Ratkaise järjestelmä kahdella tuntemattomalla - tämä tarkoittaa, että etsitään kaikki muuttujaarvoparit, jotka täyttävät kunkin annetuista yhtälöistä. Jokaista tällaista paria kutsutaan järjestelmäratkaisu.

Esimerkki:
Arvopari \(x=3\);\(y=-1\) on ratkaisu ensimmäiseen järjestelmään, koska korvaamalla nämä kolmiot ja miinus ykköset järjestelmään \(x\) ja \ sijasta (y\), molemmat yhtälöt muuttuvat kelvollisiksi yhtälöiksi \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) \)

Mutta \(x=1\); \(y=-2\) - ei ole ratkaisu ensimmäiseen järjestelmään, koska korvauksen jälkeen toinen yhtälö "ei konvergoidu" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Huomaa, että tällaiset parit kirjoitetaan usein lyhyemmiksi: "\(x=3\); \(y=-1\)" sijaan ne kirjoitetaan seuraavasti: \((3;-1)\).

Kuinka ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

On kolme päätapaa ratkaista järjestelmät lineaariset yhtälöt:

1. Korvausmenetelmä.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\nuoli vasen oikealle\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\nuoli vasen oikealle\)

Korvaa tuloksena oleva lauseke tämän muuttujan sijaan järjestelmän toisella yhtälöllä.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   Toisessa yhtälössä jokainen termi on parillinen, joten yksinkertaistamme yhtälöä jakamalla sen arvolla \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Tämä järjestelmä voidaan ratkaista millä tahansa tavalla, mutta minusta näyttää siltä, ​​​​että korvausmenetelmä on tässä kätevin. Ilmaistaan ​​y toisesta yhtälöstä.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Korvaa \(y\) ensimmäisessä yhtälössä \(6x-13\).
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ensimmäisestä yhtälöstä on tullut normaali. Me ratkaisemme sen.

   Avataan ensin sulut.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Siirretään \(117\) oikealle ja annetaan vastaavat termit.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Jaa ensimmäisen yhtälön molemmat puolet \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hurraa, löysimme \(x\)! Korvaa sen arvo toiseen yhtälöön ja etsi \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftright arrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(tapaukset) )\)

   Kirjoitetaan vastaus ylös.

Analysoimme kahden tyyppisiä yhtälöjärjestelmiä:

1. Järjestelmän ratkaisu korvausmenetelmällä.
2. Järjestelmän ratkaisu järjestelmän yhtälöiden termi kerrallaan yhteenlaskulla (vähennys).

Yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi korvausmenetelmä sinun on noudatettava yksinkertaista algoritmia:
1. ilmaisemme. Mistä tahansa yhtälöstä ilmaisemme yhden muuttujan.
2. Korvaava. Korvaamme saadun arvon toisella yhtälöllä ilmaistun muuttujan sijaan.
3. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön yhdellä muuttujalla. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Ratkaista järjestelmä termi kerrallaan lisäämällä (vähennyslasku) tarve:
1. Valitse muuttuja, jolle teemme samat kertoimet.
2. Lisäämme tai vähennämme yhtälöt, jolloin saamme yhtälön, jossa on yksi muuttuja.
3. Ratkaisemme tuloksena olevan lineaarisen yhtälön. Löydämme ratkaisun järjestelmään.

Järjestelmän ratkaisu on funktion kuvaajien leikkauspisteet.

Tarkastellaan yksityiskohtaisesti järjestelmien ratkaisua esimerkkien avulla.

Esimerkki 1:

Ratkaistaan ​​korvausmenetelmällä

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen korvausmenetelmällä

2x+5y=1 (1 yhtälö)
x-10y=3 (2. yhtälö)

1. Express
Voidaan nähdä, että toisessa yhtälössä on muuttuja x, jonka kerroin on 1, joten käy ilmi, että muuttuja x on helpoin ilmaista toisesta yhtälöstä.
x=3+10v

2. Ilmaisemisen jälkeen korvaamme ensimmäisessä yhtälössä muuttujan x sijasta 3 + 10y.
2(3+10v)+5v=1

3. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön yhdellä muuttujalla.
2(3+10v)+5v=1 (avoimet suluissa)
6+20v+5v=1
25v = 1-6
25v = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2

Yhtälöjärjestelmän ratkaisu on graafien leikkauspisteet, joten meidän on löydettävä x ja y, koska leikkauspiste koostuu x:stä ja y:stä. Etsitään x, ensimmäisessä kappaleessa, jossa ilmaisimme, korvaamme y:n.
x=3+10v
x=3+10*(-0,2)=1

On tapana kirjoittaa ensin pisteet, kirjoitetaan muuttuja x ja toiseksi muuttuja y.
Vastaus: (1; -0,2)

Esimerkki 2:

Ratkaistaan ​​termi kerrallaan yhteenlaskemalla (vähennyslasku).

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen summausmenetelmällä

3x-2y=1 (1 yhtälö)
2x-3y = -10 (2. yhtälö)

1. Valitse muuttuja, oletetaan, että valitsemme x. Ensimmäisessä yhtälössä muuttujan x kerroin on 3, toisessa - 2. Meidän on tehtävä kertoimet samat, tätä varten meillä on oikeus kertoa yhtälöt tai jakaa millä tahansa luvulla. Kerromme ensimmäisen yhtälön 2:lla ja toisen 3:lla ja saamme kokonaiskertoimen 6.

3x-2v=1 |*2
6x-4v = 2

2x-3v = -10 |*3
6x-9v=-30

2. Vähennä ensimmäisestä yhtälöstä toinen päästäksesi eroon muuttujasta x. Ratkaisemme lineaarisen yhtälön.
__6x-4y=2

5v=32 | :5
y = 6,4

3. Etsi x. Korvaamme löydetyn y:n missä tahansa yhtälössä, vaikkapa ensimmäisessä yhtälössä.
3x-2v=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8 = 1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Leikkauspiste on x=4,6; y = 6,4
Vastaus: (4.6; 6.4)

Haluatko valmistautua kokeisiin ilmaiseksi? Tutor verkossa on ilmainen. Ihan totta.

Luotettavampi kuin edellisessä kappaleessa käsitelty graafinen menetelmä.

Korvausmenetelmä

Käytimme tätä menetelmää 7. luokalla lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. 7. luokalla kehitetty algoritmi soveltuu hyvin minkä tahansa kahden yhtälön (ei välttämättä lineaaristen) järjestelmien ratkaisemiseen kahdella muuttujalla x ja y (muuttujat voidaan tietysti merkitä muilla kirjaimilla, millä ei ole väliä). Itse asiassa käytimme tätä algoritmia edellisessä osassa, kun ongelma kaksinumeroinen johti matemaattinen malli, joka on yhtälöjärjestelmä. Ratkaisimme tämän yhtälöjärjestelmän yllä korvausmenetelmällä (katso esimerkki 1 kappaleesta 4).

Algoritmi substituutiomenetelmän käyttämiseen ratkaistaessa kahden yhtälön järjestelmää kahdella muuttujalla x, y.

1. Ilmaise y x:nä järjestelmän yhdestä yhtälöstä.
2. Korvaa tuloksena oleva lauseke y:n sijaan toisella järjestelmän yhtälöllä.
3. Ratkaise tuloksena oleva yhtälö x:lle.
4. Korvaa vuorotellen kukin kolmannessa vaiheessa löydetyn yhtälön juurista x:n sijaan ensimmäisessä vaiheessa saatuun lausekkeeseen y - x.
5. Kirjoita vastaus muistiin arvoparien muodossa (x; y), jotka löytyivät vastaavasti kolmannessa ja neljännessä vaiheessa.

4) Korvaa vuorotellen jokainen y:n löydetty arvo kaavaan x \u003d 5 - Zy. Jos sitten
5) Tietyn yhtälöjärjestelmän parit (2; 1) ja ratkaisut.

Vastaus: (2; 1);

Algebrallinen lisäysmenetelmä

Tämä menetelmä, kuten substituutiomenetelmä, on sinulle tuttu 7. luokan algebrakurssilta, jossa sitä käytettiin lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Muistetaanpa menetelmän ydin seuraava esimerkki.

Esimerkki 2 Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Kerromme kaikki järjestelmän ensimmäisen yhtälön ehdot kolmella ja jätämme toisen yhtälön ennalleen:
Vähennä järjestelmän toinen yhtälö sen ensimmäisestä yhtälöstä:

Kahden yhtälön algebrallisen summauksen seurauksena alkuperäinen järjestelmä tuloksena oleva yhtälö on yksinkertaisempi kuin annetun järjestelmän ensimmäinen ja toinen yhtälö. Tällä yksinkertaisemmalla yhtälöllä meillä on oikeus korvata mikä tahansa tietyn järjestelmän yhtälö, esimerkiksi toinen. Sitten annettu yhtälöjärjestelmä korvataan yksinkertaisemmalla järjestelmällä:

Tämä järjestelmä voidaan ratkaista korvausmenetelmällä. Toisesta yhtälöstä löydämme korvaamalla tämän lausekkeen y:n sijaan järjestelmän ensimmäiseen yhtälöön, saamme

On vielä korvattava löydetyt x:n arvot kaavaan

Jos x = 2, niin

Olemme siis löytäneet kaksi ratkaisua järjestelmään:

Menetelmä uusien muuttujien käyttöön ottamiseksi

Tutustuit 8. luokan algebrakurssilla uuden muuttujan käyttöönoton menetelmään ratkaistessaan rationaalisia yhtälöitä yhdellä muuttujalla. Tämän menetelmän ydin yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa on sama, mutta sen kanssa tekninen kohta visio, on joitakin ominaisuuksia, joista keskustelemme seuraavissa esimerkeissä.

Esimerkki 3 Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Otetaan käyttöön uusi muuttuja. Sitten järjestelmän ensimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen yksinkertainen muoto: Ratkaistaan ​​tämä yhtälö muuttujalle t:

Molemmat arvot täyttävät ehdon ja ovat siksi juuria rationaalinen yhtälö muuttujalla t. Mutta se tarkoittaa joko mistä löydämme, että x = 2y, tai
Siten uuden muuttujan käyttöönoton menetelmää käyttämällä onnistuimme ikään kuin "kerroittamaan" järjestelmän ensimmäisen yhtälön, joka on ulkonäöltään melko monimutkainen, kahdeksi yksinkertaisemmaksi yhtälöksi:

x = 2 y; y - 2x.

Mitä seuraavaksi? Ja sitten kumpikin sai yksinkertaiset yhtälöt on tarpeen tarkastella vuorostaan ​​järjestelmässä yhtälöllä x 2 - y 2 \u003d 3, jota emme ole vielä muistaneet. Toisin sanoen ongelma rajoittuu kahden yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen:

On tarpeen löytää ratkaisut ensimmäiselle järjestelmälle, toiselle järjestelmälle ja sisällyttää vastaukseen kaikki tuloksena olevat arvoparit. Ratkaistaan ​​ensimmäinen yhtälöjärjestelmä:

Käytetään substituutiomenetelmää, varsinkin kun tässä on kaikki valmiina: korvaamme lausekkeen 2y x:n sijaan järjestelmän toiseen yhtälöön. Saada

Koska x \u003d 2y, löydämme vastaavasti x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Siten annetulle järjestelmälle saadaan kaksi ratkaisua: (2; 1) ja (-2; -1). Ratkaistaan ​​toinen yhtälöjärjestelmä:

Käytetään taas korvausmenetelmää: korvataan lauseke 2x y:n sijaan järjestelmän toisessa yhtälössä. Saada

Tällä yhtälöllä ei ole juuria, mikä tarkoittaa, että yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja. Näin ollen vain ensimmäisen järjestelmän ratkaisut tulisi sisällyttää vastaukseen.

Vastaus: (2; 1); (-2;-1).

Menetelmää uusien muuttujien käyttöönottamiseksi kahden muuttujan yhtälön järjestelmien ratkaisemisessa käytetään kahdessa versiossa. Ensimmäinen vaihtoehto: yksi uusi muuttuja otetaan käyttöön ja sitä käytetään vain yhdessä järjestelmän yhtälössä. Juuri näin tapahtui esimerkissä 3. Toinen vaihtoehto: kaksi uutta muuttujaa otetaan käyttöön ja niitä käytetään samanaikaisesti järjestelmän molemmissa yhtälöissä. Näin tapahtuu esimerkissä 4.

Esimerkki 4 Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Otetaan käyttöön kaksi uutta muuttujaa:

Opimme sen sitten

Näin voit kirjoittaa uudelleen tämä järjestelmä paljon yksinkertaisemmassa muodossa, mutta suhteessa uusiin muuttujiin a ja b:

Koska a \u003d 1, niin yhtälöstä a + 6 \u003d 2 löydämme: 1 + 6 \u003d 2; 6 = 1. Siten muuttujille a ja b saimme yhden ratkaisun:

Palataksemme muuttujiin x ja y, saadaan yhtälöjärjestelmä

Tämän järjestelmän ratkaisemiseksi käytämme menetelmää algebrallinen lisäys:

Siitä lähtien yhtälöstä 2x + y = 3 löydämme:
Siten muuttujille x ja y saimme yhden ratkaisun:

Päätetään tämä osio lyhyeen mutta melko vakavaan teoreettiseen keskusteluun. Onko sinulla jo kokemusta ratkaisemisesta? erilaisia ​​yhtälöitä: lineaarinen, neliö, rationaalinen, irrationaalinen. Tiedät, että yhtälön ratkaisemisen pääidea on siirtyä asteittain yhtälöstä toiseen, yksinkertaisempaan, mutta annettua vastaavaan. Edellisessä osiossa esittelimme kahden muuttujan yhtälöiden ekvivalenssin käsitteen. Tätä käsitettä käytetään myös yhtälöjärjestelmissä.

Määritelmä.

Kahta yhtälöjärjestelmää, jossa on muuttujat x ja y, kutsutaan ekvivalenteiksi, jos niillä on samat ratkaisut tai jos molemmilla järjestelmillä ei ole ratkaisuja.

Kaikki kolme tässä osiossa käsittelemäämme menetelmää (korvaus, algebrallinen yhteenlasku ja uusien muuttujien käyttöönotto) ovat ekvivalenssin kannalta täysin oikeita. Toisin sanoen näitä menetelmiä käyttämällä korvaamme yhden yhtälöjärjestelmän toisella, yksinkertaisemmalla, mutta alkuperäistä järjestelmää vastaavalla.

Graafinen menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen

Olemme jo oppineet ratkaisemaan yhtälöjärjestelmiä sellaisilla yleisillä ja luotettavilla tavoilla kuin substituutiomenetelmä, algebrallinen yhteenlasku ja uusien muuttujien käyttöönotto. Ja nyt muistetaan menetelmä, jota opit jo edellisellä oppitunnilla. Kerrataanpa siis, mitä tiedät graafinen menetelmä ratkaisuja.

Menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi graafisesti on kaavion rakentaminen kullekin tietylle yhtälölle, jotka sisältyvät tähän järjestelmään ja ovat yhdessä koordinaattitaso, ja myös missä on löydettävä näiden kaavioiden pisteiden leikkauspisteet. Tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi ovat tämän pisteen koordinaatit (x; y).

Se on syytä muistaa grafiikkajärjestelmä yhtälöillä on yleensä jompikumpi ainutlaatuinen oikea päätös, tai ääretön joukko ratkaisuja tai niillä ei ole ratkaisuja ollenkaan.

Tarkastellaan nyt lähemmin jokaista näistä ratkaisuista. Ja niin, yhtälöjärjestelmällä voi olla ainoa päätös jos suorat, jotka ovat järjestelmän yhtälöiden kuvaajia, leikkaavat. Jos nämä suorat ovat yhdensuuntaisia, tällaisella yhtälöjärjestelmällä ei ole lainkaan ratkaisuja. Jos järjestelmän yhtälöiden suorien kaavioiden yhteensopivuus on, tällainen järjestelmä antaa sinun löytää monia ratkaisuja.

No, katsotaanpa nyt algoritmia, jolla ratkaistaan ​​kahden yhtälön systeemi, jossa on 2 tuntematonta, graafisella menetelmällä:

Ensin rakennetaan ensin kaavio 1. yhtälöstä;
Toinen vaihe on piirtää kaavio, joka liittyy toiseen yhtälöön;
Kolmanneksi meidän on löydettävä kaavioiden leikkauspisteet.
Ja seurauksena saamme kunkin leikkauspisteen koordinaatit, jotka ovat ratkaisu yhtälöjärjestelmään.

Tarkastellaan tätä menetelmää yksityiskohtaisemmin esimerkin avulla. Meille annetaan yhtälöjärjestelmä ratkaistavaksi:

Yhtälöiden ratkaiseminen

1. Ensin rakennamme aikataulun annettu yhtälö: x2+y2=9.

Mutta on huomattava, että tämä yhtälökaavio on ympyrä, jonka keskipiste on origossa, ja sen säde on yhtä suuri kuin kolme.

2. Seuraava vaiheemme on piirtää yhtälö, kuten: y = x - 3.

Tässä tapauksessa meidän on rakennettava suora ja löydettävä pisteet (0;−3) ja (3;0).

3. Katsotaan mitä saamme. Näemme, että suora leikkaa ympyrän kahdessa pisteestään A ja B.

Nyt etsimme näiden pisteiden koordinaatteja. Näemme, että koordinaatit (3;0) vastaavat pistettä A ja koordinaatit (0;−3) vastaavat pistettä B.

Ja mitä saamme tuloksena?

Suoran ja ympyrän leikkauspisteessä saadut luvut (3;0) ja (0;−3) ovat juuri järjestelmän molempien yhtälöiden ratkaisuja. Ja tästä seuraa, että nämä luvut ovat myös tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisuja.

Eli tämän ratkaisun vastaus on luvut: (3;0) ja (0;−3).

Vastaanotetut yhtälöjärjestelmät laaja sovellus talouden alalla matemaattinen mallinnus erilaisia ​​prosesseja. Esimerkiksi tuotannon johtamisen ja suunnittelun, logistiikkareittien (kuljetusongelma) tai laitteiden sijoittamisen ongelmia ratkaistaessa.

Yhtälöjärjestelmiä ei käytetä vain matematiikan alalla, vaan myös fysiikassa, kemiassa ja biologiassa populaation koon selvittämiseen liittyviä ongelmia ratkaistaessa.

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on termi kahdelle tai useammalle yhtälölle, joissa on useita muuttujia, joille on tarpeen löytää yhteinen ratkaisu. Sellainen lukujono, jonka kaikista yhtälöistä tulee todellisia yhtäläisyyksiä tai todistetaan, että sarjaa ei ole olemassa.

Lineaarinen yhtälö

Yhtälöitä, joiden muoto on ax+by=c, kutsutaan lineaariseksi. Nimet x, y ovat tuntemattomia, joiden arvo on löydettävä, b, a ovat muuttujien kertoimet, c on yhtälön vapaa termi.
Yhtälön ratkaiseminen piirtämällä sen kuvaaja näyttää suoralta, jonka kaikki pisteet ovat polynomin ratkaisuja.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien tyypit

Yksinkertaisimmat ovat esimerkkejä lineaarisista yhtälöjärjestelmistä, joissa on kaksi muuttujaa X ja Y.

F1(x, y) = 0 ja F2(x, y) = 0, missä F1,2 ovat funktioita ja (x, y) ovat funktiomuuttujia.

Ratkaise yhtälöjärjestelmä - se tarkoittaa sellaisten arvojen (x, y) löytämistä, joille järjestelmästä tulee todellinen yhtäläisyys, tai sen toteamista, ettei x:n ja y:n ole sopivia arvoja.

Pistekoordinaateiksi kirjoitettua arvoparia (x, y) kutsutaan lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisuksi.

Jos järjestelmillä on yksi yhteinen ratkaisu tai ratkaisua ei ole, niitä kutsutaan vastaaviksi.

Homogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät ovat järjestelmiä oikea osa joka on yhtä suuri kuin nolla. Jos "yhtä"-merkin jälkeisellä oikealla osalla on arvo tai se ilmaistaan ​​funktiolla, tällainen järjestelmä ei ole homogeeninen.

Muuttujien lukumäärä voi olla paljon enemmän kuin kaksi, silloin meidän pitäisi puhua esimerkistä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä, jossa on kolme muuttujaa tai enemmän.

Järjestelmien edessä koululaiset olettavat, että yhtälöiden lukumäärän on välttämättä oltava sama kuin tuntemattomien lukumäärä, mutta näin ei ole. Yhtälöiden määrä järjestelmässä ei riipu muuttujista, niitä voi olla mielivaltaisen paljon.

Yksinkertaisia ​​ja monimutkaisia ​​menetelmiä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen

Ei ole yhteistä analyyttinen menetelmä samankaltaisten järjestelmien ratkaisuja, kaikki menetelmät perustuvat numeerisiin ratkaisuihin. Koulun matematiikan kurssilla kuvataan yksityiskohtaisesti sellaiset menetelmät kuin permutaatio, algebrallinen yhteenlasku, substituutio sekä graafinen ja matriisimenetelmä, ratkaisu Gaussin menetelmällä.

Ratkaisumenetelmien opetuksen päätehtävä on opettaa analysoimaan järjestelmää oikein ja löytämään optimaalinen algoritmi ratkaisuja jokaiselle esimerkille. Tärkeintä ei ole muistaa kunkin menetelmän sääntö- ja toimintajärjestelmää, vaan ymmärtää tietyn menetelmän soveltamisen periaatteet.

Esimerkkejä ohjelman 7. luokan lineaariyhtälöjärjestelmistä yläaste melko yksinkertainen ja hyvin yksityiskohtaisesti selitetty. Kaikissa matematiikan oppikirjoissa tähän osioon on kiinnitetty riittävästi huomiota. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien esimerkkien ratkaisua Gaussin ja Cramerin menetelmällä tutkitaan tarkemmin korkeakoulujen ensimmäisillä kursseilla.

Järjestelmien ratkaisu korvausmenetelmällä

Korvausmenetelmän toiminnot tähtäävät yhden muuttujan arvon ilmaisemiseen toiseen. Lauseke korvataan jäljellä olevalla yhtälöllä, jonka jälkeen se pelkistetään yhdeksi muuttujaksi. Toimenpide toistetaan riippuen järjestelmän tuntemattomien määrästä

Otetaan esimerkki 7. luokan lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä korvausmenetelmällä:

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, muuttuja x ilmaistiin kaavalla F(X) = 7 + Y. Tuloksena oleva lauseke, joka korvattiin järjestelmän 2. yhtälöllä X:n tilalla, auttoi saamaan yhden muuttujan Y 2. yhtälöön . Ratkaisu tämä esimerkki ei aiheuta vaikeuksia ja mahdollistaa Y-arvon saamisen.Viimeinen vaihe on vastaanotettujen arvojen tarkistaminen.

Aina ei ole mahdollista ratkaista esimerkkiä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä substituutiolla. Yhtälöt voivat olla monimutkaisia ​​ja muuttujan ilmaisu toiseksi tuntemattomaksi tulee olemaan liian hankalaa jatkolaskutoimille. Kun järjestelmässä on enemmän kuin 3 tuntematonta, korvausratkaisu on myös epäkäytännöllinen.

Lineaarisen epähomogeenisen yhtälöjärjestelmän esimerkin ratkaisu:

Ratkaisu käyttämällä algebrallista summaa

Kun etsitään ratkaisua järjestelmiin summausmenetelmällä, termi kerrallaan yhteenlaskemalla ja kertomalla yhtälöt erilaisia ​​numeroita. lopullinen päämäärä matemaattisia operaatioita on yhtälö, jossa on yksi muuttuja.

Sovelluksia varten tätä menetelmää vaatii harjoittelua ja tarkkailua. Ei ole helppoa ratkaista lineaarista yhtälöjärjestelmää summausmenetelmällä, jossa muuttujia on 3 tai enemmän. Algebrallinen yhteenlasku on hyödyllinen, kun yhtälöt sisältävät murto- ja desimaalilukuja.

Ratkaisun toimintoalgoritmi:

1. Kerro yhtälön molemmat puolet jollakin luvulla. Tuloksena aritmeettinen operaatio yhden muuttujan kertoimista on oltava yhtä suuri kuin 1.
2. Lisää tuloksena oleva lauseke termi kerrallaan ja etsi yksi tuntemattomista.
3. Korvaa tuloksena oleva arvo järjestelmän 2. yhtälöön löytääksesi jäljellä olevan muuttujan.

Ratkaisumenetelmä ottamalla käyttöön uusi muuttuja

Uusi muuttuja voidaan ottaa käyttöön, jos järjestelmän on löydettävä ratkaisu enintään kahdelle yhtälölle, myös tuntemattomien lukumäärä saa olla enintään kaksi.

Menetelmää käytetään yksinkertaistamaan yhtä yhtälöistä ottamalla käyttöön uusi muuttuja. Uusi yhtälö ratkaistaan ​​syötetyn tuntemattoman suhteen ja saatua arvoa käytetään alkuperäisen muuttujan määrittämiseen.

Esimerkki osoittaa, että ottamalla käyttöön uusi muuttuja t oli mahdollista pelkistää järjestelmän 1. yhtälö standardiin neliön trinomi. Voit ratkaista polynomin etsimällä diskriminantin.

Diskriminantin arvo on löydettävä tuttu kaava: D = b2 - 4*a*c, missä D on haluttu diskriminantti, b, a, c ovat polynomin kertoimet. AT annettu esimerkki a = 1, b = 16, c = 39, joten D = 100. Jos diskriminantti on suurempi kuin nolla, on olemassa kaksi ratkaisua: t = -b±√D / 2*a, jos diskriminantti alle nolla, silloin on vain yksi ratkaisu: x= -b / 2*a.

Ratkaisu syntyneille järjestelmille löydetään summausmenetelmällä.

Visuaalinen menetelmä järjestelmien ratkaisemiseen

Sopii järjestelmiin, joissa on 3 yhtälöä. Menetelmä on rakentaa eteenpäin koordinaattiakseli kaavioita jokaisesta järjestelmään sisältyvästä yhtälöstä. Käyrien ja tulee leikkauspisteiden koordinaatit yhteinen ratkaisu järjestelmät.

Graafisessa menetelmässä on useita vivahteita. Harkitse useita esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta visuaalisella tavalla.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, kullekin riville rakennettiin kaksi pistettä, muuttujan x arvot valittiin mielivaltaisesti: 0 ja 3. X:n arvojen perusteella löydettiin y:n arvot: 3 ja 0. Pisteet koordinaatilla (0, 3) ja (3, 0) merkittiin kuvaajaan ja yhdistettiin viivalla.

Vaiheet on toistettava toiselle yhtälölle. Viivojen leikkauspiste on järjestelmän ratkaisu.

Seuraava esimerkki on löydettävä graafinen ratkaisu lineaariset yhtälöt: 0,5x-y+2=0 ja 0,5x-y-1=0.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, järjestelmällä ei ole ratkaisua, koska graafit ovat yhdensuuntaisia ​​eivätkä leikkaa koko pituudeltaan.

Esimerkkien 2 ja 3 järjestelmät ovat samankaltaisia, mutta rakennettaessa käy ilmi, että niiden ratkaisut ovat erilaisia. On syytä muistaa, että aina ei voida sanoa, onko järjestelmällä ratkaisu vai ei, aina on tarpeen rakentaa graafi.

Matrix ja sen lajikkeet

Matriiseja käytetään lyhenne lineaariset yhtälöt. Taulukkoa kutsutaan matriisiksi. erikoislaatuinen täynnä numeroita. n*m:ssä on n - riviä ja m - saraketta.

Matriisi on neliö, kun sarakkeiden ja rivien määrä on yhtä suuri. Matriisivektori on yksisarakkeinen matriisi, jossa on äärettömän mahdollinen määrä rivejä. Matriisi, jossa yksiköt pitkin yhtä lävistäjä ja muita nolla elementtiä kutsutaan yksiköksi.

Käänteismatriisi on sellainen matriisi, jolla kerrottuna alkuperäinen muuttuu yksikkömatriisiksi, tällainen matriisi on olemassa vain alkuperäiselle neliömäiselle.

Säännöt yhtälöjärjestelmän muuntamiseksi matriisiksi

Mitä tulee yhtälöjärjestelmiin, yhtälöiden kertoimet ja vapaat jäsenet kirjoitetaan matriisin numeroina, yksi yhtälö on yksi matriisin rivi.

Matriisiriviä kutsutaan nollasta poikkeavaksi, jos vähintään yksi rivin elementti ei ole sitä nolla. Siksi, jos jossakin yhtälössä muuttujien lukumäärä vaihtelee, puuttuvan tuntemattoman tilalle on syötettävä nolla.

Matriisin sarakkeiden on vastattava tarkasti muuttujia. Tämä tarkoittaa, että muuttujan x kertoimet voidaan kirjoittaa vain yhteen sarakkeeseen, esimerkiksi ensimmäinen, tuntemattoman y:n kerroin - vain toiseen.

Kun matriisia kerrotaan, kaikki matriisin elementit kerrotaan peräkkäin luvulla.

Vaihtoehdot käänteismatriisin löytämiseksi

Kaava käänteismatriisin löytämiseksi on melko yksinkertainen: K -1 = 1 / |K|, missä K -1 - käänteinen matriisi, ja |K| - matriisideterminantti. |K| ei saa olla nolla, niin järjestelmällä on ratkaisu.

Determinantti on helppo laskea kaksi kertaa kaksi matriisille, tarvitsee vain kertoa alkiot diagonaalisesti toisillaan. "Kolme kertaa kolme" -vaihtoehdolle on kaava |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Voit käyttää kaavaa tai muistaa, että jokaisesta rivistä ja sarakkeesta on otettava yksi elementti, jotta elementtien sarake- ja rivinumerot eivät toistu tuotteessa.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien esimerkkien ratkaisu matriisimenetelmällä

Ratkaisun matriisimenetelmän avulla voidaan vähentää hankalia merkintöjä ratkaistaessa järjestelmiä Suuri määrä muuttujat ja yhtälöt.

Esimerkissä a nm ovat yhtälöiden kertoimet, matriisi on vektori x n ovat muuttujat ja b n ovat vapaita termejä.

Systeemien ratkaisu Gaussin menetelmällä

AT korkeampi matematiikka Gauss-menetelmää tutkitaan yhdessä Cramer-menetelmän kanssa ja ratkaisun löytämistä järjestelmiin kutsutaan Gauss-Cramer-ratkaisumenetelmäksi. Näitä menetelmiä käytetään etsimiseen järjestelmän muuttujat jossa on paljon lineaarisia yhtälöitä.

Gaussin menetelmä on hyvin samanlainen kuin substituutio- ja algebrallinen summausratkaisu, mutta on systemaattisempi. Koulukurssilla Gaussin ratkaisua käytetään 3 ja 4 yhtälöjärjestelmille. Menetelmän tarkoituksena on saada järjestelmä käänteisen puolisuunnikkaan muotoon. tapa algebralliset muunnokset ja substituutiot on yhden muuttujan arvo yhdessä järjestelmän yhtälöistä. Toinen yhtälö on lauseke, jossa on 2 tuntematonta ja 3 ja 4 - vastaavasti 3 ja 4 muuttujaa.

Kun järjestelmä on saatettu kuvattuun muotoon, jatkoratkaisu pelkistetään tunnettujen muuttujien peräkkäiseen korvaamiseen järjestelmän yhtälöihin.

AT koulun oppikirjoja arvosanalle 7 kuvataan esimerkki ratkaisusta Gaussin menetelmällä seuraavasti:

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, vaiheessa (3) saatiin kaksi yhtälöä 3x 3 -2x 4 =11 ja 3x 3 +2x 4 =7. Minkä tahansa yhtälön ratkaisu antaa sinun selvittää yhden muuttujista x n.

Lause 5, joka tekstissä mainitaan, sanoo, että jos jokin järjestelmän yhtälöistä korvataan vastaavalla, niin tuloksena oleva järjestelmä on myös ekvivalentti alkuperäisen kanssa.

Gaussin menetelmää on opiskelijoiden vaikea ymmärtää lukio, mutta on yksi suurimmista mielenkiintoisia tapoja kehittää ohjelmaan ilmoittautuneiden lasten kekseliäisyyttä syvällinen tutkimus matematiikan ja fysiikan tunneilla.

Tallennuslaskelmien helpottamiseksi on tapana tehdä seuraavaa:

Yhtälökertoimet ja vapaat termit kirjoitetaan matriisin muotoon, jossa jokainen matriisin rivi vastaa yhtä järjestelmän yhtälöistä. erottaa yhtälön vasemman puolen oikeasta. Roomalaiset numerot osoittavat yhtälöiden numeroita järjestelmässä.

Ensin he kirjoittavat muistiin matriisin, jonka kanssa työskentelevät, ja sitten kaikki yhdellä rivillä suoritetut toimet. Tuloksena oleva matriisi kirjoitetaan "nuoli" -merkin jälkeen ja jatka tarvittavien suorittamista algebralliset toimet kunnes tulos saavutetaan.

Tämän seurauksena tulisi saada matriisi, jossa yksi diagonaaleista on 1 ja kaikki muut kertoimet ovat nolla, eli matriisi pelkistetään yhteen muotoon. Emme saa unohtaa tehdä laskelmia yhtälön kummankin puolen luvuilla.

Tämä merkintä on vähemmän hankala ja sallii lukuisten tuntemattomien luetteloimisen välttää häiritsevän huomion.

Minkä tahansa ratkaisumenetelmän ilmainen soveltaminen vaatii huolellisuutta ja jonkin verran kokemusta. Kaikkia menetelmiä ei käytetä. Jotkut tavat löytää ratkaisuja ovat parempia tietyllä ihmisen toiminnan alueella, kun taas toiset ovat olemassa oppimista varten.