चतुष्कोषएक आकृति कहलाती है जिसमें चार कोने होते हैं, जिनमें से तीन एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और उन्हें जोड़ने वाले खंड होते हैं।

कई चतुर्भुज हैं। इनमें समांतर चतुर्भुज, वर्ग, समचतुर्भुज, ट्रेपेज़ॉइड शामिल हैं। खोजें पक्षों पर पाया जा सकता है, आसानी से विकर्णों पर गणना की जाती है। एक मनमाना चतुर्भुज में, आप चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को प्राप्त करने के लिए सभी तत्वों का उपयोग भी कर सकते हैं। सबसे पहले, विकर्ण के संदर्भ में चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र पर विचार करें। इसका उपयोग करने के लिए, आपको विकर्णों की लंबाई और उनके बीच के तीव्र कोण के आकार की आवश्यकता होगी। आवश्यक डेटा को जानने के बाद, आप निम्न सूत्र का उपयोग करके एक चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का एक उदाहरण ले सकते हैं:

विकर्णों का आधा उत्पाद और उनके बीच के तीव्र कोण की ज्या चतुर्भुज का क्षेत्रफल है। एक विकर्ण के माध्यम से चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि दो विकर्णों वाला एक चतुर्भुज d1 =5 सेमी;d2 =4cm दिया गया है। तेज़ कोनेउनके बीच α = 30° है। विकर्णों के संदर्भ में चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र आसानी से ज्ञात स्थितियों पर लागू होता है। आइए डेटा प्लग इन करें:

विकर्णों के माध्यम से चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम समझते हैं कि सूत्र गणना के समान है।

भुजाओं द्वारा चतुर्भुज का क्षेत्रफल

जब आकृति के पक्षों की लंबाई ज्ञात होती है, तो आप भुजाओं के साथ चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं। इन गणनाओं को लागू करने के लिए, आपको आकृति की अर्ध-परिधि ज्ञात करने की आवश्यकता होगी। हमें याद है कि परिधि सभी पक्षों की लंबाई का योग है। अर्ध-परिधि परिधि का आधा है। ए, बी, सी, डी के साथ हमारे आयत में, अर्ध-परिधि सूत्र इस तरह दिखेगा:
पक्षों को जानने के बाद, हम सूत्र प्राप्त करते हैं। एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल अर्ध-परिधि और प्रत्येक पक्ष की लंबाई के बीच के अंतर के गुणनफल का मूल है:

भुजाओं के माध्यम से चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार करें। भुजाओं a = 5 सेमी, b = 4 सेमी, c = 3 सेमी, d = 6 सेमी वाला एक मनमाना चतुर्भुज दिया गया है। सबसे पहले, अर्ध-परिधि ज्ञात करें:

क्षेत्र की गणना करने के लिए पाए गए मान का उपयोग करें:

निर्देशांक द्वारा दिए गए चतुर्भुज का क्षेत्रफल

निर्देशांक द्वारा चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए सूत्र का उपयोग उन आंकड़ों के क्षेत्र की गणना करने के लिए किया जाता है जो समन्वय प्रणाली में स्थित हैं। इस मामले में, पहले आपको आवश्यक पक्षों की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। चतुर्भुज के प्रकार के आधार पर, सूत्र स्वयं भी बदल सकता है। XY समन्वय प्रणाली में स्थित एक वर्ग का उपयोग करके चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

XY निर्देशांक प्रणाली में स्थित एक वर्ग ABCD दिया गया है। आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि शीर्षों के निर्देशांक A (2;10) हैं; बी (10; 8); सी (8; 0); डी (0; 2)।

हम जानते हैं कि आकृति के सभी पक्ष समान हैं, और एक वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र सूत्र द्वारा पाया जाता है:
आइए पक्षों में से एक को खोजें, उदाहरण के लिए, AB:
सूत्र में मान बदलें:
हम जानते हैं कि सभी भुजाएँ समान हैं। हम क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र में मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि कई खंड क्रमिक रूप से विमान पर खींचे जाते हैं ताकि प्रत्येक अगला उस स्थान पर शुरू हो जहां पिछले एक समाप्त हो गया था, तो एक टूटी हुई रेखा प्राप्त होगी। इन खंडों को कड़ियाँ कहा जाता है, और वे स्थान जहाँ वे प्रतिच्छेद करते हैं, शीर्ष कहलाते हैं। जब अंतिम खंड का अंत साथ प्रतिच्छेद करता है प्रस्थान बिंदूसबसे पहले, आपको विमान को दो भागों में विभाजित करने वाली एक बंद टूटी हुई रेखा मिलती है। उनमें से एक परिमित है, और दूसरा अनंत है।

एक साधारण बंद रेखा, इसके साथ संलग्न विमान के हिस्से के साथ (जो परिमित है) बहुभुज कहलाता है। खंड भुजाएँ हैं, और उनके द्वारा बनाए गए कोण शीर्ष हैं। किसी भी बहुभुज की भुजाओं की संख्या उसके शीर्षों की संख्या के बराबर होती है। तीन भुजाओं वाली आकृति त्रिभुज कहलाती है और चार भुजाएँ चतुर्भुज कहलाती हैं। बहुभुज को संख्यात्मक रूप से इस तरह के मान से चिह्नित किया जाता है जैसे कि क्षेत्र, जो आकृति के आकार को दर्शाता है। चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? यह गणित की शाखा - ज्यामिति द्वारा पढ़ाया जाता है।

एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि यह किस प्रकार का है - उत्तल या गैर-उत्तल? पूरा एक तरफ अपेक्षाकृत सीधा है (और इसमें आवश्यक रूप से इसका एक पक्ष शामिल है)। इसके अलावा, इस तरह के चतुर्भुज होते हैं जैसे समांतर चतुर्भुज जोड़ियों में समान और समानांतर होते हैं विपरीत दिशाएं(इसकी किस्में: समकोण के साथ एक आयत, समान भुजाओं वाला एक समचतुर्भुज, सभी समकोणों वाला एक वर्ग और चार समान भुजाएँ), दो समानांतर विपरीत भुजाओं वाला एक समलम्बाकार और दो जोड़े वाला एक त्रिभुज आसन्न पक्ष, जो बराबर हैं।

प्रयोग करके किसी बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है सामान्य विधि, जो इसे त्रिभुजों में तोड़ना है, प्रत्येक के लिए क्षेत्रफल की गणना करें मनमाना त्रिकोणऔर परिणाम जोड़ें। किसी भी उत्तल चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है, गैर-उत्तल - दो या तीन में; इस मामले में, इसे परिणाम के योग और अंतर से जोड़ा जा सकता है। किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना आधार (a) और आधार पर खींची गई ऊँचाई (ħ) के आधे उत्पाद के रूप में की जाती है। गणना के लिए इस मामले में उपयोग किया जाने वाला सूत्र इस प्रकार लिखा गया है: S \u003d ½। एक। एच।

चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, उदाहरण के लिए, एक समांतर चतुर्भुज? आपको आधार की लंबाई (ए), भुजा की लंबाई (ƀ) जानने की जरूरत है और आधार और भुजा (sinα) द्वारा गठित कोण α की ज्या का पता लगाना है, गणना सूत्र इस तरह दिखेगा: S = a . ƀ. sinα। चूँकि कोण α की ज्या समांतर चतुर्भुज के आधार और इसकी ऊँचाई (ħ = ƀ) का गुणनफल है, रेखा आधार के लंबवत, तो इसके क्षेत्रफल की गणना इसके आधार को ऊंचाई से गुणा करके की जाती है: S = a। एच। यह सूत्र एक समचतुर्भुज और एक आयत के क्षेत्रफल की गणना के लिए भी उपयुक्त है। आयत के बाद से ओरƀ ऊंचाई ħ के साथ मेल खाता है, तो इसका क्षेत्रफल सूत्र S = a द्वारा परिकलित किया जाता है। ƀ. क्योंकि a = ƀ इसकी भुजा के वर्ग के बराबर होगा: S = a। ए = ए²। ऊंचाई से गुणा करके इसकी भुजाओं के आधे योग के रूप में गणना की जाती है (यह समलंब के आधार पर लंबवत खींचा जाता है): S = ½। (ए + ƀ)। एच।

एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें यदि इसके पक्षों की लंबाई अज्ञात है, लेकिन इसके विकर्ण (ई) और (एफ) ज्ञात हैं, साथ ही कोण α की साइन भी है? इस मामले में, क्षेत्रफल की गणना इसके विकर्णों (बहुभुज के शीर्षों को जोड़ने वाली रेखाएं) के गुणनफल को कोण α की साइन से गुणा करके की जाती है। सूत्र को इस रूप में लिखा जा सकता है: S = ½। (ई। एफ)। sinα। विशेष रूप से, इस मामले में यह विकर्णों के आधे उत्पाद के बराबर होगा (रंबों के विपरीत कोनों को जोड़ने वाली रेखाएं): एस = ½। (ई। च)।

चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें जो समांतर चतुर्भुज या समलंब नहीं है, इसे आमतौर पर एक मनमाना चतुर्भुज कहा जाता है। इस तरह की आकृति का क्षेत्रफल इसकी अर्ध-परिधि के रूप में व्यक्त किया जाता है (पी दो पक्षों का योग है सामान्य शीर्ष), भुजाएँ a, ƀ, c, d और दो का योग विपरीत कोने(α + β): एस = √ [(Ρ - ए) । (Ρ - ƀ) . (Ρ - सी) . (Ρ - डी) - ए। ƀ. सी। डी। cos² ½ (α + β)]।

यदि एक φ \u003d 180 °, तो इसके क्षेत्र की गणना करने के लिए, ब्रह्मगुप्त (एक भारतीय खगोलशास्त्री और गणितज्ञ जो हमारे युग की छठी-सातवीं शताब्दी में रहते थे) के सूत्र का उपयोग करें: S \u003d √ [(Ρ - a) । (Ρ - ƀ) . (Ρ - सी) . (Ρ - डी)]। यदि चतुर्भुज एक वृत्त से घिरा है, तो (a + c = ƀ + d), और इसके क्षेत्रफल की गणना की जाती है: S = √[ a । ƀ. सी। डी] । पाप ½ (α + β)। यदि एक चतुर्भुज एक वृत्त से घिरा हुआ है और दूसरे वृत्त में अंकित है, तो क्षेत्रफल की गणना करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है: S = √।

मैं प्रस्तावना

यह दुर्भाग्य है: दो सप्ताह बीमार रहने के बाद, आप स्कूल आए और पता चला कि आपने बहुत कुछ खो दिया है महत्वपूर्ण विषय, कार्य जिसके लिए ग्रेड 9 में परीक्षा होगी - "त्रिकोण, चतुर्भुज और उनका क्षेत्र।" यहाँ ज्यामिति शिक्षक के पास प्रश्नों के साथ भागना होगा: "चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?" लेकिन आधे छात्र शिक्षकों से संपर्क करने से डरते हैं ताकि उन्हें पीछे न माना जाए, और दूसरी छमाही को शिक्षकों से "मदद" मिलती है, जैसे "पाठ्यपुस्तक में देखो, वहां सब कुछ लिखा है!" या "आपको क्लास नहीं छोड़नी चाहिए थी!" लेकिन पाठ्यपुस्तक में त्रिभुजों और चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के नियमों के बारे में बिल्कुल भी जानकारी नहीं है। और पाठ छूट गए अच्छा कारणडॉक्टर का नोट है। लेकिन कई शिक्षक इन तर्कों को छोड़ देंगे। बेशक, उन्हें समझा जा सकता है: उन छात्रों के सिर में पाठ सामग्री को अतिरिक्त रूप से अंकित करने के लिए उन्हें भुगतान नहीं किया जाता है जो कुछ भी नहीं समझते हैं। कई छात्र इस बेकार के काम को छोड़ देते हैं और एक साल बाद त्रिकोण और चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या के लिए दस अंक प्राप्त किए बिना परीक्षा में असफल हो जाते हैं। और केवल कुछ ही पुस्तकालयों और परिचितों के पास इस प्रश्न के साथ जाते हैं: "चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?" ए भिन्न लोगऔर किताबें अलग-अलग उत्तर देती हैं, और नियमों का बड़ा भ्रम है। नीचे मैं त्रिभुजों और चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के मुख्य तरीके बताऊँगा।

द्वितीय। चतुर्भुजों

आइए चतुर्भुजों से शुरू करें। स्कूलों में और परीक्षाओं में ही उत्तल चतुर्भुजतो चलिए उनके बारे में बात करते हैं। शिक्षा के मध्य स्तर पर समांतर चतुर्भुजों और समलम्ब चतुर्भुजों के क्षेत्रों का अध्ययन किया जाता है। समांतर चतुर्भुज कई प्रकार के होते हैं: एक आयत, एक वर्ग, एक रोम्बस और एक मनमाना समांतर चतुर्भुज, जिसमें केवल इसकी मुख्य विशेषताएं देखी जाती हैं: पक्ष समानांतर और जोड़े में समान होते हैं, आसन्न कोणों का योग 180 o होता है। लेकिन इन सभी आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधियाँ भिन्न-भिन्न हैं। आइए प्रत्येक पर अलग से विचार करें।

1. आयत

आयत का S सूत्र द्वारा पाया जाता है: एस = ए * बी, जहांए- क्षैतिज पक्ष, बी- लंबवत पक्ष। *

2. चौकों का क्षेत्रफल

वर्ग का S सूत्र द्वारा पाया जाता है: एस = ए * ए, जहांए- एक वर्ग के किनारे।

3. समचतुर्भुजों का क्षेत्रफल

समचतुर्भुज का S सूत्र द्वारा पाया जाता है: एस \u003d 0.5 * (डी 1 * डी 2), जहांd1- बड़ा विकर्ण, ** d2- छोटा विकर्ण।

4. एक मनमाना समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक मनमाने समांतर चतुर्भुज का S सूत्र द्वारा पाया जाता है: एस = ए * एच ए, ए- समांतर चतुर्भुज की भुजा, हा

सभी नहीं?

हम समांतर चतुर्भुजों के साथ समाप्त कर चुके हैं। "क्या मुझे यह सीखना चाहिए?" तुम हल्के से पूछो। मैं उत्तर देता हूं: समांतर चतुर्भुज से - हां, बस इतना ही। लेकिन अभी भी ट्रेपोज़ॉइड और त्रिकोण हैं। तो चलिए जारी रखते हैं।

तृतीय। ट्रैप सीऔर मैं

ट्रेपेज़ियम क्षेत्र

एक ट्रेपेज़ॉइड का एस एक सूत्र के साथ पाया जा सकता है, चाहे वह साधारण हो या समद्विबाहु: एस = ((ए + बी): 2) * एच, जहांए, बी- इसके आधार, एच- इसकी ऊंचाई। यह सब ट्रेपेज़ॉइड के लिए है। अब प्रश्न पर: "चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?" - आप न केवल स्वयं उत्तर दे सकते हैं, बल्कि दूसरों को भी प्रबुद्ध कर सकते हैं। अब चलो त्रिकोण पर चलते हैं।

चतुर्थ। त्रिकोण

ज्यामिति में, उनके क्षेत्रफल को खोजने के लिए तीन सूत्रों की पहचान की गई है: आयताकार, समबाहु और मनमाना त्रिभुजों के लिए।

1. त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक मनमानी त्रिकोण के एस सूत्र द्वारा गणना की जाती है: एस \u003d 0.5 ए * एच ए, ए- त्रिभुज की भुजा हा- इस ओर खींची गई ऊँचाई।

2. समबाहु त्रिभुजों का क्षेत्रफल

एस समान भुजाओं वाला त्रिकोणसूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: एस = 0.5ए * एच, जहांए- त्रिभुज का आधार एचइस त्रिभुज की ऊंचाई है।

3. वर्ग सही त्रिकोण

समकोण त्रिभुजों का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है: एस = (ए * बी): 2, जहांए- पहला चरण, बी- दूसरा चरण।

निष्कर्ष

खैर, मेरी राय में, बस इतना ही। आपको त्रिभुजों के बारे में भी थोड़ा सीखने की आवश्यकता है, है ना? अब देखिए मैंने यहां क्या लिखा है। "फर्स्ट-स्टिक्स, इसे सीखने में एक महीने का समय लगेगा!" - आप शायद चिल्लाओ। और किसने कहा कि सब कुछ जल्दी सीख रहा है? लेकिन दूसरी ओर, जब आप यह सब सीखते हैं, तो आप प्रमाणन में "चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें" या "एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल" विषय पर प्रश्नों से नहीं डरेंगे। श्रेणी 9। इसलिए, यदि आप कहीं भी जाना चाहते हैं, अध्ययन करें, अध्ययन करें और वैज्ञानिक बनें!

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टिप्पणी

* - एऔर बीमेरे द्वारा निर्धारित स्थानों में रहने की आवश्यकता नहीं है। समस्याओं को हल करते समय, आप लंबवत पक्ष कह सकते हैं ए, और क्षैतिज बी;

** - विकर्णों की अदला-बदली की जा सकती है और उनके नाम नोट की तरह ही बदले जा सकते हैं। *

एक ज्यामिति पाठ्यक्रम के समतलमितीय कार्यों को हल करते समय, 4 भुजाओं वाला एक आंकड़ा अक्सर सामने आता है। हाँ, हम बात कर रहे हैंचतुर्भुज के बारे में। चार कोनों वाला एक मनमाना बहुभुज इसके विशेष मामलों की तुलना में कम आम है - ट्रेपेज़ोइड्स, डेल्टोइड्स, समांतर चतुर्भुज। अंतिम "समूह" में समचतुर्भुज, आयत, वर्ग भी शामिल हैं।
आइए विचार करें कि इसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए आपको किस आंकड़े के बारे में जानना चाहिए।

चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

बहुभुज मनमाना

इसके क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको आकृति के विकर्णों की आवश्यकता है, साथ ही उनके प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त कोण भी।

• एस = (d1*d2*sinα)/2,
• d1, d2 - विकर्ण,
• α उनके प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त कोण है।

एक सर्कल में बहुभुज

यदि दिए गए चतुर्भुज को एक वृत्त में रखा जाए, तो आकृति की भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो, तो अनुपात बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने में सहायक होगा:

एस = √ (पी - एम) (पी - के) (पी - एल) (पी - ई), पी = (एम + के + एल + ई) / 2।
m, k, l, e इसकी भुजाएँ हैं।

एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - एक ट्रेपोज़ॉइड

यह आंकड़ा समानांतर 2 भुजाओं की उपस्थिति से पहचाना जाता है। ऐसे बहुभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित मापदंडों का उपयोग करें:

• यदि मान ज्ञात हैं समानांतर भुजाएँऔर उनके लिए खींची गई लम्बवत्-ऊँचाई, क्षेत्रफल की गणना व्यंजक S = ((a + b)*h)/2, का उपयोग करके की जाती है।
  ए और बी आधार हैं,
  एच - लंबवत-ऊंचाई।
• मध्य रेखा (k = (a + b)/2) की परिभाषा के आधार पर, पिछला सूत्र बन जाता है अगला दृश्य: एस = के * एच,
  k मध्य रेखा है।
  ट्रेपेज़ॉइड के ज्ञात विकर्ण और डिग्री मापउनके चौराहे के परिणामस्वरूप बनने वाला कोण भी आकृति के क्षेत्र को निर्धारित करने में मदद करेगा: S \u003d (d1 * d2 * sinβ) / 2,
  d1, d2 - विकर्ण,
  β उनके प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त कोण है।
• 4 भुजाएँ दी गई हैं: S \u003d ((m + l) √ k 2 - ((m - l) 2 + k 2 - d 2) 2 / (4 (m - l) 2)) / 2,
  मी, एल - समानांतर पक्ष,
  के, डी - साइड साइड।

चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - एक त्रिभुजाकार

बहुभुज-डेल्टॉइड की विशेषता 2 जोड़े की उपस्थिति से होती है समान भुजाएँ. ऐसे चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

• आकृति की भुजाएँ और विभिन्न लंबाई की भुजाओं द्वारा निर्मित कोण ज्ञात हैं:
  एस = एम * एल * पापϕ,
  मी, एल डेल्टॉइड की भुजाएँ हैं,
  ϕ उनके बीच का कोण है।
• आकृति की भुजाएँ और समान लंबाई की भुजाओं से बने कोण ज्ञात हैं:
  एस \u003d एम 2 *पापα / 2 + एल 2 * पापβ / 2,
  मी, एल डेल्टॉइड की भुजाएँ हैं,
  α, β बराबर भुजाओं के बीच के कोण हैं।
• उपलब्धता ज्ञात विकर्णआपको आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करने की भी अनुमति देता है:
  एस = डी1*डी2/2,
  d1, d2 त्रिभुजाकार के विकर्ण हैं।
• यदि एक वृत्त को चित्र में अंकित किया गया है, तो इसकी त्रिज्या को जानने से आप डेल्टॉइड के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: S \u003d (m + l) * r,
  मी, एल डेल्टॉइड की भुजाएँ हैं,
  r एक खुदा हुआ चक्र के मामले में त्रिज्या है।

चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें - एक समांतर चतुर्भुज

अगर उत्तल बहुभुजगैर-प्रतिच्छेदी भुजाओं के 2 जोड़े हैं, तो आपके सामने एक समांतर चतुर्भुज है।

सामान्य अभिव्यक्ति

इस प्रकार की आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए, आपको आवश्यकता होगी:

• चतुर्भुज की भुजा और उस पर नीची ऊँचाई: S = k * h (k),
  k - आकृति की ओर,
  h(k) इसकी ऊंचाई है।
• दो भुजाओं की लंबाई जिनमें एक शीर्ष है, और किसी दिए गए शीर्ष पर कोण का डिग्री माप:
  एस = एल * के * पापϕ,
  k, l बहुभुज की भुजाएँ हैं,
  ϕ उनके बीच का कोण है।
• आकृति के विकर्ण और उनके प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त कोण: S = d1*d2*sinβ/2,
  d1, d2 - विकर्ण,
  β - कोण - उनके प्रतिच्छेदन का परिणाम।

विषमकोण

यह चतुर्भुज है विशेष मामला 4 समान भुजाओं वाला समांतर चतुर्भुज। इसलिए, जो व्यंजक समांतर चतुर्भुज के लिए मान्य होते हैं, वे इसके लिए भी सत्य होते हैं। तब

• एस = के * एच (के),
  k आकृति की भुजा है, h(k) इसकी ऊँचाई है।
• एस = के 2 * sinϕ,
  k चतुर्भुज की भुजा है, ϕ भुजाओं के बीच का कोण है।
• एस = डी 1 * डी 2/2
  d1, d2 बहुभुज के विकर्ण हैं।

आयत

ऐसे बहुभुज में बराबर भुजाओं के 2 युग्म होते हैं, और इसके कोणों का अंश माप 90° होता है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित व्यंजक मान्य हैं:

• एस = के * एल,
  k, l आकृति की भुजाएँ हैं।
• एस = डी 2 * sinβ/2,
  d - चतुर्भुज के विकर्ण, β - कोण - उनके प्रतिच्छेदन का परिणाम।
• एस = 2आर 2 *सिनβ,
  परिबद्ध वृत्त के मामले में R त्रिज्या है।

वर्ग

में इस मामले मेंपिछले चरण में प्राप्त अनुपात निम्न रूप लेगा (क्योंकि इस प्रकार के आयत की भुजाएँ बराबर होती हैं):

• S \u003d k 2, k आकृति का पक्ष है।

• एस = डी 2/2, डी वर्ग का विकर्ण है।

• S = 2R 2 , R परिधि वाले वृत्त के मामले में त्रिज्या है।
• S = 4r 4 , r एक खुदे हुए वृत्त के मामले में त्रिज्या है।

महत्वपूर्ण लेख!
1. यदि सूत्रों के बजाय आप अब्रकदबरा देखते हैं, तो कैश साफ़ करें। इसे अपने ब्राउज़र में कैसे करें यहाँ लिखा है:
2. इससे पहले कि आप लेख पढ़ना शुरू करें, हमारे नेविगेटर पर अधिक से अधिक ध्यान दें उपयोगी संसाधनके लिए

क्षेत्र परिभाषा

एक क्षेत्र क्या है? अजीब सवाल है ना? में साधारण जीवनहम इस तथ्य के आदी हैं कि हर कोई सपाट आंकड़े(जैसे टेबल की सतह, कुर्सी, हमारे अपार्टमेंट का फर्श आदि) न केवल लंबाई और चौड़ाई है, बल्कि कुछ अन्य विशेषताएं भी हैं जिन्हें हम बिना किसी हिचकिचाहट के क्षेत्र कहते हैं। और अब विचार करते हैं: आखिर क्षेत्र क्या है?

आइए सबसे सरल से शुरू करें। यह इस तथ्य पर आधारित है कि:

दूसरे शब्दों में, हम एक मीटर की भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल को एक "क्षेत्र का मीटर" मानते हैं।

चित्र को ध्यान से देखें और सुनिश्चित करें कि यह वास्तव में वहाँ खींचा गया है - "वर्ग मीटर"! और नोटेशन याद रखें।

और अब पेचीदा सवाल: यह क्या है? एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल? लेकिन कोई नहीं!

देखो: एक वर्ग एक पक्ष के साथ।

और वर्ग मीटर प्राप्त करने के लिए (अर्थात), हमें आकर्षित करना चाहिए, उदाहरण के लिए, इस तरह:

और कैसे प्राप्त करें, कहें,? अच्छा, उदाहरण के लिए इस तरह:

और सामान्य तौर पर, यदि हम एक आयत लेते हैं जिसकी भुजाएँ मीटर और मीटर के बराबर होती हैं, तो इस आयत में:

फ्लैट फिट बैठता है वर्ग मीटर. ध्यान से देखें: हमारे पास "परतें" हैं, जिनमें से प्रत्येक बिल्कुल वर्ग मीटर है।

तो, कुल वर्ग मीटर आकार x के एक आयत में फिट होते हैं। यह वह संख्या है, आयत में कितने वर्ग मीटर फिट होते हैं, और वह है वर्ग.

और अगर यह आंकड़ा एक आयत नहीं है, लेकिन किसी प्रकार का अब्रकदबरा है?

मैं आपको आश्चर्यचकित करूंगा - ऐसी भयानक अस्पष्टताएं हैं जिनके लिए यह स्थापित करना बिल्कुल असंभव है कि कितने वर्ग मीटर हैं। लगभग भी! दुर्भाग्य से, ऐसे आंकड़े बनाना असंभव है।

किंतु वे! वे दिखते हैं, उदाहरण के लिए, ऐसे "कंघी" बहुत अच्छे दांतों के साथ।

और इसलिए, सामान्य आंकड़ों के लिए, आप सहज रूप से (अर्थात, अपने लिए) विचार कर सकते हैं कि किसी आकृति का क्षेत्रफल एक ऐसी संख्या है, जो इस आकृति में "फिट" होती है वर्ग इकाइयाँ(मीटर, सेंटीमीटर, आदि) क्षेत्र की अधिक कठोर, "वास्तविक" परिभाषा के लिए, देखें अगले स्तरसिद्धांतों।

और कल्पना कीजिए, कई आकृतियों के लिए गणितज्ञों ने आकृतियों के कुछ रेखीय (जिन्हें एक रूलर से मापा जा सकता है) तत्वों के माध्यम से क्षेत्रों को व्यक्त करना सीखा है। इन भावों को "क्षेत्र सूत्र" कहा जाता है। इनमें से बहुत सारे सूत्र हैं - गणितज्ञों ने लंबे समय तक कोशिश की। आप पहले सबसे सरल और याद करने की कोशिश करें बुनियादी सूत्र, और फिर वे जो अधिक कठिन हैं।

क्षेत्र सूत्र

वर्ग

आयत

सही त्रिकोण

त्रिकोण (मनमाना)

एक त्रिभुज के लिए, एक साथ कई क्षेत्रफल सूत्र होते हैं।

मूल सूत्र

दूसरा मूल सूत्र

तीसरा सूत्र

आपकी समस्या के लिए कौन सा सूत्र चुनना है? मुख्य सूत्र 1 और 2 हैं। तीसरा सूत्र लागू किया जाना चाहिए यदि सब कुछ आपको दिया गया है: दोनों तरफ और उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या। लेकिन ऐसा नहीं होता है, है ना? इसीलिए सूत्र 3 हम उपयोग करते हैंबल्कि इसके विपरीत, एक उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या का पता लगाने के लिए. फिर आपको सूत्र 1, 2 या 4 में से किसी एक का उपयोग करके क्षेत्र को खोजने की आवश्यकता है, और फिर त्रिज्या:।

खैर, सूत्र 4 आपको लंबे अंकगणित का उपयोग करके वें पक्षों पर क्षेत्र खोजने की अनुमति देता है। और हीरोन का सूत्र लगाते समय अंकगणित में गलती न करें!

मनमाना चतुर्भुज

मनमाने चतुष्कोण के लिए और कुछ नहीं है, लेकिन "अच्छे" चतुष्कोणों के लिए अन्य सूत्र हैं।

चतुर्भुज

मूल सूत्र

दूसरा सूत्र

विषमकोण

एक समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं, इसलिए बुनियादीउसके लिए हो जाता है सूत्र:

दूसरा सूत्र

ए अतिरिक्त सूत्रबन जाता है

ट्रापेज़

मूल सूत्र

दूसरा सूत्र

"वर्ग के बारे में पेचीदा सवाल"

समस्याओं के अलावा जिसमें वे केवल क्षेत्र खोजने के लिए कहते हैं, वहाँ भी सभी प्रकार के प्रश्न होते हैं। ठीक है, उदाहरण के लिए:

आइए इस प्रश्न का दो तरह से उत्तर दें। पहला तरीका औपचारिक है: हम वर्ग क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हैं। तो, यह था, इसलिए - क्षेत्र कई गुना बढ़ गया है!

वर्गों के मामले में, इस संख्या को "महसूस" करने और सीधे सत्यापित करने का दूसरा तरीका है।

खींचना:

यदि आपके पास एक वर्ग नहीं है, तो यह केवल सूत्रों में नए मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है - और आश्चर्यचकित न हों अगर संख्या अचानक काफी बड़ी हो जाती है।

त्रिभुज और चतुर्भुज का क्षेत्रफल। संक्षेप में मुख्य के बारे में

सही त्रिकोण

खैर, विषय समाप्त हो गया। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे जरूरी बात।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगा लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप पहले से ही बेहतर हैं पूर्ण बहुमतआपके साथीगण।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किसलिए?

सफल के लिए परीक्षा उत्तीर्ण करना, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण, जीवन के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात का यकीन नहीं दिलाऊंगा, बस एक बात कहूंगा...

जिन लोगों ने प्राप्त किया एक अच्छी शिक्षा, जो इसे प्राप्त नहीं किया उससे कहीं अधिक कमाते हैं। यह आँकड़े हैं।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है.

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने बहुत कुछ खुल जाता है। अधिक संभावनाएंऔर जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिए...

परीक्षा में दूसरों से बेहतर होने और अंतत: खुश रहने के लिए क्या करना चाहिए?

इस विषय पर समस्याओं को हल करते हुए अपना हाथ भरें।

परीक्षा में आपसे थ्योरी नहीं पूछी जाएगी।

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और, यदि आपने उन्हें (बहुत सारे!) हल नहीं किया है, तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक बेवकूफी भरी गलती करेंगे या बस इसे समय पर नहीं करेंगे।

यह खेल की तरह है - आपको निश्चित रूप से जीतने के लिए कई बार दोहराने की जरूरत है।

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निष्कर्ष के तौर पर...

यदि आपको हमारे कार्य पसंद नहीं हैं, तो अन्य खोजें। बस सिद्धांत के साथ मत रुको।

"समझ गया" और "मुझे पता है कि कैसे हल करना है" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है।

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