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सभी किस्मों के बीच लघुगणकीय असमानताएँके साथ असमानताओं का अलग से अध्ययन करें परिवर्तनीय आधार. उन्हें एक विशेष सूत्र के अनुसार हल किया जाता है, जो किसी कारण से स्कूल में शायद ही कभी पढ़ाया जाता है:

लॉग के (एक्स) एफ (एक्स) ∨ लॉग के (एक्स) जी (एक्स) ⇒ (एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1) ∨ 0

जैकडॉ "∨" के बजाय, आप कोई असमानता चिन्ह लगा सकते हैं: कम या ज्यादा। मुख्य बात यह है कि दोनों असमानताओं में संकेत समान हैं।

इसलिए हम लघुगणक से छुटकारा पाते हैं और समस्या को तर्कसंगत असमानता में कम करते हैं। उत्तरार्द्ध को हल करना बहुत आसान है, लेकिन लॉगरिदम को त्यागते समय, अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। उन्हें काटने के लिए, यह क्षेत्र खोजने के लिए पर्याप्त है अनुमत मान. यदि आप लघुगणक के ODZ को भूल गए हैं, तो मैं इसे दोहराने की दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं - "एक लघुगणक क्या है" देखें।

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा से संबंधित सब कुछ अलग से लिखा और हल किया जाना चाहिए:

एफ (एक्स)> 0; जी (एक्स)> 0; के (एक्स)> 0; के (एक्स) 1.

ये चार असमानताएं एक प्रणाली का निर्माण करती हैं और इन्हें एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। जब स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पाई जाती है, तो इसे समाधान के साथ पार करना बाकी है तर्कसंगत असमानता- और जवाब तैयार है।

काम। असमानता को हल करें:

सबसे पहले, हम लघुगणक का ODZ लिखते हैं:

पहली दो असमानताएँ स्वचालित रूप से की जाती हैं, और अंतिम को लिखना होगा। संख्या के वर्ग के बाद से शून्ययदि और केवल यदि संख्या ही शून्य के बराबर है, तो हमारे पास है:

एक्स 2 + 1 1;
x2 0;
एक्स 0.

यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं: x (−∞ 0)∪(0; +∞)। अब हम मुख्य असमानता को हल करते हैं:

हम लघुगणकीय असमानता से परिमेय में संक्रमण करते हैं। मूल असमानता में "से कम" चिह्न होता है, इसलिए परिणामी असमानता भी "इससे कम" चिह्न के साथ होनी चाहिए। हमारे पास है:

(10 - (एक्स 2 + 1)) (एक्स 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

इस व्यंजक के शून्यक: x = 3; एक्स = -3; x = 0. इसके अलावा, x = 0 दूसरी बहुलता का मूल है, जिसका अर्थ है कि इससे गुजरने पर फलन का चिह्न नहीं बदलता है। हमारे पास है:

हमें x (−∞ −3)∪(3; +∞) प्राप्त होता है। यह सेट पूरी तरह से लघुगणक के ODZ में समाहित है, जिसका अर्थ है कि यह उत्तर है।

लॉगरिदमिक असमानताओं का परिवर्तन

अक्सर मूल असमानता ऊपर वाले से भिन्न होती है। इसे ठीक करना आसान है मानक नियमलघुगणक के साथ कार्य करें - "लघुगणक के मूल गुण" देखें। अर्थात्:

1. किसी भी संख्या को दिए गए आधार के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है;
2. समान आधार वाले लघुगणक के योग और अंतर को एकल लघुगणक से बदला जा सकता है।

अलग से, मैं आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में याद दिलाना चाहता हूं। चूंकि मूल असमानता में कई लघुगणक हो सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का डीपीवी खोजना आवश्यक है। इस प्रकार, सामान्य योजनालघुगणकीय असमानताओं का समाधान निम्नलिखित है:

1. असमानता में शामिल प्रत्येक लघुगणक का ODZ ज्ञात कीजिए;
2. लघुगणक जोड़ने और घटाने के सूत्रों का उपयोग करके असमानता को मानक एक तक कम करें;
3. उपरोक्त योजना के अनुसार परिणामी असमानता को हल करें।

काम। असमानता को हल करें:

पहले लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र (ODZ) ज्ञात कीजिए:

हम अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं। अंश का शून्य ज्ञात करना:

3x - 2 = 0;
एक्स = 2/3।

तब - हर के शून्य:

एक्स - 1 = 0;
एक्स = 1.

हम निर्देशांक तीर पर शून्य और चिह्न अंकित करते हैं:

हमें x (−∞ 2/3)∪(1; +∞) प्राप्त होता है। ODZ का दूसरा लघुगणक वही होगा। अगर आपको मेरी बात पर विश्वास नहीं है तो आप चेक कर सकते हैं। अब हम दूसरे लघुगणक को रूपांतरित करते हैं ताकि आधार दो हो:

जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर और लघुगणक से पहले के त्रिगुण सिकुड़ गए हैं। हमें दो लघुगणक प्राप्त हुए हैं एक ही आधार. आइए उन्हें एक साथ रखें:

लॉग 2 (x - 1) 2< 2;
लॉग 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

हमने मानक लघुगणकीय असमानता प्राप्त की है। हम सूत्र द्वारा लघुगणक से छुटकारा पाते हैं। चूँकि मूल असमानता में "से कम" का चिन्ह है, परिणामी तर्कसंगत अभिव्यक्तिभी होना चाहिए शून्य से कम. हमारे पास है:

(एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2)(2 - 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
एक्स 2 - 2x - 3< 0;
(एक्स - 3)(एक्स + 1)< 0;
एक्स (−1; 3)।

हमें दो सेट मिले:

1. ओडीजेड: एक्स ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. उत्तर उम्मीदवार: x (−1; 3)।

इन सेटों को पार करना बाकी है - हमें असली जवाब मिलता है:

हम समुच्चयों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, इसलिए हम दोनों तीरों पर छायांकित अंतरालों को चुनते हैं। हमें x (−1; 2/3)∪(1; 3) मिलता है - सभी बिंदु पंचर हैं।

एक असमानता का पाठ शोध कार्य के कौशल का निर्माण करता है, छात्रों के विचारों को जागृत करता है, सरलता विकसित करता है और छात्रों की कार्य में रुचि बढ़ाता है। जब छात्रों ने सीख लिया हो तो इसका संचालन करना बेहतर होता है आवश्यक अवधारणाएंऔर लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए कई विशेष तरीकों का विश्लेषण किया। इस पाठ में, छात्र समाधान की तलाश में सक्रिय भागीदार हैं।

पाठ प्रकार

. एक नई स्थिति में ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के अनुप्रयोग में एक सबक। (अध्ययन की गई सामग्री के व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण का पाठ)।

पाठ मकसद

:

• शिक्षात्मक
: निर्दिष्ट प्रकार की लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए कौशल और क्षमताओं का निर्माण करना विभिन्न तरीके; स्वयं ज्ञान प्राप्त करना सीखें ( स्वयं की गतिविधियाँछात्रों को सामग्री का अध्ययन और मास्टर करने के लिए शैक्षिक सामग्री);
• विकसित होना
: भाषण के विकास पर काम; विश्लेषण करना सिखाना, मुख्य बात को उजागर करना, तार्किक निष्कर्षों को सिद्ध करना और उनका खंडन करना;
• शिक्षात्मक
: नैतिक गुणों का निर्माण, मानवीय संबंध, सटीकता, अनुशासन, आत्म-सम्मान, लक्ष्य प्राप्त करने के लिए जिम्मेदार रवैया।

कक्षाओं के दौरान।

1. संगठनात्मक क्षण।

मौखिक कार्य।

2. गृहकार्य की जाँच करना।

गणितीय भाषा में वाक्य लिखें: "संख्या ए और बी एकता के एक तरफ हैं", "संख्या ए और बी चालू हैं" विभिन्न पक्षएकता से" और परिणामी असमानताओं को साबित करें। (बोर्ड पर, छात्रों में से एक ने पहले से समाधान तैयार किया)।

3. पाठ के विषय, उसके लक्ष्यों और उद्देश्यों की रिपोर्ट करना।

गणित में प्रवेश परीक्षा के विकल्पों का विश्लेषण करते हुए, कोई यह देख सकता है कि परीक्षाओं में लघुगणक के सिद्धांत से, लघुगणक असमानताएं अक्सर लघुगणक के तहत एक चर युक्त होती हैं और लघुगणक का आधार.

हमारा सबक है एक असमानता में एक सबक, लघुगणक के तहत और लघुगणक के आधार पर एक चर युक्त,अलग-अलग तरीकों से हल किया। ऐसा कहा जाता है कि एक ही तरह से कई असमानताओं को हल करने से बेहतर है कि एक असमानता को हल किया जाए, लेकिन अलग-अलग तरीकों से। वास्तव में, आपको अपने निर्णयों की जांच करने में सक्षम होना चाहिए। बेहतर जांचनहीं, कार्य को एक अलग तरीके से हल करने और एक ही उत्तर प्राप्त करने के अलावा (आप एक ही सिस्टम में आ सकते हैं, एक ही असमानता, अलग-अलग तरीकों से समीकरण)। लेकिन न केवल इस लक्ष्य का पीछा विभिन्न तरीकों से कार्यों को हल करते समय किया जाता है। सभी संभावित मामलों पर विचार करते हुए, विभिन्न समाधानों की तलाश में, क्रिटिकल असेसमेंटउन्हें सबसे तर्कसंगत, सुंदर, is . को उजागर करने के लिए एक महत्वपूर्ण कारकगणितीय सोच का विकास, टेम्पलेट से दूर ले जाना। इसलिए, आज हम केवल एक असमानता को हल करेंगे, लेकिन हम इसे हल करने के कई तरीके खोजने की कोशिश करेंगे।

4. रचनात्मक अनुप्रयोगऔर ज्ञान का अधिग्रहण, असमानता को हल करने में पहले से अर्जित ज्ञान और कौशल के आधार पर निर्मित समस्याग्रस्त कार्यों को हल करके गतिविधि के तरीकों का विकास लॉग x (x 2 - 2x - 3)< 0.

यहाँ इस असमानता का समाधान है, जो एक परीक्षा पत्र से लिया गया है। इसे ध्यान से देखें और समाधान का विश्लेषण करने का प्रयास करें। (असमानता का समाधान बोर्ड पर पहले से लिखा हुआ है)

लघुगणक x (x 2 - 2x - 3)< log x 1;

ए) एक्स 2 - 2x - 3> 0; बी) एक्स 2 - 2x - 3< 1;

एक्स 2 - 2x - 3 = 0; एक्स 2 - 2x - 4< 0;

एक्स 1 \u003d - 1, एक्स 2 \u003d 3; एक्स 2 - 2x - 4 = 0;

ग) प्रणाली का समाधान

संभावित छात्र स्पष्टीकरण:

यह एक समीकरण नहीं है, बल्कि एक असमानता है, इसलिए जब एक लघुगणक असमानता से तर्कसंगत संकेतअसमानता लघुगणक और एकरसता के आधार पर निर्भर करेगी लॉगरिदमिक फ़ंक्शन.

इस निर्णय के साथ, खरीदना संभव है बाहरी निर्णय, या समाधान का नुकसान, और यह संभव है कि गलत निर्णय के साथ, सही उत्तर प्राप्त हो जाएगा।

तो इस असमानता को हल करना कैसे आवश्यक था, जिसमें चर लघुगणक के संकेत के तहत और लघुगणक के आधार पर है?!

यह असमानता असमानताओं की दो प्रणालियों के संयोजन के बराबर है।

असमानताओं की पहली प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।

असमानताओं की व्यवस्था का समाधान होगा

परीक्षा पत्र से असमानता के प्रस्तावित समाधान में उत्तर सही था। क्यों?

संभावित छात्र प्रतिक्रियाएं:

चूँकि असमानता के बाईं ओर के फलन के प्रांत में 3 से बड़ी संख्याएँ होती हैं, इसलिए फलन y = log x t बढ़ रहा है। तो उत्तर सही है।

परीक्षा के प्रश्न-पत्र में कोई गणितीय रूप से सही हल कैसे लिख सकता है?

दूसरा रास्ता।

हम असमानता के बाईं ओर फ़ंक्शन का डोमेन पाते हैं, और फिर, परिभाषा के डोमेन को ध्यान में रखते हुए, केवल एक मामले पर विचार करें

इस असमानता को और कैसे हल किया जा सकता है? कौन से सूत्र लागू किए जा सकते हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र a > 0, a 1

तीसरा रास्ता।

चतुर्थ रास्ता।

क्या असमानता पर ही इस तथ्य को लागू करना संभव है कि लघुगणक शून्य से कम है?

हां। लघुगणक के नीचे की अभिव्यक्ति और लघुगणक का आधार एकता के विपरीत पक्षों पर है, लेकिन सकारात्मक है!

यही है, हम फिर से असमानताओं की दो प्रणालियों का एक ही सेट प्राप्त करते हैं:

सभी मानी जाने वाली विधियाँ असमानताओं की दो प्रणालियों के एक समूह की ओर ले जाती हैं। सभी मामलों में, एक ही उत्तर प्राप्त होता है। सभी विधियां सैद्धांतिक रूप से उचित हैं।

छात्रों से प्रश्न: आपको क्या लगता है, गृहकार्य में ऐसा प्रश्न क्यों पूछा गया जो 11वीं कक्षा में पढ़ी गई सामग्री से संबंधित नहीं था?

लघुगणक के गुणों को जानना कि लॉग ए बी< 0 , अगर एऔर बी 1 . के विपरीत पक्षों पर

लॉग ए बी> 0 अगर एऔर बी 1 के एक तरफ, आप बहुत दिलचस्प और अप्रत्याशित तरीकाअसमानता का समाधान। इस विधि का वर्णन क्वांट नंबर 10, 1990 पत्रिका में "कुछ उपयोगी लघुगणक संबंध" लेख में किया गया है।

लॉग जी(एक्स) एफ(एक्स) > 0 अगर

लॉग जी (एक्स) एफ (एक्स)< 0, если

(हालात क्यों g(x) 1 क्या लिखना आवश्यक नहीं है?)

असमानता का समाधान लघुगणक x (x 2 - 2x - 3)< 0 ऐसा दिखता है:

ए) एक्स 2 - 2x - 3> 0; बी) (एक्स -1) (एक्स 2 - 2x - 4)< 0;

ग) असमानता की प्रणाली का समाधान

छठी रास्ता।

अंतराल विधि। ("अंतराल विधि का उपयोग करके लघुगणकीय असमानताओं को हल करना" अगले पाठ का विषय है)।

5. किए गए कार्य का परिणाम।

1. असमानता का समाधान किन तरीकों से किया गया? इसे हल करने के कितने तरीके हैं

क्या हमने असमानता पाई?

2. सबसे तर्कसंगत कौन सा है? सुन्दर है?

3. प्रत्येक मामले में असमानता को हल करने का आधार क्या था?

4. यह असमानता दिलचस्प क्यों है?

शिक्षक द्वारा कक्षा के काम की गुणात्मक विशेषताएं।

6. अध्ययन की गई सामग्री का सामान्यीकरण।

क्या इस असमानता पर विचार करना संभव है विशेष मामलाअधिक सामान्य समस्या?

फॉर्म की असमानता लॉग जी (एक्स) एफ (एक्स)<(>) लॉग जी (एक्स) एच (एक्स)असमानता को कम किया जा सकता है लॉग जी (एक्स) पी (एक्स)<(>) 0 लघुगणक के गुणों और असमानताओं के गुणों का उपयोग करना।

असमानता को हल करें

लॉग एक्स (एक्स 2 + 3x - 3)> 1

उपरोक्त विधियों में से किसी के द्वारा।

7. गृहकार्यइसके क्रियान्वयन के निर्देश

.

1. असमानताओं को हल करें (गणित में प्रवेश परीक्षा के विकल्पों में से):

2. अगले पाठ में, हम लघुगणकीय असमानताओं पर विचार करेंगे, जिन्हें अंतराल विधि द्वारा हल किया जाता है। अंतराल विधि द्वारा असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म को दोहराएं।

3. संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें (यह व्यवस्था क्यों समझाएं):

लॉग 0.35; ; ; लॉग 0.5 3 (अगले पाठ के लिए दोहराएं)।

उपयोग में लघुगणक असमानताएँ

सेचिन मिखाइल अलेक्जेंड्रोविच

कजाकिस्तान गणराज्य के छात्रों के लिए विज्ञान की लघु अकादमी "साधक"

MBOU "सोवियत माध्यमिक विद्यालय नंबर 1", ग्रेड 11, शहर। सोवियत्स्की सोवियत जिला

गुंको लुडमिला दिमित्रिग्ना, एमबीओयू शिक्षक"सोवियत स्कूल नंबर 1"

सोवियत्स्की जिला

उद्देश्य:गैर-मानक विधियों का उपयोग करके लघुगणक C3 असमानताओं को हल करने के लिए तंत्र का अध्ययन, पहचान करना रोचक तथ्यलघुगणक

अध्ययन का विषय:

3) गैर-मानक विधियों का उपयोग करके विशिष्ट लघुगणक C3 असमानताओं को हल करना सीखें।

परिणाम:

विषय

परिचय …………………………………………………………………………….4

अध्याय 1. पृष्ठभूमि………………………………………………………5

अध्याय 2. लघुगणकीय असमानताओं का संग्रह ………………………… 7

2.1. समतुल्य संक्रमण और सामान्यीकृत अंतराल विधि…………… 7

2.2. युक्तिकरण विधि ………………………………………………… 15

2.3. गैर-मानक प्रतिस्थापन ………………………………………………………………………………………………… 22

2.4. जाल के साथ कार्य …………………………………………… 27

निष्कर्ष………………………………………………………… 30

साहित्य……………………………………………………………………। 31

परिचय

मैं 11वीं कक्षा में हूँ और मेरी विश्वविद्यालय में प्रवेश करने की योजना है, जहाँ प्रोफ़ाइल विषयगणित है। और इसलिए मैं भाग सी के कार्यों के साथ बहुत काम करता हूं। कार्य सी 3 में, आपको हल करने की आवश्यकता है गैर-मानक असमानताया असमानताओं की एक प्रणाली, जो आमतौर पर लघुगणक से जुड़ी होती है। परीक्षा की तैयारी करते समय, मुझे C3 में दी गई परीक्षा लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के तरीकों और तकनीकों की कमी की समस्या का सामना करना पड़ा। तरीकों का अध्ययन किया जाता है स्कूल के पाठ्यक्रमइस विषय पर, कार्य C3 को हल करने के लिए आधार प्रदान न करें। गणित के शिक्षक ने सुझाव दिया कि मैं उनके मार्गदर्शन में अपने दम पर C3 असाइनमेंट के साथ काम करता हूं। इसके अलावा, मुझे इस सवाल में दिलचस्पी थी: क्या हमारे जीवन में लघुगणक हैं?

इसे ध्यान में रखते हुए, विषय चुना गया था:

"परीक्षा में लघुगणकीय असमानताएँ"

उद्देश्य:लघुगणक के बारे में दिलचस्प तथ्यों का खुलासा करते हुए, गैर-मानक तरीकों का उपयोग करके C3 समस्याओं को हल करने के लिए तंत्र का अध्ययन।

अध्ययन का विषय:

1) खोजें आवश्यक जानकारीके विषय में गैर-मानक तरीकेलघुगणकीय असमानताओं का समाधान।

2) खोजें अतिरिक्त जानकारीलघुगणक के बारे में।

3) निर्णय लेना सीखें विशिष्ट कार्यों C3 गैर-मानक तरीकों का उपयोग कर रहा है।

परिणाम:

व्यवहारिक महत्व C3 समस्याओं को हल करने के लिए तंत्र का विस्तार करना है। पदार्थकुछ पाठों में, मंडलियों के संचालन के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, अतिरिक्त पाठयक्रम गतिविधियोंअंक शास्त्र।

परियोजना उत्पादसंग्रह "समाधान के साथ लघुगणकीय असमानताएँ C3" होगा।

अध्याय 1. पृष्ठभूमि

16वीं शताब्दी के दौरान, अनुमानित गणनाओं की संख्या में तेजी से वृद्धि हुई, मुख्यतः खगोल विज्ञान में। उपकरणों में सुधार, ग्रहों की चाल का अध्ययन, और अन्य कार्यों के लिए बहुत अधिक, कभी-कभी कई वर्षों, गणनाओं की आवश्यकता होती है। अधूरी गणनाओं में खगोल विज्ञान के डूबने का वास्तविक खतरा था। अन्य क्षेत्रों में भी कठिनाइयाँ उत्पन्न हुईं, उदाहरण के लिए, बीमा व्यवसाय में, तालिकाओं की आवश्यकता थी चक्रवृद्धि ब्याजके लिए विभिन्न अर्थप्रतिशत। मुख्य कठिनाई गुणा, भाग थी बहु अंक संख्या, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय मात्रा।

लघुगणक की खोज 16वीं शताब्दी के अंत तक प्रगति के प्रसिद्ध गुणों पर आधारित थी। सदस्यों के बीच संचार के बारे में ज्यामितीय अनुक्रमक्यू, क्यू2, क्यू3, ... और अंकगणितीय प्रगतिउनके संकेतक 1, 2, 3, ... आर्किमिडीज ने "भजन" में बात की थी। एक और शर्त थी डिग्री की अवधारणा का नकारात्मक और की अवधारणा का विस्तार भिन्नात्मक संकेतक. कई लेखकों ने इंगित किया है कि गुणा, भाग, एक शक्ति तक बढ़ाना, और जड़ निकालना अंकगणित में समान रूप से मेल खाता है - उसी क्रम में - जोड़, घटाव, गुणा और भाग।

यहाँ एक घातांक के रूप में लघुगणक का विचार था।

लघुगणक के सिद्धांत के विकास के इतिहास में, कई चरण बीत चुके हैं।

प्रथम चरण

लॉगरिदम का आविष्कार 1594 के बाद स्वतंत्र रूप से स्कॉटिश बैरन नेपियर (1550-1617) द्वारा और दस साल बाद स्विस मैकेनिक बर्गी (1552-1632) द्वारा किया गया था। दोनों एक नया सुविधाजनक साधन देना चाहते थे अंकगणितीय गणनाहालांकि उन्होंने इस समस्या से अलग-अलग तरीकों से संपर्क किया। नेपियर ने कीनेमेटिक रूप से लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को व्यक्त किया और इस प्रकार, में प्रवेश किया नया क्षेत्रकार्य सिद्धांत। बर्गी असतत प्रगति के विचार के आधार पर बने रहे। हालाँकि, दोनों के लिए लघुगणक की परिभाषा आधुनिक के समान नहीं है। शब्द "लघुगणक" (लघुगणक) नेपियर से संबंधित है। यह एक संयोजन से उत्पन्न हुआ ग्रीक शब्द: लोगो - "संबंध" और अरीक्मो - "संख्या", जिसका अर्थ है "संबंधों की संख्या"। प्रारंभ में, नेपियर ने एक अलग शब्द का प्रयोग किया: संख्यात्मक कृत्रिम - "कृत्रिम संख्या", जैसा कि संख्यात्मक प्राकृतिक - "प्राकृतिक संख्या" के विपरीत है।

1615 में, लंदन के ग्रेश कॉलेज में गणित के प्रोफेसर हेनरी ब्रिग्स (1561-1631) के साथ बातचीत में, नेपियर ने एक के लघुगणक के लिए शून्य लेने का सुझाव दिया, और दस के लघुगणक के लिए 100, या, जो नीचे उबलता है एक ही बात, सिर्फ 1. इस तरह दशमलव लघुगणकऔर पहली लघुगणक तालिकाएँ मुद्रित की गईं। बाद में, ब्रिग्स टेबल को डच बुकसेलर और गणितज्ञ एंड्रियन फ्लैक (1600-1667) द्वारा पूरक किया गया। नेपियर और ब्रिग्स, हालांकि वे किसी और से पहले लघुगणक में आए, उन्होंने अपनी तालिकाओं को दूसरों की तुलना में बाद में प्रकाशित किया - 1620 में। साइन लॉग और लॉग 1624 में आई. केप्लर द्वारा पेश किए गए थे। शब्द "प्राकृतिक लघुगणक" 1659 में मेंगोली द्वारा पेश किया गया था, उसके बाद 1668 में एन। मर्केटर द्वारा, और लंदन के शिक्षक जॉन स्पैडल ने "न्यू लॉगरिदम" नाम के तहत 1 से 1000 तक की संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाएँ प्रकाशित कीं।

रूसी में, पहली लॉगरिदमिक टेबल 1703 में प्रकाशित हुई थी। लेकिन सभी लघुगणकीय तालिकाओं में गणना में त्रुटियां की गईं। पहली त्रुटि-मुक्त तालिकाएँ 1857 में बर्लिन में जर्मन गणितज्ञ के. ब्रेमिकर (1804-1877) के प्रसंस्करण में प्रकाशित हुई थीं।

चरण 2

लघुगणक के सिद्धांत का आगे विकास अधिक से जुड़ा हुआ है विस्तृत आवेदन विश्लेषणात्मक ज्यामितिऔर इनफिनिटसिमल कैलकुलस। उस समय तक, एक समबाहु अतिपरवलय के चतुर्भुज के बीच संबंध की स्थापना और प्राकृतिक. इस काल के लघुगणक का सिद्धांत कई गणितज्ञों के नामों से जुड़ा है।

जर्मन गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और इंजीनियर निकोलस मर्केटर अपने निबंध में

"लॉगरिथमोटेक्निक" (1668) एक श्रृंखला देता है जो एलएन (एक्स + 1) के विस्तार को दर्शाता है

शक्तियां एक्स:

यह अभिव्यक्ति उनके विचार के पाठ्यक्रम से बिल्कुल मेल खाती है, हालांकि, निश्चित रूप से, उन्होंने d, ..., लेकिन अधिक बोझिल प्रतीकों का उपयोग नहीं किया था। लॉगरिदमिक श्रृंखला की खोज के साथ, लॉगरिदम की गणना करने की तकनीक बदल गई: उन्हें अनंत श्रृंखला का उपयोग करके निर्धारित किया जाने लगा। अपने व्याख्यान में "प्राथमिक गणित के साथ उच्चतम बिंदुव्यू", 1907-1908 में पढ़ा गया, एफ. क्लेन ने लघुगणक के सिद्धांत के निर्माण के लिए सूत्र को एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में उपयोग करने का सुझाव दिया।

चरण 3

व्युत्क्रम के एक समारोह के रूप में एक लघुगणकीय कार्य की परिभाषा

घातांक, लघुगणक घातांक के रूप में यह मैदान

तुरंत तैयार नहीं किया गया था। लियोनहार्ड यूलर का काम (1707-1783)

"इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण का परिचय" (1748) ने आगे के रूप में कार्य किया

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के सिद्धांत का विकास। इस प्रकार,

लॉगरिदम को पहली बार पेश किए 134 साल बीत चुके हैं

(1614 से गिनती) गणितज्ञों की परिभाषा के साथ आने से पहले

लघुगणक की अवधारणा, जो अब स्कूल पाठ्यक्रम का आधार है।

अध्याय 2. लघुगणकीय असमानताओं का संग्रह

2.1. समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि।

समतुल्य संक्रमण

अगर एक> 1

अगर 0 < а < 1

सामान्यीकृत अंतराल विधि

यह विधिलगभग किसी भी प्रकार की असमानताओं को हल करने में सबसे सार्वभौमिक। समाधान योजना इस तरह दिखती है:

1. असमानता को ऐसे रूप में लाएं, जहां फलन बाईं ओर स्थित हो
, और 0 दाईं ओर।

2. फ़ंक्शन का दायरा खोजें
.

3. किसी फलन के शून्यक ज्ञात कीजिए
, अर्थात्, समीकरण को हल करें
(और समीकरण को हल करना आमतौर पर असमानता को हल करने से आसान होता है)।

4. एक वास्तविक रेखा पर परिभाषा का प्रांत और फलन के शून्यक खींचिए।

5. फ़ंक्शन के संकेत निर्धारित करें
प्राप्त अंतराल पर।

6. उन अंतरालों का चयन करें जहां फलन लेता है आवश्यक मान, और उत्तर लिखिए।

उदाहरण 1

फेसला:

अंतराल विधि लागू करें

कहाँ पे

इन मानों के लिए, लघुगणक के चिह्नों के अंतर्गत सभी व्यंजक धनात्मक होते हैं।

जवाब:

उदाहरण 2

फेसला:

1 मार्ग . ODZ असमानता से निर्धारित होता है एक्स> 3. ऐसे के लिए लघुगणक लेना एक्सआधार 10 में, हम प्राप्त करते हैं

अंतिम असमानता को अपघटन नियमों को लागू करके हल किया जा सकता है, अर्थात। कारकों की शून्य से तुलना करना। हालांकि, में इस मामले मेंकिसी फ़ंक्शन के साइन कॉन्स्टेंसी अंतराल को निर्धारित करना आसान है

इसलिए अंतराल विधि लागू की जा सकती है।

समारोह एफ(एक्स) = 2एक्स(एक्स- 3.5) एलजीǀ एक्स- 3ǀ निरंतर है एक्स> 3 और बिंदुओं पर गायब हो जाता है एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 3,5, एक्स 3 = 2, एक्स 4 = 4. इस प्रकार, हम फलन की स्थिरता के अंतरालों को निर्धारित करते हैं एफ(एक्स):

जवाब:

दूसरा रास्ता . आइए हम अंतराल की विधि के विचारों को सीधे मूल असमानता पर लागू करें।

इसके लिए हमें याद है कि व्यंजक एबी- एग और ( ए - 1)(बी- 1) एक चिन्ह है। तब हमारी असमानता एक्स> 3 असमानता के बराबर है

या

अंतिम असमानता को अंतराल विधि द्वारा हल किया जाता है

जवाब:

उदाहरण 3

फेसला:

अंतराल विधि लागू करें

जवाब:

उदाहरण 4

फेसला:

2 . के बाद से एक्स 2 - 3एक्स+ 3 > 0 सभी वास्तविक के लिए एक्स, तब

दूसरी असमानता को हल करने के लिए, हम अंतराल विधि का उपयोग करते हैं

पहली असमानता में, हम परिवर्तन करते हैं

तब हम असमिका 2y 2 पर पहुँचते हैं - आप - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те आप, जो असमानता को संतुष्ट करता है -0.5< आप < 1.

कहाँ से, क्योंकि

हमें असमानता मिलती है

जिसके साथ किया जाता है एक्स, जिसके लिए 2 एक्स 2 - 3एक्स - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

अब, प्रणाली की दूसरी असमानता के समाधान को ध्यान में रखते हुए, हम अंततः प्राप्त करते हैं

जवाब:

उदाहरण 5

फेसला:

असमानता सिस्टम के एक सेट के बराबर है

या

अंतराल विधि लागू करें या

जवाब:

उदाहरण 6

फेसला:

असमानता एक प्रणाली के समान है

रहने दो

तब आप > 0,

और पहली असमानता

सिस्टम रूप लेता है

या, विस्तार

वर्ग त्रिपदगुणकों के लिए,

अंतराल विधि को अंतिम असमानता पर लागू करना,

हम देखते हैं कि इसके समाधान स्थिति को संतुष्ट करते हैं आप> 0 सब होगा आप > 4.

इस प्रकार, मूल असमानता प्रणाली के बराबर है:

तो, असमानता के सभी समाधान हैं

2.2. युक्तिकरण विधि।

पहले, असमानता के युक्तिकरण की विधि हल नहीं हुई थी, यह ज्ञात नहीं था। यह है नया आधुनिक प्रभावी तरीकाघातीय और लघुगणकीय असमानताओं के समाधान" (कोलेनिकोवा एस.आई. द्वारा पुस्तक से उद्धरण)
और अगर शिक्षक उसे जानता भी था, तो एक डर था - लेकिन क्या वह जानता है विशेषज्ञ का उपयोग करेंवे इसे स्कूल में क्यों नहीं देते? ऐसे हालात थे जब शिक्षक ने छात्र से कहा: "कहां से मिला? बैठ जाओ - 2।"
अब हर जगह इस पद्धति का प्रचार किया जा रहा है। और विशेषज्ञों के लिए है दिशा निर्देशोंइस पद्धति से संबंधित और "अधिकांश" में पूर्ण संस्करण मानक विकल्प..." समाधान C3 इस विधि का उपयोग करता है।
तरीका बढ़िया है!

"मैजिक टेबल"

अन्य स्रोतों में

अगर a >1 और b >1, फिर a b >0 और (a -1)(b -1)>0 लॉग करें;

अगर ए> 1 और 0

अगर 0<ए<1 и b >1, फिर एक बी लॉग करें<0 и (a -1)(b -1)<0;

अगर 0<ए<1 и 00 और (ए -1) (बी -1)> 0।

उपरोक्त तर्क सरल है, लेकिन लॉगरिदमिक असमानताओं के समाधान को स्पष्ट रूप से सरल करता है।

उदाहरण 4

लॉग एक्स (एक्स 2 -3)<0

फेसला:

उदाहरण 5

लॉग 2 x (2x 2 -4x +6)≤लॉग 2 x (x 2 +x )

फेसला:

जवाब. (0; 0.5) यू।

उदाहरण 6

इस असमानता को हल करने के लिए, हम हर के बजाय (x-1-1) (x-1) और अंश के बजाय गुणन (x-1) (x-3-9 + x) लिखते हैं।

जवाब : (3;6)

उदाहरण 7

उदाहरण 8

2.3. गैर-मानक प्रतिस्थापन।

उदाहरण 1

उदाहरण 2

उदाहरण 3

उदाहरण 4

उदाहरण 5

उदाहरण 6

उदाहरण 7

लॉग 4 (3 x -1) लॉग 0.25

आइए प्रतिस्थापन करें y=3 x -1; तब यह असमानता रूप लेती है

लॉग 4 लॉग 0.25
.

जैसा लॉग 0.25 = -लॉग 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , फिर हम अंतिम असमानता को 2log 4 y -log 4 2 y के रूप में फिर से लिखते हैं।

आइए एक प्रतिस्थापन करें t =log 4 y और असमानता t 2 -2t +≥0 प्राप्त करें, जिसका समाधान अंतराल है - .

इस प्रकार, y का मान ज्ञात करने के लिए, हमारे पास दो सरल असमानताओं का एक समुच्चय है
इस संग्रह का हल अंतराल 0 . है<у≤2 и 8≤у<+.

इसलिए, मूल असमानता दो घातीय असमानताओं के समुच्चय के बराबर है,
यानी समुच्चय

इस सेट की पहली असमानता का समाधान अंतराल 0 . है<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. इस प्रकार, मूल असमानता 0 . के अंतराल से x के सभी मानों के लिए है<х≤1 и 2≤х<+.

उदाहरण 8

फेसला:

असमानता एक प्रणाली के समान है

दूसरी असमानता का समाधान, जो ODZ निर्धारित करता है, उन का समुच्चय होगा एक्स,

जिसके लिए एक्स > 0.

पहली असमानता को हल करने के लिए, हम परिवर्तन करते हैं

तब हमें असमानता मिलती है

या

अंतिम असमानता के समाधान का सेट विधि द्वारा पाया जाता है

अंतराल: -1< टी < 2. Откуда, возвращаясь к переменной एक्स, हम पाते हैं

या

उनमें से कई एक्स, जो अंतिम असमानता को संतुष्ट करता है

ओडीजेड से संबंधित है ( एक्स> 0), इसलिए, सिस्टम का एक समाधान है,

और इसलिए मूल असमानता।

जवाब:

2.4. जाल के साथ कार्य।

उदाहरण 1

.

फेसला।असमानता का ODZ सभी x है जो 0 . की स्थिति को संतुष्ट करता है . अत: अंतराल 0 . से सभी x

उदाहरण 2

लॉग 2 (2x +1-x 2)>लॉग 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? मुद्दा यह है कि दूसरी संख्या स्पष्ट रूप से . से बड़ी है

निष्कर्ष

विभिन्न शैक्षिक स्रोतों की एक विशाल विविधता से C3 समस्याओं को हल करने के लिए विशेष तरीके खोजना आसान नहीं था। किए गए कार्य के दौरान, मैं जटिल लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के लिए गैर-मानक विधियों का अध्ययन करने में सक्षम था। ये हैं: समतुल्य संक्रमण और अंतराल की सामान्यीकृत विधि, युक्तिकरण की विधि , गैर-मानक प्रतिस्थापन , ODZ पर ट्रैप के साथ कार्य। ये विधियां स्कूली पाठ्यक्रम में अनुपस्थित हैं।

विभिन्न तरीकों का उपयोग करते हुए, मैंने USE में भाग C, अर्थात् C3 में दी गई 27 असमानताओं को हल किया। विधियों द्वारा समाधान के साथ इन असमानताओं ने "समाधान के साथ लघुगणक C3 असमानता" संग्रह का आधार बनाया, जो मेरी गतिविधि का प्रोजेक्ट उत्पाद बन गया। परियोजना की शुरुआत में मैंने जो परिकल्पना सामने रखी थी, उसकी पुष्टि हो गई थी: यदि इन विधियों को जाना जाए तो C3 समस्याओं को प्रभावी ढंग से हल किया जा सकता है।

इसके अलावा, मैंने लघुगणक के बारे में रोचक तथ्य खोजे। यह करना मेरे लिए दिलचस्प था। मेरे प्रोजेक्ट उत्पाद छात्रों और शिक्षकों दोनों के लिए उपयोगी होंगे।

जाँच - परिणाम:

इस प्रकार, परियोजना का लक्ष्य प्राप्त किया जाता है, समस्या हल हो जाती है। और मुझे काम के सभी चरणों में परियोजना गतिविधियों में सबसे पूर्ण और बहुमुखी अनुभव मिला। परियोजना पर काम करने के दौरान, मेरा मुख्य विकासात्मक प्रभाव मानसिक क्षमता, तार्किक मानसिक संचालन से संबंधित गतिविधियों, रचनात्मक क्षमता के विकास, व्यक्तिगत पहल, जिम्मेदारी, दृढ़ता और गतिविधि पर था।

के लिए एक शोध परियोजना बनाते समय सफलता की गारंटी मैं बन गया हूं: महत्वपूर्ण स्कूल अनुभव, विभिन्न स्रोतों से जानकारी निकालने की क्षमता, इसकी विश्वसनीयता की जांच करना, इसे इसके महत्व के अनुसार रैंक करना।

गणित में सीधे विषय ज्ञान के अलावा, उन्होंने कंप्यूटर विज्ञान के क्षेत्र में अपने व्यावहारिक कौशल का विस्तार किया, मनोविज्ञान के क्षेत्र में नया ज्ञान और अनुभव प्राप्त किया, सहपाठियों के साथ संपर्क स्थापित किया और वयस्कों के साथ सहयोग करना सीखा। परियोजना गतिविधियों के दौरान, संगठनात्मक, बौद्धिक और संचारी सामान्य शैक्षिक कौशल और क्षमताओं का विकास किया गया।

साहित्य

1. कोर्यानोव ए। जी।, प्रोकोफिव ए। ए। एक चर के साथ असमानताओं की प्रणाली (विशिष्ट कार्य C3)।

2. मल्कोवा ए.जी. गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी।

3. एस. एस. समरोवा, लघुगणकीय असमानताओं का समाधान।

4. गणित। ए.एल. द्वारा संपादित प्रशिक्षण कार्यों का संग्रह। सेम्योनोव और आई.वी. यशचेंको। -एम.: एमटीएसएनएमओ, 2009. - 72 पी.-

लघुगणकीय असमानताओं की पूरी विविधता के बीच, एक चर आधार के साथ असमानताओं का अलग से अध्ययन किया जाता है। उन्हें एक विशेष सूत्र के अनुसार हल किया जाता है, जो किसी कारण से शायद ही कभी स्कूल में पढ़ाया जाता है। प्रस्तुति गणित में C3 USE - 2014 कार्यों के समाधान प्रस्तुत करती है।

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लघुगणक के आधार पर एक चर युक्त लघुगणकीय असमानताओं को हल करना: गणित के तरीके, तकनीक, समकक्ष संक्रमण शिक्षक MBOU माध्यमिक विद्यालय संख्या 143 Knyazkina T.V.

लघुगणकीय असमानताओं की पूरी विविधता के बीच, एक चर आधार के साथ असमानताओं का अलग से अध्ययन किया जाता है। उन्हें एक विशेष सूत्र का उपयोग करके हल किया जाता है, जो किसी कारण से स्कूल में शायद ही कभी पढ़ाया जाता है: लॉग k (x) f (x) log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 “∨” चेकबॉक्स के बजाय, आप कोई भी असमानता चिह्न लगा सकते हैं: कम या ज्यादा। मुख्य बात यह है कि दोनों असमानताओं में संकेत समान हैं। इसलिए हम लघुगणक से छुटकारा पाते हैं और समस्या को तर्कसंगत असमानता में कम करते हैं। उत्तरार्द्ध को हल करना बहुत आसान है, लेकिन लॉगरिदम को त्यागते समय, अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। उन्हें काटने के लिए, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को खोजने के लिए पर्याप्त है। लघुगणक के ODZ को मत भूलना! स्वीकार्य मूल्यों की सीमा से संबंधित सब कुछ अलग से लिखा और हल किया जाना चाहिए: f (x)> 0; जी (एक्स)> 0; के (एक्स)> 0; k (x) 1. ये चार असमानताएं एक प्रणाली का निर्माण करती हैं और इन्हें एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। जब स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पाई जाती है, तो इसे तर्कसंगत असमानता के समाधान के साथ पार करना बाकी है - और उत्तर तैयार है।

असमानता को हल करें: समाधान शुरू करने के लिए, आइए लघुगणक के ODZ को लिखें। पहली दो असमानताएँ स्वचालित रूप से की जाती हैं, और अंतिम को चित्रित करना होगा। चूँकि किसी संख्या का वर्ग शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि वह संख्या स्वयं शून्य के बराबर हो, तो हमें प्राप्त होता है: x 2 + 1 1; x2 0; एक्स 0। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं: x (−∞0)∪(0 ;+ )। अब हम मुख्य असमानता को हल करते हैं: हम लॉगरिदमिक असमानता से तर्कसंगत में संक्रमण करते हैं। मूल असमानता में "से कम" चिह्न होता है, इसलिए परिणामी असमानता भी "इससे कम" चिह्न के साथ होनी चाहिए।

हमारे पास है: (10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)

लघुगणकीय असमानताओं को परिवर्तित करना अक्सर मूल असमानता ऊपर वाले से भिन्न होती है। लॉगरिदम के साथ काम करने के लिए मानक नियमों का उपयोग करके इसे ठीक करना आसान है। अर्थात्: किसी भी संख्या को दिए गए आधार के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है; समान आधार वाले लघुगणक के योग और अंतर को एकल लघुगणक से बदला जा सकता है। अलग से, मैं आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में याद दिलाना चाहता हूं। चूंकि मूल असमानता में कई लघुगणक हो सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का डीपीवी खोजना आवश्यक है। इस प्रकार, लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है: असमानता में शामिल प्रत्येक लघुगणक के लिए ODZ ज्ञात कीजिए; लघुगणक जोड़ने और घटाने के सूत्रों का उपयोग करके असमानता को मानक एक तक कम करें; उपरोक्त योजना के अनुसार परिणामी असमानता को हल करें।

असमानता को हल करें: समाधान आइए पहले लघुगणक की परिभाषा (ODZ) का डोमेन खोजें: हम अंतराल की विधि द्वारा हल करते हैं। अंश के शून्य ज्ञात कीजिए: 3 x - 2 = 0; एक्स = 2/3। तब - हर शून्य: x - 1 = 0; x = 1. हम निर्देशांक रेखा पर शून्य और चिह्न अंकित करते हैं:

हमें x (−∞ 2/3) (1; +∞) प्राप्त होता है। ODZ का दूसरा लघुगणक वही होगा। अगर आपको मेरी बात पर विश्वास नहीं है तो आप चेक कर सकते हैं। अब आइए दूसरे लघुगणक को रूपांतरित करें ताकि आधार पर दो हों: जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर और लघुगणक के सामने के त्रिगुण कम हो गए हैं। एक ही आधार के दो लघुगणक प्राप्त करें। उन्हें जोड़ें: लॉग 2 (x - 1) 2

(एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) -1)

हम समुच्चयों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, इसलिए हम दोनों तीरों पर छायांकित अंतरालों को चुनते हैं। हमें मिलता है: x (−1; 2/3) (1; 3) - सभी बिंदु पंचर हैं। उत्तर: x (−1; 2/3)∪(1; 3)

एकीकृत राज्य परीक्षा-2014 प्रकार C3 के कार्यों को हल करना

असमानताओं की प्रणाली को हल करें समाधान। ओडीजेड: 1) 2)

असमानताओं की प्रणाली को हल करें 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + - - (जारी)

असमानताओं की प्रणाली को हल करें 4) सामान्य समाधान: और -7 -3 - 5 x -1 -8 7 लॉग 2 129 (जारी)

असमानता को हल करें (जारी) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

असमानता को हल करें समाधान। ओडीजेड:

असमानता को हल करें (जारी)

असमानता को हल करें समाधान। ओडीजेड: -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2