Betrachten Sie die folgenden Gleichungen:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x2 + y2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Jede der obigen Gleichungen ist eine Gleichung mit zwei Variablen. Viele Punkte Koordinatenebene, deren Koordinaten die Gleichung in die richtige umwandeln zahlenmäßige Gleichheit, wird genannt Graph einer Gleichung in zwei Unbekannten.

Graph einer Gleichung mit zwei Variablen

Gleichungen mit zwei Variablen haben eine Vielzahl von Diagrammen. Zum Beispiel ist der Graph für die Gleichung 2*x + 3*y = 15 eine gerade Linie, für die Gleichung x 2 + y 2 = 4 ist der Graph ein Kreis mit einem Radius von 2, der Graph von die Gleichung y*x = 1 wird eine Hyperbel usw.

Ganzzahlige Gleichungen mit zwei Variablen haben auch so etwas wie einen Grad. Dieser Grad wird auf die gleiche Weise bestimmt wie für die gesamte Gleichung mit einer Variablen. Dazu wird die Gleichung in die Form gebracht, wenn die linke Seite ein Polynom ist Standard Ansicht, während der rechte Null ist. Dies geschieht durch äquivalente Transformationen.

Grafischer Weg, um Gleichungssysteme zu lösen

Lassen Sie uns herausfinden, wie man Gleichungssysteme löst, die aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen bestehen. Betrachten Sie einen grafischen Weg, um solche Systeme zu lösen.

Beispiel 1. Lösen Sie das Gleichungssystem:

( x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Zeichnen wir die Graphen der ersten und zweiten Gleichung im selben Koordinatensystem. Der Graph der ersten Gleichung wird ein Kreis sein, der am Ursprung und Radius 5 zentriert ist. Der Graph der zweiten Gleichung ist eine Parabel mit Zweigen nach unten.

Alle Punkte der Graphen erfüllen jeweils ihre eigene Gleichung. Wir müssen solche Punkte finden, die sowohl die erste als auch die zweite Gleichung erfüllen. Offensichtlich sind dies die Punkte, an denen sich diese beiden Graphen schneiden.

Anhand unserer Zeichnung finden wir die ungefähren Werte der Koordinaten, an denen sich diese Punkte schneiden. Wir erhalten folgende Ergebnisse:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Unser Gleichungssystem hat also vier Lösungen.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Wenn wir diese Werte in die Gleichungen unseres Systems einsetzen, können wir sehen, dass die erste und dritte Lösung ungefähr und die zweite und vierte exakt sind. Die grafische Methode wird häufig verwendet, um die Anzahl der Wurzeln und ihre ungefähren Grenzen abzuschätzen. Lösungen sind häufiger ungefähr als exakt.

In dieser Lektion betrachten wir das Lösen von Systemen aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Betrachten Sie zunächst die grafische Lösung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen, die Besonderheiten der Gesamtheit ihrer Graphen. Als nächstes lösen wir mehrere Systeme mit einer grafischen Methode.

Thema: Gleichungssysteme

Lektion: Graphisches Verfahren zum Lösen eines Gleichungssystems

Betrachten Sie das System

Ein Zahlenpaar, das gleichzeitig eine Lösung sowohl der ersten als auch der zweiten Gleichung des Systems ist, wird aufgerufen Lösung des Gleichungssystems.

Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet, alle seine Lösungen zu finden oder festzustellen, dass es keine Lösungen gibt. Wir haben die Graphen der Grundgleichungen betrachtet, kommen wir zur Betrachtung von Systemen.

Beispiel 1. Lösen Sie das System

Lösung:

Dies sind lineare Gleichungen, der Graph jeder von ihnen ist eine gerade Linie. Der Graph der ersten Gleichung geht durch die Punkte (0; 1) und (-1; 0). Der Graph der zweiten Gleichung geht durch die Punkte (0; -1) und (-1; 0). Die Geraden schneiden sich im Punkt (-1; 0), dies ist die Lösung des Gleichungssystems ( Reis. 1).

Die Lösung des Systems stellt ein Zahlenpaar dar. Wenn wir dieses Zahlenpaar in jede Gleichung einsetzen, erhalten wir die richtige Gleichheit.

Wir haben bekommen einzige Entscheidung lineares System.

Denken Sie daran, dass beim Lösen eines linearen Systems die folgenden Fälle möglich sind:

Das System hat eine einzigartige Lösung - die Linien schneiden sich,

das System hat keine Lösungen - die Linien sind parallel,

das System hat unendlich viele Lösungen - die Geraden fallen zusammen.

Wir haben überprüft besonderer Fall Systeme, wenn p(x; y) und q(x; y) lineare Ausdrücke in x und y sind.

Beispiel 2. Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lösung:

Der Graph der ersten Gleichung ist eine Gerade, der Graph der zweiten Gleichung ein Kreis. Lassen Sie uns den ersten Graphen nach Punkten erstellen (Abb. 2).

Der Mittelpunkt des Kreises liegt im Punkt O(0; 0), der Radius ist 1.

Die Graphen schneiden sich an Punkt A(0; 1) und Punkt B(-1; 0).

Beispiel 3. Lösen Sie das System graphisch

Lösung: Lassen Sie uns einen Graphen der ersten Gleichung erstellen – dies ist ein Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt O (0; 0) und einem Radius von 2. Der Graph der zweiten Gleichung ist eine Parabel. Er ist gegenüber dem Ursprung um 2 nach oben verschoben, d.h. seine Spitze ist der Punkt (0; 2) (Abb. 3).

Diagramme haben einen gemeinsamer Punkt- T. A(0; 2). Es ist die Lösung des Systems. Setze ein paar Zahlen in die Gleichung ein, um die Richtigkeit zu überprüfen.

Beispiel 4. Lösen Sie das System

Lösung: Lassen Sie uns einen Graphen der ersten Gleichung erstellen – dies ist ein Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt O (0; 0) und einem Radius von 1 (Abb. 4).

Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen Dies ist eine unterbrochene Linie (Abb. 5).

Lassen Sie uns es nun entlang der oy-Achse um 1 nach unten verschieben. Dies wird der Graph der Funktion sein

Lassen Sie uns beide Graphen in dasselbe Koordinatensystem platzieren (Abb. 6).

Wir erhalten drei Schnittpunkte - Punkt A (1; 0), Punkt B (-1; 0), Punkt C (0; -1).

Wir haben überprüft grafische Methode Systemlösungen. Wenn es möglich ist, jede Gleichung grafisch darzustellen und die Koordinaten der Schnittpunkte zu finden, dann ist diese Methode völlig ausreichend.

Aber oft ermöglicht die grafische Methode, nur eine Näherungslösung des Systems zu finden oder die Frage nach der Anzahl der Lösungen zu beantworten. Daher sind andere, genauere Methoden erforderlich, mit denen wir uns in den nächsten Lektionen befassen werden.

1. Mordkovich A.G. und andere Algebra 9. Klasse: Proc. Für die Allgemeinbildung Institutionen - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: mit Abb.

2. Mordkovich A.G. und andere Algebra Klasse 9: Aufgabenheft für Schüler Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina und andere - 4. Aufl. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: mit Abb.

3. Yu N. Makarychev, Algebra. Klasse 9: Lehrbuch. für allgemeinbildende Schülerinnen und Schüler. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. Aufl., Rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. Klasse 9 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. Klasse 9 Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. Aufl., gelöscht. — M.: 2010. — 224 S.: mit Abb.

6. Algebra. Klasse 9 Bei 2 Stunden Teil 2. Aufgabenbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. Aufl., Rev. — M.: 2010.-223 S.: mit Abb.

1. College.ru Abschnitt über Mathematik ().

2. Internetprojekt "Aufgaben" ().

3. Bildungsportal"ICH WERDE DIE VERWENDUNG AUFLÖSEN" ().

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra Klasse 9: Aufgabenbuch für Schüler von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 105, 107, 114, 115.

Die Videolektion "Grafische Methode zum Lösen von Gleichungssystemen" wird vorgestellt Unterrichtsmaterial um dieses Thema zu erkunden. Material enthält allgemeines Konzeptüber das Lösen eines Gleichungssystems, sowie ausführliche Erklärung anhand eines Beispiels, wie das Gleichungssystem gelöst wird grafisch.

Die visuelle Hilfe verwendet Animationen für eine bequemere und verständlichere Ausführung von Konstruktionen sowie verschiedene Wege Zuweisung wichtige Konzepte und Details für ein vertieftes Verständnis des Materials, dessen besseres Auswendiglernen.

Das Video-Tutorial beginnt mit einer Einführung in das Thema. Die Schüler werden daran erinnert, was ein Gleichungssystem ist und mit welchen Gleichungssystemen sie sich bereits in der 7. Klasse vertraut machen mussten. Bisher mussten die Schüler Gleichungssysteme der Form ax+by=c lösen. Um das Konzept der Lösung von Gleichungssystemen zu vertiefen und um die Fähigkeit zu ihrer Lösung zu entwickeln, behandelt dieses Video-Tutorial die Lösung eines Systems, das aus zwei Gleichungen zweiten Grades sowie einer Gleichung zweiten Grades und der zweiten besteht - des ersten Grades. Erinnert Sie daran, was eine Lösung für ein Gleichungssystem ist. Die Definition der Lösung des Systems als Wertepaar der Variablen, die ihre Gleichungen beim Einsetzen in die richtige Gleichheit umkehren, wird auf dem Bildschirm angezeigt. Entsprechend der Definition der Lösung des Systems wird die Aufgabe spezifiziert. Es wird auf dem Bildschirm angezeigt, um daran zu erinnern, dass das Lösen eines Systems bedeutet, geeignete Lösungen zu finden oder ihre Abwesenheit zu beweisen.

Es wird vorgeschlagen, die grafische Methode zum Lösen eines bestimmten Gleichungssystems zu beherrschen. Anwendung diese Methode wird am Beispiel der Lösung eines Systems betrachtet, das aus den Gleichungen x 2 + y 2 \u003d 16 und y \u003d - x 2 + 2x + 4 besteht. Grafische Lösung Das System beginnt mit dem Auftragen jeder dieser Gleichungen. Offensichtlich ist der Graph der Gleichung x 2 + y 2 \u003d 16 ein Kreis. Die zu diesem Kreis gehörenden Punkte sind die Lösung der Gleichung. Neben der Gleichung wird ein Kreis mit einem Radius von 4 auf der Koordinatenebene mit dem Mittelpunkt O im Ursprung gebaut. Der Graph der zweiten Gleichung ist eine Parabel, deren Äste abgesenkt sind. Diese Parabel wird auf der Koordinatenebene entsprechend dem Graphen der Gleichung konstruiert. Jeder Punkt, der zur Parabel gehört, ist eine Lösung der Gleichung y \u003d -x 2 + 2x + 4. Es wird erklärt, dass die Lösung eines Gleichungssystems Punkte auf den Graphen sind, die gleichzeitig zu den Graphen beider Gleichungen gehören. Das bedeutet, dass die Schnittpunkte der konstruierten Graphen Lösungen des Gleichungssystems sind.

Es wird darauf hingewiesen, dass das grafische Verfahren darin besteht, den ungefähren Wert der Koordinaten von Punkten zu finden, die sich am Schnittpunkt zweier Graphen befinden, die den Satz von Lösungen für jede Gleichung des Systems widerspiegeln. Die Abbildung markiert die Koordinaten der gefundenen Schnittpunkte zweier Graphen: A, B, C, D[-2;-3,5]. Diese Punkte sind Lösungen des graphisch gefundenen Gleichungssystems. Sie können ihre Richtigkeit überprüfen, indem Sie sie in die Gleichung einsetzen und eine faire Gleichheit erhalten. Nach dem Einsetzen der Punkte in die Gleichung ist ersichtlich, dass einige der Punkte nachgeben genauer Wert Lösungen, und Teil stellt den ungefähren Wert der Lösung der Gleichung dar: x 1 = 0, y 1 = 4; x 2 \u003d 2, y 2 ≈ 3,5; x 3 ≈ 3,5, y 3 \u003d -2; x 4 \u003d -2, y 4 ≈ -3,5.

Das Video-Tutorial erklärt ausführlich das Wesen und die Anwendung der grafischen Methode zum Lösen eines Gleichungssystems. Dadurch ist es möglich, es als Videohilfe im Algebra-Unterricht in der Schule beim Erlernen dieses Themas einzusetzen. Auch das Material wird nützlich sein für Selbststudium Studenten und können helfen, das Thema im Fernstudium zu erklären.

Erste Ebene

Lösen von Gleichungen, Ungleichungen, Systemen mit Funktionsgraphen. visuelle Führung (2019)

Viele Aufgaben, die wir gewohnt sind, rein algebraisch zu rechnen, lassen sich viel einfacher und schneller lösen, die Verwendung von Funktionsgraphen hilft uns dabei. Du sagst "wie so?" etwas zeichnen, und was zeichnen? Vertrauen Sie mir, manchmal ist es bequemer und einfacher. Sollen wir anfangen? Beginnen wir mit Gleichungen!

Grafische Lösung von Gleichungen

Grafische Lösung linearer Gleichungen

Wie Sie bereits wissen, ist der Graph einer linearen Gleichung eine gerade Linie, daher der Name dieses Typs. Lineare Gleichungen lassen sich recht einfach algebraisch lösen – wir übertragen alle Unbekannten auf eine Seite der Gleichung, alles, was wir wissen – auf die andere, und voila! Wir haben die Wurzel gefunden. Jetzt zeige ich dir, wie es geht grafische Weise.

Du hast also eine Gleichung:

Wie man es löst?
Variante 1, und am häufigsten werden die Unbekannten auf eine Seite und die Bekannten auf die andere Seite verschoben, wir erhalten:

Und jetzt bauen wir. Was hast du bekommen?

Was ist Ihrer Meinung nach die Wurzel unserer Gleichung? Richtig, die Koordinate des Schnittpunkts der Graphen:

Unsere Antwort ist

Das ist die ganze Weisheit der grafischen Lösung. Wie Sie leicht überprüfen können, ist die Wurzel unserer Gleichung eine Zahl!

Wie ich oben sagte, ist dies die häufigste Option, in der Nähe algebraische Lösung, aber es geht auch anders. Um eine alternative Lösung in Betracht zu ziehen, kehren wir zu unserer Gleichung zurück:

Diesmal werden wir nichts von Seite zu Seite verschieben, sondern direkt Graphen erstellen, wie sie jetzt sind:

Gebaut? Aussehen!

Was ist diesmal die Lösung? Alles ist richtig. Dasselbe ist die Koordinate des Schnittpunkts der Graphen:

Und wieder ist unsere Antwort .

Wie Sie sehen können, mit lineare Gleichungen alles ist sehr einfach. Es ist an der Zeit, etwas Komplizierteres in Betracht zu ziehen ... Zum Beispiel grafische Lösung quadratischer Gleichungen.

Grafische Lösung quadratischer Gleichungen

Beginnen wir also mit der Lösung der quadratischen Gleichung. Angenommen, Sie müssen die Wurzeln dieser Gleichung finden:

Natürlich kann man jetzt anfangen, durch die Diskriminante zu zählen, oder nach dem Satz von Vieta, aber viele auf die Nerven gehen beim Multiplizieren oder Quadrieren Fehler, besonders wenn das Beispiel mit ist große Zahlen, und wie Sie wissen, haben Sie bei der Prüfung keinen Taschenrechner ... Versuchen wir also, uns ein wenig zu entspannen und zu zeichnen, während Sie diese Gleichung lösen.

Finden Sie grafisch Lösungen gegebene Gleichung kann verschiedene Wege. In Betracht ziehen Verschiedene Optionen und Sie können wählen, welche Ihnen am besten gefällt.

Methode 1. Direkt

Wir bauen einfach eine Parabel nach dieser Gleichung:

Um es schnell zu machen, gebe ich Ihnen einen kleinen Hinweis: Es ist zweckmäßig, die Konstruktion mit der Bestimmung des Scheitelpunkts der Parabel zu beginnen. Die folgenden Formeln helfen bei der Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel:

Du sagst „Halt! Die Formel für ist der Formel zum Finden der Diskriminante „ja, es ist, und es ist“ sehr ähnlich ein riesiges Minus"direkte" Konstruktion einer Parabel, um ihre Wurzeln zu finden. Zählen wir jedoch bis zum Ende, und dann zeige ich Ihnen, wie Sie es viel (viel!) einfacher machen können!

Hast du gezählt? Wie lauten die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel? Lassen Sie es uns gemeinsam herausfinden:

Genau die gleiche Antwort? Gut erledigt! Und jetzt kennen wir bereits die Koordinaten des Scheitelpunkts, und um eine Parabel zu bauen, brauchen wir mehr ... Punkte. Was denken Sie, wie viele Punkte brauchen wir mindestens? Richtig, .

Sie wissen, dass eine Parabel symmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt ist, zum Beispiel:

Dementsprechend brauchen wir zwei weitere Punkte entlang des linken oder rechten Astes der Parabel und werden diese Punkte zukünftig symmetrisch auf der gegenüberliegenden Seite spiegeln:

Wir kehren zu unserer Parabel zurück. Für unseren Fall der Punkt. Wir brauchen zwei Punkte mehr bzw. können wir positive nehmen, aber können wir auch negative nehmen? Was sind die besten Punkte für Sie? Es ist bequemer für mich, mit positiven zu arbeiten, also werde ich mit und rechnen.

Jetzt haben wir drei Punkte, und wir können unsere Parabel leicht bauen, indem wir die letzten beiden Punkte an ihrer Spitze spiegeln:

Was ist Ihrer Meinung nach die Lösung der Gleichung? Das ist richtig, die Punkte, an denen, das heißt, und. Weil.

Und wenn wir das sagen, dann bedeutet das, dass es auch gleich sein muss, oder.

Gerade? Wir haben die Gleichung mit Ihnen auf komplexe grafische Weise gelöst, oder es wird noch mehr geben!

Natürlich können Sie unsere Antwort algebraisch überprüfen - Sie können die Wurzeln durch das Vieta-Theorem oder die Diskriminante berechnen. Was hast du bekommen? Das selbe? Hier sehen Sie! Sehen wir uns jetzt eine sehr einfache grafische Lösung an, ich bin sicher, sie wird Ihnen sehr gefallen!

Methode 2. In mehrere Funktionen aufteilen

Nehmen wir auch alles, unsere Gleichung: , aber wir schreiben sie etwas anders, nämlich:

Können wir das so schreiben? Wir können, da die Transformation äquivalent ist. Schauen wir weiter.

Lassen Sie uns zwei Funktionen separat erstellen:

1. - Der Graph ist eine einfache Parabel, die Sie leicht erstellen können, auch ohne den Scheitelpunkt mit Formeln zu definieren und eine Tabelle zu erstellen, um andere Punkte zu bestimmen.
2. - Der Graph ist eine gerade Linie, die Sie genauso einfach durch Schätzen der Werte und in Ihrem Kopf erstellen können, ohne auf einen Taschenrechner zurückzugreifen.

Gebaut? Vergleichen Sie mit dem, was ich habe:

Meinst du das in dieser Fall sind die Wurzeln der Gleichung? Korrekt! Koordinaten von, die durch Kreuzen zweier Graphen erhalten werden, und das heißt:

Dementsprechend lautet die Lösung dieser Gleichung:

Was sagst du? Stimmen Sie zu, diese Lösungsmethode ist viel einfacher als die vorherige und sogar einfacher als die Suche nach Wurzeln durch die Diskriminante! Wenn ja, versuchen Sie diese Methode, um die folgende Gleichung zu lösen:

Was hast du bekommen? Vergleichen wir unsere Diagramme:

Die Grafiken zeigen, dass die Antworten lauten:

Hast du es geschafft? Gut erledigt! Schauen wir uns nun die etwas komplizierteren Gleichungen an, nämlich die Lösung gemischter Gleichungen, also Gleichungen, die Funktionen unterschiedlichen Typs enthalten.

Grafische Lösung gemischter Gleichungen

Versuchen wir nun, Folgendes zu lösen:

Natürlich kann alles mitgebracht werden gemeinsamer Nenner, finden Sie die Wurzeln der resultierenden Gleichung und vergessen Sie nicht, die ODZ zu berücksichtigen, aber wir werden wieder versuchen, sie grafisch zu lösen, wie wir es in allen vorherigen Fällen getan haben.

Lassen Sie uns dieses Mal die folgenden 2 Diagramme zeichnen:

1. - Der Graph ist eine Hyperbel
2. - Ein Graph ist eine gerade Linie, die Sie leicht durch Schätzen der Werte und in Ihrem Kopf erstellen können, ohne auf einen Taschenrechner zurückgreifen zu müssen.

Erkannte? Beginnen Sie jetzt mit dem Bauen.

Folgendes ist mir passiert:

Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, was sind die Wurzeln unserer Gleichung?

Das ist richtig, und. Hier die Bestätigung:

Versuchen Sie, unsere Wurzeln in die Gleichung einzufügen. Passiert?

Alles ist richtig! Stimmen Sie zu, das grafische Lösen solcher Gleichungen ist ein Vergnügen!

Versuchen Sie, die Gleichung selbst grafisch zu lösen:

Ich gebe Ihnen einen Tipp: Verschieben Sie einen Teil der Gleichung nach rechte Seite damit beide Seiten die einfachsten Funktionen zu bauen haben. Haben Sie den Hinweis? Handeln Sie!

Nun lass uns sehen, was du hast:

Beziehungsweise:

1. - kubische Parabel.
2. - eine gewöhnliche gerade Linie.

Nun, wir bauen:

Wie Sie lange aufgeschrieben haben, ist die Wurzel dieser Gleichung -.

Nachdem ich das gelöst habe große Menge Beispielen haben Sie bestimmt schon bemerkt, wie Sie Gleichungen einfach und schnell grafisch lösen können. Es ist Zeit herauszufinden, wie man sich entscheidet auf eine ähnliche Art und Weise Systeme.

Grafische Lösung von Systemen

Die graphische Lösung von Systemen unterscheidet sich im Wesentlichen nicht von der graphischen Lösung von Gleichungen. Wir werden auch zwei Graphen erstellen, und ihre Schnittpunkte werden die Wurzeln dieses Systems sein. Ein Graph ist eine Gleichung, der zweite Graph ist eine andere Gleichung. Alles ganz einfach!

Beginnen wir mit dem Einfachsten - dem Lösen von linearen Gleichungssystemen.

Lineare Gleichungssysteme lösen

Nehmen wir an, wir haben das folgende System:

Zunächst werden wir es so umwandeln, dass links alles steht, was damit zusammenhängt, und rechts - was damit zusammenhängt. Anders ausgedrückt schreiben wir diese Gleichungen als Funktion in der für uns üblichen Form:

Und jetzt bauen wir einfach zwei gerade Linien. Was ist die Lösung in unserem Fall? Korrekt! Der Schnittpunkt! Und hier müssen Sie sehr, sehr vorsichtig sein! Denken Sie warum? Ich gebe Ihnen einen Hinweis: Wir haben es mit einem System zu tun: Das System hat beides, und... Haben Sie den Hinweis verstanden?

Alles ist richtig! Beim Lösen des Systems müssen wir beide Koordinaten betrachten, und nicht nur, wie beim Lösen von Gleichungen! Noch eins wichtiger Punkt- Schreiben Sie sie richtig auf und verwechseln Sie nicht, wo wir den Wert haben und wo der Wert ist! Verzeichnet? Jetzt vergleichen wir alles der Reihe nach:

Und antwortet: i. Machen Sie eine Überprüfung - ersetzen Sie die gefundenen Wurzeln in das System und stellen Sie sicher, dass wir es grafisch richtig gelöst haben?

Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen

Aber was ist, wenn wir statt einer geraden Linie haben werden quadratische Gleichung? Es ist okay! Du baust statt einer Geraden einfach eine Parabel! Glaubst du nicht? Versuche folgendes System zu lösen:

Was ist unser der nächste Schritt? Das ist richtig, schreiben Sie es auf, damit wir bequem Diagramme erstellen können:

Und jetzt geht es um die Kleinigkeit - ich habe es schnell gebaut und hier ist die Lösung für Sie! Gebäude:

Sind die Grafiken gleich? Markiere nun die Lösungen des Systems im Bild und schreibe die aufgedeckten Antworten richtig auf!

Ich habe alles getan? Vergleiche mit meinen Notizen:

Alles ist richtig? Gut erledigt! Solche Aufgaben klickst du schon wie Nüsse an! Und wenn ja, geben wir Ihnen ein komplizierteres System:

Was machen wir? Korrekt! Wir schreiben das System so, dass es bequem zu bauen ist:

Ich gebe Ihnen einen kleinen Hinweis, da das System sehr kompliziert aussieht! Wenn Sie Diagramme erstellen, bauen Sie sie "mehr" und wundern Sie sich vor allem nicht über die Anzahl der Schnittpunkte.

So lass uns gehen! Ausgeatmet? Beginnen Sie jetzt mit dem Bauen!

Und wie? Schön? Wie viele Schnittpunkte hast du bekommen? Ich habe drei! Vergleichen wir unsere Grafiken:

Gleicher Weg? Schreiben Sie nun sorgfältig alle Lösungen unseres Systems auf:

Betrachten Sie nun noch einmal das System:

Können Sie sich vorstellen, dass Sie es in nur 15 Minuten gelöst haben? Stimmen Sie zu, Mathematik ist immer noch einfach, besonders wenn Sie einen Ausdruck betrachten, haben Sie keine Angst, einen Fehler zu machen, aber Sie nehmen es und entscheiden! Du bist ein großer Junge!

Grafische Lösung von Ungleichungen

Grafische Lösung linearer Ungleichungen

Nach letztes Beispiel Sie haben alles auf Ihrer Schulter! Atmen Sie jetzt aus - im Vergleich zu den vorherigen Abschnitten wird dieser sehr, sehr einfach sein!

Wir beginnen wie gewohnt mit einer grafischen Lösung lineare Ungleichheit. Zum Beispiel dieser:

Zunächst führen wir die einfachsten Transformationen durch - wir öffnen die Klammern volle Quadrate und füge ähnliche Begriffe hinzu:

Die Ungleichung ist daher nicht streng - ist nicht im Intervall enthalten, und die Lösung sind alle Punkte, die rechts liegen, da mehr, mehr und so weiter:

Antworten:

Das ist alles! Leicht? Lösen wir eine einfache Ungleichung mit zwei Variablen:

Lassen Sie uns eine Funktion im Koordinatensystem zeichnen.

Hast du so ein Diagramm? Und jetzt schauen wir uns genau an, was wir an Ungleichheit haben? Weniger? Also übermalen wir alles, was sich links von unserer geraden Linie befindet. Was wäre, wenn es mehr gäbe? Richtig, dann würden sie alles übermalen, was sich rechts von unserer Geraden befindet. Alles ist einfach.

Alle Lösungen dieser Ungleichung sind „schattiert“ Orange. Das war's, die Zwei-Variablen-Ungleichung ist gelöst. Das bedeutet, dass die Koordinaten und jeder Punkt aus dem schraffierten Bereich die Lösungen sind.

Grafische Lösung quadratischer Ungleichungen

Nun beschäftigen wir uns damit, wie man quadratische Ungleichungen grafisch löst.

Aber bevor wir direkt zum Punkt kommen, lassen Sie uns noch einmal etwas über die Quadratfunktion rekapitulieren.

Wofür ist die Diskriminante verantwortlich? Richtig, für die Position des Graphen relativ zur Achse (wenn Sie sich nicht daran erinnern, lesen Sie auf jeden Fall die Theorie über quadratische Funktionen).

Auf jeden Fall hier eine kleine Erinnerung für dich:

Nachdem wir nun das gesamte Material in unserem Gedächtnis aufgefrischt haben, kommen wir zur Sache – wir werden die Ungleichung grafisch lösen.

Ich werde Ihnen gleich sagen, dass es zwei Möglichkeiten gibt, es zu lösen.

Variante 1

Wir schreiben unsere Parabel als Funktion:

Mit den Formeln bestimmen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel (wie beim Lösen quadratischer Gleichungen):

Hast du gezählt? Was hast du bekommen?

Nehmen wir jetzt zwei weitere verschiedene Punkte und berechne für sie:

Wir fangen an, einen Ast der Parabel zu bauen:

Wir spiegeln unsere Punkte symmetrisch an einem anderen Ast der Parabel:

Nun zurück zu unserer Ungleichheit.

Wir müssen es sein weniger als Null, beziehungsweise:

Da es in unserer Ungleichheit ein streng geringeres Zeichen gibt, schließen wir die Endpunkte aus - wir „stechen heraus“.

Antworten:

Weit weg, oder? Jetzt zeige ich Ihnen eine einfachere Version der grafischen Lösung am Beispiel derselben Ungleichung:

Option 2

Wir kehren zu unserer Ungleichung zurück und markieren die Intervalle, die wir brauchen:

Stimmen Sie zu, es ist viel schneller.

Schreiben wir jetzt die Antwort auf:

Betrachten Sie eine andere Lösung, die und vereinfacht algebraischer Teil, aber die Hauptsache ist, sich nicht verwirren zu lassen.

Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit:

Versuchen Sie, die folgende quadratische Ungleichung auf beliebige Weise selbst zu lösen: .

Hast du es geschafft?

Sehen Sie, wie mein Diagramm ausgefallen ist:

Antworten: .

Grafische Lösung gemischter Ungleichungen

Kommen wir nun zu komplexeren Ungleichungen!

Wie findest Du das:

Schrecklich, oder? Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie ich das algebraisch lösen soll ... Aber es ist nicht notwendig. Grafisch ist das nicht kompliziert! Die Augen haben Angst, aber die Hände tun es!

Das erste, womit wir beginnen, ist, zwei Diagramme zu erstellen:

Ich werde keine Tabelle für jeden schreiben – ich bin sicher, dass Sie es alleine perfekt machen können (natürlich gibt es so viele Beispiele zu lösen!).

Gemalt? Erstellen Sie nun zwei Graphen.

Vergleichen wir unsere Zeichnungen?

Hast du das gleiche? Exzellent! Lassen Sie uns nun die Schnittpunkte platzieren und mit einer Farbe bestimmen, welcher Graph theoretisch größer sein sollte, dh größer sein sollte. Schau, was am Ende passiert ist:

Und jetzt schauen wir uns nur an, wo unser ausgewähltes Diagramm höher ist als das Diagramm? Fühlen Sie sich frei, einen Bleistift zu nehmen und zu übermalen gegebenen Bereich! Es wird die Lösung unserer komplexen Ungleichheit sein!

In welchen Intervallen entlang der Achse sind wir höher als? Recht, . Das ist die Antwort!

Nun, jetzt können Sie mit jeder Gleichung und jedem System umgehen, und noch mehr mit jeder Ungleichung!

KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Algorithmus zum Lösen von Gleichungen mit Funktionsgraphen:

1. Durch ausdrücken
2. Definieren Sie den Funktionstyp
3. Lassen Sie uns Graphen der resultierenden Funktionen erstellen
4. Finde die Schnittpunkte der Graphen
5. Schreiben Sie die Antwort richtig auf (unter Berücksichtigung der ODZ- und Ungleichheitszeichen)
6. Überprüfe die Antwort (ersetze die Wurzeln in der Gleichung oder dem System)

Weitere Informationen zum Zeichnen von Funktionsgraphen finden Sie im Thema "".