých komponentov:

Výsledok bude rovnaký, rozdiel však bude v tom, že si ušetríme čas.

Takže vynásobením oboch strán rovnice −1 dostaneme rovnicu. Poďme vyriešiť túto rovnicu. Odčítajte 4 z oboch strán a vydeľte obe strany 3

Keď sa nájde koreň, premenná sa zvyčajne zapíše na ľavú stranu a jej hodnota na pravú, čo sme urobili.

Príklad 3. Vyriešte rovnicu

Vynásobme obe strany rovnice −1. Potom všetky komponenty zmenia svoje znamienka na opačné:

Odčítajte 2 od oboch strán výslednej rovnice X a uveďte podobné výrazy:

Pridajme jednu na obe strany rovnice a dajme podobné výrazy:

Rovná sa nule

Nedávno sme sa dozvedeli, že ak presunieme člen v rovnici z jednej časti do druhej, pričom zmeníme jej znamienko, dostaneme rovnicu ekvivalentnú danej.

Čo sa stane, ak prejdete z jednej časti do druhej nielen jeden výraz, ale všetky výrazy? Presne tak, v časti, kde boli odobraté všetky pojmy, zostane nula. Inými slovami, nezostane nič.

Ako príklad zvážte rovnicu. Vyriešme túto rovnicu ako obvykle - v jednej časti zoskupíme členy obsahujúce neznáme a v druhej necháme číselné členy bez neznámych. Ďalej, vykonaním známych transformácií identity, nájdeme hodnotu premennej X

Teraz sa pokúsime vyriešiť rovnakú rovnicu tak, že všetky jej zložky prirovnáme k nule. Aby sme to dosiahli, presunieme všetky výrazy z pravej strany doľava a zmeníme znamienka:

Uvedieme podobné výrazy na ľavej strane:

Pridajte 77 na obe strany a vydeľte obe strany 7

Alternatíva k pravidlám pre hľadanie neznámych

Je zrejmé, že ak viete o rovnakých transformáciách rovníc, nemusíte si pamätať pravidlá na hľadanie neznámych.

Napríklad, aby sme našli neznámu v rovnici, vydelili sme súčin 10 známym faktorom 2

Ale ak vydelíte obe strany rovnice 2, koreň sa nájde okamžite. Na ľavej strane rovnice v čitateli faktor 2 a v menovateli sa faktor 2 zníži o 2. A pravá strana sa bude rovnať 5

Rovnice tvaru sme vyriešili vyjadrením neznámeho člena:

Môžete však použiť identické transformácie, ktoré sme dnes študovali. V rovnici je možné výraz 4 presunúť na pravú stranu zmenou znamienka:

Na ľavej strane rovnice sa vyrušia dve dvojky. Pravá strana sa bude rovnať 2. Preto .

Alebo môžete od oboch strán rovnice odčítať 4. Potom by ste dostali nasledovné:

V prípade rovníc tvaru je vhodnejšie rozdeliť súčin známym faktorom. Porovnajme obe riešenia:

Prvé riešenie je oveľa kratšie a prehľadnejšie. Druhé riešenie sa dá výrazne skrátiť, ak si rozdelenie urobíte v hlave.

Je však potrebné poznať oba spôsoby a až potom použiť ten, ktorý preferujete.

Keď existuje niekoľko koreňov

Rovnica môže mať viacero koreňov. Napríklad rovnica X(x+ 9) = 0 má dva korene: 0 a -9.

V rov. X(x+ 9) = 0 bolo potrebné nájsť takúto hodnotu X pri ktorej by sa ľavá strana rovnala nule. Ľavá strana tejto rovnice obsahuje výrazy X A (x+9), čo sú faktory. Zo zákonov o produkte vieme, že produkt sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule (buď prvý faktor alebo druhý).

To znamená, že v rov. X(x+ 9) = 0 rovnosť sa dosiahne, ak X sa bude rovnať nule resp (x+9) sa bude rovnať nule.

X= 0 alebo X + 9 = 0

Nastavením oboch týchto výrazov na nulu môžeme nájsť korene rovnice X(x+ 9) = 0. Prvý koreň, ako je zrejmé z príkladu, bol nájdený okamžite. Ak chcete nájsť druhý koreň, musíte ho vyriešiť elementárna rovnica X+ 9 = 0. Je ľahké uhádnuť, že koreň tejto rovnice je -9. Kontrola ukazuje, že koreň je správny:

−9 + 9 = 0

Príklad 2. Vyriešte rovnicu

Táto rovnica má dva korene: 1 a 2. Ľavá strana rovnice je súčinom výrazov ( X− 1) a ( X− 2) . A súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule (alebo faktor ( X− 1) alebo faktor ( X − 2) ).

Nájdime niečo také X pod ktorými sú výrazy ( X− 1) alebo ( X− 2) stať sa nulou:

Nájdené hodnoty dosadíme jednu po druhej do pôvodnej rovnice a uistíme sa, že pre tieto hodnoty sa ľavá strana rovná nule:

Keď tých koreňov je nekonečne veľa

Rovnica môže mať nekonečne veľa koreňov. To znamená, že dosadením ľubovoľného čísla do takejto rovnice dostaneme správnu číselnú rovnosť.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu

Koreňom tejto rovnice je ľubovoľné číslo. Ak otvoríte zátvorky na ľavej strane rovnice a pridáte podobné výrazy, dostanete rovnosť 14 = 14. Táto rovnosť sa získa pre každého X

Príklad 2. Vyriešte rovnicu

Koreňom tejto rovnice je ľubovoľné číslo. Ak otvoríte zátvorky na ľavej strane rovnice, dostanete rovnosť 10X + 12 = 10X + 12. Táto rovnosť sa získa pre každého X

Keď nie sú korene

Stáva sa tiež, že rovnica nemá vôbec žiadne riešenia, to znamená, že nemá korene. Napríklad rovnica nemá korene, pretože pre akúkoľvek hodnotu X, ľavá strana rovnice sa nebude rovnať pravej strane. Napríklad nech . Potom bude mať rovnica nasledujúci tvar

Príklad 2. Vyriešte rovnicu

Rozviňme zátvorky na ľavej strane rovnice:

Pozrime sa na podobné pojmy:

Vidíme, že ľavá strana sa nerovná pravej strane. A to bude prípad akejkoľvek hodnoty r. Napríklad nech r = 3 .

Písmenové rovnice

Rovnica môže obsahovať nielen čísla s premennými, ale aj písmená.

Napríklad vzorec na nájdenie rýchlosti je doslovná rovnica:

Táto rovnica popisuje rýchlosť telesa pri rovnomerne zrýchlenom pohybe.

Užitočnou zručnosťou je schopnosť vyjadriť akúkoľvek zložku obsiahnutú v písmenovej rovnici. Napríklad, ak chcete určiť vzdialenosť z rovnice, musíte vyjadriť premennú s .

Vynásobte obe strany rovnice t

Premenné na pravej strane t skrátime to t

Vo výslednej rovnici zameníme ľavú a pravú stranu:

Máme vzorec na nájdenie vzdialenosti, ktorý sme študovali skôr.

Skúsme z rovnice určiť čas. Aby ste to dosiahli, musíte vyjadriť premennú t .

Vynásobte obe strany rovnice t

Premenné na pravej strane t skrátime to t a prepíšte, čo nám zostalo:

Vo výslednej rovnici v×t = s rozdeliť obe časti na v

Premenné vľavo v skrátime to v a prepíšte, čo nám zostalo:

Máme vzorec na určenie času, ktorý sme študovali skôr.

Predpokladajme, že rýchlosť vlaku je 50 km/h

v= 50 km/h

A vzdialenosť je 100 km

s= 100 km

Potom bude mať list nasledujúcu formu

Čas sa dá zistiť z tejto rovnice. Aby ste to dosiahli, musíte byť schopní vyjadriť premennú t. Pravidlo na nájdenie neznámeho deliteľa môžete použiť tak, že dividendu vydelíte kvocientom a tým určíte hodnotu premennej t

alebo môžete použiť rovnaké transformácie. Najprv vynásobte obe strany rovnice t

Potom vydeľte obe strany 50

Príklad 2 X

Odčítajte z oboch strán rovnice a

Vydeľme obe strany rovnice b

a + bx = c, potom budeme mať hotové riešenie. Bude to stačiť nahradiť požadované hodnoty. Hodnoty, ktoré budú nahradené písmenami a, b, c zvyčajne nazývaný parametre. A rovnice tvaru a + bx = c volal rovnica s parametrami. V závislosti od parametrov sa koreň zmení.

Riešime rovnicu 2 + 4 X= 10. Vyzerá to ako písmenová rovnica a + bx = c. Namiesto vykonávania identických transformácií môžeme použiť hotové riešenie. Porovnajme obe riešenia:

Vidíme, že druhé riešenie je oveľa jednoduchšie a kratšie.

Pre hotové riešenie musíte urobiť malá poznámka. Parameter b sa nesmie rovnať nule (b ≠ 0), keďže je povolené delenie nulou.

Príklad 3. Je daná doslovná rovnica. Vyjadrite z tejto rovnice X

Otvorme zátvorky na oboch stranách rovnice

Využime prenos pojmov. Parametre obsahujúce premennú X, zoskupujeme na ľavej strane rovnice a parametre bez tejto premennej - na pravej strane.

Na ľavej strane vyberieme faktor zo zátvoriek X

Rozdeľme obe strany výrazom a-b

Na ľavej strane je možné zmenšiť čitateľa a menovateľa o a-b. Takto je nakoniec vyjadrená premenná X

Teraz, ak narazíme na rovnicu tvaru a(x − c) = b(x + d), potom budeme mať hotové riešenie. Bude stačiť do nej nahradiť požadované hodnoty.

Povedzme, že sme dostali rovnicu 4(x− 3) = 2(X+ 4) . Vyzerá to ako rovnica a(x − c) = b(x + d). Poďme to vyriešiť dvoma spôsobmi: pomocou identických transformácií a pomocou hotového riešenia:

Pre pohodlie to vynechajme z rovnice 4(x− 3) = 2(X+ 4) hodnoty parametrov a, b, c, d . To nám umožní neurobiť chybu pri nahrádzaní:

Ako v predchádzajúcom príklade, menovateľ by sa tu nemal rovnať nule ( a − b ≠ 0). Ak sa stretneme s rovnicou tvaru a(x − c) = b(x + d) v ktorom sú parametre a A b bude rovnaká, môžeme bez riešenia povedať, že táto rovnica nemá korene, keďže rozdiel identické čísla rovná nule.

Napríklad rovnica 2(x − 3) = 2(x + 4) je rovnica tvaru a(x − c) = b(x + d). V rov. 2(x − 3) = 2(x + 4) možnosti a A b rovnaký. Ak to začneme riešiť, prídeme na to, že ľavá strana sa nebude rovnať pravej:

Príklad 4. Je daná doslovná rovnica. Vyjadrite z tejto rovnice X

Prinesme ľavú stranu rovnice k spoločnému menovateľovi:

Vynásobte obe strany a

Na ľavej strane X vyložme to zo zátvoriek

Vydeľte obe strany výrazom (1 − a)

Lineárne rovnice s jednou neznámou

Rovnice diskutované v tejto lekcii sa nazývajú lineárne rovnice prvého stupňa s jednou neznámou.

Ak je rovnica daná v prvom stupni, neobsahuje delenie neznámou a tiež neobsahuje korene z neznámej, potom ju možno nazvať lineárnou. Moc a korene sme ešte neštudovali, takže aby sme si nekomplikovali život, slovo „lineárny“ budeme chápať ako „jednoduché“.

Väčšina rovníc vyriešených v tejto lekcii nakoniec vyústila do jednoduchej rovnice, v ktorej ste museli rozdeliť súčin známym faktorom. Toto je napríklad rovnica 2( X+ 3) = 16. Poďme to vyriešiť.

Otvorme zátvorky na ľavej strane rovnice, dostaneme 2 X+ 6 = 16. Presuňme výraz 6 na pravú stranu, pričom zmeníme znamienko. Potom dostaneme 2 X= 16 − 6. Vypočítajte pravú stranu, dostaneme 2 X= 10. Nájsť X, vydeľte súčin 10 známym faktorom 2. Preto X = 5.

rovnica 2( X+ 3) = 16 je lineárny. Ide o rovnicu 2 X= 10, na nájdenie odmocniny bolo potrebné rozdeliť súčin známym súčiniteľom. Táto najjednoduchšia rovnica sa nazýva lineárna rovnica prvého stupňa s jednou neznámou v kanonickom tvare. Slovo „kanonický“ je synonymom slov „jednoduchý“ alebo „normálny“.

Lineárna rovnica prvého stupňa s jednou neznámou v kanonickom tvare sa nazýva rovnica tvaru sekera = b.

Naša výsledná rovnica 2 X= 10 je lineárna rovnica prvého stupňa s jednou neznámou v kanonickom tvare. Táto rovnica má prvý stupeň, jednu neznámu, neobsahuje delenie neznámou a neobsahuje korene z neznámej a je prezentovaná v kanonickej forme, teda v najjednoduchšej forme, v ktorej sa dá hodnota ľahko určiť. X. Namiesto parametrov a A b naša rovnica obsahuje čísla 2 a 10. Ale takáto rovnica môže obsahovať aj iné čísla: kladné, záporné alebo rovné nule.

Ak v lineárnej rovnici a= 0 a b= 0, potom má rovnica nekonečne veľa koreňov. Skutočne, ak a rovná nule a b sa rovná nule, potom lineárna rovnica sekera= b bude mať tvar 0 X= 0. Za akúkoľvek hodnotu Xľavá strana sa bude rovnať pravej strane.

Ak v lineárnej rovnici a= 0 a b≠ 0, potom rovnica nemá korene. Skutočne, ak a rovná nule a b rovná sa ľubovoľnému číslu, nie rovná nule, povedzte číslo 5 a potom rovnicu sekera = b bude mať tvar 0 X= 5. Na ľavej strane bude nula a na pravej strane bude päť. A nula sa nerovná piatim.

Ak v lineárnej rovnici a≠ 0 a b rovná sa ľubovoľnému číslu, potom má rovnica jeden koreň. Určuje sa delením parametra b na parameter a

Skutočne, ak a rovné nejakému číslu, ktoré nie je nula, povedzme číslo 3 a b rovné nejakému číslu, povedzte číslo 6, potom bude mať rovnica tvar .
Odtiaľ.

Existuje aj iná forma zápisu lineárnej rovnice prvého stupňa s jednou neznámou. Vyzerá to takto: sekera-b= 0. Toto je rovnaká rovnica ako sekera = b

Páčila sa vám lekcia?
Pridajte sa k nám nová skupina VKontakte a začnite dostávať upozornenia o nových lekciách

Pre riešenie lineárnych rovníc použiť dve základné pravidlá (vlastnosti).

Nehnuteľnosť č.1
alebo
pravidlo prevodu

Pri prenose z jednej časti rovnice do druhej člen rovnice zmení svoje znamienko na opačné.

Pozrime sa na prenosové pravidlo na príklade. Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť lineárnu rovnicu.

Pripomeňme, že každá rovnica má ľavú a pravú stranu.

Presuňme číslo „3“ z ľavej strany rovnice doprava.

Keďže číslo „3“ malo znamienko „+“ na ľavej strane rovnice, znamená to, že „3“ sa prenesie na pravú stranu rovnice so znamienkom „-“.

Výsledná číselná hodnota „x = 2“ sa nazýva koreň rovnice.

Po vyriešení akejkoľvek rovnice si nezabudnite zapísať odpoveď.

Uvažujme o inej rovnici.

Podľa pravidla prenosu sa posunieme „4x“ z ľavej strany rovnice doprava, pričom znamienko zmeníme na opačné.

Aj keď pred „4x“ nie je žiadny znak, chápeme, že pred „4x“ je znak „+“.

Teraz dajme podobné a doriešme rovnicu až do konca.

Nehnuteľnosť č.2
alebo
pravidlo rozdelenia

V ľubovoľnej rovnici môžete rozdeliť ľavú a pravú stranu rovnakým číslom.

Ale nemôžete sa rozdeliť na neznáme!

Pozrime sa na príklad, ako použiť pravidlo delenia pri riešení lineárnych rovníc.

Číslo „4“, ktoré znamená „x“, sa nazýva číselný koeficient neznáma.

Medzi číselným koeficientom a neznámou vždy existuje násobenie.

Na vyriešenie rovnice sa musíte uistiť, že „x“ má koeficient „1“.

Položme si otázku: „Čím by sme mali rozdeliť „4“, aby sme mohli
dostať "1"? Odpoveď je zrejmá, musíte deliť „4“.

Použijeme pravidlo delenia a vydelíme ľavú a pravú stranu rovnice „4“. Nezabudnite, že je potrebné rozdeliť ľavú aj pravú časť.

Využime redukciu zlomkov a doriešme lineárnu rovnicu až do konca.

Ako vyriešiť rovnicu, ak je "x" záporné

V rovniciach často nastáva situácia, keď „x“ má záporný koeficient. Ako v rovnici nižšie.

Na vyriešenie takejto rovnice si opäť položíme otázku: „Čím musíme deliť „-2“, aby sme dostali „1“? Musíte deliť „-2“.

Lineárne rovnice. Prvá úroveň.

Chcete si otestovať svoje sily a zistiť, aký je výsledok vašej pripravenosti na Jednotnú štátnu skúšku alebo Jednotnú štátnu skúšku?

1. Lineárna rovnica

Toto algebraická rovnica, ktorý plný stupeň jej tvoriacich polynómov je rovnaký.

2. Lineárna rovnica s jednou premennou má tvar:

Kde a sú nejaké čísla;

3. Lineárna rovnica s dvoma premennými má tvar:

Kde a – akékoľvek čísla.

4. Premeny identity

Na určenie, či je rovnica lineárna alebo nie, je potrebné vykonať identické transformácie:

presunúť podobné výrazy doľava/doprava, pričom nezabudnite zmeniť znamienko;
vynásobte/vydeľte obe strany rovnice rovnakým číslom.

Čo sú to "lineárne rovnice"

alebo v ústne- traja priatelia dostali jablká na základe skutočnosti, že Vasya mal všetky jablká, ktoré mal.

A teraz ste sa už rozhodli lineárna rovnica
Teraz dajme tomuto pojmu matematickú definíciu.

Lineárna rovnica – je algebraická rovnica, ktorej celkový stupeň polynómov, z ktorých sa skladá, je rovný. Vyzerá to takto:

Kde a sú nejaké čísla a

Pre náš prípad s Vasyou a jablkami napíšeme:

- "ak Vasya dá rovnaký počet jabĺk všetkým trom priateľom, nezostanú mu žiadne jablká"

„Skryté“ lineárne rovnice, alebo dôležitosť transformácií identity

Napriek tomu, že na prvý pohľad je všetko mimoriadne jednoduché, pri riešení rovníc si treba dávať pozor, pretože lineárne rovnice sa nazývajú nielen rovnice tohto typu, ale aj akékoľvek rovnice, ktoré sa dajú transformáciami a zjednodušeniami redukovať na tento typ. Napríklad:

Vidíme to, čo je vpravo, čo už teoreticky naznačuje, že rovnica nie je lineárna. Navyše, ak otvoríme zátvorky, dostaneme ďalšie dva výrazy, v ktorých bude, ale neunáhlite sa k záverom! Pred posudzovaním, či je rovnica lineárna, je potrebné vykonať všetky transformácie a tým zjednodušiť originálny príklad. V tomto prípade môžu transformácie zmeniť vzhľad, ale nie samotnú podstatu rovnice.

Inými slovami, transformačné dáta musia byť identické alebo ekvivalent. Sú len dve takéto premeny, ale hrajú sa veľmi, VEĽMI dôležitá úloha pri riešení problémov. Pozrime sa na obe transformácie na konkrétnych príkladoch.

Prevod vľavo - vpravo.

Povedzme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúcu rovnicu:

Už na základnej škole nám hovorili: „s X – vľavo, bez X – vpravo“. Aký výraz s X je vpravo? Je to tak, ale nie ako nie. A to je dôležité, pretože ak je to nepochopené, zdá sa jednoduchá otázka, znie nesprávna odpoveď. Aký výraz s X je vľavo? Správny, .

Teraz, keď sme na to prišli, presunieme všetky výrazy s neznámymi na ľavú stranu a všetko, čo je známe, na pravú stranu, pamätajúc, že ak napríklad pred číslom nie je žiadny znak, potom je číslo kladné. , to znamená, že pred ním je nápis „ “

Prenesené? Čo si dostal?

Zostáva už len priniesť podobné podmienky. Predstavujeme:

Prvú identickú transformáciu sme teda úspešne analyzovali, aj keď som si istý, že ste ju poznali a aktívne ste ju používali aj bezo mňa. Hlavnou vecou je nezabudnúť na znamienka čísel a zmeniť ich na opačné pri prenose cez znamienko rovnosti!

Násobenie-delenie.

Začnime hneď príkladom

Pozrime sa a zamyslime sa: čo sa nám na tomto príklade nepáči? Neznáme je všetko v jednej časti, známe v druhej, ale niečo nám bráni... A toto niečo je štvorka, pretože keby jej nebolo, všetko by bolo dokonalé - x rovná sa číslu- presne tak, ako potrebujeme!

Ako sa ho môžete zbaviť? Nemôžeme ho posunúť doprava, pretože potom musíme posunúť celý násobiteľ (nemôžeme ho zobrať a odtrhnúť) a presúvať celý násobiteľ tiež nemá zmysel...

Je čas zapamätať si delenie, tak si všetko rozdeľme! Všetko – to znamená ľavú aj pravú stranu. Takto a len takto! Čo robíme?

Pozrime sa teraz na ďalší príklad:

Viete odhadnúť, čo treba v tomto prípade urobiť? Správne, vynásobte ľavú a pravú stranu! Akú odpoveď ste dostali? Správny. .

O premenách identity ste už určite vedeli všetko. Zvážte, že sme vám tieto poznatky jednoducho osviežili v pamäti a je čas na niečo viac - Napríklad vyriešiť náš veľký príklad:

Ako sme už povedali, pri pohľade na to nemôžete povedať, že táto rovnica je lineárna, ale musíme otvoriť zátvorky a vykonať identické transformácie. Tak poďme na to!

Na začiatok si pripomenieme vzorce pre skrátené násobenie, najmä druhú mocninu súčtu a druhú mocninu rozdielu. Ak si nepamätáte, čo to je a ako sa otvárajú zátvorky, dôrazne vám odporúčam prečítať si tému „Skrátené vzorce násobenia“, pretože tieto zručnosti vám budú užitočné pri riešení takmer všetkých príkladov, s ktorými sa pri skúške stretnete.
Odhalené? Porovnajme:

Teraz je čas priniesť podobné podmienky. Pamätáš si, ako sme boli na tom rovnako Základná škola povedali "nedávame muchy s rezňami"? Tu vám to pripomínam. Všetko pridávame samostatne – faktory, ktoré majú, faktory, ktoré majú, a zvyšné faktory, ktoré nemajú neznáme. Keď prinesiete podobné výrazy, presuňte všetky neznáme doľava a všetky známe doprava. Čo si dostal?

Ako vidíte, X na námestí zmizli a vidíme niečo úplne normálne. lineárna rovnica. Zostáva len nájsť!

A na záver poviem ešte jednu veľmi dôležitá vec o transformáciách identity - transformácie identity sú použiteľné nielen pre lineárne rovnice, ale aj pre kvadratické, zlomkové racionálne a iné. Len si treba uvedomiť, že keď prenášame faktory cez znamienko rovnosti, meníme znamienko na opačné a pri delení alebo násobení nejakým číslom vynásobíme/vydelíme obe strany rovnice ROVNAKÝM číslom.

Čo ste si ešte z tohto príkladu odniesli? Že pohľadom na rovnicu nie je vždy možné priamo a presne určiť, či je lineárna alebo nie. Najprv je potrebné výraz úplne zjednodušiť a až potom posudzovať, čo to je.

Lineárne rovnice. Príklady.

Tu je niekoľko ďalších príkladov, ktoré si môžete precvičiť sami - určite, či je rovnica lineárna, a ak áno, nájdite jej korene:

Odpovede:

1. Je.

2. Nie je.

Otvorme zátvorky a predstavme podobné výrazy:

Vykonajte identickú transformáciu - rozdeľte ľavú a pravú stranu na:

Vidíme, že rovnica nie je lineárna, takže netreba hľadať jej korene.

3. Je.

Vykonajte identickú transformáciu - vynásobte ľavú a pravú stranu, aby ste sa zbavili menovateľa.

Zamyslite sa nad tým, prečo je to také dôležité? Ak poznáte odpoveď na túto otázku, prejdeme k ďalšiemu riešeniu rovnice, ak nie, určite si pozrite tému „ODZ“, aby ste sa viac nepomýlili komplexné príklady. Mimochodom, ako vidíte, situácia je nemožná. prečo?
Takže poďme ďalej a usporiadajme rovnicu:

Ak ste všetko zvládli bez ťažkostí, povedzme si niečo o lineárnych rovniciach s dvoma premennými.

Lineárne rovnice v dvoch premenných

Teraz prejdime k trochu zložitejším – lineárnym rovniciam s dvoma premennými.

Lineárne rovnice s dvoma premennými majú tvar:

Kde a – akékoľvek čísla a.

Ako vidíte, jediný rozdiel je v tom, že do rovnice sa pridáva ďalšia premenná. A tak je všetko po starom – neexistujú žiadne x na druhú, žiadne delenie premennou atď. a tak ďalej.

Ktorý ti mám priniesť? životný príklad. Zoberme si to isté Vasya. Povedzme, že sa rozhodol, že každému z 3 priateľov dá rovnaký počet jabĺk a jablká si nechá pre seba. Koľko jabĺk potrebuje Vasya kúpiť, ak dá každému priateľovi jablko? Čo takto? Čo ak do?

Závislosť počtu jabĺk, ktoré každý dostane celkový počet jablká, ktoré je potrebné kúpiť, budú vyjadrené rovnicou:

– počet jabĺk, ktoré osoba dostane (, alebo, alebo);
– počet jabĺk, ktoré si Vasya vezme pre seba;
– koľko jabĺk potrebuje Vasya kúpiť, berúc do úvahy počet jabĺk na osobu?

Vyriešením tohto problému zistíme, že ak Vasya dá jednému priateľovi jablko, musí si kúpiť kúsky, ak dá jablká atď.

A všeobecne povedané. Máme dve premenné. Prečo tento vzťah nezakresliť do grafu? Hodnotu našich, teda bodov, staviame a označíme súradnicami a!

Ako vidíte, závisia jeden od druhého lineárne, odtiaľ názov rovníc – “ lineárne».

Abstrahujme od jabĺk a pozrime sa na to graficky rôzne rovnice. Pozorne si prezrite dva zostrojené grafy – priamku a parabolu, špecifikované ľubovoľnými funkciami:

Nájdite a označte zodpovedajúce body na oboch obrázkoch.
Čo si dostal?

Vidíte to na grafe prvej funkcie sám zodpovedá jeden, teda lineárne závisia aj od seba, čo sa o druhej funkcii povedať nedá. Samozrejme, môžete namietať, že v druhom grafe zodpovedá aj x -, ale toto je len jeden bod, tj. špeciálny prípad, pretože stále môžete nájsť ten, ktorý sa zhoduje s viac ako len jedným. A zostrojený graf nijako nepripomína priamku, ale je parabolou.

Opakujem, ešte raz: graf lineárnej rovnice musí byť ROVNÁ čiara.

S tým, že rovnica nebude lineárna, ak pôjdeme do akéhokoľvek stupňa - to je jasné na príklade paraboly, aj keď si môžete pre seba postaviť niekoľko ďalších jednoduché grafy, napríklad alebo. Ale ubezpečujem vás – žiadna z nich nebude PRIAMA RIADKA.

neveríte? Postavte to a potom to porovnajte s tým, čo som dostal:

Čo sa stane, ak niečo vydelíme napríklad nejakým číslom? Bude to lineárna závislosť a? Nehádajme sa, ale stavajme! Zostavme si napríklad graf funkcie.

Nejako to nevyzerá, že je skonštruovaná ako priamka... teda rovnica nie je lineárna.
Poďme si to zhrnúť:

Lineárna rovnica - je algebraická rovnica, v ktorej je celkový stupeň jej tvoriacich polynómov rovnaký.
Lineárna rovnica s jednou premennou má tvar:
, kde a sú akékoľvek čísla;
Lineárna rovnica s dvoma premennými:
, kde a sú akékoľvek čísla.
Nie je vždy možné okamžite určiť, či je rovnica lineárna alebo nie. Niekedy, aby sme to pochopili, je potrebné vykonať identické transformácie, presunúť podobné výrazy doľava/doprava, nezabudnúť zmeniť znamienko alebo vynásobiť/vydeliť obe strany rovnice rovnakým číslom.

Komentáre

Distribúcia materiálov bez schválenia je povolená, ak existuje odkaz dofollow na zdrojovú stránku.

Zásady ochrany osobných údajov

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Môžete byť požiadaní, aby ste poskytli svoje osobné informácie kedykoľvek nás budete kontaktovať.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie s cieľom zlepšiť služby, ktoré poskytujeme a poskytnúť vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Ďakujem za správu!

Váš komentár bol prijatý a po moderovaní bude zverejnený na tejto stránke.

Chcete zistiť, čo sa skrýva pod strihom a získať exkluzívne materiály o príprave na Jednotnú štátnu skúšku a Jednotnú štátnu skúšku? Nechajte svoj email

Rovnica je rovnosť obsahujúca písmeno, ktorého znamienko treba nájsť. Riešením rovnice je množina písmenových hodnôt, ktoré menia rovnicu na skutočnú rovnosť:

Pripomeňme si to vyriešiť rovnica musíte preniesť výrazy s neznámym do jednej časti rovnosti a číselné výrazy do druhej, priniesť podobné a získať nasledujúcu rovnosť:

Z poslednej rovnosti určíme neznámu podľa pravidla: „jeden z faktorov sa rovná podielu deleného druhým faktorom“.

Keďže racionálne čísla a a b môžu mať rovnaké alebo rôzne znamienka, znamienko neznámej určujú pravidlá delenia racionálnych čísel.

Postup riešenia lineárnych rovníc

Lineárna rovnica sa musí zjednodušiť otvorením zátvoriek a vykonaním operácií druhého kroku (násobenie a delenie).

Presuňte neznáme na jednu stranu znamienka rovnosti a čísla na druhú stranu znamienka rovnosti, čím získate rovnosť identickú s danou,

Prineste podobné naľavo a napravo od znamienka rovnosti, čím získate rovnosť tvaru sekera = b.

Vypočítajte koreň rovnice (nájdite neznámu X z rovnosti X = b : a),

Skontrolujte dosadením neznámej do danej rovnice.

Ak získame identitu v číselnej rovnosti, potom je rovnica vyriešená správne.

Špeciálne prípady riešenia rovníc

Ak rovnica ak je súčin rovný 0, potom na jeho vyriešenie použijeme vlastnosť násobenia: „súčin sa rovná nule, ak sa jeden z faktorov alebo oba faktory rovnajú nule“.

27 (X - 3) = 0
27 sa nerovná 0, čo znamená X - 3 = 0

Druhý príklad má dve riešenia rovnice, pretože
toto je rovnica druhého stupňa:

Ak sú koeficienty rovnice obyčajné zlomky, potom sa najprv musíte zbaviť menovateľov. Pre to:

Nájdite spoločného menovateľa;

Určite ďalšie faktory pre každý člen rovnice;

Vynásobte čitateľov zlomkov a celých čísel ďalšími faktormi a napíšte všetky členy rovnice bez menovateľov (spoločný menovateľ môže byť vyradený);

Presuňte členy s neznámymi na jednu stranu rovnice a číselné členy na druhú od znamienka rovnosti, čím získate ekvivalentnú rovnosť;

Priveďte podobných členov;

Základné vlastnosti rovníc

V ktorejkoľvek časti rovnice môžete pridať podobné výrazy alebo otvoriť zátvorku.

Akýkoľvek člen rovnice možno preniesť z jednej časti rovnice do druhej zmenou jej znamienka na opačné.

Obe strany rovnice možno vynásobiť (vydeliť) rovnakým číslom, okrem 0.

Vo vyššie uvedenom príklade boli všetky jeho vlastnosti použité na riešenie rovnice.

Lineárne rovnice. Riešenie lineárnych rovníc. Pravidlo na prenos termínu.

Pravidlo na prenos termínu.

Pri riešení a transformácii rovníc je často potrebné presunúť člen na druhú stranu rovnice. Upozorňujeme, že výraz môže mať znamienko plus alebo mínus. Podľa pravidla, keď presúvate výraz do inej časti rovnice, musíte zmeniť znamienko na opačné. Okrem toho pravidlo funguje aj pri nerovnostiach.

Príklady niesť termín:

Najprv prenesieme 5x

Všimnite si, že znamienko „+“ sa zmenilo na „-“ a znamienko „-“ na „+“. V tomto prípade nezáleží na tom, či je prenášaným pojmom číslo alebo premenná, prípadne výraz.

1. člen presunieme na pravú stranu rovnice. Dostaneme:

Upozorňujeme, že v našom príklade je výraz výrazom (−3x 2 (2+7x)). Nemožno ho teda previesť samostatne (-3x2) A (2+7x), keďže ide o zložky sčítanca. Preto to nevydržia (-3x 2 ⋅ 2) A (7x). Môžeme však otvoriť zátvorky a získať 2 výrazy: (-3x-⋅ 2) A (-3×2⋅ 7x). Tieto 2 termíny sa môžu nosiť oddelene od seba.

Nerovnosti sa transformujú rovnakým spôsobom:

Zhromažďujeme každé číslo na jednej strane. Dostaneme:

2 strany rovnice sú podľa definície rovnaké, takže môžeme odpočítať rovnaké výrazy z oboch strán rovnice a rovnosť zostane pravdivá. Musíte odčítať výraz, ktorý je v konečnom dôsledku potrebné presunúť na druhú stranu. Potom sa na jednej strane znaku „=“ zhoduje s tým, čo bolo. A na druhej strane rovnosti sa výraz, ktorý sme odčítali, objaví so znamienkom „-“.

Toto pravidlo sa často používa na riešenie lineárnych rovníc. Na riešenie sústav lineárnych rovníc sa používajú iné metódy.

Základy algebry/pravidlo prenosu

Presuňme prvý člen na pravú stranu rovnice. Dostaneme:

Presuňme všetky čísla na jednu stranu. V dôsledku toho máme:

Príklady ilustrujúce dôkaz Edit

Pre rovnice Upraviť

Povedzme, že chceme presunúť všetky X z ľavej strany rovnice doprava. Odčítajte 5 x z oboch strán

Teraz musíme skontrolovať, či sú ľavá a pravá strana rovnice rovnaké. Nahraďte neznámu premennú výsledným výsledkom:

Teraz môžeme uviesť podobné pojmy:

Najprv presuňme 5 X z ľavej strany rovnice doprava:

Teraz posuňme číslo (-6) z pravej strany doľava:

Všimnite si, že znamienko plus sa zmenilo na znamienko mínus a znamienko mínus sa zmenilo na znamienko plus. Navyše nezáleží na tom, či je prenášaným výrazom číslo, premenná alebo celý výraz.

Dve strany rovnice sú podľa definície rovnaké, takže môžete odpočítať od oboch strán rovnice rovnaký výraz a rovnosť zostane pravdivá. Na jednej strane znamienka rovnosti bude kontrahovať s tým, čo bolo. Na druhej strane rovnice sa výraz, ktorý sme odčítali, objaví so znamienkom mínus.

Pravidlo pre rovnice sa osvedčilo.

Pre nerovnosti Edit

Preto je 4 koreňom rovnice 5x+2=7x-6. Keďže identita je preukázaná pre neho, potom z definície aj pre nerovnosti.

Riešenie rovníc, pravidlo prenosu členov

Účel lekcie

Edukačné ciele vyučovacej hodiny:

— Byť schopný aplikovať pravidlo prenosu členov pri riešení rovníc;

Rozvojové ciele lekcie:

- rozvíjať samostatná činnosťštudenti;

- rozvíjať reč (poskytovať úplné odpovede v gramotnom, matematickom jazyku);

Vzdelávacie ciele lekcie:

- rozvíjať schopnosť správne si robiť poznámky do zošitov a na tabuľu;

?Vybavenie:

Multimédiá
interaktívna tabuľa

Zobraziť obsah dokumentu
"Lekcia Riešenie rovníc 6. ročník"

HODINA MATEMATIKA 6. ROČNÍK

Učiteľ: Timofeeva M. A.

Účel lekcie: osvojenie si pravidiel na prenos pojmov z jednej strany rovnice na druhú.

Edukačné ciele vyučovacej hodiny:

Vedieť aplikovať pravidlo prenosu členov pri riešení rovníc;

Rozvojové ciele lekcie:

rozvíjať samostatnú činnosť žiakov;

rozvíjať reč (poskytovať úplné odpovede v gramotnom, matematickom jazyku);

Vzdelávacie ciele lekcie:

rozvíjať schopnosť správne si robiť poznámky do zošitov a na tabuľu;

Hlavné fázy lekcie

1. Organizačný moment, komunikácia účelu hodiny a formy práce

"Ak sa chceš naučiť plávať,

potom smelo vstúp do vody,

a ak sa chcete naučiť riešiť rovnice,

2. Dnes začneme študovať tému: „Riešenie rovníc“ (Snímka 1)

Ale už ste sa naučili riešiť rovnice! Čo potom budeme študovať?

— Nové spôsoby riešenia rovníc.

3. Pozrime sa na preberaný materiál ( Ústna práca) (Snímka 2)

3). 7m + 8n – 5m – 3n

4). – 6a + 12 b – 5a – 12b

5). 9x – 0,6r – 14x + 1,2r

Prišla rovnica
priniesol veľa tajomstiev

Aké výrazy sú rovnice?(Snímka 3)

4. Ako sa nazýva rovnica?

Rovnica je rovnosť obsahujúca neznáme číslo. (Snímka 4)

Čo znamená vyriešiť rovnicu?

Vyriešte rovnicu- znamená nájsť jeho korene alebo dokázať, že neexistujú.

Riešime rovnice ústne. (Snímka 5)

Aké pravidlo používame na riešenie?

— Nájdenie neznámeho faktora.

Napíšme si do zošita niekoľko rovníc a vyriešme ich pomocou pravidiel na nájdenie neznámeho člena a mínusu: (Snímka 7)

Ako vyriešiť takúto rovnicu?

x + 5 = - 2x - 7 (snímka 8)

Nemôžeme to zjednodušiť, pretože podobné pojmy sú in rôzne časti rovnice, preto je potrebné ich preniesť.

Farby pália fantasticky,
A bez ohľadu na to, aká múdra je hlava,
Veríte ešte na rozprávky?
Rozprávka má vždy pravdu.

Žili raz dvaja králi: čierny a biely. Čierny kráľ žil v Čiernom kráľovstve na pravom brehu rieky a Biely kráľ žil v Bielom kráľovstve na ľavom brehu. Medzi kráľovstvami tiekla veľmi búrlivá a nebezpečná rieka. Preplávať túto rieku nebolo možné ani plávaním, ani loďou. Potrebovali sme most! Stavba mosta trvala veľmi dlho a nakoniec sa most podarilo postaviť. Všetci by sa tešili a komunikovali medzi sebou, ale tu je problém: Bielemu kráľovi sa nepáčila čierna farba, všetci obyvatelia jeho kráľovstva nosili svetlé oblečenie, ale Čiernemu kráľovi sa nepáčilo. biela farba a obyvatelia jeho kráľovstva nosili tmavé šaty. Ak sa niekto z Čiernej ríše presťahoval do Bielej ríše, okamžite upadol do nemilosti Bieleho kráľa a ak sa niekto z Bielej ríše presťahoval do Čiernej ríše, okamžite upadol do nemilosti Čierneho kráľa. Obyvatelia kráľovstiev museli niečo vymyslieť, aby nenahnevali svojich kráľov. Čo myslíte, na čo prišli?

Portál pre školákov. Vlastná príprava

Príklad #1

Vyšetrenie:

Príklad č.2

Vyšetrenie:

Príklad č.3

Vyšetrenie:

Príklad č.4

Vyšetrenie:

Príklad č.5

Vyšetrenie:

Príklad č.6

Vyšetrenie:

Teraz si povedzme o základných pravidlách:

Z mojej praxe

Informácie pre rodičov

Riešenie rovníc sčítania a odčítania

Riešenie rovníc násobenia a delenia

Postup riešenia lineárnych rovníc

Špeciálne prípady riešenia rovníc

Základné vlastnosti rovníc

Pravidlo na riešenie jednoduchých rovníc

Lineárne rovnice.

Riešenie lineárnych rovníc. Príklady.

Špeciálne prípady pri riešení lineárnych rovníc.

Ak sa vám táto stránka páči.

Riešenie lineárnych rovníc 7. ročník

Nehnuteľnosť č.1 alebo pravidlo prevodu

Nehnuteľnosť č.2 alebo pravidlo rozdelenia

Ako vyriešiť rovnicu, ak je "x" záporné

Riešenie jednoduchých lineárnych rovníc

Príklady riešenia rovníc

Schéma riešenia jednoduchých lineárnych rovníc

Riešenie reálnych príkladov jednoduchých lineárnych rovníc

Na čo treba pamätať pri riešení lineárnych rovníc

Riešenie zložitých lineárnych rovníc

Nuansy riešenia

Riešenie aj zložitejších lineárnych rovníc

O algebraickom súčte

Riešenie rovníc so zlomkami

Kľúčové body

Príklady riešenia rovníc

Schéma riešenia jednoduchých lineárnych rovníc

Riešenie reálnych príkladov jednoduchých lineárnych rovníc

Úloha č.1

Úloha č.2

Úloha č.3

Na čo treba pamätať pri riešení lineárnych rovníc

Riešenie zložitých lineárnych rovníc

Príklad č.1

Príklad č.2

Nuansy riešenia

Riešenie aj zložitejších lineárnych rovníc

Úloha č.1

Úloha č.2

Nuansy riešenia

O algebraickom súčte

Riešenie rovníc so zlomkami

Príklad č.1

Príklad č.2

Kľúčové body

čo je rovnica?

Vyjadrite jednu vec cez druhú

Pravidlá pre hľadanie neznámych

Komponenty

Ekvivalentné rovnice

Násobenie mínus jedna

Rovná sa nule

Alternatíva k pravidlám pre hľadanie neznámych

Keď existuje niekoľko koreňov

Keď tých koreňov je nekonečne veľa

Keď nie sú korene

Písmenové rovnice

Lineárne rovnice s jednou neznámou

Nehnuteľnosť č.1 alebo pravidlo prevodu

Nehnuteľnosť č.2 alebo pravidlo rozdelenia

Ako vyriešiť rovnicu, ak je "x" záporné

Lineárne rovnice. Prvá úroveň.

Čo sú to "lineárne rovnice"

„Skryté“ lineárne rovnice, alebo dôležitosť transformácií identity

Nehnuteľnosť č.1
alebo
pravidlo prevodu

Nehnuteľnosť č.2
alebo
pravidlo rozdelenia

Nehnuteľnosť č.1
alebo
pravidlo prevodu

Nehnuteľnosť č.2
alebo
pravidlo rozdelenia

Zobraziť obsah dokumentu
"Lekcia Riešenie rovníc 6. ročník"