Punkt - abstraktes Objekt im Raum, der keine messbaren Eigenschaften hat (ein nulldimensionales Objekt). Der Punkt ist einer von grundsätzliche Konzepte in Mathematik.
Punkt in der euklidischen Geometrie
Euklid definierte einen Punkt als „ein Objekt ohne Teile“. In der modernen Axiomatik der euklidischen Geometrie ist ein Punkt ein primäres Konzept, das nur durch eine Liste seiner Eigenschaften – Axiome – gegeben ist.
Im gewählten Koordinatensystem kann jeder Punkt des zweidimensionalen euklidischen Raums als geordnetes Paar dargestellt werden ( x; j) reale Nummern. Ebenso Punkt n-dimensionaler euklidischer Raum (sowie Vektor- oder affiner Raum) kann als Tupel dargestellt werden ( a 1 , a 2 , … , a n) aus n Zahlen.
Verknüpfungen
- Punkt(Englisch) auf der PlanetMath-Website.
- Weissstein, Eric W. Zeigen Sie auf der Website von Wolfram MathWorld.
Fakt ist:
Punkt Punkt Substantiv, Gut., benutzen sehr oft Morphologie: (nein) was? Punkte, was? Punkt, (sehen) was? Punkt, wie? Punkt, worüber? über den Punkt; pl. was? Punkte, (nicht, was? Punkte, was? Punkte, (sehen) was? Punkte, wie? Punkte, worüber? über Punkte 1. Punkt- Dies ist ein kleiner runder Fleck, eine Spur von einer Berührung mit etwas Scharfem oder Schreiben.Punktmuster. | Punktion. | Die Stadt auf der Karte wird durch einen kleinen Punkt und die Verfügbarkeit angezeigt Umgehungsstraße man kann nur raten.
2. Punkt- Dies ist etwas sehr Kleines, das aufgrund der Entfernung oder aus anderen Gründen schlecht sichtbar ist.
Zeigen Sie auf den Horizont. | Als sich die Kugel dem Horizont im westlichen Teil des Himmels näherte, begann sie langsam an Größe abzunehmen, bis sie sich in einen Punkt verwandelte.
3. Punkt- ein Satzzeichen, das am Ende eines Satzes oder beim Abkürzen von Wörtern steht.
Setzen Sie einen Punkt. | Vergiss nicht, am Ende des Satzes einen Punkt zu setzen
4. In Mathematik, Geometrie und Physik Punkt ist eine Einheit mit einer Position im Raum, der Grenze eines Liniensegments.
5. Punkt namens bestimmter Ort im Raum, auf dem Boden oder auf der Oberfläche von etwas.
Platzierungspunkt. | Schmerzpunkt.
6. Punkt Benennen Sie den Ort, an dem sich etwas befindet oder ausgeführt wird, einen bestimmten Knoten im System oder Netzwerk beliebiger Punkte.
Jede Steckdose muss ein eigenes Schild haben.
7. Punkt sie nennen die Grenze der Entwicklung von etwas, ein bestimmtes Niveau oder Moment in der Entwicklung.
Nein höchster Punkt. | Punkt in der Entwicklung. | Der Stand der Dinge hat einen kritischen Punkt erreicht. | Dies ist der höchste Punkt der Manifestation der spirituellen Kraft des Menschen.
8. Punkt bezeichnet die Temperaturgrenze, bei der die Umwandlung eines Stoffes in einen erfolgt Aggregatzustand in eine andere.
Siedepunkt. | Gefrierpunkt. | Schmelzpunkt. | Wie mehr Höhe je niedriger der Siedepunkt des Wassers ist.
9. Semikolon (;) ein so genanntes Satzzeichen, das verwendet wird, um gemeinsame, mehr zu trennen unabhängige Teile Verbindungssatz.
BEIM Englische Sprache Es werden praktisch die gleichen Satzzeichen wie im Russischen verwendet: Punkt, Komma, Semikolon, Bindestrich, Apostroph, Klammern, Auslassungszeichen, Fragezeichen und Ausrufezeichen, Bindestrich.
10. Wenn sie darüber reden Standpunkt, bedeutet jemandes Meinung zu einem bestimmten Problem, eine Betrachtung der Dinge.
Weniger beliebt ist jetzt ein anderer Standpunkt, der früher fast allgemein anerkannt war. | Diese Ansicht teilt heute niemand mehr.
11. Wenn Leute gesagt haben, dass sie es getan haben Ansprechpartner sie haben also gemeinsame interessen.
Vielleicht finden wir Gemeinsamkeiten.
12. Wenn etwas gesagt wird Punkt zu Punkt, was eine absolut exakte Übereinstimmung bedeutet.
Punkt für Punkt an der Stelle, wo es angezeigt wurde, stand ein kaffeefarbenes Auto.
13. Wenn eine Person sein soll den Punkt erreicht, was bedeutet, dass er die äußerste Grenze in der Manifestation einiger negativer Eigenschaften erreicht hat.
Wir haben den Punkt erreicht! So kannst du nicht mehr leben! | Sie können ihm nicht sagen, dass die Geheimdienste unter seiner weisen Führung den Punkt erreicht haben.
14. Wenn jemand macht Schluss in manchen Geschäften bedeutet es, dass er damit aufhört.
Dann kehrte er von der Emigration in seine Heimat, nach Russland, zurück die Sowjetunion, und das machte all seinen Suchen und Gedanken ein Ende.
15. Wenn jemand punktiere das "und"(oder über i), was bedeutet, dass er die Sache zu einem logischen Abschluss bringt, nichts ungesagt lässt.
Lassen Sie uns die i's punktieren. Ich wusste nichts von Ihrer Initiative.
16. Wenn jemand trifft einen Punkt, was bedeutet, dass er alle seine Kräfte auf das Erreichen eines Ziels konzentrierte.
Deshalb sind seine Bilder so deutlich; Er trifft immer einen Punkt und lässt sich nie von kleinen Details mitreißen. | Er versteht sehr gut, was die Aufgabe seines Unternehmens ist, und trifft zielstrebig einen Punkt.
17. Wenn jemand auf den Punkt getroffen, was bedeutet, dass er genau das gesagt oder getan hat, was nötig war, hat es erraten.
Gleich der erste Brief, der in die nächste Runde des Wettbewerbs kam, überraschte die Redaktion positiv – bei einer der aufgeführten Optionen traf unser Leser sofort ins Schwarze!
Punkt adj.Akupressur.
Erklärendes Wörterbuch der russischen Sprache Dmitriev. D. W. Dmitrijew. 2003.
Punkt
Punkt Kann bedeuten:
Wiktionary hat einen Artikel "Punkt"- Ein Punkt ist ein abstraktes Objekt im Raum, das keine anderen messbaren Eigenschaften als Koordinaten hat.
- Punkt - diakritisch, die über, unter oder in der Mitte des Briefes platziert werden können.
- Punkt - eine Einheit zur Entfernungsmessung auf Russisch und Englische Systeme Maße.
- Der Punkt ist eine der Darstellungen des Dezimaltrennzeichens.
- Punkt (Netzwerktechnologien) - Bezeichnung der Stammdomäne in der Hierarchie der globalen Netzwerkdomänen.
- Tochka - Kette von Elektronik- und Unterhaltungsgeschäften
- Tochka - Album der Gruppe "Leningrad"
- Point - Russischer Film aus dem Jahr 2006 nach der gleichnamigen Geschichte von Grigory Ryazhsky
- Dot ist das zweite Studioalbum von Rapper Sten.
- Tochka ist ein Divisionsraketensystem.
- Tochka - Krasnojarsker Jugend- und Subkulturzeitschrift.
- Tochka ist ein Club und Konzertort in Moskau.
- Der Punkt ist eines der Zeichen im Morsecode.
- Der Punkt ist der Ort des Kampfeinsatzes.
- Punkt (Bearbeitung) - der Prozess des Bearbeitens, Drehens, Schärfens.
- PUNKT - Informations- und Analyseprogramm auf NTV.
- Tochka ist eine 2012 gegründete Rockband aus der Stadt Norilsk.
Ortsname
Kasachstan
- Punkt- bis 1992 der Name des Dorfes Bayash Utepov im Bezirk Ulan in der Region Ostkasachstan.
Russland
- Tochka ist ein Dorf im Bezirk Sheksninsky in der Region Wologda.
- Tochka ist ein Dorf im Bezirk Volotovsky in der Region Nowgorod.
- Tochka ist ein Dorf im Bezirk Lopatinsky in der Region Pensa.
Können Sie Begriffe wie Punkt und Linie definieren?
Unsere Schulen und Universitäten hatten diese Definitionen nicht, obwohl sie meiner Meinung nach entscheidend sind (ich weiß nicht, wie das in anderen Ländern ist). Wir können diese Konzepte als "erfolgreich und nicht erfolgreich" definieren und überlegen, ob dies für die Entwicklung des Denkens nützlich ist.
Ringer
Seltsam, aber uns wurde die Definition eines Punktes gegeben. Dies ist ein abstraktes Objekt (Konvention), das sich im Raum befindet und keine Dimensionen hat. Das ist das Erste, was uns in der Schule eingehämmert wurde – ein Punkt hat keine Dimensionen, er ist ein „nulldimensionales“ Objekt. Ein bedingtes Konzept, wie alles andere in der Geometrie.
Gerade Linien sind noch schwieriger. Zunächst einmal ist es eine Linie. Zweitens ist es eine Menge von Punkten, die auf bestimmte Weise im Raum angeordnet sind. In der sehr einfache Definition Es ist eine Linie, die durch die beiden Punkte definiert ist, durch die sie verläuft.
Medivh
Ein Punkt ist eine Art abstraktes Objekt. Ein Punkt hat Koordinaten, aber keine Masse oder Abmessungen. In der Geometrie beginnt alles genau mit einem Punkt, das ist der Anfang aller anderen Figuren (übrigens auch in der Schrift, ohne Punkt gibt es keinen Wortanfang). Eine Gerade ist der Abstand zwischen zwei Punkten.
Leonid Kutny
Sie können alles und jedes definieren. Aber es stellt sich die Frage: Wird diese Definition in einer bestimmten Wissenschaft "funktionieren"? Basierend auf dem, was wir haben, macht es keinen Sinn, einen Punkt, eine Linie und eine Ebene zu definieren. Ich mochte Arthurs Bemerkungen sehr und möchte hinzufügen, dass ein Punkt viele Eigenschaften hat: Er hat keine Länge, Breite, Höhe, keine Masse und kein Gewicht usw. Aber die Haupteigenschaft eines Punktes ist, dass er eindeutig die Position von an anzeigt Objekt, ein Objekt auf der Ebene, im Raum. Deshalb brauchen wir einen Punkt!Aber ein kluger Leser wird sagen, dass dann ein Buch, ein Stuhl, eine Uhr und andere Dinge als Punkt gewertet werden können. Absolut richtig! Daher macht es keinen Sinn, einen Punkt zu definieren. Mit freundlichen Grüßen L.A. Kutniy
Eine gerade Linie ist eines der Grundkonzepte der Geometrie.
Der Punkt ist in vielen Sprachen ein Satzzeichen in der Schrift.
Außerdem ist der Punkt eines der Symbole des Morsecodes
So viele Definitionen :D
Die Definitionen eines Punktes, einer Linie, einer Ebene wurden von mir Ende der 80er und Anfang der 90er Jahre des 20. Jahrhunderts gegeben. Ich gebe einen Link:
https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP
In einem 328-seitigen Band wird die kognitive Essenz dieser Konzepte in einem völlig neuen Aspekt beschrieben, die auf der Grundlage einer realen physischen Weltanschauung und eines Gefühls von Ich existiere erklärt werden, was bedeutet, dass "ich" ebenso wie das Universum existiere selbst, zu dem ich gehöre, existiert.
Alles eingeschrieben diese Arbeit wird durch das Wissen der Menschheit über die Natur und ihre Eigenschaften bestätigt, die vor langer Zeit entdeckt wurden und noch erforscht werden dieser Moment Zeit. Die Mathematik ist so komplex geworden, dass man sie verstehen und verstehen kann, um ihre abstrakten Bilder auf die Praxis technologischer Durchbrüche anzuwenden. Nachdem die Grundlagen, die grundlegenden Prinzipien, offenbart wurden, ist es möglich, sie sogar einem Schüler zu erklären Grundschule Gründe für die Existenz des Universums. Lies und komme der Wahrheit näher. Wagen Sie es, die Welt, in der wir existieren, öffnet sich vor Ihnen in einem neuen Licht.
Gibt es eine Definition des Begriffs "Punkt" in Mathematik, Geometrie.
Michail Lewin
"undefinierbarer Begriff" ist eine Definition?
Tatsächlich ist es die Unbestimmtheit von Begriffen, die es ermöglicht, Mathematik auf verschiedene Objekte anzuwenden.
Ein Mathematiker kann sogar sagen "mit einem Punkt meine ich eine euklidische Ebene, mit einer Ebene meine ich einen euklidischen Punkt" - überprüfen Sie alle Axiome und erhalten Sie neue Geometrie oder neue Theoreme.
Der Punkt ist, dass Sie zur Definition von Term A Term B verwenden müssen. Um B zu definieren, benötigen Sie Term C. Und so weiter bis ins Unendliche. Und um aus dieser Unendlichkeit gerettet zu werden, muss man einige Begriffe ohne Definitionen akzeptieren und Definitionen anderer darauf aufbauen. ©
Grigorij Piven
In der Mathematik ist Piven Grigory Ein Punkt ein Teil des Raums, der abstrakt (gespiegelt) als das Segment mit der Mindestlänge gleich 1 genommen wird, das verwendet wird, um andere Teile des Raums zu messen. Daher wählt eine Person die Skala eines Punktes aus Bequemlichkeit für einen produktiven Messvorgang: 1 mm, 1 cm, 1 m, 1 km, 1a. d.h. 1 St. Jahr. usw.
Siehe auch: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07
Abstraktion wird in der Mathematik seit zweieinhalb Jahrtausenden verwendet. dimensionsloser Punkt, was nicht nur widerspricht gesunder Menschenverstand, sondern auch Wissen über die umgebende Welt, das durch Wissenschaften wie Physik, Chemie, Quantenmechanik und Informatik.
Im Gegensatz zu anderen Abstraktionen idealisiert die Abstraktion eines dimensionslosen mathematischen Punktes die Realität nicht und vereinfacht ihre Wahrnehmung, sondern verzerrt sie absichtlich und gibt ihr die entgegengesetzte Bedeutung, was es insbesondere unmöglich macht, Räume höherer Dimension zu verstehen und zu studieren!
Die Verwendung der Abstraktion eines dimensionslosen Punktes in der Mathematik kann mit der Verwendung der Basis verglichen werden Geldeinheit zum Nulltarif. Daran hat die Wirtschaft glücklicherweise nicht gedacht.
Beweisen wir die Absurdität der Abstraktion eines dimensionslosen Punktes.
Satz. Der mathematische Punkt ist umfangreich.
Nachweisen.
Da in Mathematik
Point_size = 0,
Für ein Segment von endlicher Länge (nicht Null) haben wir
Segmentgröße = 0 + 0 + ... + 0 = 0.
Die erhaltene Nullgröße des Segments als Folge seiner konstituierenden Punkte widerspricht der Bedingung der endlichen Länge des Segments. Außerdem ist die Nullpunktgröße insofern absurd, als die Summe der Nullen nicht von der Anzahl der Terme abhängt, das heißt, die Anzahl der „Null“-Punkte im Segment beeinflusst die Größe des Segments nicht.
Daher ist die ursprüngliche Annahme über die Nullgröße eines mathematischen Punktes FALSCH.
Somit kann argumentiert werden, dass ein mathematischer Punkt eine von Null verschiedene (endliche) Größe hat. Da der Punkt nicht nur zum Segment gehört, sondern auch zu dem Raum, in dem sich das Segment befindet, hat er die Dimension des Raumes, das heißt, der mathematische Punkt ist volumetrisch. Q.E.D.
Folge.
Der obige Beweis, durchgeführt mit dem mathematischen Apparat Nachwuchsgruppe Kindergarten macht stolz auf die grenzenlose Weisheit der Priester und Adepten der „Königin aller Wissenschaften“, die es geschafft haben, den uralten Wahn der Menschheit durch die Jahrtausende zu tragen und der Nachwelt in seiner ursprünglichen Form zu bewahren.
Bewertungen
Liebe Alexander! Ich bin nicht stark in Mathematik, aber vielleicht kannst DU mir sagen, wo und von wem steht, dass der Punkt gleich Null ist? Eine andere Sache, sie hat unendlich geringe Menge, bis zur Konvention, aber überhaupt nicht null. Somit kann jedes Segment als Null betrachtet werden, da es ein anderes Segment gibt, das enthält unendlicher Satz Anfangssegmente, grob gesagt. Vielleicht sollten wir Mathematik und Physik nicht verwechseln. Die Mathematik ist die Wissenschaft vom Sein, die Physik vom Seienden. Mit freundlichen Grüßen.
Ich habe Achilles zweimal im Detail und viele Male im Vorbeigehen erwähnt:
"Warum holt Achilles die Schildkröte nicht ein"
"Achilles und die Schildkröte - ein Paradoxon in einem Würfel"
Vielleicht ist eine Lösung für Zenos Paradoxon, dass der Raum diskret und die Zeit kontinuierlich ist. Er überlegte, wie es Ihnen möglich ist, dass beide diskret sind. Der Körper kann für einige Zeit an einem bestimmten Punkt im Raum bleiben. Aber es kann nicht gleichzeitig an verschiedenen Orten sein. Das ist natürlich alles Dilettantismus, wie unser gesamter Dialog. Mit freundlichen Grüßen.
Übrigens, wenn ein Punkt 3D ist, welche Abmessungen hat er?
Die Diskretion der Zeit folgt beispielsweise aus der Aporie „Pfeil“. "Gleichzeitig an verschiedenen Orten bleiben" kann nur ein Elektron für Physiker sein, die im Prinzip weder die Struktur des Äthers noch die Struktur des 4-dimensionalen Raums verstehen und akzeptieren. Ich kenne keine anderen Beispiele für dieses Phänomen. Ich sehe keinen „Amateurismus“ in unserem Gespräch. Im Gegenteil, alles ist ganz einfach: Ein Punkt ist entweder dimensionslos oder hat eine Größe; Kontinuität und Unendlichkeit existieren entweder oder nicht. Der dritte ist nicht gegeben - entweder WAHR oder FALSCH! Grundlagen Mathematiker sind leider auf falschen Dogmen aufgebaut, die vor 2500 Jahren aus Unwissenheit akzeptiert wurden.
Die Punktgröße hängt von der Bedingung des zu lösenden Problems und von der erforderlichen Genauigkeit ab. Zum Beispiel, wenn ein Getriebe dafür ausgelegt ist Armbanduhr, dann kann die Genauigkeit durch die Größe des Atoms begrenzt werden, also acht Dezimalstellen. Das Atom selbst wird hier das physikalische Analogon des mathematischen Punktes sein. Möglicherweise benötigen Sie irgendwo eine Genauigkeit von 16 Zeichen. dann wird die Rolle eines Punktes von einem Ätherteilchen gespielt. Beachten Sie, dass das Gerede über angeblich "unendliche" Genauigkeit in der Praxis zu wildem Unsinn oder, gelinde gesagt, Absurdität wird.
Ich verstehe immer noch nicht: existiert der Punkt? Wenn es objektiv existiert, hat es also einen gewissen physikalischen Wert, wenn es subjektiv existiert, in Form einer Abstraktion unseres Geistes, dann hat es einen mathematischen Wert. Null hat NICHTS, es existiert nicht, das ist die abstrakte Definition von Nichtexistenz in der Mathematik oder Leerheit in der Physik. Der Punkt existiert nicht für sich allein außerhalb der Beziehung. Sobald der zweite Punkt erscheint, erscheint ein Segment - Etwas usw. Dieses Thema kann endlos entwickelt werden. Mit uv.
Es schien mir, dass ich brachte gutes Beispiel, aber wahrscheinlich nicht detailliert genug. Objektiv gesehen gibt es eine Welt, die die Wissenschaft anerkennt und gegenwärtig hauptsächlich anerkennt mathematische Methoden. Die Mathematik erkennt die Welt, indem sie konstruiert Mathematische Modelle. Um diese Modelle zu bauen, die grundlegende mathematische Abstraktionen, insbesondere wie: Punkt, Linie, Kontinuität, Unendlichkeit. Diese Abstraktionen sind grundlegend, weil sie nicht mehr weiter unterteilt und vereinfacht werden können. Jede der grundlegenden Abstraktionen kann entweder adäquat sein objektive Realität(wahr) oder nicht (falsch). Alle oben genannten Abstraktionen sind zunächst falsch, weil sie den neuesten Erkenntnissen über die reale Welt widersprechen. Also verhindern diese Abstraktionen richtiges Verständnis echte Welt. Man konnte das irgendwie ertragen, während die Wissenschaft die dreidimensionale Welt studierte. Die Abstraktionen eines dimensionslosen Punktes und der Kontinuität machen jedoch alle Welten höherer Dimension im Prinzip unerkennbar!
Der Baustein des Universums – ein Punkt – kann keine Leere sein. Jeder weiß, dass nichts aus der Leere kommt. Physiker, die den Äther für nicht existent erklärten, füllten die Welt mit Leere. Ich glaube, dass die Mathematik mit ihrem leeren Punkt sie zu dieser Dummheit getrieben hat. Ich spreche nicht von Atompunkten von Welten höherer Dimension als 4D. Für jede Dimension spielt also das (bedingt) unteilbare Atom dieser Welt (Raum, Materie) die Rolle eines unteilbaren (bedingt) mathematischen Punktes. Für 3D – ein physisches Atom, für 4D – ein Ätherteilchen, für 5D – ein astrales Atom, für 6D – ein geistiges Atom und so weiter. Mit freundlichen Grüßen,
Hat der Baustein des Universums also einen absoluten Wert? Und was repräsentiert es Ihrer Meinung nach in der ätherischen oder mentalen Welt. Ich habe Angst, nach den Welten selbst zu fragen. Mit Interesse...
Ätherteilchen (es sind keine Atome!) sind Elektron-Positron-Paare, bei denen die Teilchen selbst mit Lichtgeschwindigkeit relativ zueinander rotieren. Dies erklärt vollständig die Struktur aller Nukleonen, die Ausbreitung elektromagnetische Schwingungen und alle Auswirkungen der sog physikalisches Vakuum. Die Struktur des Gedankenatoms ist niemandem bekannt. Es gibt nur Beweise dafür, dass ALLE am meisten höhere Welten Material, das heißt, sie haben ihre eigenen Atome. Bis zur Sache des Absoluten. Aber du meinst ironisch. Wirklich Wurmlöcher und großer Knall Finden Sie es glaubwürdiger?
Was ist die Ironie hier, nur ein wenig überrascht nach einer solchen Lawine von Informationen. Ich bin im Gegensatz zu Ihnen kein Profi und es fällt mir schwer, etwas über die Fünf- oder Sechsdimensionalität von Räumen zu sagen. Mir geht es nur um unseren langmütigen Punkt ... Soweit ich verstehe, sind Sie gegen materielle Kontinuität, und der Punkt ist, dass Sie ein wirklich existierendes "demokratisches" Atom haben. "Ziegel des Universums". Vielleicht war ich unaufmerksam, aber zögern Sie trotzdem nicht, seine Struktur, physikalischen Parameter, Abmessungen usw. zu wiederholen.
Und antworte auch: Existiert die Einheit an sich als solche außerhalb irgendwelcher Beziehungen? Danke.
Nachdem wir uns damit beschäftigt haben, was Maßeinheiten und Dimensionen sind, können wir nun zu den eigentlichen Maßen übergehen. BEIM Schulmathematik zwei Messinstrument- (1) ein Lineal zum Messen von Entfernungen und (2) ein Winkelmesser zum Messen von Winkeln.
Punkt
Die Entfernung wird immer zwischen zwei beliebigen Punkten gemessen. Aus praktischer Sicht ist ein Punkt ein kleiner Fleck, der auf dem Papier zurückbleibt, wenn man mit einem Bleistift oder Kugelschreiber darauf sticht. Eine andere, bevorzugtere Art, einen Punkt anzugeben, besteht darin, ein Kreuz mit zwei dünnen Linien zu zeichnen, die sich setzen Punkt ihre Schnittpunkte. Auf Zeichnungen in Büchern wird der Punkt oft als kleiner schwarzer Kreis dargestellt. Aber das sind alles nur Annäherungen. visuelle Bilder, aber im streng mathematischen Sinne, Punkt - es ist ein imaginäres Objekt, dessen Größe in allen Richtungen Null ist. Für Mathematiker besteht die ganze Welt aus Punkten. Die Punkte sind überall. Wenn wir mit einem Stift auf Papier stechen oder ein Kreuz zeichnen, erschaffen wir nichts neuer Punkt, sondern nur eine Markierung auf eine bestehende setzen, um jemanden darauf aufmerksam zu machen. Sofern nicht anders angegeben, gelten die Punkte als feststehend und ändern sich nicht relative Position. Aber es ist nicht schwer, sich einen beweglichen Punkt vorzustellen, der sich von Ort zu Ort bewegt, als ob er mit einem verschmilzt Fixpunkt, dann auf der anderen Seite.
Gerade
Indem wir an zwei Punkten ein Lineal anbringen, können wir eine gerade Linie durch sie ziehen und außerdem der einzige Weg. imaginär mathematisch gerade, entlang eines imaginären idealen Lineals gezeichnet, hat eine Dicke von Null und erstreckt sich in beide Richtungen bis ins Unendliche. In einer realen Zeichnung nimmt dieses imaginäre Design die Form an:
Eigentlich ist an diesem Bild alles falsch. Die Dicke der Linie ist hier deutlich größer als Null, und es kann nicht gesagt werden, dass die Linie bis ins Unendliche reicht. Trotzdem sind solche fehlerhaften Zeichnungen als Unterstützung für die Vorstellungskraft sehr nützlich, und wir werden sie ständig verwenden. Um die Punkte besser voneinander unterscheiden zu können, werden sie normalerweise markiert Großbuchstaben Lateinisches Alphabet. In dieser Abbildung sind beispielsweise die Punkte mit Buchstaben gekennzeichnet EIN und B. Linie, die durch Punkte verläuft EIN und B, erhält automatisch den Namen "direct EINB". Der Kürze halber ist die Notation ( EINB), wobei das Wort „gerade“ weggelassen wird und runde Klammern. Linien können auch beschriftet werden Kleinbuchstaben. In der Abbildung oben die gerade Linie EINB mit einem Buchstaben gekennzeichnet n.
Jenseits der Punkte EIN und B auf einer geraden Linie n Es gibt eine große Anzahl anderer Punkte, von denen jeder als Schnittpunkt mit einer anderen Linie dargestellt werden kann. Viele Linien können durch denselben Punkt gezogen werden.
Wenn wir wissen, dass es nicht übereinstimmende Punkte auf einer Linie gibt EIN, B, C und D, dann kann es mit Recht nicht nur als ( AB), sondern auch wie ( AC), (BD), (CD) usw.
Liniensegment. Schnittlänge. Abstand zwischen Punkten
Der durch zwei Punkte begrenzte Teil einer Linie wird aufgerufen Segment. Diese Begrenzungspunkte gehören ebenfalls zum Segment und werden es genannt. endet. Ein Segment, dessen Endpunkte Punkte sind EIN und B, bezeichnet als "Segment EINB' oder, etwas kürzer, [ EINB].
Jedes Segment ist gekennzeichnet lang- die Anzahl (möglicherweise Bruchteile) von "Schritten", die entlang des Segments zurückgelegt werden müssen, um von einem Ende zum anderen zu gelangen. In diesem Fall ist die Länge des "Schritts" selbst ein streng festgelegter Wert, der als Maßeinheit verwendet wird. Die Längen von Liniensegmenten, die auf einem Blatt Papier gezeichnet sind, werden am bequemsten gemessen Zentimeter. Wenn die Endpunkte des Segments auf die Punkte fallen EIN und B, dann wird seine Länge als | bezeichnet EINB|.
Unter Distanz zwischen zwei Punkten ist die Länge der Strecke, die sie verbindet. Tatsächlich ist es jedoch nicht erforderlich, ein Segment zu zeichnen, um den Abstand zu messen - es reicht aus, an beiden Punkten ein Lineal anzubringen (auf dem Spuren von „Stufen“ vormarkiert sind). Da ein Punkt in der Mathematik ein fiktives Objekt ist, hindert uns nichts daran, in unserer Vorstellung ein ideales Lineal zu verwenden, das Entfernungen mit absoluter Genauigkeit misst. Allerdings sollte man nicht vergessen, dass man mit einem echten Lineal, das man auf Punkte oder Kreuzmitten auf Papier aufträgt, den Abstand nur ungefähr – auf einen Millimeter genau – einstellen kann. Der Abstand ist immer nicht negativ.
Position eines Punktes auf einer Linie
Lassen Sie uns eine gerade Linie geben. Wir markieren darauf einen beliebigen Punkt und bezeichnen ihn mit dem Buchstaben Ö. Setzen wir daneben die Zahl 0. Einer von beiden mögliche Richtungen entlang der geraden Linie nennen wir "positiv" und das Gegenteil davon - "negativ". Normalerweise wird die positive Richtung von links nach rechts oder von unten nach oben genommen, aber das ist nicht notwendig. Markieren Sie die positive Richtung mit einem Pfeil, wie in der Abbildung gezeigt:
Jetzt können wir jeden Punkt auf der Linie bestimmen Position. Punktstellung EIN ist durch einen Wert gegeben, der negativ sein kann, Null oder positiv. Sie Absolutwert gleich dem Abstand zwischen den Punkten Ö und EIN(d. h. die Länge des Segments ÖEIN), und das Vorzeichen wird durch die Richtung vom Punkt bestimmt Ö Sie müssen sich bewegen, um auf den Punkt zu kommen EIN. Wenn Sie sich in eine positive Richtung bewegen müssen, ist das Vorzeichen positiv. Wenn es negativ ist, dann ist das Vorzeichen negativ. Anstelle des Wortes „Stellung“ steht das Wort „ Koordinate».
Irrationale und reelle (reelle) Zahlen
Wenn wir es mit einer realen Zeichnung zu tun haben und mit einem Schullineal die Position eines realen Punktes auf einem realen Loch bestimmen, erhalten wir einen auf den nächsten Millimeter gerundeten Wert. Mit anderen Worten, das Ergebnis ist ein Wert aus der folgenden Reihe:
0 mm, 1 mm, −1 mm, 2 mm, −2 mm, 3 mm, −3 mm usw.
Das Ergebnis kann beispielsweise nicht gleich 1/3 sein cm, denn wie wir wissen, kann ein Drittel eines Zentimeters als unendlicher periodischer Bruch dargestellt werden
0,333333333... cm,
was nach dem Runden gleich 0,3 sein sollte cm.
Anders verhält es sich, wenn wir in unserer Vorstellung ideale mathematische Objekte manipulieren.
Zum einen kann man in diesem Fall ohne Weiteres auf Maßeinheiten verzichten und ausschließlich mit dimensionslosen Größen operieren. Dann kommen wir zu der geometrischen Konstruktion, die uns beim Durchlaufen begegnet ist Rationale Zahlen, und die wir benannt haben Zahlenreihe:
Da das Wort „Linie“ in der Geometrie schon stark „belastet“ ist, wird oft die gleiche Konstruktion genannt numerische Achse oder einfach Achse.
Zweitens können wir uns gut vorstellen, dass die Koordinate eines Punktes durch eine Periode gegeben ist Dezimal, wie
Außerdem können wir uns ein Unendliches vorstellen Nicht periodisch Fraktion, wie z
1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...
1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...
Solche imaginären Zahlen, die als unendliche, sich nicht wiederholende Dezimalbrüche dargestellt werden, werden aufgerufen irrational. Irrationale Zahlen bilden zusammen mit den uns bereits bekannten rationalen Zahlen die sogenannten gültig Zahlen. Anstelle des Wortes „gültig“ verwenden wir auch das Wort „ echt". Jede denkbare Position eines Punktes auf einer Geraden kann als reelle Zahl ausgedrückt werden. Und umgekehrt, wenn uns eine reelle Zahl gegeben wird x, wir können uns immer einen Punkt vorstellen X, deren Position durch die Zahl angegeben ist x.
Voreingenommenheit
Lassen a- Punktkoordinate EIN, a b- Punktkoordinate B. Dann der Wert
v = b − a
ist ein Verschiebung, was den Punkt übersetzt EIN exakt B. Dies wird besonders deutlich, wenn die vorherige Gleichheit umgeschrieben wird als
b = a + v.
Manchmal verwenden sie anstelle des Wortes "Verdrängung" das Wort " Vektor". Es ist leicht zu sehen, dass die Position x beliebiger Punkt X ist nichts anderes als ein Offset, der den Punkt übersetzt Ö(mit Koordinate gleich Null) zu einem Punkt X:
x= 0 + x.
Verschiebungen können sowohl addiert als auch voneinander subtrahiert werden. Also, wenn der Versatz ( b − a) übersetzt Punkt EIN exakt B, und der Versatz ( c − b) Punkt B exakt C, dann der Versatz
(b − a) + (c − b) = c − a
übersetzt den Punkt EIN exakt C.
Notiz. Nach der Logik der Dinge sollte hier geklärt werden, wie man addiert und subtrahiert irrationale Zahlen, da die Voreingenommenheit durchaus irrational sein kann. Natürlich haben sich die Mathematiker darum gekümmert, die entsprechenden formalen Verfahren zu entwickeln, aber in der Praxis werden wir uns nicht damit befassen, da für die Lösung praktische Aufgaben ungefähre Berechnungen mit gerundeten Werten sind immer ausreichend. Im Moment gehen wir einfach davon aus, dass die Konzepte "Addition" und "Subtraktion" - sowie "Multiplikation" und "Division" - für zwei beliebige reelle Zahlen korrekt definiert sind (mit der Einschränkung, dass Sie nicht dividieren können durch Null).
Hier wäre es vielleicht angebracht, auf den feinen Unterschied zwischen den Begriffen „Verschiebung“ und „Entfernung“ hinzuweisen. Der Abstand ist immer nicht negativ. Es ist in der Tat ein Offset von genommen Absolutwert. Also wenn der Offset
v = b − a
übersetzt den Punkt EIN exakt B, dann die Distanz s zwischen Punkten EIN und B gleich
s = |v| = |b − ein|.
Diese Gleichheit gilt unabhängig davon, welche der beiden Zahlen größer ist - a oder b.
Ebene
Im praktischen Sinne ist ein Flugzeug ein Blatt Papier, auf dem wir unsere geometrischen Zeichnungen zeichnen. imaginär mathematische Ebene unterscheidet sich von einem Blatt Papier dadurch, dass es keine Dicke und eine unbegrenzte Oberfläche hat, die sich hinein erstreckt verschiedene Seiten zur Unendlichkeit. Darüber hinaus ist die mathematische Ebene im Gegensatz zu einem Blatt Papier absolut starr: Sie verbiegt oder knittert niemals – selbst wenn sie vom Schreibtisch abgerissen und auf irgendeine Weise im Raum platziert wird.
Die Lage der Ebene im Raum ist eindeutig durch drei Punkte gegeben (sofern sie nicht auf einer Geraden liegen). Um dies besser zu veranschaulichen, zeichnen wir drei willkürliche Punkte, Ö, EIN und B, und ziehen Sie zwei gerade Linien durch sie OA und OB, wie es auf dem Bild gezeigt wird:
Es ist schon etwas einfacher, eine Ebene in der Vorstellung auf zwei sich schneidende Linien zu „strecken“, als sie auf drei Punkte zu „lehnen“. Aber für noch mehr Klarheit werden wir noch einige zusätzliche Konstruktionen machen. Nehmen wir zufällig ein paar Punkte: einen irgendwo auf der Linie OA, und der andere - irgendwo auf der Leitung OB. Ziehen Sie eine neue Linie durch dieses Punktepaar. Als nächstes wählen wir auf ähnliche Weise ein weiteres Punktepaar aus und ziehen eine weitere Linie durch sie. Indem wir diesen Vorgang viele Male wiederholen, erhalten wir so etwas wie ein Netz:
Ein Flugzeug auf solch ein Gebilde zu legen ist schon recht einfach – zumal dieses imaginäre Gespinst so dick gemacht werden kann, dass es das ganze Flugzeug lückenlos abdeckt.
Beachten Sie, dass, wenn wir ein Paar nicht zusammenfallender Punkte auf einer Ebene nehmen und eine Linie durch sie ziehen, diese Linie notwendigerweise in derselben Ebene liegen wird.
Abstrakt
Punkt (EIN, B usw.): ein imaginäres Objekt, dessen Größe in allen Richtungen Null ist.
Gerade (n, m oder ( AB)): unendlich dünne Linie; durch zwei Punkte gegangen ( EIN und B) eindeutig entlang des Lineals; erstreckt sich in beide Richtungen bis ins Unendliche.
Liniensegment ([AB]): Teil einer Linie, die durch zwei Punkte ( EIN und B) - die Enden des Segments, die ebenfalls als zu dem Segment gehörend betrachtet werden.
Schnittlänge(|AB|): (Bruch-)Zentimeter (oder andere Maßeinheit), die zwischen die Enden passen ( EIN und B).
Abstand zwischen zwei Punkten: die Länge des Liniensegments, das an diesen Punkten endet.
Position eines Punktes auf einer Linie (Koordinate): Die Entfernung von einem Punkt zu einem vorher ausgewählten Zentrum (ebenfalls auf einer geraden Linie liegend) mit einem Plus- oder Minuszeichen, abhängig davon, auf welcher Seite des Zentrums sich der Punkt befindet.
Gegeben ist die Lage eines Punktes auf einer Geraden gültig(echt)Anzahl, nämlich ein Dezimalbruch, der entweder (1) endlich oder unendlich periodisch sein kann ( Rationale Zahlen) oder (2) unendlich nicht periodisch ( irrationale Zahlen).
Voreingenommenheit, was den Punkt übersetzt EIN(mit koordinate a) exakt B(mit koordinate b): v = b − a.
Der Abstand ist gleich der Verschiebung, als Absolutwert genommen: | AB| = |b − a|.
Ebene: ein unendlich dünnes Blatt Papier, das sich in verschiedene Richtungen bis ins Unendliche erstreckt; ist durch drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, eindeutig definiert.
Das Konzept eines kritischen Punkts kann auf den Fall differenzierbarer Abbildungen und auf den Fall differenzierbarer Abbildungen beliebiger Mannigfaltigkeiten verallgemeinert werden f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\to M^(m)). In diesem Fall ist die Definition eines kritischen Punkts der Rang der Jacobi-Matrix der Abbildung f (\ displaystyle f) es hat weniger als das Maximum möglicher Wert, gleicht .
Kritische Punkte Funktionen und Zuordnungen spielen wichtige Rolle in Bereichen der Mathematik wie Differentialgleichungen, Variationsrechnung, Stabilitätstheorie sowie in Mechanik und Physik. Die Untersuchung kritischer Punkte glatter Abbildungen ist eine der Hauptfragen in der Katastrophentheorie. Der Begriff eines kritischen Punkts wird auch auf den Fall von Funktionalen verallgemeinert, die auf unendlich dimensionalen Funktionsräumen definiert sind. Die Suche nach kritischen Punkten solcher Funktionale ist wichtiger Teil Variationsrechnung. Kritische Punkte von Funktionalen (die wiederum Funktionen sind) werden aufgerufen Extremale.
Formale Definition
kritisch(oder Besondere oder stationär) ein Punkt einer stetig differenzierbaren Abbildung f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) wird ein Punkt genannt, an dem das Differential dieser Abbildung entsteht f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\partial f)(\partial x))) ist ein degenerieren lineare Transformation entsprechende Tangentialräume T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n)) und T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), also die Dimension des Transformationsbildes f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0))) kleiner min ( n , m ) (\displaystyle \min\(n,m\)). In der Koordinatenschreibweise für n = m (\displaystyle n=m) Das bedeutet, dass der Jacobi die Determinante der Jacobi-Matrix der Abbildung ist f (\ displaystyle f), zusammengesetzt aus allen partiellen Ableitungen ∂ f j ∂ x ich (\displaystyle (\frac (\partial f_(j))(\partial x_(i))))- verschwindet an einem Punkt. Leerzeichen u R m (\displaystyle \mathbb (R)^(m)) in dieser Definition können durch Sorten ersetzt werden N.n (\displaystyle N^(n)) und M m (\ displaystyle M ^ (m)) die gleichen Abmessungen.
Satz von Sard
Der Anzeigewert am kritischen Punkt wird als its bezeichnet kritisch. Nach dem Satz von Sard ist die Menge der kritischen Werte jeder ausreichend glatten Abbildung f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) hat kein Lebesgue-Maß (obwohl es eine beliebige Anzahl kritischer Punkte geben kann, ist beispielsweise für die identische Abbildung jeder Punkt kritisch).
Konstante Rangzuordnungen
Wenn in der Nähe des Punktes x 0 ∈ R. n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n)) Rang einer stetig differenzierbaren Abbildung f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m)) ist gleich der gleichen Zahl r (\displaystyle r), dann in der Nähe dieses Punktes x 0 (\displaystyle x_(0)) es gibt lokale Koordinaten, die zentriert sind x 0 (\displaystyle x_(0)), und in der Nähe seines Bildes - Punkte y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- Es gibt lokale Koordinaten (y 1 , … , y m) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(m))) zentriert auf f (\ displaystyle f) ist gegeben durch die Beziehungen:
Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. (\displaystyle y_(1)=x_(1),\ \ldots ,\ y_(r)=x_(r ),\ y_(r+1)=0,\ \ldots ,\ y_(m)=0.)
Insbesondere wenn r = n = m (\displaystyle r=n=m), dann gibt es lokale Koordinaten (x 1 , … , x n) (\displaystyle (x_(1),\ldots ,x_(n))) zentriert auf x 0 (\displaystyle x_(0)) und lokale Koordinaten (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n))) zentriert auf y 0 (\displaystyle y_(0)), sodass sie angezeigt werden f (\ displaystyle f) ist identisch.
Ereignis m = 1
Im Fall von diese Definition bedeutet, dass der Gradient ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n)))) verschwindet an dieser Stelle.
Nehmen wir an, die Funktion f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ) hat eine Glätteklasse von mind C3 (\displaystyle C^(3)). Kritischer Punkt einer Funktion f namens nicht entartet, wenn es ein hessisches enthält | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |)) von Null verschieden. In der Nähe eines nicht entarteten kritischen Punktes gibt es Koordinaten, in denen die Funktion f hat eine quadratische Normalform (Lemma von Morse).
Eine natürliche Verallgemeinerung des Morselemmas für degenerierte kritische Punkte ist Satz von Toujron: in der Nähe eines entarteten kritischen Punktes der Funktion f, differenzierbar Unendliche Nummer times() endliche Vielheit µ (\displaystyle \mu) Es gibt ein Koordinatensystem, in dem reibungslose Funktion hat die Form eines Gradpolynoms μ + 1 (\displaystyle\mu+1)(als P μ + 1 (x) (\displaystyle P_(\mu +1)(x)) man kann das Taylor-Polynom der Funktion nehmen f (x) (\displaystyle f(x)) an einem Punkt in den ursprünglichen Koordinaten) .
Beim m = 1 (\displaystyle m=1) Es ist sinnvoll, nach Maximum und Minimum einer Funktion zu fragen. Nach der berühmten Aussage mathematische Analyse, eine stetig differenzierbare Funktion f (\ displaystyle f), im gesamten Raum definiert Rn (\displaystyle \mathbb (R)^(n)) oder in seiner offenen Teilmenge erreichen kann lokales Maximum(Minimum) nur an kritischen Punkten, und wenn der Punkt nicht entartet ist, dann die Matrix (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x ich ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) ich , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,) muss darin negativ (positiv) bestimmt sein. Letzteres ist auch ausreichender Zustand lokales Maximum (bzw. Minimum).
Ereignis n = m = 2
Im Fall von n=m=2 Wir haben eine Zuordnung f Ebene auf eine Ebene (oder zweidimensionale Mannigfaltigkeit auf eine andere zweidimensionale Mannigfaltigkeit). Nehmen wir an, das Display f unendlich oft differenzierbar ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty))). In diesem Fall die typischen kritischen Punkte des Mappings f sind diejenigen, bei denen die Determinante der Jacobi-Matrix gleich Null ist, aber ihr Rang gleich 1 ist, und daher das Differential der Abbildung f hat an solchen Stellen einen eindimensionalen Kern. Die zweite Typizitätsbedingung ist, dass in einer Nachbarschaft des betrachteten Punktes auf der Umkehrbildebene der Satz kritischer Punkte eine regelmäßige Kurve bildet S, und an fast allen Punkten der Kurve S Ader ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*)) betrifft nicht S, während die Punkte, an denen dies nicht der Fall ist, isoliert sind und die Tangentialität an ihnen von erster Ordnung ist. Kritische Punkte des ersten Typs werden genannt Knickpunkte, und der zweite Typ Montagepunkte. Falten und Faltungen sind die einzigen Arten von Singularitäten von Ebene-zu-Ebene-Abbildungen, die in Bezug auf kleine Störungen stabil sind: Unter einer kleinen Störung bewegen sich die Falte und die Faltungspunkte nur geringfügig zusammen mit der Verformung der Kurve S, aber nicht verschwinden, nicht degenerieren und nicht in andere Singularitäten zerfallen.
