संख्या के पूर्णांक घातांक से ए में संक्रमण तर्कसंगत सूचक. नीचे हम एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री को परिभाषित करेंगे, और हम इसे इस तरह से करेंगे कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के सभी गुण संरक्षित रहें। यह आवश्यक है क्योंकि पूर्णांक भाग होते हैं भिन्नात्मक संख्याएं.

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्न, और प्रत्येक शामिल होते हैं एक भिन्नात्मक संख्यासकारात्मक या नकारात्मक के रूप में दर्शाया जा सकता है सामान्य अंश. हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री को परिभाषित किया था, इसलिए, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें संख्या की डिग्री को अर्थ देने की आवश्यकता है एसाथ भिन्नात्मक सूचक एम/एन, कहाँ एमएक पूर्णांक है, और एन- प्राकृतिक। चलो यह करते हैं।

आइए प्रपत्र के भिन्नात्मक घातांक वाली एक डिग्री पर विचार करें। सत्ता से सत्ता की संपत्ति वैध बने रहने के लिए समानता का होना जरूरी है . यदि हम परिणामी समानता को ध्यान में रखते हैं और हमने डिग्री की nवीं जड़ को कैसे निर्धारित किया है, तो इसे स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि दिया गया हो एम, एनऔर एअभिव्यक्ति समझ में आती है.

यह जांचना आसान है कि पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के सभी गुण मान्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के गुण अनुभाग में किया गया था)।

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है निष्कर्ष: यदि डेटा दिया गया है एम, एनऔर एअभिव्यक्ति समझ में आती है, फिर संख्या की शक्ति एएक भिन्नात्मक सूचक के साथ एम/एनजड़ कहा जाता है एनकी डिग्री एएक स्तर तक एम.

यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के करीब लाता है। जो कुछ बचा है उसका वर्णन करना बाकी है एम, एनऔर एअभिव्यक्ति समझ में आती है. पर लगाए गए प्रतिबंधों पर निर्भर करता है एम, एनऔर एदो मुख्य दृष्टिकोण हैं.

1. सबसे आसान तरीका है प्रतिबंध लगाना ए, स्वीकार कर लिया है a≥0सकारात्मक के लिए एमऔर ए>0नकारात्मक के लिए एम(कब से एम≤0डिग्री 0 मीनिर्धारित नहीं है)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की निम्नलिखित परिभाषा मिलती है।

परिभाषा।

एक धनात्मक संख्या की शक्ति एएक भिन्नात्मक सूचक के साथ एम/एन , कहाँ एम- संपूर्ण, और एन- एक प्राकृतिक संख्या, जिसे मूल कहा जाता है एनसंख्या का -वां एएक स्तर तक एम, वह है, ।

शून्य की भिन्नात्मक शक्ति भी एकमात्र चेतावनी के साथ निर्धारित की जाती है कि संकेतक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

भिन्नात्मक धनात्मक घातांक के साथ शून्य की शक्ति एम/एन , कहाँ एमएक धनात्मक पूर्णांक है, और एन- प्राकृतिक संख्या, के रूप में परिभाषित .
जब डिग्री निर्धारित नहीं होती है, यानी अंश के साथ संख्या शून्य की डिग्री नकारात्मक सूचककोई मतलब नहीं.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की इस परिभाषा के साथ, एक चेतावनी है: कुछ नकारात्मक के लिए एऔर कुछ एमऔर एनअभिव्यक्ति समझ में आती है, लेकिन हमने शर्त लगाकर इन मामलों को खारिज कर दिया a≥0. उदाहरण के लिए, प्रविष्टियाँ समझ में आती हैं या, और ऊपर दी गई परिभाषा हमें यह कहने के लिए बाध्य करती है कि घातों का रूप भिन्नात्मक घातांक है इसका कोई अर्थ नहीं है, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।

2. भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री निर्धारित करने का एक और तरीका एम/एनइसमें मूल के सम और विषम घातांकों पर अलग-अलग विचार करना शामिल है। इस दृष्टिकोण की आवश्यकता है अतिरिक्त शर्त: की डिग्री ए, जिसका घातांक एक न्यूनीकरणीय साधारण भिन्न है, को संख्या की घात माना जाता है ए, जिसका सूचक संगत है अघुलनशील अंश(इस स्थिति का महत्व नीचे बताया जाएगा)। अर्थात यदि एम/एनकिसी भी प्राकृत संख्या के लिए यह एक अपरिवर्तनीय भिन्न है कडिग्री को प्रारंभिक रूप से प्रतिस्थापित किया जाता है।

एक जैसे के लिए एनऔर सकारात्मक एमयह अभिव्यक्ति किसी भी गैर-नकारात्मक के लिए अर्थपूर्ण है ए(जड़ सम डिग्रीसे ऋणात्मक संख्याइसका कोई मतलब नहीं है), नकारात्मक के साथ एमसंख्या एअभी भी शून्य से भिन्न होना चाहिए (अन्यथा शून्य से विभाजन होगा)। और विषम के लिए एनऔर सकारात्मक एमसंख्या एकोई भी हो सकता है (किसी के लिए एक विषम मूल परिभाषित किया गया है वास्तविक संख्या), और नकारात्मक के लिए एमसंख्या एगैर-शून्य होना चाहिए (ताकि शून्य से कोई विभाजन न हो)।

उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की इस परिभाषा की ओर ले जाता है।

परिभाषा।

होने देना एम/एन– अपरिवर्तनीय अंश, एम- संपूर्ण, और एन- प्राकृतिक संख्या। किसी भी कम करने योग्य अंश के लिए, डिग्री को प्रतिस्थापित किया जाता है। की डिग्री एएक अघुलनशील भिन्नात्मक घातांक के साथ एम/एन- के लिए है

o कोई वास्तविक संख्या ए, पूर्णतः सकारात्मक एमऔर अजीब प्राकृतिक एन, उदाहरण के लिए, ;

o कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या ए, ऋणात्मक पूर्णांक एमऔर अजीब एन, उदाहरण के लिए, ;

ओ कोई भी गैर-नकारात्मक संख्या ए, पूर्णतः सकारात्मक एमऔर भी एन, उदाहरण के लिए, ;

ओ कोई सकारात्मक ए, ऋणात्मक पूर्णांक एमऔर भी एन, उदाहरण के लिए, ;

o अन्य मामलों में, भिन्नात्मक सूचक के साथ डिग्री निर्धारित नहीं की जाती है, उदाहरण के लिए डिग्री परिभाषित नहीं की जाती है .ए हम प्रविष्टि को कोई अर्थ नहीं देते हैं; हम सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के लिए संख्या शून्य की शक्ति को परिभाषित करते हैं एम/एनकैसे , ऋणात्मक भिन्नात्मक घातांक के लिए संख्या शून्य की घात निर्धारित नहीं की जाती है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक भिन्नात्मक घातांक को दशमलव भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है या मिश्रित संख्या, उदाहरण के लिए, . इस प्रकार के भावों के मानों की गणना करने के लिए, आपको घातांक को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखना होगा, और फिर घातांक की परिभाषा को भिन्नात्मक घातांक के साथ उपयोग करना होगा। उपरोक्त उदाहरणों के लिए हमारे पास है और

प्रथम स्तर

डिग्री और उसके गुण. व्यापक मार्गदर्शिका (2019)

डिग्री की आवश्यकता क्यों है? आपको उनकी आवश्यकता कहां होगी? आपको उनका अध्ययन करने के लिए समय क्यों निकालना चाहिए?

डिग्रियों के बारे में सब कुछ जानने के लिए, वे किस लिए हैं, अपने ज्ञान का उपयोग कैसे करें रोजमर्रा की जिंदगीइस लेख को पढ़ें.

और, निःसंदेह, डिग्रियों का ज्ञान आपको सफलता के करीब लाएगा OGE पास करनाया एकीकृत राज्य परीक्षा और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश।

चलो चले चलो चले!)

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प्रथम स्तर

किसी शक्ति तक पहुंचना एक समान है गणितीय कार्यजैसे जोड़, घटाव, गुणा या भाग.

अब मैं सब कुछ समझाऊंगा मानव भाषाबहुत सरल उदाहरण. ध्यान से। उदाहरण प्राथमिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातें समझाते हैं।

आइए जोड़ से शुरू करें।

यहां समझाने के लिए कुछ भी नहीं है. आप पहले से ही सब कुछ जानते हैं: हम आठ हैं। हर किसी के पास कोला की दो बोतलें हैं। वहां कितना कोला है? यह सही है - 16 बोतलें।

अब गुणा.

कोला के साथ एक ही उदाहरण को अलग तरीके से लिखा जा सकता है:। गणितज्ञ चालाक और आलसी लोग होते हैं। वे पहले कुछ पैटर्न नोटिस करते हैं, और फिर उन्हें तेजी से "गिनने" का तरीका ढूंढते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक के पास समान संख्या में कोला की बोतलें थीं और वे गुणन नामक एक तकनीक लेकर आए। सहमत हूँ, इसे इससे भी आसान और तेज़ माना जाता है।

इसलिए, तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना गिनती करने के लिए, आपको बस याद रखने की ज़रूरत है पहाड़ा. बेशक, आप हर काम धीमी गति से, अधिक कठिन और गलतियों के साथ कर सकते हैं! लेकिन…

यहाँ गुणन सारणी है. दोहराना।

और एक और, अधिक सुंदर:

आलसी गणितज्ञों ने गिनती की और कौन-सी चतुर चालें ईजाद की हैं? सही - किसी संख्या को घात तक बढ़ाना.

किसी संख्या को घात तक बढ़ाना

यदि आपको किसी संख्या को उसी से पाँच गुना गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणितज्ञों का कहना है कि आपको उस संख्या को पाँचवीं घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणितज्ञों को याद है कि दो से पाँचवीं घात है... और वे ऐसी समस्याओं को अपने दिमाग में हल करते हैं - तेज़, आसान और बिना गलतियों के।

आपको बस इतना करना है याद रखें कि संख्याओं की शक्तियों की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है. मेरा विश्वास करें, इससे आपका जीवन बहुत आसान हो जाएगा।

वैसे, इसे दूसरी डिग्री क्यों कहा जाता है? वर्गसंख्याएँ, और तीसरा - घनक्षेत्र? इसका मतलब क्या है? बहुत अच्छा प्रश्न. अब आपके पास वर्ग और घन दोनों होंगे।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

आइए वर्ग या संख्या की दूसरी घात से प्रारंभ करें।

एक मीटर गुणा एक मीटर मापने वाले एक वर्गाकार पूल की कल्पना करें। पूल आपके दचा में है। गर्मी है और मैं सचमुच तैरना चाहता हूँ। लेकिन... पूल में कोई पेंदी नहीं है! आपको पूल के निचले हिस्से को टाइल्स से ढंकना होगा। आपको कितनी टाइल्स की आवश्यकता है? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के निचले क्षेत्र को जानना होगा।

आप बस अपनी उंगली दिखाकर गणना कर सकते हैं कि पूल के तल में मीटर दर मीटर घन हैं। यदि आपके पास एक मीटर गुणा एक मीटर की टाइलें हैं, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है... लेकिन आपने ऐसी टाइलें कहाँ देखी हैं? टाइल संभवतः सेमी दर सेमी होगी। और फिर आपको "अपनी उंगली से गिनकर" यातना दी जाएगी। फिर आपको गुणा करना होगा. तो, पूल के तल के एक तरफ हम टाइलें (टुकड़े) फिट करेंगे और दूसरी तरफ भी, टाइलें। से गुणा करें और आपको टाइलें () मिलेंगी।

क्या आपने देखा कि पूल के तल का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए हमने उसी संख्या को उसी से गुणा किया है? इसका मतलब क्या है? चूँकि हम एक ही संख्या को गुणा कर रहे हैं, हम "घातांक" तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएँ हों, तब भी आपको उन्हें गुणा करने या उन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता होती है। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत सारे हैं, तो उन्हें एक घात तक बढ़ाना बहुत आसान है और गणना में त्रुटियाँ भी कम होती हैं। . एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है)।
तो, तीस से दूसरी घात () होगी। या हम कह सकते हैं कि तीस वर्ग होगा. दूसरे शब्दों में, किसी संख्या की दूसरी घात को हमेशा एक वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं, तो यह हमेशा किसी संख्या की दूसरी शक्ति है। वर्ग किसी संख्या की दूसरी घात का प्रतिबिम्ब है।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #2

यहां आपके लिए एक कार्य है: संख्या के वर्ग का उपयोग करके गिनें कि शतरंज की बिसात पर कितने वर्ग हैं... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी संख्या गिनने के लिए, आपको आठ को आठ से गुणा करना होगा या... यदि आपने ध्यान दिया हो शतरंज की बिसात- यह एक भुजा वाला वर्ग है, तो आप आठ वर्ग बना सकते हैं। आपको कोशिकाएं मिलेंगी. () इसलिए?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #3

अब किसी संख्या का घन या तीसरी शक्ति। वही तालाब. लेकिन अब आपको यह पता लगाना होगा कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है. (वैसे, मात्रा और तरल पदार्थ को मापा जाता है घन मीटर. अप्रत्याशित, सही?) एक पूल बनाएं: एक मीटर मापने वाला तल और एक मीटर की गहराई और गिनने का प्रयास करें कि एक मीटर गुणा मीटर मापने वाले कितने घन आपके पूल में फिट होंगे।

बस अपनी उंगली उठायें और गिनें! एक, दो, तीन, चार... बाईस, तेईस... आपको कितने मिले? खोया नहीं? क्या अपनी उंगली से गिनना मुश्किल है? ताकि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लीजिए। वे आलसी हैं, इसलिए उन्होंने देखा कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, आपको इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को एक दूसरे से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, पूल का आयतन घनों के बराबर होगा... आसान है, है ना?

अब कल्पना कीजिए कि अगर गणितज्ञों ने इसे भी सरल बना दिया तो वे कितने आलसी और चालाक गणितज्ञ होंगे। हमने हर चीज़ को एक कार्रवाई तक सीमित कर दिया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर हैं और वही संख्या अपने आप गुणा हो जाती है... इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का लाभ उठा सकते हैं। तो, जो आपने एक बार अपनी उंगली से गिना था, वे एक ही क्रिया में करते हैं: तीन घन बराबर हैं। इसे इस प्रकार लिखा गया है: .

बस इतना ही बाकी है डिग्रियों की तालिका याद रखें. बशर्ते, आप गणितज्ञों की तरह आलसी और चालाक न हों। यदि आपको कड़ी मेहनत करना और गलतियाँ करना पसंद है, तो आप अपनी उंगली से गिनना जारी रख सकते हैं।

खैर, अंततः आपको यह समझाने के लिए कि डिग्रियों का आविष्कार नौकरी छोड़ने वालों और चालाक लोगों ने अपने स्वयं के समाधान के लिए किया था जीवन की समस्याएँ, और आपके लिए समस्याएं पैदा न करने के लिए, यहां जीवन से कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #4

आपके पास दस लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आपके द्वारा कमाए गए प्रत्येक मिलियन के बदले में आप एक और मिलियन कमाते हैं। अर्थात्, प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में आपके पास प्रत्येक मिलियन दोगुना हो जाता है। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अभी बैठे हैं और "अपनी उंगली से गिन रहे हैं", तो आप बहुत मेहनती व्यक्ति हैं और... बेवकूफ हैं। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में उत्तर दे देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले वर्ष में - दो को दो से गुणा किया गया... दूसरे वर्ष में - क्या हुआ, दो और से, तीसरे वर्ष में... रुकें! आपने देखा कि संख्या अपने आप से गुणा हो जाती है। तो दो से पाँचवीं घात एक मिलियन है! अब कल्पना करें कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और जो सबसे तेज़ गिनती कर सकता है उसे ये लाखों मिलेंगे... यह संख्याओं की शक्तियों को याद रखने लायक है, क्या आपको नहीं लगता?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #5

आपके पास दस लाख हैं. प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, प्रत्येक दस लाख की कमाई पर आप दो और कमाते हैं। बढ़िया है ना? प्रत्येक मिलियन तीन गुना है। एक साल में आपके पास कितना पैसा होगा? आइये गिनते हैं। पहला वर्ष - गुणा करें, फिर परिणाम दूसरे से... यह पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले ही सब कुछ समझ चुके हैं: तीन को अपने आप से गुणा किया जाता है। तो चौथी शक्ति के लिए यह एक मिलियन के बराबर है। आपको बस यह याद रखना है कि तीन से चौथी शक्ति या है।

अब आप जानते हैं कि किसी संख्या को घात तक बढ़ाकर आप अपना जीवन बहुत आसान बना लेंगे। आइए आगे देखें कि आप डिग्रियों के साथ क्या कर सकते हैं और आपको उनके बारे में क्या जानने की आवश्यकता है।

नियम और अवधारणाएँ...ताकि भ्रमित न हों

तो, पहले, आइए अवधारणाओं को परिभाषित करें। आप क्या सोचते हैं, प्रतिपादक क्या है? यह बहुत सरल है - यह वह संख्या है जो संख्या की शक्ति के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन स्पष्ट और याद रखने में आसान...

खैर, साथ ही, क्या ऐसा डिग्री आधार? और भी सरल - यह वह संख्या है जो नीचे, आधार पर स्थित है।

यहाँ अच्छे उपाय के लिए एक चित्र है।

तब में सामान्य रूप से देखें, सामान्यीकरण करने और बेहतर ढंग से याद रखने के लिए... आधार " " और एक घातांक " " वाली डिग्री को "डिग्री तक" के रूप में पढ़ा जाता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

प्राकृतिक घातांक के साथ किसी संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि घातांक एक प्राकृतिक संख्या है। हाँ, लेकिन यह क्या है? प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनती में किया जाता है: एक, दो, तीन... जब हम वस्तुओं को गिनते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "माइनस फाइव," "माइनस छह," "माइनस सात।" हम यह भी नहीं कहते: "एक तिहाई", या "शून्य दशमलव पाँच"। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं. आपके अनुसार ये कौन सी संख्याएँ हैं?

"माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात" जैसी संख्याएँ संदर्भित हैं पूर्ण संख्याएं।सामान्य तौर पर, पूर्णांकों में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात् ऋण चिह्न के साथ ली गई) और संख्याएँ शामिल होती हैं। शून्य को समझना आसान है - यह तब होता है जब कुछ भी नहीं होता है। ऋणात्मक ("ऋण") संख्याओं का क्या अर्थ है? लेकिन उनका आविष्कार मुख्य रूप से ऋणों को इंगित करने के लिए किया गया था: यदि आपके फोन पर रूबल में शेष राशि है, तो इसका मतलब है कि आप पर ऑपरेटर रूबल का बकाया है।

सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। वे कैसे उत्पन्न हुए, क्या आप सोचते हैं? बहुत सरल। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों को पता चला कि उनके पास लंबाई, वजन, क्षेत्रफल आदि मापने के लिए प्राकृतिक संख्याओं का अभाव है। और वे लेकर आये भिन्नात्मक संख्याएं... दिलचस्प है, है ना?

क्या कुछ और भी है तर्कहीन संख्या. ये संख्याएँ क्या हैं? संक्षेप में, यह एक अनंत दशमलव अंश है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

आइए हम एक डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करें जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (यानी, पूर्णांक और सकारात्मक)।

1. पहली घात की कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है:
2. किसी संख्या का वर्ग करने का अर्थ है उसे स्वयं से गुणा करना:
3. किसी संख्या को घन करने का अर्थ है उसे अपने आप से तीन बार गुणा करना:

परिभाषा।संख्या बढ़ाएँ प्राकृतिक डिग्री- का अर्थ है किसी संख्या को उसी से गुणा करना:
.

डिग्री के गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं तुम्हें अभी दिखाता हूँ.

आइए देखें: यह क्या है और ?

ए-प्राथमिकता:

कुल कितने गुणक हैं?

यह बहुत सरल है: हमने कारकों में गुणक जोड़े, और परिणाम गुणक है।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की शक्ति है, जो है:, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

उदाहरण: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

समाधान:हमारे नियम में यह ध्यान रखना जरूरी है अनिवार्य रूप सेवही कारण होंगे!
इसलिए, हम शक्तियों को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन यह एक अलग कारक बना रहता है:

केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

2. बस इतना ही किसी संख्या की वां घात

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

इससे पता चलता है कि व्यंजक को स्वयं से कई गुना गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की वीं घात है:

संक्षेप में, इसे "संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकालना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे समग्र रूप से कभी नहीं कर सकते:

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन आख़िरकार यह सच नहीं है।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति

इस बिंदु तक, हमने केवल इस बात पर चर्चा की है कि प्रतिपादक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

की शक्तियों में प्राकृतिक सूचकआधार हो सकता है कोई संख्या. दरअसल, हम किसी भी संख्या को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक या सम हों।

आइए विचार करें कि किन चिन्हों ("" या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की शक्तियाँ होंगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? ए? ? पहले वाले से, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक ही होगा।

लेकिन नकारात्मक बातें थोड़ी अधिक दिलचस्प हैं। हमें छठी कक्षा का सरल नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या. लेकिन अगर हम इसे गुणा करें, तो यह काम करता है।

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

क्या आप संभाल पाओगे?

यहाँ उत्तर हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम बस आधार और घातांक को देखते हैं और उचित नियम लागू करते हैं।

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 5 में) सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: आखिरकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

खैर, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार तो एक समान नहीं है? जाहिर तौर पर नहीं, चूँकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं रहा!

अभ्यास के लिए 6 उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

यदि हम आठवीं शक्ति की उपेक्षा करें तो हम यहाँ क्या देखते हैं? आइए सातवीं कक्षा के कार्यक्रम को याद करें। तो, क्या आपको याद है? यह संक्षिप्त गुणन का सूत्र है, अर्थात वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:

आइए हर को ध्यान से देखें। यह काफी हद तक अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन गलत क्या है? शर्तों का क्रम ग़लत है. यदि उन्हें उलट दिया जाता, तो नियम लागू हो सकता था।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: हर की सम डिग्री यहां हमारी मदद करती है।

जादुई ढंग से शर्तें बदल गईं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को आसानी से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

साबुतहम प्राकृतिक संख्याएँ, उनके विपरीत (अर्थात " " चिह्न के साथ ली गई) और संख्या कहते हैं।

साबुत सकारात्मक संख्या , और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले अनुभाग जैसा दिखता है।

अब नजर डालते हैं नए मामलों पर. आइए इसके बराबर एक संकेतक से शुरू करें।

किसी भी संख्या में शून्य डिग्रीएक के बराबर:

हमेशा की तरह, आइए हम खुद से पूछें: ऐसा क्यों है?

आइए आधार के साथ कुछ डिग्री पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

तो, हमने संख्या को गुणा किया, और हमें वही चीज़ मिली जो वह थी -। आपको किस संख्या से गुणा करना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू. मतलब।

हम एक मनमानी संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद भी हैं. और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक ओर, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - चाहे आप शून्य को स्वयं से कितना भी गुणा कर लें, फिर भी आपको शून्य ही मिलेगा, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, शून्य घात की किसी भी संख्या की तरह, यह बराबर होना चाहिए। तो यह कितना सच है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल न होने का निर्णय लिया और शून्य से शून्य घात बढ़ाने से इनकार कर दिया। अर्थात्, अब हम न केवल शून्य से विभाजित कर सकते हैं, बल्कि इसे शून्य घात तक बढ़ा भी सकते हैं।

पर चलते हैं। पूर्णांकों में प्राकृतिक संख्याओं और संख्याओं के अलावा ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि नकारात्मक डिग्री क्या है, आइए निम्नानुसार करें पिछली बार: किसी सामान्य संख्या को उसी संख्या से गुणा करें नकारात्मक डिग्री:

यहां से यह व्यक्त करना आसान है कि आप क्या खोज रहे हैं:

आइए अब परिणामी नियम को मनमाने ढंग से विस्तारित करें:

तो, आइए एक नियम बनाएं:

एक संख्या की ऋणात्मक घात उसी संख्या का व्युत्क्रम होती है सकारात्मक डिग्री. लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

आइए संक्षेप में बताएं:

I. मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

द्वितीय. शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:।

तृतीय. संख्या, नहीं शून्य के बराबर, एक ऋणात्मक डिग्री के लिए एक ही संख्या का एक सकारात्मक डिग्री का व्युत्क्रम है: .

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, स्वतंत्र समाधानों के उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याओं का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएँ डरावनी हैं, लेकिन एकीकृत राज्य परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! यदि आप इन्हें हल नहीं कर सके तो इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधानों का विश्लेषण करें और आप परीक्षा में आसानी से उनका सामना करना सीख जाएंगे!

आइए एक प्रतिपादक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं की सीमा का विस्तार करना जारी रखें।

अब आइये विचार करें भिन्नात्मक संख्याएं।कौन सी संख्याएँ परिमेय कहलाती हैं?

उत्तर: वह सब कुछ जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं, और।

यह समझने के लिए कि यह क्या है "आंशिक डिग्री", भिन्न पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक घात तक बढ़ाएं:

आइए अब इसके बारे में नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

प्राप्त करने के लिए किस संख्या को घात तक बढ़ाया जाना चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या की वें घात का मूल () वह संख्या है, जिसे एक घात तक बढ़ाने पर, बराबर होता है।

अर्थात्, वें शक्ति का मूल एक शक्ति को ऊपर उठाने का व्युत्क्रम संक्रिया है:।

यह पता चला है कि। जाहिर है ये विशेष मामलाबढ़ाया जा सकता है: .

अब हम अंश जोड़ते हैं: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आख़िरकार, सभी संख्याओं से मूल नहीं निकाला जा सकता।

कोई नहीं!

आइए नियम को याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाने पर वह एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम मूल निकालना असंभव है!

इसका मतलब यह है कि ऐसी संख्याओं को सम हर के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, यानी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या खड़ी हो जाती है.

संख्या को अन्य, कम करने योग्य भिन्नों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह अस्तित्व में है, लेकिन अस्तित्व में नहीं है, लेकिन ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या दूसरा उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन अगर हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, तो हम फिर से परेशानी में पड़ जाएंगे: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए हम विचार करते हैं भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल सकारात्मक आधार घातांक.

तो यदि:

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

उदाहरण के लिए, जड़ों के साथ अभिव्यक्ति को बदलने के लिए तर्कसंगत घातांक बहुत उपयोगी होते हैं:

अभ्यास के लिए 5 उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब सबसे कठिन हिस्सा आता है। अब हम इसका पता लगाएंगे डिग्री सी तर्कहीन सूचक .

अपवाद के साथ, यहां डिग्री के सभी नियम और गुण तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री के समान ही हैं

आख़िरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात, परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है;

...शून्यवीं घात तक की संख्या- यह, जैसा कि था, एक संख्या है जिसे एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात, उन्होंने अभी तक इसे गुणा करना शुरू नहीं किया है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट भी नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित "रिक्त संख्या" है , अर्थात् एक संख्या;

...ऋणात्मक पूर्णांक डिग्री- ऐसा लगता है जैसे कोई "उल्टी प्रक्रिया" घटित हुई हो, अर्थात संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया, बल्कि विभाजित किया गया।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल घातांक वाली डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है।

लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

जहां हमें यकीन है कि आप जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीख जाते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधान का विश्लेषण:

1. आइए एक शक्ति को एक शक्ति तक बढ़ाने के सामान्य नियम से शुरू करें:

अब सूचक को देखें. क्या वह तुम्हें कुछ याद नहीं दिलाता? आइए हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करें:

में इस मामले में,

यह पता चला है कि:

उत्तर: .

2. हम घातांक में भिन्नों को कम करते हैं एक ही नज़र: या तो दोनों दशमलव या दोनों नियमित। उदाहरण के लिए, हमें मिलता है:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, चलो इसका इस्तेमाल करते हैं सामान्य गुणडिग्री:

अग्रवर्ती स्तर

डिग्री का निर्धारण

एक डिग्री इस रूप की अभिव्यक्ति है: , जहां:

• — डिग्री का आधार;
• - प्रतिपादक.

प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री (एन = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है उस संख्या को उसी संख्या से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री (0, ±1, ±2,...)

यदि प्रतिपादक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य डिग्री तक:

अभिव्यक्ति अनिश्चित है, क्योंकि एक ओर, किसी भी डिग्री तक यह है, और दूसरी ओर, वें डिग्री तक कोई भी संख्या यह है।

यदि प्रतिपादक है ऋणात्मक पूर्णांकसंख्या:

(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

एक बार फिर शून्य के बारे में: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

डिग्री के गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें.

आइए देखें: क्या है और?

ए-प्राथमिकता:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर हमें निम्नलिखित उत्पाद मिलता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : .

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : हमारे नियम में यह ध्यान रखना जरूरी है अनिवार्य रूप सेवही कारण होंगे. इसलिए, हम शक्तियों को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन यह एक अलग कारक बना रहता है:

एक और महत्वपूर्ण लेख: यह नियम है - केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इस कार्य को इस प्रकार पुनः व्यवस्थित करें:

इससे पता चलता है कि व्यंजक को स्वयं से कई गुना गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की वीं घात है:

संक्षेप में, इसे "संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकालना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे समग्र रूप से कभी नहीं कर सकते: !

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन आख़िरकार यह सच नहीं है।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति.

इस बिंदु तक हमने केवल इस पर चर्चा की है कि यह कैसा होना चाहिए अनुक्रमणिकाडिग्री. लेकिन आधार क्या होना चाहिए? की शक्तियों में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

दरअसल, हम किसी भी संख्या को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक या सम हों। आइए विचार करें कि किन चिन्हों ("" या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की शक्तियाँ होंगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? ए? ?

पहले वाले से, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक ही होगा।

लेकिन नकारात्मक बातें थोड़ी अधिक दिलचस्प हैं। हमें छठी कक्षा का सरल नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या. लेकिन यदि हम () से गुणा करें तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह अनंत काल तक: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ चिह्न बदल जाएगा। हम निम्नलिखित सूत्र बना सकते हैं सरल नियम:

1. यहां तक ​​कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
2. ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
3. किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
4. किसी भी शक्ति का शून्य शून्य के बराबर होता है।

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम बस आधार और घातांक को देखते हैं और उचित नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में) सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: आखिरकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। खैर, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार तो एक समान नहीं है? जाहिर तौर पर नहीं, चूँकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाना होगा कि कौन सा कम है: या? यदि हम उसे याद रखें, तो यह स्पष्ट हो जाता है, और इसलिए आधार भी शून्य से भी कम. अर्थात्, हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे से विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

इससे पहले कि आप इसे अलग कर लें अंतिम नियमआइए कुछ उदाहरण हल करें।

भावों की गणना करें:

समाधान :

यदि हम आठवीं शक्ति की उपेक्षा करें तो हम यहाँ क्या देखते हैं? आइए सातवीं कक्षा के कार्यक्रम को याद करें। तो, क्या आपको याद है? यह संक्षिप्त गुणन का सूत्र है, अर्थात वर्गों का अंतर!

हम पाते हैं:

आइए हर को ध्यान से देखें। यह काफी हद तक अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन गलत क्या है? शर्तों का क्रम ग़लत है. यदि उन्हें उलट दिया जाए, तो नियम 3 लागू हो सकता है। लेकिन कैसे? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: हर की सम डिग्री यहां हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे इससे गुणा करें, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, है ना? लेकिन अब यह इस तरह हो गया है:

जादुई ढंग से शर्तें बदल गईं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को आसानी से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!आप केवल उस एक नुकसान को बदलकर इसे प्रतिस्थापित नहीं कर सकते जो हमें पसंद नहीं है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करेंगे? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा पर विस्तार करें और इसे सरल बनाएं:

खैर, अब कोष्ठक खोलें। कुल कितने अक्षर हैं? गुणक द्वारा गुणा - यह आपको क्या याद दिलाता है? यह एक ऑपरेशन की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है गुणा:वहां सिर्फ मल्टीप्लायर थे. अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात्) , परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है; शून्य घात की एक संख्या, मानो, एक संख्या है जिसे स्वयं से एक बार गुणा किया जाता है, अर्थात, उन्होंने अभी तक इसे गुणा करना शुरू नहीं किया है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट भी नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित है "रिक्त संख्या", अर्थात् एक संख्या; पूर्णांक ऋणात्मक घातांक वाली एक डिग्री - ऐसा लगता है मानो कोई "विपरीत प्रक्रिया" घटित हुई हो, अर्थात, संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया, बल्कि विभाजित किया गया।

एक अपरिमेय घातांक वाली डिग्री की कल्पना करना अत्यंत कठिन है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना कठिन है)। यह काफ़ी साफ़ है गणितीय वस्तु, जिसे गणितज्ञों ने डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के संपूर्ण स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया था।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल घातांक वाली डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है। लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

यदि हम एक अपरिमेय प्रतिपादक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

1)

2)

3)

उत्तर:

1. आइए वर्गों के अंतर के फार्मूले को याद करें। उत्तर: ।
2. हम भिन्नों को एक ही रूप में घटाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण। उदाहरण के लिए, हमें मिलता है: .
3. कुछ खास नहीं, हम डिग्रियों के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

अनुभाग और बुनियादी सूत्रों का सारांश

डिग्रीफॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है: , जहां:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (यानी, पूर्णांक और सकारात्मक)।

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

डिग्री, जिसका घातांक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री के गुण

डिग्री की विशेषताएं.

• ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया यहां तक ​​कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
• ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
• शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है.
• शून्य घात की कोई भी संख्या बराबर होती है।

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और आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!

इस लेख में हम जानेंगे कि यह क्या है की डिग्री. यहां हम किसी संख्या की शक्ति की परिभाषा देंगे, जबकि हम सभी संभावित घातांकों पर विस्तार से विचार करेंगे, प्राकृतिक घातांक से शुरू होकर अपरिमेय घातांक तक। सामग्री में आपको डिग्रियों के बहुत सारे उदाहरण मिलेंगे, जो उत्पन्न होने वाली सभी सूक्ष्मताओं को कवर करते हैं।

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प्राकृतिक घातांक के साथ घात, किसी संख्या का वर्ग, किसी संख्या का घन

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं । आगे देखते हुए, मान लीजिए कि प्राकृतिक घातांक n के साथ किसी संख्या की घात की परिभाषा a के लिए दी गई है, जिसे हम a कहेंगे। डिग्री आधार, और n, जिसे हम कहेंगे प्रतिपादक. हम यह भी ध्यान देते हैं कि एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक उत्पाद के माध्यम से निर्धारित की जाती है, इसलिए नीचे दी गई सामग्री को समझने के लिए आपको संख्याओं को गुणा करने की समझ होनी चाहिए।

परिभाषा।

प्राकृतिक घातांक n के साथ किसी संख्या की शक्तिफॉर्म a n की एक अभिव्यक्ति है, जिसका मान n कारकों के उत्पाद के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर है, अर्थात।
विशेष रूप से, घातांक 1 वाली संख्या a की घात स्वयं संख्या a है, अर्थात a 1 =a।

डिग्री पढ़ने के नियमों का तुरंत उल्लेख करना उचित है। अंकन a n को पढ़ने का सार्वभौमिक तरीका है: "a से n की घात तक"। कुछ मामलों में, निम्नलिखित विकल्प भी स्वीकार्य हैं: "a से nवीं शक्ति" और "a की nवीं शक्ति"। उदाहरण के लिए, आइए घात 8 12 लें, यह "बारह की घात आठ" या "बारहवीं घात आठ" या "आठ की घात बारहवीं" है।

किसी संख्या की दूसरी घात और किसी संख्या की तीसरी घात के अपने-अपने नाम होते हैं। किसी संख्या की दूसरी घात कहलाती है संख्या का वर्ग करेंउदाहरण के लिए, 7 2 को "सात का वर्ग" या "संख्या सात का वर्ग" के रूप में पढ़ा जाता है। किसी संख्या की तीसरी घात कहलाती है घनांकित संख्याएँउदाहरण के लिए, 5 3 को "पांच घन" के रूप में पढ़ा जा सकता है या आप "संख्या 5 का घन" कह सकते हैं।

लाने का समय हो गया है प्राकृतिक घातांक वाली डिग्रियों के उदाहरण. आइए घात 5 7 से शुरू करें, यहाँ 5 घात का आधार है, और 7 घातांक है। आइए एक और उदाहरण दें: 4.32 आधार है, और प्राकृतिक संख्या 9 घातांक (4.32) 9 है।

कृपया ध्यान दें कि इसमें अंतिम उदाहरणडिग्री 4.32 का आधार कोष्ठक में लिखा गया है: विसंगतियों से बचने के लिए, हम डिग्री के उन सभी आधारों को कोष्ठक में रखेंगे जो प्राकृतिक संख्याओं से भिन्न हैं। उदाहरण के तौर पर, हम प्राकृतिक घातांक के साथ निम्नलिखित डिग्री देते हैं , उनके आधार प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं, इसलिए उन्हें कोष्ठक में लिखा गया है। खैर, पूर्ण स्पष्टता के लिए, इस बिंदु पर हम फॉर्म (−2) 3 और −2 3 के रिकॉर्ड में निहित अंतर दिखाएंगे। अभिव्यक्ति (−2) 3, 3 के प्राकृतिक घातांक के साथ −2 की घात है, और अभिव्यक्ति −2 3 (इसे −(2 3) के रूप में लिखा जा सकता है) संख्या से मेल खाता है, घात 2 3 का मान .

ध्यान दें कि a^n रूप के घातांक n के साथ संख्या a की घात के लिए एक अंकन है। इसके अलावा, यदि n एक बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या है, तो घातांक को कोष्ठक में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, 4^9, 4 9 की घात के लिए एक और संकेतन है। और यहां प्रतीक "^" का उपयोग करके डिग्री लिखने के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं: 14^(21) , (−2,1)^(155) . निम्नलिखित में, हम मुख्य रूप से फॉर्म a n के डिग्री नोटेशन का उपयोग करेंगे।

किसी प्राकृतिक प्रतिपादक के साथ किसी घात को बढ़ाने की विपरीत समस्याओं में से एक घात का आधार खोजने की समस्या है ज्ञात मूल्यडिग्री और ज्ञात संकेतक। इस कार्य की ओर ले जाता है.

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्न होते हैं, और प्रत्येक भिन्न को धनात्मक या ऋणात्मक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री को परिभाषित किया था, इसलिए, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें एक भिन्नात्मक घातांक एम/एन के साथ संख्या ए की डिग्री को अर्थ देने की आवश्यकता है, जहां m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृतिक संख्या है। चलो यह करते हैं।

आइए प्रपत्र के भिन्नात्मक घातांक वाली एक डिग्री पर विचार करें। सत्ता से सत्ता की संपत्ति वैध बने रहने के लिए समानता का होना जरूरी है . यदि हम परिणामी समानता को ध्यान में रखते हैं और हमने कैसे निर्धारित किया है, तो इसे स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि दिए गए एम, एन और ए के लिए अभिव्यक्ति समझ में आती है।

यह जांचना आसान है कि पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के सभी गुण मान्य हैं (यह अनुभाग में किया जाता है) तर्कसंगत घातांक के साथ शक्तियों के गुण).

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है निष्कर्ष: यदि m, n और a दिया गया है तो अभिव्यक्ति समझ में आती है, तो भिन्नात्मक घातांक m/n के साथ a की घात को m की घात के लिए a का nवाँ मूल कहा जाता है।

यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के करीब लाता है। जो कुछ बचा है वह यह वर्णन करना है कि एम, एन और ए अभिव्यक्ति का क्या अर्थ है। एम, एन और ए पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर, दो मुख्य दृष्टिकोण हैं।

सबसे आसान तरीका यह है कि धनात्मक m के लिए a≥0 और ऋणात्मक m के लिए a>0 लेकर a पर एक अवरोध लगाया जाए (चूंकि m≤0 के लिए m की डिग्री 0 परिभाषित नहीं है)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की निम्नलिखित परिभाषा मिलती है।

परिभाषा।

भिन्नात्मक घातांक m/n के साथ एक धनात्मक संख्या a की घात, जहां m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है, उसे m की घात तक संख्या a का nवाँ मूल कहा जाता है, अर्थात।

शून्य की भिन्नात्मक शक्ति भी एकमात्र चेतावनी के साथ निर्धारित की जाती है कि संकेतक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

भिन्नात्मक धनात्मक घातांक m/n के साथ शून्य की शक्ति, जहां m एक धनात्मक पूर्णांक है और n एक प्राकृतिक संख्या है, को इस प्रकार परिभाषित किया गया है .
जब डिग्री निर्धारित नहीं की जाती है, यानी, आंशिक नकारात्मक घातांक के साथ संख्या शून्य की डिग्री का कोई मतलब नहीं है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की इस परिभाषा के साथ, एक चेतावनी है: कुछ नकारात्मक ए और कुछ एम और एन के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने शर्त ए≥0 पेश करके इन मामलों को खारिज कर दिया है। उदाहरण के लिए, प्रविष्टियाँ समझ में आती हैं या, और ऊपर दी गई परिभाषा हमें यह कहने के लिए बाध्य करती है कि घातों का रूप भिन्नात्मक घातांक है इसका कोई अर्थ नहीं है, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।

भिन्नात्मक घातांक m/n के साथ डिग्री निर्धारित करने का एक अन्य तरीका मूल के सम और विषम घातांकों पर अलग से विचार करना है। इस दृष्टिकोण के लिए एक अतिरिक्त शर्त की आवश्यकता होती है: संख्या a की घात, जिसका घातांक है, को संख्या a की घात माना जाता है, जिसका घातांक संगत अघुलनशील अंश है (हम इस स्थिति के महत्व को नीचे समझाएंगे) ). अर्थात्, यदि m/n एक अप्रासंगिक अंश है, तो किसी भी प्राकृतिक संख्या k के लिए डिग्री को पहले प्रतिस्थापित किया जाता है।

सम n और धनात्मक m के लिए, अभिव्यक्ति किसी भी गैर-ऋणात्मक a के लिए समझ में आती है (किसी ऋणात्मक संख्या का सम मूल अर्थ नहीं रखता); ऋणात्मक m के लिए, संख्या a अभी भी शून्य से भिन्न होनी चाहिए (अन्यथा विभाजन होगा) शून्य से)। और विषम n और धनात्मक m के लिए, संख्या a कोई भी हो सकती है (विषम डिग्री का मूल किसी भी वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित किया गया है), और ऋणात्मक m के लिए, संख्या a गैर-शून्य होनी चाहिए (ताकि इससे कोई विभाजन न हो) शून्य)।

उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की इस परिभाषा की ओर ले जाता है।

परिभाषा।

मान लीजिए m/n एक अपरिवर्तनीय भिन्न है, m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृतिक संख्या है। किसी भी कम करने योग्य अंश के लिए, डिग्री को प्रतिस्थापित किया जाता है। एक अघुलनशील भिन्नात्मक घातांक m/n वाली संख्या की घात किसके लिए है?



आइए हम बताएं कि क्यों एक कम करने योग्य भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री को पहले एक अपरिवर्तनीय घातांक वाली डिग्री से बदल दिया जाता है। यदि हमने डिग्री को केवल इस प्रकार परिभाषित किया है, और अंश एम/एन की अपरिवर्तनीयता के बारे में कोई आरक्षण नहीं दिया है, तो हमें निम्नलिखित जैसी स्थितियों का सामना करना पड़ेगा: चूंकि 6/10 = 3/5, तो समानता कायम रहनी चाहिए , लेकिन , ए ।

वीडियो पाठ "तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ प्रतिपादक" में एक दृश्य शामिल है शैक्षिक सामग्रीइस विषय पर सबक सिखाने के लिए. वीडियो पाठ में तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री की अवधारणा, ऐसी डिग्री के गुणों के साथ-साथ हल करने के लिए शैक्षिक सामग्री के उपयोग का वर्णन करने वाले उदाहरणों के बारे में जानकारी शामिल है। व्यावहारिक समस्याएँ. इस वीडियो पाठ का उद्देश्य शैक्षिक सामग्री को स्पष्ट और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना, छात्रों द्वारा इसके विकास और याद रखने की सुविधा प्रदान करना और सीखी गई अवधारणाओं का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की क्षमता विकसित करना है।

वीडियो पाठ के मुख्य लाभ दृश्य रूप से परिवर्तन और गणना करने की क्षमता, सीखने की दक्षता में सुधार के लिए एनीमेशन प्रभावों का उपयोग करने की क्षमता हैं। आवाज मार्गदर्शन सही विकास में मदद करता है गणित भाषण, और शिक्षक के स्पष्टीकरण को प्रतिस्थापित करना भी संभव बनाता है, जिससे वह व्यक्तिगत कार्य करने के लिए मुक्त हो जाता है।

वीडियो पाठ की शुरुआत विषय का परिचय देने से होती है। पढ़ाई को जोड़ना नया विषयपहले अध्ययन की गई सामग्री के साथ, यह याद रखने का सुझाव दिया गया है कि n √a को अन्यथा प्राकृतिक n और सकारात्मक a के लिए 1/n द्वारा दर्शाया जाता है। यह प्रस्तुतिएन-रूट स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है। इसके बाद, हम इस बात पर विचार करने का प्रस्ताव करते हैं कि अभिव्यक्ति a m/n का क्या अर्थ है, जिसमें a एक धनात्मक संख्या है और m/n एक भिन्न है। एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा a m/n = n √a m के रूप में दी गई है, जिसे फ्रेम में हाइलाइट किया गया है। यह ध्यान दिया जाता है कि n हो सकता है प्राकृतिक संख्या, और m एक पूर्णांक है.

एक डिग्री को तर्कसंगत घातांक के साथ परिभाषित करने के बाद, इसका अर्थ उदाहरणों के माध्यम से पता चलता है: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3। एक उदाहरण भी दिखाया गया है जिसमें डिग्री को दर्शाया गया है दशमलव, में परिवर्तित किया जाता है साधारण अंशमूल के रूप में प्रदर्शित करने के लिए: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 और उदाहरण के साथ नकारात्मक मूल्यडिग्री: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

विशेष मामले की विशिष्टता जब डिग्री का आधार शून्य है, अलग से दर्शाया गया है। यह ध्यान दिया गया है कि यह डिग्री केवल सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के साथ ही समझ में आती है। इस स्थिति में, इसका मान शून्य है: 0 m/n =0.

तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री की एक और विशेषता नोट की गई है - कि भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री को भिन्नात्मक घातांक के साथ नहीं माना जा सकता है। डिग्रियों के गलत अंकन के उदाहरण दिए गए हैं: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5।

वीडियो पाठ में आगे हम एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर चर्चा करते हैं। यह ध्यान दिया जाता है कि पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के गुण तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए भी मान्य होंगे। उन संपत्तियों की सूची को वापस बुलाने का प्रस्ताव है जो इस मामले में भी मान्य हैं:

1. जब घातों को समान आधारों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक जुड़ जाते हैं: a p a q = a p+q।
2. समान आधार वाली डिग्री का विभाजन किसी दिए गए आधार और घातांक में अंतर वाली डिग्री तक कम हो जाता है: a p:a q =a p-q।
3. यदि हम डिग्री को एक निश्चित घात तक बढ़ाते हैं, तो हमें एक दिए गए आधार और घातांक के उत्पाद के साथ एक डिग्री मिलती है: (ए पी) क्यू = ए पीक्यू।

ये सभी गुण तर्कसंगत घातांक p, q और सकारात्मक आधार a>0 वाली घातों के लिए मान्य हैं। इसके अलावा, कोष्ठक खोलते समय डिग्री परिवर्तन सत्य रहते हैं:

1. (एबी) पी = ए पी बी पी - तर्कसंगत घातांक के साथ कुछ घात तक बढ़ाने से दो संख्याओं का गुणनफल कम हो जाता है, जिनमें से प्रत्येक को एक निश्चित घात तक बढ़ाया जाता है।
2. (ए/बी) पी =ए पी /बी पी - एक भिन्न को तर्कसंगत घातांक के साथ एक घात तक बढ़ाने पर एक अंश कम हो जाता है जिसके अंश और हर को एक दिए गए घात तक बढ़ाया जाता है।

वीडियो ट्यूटोरियल उन उदाहरणों को हल करने पर चर्चा करता है जो तर्कसंगत घातांक के साथ शक्तियों के सुविचारित गुणों का उपयोग करते हैं। पहला उदाहरण आपसे चर x वाले व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए कहता है आंशिक शक्ति: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). अभिव्यक्ति की जटिलता के बावजूद, शक्तियों के गुणों का उपयोग करके इसे काफी सरलता से हल किया जा सकता है। समस्या को हल करना अभिव्यक्ति को सरल बनाने से शुरू होता है, जो एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ एक शक्ति को बढ़ाने के नियम का उपयोग करता है, साथ ही साथ शक्तियों को गुणा करता है वही आधार. प्रतिस्थापन के बाद मूल्य ते करनासरलीकृत अभिव्यक्ति x 1/3 +48 में x=8, मान प्राप्त करना आसान है - 50।

दूसरे उदाहरण में, आपको एक भिन्न को कम करना होगा जिसके अंश और हर में तर्कसंगत घातांक वाली घातें हों। डिग्री के गुणों का उपयोग करके, हम अंतर से गुणनखंड x 1/3 निकालते हैं, जिसे फिर अंश और हर में घटाया जाता है, और वर्गों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करके, अंश को गुणनखंडित किया जाता है, जो समान की और कटौती देता है अंश और हर में गुणनखंड. ऐसे परिवर्तनों का परिणाम लघु अंश x 1/4 +3 है।

शिक्षक द्वारा किसी नए पाठ विषय को समझाने के बजाय वीडियो पाठ "तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ प्रतिपादक" का उपयोग किया जा सकता है। भी यह मैनुअलपर्याप्त मात्रा में है पूरी जानकारीके लिए स्वयं अध्ययनविद्यार्थी। यह सामग्री दूरस्थ शिक्षा के लिए भी उपयोगी हो सकती है।