Monomiaalin käsite

Monomiaalin määritelmä: monomi on algebrallinen lauseke, joka käyttää vain kertolaskua.

Monomiaalin vakiomuoto

Mikä on monomin vakiomuoto? Monomiaali kirjoitetaan vakiomuotoon, jos siinä on ensin numeerinen tekijä ja tämä tekijä, sitä kutsutaan monomin kertoimeksi, monomiaalissa vain yksi, monomin kirjaimet sijaitsevat Aakkosjärjestys ja jokainen kirjain esiintyy vain kerran.

Esimerkki monomialista vakiomuodossa:

tässä on ensinnäkin numero, monomin kerroin, ja tämä luku on vain yksi monomiaalissamme, jokainen kirjain esiintyy vain kerran ja kirjaimet on järjestetty aakkosjärjestykseen, Tämä tapaus on latinalainen aakkoset.

Toinen esimerkki monomiaalista vakiomuodossa:

jokainen kirjain esiintyy vain kerran, ne on järjestetty latinalaiseen aakkosjärjestykseen, mutta missä on monomin kerroin, ts. numerotekijä, jonka pitäisi olla ensin? Hän on täällä yhtä suuri kuin yksi: 1 adm.

Voiko monomikerroin olla negatiivinen? Kyllä, ehkä, esimerkki: -5a.

Voiko monomikerroin olla murtoluku? Kyllä, ehkä, esimerkki: 5.2a.

Jos monomi koostuu vain luvusta, ts. ei sisällä kirjaimia, miten se saatetaan vakiolomakkeeseen? Mikä tahansa monomi, joka on luku, on jo vakiomuodossa, esimerkiksi: luku 5 on vakiomuotoinen monomi.

Monomien pelkistys vakiomuotoon

Kuinka saada monomiaali vakiomuotoon? Harkitse esimerkkejä.

Olkoon monomiaali 2a4b annettu, meidän on saatava se vakiomuotoon. Kerrotaan kaksi sen numeerisista kertoimista ja saadaan 8ab. Nyt monomi on kirjoitettu vakiomuotoon, ts. on vain yksi numeerinen tekijä, joka on ensin kirjoitettu, jokainen kirjain monomissa esiintyy vain kerran, ja nämä kirjaimet on järjestetty aakkosjärjestykseen. Joten 2a4b = 8ab.

Annettu: monomiaali 2a4a, tuo monomi vakiomuotoon. Kerrotaan luvut 2 ja 4, tulo aa korvataan toisella potenssilla a 2 . Saamme: 8a 2 . Tämä on tämän monomin vakiomuoto. Joten 2a4a = 8a2.

Samanlaisia ​​monomialeja

Mitä ovat samanlaiset monomit? Jos monomit eroavat vain kertoimilla tai ovat yhtä suuria, niitä kutsutaan samanlaisiksi.

Esimerkki samanlaisista monomeista: 5a ja 2a. Nämä monomit eroavat vain kertoimilla, mikä tarkoittaa, että ne ovat samanlaisia.

Ovatko monomit 5abc ja 10cba samanlaisia? Tuomme toisen monomin vakiomuotoon, saamme 10abc. Nyt on selvää, että monomit 5abc ja 10abc eroavat toisistaan ​​vain kertoimissaan, mikä tarkoittaa, että ne ovat samanlaisia.

Monomiaalien lisäys

Mikä on monomiaalien summa? Voimme vain laskea yhteen samanlaiset monomiaalit. Harkitse esimerkkiä monomien lisäämisestä. Mikä on monomioiden 5a ja 2a summa? Näiden monomioiden summa on niiden kanssa samanlainen monomi, jonka kerroin on yhtä suuri kuin summa termien kertoimet. Eli monomioiden summa on 5a + 2a = 7a.

Lisää esimerkkejä monomien lisäämisestä:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Uudelleen. Voit lisätä vain samanlaisia ​​monomialeja; yhteenlasku vähennetään niiden kertoimien lisäämiseen.

Monomien vähentäminen

Mitä eroa on monomiaaleilla? Voimme vähentää vain samanlaiset monomiaalit. Harkitse esimerkkiä monomioiden vähentämisestä. Mitä eroa on monomeilla 5a ja 2a? Näiden monomioiden erotus on niiden kaltainen monomi, jonka kerroin on yhtä suuri kuin näiden monomien kertoimien ero. Joten monomiaalien ero on yhtä suuri kuin 5a - 2a = 3a.

Lisää esimerkkejä monomioiden vähentämisestä:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Monomien kertominen

Mikä on monomiaalien tulos? Harkitse esimerkkiä:

nuo. monomioiden tulo on yhtä suuri kuin monomi, jonka tekijät koostuvat alkuperäisten monomien tekijöistä.

Toinen esimerkki:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Miten tämä tulos syntyi? Jokaisen tekijän asteessa on "a": ensimmäisessä - "a" asteessa 2 ja toisessa - "a" asteessa 5. Tämä tarkoittaa, että tuotteella on "a" asteessa 7, koska kun kerrotaan identtiset kirjaimet, niiden eksponentit laskevat yhteen:

A 2 * a 5 = a 7.

Sama koskee tekijää "b".

Ensimmäisen kertoimen kerroin on kaksi ja toisen - yksi, joten tuloksena saadaan 2 * 1 = 2.

Näin laskettiin tulos 2a 7 b 12.

Nämä esimerkit osoittavat, että monomiaalien kertoimet kerrotaan ja identtiset kirjaimet korvataan niiden tehojen summalla tuotteessa.

Kahden samanlaisen kolmion pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin samankaltaisuuskertoimen neliö. Lause (toinen kolmioiden yhtäläisyyden kriteeri). Jos yhden kolmion kaksi kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi kulmaa, nämä kolmiot ovat samanlaisia. Kutsutaan samanlaisia ​​kolmioita, joissa kulmat ovat yhtä suuret ja samanlaiset sivut ovat verrannollisia: , jossa on samankaltaisuuskerroin.

Esimerkkejä tämän seurauksen soveltamisesta on alla olevissa osioissa: "Esimerkkejä samankaltaisista kolmioista" ja "Yhteisten kolmioiden sivujen yhdensuuntaisuuden (anti-rinnakkaisisuuden) ominaisuudet." Siksi esimerkiksi ortokolmion ortokolmio ja alkuperäinen kolmio ovat samanlaisia, samoin kuin kolmiot, joissa on yhdensuuntaiset sivut. Pisteet, jotka eivät ole suoralla linjalla, menevät samankaltaisina pisteisiin, jotka eivät ole yhdellä suoralla. Samankaltaisuutta kutsutaan oikeaksi (epäproper), jos liike D(\displaystyle D) on oikea (epäproper).

Samanlaisissa kolmioissa tärkeä paikka käyttää segmenttien suhteen käsitettä. Kolmiot ovat jollain tapaa samanlaisia. Kolmioiden samankaltaisuuden määrittämiseksi on tarpeen määrittää kuuden yhtäläisyyden pätevyys (kulmat ja sivujen suhteet), mutta tämä ei aina ole mahdollista. Yhtäläisyyksiä on kaikkiaan kolme. Selitys: kolmion pinta-ala on kahden lineaarisen elementin - sivun ja korkeuden - tulo.

Kolmion ympärysmitta on meille annettu, voimme löytää kolmion kehän, koska meille on annettu sen sivujen pituudet, joten löydämme samankaltaisuuskertoimen ja määritämme halutut sivujen pituudet. Samankaltaisuuskerroin ilmaisee suhteellisuuden, tämä on yhden kolmion sivujen pituuksien suhde toisen kolmion samankaltaisiin sivuihin: k = AB/A’B’= BC/B’C’ = AC/A’C’.

Etsi samankaltaisten puolien suhde, joka on samankaltaisuuskerroin

Esimerkiksi annetussa tehtävässä samanlaisia ​​kolmioita ja niiden sivujen pituudet on annettu. Koska kolmiot ovat kunnon suhteen samanlaisia, etsi niiden samanlaiset sivut. Jaa samanlaisten kolmioiden pinta-alat yksitellen ja erota Neliöjuuri tuloksesta. Kehojen, mediaanien pituuksien ja samanlaisille puolille rakennettujen mediatrisien suhteet ovat yhtä suuria kuin samankaltaisuuskerroin.

Samankaltaisuuslait - aerodynamiikassa

Sinilauseen mukaan mille tahansa kolmiolle sivujen ja sinien suhteen vastakkaiset kulmat yhtä suuri kuin sen ympärille piirretyn ympyrän halkaisija. Käytä samanlaista tapaa löytääksesi kerroin, jos sinulla on ympyröitä, jotka on piirretty samanlaisiin kolmioihin, joiden säteet tunnetaan.

Oma samankaltaisuus säilyttää kuvioiden suunnan, ja väärä - muuttaa suunnan päinvastaiseksi. Samankaltaisuus määritellään samalla tavalla (yllä olevat ominaisuudet säilyttäen) 3-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa sekä n-ulotteisessa euklidisessa ja pseudoeuklidisessa avaruudessa. Kolmioiden samanlaiset sivut ovat vastakkaisia yhtäläiset kulmat. Samankaltaisuuskerroin löytyy eri tavoilla. Tätä varten kirjoita ylös yhden ja toisen sivujen pituudet nousevassa järjestyksessä.

Voit laskea kolmioiden samankaltaisuuskertoimen, jos tiedät niiden pinta-alat. Jos jaat samoista kulmista piirrettyjen puolittajien tai korkeuksien pituuden, saat myös samankaltaisuuskertoimen.

Käytä tätä ominaisuutta löytääksesi kertoimen, jos nämä arvot on annettu tehtävälausekkeessa

Jos yhden kolmion kolme sivua ovat verrannollisia toisen kolmion kolmeen sivuun, niin tällaiset kolmiot ovat samanlaisia. Samankaltaisuuskerroin k on yhtä suuri kuin suhde vastaavat kuvioiden F lineaariset mitat ja siten pinta-ala vastaavia lukuja ovat suhteessa niiden vastaavien lineaaristen mittojen neliöinä. Huomasimme, että kolmioiden yhtäläisyys on erikoistapaus yhtäläisyyksiä.

On . Tässä artikkelissa määrittelemme samankaltaiset termit, selvitämme mitä kutsutaan samankaltaisten termien vähentämiseksi, tarkastelemme sääntöjä, joilla tämä toiminto suoritetaan, ja annamme esimerkkejä samankaltaisten termien vähentämisestä Yksityiskohtainen kuvaus ratkaisuja.

Sivulla navigointi.

Määritelmä ja esimerkkejä vastaavista termeistä.

Keskustelu tällaisista termeistä syntyy kirjaimellisiin ilmaisuihin tutustumisen jälkeen, kun on tarpeen suorittaa muunnoksia niiden kanssa. Matematiikan oppikirjojen mukaan N. Ya. Vilenkin samankaltaisten termien määritelmä on annettu 6. luokalla, ja siinä on seuraava sanamuoto:

Määritelmä.

Samanlaisia ​​termejä ovat termejä, joissa on sama kirjainosa.

Tätä määritelmää kannattaa harkita huolellisesti. Ensinnäkin me puhumme termeistä, ja kuten tiedetään, termit ovat osatekijät määriä. tarkoittaa, kuten termit voi esiintyä vain summia edustavissa lausekkeissa. Toiseksi tällaisten termien äänekkäässä määritelmässä on tuntematon käsite "kirjaimellinen osa". Mitä kirjainosalla tarkoitetaan? Kun tämä määritelmä annetaan kuudennella luokalla, kirjainosa viittaa yhteen kirjaimeen (muuttujaan) tai useiden kirjainten tuloon. Kolmanneksi kysymys jää: "Mitä nämä termit ovat, joissa on kirjainosa"? Nämä ovat termejä, jotka ovat tietyn luvun, niin sanotun numeerisen kertoimen ja kirjainosan tulo.

Nyt voit tuoda esimerkkejä vastaavista termeistä. Tarkastellaan kahden muodon 3·a+2·a termien 3·a ja 2·a summaa. Tämän summan termeillä on sama kirjainosa, jota edustaa kirjain a, joten määritelmän mukaan nämä termit ovat samanlaisia. Näiden samankaltaisten termien numeeriset kertoimet ovat luvut 3 ja 2 .

Toinen esimerkki: yhteensä 5 x y 3 z+12 x y 3 z+1 termit 5·x·y 3 ·z ja 12·x·y 3 ·z, joilla on sama kirjaimellinen osa x·y 3 ·z, ovat samanlaisia. Huomaa, että y 3 on kirjaimellisessa osassa, sen läsnäolo ei riko edellä annettua kirjaimellisen osan määritelmää, koska se on itse asiassa y·y·y:n tulo.

Huomaamme erikseen, että tällaisten termien numeerisia kertoimia 1 ja −1 ei usein kirjoiteta eksplisiittisesti. Esimerkiksi summassa 3 z 5 +z 5 -z 5 kaikki kolme termiä 3 z 5, z 5 ja -z 5 ovat samanlaisia, niillä on sama kirjainosa z 5 ja kertoimet 3 , 1 ja -1 vastaavasti. jotka 1 ja −1 eivät ole selvästi näkyvissä.

Tästä eteenpäin summassa 5+7 x−4+2 x+y eivät ainoastaan ​​7 x ja 2 x ole samanlaisia ​​termejä, vaan myös termit ilman kirjaimellista osaa 5 ja −4 .

Myöhemmin myös kirjaimellisen osan käsite laajenee - alan pitää kirjaimellista osaa paitsi kirjainten tulona, ​​myös mielivaltaisena kirjaimellisena ilmaisuna. Esimerkiksi 8. luokan kirjoittajien Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov, S. A. Telyakovskyn toimittamassa algebran oppikirjassa on annettu muodon summa ja sanotaan, että sen komponenttitermit ovat samanlaisia . Näiden samankaltaisten termien yhteinen kirjaimellinen osa on lauseke, jolla on muodon juuri.

Samoin samankaltaiset termit lausekkeessa 4 (x 2 +x−1/x)−0,5 (x 2 +x−1/x)−1 voimme tarkastella termejä 4 (x 2 +x−1/x) ja −0.5 (x 2 +x−1/x) , koska niillä on sama kirjainosa (x 2 +x−1/x) .

Yhteenvetona kaikista yllä olevista tiedoista voimme antaa seuraavan määritelmän samankaltaisille termeille.

Määritelmä.

Samanlaisia ​​termejä kutsutaan termeiksi kirjaimellinen ilmaus, joilla on sama kirjaimellinen osa, sekä termit, joilla ei ole kirjaimellista osaa, jolloin kirjaimellinen osa ymmärretään mitä tahansa kirjaimellista ilmaisua.

Erikseen sanomme, että samanlaiset termit voivat olla samoja (kun niiden numeeriset kertoimet ovat yhtä suuret) tai ne voivat olla erilaisia ​​(kun niiden numeeriset kertoimet ovat erilaiset).

Tämän kappaleen päätteeksi käsittelemme yhtä hyvin hienovaraista seikkaa. Tarkastellaan lauseketta 2 x y+3 y x . Ovatko termit 2 x y ja 3 y x samanlaisia? Tämä kysymys voidaan muotoilla myös seuraavasti: "Ovatko ilmaistujen termien kirjaimelliset osat x y ja y x samat"? Kirjaimellisten tekijöiden järjestys niissä on erilainen, joten todellisuudessa ne eivät ole samoja, joten termit 2·x·y ja 3·y·x eivät ole samanlaisia ​​edellä esitetyn määritelmän valossa.

Kuitenkin melko usein tällaisia ​​termejä kutsutaan samanlaisiksi termeiksi (mutta kurinalaisuuden vuoksi on parempi olla tekemättä tätä). Tässä tapauksessa niitä ohjaa seuraava: tuotteen tekijöiden permutaatiosta riippuen se ei vaikuta tulokseen, joten alkuperäinen lauseke 2 x y+3 y x voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon 2 x y+3 x y , joiden termit ovat samanlaiset. Eli kun he puhuvat samankaltaisista termeistä 2 x y ja 3 y x lausekkeessa 2 x y+3 y x, he tarkoittavat termejä 2 x y ja 3 x y muunnetussa lausekkeessa muotoa 2 x y+3 x y.

Samankaltaisten termien vähentäminen, sääntö, esimerkit

Samankaltaisia ​​termejä sisältävien lausekkeiden muunnos edellyttää näiden termien lisäämistä. Tällä toiminnolla on erityinen nimi - vastaavien ehtojen vähentäminen.

Samankaltaisten ehtojen vähentäminen tapahtuu kolmessa vaiheessa:

• ensinnäkin termit järjestetään uudelleen siten, että samanlaiset termit ovat vierekkäin;
• sen jälkeen samankaltaisten termien kirjaimellinen osa poistetaan suluista;
• lopuksi lasketaan suluissa olevan numeerisen lausekkeen arvo.

Analysoidaan tallennettuja vaiheita esimerkin avulla. Esitämme samanlaiset termit lausekkeessa 3 x y+1+5 x y . Ensin järjestämme termit uudelleen siten, että samankaltaiset termit 3 x y ja 5 x y ovat vierekkäin: 3 x y+1+5 x y=3 x y+5 x y+1. Toiseksi suluista otetaan pois kirjaimellinen osa, saadaan lauseke x·y·(3+5)+1 . Kolmanneksi lasketaan suluissa muodostetun lausekkeen arvo: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1 . Koska on tapana kirjoittaa numeerinen kerroin ennen kirjainosaa, siirrämme sen tähän paikkaan: x·y·8+1=8·x·y+1. Tämä täydentää vastaavien termien vähentämisen.

Mukavuuden vuoksi yllä olevat kolme vaihetta on yhdistetty sääntö samankaltaisten termien vähentämiseksi: saadaksesi samanlaisia ​​termejä, sinun on lisättävä niiden kertoimet ja kerrottava tulos kirjainosalla (jos sellainen on).

Edellisen esimerkin ratkaisu samankaltaisten termien pelkistyssääntöä käyttäen on lyhyempi. Tuodaan hänet. Samankaltaisten termien kertoimet 3 x y ja 5 x y lausekkeessa 3 x y+1+5 x y ovat luvut 3 ja 5, niiden summa on 8, kertomalla se kirjainosalla x y, saadaan näiden termien pelkistämisen tulos on 8·x·y . Ei pidä unohtaa termiä 1 alkuperäisessä lausekkeessa, jolloin meillä on 3 x y+1+5 x y=8 x y+1 .

Ensimmäinen taso

Lausekkeen muuntaminen. Yksityiskohtainen teoria (2019)

Lausekkeen muuntaminen

Usein kuulemme tämän epämiellyttävä lause: "yksinkertaistaa ilmaisua." Yleensä tässä tapauksessa meillä on jonkinlainen hirviö, kuten tämä:

"Kyllä, paljon helpompaa", sanomme, mutta tällainen vastaus ei yleensä toimi.

Nyt opetan sinua olemaan pelkäämättä sellaisia ​​tehtäviä. Lisäksi oppitunnin lopussa yksinkertaistat itse tämän esimerkin (vain!) tavallinen numero(kyllä, helvettiin noiden kirjainten kanssa).

Mutta ennen kuin aloitat tämän oppitunnin, sinun on kyettävä käsittelemään murto- ja kerroinpolynomeja. Siksi ensin, jos et ole tehnyt tätä aiemmin, muista hallita aiheet "" ja "".

Lukea? Jos kyllä, olet valmis.

Yksinkertaistamisen perustoiminnot

Nyt analysoimme päätekniikoita, joita käytetään lausekkeiden yksinkertaistamiseen.

Yksinkertaisin niistä on

1. Tuo samankaltainen

Mitkä ovat samanlaisia? Kävit tämän läpi 7. luokalla, kun matematiikassa ilmestyi kirjaimet numeroiden sijaan. Samanlaisia ​​ovat termit (monomiaalit), joilla on sama kirjainosa. Esimerkiksi summassa, kuten termit ovat ja.

Muistatko?

Samankaltaisten termien tuominen tarkoittaa useiden samankaltaisten termien lisäämistä toisiinsa ja yhden termin saamista.

Mutta kuinka voimme yhdistää kirjaimet? - kysyt.

Tämä on erittäin helppo ymmärtää, jos kuvittelet, että kirjaimet ovat jonkinlaisia ​​esineitä. Esimerkiksi kirje on tuoli. Mikä ilmaisu sitten on? Kaksi tuolia plus kolme tuolia, paljonko se maksaa? Aivan oikein, tuolit: .

Kokeile nyt tätä ilmaisua:

Jotta ei menisi sekaisin, anna erilaisia ​​kirjaimia edustaa eri asioita. Esimerkiksi - tämä on (kuten tavallista) tuoli ja - tämä on pöytä. Sitten:

tuolit pöydät tuolipöydät tuolit tuolit pöydät

Numeroita, joilla tällaisten termien kirjaimet kerrotaan, kutsutaan kertoimet. Esimerkiksi monomissa kerroin on yhtä suuri. Ja hän on tasa-arvoinen.

Eli sääntö samankaltaisten tuomiseksi:

Esimerkkejä:

Tuo samanlainen:

Vastaukset:

2. (ja ovat samankaltaisia, koska siksi näillä termeillä on sama kirjainosa).

2. Faktorisointi

Tämä on yleensä eniten pääosa ilmaisujen yksinkertaistamisessa. Kun olet antanut samankaltaisia, useimmiten tuloksena oleva lauseke on otettava huomioon, eli esitettävä tuotteena. Tämä on erityisen tärkeää murtoluvuissa: murto-osan pienentämiseksi osoittaja ja nimittäjä on esitettävä tulona.

Kävit läpi yksityiskohtaiset lausekkeiden laskentamenetelmät aiheessa "", joten tässä sinun on vain muistettava, mitä olet oppinut. Voit tehdä tämän ratkaisemalla muutaman esimerkkejä(jätetään pois):

Ratkaisut:

3. Fraktion vähentäminen.

No, mikä voisi olla mukavampaa kuin yliviivata osa osoittajasta ja nimittäjästä ja heittää ne pois elämästäsi?

Se on lyhenteen kauneus.

Se on yksinkertaista:

Jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät samat tekijät, niitä voidaan pienentää eli poistaa murtoluvusta.

Tämä sääntö seuraa murtoluvun perusominaisuutta:

Eli vähennysoperaation ydin on se Jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä samalla luvulla (tai samalla lausekkeella).

Murto-osan pienentämiseksi tarvitset:

1) osoittaja ja nimittäjä tekijöitä

2) jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät yhteisiä tekijöitä , ne voidaan poistaa.

Periaate on mielestäni selvä?

Haluan kiinnittää huomion yhteen tyypillinen virhe kun vähennetään. Vaikka tämä aihe on yksinkertainen, monet ihmiset tekevät kaiken väärin ymmärtämättä sitä leikata- Tämä tarkoittaa jakaa osoittaja ja nimittäjä samalla numerolla.

Ei lyhenteitä, jos osoittaja tai nimittäjä on summa.

Esimerkiksi: sinun on yksinkertaistettava.

Jotkut tekevät näin: mikä on täysin väärin.

Toinen esimerkki: vähennä.

"Älykkäin" tekee tämän:.

Kerro mikä tässä on vialla? Vaikuttaa siltä, ​​​​että - tämä on kerroin, joten voit vähentää.

Mutta ei: - tämä on vain yhden termin tekijä osoittajassa, mutta itse osoittajaa kokonaisuutena ei ole jaettu tekijöiksi.

Tässä on toinen esimerkki: .

Tämä lauseke on jaettu tekijöiksi, mikä tarkoittaa, että voit vähentää eli jakaa osoittajan ja nimittäjän seuraavalla:

Voit heti jakaa seuraavasti:

Muista välttääksesi tällaiset virheet helppo tie kuinka määrittää, onko lauseke tekijä:

Aritmeettinen operaatio, joka suoritetaan viimeisenä lausekkeen arvoa laskettaessa, on "pää". Eli jos korvaat joitain (mitä tahansa) numeroita kirjainten sijasta ja yrität laskea lausekkeen arvon, niin jos viimeinen toiminto on kertolasku, meillä on tulo (lauseke jaetaan tekijöiksi). Jos viimeinen toiminto on yhteen- tai vähennyslasku, tämä tarkoittaa, että lauseketta ei ole faktoroitu (ja siksi sitä ei voida pienentää).

Voit korjata sen ratkaisemalla sen itse muutaman esimerkkejä:

Vastaukset:

1. Toivottavasti et heti kiirehtinyt leikkaamaan ja? Ei vieläkään riittänyt "vähentämään" yksiköitä näin:

Ensimmäinen askel pitäisi olla tekijöiden lisääminen:

4. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. Murtolukujen tuominen yhteiseen nimittäjään.

Yhteen-ja vähennyslasku tavallisia murtolukuja- operaatio tunnetaan hyvin: etsimme yhteistä nimittäjää, kerromme jokaisen murto-osan puuttuvalla kertoimella ja lisäämme / vähennämme osoittajat. Muistetaan:

Vastaukset:

1. Nimittäjät ja ovat koprime, eli niillä ei ole yhteisiä tekijöitä. Siksi näiden lukujen LCM on yhtä suuri kuin niiden tulo. Tästä tulee yhteinen nimittäjä:

2. Tässä yhteinen nimittäjä:

3. Ensimmäinen asia tässä sekoitettuja fraktioita muuta ne vääriksi ja sitten - tavallisen järjestelmän mukaan:

On aivan eri asia, jos murtoluvut sisältävät kirjaimia, esimerkiksi:

Aloitetaan yksinkertaisesta:

a) Nimittäjät eivät sisällä kirjaimia

Täällä kaikki on sama kuin tavallisilla numeerisilla murtoluvuilla: löydämme yhteisen nimittäjän, kerromme jokainen murto-osa puuttuvalla kertoimella ja lisäämme / vähennämme osoittajat:

nyt osoittajassa voit tuoda samanlaisia, jos sellaisia ​​on, ja kertoa ne:

Kokeile itse:

b) Nimittäjät sisältävät kirjaimia

Muistetaan periaate löytää yhteinen nimittäjä ilman kirjaimia:

Ensinnäkin määritämme yhteiset tekijät;

Sitten kirjoitamme kaikki yleiset tekijät kerran;

ja kerro ne kaikilla muilla tekijöillä, ei yleisillä.

Määrittääksemme nimittäjien yhteiset tekijät, hajotamme ne ensin alkutekijöiksi:

Korostamme yleisiä tekijöitä:

Kirjoitamme nyt yleiset tekijät kerran ja lisäämme niihin kaikki epätavalliset (ei alleviivatut) tekijät:

Tämä on yhteinen nimittäjä.

Palataan kirjaimiin. Nimittäjät annetaan täsmälleen samalla tavalla:

Jaamme nimittäjät tekijöiksi;

määrittää yhteiset (identtiset) kertoimet;

kirjoita kaikki yleiset tekijät kerran;

Kerromme ne kaikilla muilla tekijöillä, ei yleisillä.

Eli järjestyksessä:

1) jaa nimittäjät tekijöiksi:

2) määritä yhteiset (identtiset) tekijät:

3) kirjoita kaikki yleiset tekijät kerran ja kerro ne kaikilla muilla (ei alleviivatuilla) kertoimilla:

Yhteinen nimittäjä on siis tässä. Ensimmäinen murto-osa on kerrottava, toinen -:

On muuten yksi temppu:

Esimerkiksi: .

Näemme nimittäjissä samat tekijät, vain kaiken kanssa erilaisia ​​indikaattoreita. Yhteinen nimittäjä tulee olemaan:

siinä määrin

siinä määrin

siinä määrin

asteessa.

Monimutkaistaan ​​tehtävää:

Kuinka saada murtoluvuilla sama nimittäjä?

Muistetaan murtoluvun perusominaisuus:

Missään ei sanota, että sama luku voidaan vähentää (tai lisätä) murtoluvun osoittajasta ja nimittäjästä. Koska se ei ole totta!

Katso itse: ota esimerkiksi mikä tahansa murtoluku ja lisää osoittajaan ja nimittäjään jokin luku, esimerkiksi . Mitä on opittu?

Joten, toinen horjumaton sääntö:

Kun tuot murtolukuja yhteinen nimittäjä, käytä vain kertolaskua!

Mutta mitä sinun täytyy kertoa saadaksesi?

Tässä ja kerrotaan. Ja kerrotaan:

Lausekkeita, joita ei voida kertoa, kutsutaan "alkutekijöiksi". Esimerkiksi se on perustekijä. - myös. Mutta - ei: se on jaettu tekijöihin.

Entä ilmaisu? Onko se alkeellista?

Ei, koska se voidaan jakaa tekijöihin:

(luit jo faktorointia aiheesta "").

Joten perustekijät, joihin jaat lausekkeen kirjaimilla, ovat analogia päätekijät johon jaat luvut. Ja me teemme samoin heidän kanssaan.

Näemme, että molemmilla nimittäjillä on tekijä. Se menee valtaan yhteiselle nimittäjälle (muistatko miksi?).

Kerroin on alkeisosa, eikä heillä ole sitä yhteistä, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen murtoluku on yksinkertaisesti kerrottava sillä:

Toinen esimerkki:

Ratkaisu:

Ennen kuin kerrot nämä nimittäjät paniikkiin, sinun on mietittävä, kuinka ne otetaan huomioon? Molemmat edustavat:

Erinomainen! Sitten:

Toinen esimerkki:

Ratkaisu:

Kuten tavallista, laitamme nimittäjät tekijöihin. Ensimmäisessä nimittäjässä laitamme sen yksinkertaisesti pois suluista; toisessa - neliöiden ero:

Vaikuttaa siltä, ​​että yhteisiä tekijöitä ei ole. Mutta jos katsot tarkasti, ne ovat jo niin samanlaisia ​​... Ja totuus on:

Joten kirjoitetaan:

Eli siitä tuli näin: suluissa vaihdoimme termejä, ja samalla murto-osan edessä oleva merkki vaihtui päinvastaiseksi. Huomaa, että sinun on tehtävä tämä usein.

Nyt päästään yhteiseen nimittäjään:

Sain sen? Nyt tarkistetaan.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

Vastaukset:

Tässä meidän on muistettava vielä yksi asia - kuutioiden ero:

Huomaa, että toisen murto-osan nimittäjä ei sisällä kaavaa "summan neliö"! Summan neliö näyttäisi tältä:

A on summan niin kutsuttu epätäydellinen neliö: sen toinen termi on ensimmäisen ja viimeisen tulo, ei niiden kaksinkertainen tulo. Summan epätäydellinen neliö on yksi kuutioiden eron laajenemisen tekijöistä:

Entä jos murto-osia on jo kolme?

Kyllä, sama! Ensinnäkin tehdään siitä sellainen enimmäismäärä tekijät nimittäjissä olivat samat:

Kiinnitä huomiota: jos vaihdat merkkejä yhden sulussa, murto-osan edessä oleva merkki muuttuu päinvastaiseksi. Kun vaihdamme toisen hakasulkeen merkkejä, murtoluvun edessä oleva merkki käännetään jälleen. Tämän seurauksena hän (merkki murtoluvun edessä) ei ole muuttunut.

Kirjoitetaan ensimmäinen nimittäjä kokonaisuudessaan yhteiseen nimittäjään, ja sitten lisätään siihen kaikki tekijät, joita ei ole vielä kirjoitettu, toisesta ja sitten kolmannesta (ja niin edelleen, jos murtolukuja on enemmän). Eli se menee näin:

Hmm... Murtolukujen kanssa on selvää, mitä tehdä. Mutta entä ne kaksi?

Se on yksinkertaista: osaat lisätä murtolukuja, eikö niin? Joten sinun on varmistettava, että kakkosesta tulee murto-osa! Muista: murtoluku on jakooperaatio (osoittaja jaetaan nimittäjällä, jos unohdat yhtäkkiä). Ja mikään ei ole helpompaa kuin luvun jakaminen. Tässä tapauksessa itse numero ei muutu, vaan muuttuu murto-osaksi:

Juuri sitä mitä tarvitaan!

5. Murtolukujen kertominen ja jako.

No, vaikein osa on nyt ohi. Ja edessämme on yksinkertaisin, mutta samalla tärkein:

Menettely

Mikä on laskentamenetelmä numeerinen lauseke? Muista, kun otetaan huomioon tällaisen lausekkeen arvo:

Laskitko?

Sen pitäisi toimia.

Muistutan siis.

Ensimmäinen vaihe on tutkinnon laskeminen.

Toinen on kerto- ja jakolasku. Jos kerto- ja jakolaskuja on useita samaan aikaan, voit tehdä ne missä tahansa järjestyksessä.

Ja lopuksi suoritamme yhteen- ja vähennyslaskun. Jälleen missä järjestyksessä tahansa.

Mutta: suluissa oleva lauseke on arvioitu epäjärjestyksessä!

Jos useat hakasulkeet kerrotaan tai jaetaan keskenään, lasketaan ensin kunkin suluissa oleva lauseke ja sitten kerrotaan tai jaetaan ne.

Entä jos suluissa on muita sulkeita? No, ajatellaanpa: jokin ilmaus on kirjoitettu suluissa. Mikä on ensimmäinen asia, joka on tehtävä ilmaisua arvioitaessa? Aivan oikein, laske sulut. No, me selvitimme sen: ensin laskemme sisäsulut, sitten kaikki muu.

Joten yllä olevan lausekkeen toimintojen järjestys on seuraava (nykyinen toiminto on korostettu punaisella, eli toiminto, jonka suoritan juuri nyt):

Okei, kaikki on yksinkertaista.

Mutta se ei ole sama kuin ilmaisu kirjaimilla, eihän?

Ei, se on sama! Vain sen sijaan aritmeettiset operaatiot sinun on suoritettava algebrallinen, eli edellisessä osiossa kuvatut toimet: tuovat samanlaisia, fraktioiden lisääminen, jakeiden vähentäminen ja niin edelleen. Ainoa ero on polynomien faktorointi (käytämme sitä usein työskennellessämme murtolukujen kanssa). Useimmiten tekijöihin lisäämistä varten sinun on käytettävä i-kirjainta tai yksinkertaisesti otettava yhteinen tekijä pois suluista.

Yleensä tavoitteemme on esittää lauseke tuotteena tai osamääränä.

Esimerkiksi:

Yksinkertaistetaan ilmaisua.

1) Ensin yksinkertaistetaan lauseke suluissa. Siellä meillä on murto-osien ero, ja tavoitteenamme on esittää se tulona tai osamääränä. Joten tuomme murtoluvut yhteiseen nimittäjään ja lisäämme:

Tätä ilmaisua on mahdotonta yksinkertaistaa edelleen, kaikki tekijät ovat alkeellisia (muistatko vielä, mitä tämä tarkoittaa?).

2) Saamme:

Murtolukujen kertominen: mikä voisi olla helpompaa.

3) Nyt voit lyhentää:

OK, kaikki on nyt ohi. Ei mitään monimutkaista, eikö?

Toinen esimerkki:

Yksinkertaista ilmaisu.

Yritä ensin ratkaista se itse, ja vasta sitten katso ratkaisua.

Ensinnäkin määritellään menettely. Ensin lisätään murtoluvut suluissa, kahden murtoluvun sijaan tulee yksi. Sitten teemme murto-osien jaon. No, lisäämme tuloksen viimeisellä murto-osalla. Numeroin vaiheet kaavamaisesti:

Nyt näytän koko prosessin sävyttämällä nykyisen toiminnon punaisella:

Lopuksi annan sinulle kaksi hyödyllistä vinkkiä:

1. Jos vastaavia on, ne on tuotava välittömästi. Milloin tahansa meillä on samanlaisia, ne kannattaa tuoda heti mukaan.

2. Sama pätee murto-osien vähentämiseen: heti kun tulee mahdollisuus pienentää, se on käytettävä. Poikkeuksena ovat murtoluvut, jotka lisäät tai vähennät: jos niillä on samat nimittäjät, vähennys tulee jättää myöhempään.

Tässä on muutamia tehtäviä, jotka voit ratkaista itse:

Ja lupasi heti alussa:

Ratkaisut (lyhyesti):

Jos selvisit ainakin kolmesta ensimmäisestä esimerkistä, olet sitä mieltä, että hallitset aiheen.

Nyt opiskelemaan!

LAUSUN MUUNNOS. YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

Yksinkertaistamisen perustoiminnot:

• Tuo samanlainen: lisätäksesi (vähentääksesi) samankaltaisia ​​termejä, sinun on lisättävä niiden kertoimet ja määritettävä kirjainosa.
• Faktorisointi: yhteisen tekijän poistaminen suluista, soveltaminen jne.
• Fraktion vähentäminen: murto-osan osoittaja ja nimittäjä voidaan kertoa tai jakaa samalla ei-nolla-luvulla, josta murto-osan arvo ei muutu.
  1) osoittaja ja nimittäjä tekijöitä
  2) jos osoittajassa ja nimittäjässä on yhteisiä tekijöitä, ne voidaan yliviivata.

  TÄRKEÄÄ: vain kertoimia voidaan vähentää!

• Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku:
  ;
• Murtolukujen kerto- ja jako:
  ;