पहले परीक्षा उत्तीर्ण करनागणित के लिए कम समय। स्थिति गर्म हो रही है, स्कूली बच्चों, अभिभावकों, शिक्षकों और शिक्षकों की नसें अधिक से अधिक खिंची हुई हैं। उड़ान भरना तंत्रिका तनावदैनिक गहन गणित की कक्षाएं आपकी सहायता करेंगी। आखिरकार, कुछ भी नहीं, जैसा कि आप जानते हैं, इसलिए सकारात्मक चार्ज करता है और किसी की क्षमताओं और ज्ञान में विश्वास के रूप में परीक्षा उत्तीर्ण करने में मदद नहीं करता है। आज, एक गणित शिक्षक आपको पारंपरिक रूप से लॉगरिदमिक और एक्सपोनेंशियल असमानताओं, कार्यों की प्रणालियों को हल करने के बारे में बताएगा चुनौतीपूर्णआज के हाई स्कूल के कई छात्र।

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा से C3 समस्याओं को हल करने का तरीका जानने के लिए, गणित में एक ट्यूटर के रूप में, मैं अनुशंसा करता हूं कि आप निम्नलिखित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर ध्यान दें।

1. लॉगरिदमिक और एक्सपोनेंशियल असमानताओं की प्रणालियों को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, यह सीखना आवश्यक है कि इनमें से प्रत्येक प्रकार की असमानताओं को अलग-अलग कैसे हल किया जाए। विशेष रूप से, यह समझने के लिए कि क्षेत्र कैसे स्थित है अनुमत मान, लघुगणक के समतुल्य परिवर्तन और घातीय अभिव्यक्तियाँ. आप "" और "" लेखों का अध्ययन करके इससे संबंधित कुछ रहस्यों को समझ सकते हैं।

2. साथ ही, यह समझना जरूरी है कि असमानताओं की प्रणाली का समाधान हमेशा प्रत्येक असमानता को अलग-अलग हल करने और परिणामी अंतराल को पार करने के लिए नीचे नहीं आता है। कभी-कभी, सिस्टम की एक असमानता का समाधान जानने के बाद, दूसरे का समाधान बहुत सरल हो जाता है। एक गणित ट्यूटर के रूप में छात्रों को अंतिम परीक्षा के लिए तैयार करना उपयोग प्रारूप, मैं इस लेख में इससे जुड़े कुछ रहस्यों को उजागर करूंगा।

3. प्रतिच्छेदन और समुच्चयों के मिलन के बीच के अंतर को अपने लिए स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है। यह सबसे महत्वपूर्ण गणितीय ज्ञान है जो एक अनुभवी पेशेवर शिक्षक अपने छात्र को पहले पाठ से देने की कोशिश करता है। तथाकथित "यूलर सर्कल" द्वारा चौराहे और सेट के संघ का एक दृश्य प्रतिनिधित्व दिया जाता है।

चौराहा सेट करें एक समुच्चय उस समुच्चय को कहते हैं जिसमें केवल वे ही अवयव होते हैं जो इनमें से प्रत्येक समुच्चय में होते हैं।

चौराहा

"यूलर मंडलियों" का उपयोग करके सेट के प्रतिच्छेदन की छवि

उंगली की व्याख्या।डायना के पर्स में एक "सेट" है, जिसमें ( कलम, पेंसिल, शासकों, नोटबुक, कंघी). ऐलिस के पर्स में एक "सेट" है, जिसमें ( स्मरण पुस्तक , पेंसिल, दर्पण, नोटबुक, कीव के कटलेट). इन दो "सेट्स" का प्रतिच्छेदन "सेट" होगा जिसमें ( पेंसिल, नोटबुक), चूंकि डायना और ऐलिस दोनों में ये दोनों "तत्व" हैं।

याद रखना महत्वपूर्ण है! यदि असमानता का समाधान अंतराल है और असमानता का समाधान अंतराल है, तो सिस्टम का समाधान:

वह अंतराल है चौराहा मूल अंतराल। यहाँ और नीचेकोई भी पात्रशीर्षक = "(! लैंग: QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत किया गया" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} और अंदर विपरीत संकेत है।

सेट का संघ वह समुच्चय कहलाता है जिसमें मूल समुच्चय के सभी अवयव होते हैं।

दूसरे शब्दों में, यदि दो समुच्चय दिए गए हों और फिर उनके संगठन निम्नलिखित रूप का एक सेट होगा:

"यूलर सर्कल" का उपयोग करके सेट के संघ की छवि

उंगली की व्याख्या।पिछले उदाहरण में लिए गए "सेट" का संघ "सेट" होगा जिसमें ( कलम, पेंसिल, शासकों, नोटबुक, कंघी, स्मरण पुस्तक, दर्पण, कीव के कटलेट), क्योंकि इसमें मूल "सेट" के सभी तत्व शामिल हैं। एक स्पष्टीकरण जो अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं हो सकता है। गुच्छा नही सकतासमान तत्व होते हैं।

याद रखना महत्वपूर्ण है! यदि असमानता का समाधान अंतराल है और असमानता का समाधान अंतराल है, तो सेट का समाधान है:

वह अंतराल है मिलन मूल अंतराल।

आइए सीधे उदाहरणों पर चलते हैं।

उदाहरण 1असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

समस्या का समाधान C3.

1. हम पहली असमानता को पहले हल करते हैं। प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए, हम असमानता से गुजरते हैं:

2. अब हम दूसरी असमानता को हल करते हैं। इसके स्वीकार्य मूल्यों की सीमा असमानता से निर्धारित होती है:

शीर्षक=" QuickLaTeX.com द्वारा रेंडर किया गया">!}

स्वीकार्य सीमा के भीतर, यह देखते हुए कि लघुगणक शीर्षक का आधार="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के भीतर नहीं होने वाले समाधानों को छोड़कर, हम अंतराल प्राप्त करते हैं

3. को उत्तर प्रणालीअसमानताएँ होंगी चौराहा

संख्या रेखा पर परिणामी अंतराल। समाधान उनका चौराहा है

उदाहरण 2असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

समस्या का समाधान C3.

1. हम पहली असमानता को पहले हल करते हैं। दोनों भागों को शीर्षक से गुणा करें="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

चलो रिवर्स प्रतिस्थापन पर चलते हैं:

2.

शीर्षक=" QuickLaTeX.com द्वारा रेंडर किया गया">!}

परिणामी अवधि का चित्रमय प्रतिनिधित्व। व्यवस्था का समाधान - उनका प्रतिच्छेदन

उदाहरण 3असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

समस्या का समाधान C3.

1. हम पहली असमानता को पहले हल करते हैं। इसके दोनों भागों को शीर्षक से गुणा करें="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित असमानता से गुजरते हैं:

चलो रिवर्स प्रतिस्थापन पर चलते हैं:

2. अब हम दूसरी असमानता को हल करते हैं। आइए हम पहले इस असमानता के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा निर्धारित करें:

क्यूएल-राइट-इक्नो">

कृपया ध्यान दें कि

फिर, अनुमेय मूल्यों की सीमा को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

3. हम देखतें है सामान्य समाधानअसमानता। प्राप्त की तुलना तर्कहीन मूल्यनोडल बिंदु - में एक कार्य यह उदाहरणतुच्छ नहीं है। इसे निम्न प्रकार से किया जा सकता है। क्योंकि

शीर्षक=" QuickLaTeX.com द्वारा रेंडर किया गया">!}

वह और सिस्टम के लिए अंतिम प्रतिक्रिया है:

उदाहरण 4असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

समस्या का समाधान C3।

1. आइए पहले दूसरी असमानता को हल करें:

2. पहली असमानता मूल प्रणालीके साथ एक लघुगणकीय असमानता है परिवर्तनशील आधार. सुविधाजनक तरीकाइस तरह की असमानताओं का समाधान "जटिल लघुगणक असमानताएँ" लेख में वर्णित है, यह एक सरल सूत्र पर आधारित है:

एक संकेत के बजाय, किसी भी असमानता के संकेत को प्रतिस्थापित किया जा सकता है, मुख्य बात यह है कि यह दोनों मामलों में समान हो। इस सूत्र का उपयोग करने से असमानता का समाधान बहुत सरल हो जाता है:

आइए अब हम इस असमानता के स्वीकार्य मूल्यों की सीमा निर्धारित करें। यह निम्नलिखित प्रणाली द्वारा दिया गया है:

शीर्षक=" QuickLaTeX.com द्वारा रेंडर किया गया">!}

शीर्षक=" QuickLaTeX.com द्वारा रेंडर किया गया">!}

यह देखना आसान है कि साथ ही यह अंतराल हमारी असमानता का समाधान भी होगा।

3. मूल का अंतिम उत्तर प्रणालीअसमानताएँ होंगी चौराहा प्राप्त अंतराल, अर्थात्

उदाहरण 5असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

समस्या समाधान C3।

1. हम पहली असमानता को पहले हल करते हैं। हम प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं हम निम्नलिखित द्विघात असमानता को पास करते हैं:

2. अब हम दूसरी असमानता को हल करते हैं। इसके स्वीकार्य मूल्यों की सीमा प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है:

शीर्षक=" QuickLaTeX.com द्वारा रेंडर किया गया">!}

यह असमानता निम्नलिखित मिश्रित प्रणाली के बराबर है:

मान्य मानों की श्रेणी में, यानी, शीर्षक के साथ="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

अनुमेय मूल्यों की सीमा को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

3. अंतिम निर्णयमूल प्रणालीहै

समस्या का समाधान C3.

1. हम पहली असमानता को पहले हल करते हैं। समतुल्य परिवर्तनों द्वारा हम इसे इस रूप में लाते हैं:

2. अब हम दूसरी असमानता को हल करते हैं। इसके मान्य मानों की सीमा अवधि द्वारा निर्धारित की जाती है: शीर्षक = "Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

यह उत्तर पूरी तरह से असमानता के स्वीकार्य मूल्यों की श्रेणी से संबंधित है।

3. पिछले पैराग्राफ में प्राप्त अंतराल को पार करके, हम असमानताओं की प्रणाली का अंतिम उत्तर प्राप्त करते हैं:

आज हमने लघुगणकीय और घातीय असमानताओं की प्रणालियों को हल कर लिया है। में इस तरह के कार्यों की पेशकश की गई थी परीक्षण विकल्पवर्तमान के दौरान गणित में उपयोग करें स्कूल वर्ष. हालांकि, एक गणित ट्यूटर के रूप में, जिसके पास एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी का अनुभव है, मैं कह सकता हूं कि इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि इसी तरह के कार्य होंगे वास्तविक विकल्पगणित में एकीकृत राज्य परीक्षा जून में

मुझे एक चेतावनी व्यक्त करने दें, जो मुख्य रूप से ट्यूटर्स और को संबोधित है स्कूल के शिक्षकगणित में परीक्षा के लिए हाई स्कूल के छात्रों को तैयार करने में शामिल। छात्रों को परीक्षा के लिए सख्ती से तैयार करना बहुत खतरनाक है दिए गए विषय, क्योंकि इस मामले में कार्यों के पहले घोषित प्रारूप में थोड़े से बदलाव के साथ भी इसे पूरी तरह से "भरने" का जोखिम है। गणित की शिक्षापूरा होना चाहिए। प्रिय साथियों, कृपया समाधान पर तथाकथित "प्रशिक्षण" द्वारा अपने छात्रों की तुलना रोबोट से न करें खास प्रकार काकार्यों। आखिरकार, मानव सोच के औपचारिकरण से बुरा कुछ नहीं है।

सभी को शुभकामनाएँ और रचनात्मक सफलता!

सर्गेई वेलेरिविच

यदि आप कोशिश करते हैं, तो दो विकल्प हैं: यह काम करेगा या यह काम नहीं करेगा। यदि आप कोशिश नहीं करते हैं, तो केवल एक ही है।
© लोक ज्ञान

बहुमत का फैसला गणित की समस्याओंकिसी तरह संख्यात्मक, बीजगणितीय या कार्यात्मक अभिव्यक्तियों के परिवर्तन से जुड़ा हुआ है। यह विशेष रूप से समाधान पर लागू होता है। गणित में यूएसई वेरिएंट में, इस प्रकार के कार्य में विशेष रूप से कार्य C3 शामिल है। C3 कार्यों को हल करना सीखना न केवल उद्देश्य के लिए महत्वपूर्ण है सफल प्रसवएकीकृत राज्य परीक्षा, बल्कि इस कारण से भी कि उच्च शिक्षा में गणित पाठ्यक्रम का अध्ययन करते समय यह कौशल उपयोगी होता है।

कार्यों को निष्पादित करना C3, आपको निर्णय लेना है विभिन्न प्रकारसमीकरण और असमानताएँ। उनमें तर्कसंगत, अपरिमेय, घातीय, लघुगणक, त्रिकोणमितीय, युक्त मॉड्यूल हैं ( सम्पूर्ण मूल्य), साथ ही संयुक्त वाले। यह लेख मुख्य प्रकार के घातीय समीकरणों और असमानताओं के साथ-साथ चर्चा करता है विभिन्न तरीकेउनके फैसले। C3 समस्याओं को हल करने के तरीकों के लिए समर्पित लेखों में "" शीर्षक के तहत अन्य प्रकार के समीकरणों और असमानताओं को हल करने के बारे में पढ़ें उपयोग के विकल्पअंक शास्त्र।

विशिष्ट के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले घातीय समीकरण और असमानताएँएक गणित शिक्षक के रूप में, मेरा सुझाव है कि आप कुछ पर ब्रश करें सैद्धांतिक सामग्रीजिसकी हमें आवश्यकता होगी।

घातांक प्रकार्य

एक घातीय कार्य क्या है?

समारोह देखें वाई = एक एक्स, कहाँ ए> 0 और ए≠ 1, कहा जाता है घातांक प्रकार्य.

मुख्य गुण घातांक प्रकार्य वाई = एक एक्स:

एक घातीय समारोह का ग्राफ

चरघातांकी फलन का आलेख है प्रदर्शक:

घातीय कार्यों के रेखांकन (घातांक)

घातीय समीकरणों का समाधान

सूचकसमीकरण कहा जाता है जिसमें अज्ञात चर केवल किसी भी शक्ति के घातांक में पाया जाता है।

समाधान के लिए घातीय समीकरणआपको निम्नलिखित सरल प्रमेय को जानना और उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए:

प्रमेय 1।घातीय समीकरण ए एफ(एक्स) = ए जी(एक्स) (कहाँ ए > 0, ए≠ 1) समीकरण के बराबर है एफ(एक्स) = जी(एक्स).

इसके अलावा, यह याद रखना उपयोगी है बुनियादी सूत्रऔर शक्तियों के साथ कार्य:

शीर्षक=" QuickLaTeX.com द्वारा रेंडर किया गया">!}

उदाहरण 1प्रश्न हल करें:

समाधान:उपरोक्त सूत्रों और प्रतिस्थापन का उपयोग करें:

समीकरण तब बन जाता है:

विवेचक प्राप्त किया द्विघात समीकरणसकारात्मक:

शीर्षक=" QuickLaTeX.com द्वारा रेंडर किया गया">!}

यह मतलब है कि दिया गया समीकरणदो जड़ें हैं। हम उन्हें ढूंढते हैं:

प्रतिस्थापन पर वापस जा रहे हैं, हम प्राप्त करते हैं:

दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है, क्योंकि परिभाषा के पूरे डोमेन पर घातीय कार्य सख्ती से सकारात्मक है। आइए दूसरा हल करें:

प्रमेय 1 में कही गई बातों को ध्यान में रखते हुए, हम समतुल्य समीकरण की ओर बढ़ते हैं: एक्स= 3. यह कार्य का उत्तर होगा।

उत्तर: एक्स = 3.

उदाहरण 2प्रश्न हल करें:

समाधान:स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पर समीकरण का कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि कट्टरपंथी अभिव्यक्तिकिसी भी मूल्य के लिए समझ में आता है एक्स(घातांक प्रकार्य वाई = 9 4 -एक्ससकारात्मक और शून्य के बराबर नहीं)।

हम समीकरण को हल करते हैं समकक्ष परिवर्तनगुणन और शक्तियों के विभाजन के नियमों का उपयोग करना:

अंतिम संक्रमण प्रमेय 1 के अनुसार किया गया था।

उत्तर:एक्स= 6.

उदाहरण 3प्रश्न हल करें:

समाधान:मूल समीकरण के दोनों पक्षों को 0.2 से विभाजित किया जा सकता है एक्स. यह संक्रमण समतुल्य होगा, क्योंकि यह व्यंजक किसी भी मान के लिए शून्य से अधिक है एक्स(घातीय कार्य अपने डोमेन पर सख्ती से सकारात्मक है)। तब समीकरण रूप लेता है:

उत्तर: एक्स = 0.

उदाहरण 4प्रश्न हल करें:

समाधान:हम लेख की शुरुआत में दी गई शक्तियों के विभाजन और गुणन के नियमों का उपयोग करते हुए समतुल्य परिवर्तनों द्वारा समीकरण को प्राथमिक रूप से सरल करते हैं:

समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करना एक्स, जैसा कि पिछले उदाहरण में है, एक समतुल्य परिवर्तन है, क्योंकि दी गई अभिव्यक्तिकिसी भी मान के लिए शून्य के बराबर नहीं एक्स.

उत्तर: एक्स = 0.

उदाहरण 5प्रश्न हल करें:

समाधान:समारोह वाई = 3एक्स, समीकरण के बाईं ओर खड़ा है, बढ़ रहा है। समारोह वाई = —एक्स-2/3, समीकरण के दाईं ओर खड़ा है, घट रहा है। इसका अर्थ है कि यदि इन फलनों के आलेख प्रतिच्छेद करते हैं, तो अधिक से अधिक एक बिंदु पर। में इस मामले मेंयह अनुमान लगाना आसान है कि ग्राफ़ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं एक्स= -1। कोई और जड़ नहीं होगी।

उत्तर: एक्स = -1.

उदाहरण 6प्रश्न हल करें:

समाधान:हर जगह यह ध्यान में रखते हुए कि घातीय फलन किसी भी मान के लिए शून्य से अधिक है, हम समतुल्य रूपांतरणों द्वारा समीकरण को सरल करते हैं एक्सऔर लेख की शुरुआत में दिए गए उत्पाद और आंशिक शक्तियों की गणना के लिए नियमों का उपयोग करना:

उत्तर: एक्स = 2.

घातीय असमानताओं को हल करना

सूचकअसमानताएँ कहलाती हैं जिनमें अज्ञात चर केवल कुछ घातों के घातांकों में निहित होता है।

समाधान के लिए घातीय असमानताएँनिम्नलिखित प्रमेय का ज्ञान आवश्यक है:

प्रमेय 2।अगर ए> 1, फिर असमानता ए एफ(एक्स) > ए जी(एक्स) समान अर्थ वाली असमानता के समतुल्य है: एफ(एक्स) > जी(एक्स). अगर 0< ए < 1, то घातीय असमानता ए एफ(एक्स) > ए जी(एक्स) विपरीत अर्थ की असमानता के बराबर है: एफ(एक्स) < जी(एक्स).

उदाहरण 7असमानता को हल करें:

समाधान:रूप में मूल असमानता का प्रतिनिधित्व करें:

इस असमानता के दोनों भागों को 3 2 से विभाजित करें एक्स, और (फ़ंक्शन की सकारात्मकता के कारण वाई= 3 2एक्स) असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा:

आइए एक प्रतिस्थापन का उपयोग करें:

तब असमानता रूप लेती है:

तो, असमानता का समाधान अंतराल है:

रिवर्स प्रतिस्थापन से गुजरते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

चरघातांकी फलन की सकारात्मकता के कारण बाईं असमानता स्वतः पूर्ण हो जाती है। लाभ उठा ज्ञात संपत्तिलघुगणक, हम समतुल्य असमानता को पास करते हैं:

चूंकि डिग्री का आधार एक से अधिक संख्या है, समतुल्य (प्रमेय 2 द्वारा) निम्नलिखित असमानता के लिए संक्रमण होगा:

तो हम अंत में प्राप्त करते हैं उत्तर:

उदाहरण 8असमानता को हल करें:

समाधान:गुणन और शक्तियों के विभाजन के गुणों का उपयोग करते हुए, हम असमानता को रूप में फिर से लिखते हैं:

आइए एक नया चर पेश करते हैं:

इस प्रतिस्थापन के साथ, असमानता रूप लेती है:

भिन्न के अंश और हर को 7 से गुणा करने पर, हमें निम्नलिखित तुल्य असमानता प्राप्त होती है:

तो असमानता संतुष्ट है निम्नलिखित मानचर टी:

फिर, प्रतिस्थापन पर वापस जाकर, हम प्राप्त करते हैं:

चूंकि यहां डिग्री का आधार एक से अधिक है, यह असमानता को पास करने के लिए समकक्ष (प्रमेय 2 द्वारा) है:

अंत में हमें मिलता है उत्तर:

उदाहरण 9असमानता को हल करें:

समाधान:

हम असमानता के दोनों पक्षों को अभिव्यक्ति से विभाजित करते हैं:

यह हमेशा शून्य से अधिक होता है (क्योंकि घातीय फलन धनात्मक होता है), इसलिए असमानता के चिह्न को बदलने की आवश्यकता नहीं होती है। हम पाते हैं:

टी, जो अंतराल में हैं:

रिवर्स प्रतिस्थापन के पास जाने पर, हम पाते हैं कि मूल असमानता दो मामलों में विभाजित हो जाती है:

घातीय फलन की धनात्मकता के कारण पहली असमानता का कोई हल नहीं है। आइए दूसरा हल करें:

उदाहरण 10असमानता को हल करें:

समाधान:

परवलय की शाखाएँ वाई = 2एक्स+2-एक्स 2 को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, इसलिए यह ऊपर से उस मान से घिरा होता है जो इसके शीर्ष पर पहुंचता है:

परवलय की शाखाएँ वाई = एक्स 2 -2एक्स+2, जो संकेतक में है, ऊपर की ओर निर्देशित है, जिसका अर्थ है कि यह नीचे से उस मूल्य तक सीमित है जो इसके शीर्ष पर पहुंचता है:

साथ ही, फ़ंक्शन नीचे से बाध्य हो जाता है वाई = 3 एक्स 2 -2एक्स+2 समीकरण के दाईं ओर। वह उसके पास पहुंचती है सबसे छोटा मूल्यघातांक में परवलय के समान बिंदु पर, और यह मान 3 1 = 3 है। इसलिए, मूल असमानता केवल तभी सत्य हो सकती है जब बाईं ओर का फलन और दाईं ओर का फलन एक बिंदु पर मान 3 लेते हैं (द्वारा इन कार्यों की सीमाओं को पार करना केवल यही संख्या है)। यह स्थिति एक बिंदु पर संतुष्ट होती है एक्स = 1.

उत्तर: एक्स= 1.

हल करना सीखें घातीय समीकरणऔर असमानताएँआपको उनके समाधान में लगातार प्रशिक्षित करने की आवश्यकता है। इस कठिन मामले में विभिन्न शिक्षण में मददगार सामग्री, प्रारंभिक गणित में समस्या पुस्तकें, प्रतिस्पर्धी समस्याओं का संग्रह, स्कूल में गणित की कक्षाएं, साथ ही साथ व्यक्तिगत सत्रएक पेशेवर शिक्षक के साथ। मैं ईमानदारी से आपकी तैयारी में सफलता की कामना करता हूं और शानदार परिणामपरीक्षा पर।

सर्गेई वेलेरिविच

अनुलेख प्रिय अतिथि! कृपया टिप्पणियों में अपने समीकरणों को हल करने के लिए अनुरोध न लिखें। दुर्भाग्य से, मेरे पास इसके लिए बिल्कुल भी समय नहीं है। इस तरह के संदेशों को हटा दिया जाएगा। कृपया लेख पढ़ें। शायद इसमें आपको उन सवालों के जवाब मिलेंगे जो आपको अपने काम को अपने दम पर हल करने की अनुमति नहीं देते थे।

तर्कहीन असमानताएँ

अंतर्गत तर्कहीन असमानताअसमानता को समझता है अज्ञात मात्राएँकट्टरपंथी के हस्ताक्षर के तहत खड़े हो जाओ। इस तरह की असमानताओं का समाधान आमतौर पर इस तथ्य में निहित होता है कि, कुछ परिवर्तनों की सहायता से, उन्हें समकक्षों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। तर्कसंगत समीकरण, असमानताएं या समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली (अक्सर मिश्रित प्रणाली, अर्थात। वे जिनमें समीकरण और असमानता दोनों शामिल हैं), और आगे का निर्णयउपरोक्त चरणों का पालन कर सकते हैं। ये परिवर्तन चर के परिवर्तन (नए चर का परिचय) और गुणनखंड के अलावा, असमानता के दोनों हिस्सों को एक ही डिग्री तक बढ़ाने के अलावा हैं। हालाँकि, इस मामले में एक असमानता से दूसरी असमानता में संक्रमण की समानता की निगरानी करना आवश्यक है। विचारहीन व्याख्या के साथ, असमानता की जड़ें एक ही समय में खोई और प्राप्त की जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, सही असमानता -1 का वर्ग करना<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

हालांकि, यहां इस्तेमाल किया गया मुख्य अभिकथन सत्य है: यदि किसी असमानता के दोनों पक्ष गैर-नकारात्मक हैं, तो यह उस असमानता के समतुल्य है जो शब्दवार घातांक द्वारा प्राप्त की जाती है।

इस तरह से असमानताओं को हल करते समय, इस बात का ध्यान रखा जाना चाहिए कि बाहरी समाधान प्राप्त न करें। इसलिए, जहां संभव हो, असमानता की परिभाषा के डोमेन के साथ-साथ समाधान के संभावित मूल्यों के डोमेन को खोजने के लिए यह उपयोगी है।

घातीय और लघुगणकीय असमानताएँ

घातीय और लघुगणकीय असमानताओं का समाधान संबंधित कार्यों के गुणों के अध्ययन से पहले होता है; घातीय और लघुगणकीय अभिव्यक्तियों के परिवर्तन पर कई कार्य करना; घातांक में लघुगणक और चर वाले समीकरणों का समाधान। सरलतम असमिकाओं का हल, जिन पर विचार किया गया है

जहां का अर्थ असमानताओं में से एक है<,>,.

मुद्दा यह है कि इस विषय को आमतौर पर इन कार्यों के पहले अध्ययन किए गए गुणों के आधार पर बिल्कुल नए रूप में पेश किया जाता है। यह समीचीन है, मेरी राय में, इसे सामान्य रूप से असमानताओं के समाधान के साथ जोड़ना (अर्थात पहले से ही ज्ञात एल्गोरिथम के साथ)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंतराल विधि का सीधे उपयोग नहीं किया जा सकता है। लेकिन विभिन्न घातीय और लघुगणकीय असमानताओं का समाधान निम्नलिखित नियमों पर आधारित है:

अगर ए> 1, तो

अगर 0

अगर ए> 1, तो

अगर 0

जहाँ चिन्ह का अर्थ चिन्ह के अर्थ के विपरीत होता है।

किस सूचक और का उपयोग करना लघुगणकीय असमानताएँआमतौर पर तर्कसंगत लोगों के लिए कम हो जाते हैं, जिन्हें पहले से ही ऊपर वर्णित अंतराल की विधि से हल किया जा सकता है।

त्रिकोणमितीय कार्यों वाली असमानताएँ

यह विषय शैक्षिक साहित्य में खराब तरीके से कवर किया गया है, और कुछ पाठ्यपुस्तकों में इसे आमतौर पर अध्ययन किए जा रहे पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर कर दिया गया है (जैसा कि इस काम के अध्याय I में पहले ही उल्लेख किया गया है)। त्रिकोणमितीय असमानताओं में, एक नियम के रूप में, केवल सबसे सरल प्रकारों पर विचार किया जाता है।

जबकि इस पैराग्राफ से संबंधित व्यावहारिक भाग में प्रस्तुत कार्य प्रतिस्पर्धी समस्याओं के संग्रह में, आवेदकों के संग्रह में और विश्वविद्यालयों के तकनीकी संकायों में प्रवेश परीक्षा के लिए सामग्री में पाए जाते हैं। वे। यह सामग्री प्राथमिक और उच्च विद्यालय में आवश्यक अध्ययन में शामिल नहीं है, लेकिन उपयोगी है।

त्रिकोणमितीय कार्यों वाली असमानताओं को हल करने में अंतराल विधि विशेष रूप से प्रभावी है। इस विधि द्वारा विशुद्ध रूप से त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करते समय, संख्या अक्ष के बजाय, संख्या चक्र का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, जो संबंधित त्रिकोणमितीय समीकरणों (अंश और भाजक) की जड़ों से विभाजित होता है, जो अंतराल के समान भूमिका निभाते हैं। संख्या अक्ष पर। इन चापों पर, हल की जा रही असमानता के अनुरूप त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति में निरंतर संकेत होते हैं, जिन्हें एक अलग "सुविधाजनक" बिंदु के नियम और जड़ों की बहुलता के गुण का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। अक्सर, आर्क्स को स्वयं निर्धारित करने के लिए, संबंधित समीकरणों की जड़ों के संपूर्ण (अनंत) सेट को खोजने के लिए बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है; इन समीकरणों से मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों (साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंगेंट) के मूल्यों को खोजने के लिए पर्याप्त है और इन मूल्यों के अनुरूप संख्या सर्कल पर अंक चिह्नित करें।

आप अंतराल विधि का उपयोग करके मूल त्रिकोणमितीय असमानता को हल करने के लिए सीधे संख्या वृत्त का उपयोग कर सकते हैं, यदि सभी फलन जिनके माध्यम से असमानता लिखी गई है, में मुख्य (सबसे छोटी धनात्मक) अवधि है या, जहाँ m कोई सकारात्मक पूर्णांक है। यदि इन कार्यों की मुख्य अवधि या से अधिक है, तो आपको पहले चर को बदलना चाहिए और फिर संख्या चक्र का उपयोग करना चाहिए।

यदि असमिका में त्रिकोणमितीय तथा अन्य फलन दोनों हों तो उसे अंतराल विधि से हल करने के लिए अंकीय अक्ष का प्रयोग करना चाहिए।

सभी B7 समस्याएं जो मैंने देखी हैं, लगभग एक ही तरह से तैयार की गई हैं: एक समीकरण को हल करें। इस मामले में, समीकरण स्वयं तीन प्रकारों में से एक होते हैं:

1. लघुगणक;
2. प्रदर्शनकारी;
3. तर्कहीन।

सामान्यतया, प्रत्येक प्रकार के समीकरण के लिए एक संपूर्ण गाइड में एक दर्जन से अधिक पृष्ठ लगेंगे, जो परीक्षा के दायरे से बहुत आगे तक जाएगा। इसलिए, हम केवल सबसे सरल मामलों पर विचार करेंगे जिनके लिए सरल तर्क और गणना की आवश्यकता होती है। यह ज्ञान किसी भी B7 समस्या को हल करने के लिए काफी होगा।

गणित में, "एक समीकरण को हल करें" शब्द का अर्थ किसी दिए गए समीकरण की सभी जड़ों का सेट खोजना या यह साबित करना है कि यह सेट खाली है। लेकिन यूएसई फॉर्म में केवल संख्याएं दर्ज की जा सकती हैं - कोई सेट नहीं। इसलिए, यदि कार्य B7 में एक से अधिक रूट थे (या, इसके विपरीत, कोई नहीं) - समाधान में एक त्रुटि की गई थी।

लघुगणकीय समीकरण

लघुगणकीय समीकरण कोई भी समीकरण है जो लघुगणक के रूप में परिवर्तित होता है ए एफ(एक्स) = क, कहाँ ए > 0, ए≠ 1 लघुगणक का आधार है, एफ(एक्स) एक मनमाना कार्य है, ककुछ स्थिर है।

इस तरह के समीकरण को लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत स्थिरांक k का परिचय देकर हल किया जाता है: क= लॉग ए ए क. नए लघुगणक का आधार मूल के आधार के बराबर है। हमें समीकरण लॉग मिलता है ए एफ(एक्स) = लॉग ए ए क, जो लघुगणक को हटाकर हल किया जाता है।

ध्यान दें कि, शर्त से ए> 0, इसलिए एफ(एक्स) = ए क> 0, यानी मूल लघुगणक मौजूद है।

काम। समीकरण को हल करें: log 7 (8 - एक्स) = 2.

समाधान। लॉग 7 (8 - एक्स) = 2 ⇔ लॉग 7 (8 - एक्स) = लॉग 7 7 2 ⇔ 8 - एक्स = 49 ⇔ एक्स = −41.

काम। समीकरण को हल करें: log 0.5 (6 - एक्स) = −2.

समाधान। लॉग 0.5 (6 - एक्स) = -2 ⇔ लॉग 0.5 (6 - एक्स) = लॉग 0.5 0.5 −2 ⇔ 6 − एक्स = 4 ⇔ एक्स = 2.

लेकिन क्या होगा यदि मूल समीकरण मानक लॉग से अधिक जटिल हो ए एफ(एक्स) = क? फिर हम इसे मानक एक तक कम करते हैं, एक दिशा में सभी लघुगणक और दूसरी दिशा में संख्याएँ एकत्रित करते हैं।

यदि मूल समीकरण में एक से अधिक लघुगणक हैं, तो आपको लघुगणक के नीचे प्रत्येक फ़ंक्शन के स्वीकार्य मूल्यों (RTV) की सीमा की तलाश करनी होगी। अन्यथा, अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं।

काम। समीकरण हल करें: लॉग 5 ( एक्स+ 1) + लॉग 5 ( एक्स + 5) = 1.

चूँकि समीकरण में दो लघुगणक हैं, हम ODZ पाते हैं:

1. एक्स + 1 > 0 ⇔ एक्स > −1
2. एक्स + 5 > 0 ⇔ एक्स > −5

हम पाते हैं कि ODZ अंतराल (−1, +∞) है। अब हम समीकरण हल करते हैं:

लॉग 5 ( एक्स+ 1) + लॉग 5 ( एक्स+ 5) = 1 ⇒ log 5 ( एक्स + 1)(एक्स+ 5) = 1 ⇔ लॉग 5 ( एक्स + 1)(एक्स+ 5) = लॉग 5 5 1 ⇔ ( एक्स + 1)(एक्स + 5) = 5 ⇔ एक्स 2 + 6एक्स + 5 = 5 ⇔ एक्स (एक्स + 6) = 0 ⇔ एक्स 1 = 0, एक्स 2 = −6.

लेकिन एक्स 2 = -6 ODZ के योग्य नहीं है। जड़ रहता है एक्स 1 = 0.

घातीय समीकरण

एक घातीय समीकरण कोई भी समीकरण है जो रूप को कम करता है ए एफ(एक्स) = क, कहाँ ए > 0, ए≠ 1 - डिग्री का आधार, एफ(एक्स) एक मनमाना कार्य है, ककुछ स्थिर है।

यह परिभाषा लगभग शब्दशः एक लघुगणकीय समीकरण की परिभाषा को दोहराती है। लघुगणकीय समीकरणों की तुलना में घातीय समीकरणों को और भी आसानी से हल किया जाता है, क्योंकि यहाँ यह आवश्यक नहीं है कि फ़ंक्शन एफ(एक्स) सकारात्मक था।

इसे हल करने के लिए, हम प्रतिस्थापन करते हैं क = ए टी, कहाँ टीसामान्यतया, लघुगणक ( टी= लॉग ए क), लेकिन यूएसई में नंबर एऔर कखोजने के लिए चुना जाएगा टीआसान होगा। परिणामी समीकरण में ए एफ(एक्स) = ए टीआधार समान हैं, जिसका अर्थ है कि घातांक समान हैं, अर्थात एफ(एक्स) = टी. अंतिम समीकरण का समाधान, एक नियम के रूप में, समस्याओं का कारण नहीं बनता है।

काम। समीकरण हल करें: 7 एक्स − 2 = 49.

समाधान। 7 एक्स − 2 = 49 ⇔ 7 एक्स − 2 = 7 2 ⇔ एक्स − 2 = 2 ⇔ एक्स = 4.

काम। समीकरण हल करें: 6 16 - एक्स = 1/36.

समाधान। 6 16 - एक्स = 1/36 ⇔ 6 16 − एक्स = 6 −2 ⇔ 16 − एक्स = −2 ⇔ एक्स = 18.

घातीय समीकरणों के परिवर्तन के बारे में थोड़ा। यदि मूल समीकरण से भिन्न है ए एफ(एक्स) = k , हम डिग्री के साथ काम करने के नियम लागू करते हैं:

1. ए एन · ए एम = ए एन + एम ,
2. ए एन / ए एम = ए एन − एम ,
3. (ए एन) एम = ए एन · एम .

इसके अलावा, आपको तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ जड़ों और अंशों को डिग्री के साथ बदलने के नियमों को जानने की आवश्यकता है:

इस तरह के समीकरण यूएसई में अत्यंत दुर्लभ हैं, लेकिन उनके बिना समस्या बी 7 का विश्लेषण अधूरा होगा।

काम। समीकरण हल करें: (5/7) एक्स- 2 (7/5) 2 एक्स − 1 = 125/343

नोटिस जो:

1. (7/5) 2एक्स − 1 = ((5/7) −1) 2एक्स − 1 = (5/7) 1 − 2एक्स ,
2. 125/343 = (5 3) /(7 3) = (5/7) 3 .

हमारे पास: (5/7) एक्स- 2 (7/5) 2 एक्स − 1 = 125/343 ⇔ (5/7) एक्स− 2 · (5/7) 1 − 2 एक्स = (5/7) 3 ⇔ (5/7) एक्स − 2 + 1 − 2एक्स = (5/7) 3 ⇔ (5/7) −एक्स − 1 = (5/7) 3 ⇔ −एक्स − 1 = 3 ⇔ एक्स = −4.

तर्कहीन समीकरण

अपरिमेय को किसी भी समीकरण के रूप में समझा जाता है जिसमें जड़ का चिह्न होता है। विभिन्न प्रकार के अपरिमेय समीकरणों में से, हम केवल सबसे सरल मामले पर विचार करेंगे, जब समीकरण का रूप हो:

इस समीकरण को हल करने के लिए, हम दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। हमें समीकरण मिलता है एफ(एक्स) = ए 2. इस स्थिति में, ODZ की आवश्यकता स्वत: ही पूरी हो जाती है: एफ(एक्स) ≥ 0, क्योंकि ए 2 ≥ 0. यह एक साधारण समीकरण को हल करने के लिए बनी हुई है एफ(एक्स) = ए 2 .

काम। प्रश्न हल करें:

हम दोनों पक्षों को चौकोर करते हैं और प्राप्त करते हैं: 5 एक्स − 6 = 8 2 ⇔ 5एक्स − 6 = 64 ⇔ 5एक्स = 70 ⇔ एक्स = 14.

काम। प्रश्न हल करें:

पहले, पिछली बार की तरह, हम दोनों पक्षों को चौकोर करते हैं। और फिर हम अंश में ऋण चिह्न जोड़ देंगे। अपने पास:

ध्यान दें कि कब एक्स= −4 के मूल के नीचे एक धनात्मक संख्या होगी, अर्थात ODZ की आवश्यकता को पूरा किया गया है।