როდის ეწოდება სიხშირეს სტაბილური? მოვლენის ალბათობის კლასიკური განმარტება, ფარდობითი სიხშირე და მისი სტაბილურობა

განმარტება. შეუშვით ნ განმეორებითი ექსპერიმენტები (ტესტი) რაიმე მოვლენა მაგრამ მოვიდა nA ერთხელ.

ნომერი nA ე.წ. მოვლენის სიხშირე მაგრამ და თანაფარდობა

ეწოდება მოვლენის ფარდობითი სიხშირე (ან სიხშირე). მაგრამ ამ ტესტების სერიაში.

შედარებითი სიხშირის თვისებები

მოვლენის ფარდობითი სიხშირე აქვს შემდეგი თვისებები.

1. ნებისმიერი მოვლენის სიხშირე დევს ნულიდან ერთამდე დიაპაზონში, ე.ი.

2. სიხშირე შეუძლებელი მოვლენაუდრის ნულს, ე.ი.

3. სიხშირე დარწმუნებული მოვლენაუდრის 1-ს, ე.ი.

4. ორის ჯამის სიხშირე შეუთავსებელი მოვლენებიუდრის ამ მოვლენების სიხშირეების (სიხშირეების) ჯამს, ე.ი. თუ =Ø, მაშინ

სიხშირე აქვს ქონება საკუთრებას ეძახიან სტატისტიკური სტაბილურობა : ექსპერიმენტების რაოდენობის ზრდით (ანუ ზრდით ნ ) მოვლენის სიხშირე იღებს მნიშვნელობებს ამ მოვლენის ალბათობასთან ახლოს რ .

განმარტება. მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა არიცხვს, რომლის გარშემოც იცვლება მოვლენის ფარდობითი სიხშირე, ეწოდება მაგრამ საკმარისად დიდი რაოდენობით ტესტებით (ექსპერიმენტებით) ნ .

მოვლენის ალბათობა მაგრამ აღინიშნება სიმბოლოთი რ (მაგრამ ) ან რ (მაგრამ ). ასოს გამოჩენა, როგორც "ალბათობის" კონცეფციის სიმბოლო. რ განისაზღვრება მისი არსებობით პირველ რიგში ინგლისური სიტყვა ალბათობა - ალბათობა.

Მიხედვით ამ განმარტებას

Თვისებები სტატისტიკური ალბათობა

1. რაიმე მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა მაგრამარის ნულსა და ერთს შორის, ე.ი.

2. შეუძლებელი მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა ( მაგრამ= Ø) უდრის ნულს, ე.ი.

3. გარკვეული მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა ( მაგრამ= Ω) უდრის ერთს, ე.ი.

4. სტატისტიკური ალბათობის ჯამი შეუთავსებელი მოვლენები უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს, ე.ი. თუ A B= Ø, მაშინ

ალბათობის კლასიკური განმარტება

დაე, ექსპერიმენტი ჩატარდეს ნ შედეგები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შეუთავსებელი თანაბრად სავარაუდო მოვლენების ჯგუფი. შემთხვევა, რომელიც იწვევს მოვლენის წარმოქმნას მაგრამ , ეწოდება ხელსაყრელი ან ხელსაყრელი, ე.ი. ხდება ვ იწვევს მოვლენას მაგრამ , w A .

განმარტება. მოვლენის ალბათობა მაგრამ უწოდა რიცხვის თანაფარდობა მ ამ ღონისძიებისთვის ხელსაყრელი შემთხვევები მთლიან რაოდენობამდე ნ შემთხვევები, ე.ი.

"კლასიკური" ალბათობის თვისებები

1. აქსიომა არანეგატიურობა : რაიმე მოვლენის ალბათობა მაგრამარის არაუარყოფითი, ე.ი.

რ(მაგრამ) ≥ 0.

2. აქსიომა ნორმალიზაცია : გარკვეული მოვლენის ალბათობა ( მაგრამ= Ω) უდრის ერთს:

3. აქსიომა ადიტიურობა : ჯამის ალბათობა შეუთავსებელი მოვლენები (ან ორი შეუთავსებელი მოვლენის ერთის დადგომის ალბათობა) უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს, ე.ი. თუ A B=Ø, მაშინ

მოვლენის ალბათობა: რ() = 1 – რ(მაგრამ).

მოვლენის ალბათობისთვის, რომელიც არის ჯამი ნებისმიერი ორი მოვლენა მაგრამდა AT,სწორი ფორმულა არის:

თუ მოვლენები მაგრამდა ATარ შეიძლება მოხდეს ერთი ტესტის შედეგად ერთდროულად, ე.ი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ A B- შეუძლებელი მოვლენა, ეძახიან შეუთავსებელი ან შეუთავსებელი , და მერე რ(A B) = 0 და მოვლენათა ჯამის ალბათობის ფორმულა განსაკუთრებულად მარტივ ფორმას იღებს:

თუ მოვლენები მაგრამდა ATშეიძლება მოხდეს ერთი ტესტის შედეგად, მათ ე.წ თავსებადი .

სასარგებლო ალგორითმი

გამოყენებისას ალბათობების პოვნისას კლასიკური განმარტებაალბათობა უნდა დაიცვას შემდეგი ალგორითმი.

1. აუცილებელია ნათლად გავიგოთ რა არის ექსპერიმენტი.

2. ნათლად მიუთითეთ რა მოვლენაა მაგრამ, რომლის ალბათობაც მოიძებნება.

3. მკაფიოდ ჩამოაყალიბეთ რა იქნება ელემენტარული მოვლენა განსახილველ პრობლემაში. ელემენტარული მოვლენის ჩამოყალიბების და განსაზღვრის შემდეგ, თქვენ უნდა შეამოწმოთ სამი პირობა, რომელიც უნდა აკმაყოფილებდეს შედეგების ერთობლიობას, ე.ი. Ω.

6. ალბათობის კლასიკური განმარტების შემდეგ დაადგინეთ

პრობლემების გადაჭრისას ყველაზე გავრცელებული შეცდომა არის ბუნდოვანი გაგება იმისა, რაც მიიღება ელემენტარულ მოვლენად ვ , და კომპლექტის აგების სისწორე და მოვლენის ალბათობის გამოთვლის სისწორე ამაზეა დამოკიდებული. ჩვეულებრივ, პრაქტიკაში, უმარტივესი შედეგი მიიღება ელემენტარულ მოვლენად, რომელიც არ შეიძლება "გაიყოს" უფრო მარტივებად.

ფარდობითი სიხშირე ალბათობასთან ერთად განეკუთვნება ალბათობის თეორიის ძირითად ცნებებს.

შედარებითი სიხშირემოვლენები ეხება ცდების რაოდენობის თანაფარდობას, რომელშიც მოხდა მოვლენა რეალურად ჩატარებული ცდების საერთო რაოდენობასთან. ამრიგად, მოვლენის ფარდობითი სიხშირე აგანისაზღვრება ფორმულით

ვ(ა) = მ/ნ,

სადაც მარის მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა, ნ – საერთო რაოდენობატესტები.

ალბათობისა და ფარდობითი სიხშირის დეფინიციების შედარებისას დავასკვნით: ალბათობის განსაზღვრა არ მოითხოვს ტესტების რეალურად ჩატარებას; ფარდობითი სიხშირის განსაზღვრა, თუმცა, ვარაუდობს, რომ ტესტები რეალურად ჩატარდა. Სხვა სიტყვებით, ალბათობა გამოითვლება გამოცდილებამდე, ფარდობითი სიხშირე - გამოცდილების შემდეგ.

მაგალითი 1ტექნიკური კონტროლის განყოფილებამ შემთხვევით შერჩეული 80 ნაწილისგან შემდგარი პარტიაში 3 არასტანდარტული ნაწილი აღმოაჩინა. არასტანდარტული ნაწილების გაჩენის შედარებითი სიხშირე

ვ(ა) =3/80.

მაგალითი 2მიზანში 24 გასროლა მოხდა, 19 დარტყმა დაფიქსირდა. დარტყმის შედარებითი მაჩვენებელი

ვ(ა) =19/24.

ხანგრძლივმა დაკვირვებებმა აჩვენა, რომ თუ იგივე პირობებიაწარმოეთ ექსპერიმენტები, რომელთაგან თითოეულში ტესტების რაოდენობა საკმარისად დიდია, მაშინ ფარდობითი სიხშირე ავლენს სტაბილურობის თვისებას. ეს ქონება არის რაში სხვადასხვა გამოცდილებაშედარებითი სიხშირე ოდნავ იცვლება(რაც უფრო ნაკლებია, მით მეტი ტესტი ტარდება), მერყეობს რაღაც მუდმივი რიცხვის ირგვლივ. აღმოჩნდა, რომ ეს მუდმივი რიცხვიარის შანსი, რომ მოვლენა მოხდეს.

ამრიგად, თუ ემპირიულადდაყენებულია ფარდობითი სიხშირე, შემდეგ მიღებული რიცხვი შეიძლება მივიღოთ, როგორც ალბათობის სავარაუდო მნიშვნელობა.

შედარებით სიხშირესა და ალბათობას შორის ურთიერთობა უფრო დეტალურად და უფრო ზუსტად ქვემოთ იქნება აღწერილი. ახლა მოდით მაგალითებით ვაჩვენოთ სტაბილურობის თვისება.

მაგალითი 3შვედეთის სტატისტიკის მიხედვით, გოგონების დაბადების შედარებით სიხშირე 1935 წ. თვეების მიხედვით ხასიათდება შემდეგი რიცხვებით (რიცხვები დალაგებულია იანვრიდან დაწყებული თვეების თანმიმდევრობით): 0,486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473

ფარდობითი სიხშირე მერყეობს 0,482 რიცხვის ირგვლივ, რაც შეიძლება მივიღოთ გოგოების გაჩენის ალბათობის სავარაუდო მნიშვნელობად.

გაითვალისწინეთ, რომ სტატისტიკა სხვადასხვა ქვეყნებშიმიეცით დაახლოებით იგივე ფარდობითი სიხშირის მნიშვნელობა.

მაგალითი 4განმეორებითი ექსპერიმენტები ჩატარდა მონეტის სროლით, რომელშიც დათვლილი იყო "გერბის" შემთხვევების რაოდენობა. რამდენიმე ექსპერიმენტის შედეგები მოცემულია ცხრილში.1.

აქ შედარებითი სიხშირეები ოდნავ გადახრილია 0,5 რიცხვიდან და რაც ნაკლებია, მით ნაკლები მეტი ნომერიტესტები. მაგალითად, 4040 საცდელში გადახრა არის 0.0069, მაგრამ 24000 საცდელში არის მხოლოდ 0.0005. იმის გათვალისწინებით, რომ მონეტის სროლისას „გერბის“ გამოჩენის ალბათობა არის 0,5, ჩვენ კვლავ ვხედავთ, რომ ფარდობითი სიხშირე ალბათობის გარშემო მერყეობს.

§ 7. ალბათობის კლასიკური განმარტების შეზღუდულობა. სტატისტიკური ალბათობა

ალბათობის კლასიკური განმარტება ვარაუდობს, რომ ცდის ელემენტარული შედეგების რაოდენობა სასრულია. თუმცა, პრაქტიკაში ძალიან ხშირად არის ცდები, რომელთა შესაძლო შედეგების რაოდენობა უსასრულოა. ასეთ შემთხვევებში კლასიკური განმარტება არ გამოიყენება. ეს გარემოება უკვე მიუთითებს კლასიკური განმარტების შეზღუდვებზე. აღნიშნული ნაკლი შეიძლება დაიძლიოს, კერძოდ, გეომეტრიული ალბათობების შემოღებით (იხ. § 8) და, რა თქმა უნდა, აქსიომური ალბათობის გამოყენებით (იხ. § 3, შენიშვნა).

უმეტესობა სუსტი მხარეკლასიკური განმარტება არის ის, რომ ძალიან ხშირად შეუძლებელია ტესტის შედეგის წარმოდგენა, როგორც ელემენტარული მოვლენების ერთობლიობა. კიდევ უფრო რთულია ელემენტარული მოვლენების თანაბრად სავარაუდო მიჩნევის საფუძველი. ჩვეულებრივ, ტესტის ელემენტარული შედეგების თანასწორობა ნათქვამია სიმეტრიის თვალსაზრისით. ასე, მაგალითად, ვარაუდობენ, რომ კამათელიფორმა აქვს რეგულარული პოლიედონი(კუბი) და დამზადებულია ერთგვაროვანი მასალა. თუმცა, პრობლემები, რომლებშიც შეიძლება გამოვიდეს სიმეტრიის მოსაზრებებიდან, პრაქტიკაში ძალიან იშვიათია. ამ მიზეზით, ალბათობის კლასიკურ განმარტებასთან ერთად, გამოიყენება სხვა განმარტებები, კერძოდ, სტატისტიკური განმარტება: ფარდობითი სიხშირე ან მასთან ახლოს რიცხვი აღებულია მოვლენის სტატისტიკურ ალბათობად.მაგალითად, თუ შედეგი საკმარისია დიდი რიცხვიტესტები აღმოჩნდა, რომ ფარდობითი სიხშირე ძალიან ახლოს არის რიცხვთან 0.4, მაშინ ეს რიცხვი შეიძლება მივიღოთ მოვლენის სტატისტიკურ ალბათობად.

ადვილია იმის შემოწმება, რომ ალბათობის ის თვისებები, რომლებიც მოჰყვება კლასიკურ განმარტებას (იხ. § 3) ასევე დაცულია ალბათობის სტატისტიკურ განსაზღვრებაში. მართლაც, თუ მოვლენა მართალია, მაშინ მ =ნდა ფარდობითი სიხშირე

მ/ნ = ნ/ნ = 1,

იმათ. გარკვეული მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა (როგორც კლასიკური განმარტების შემთხვევაში) უდრის ერთს.

თუ ღონისძიება შეუძლებელია, მაშინ მ= 0 და შესაბამისად ფარდობითი სიხშირე

0/ნ = 0,

იმათ. შეუძლებელი მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა ნულის ტოლია.

ნებისმიერი მოვლენისთვის 0 მ ნდა შესაბამისად ფარდობითი სიხშირე

0 მ/ნ 1,

იმათ. ნებისმიერი მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა ნულსა და ერთს შორისაა.

მოვლენის სტატისტიკური ალბათობის არსებობისათვის ასაჭირო:

ა) შესაძლებლობა, პრინციპში მაინც, ჩაატაროს შეუზღუდავი რაოდენობის ტესტები, რომელთაგან თითოეულში ხდება მოვლენა ახდება ან არ ხდება;

ბ) მდგრადობა შედარებითი სიხშირეებიგარეგნობა ასაკმარისად დიდი რაოდენობის ტესტების სხვადასხვა სერიაში.

მინუსი სტატისტიკური განმარტებაარის სტატისტიკური ალბათობის გაურკვევლობა; ასე რომ, მოცემულ მაგალითში მოვლენის ალბათობად შეიძლება მივიღოთ არა მხოლოდ 0,4, არამედ 0,39; 0.41 და ა.შ.

გეომეტრიული ალბათობები

ალბათობის კლასიკური განმარტების მინუსის დასაძლევად, რომელიც არის ის, რომ ის არ გამოიყენება ტესტებთან უსასრულო რიცხვიშედეგები, შეიტანეთ გეომეტრიული ალბათობები- წერტილის არეში (სეგმენტი, თვითმფრინავის ნაწილი და ა.შ.) დარტყმის ალბათობა.

დაუშვით სეგმენტი ლწარმოადგენს სეგმენტის ნაწილს ლ. სეგმენტისთვის ლშემთხვევითი წერტილი. ეს ნიშნავს შემდეგი დაშვებების შესრულებას: დაყენების წერტილი შეიძლება იყოს სეგმენტის ნებისმიერ წერტილში ლ, სეგმენტზე წერტილის დაცემის ალბათობა ლპროპორციულია ამ სეგმენტის სიგრძისა და არ არის დამოკიდებული მის მდებარეობაზე სეგმენტთან მიმართებაში ლ. ამ დაშვებებით, წერტილის დაცემის ალბათობა სეგმენტზე ლგანისაზღვრება თანასწორობით

პ= სიგრძე ლ/ სიგრძე ლ.

მაგალითი 1.სეგმენტისთვის OAსიგრძე ლ რიცხვითი ღერძი ოქსიშემთხვევითი წერტილი ბ(x). იპოვეთ ალბათობა, რომ რაც უფრო მცირეა სეგმენტები OBდა BAაქვს გრძელი სიგრძე ლ

გადაწყვეტილება. მოდით გავყოთ სეგმენტი OAწერტილები Cდა დ 3 თანაბარ ნაწილად. დავალების მოთხოვნა დაკმაყოფილდება თუ წერტილი ბ(x) ეცემა სეგმენტზე CDსიგრძე ლ/3. სასურველი ალბათობა

პ = (ლ /3)/ლ = 1/3.

მოდით ბინა ფიგურა გწარმოადგენს ბრტყელი ფიგურის ნაწილს გ. ფიგურაზე გწერტილი ისროლება შემთხვევით. ეს ნიშნავს შემდეგი დაშვებების შესრულებას: დაყრილი წერტილი შეიძლება იყოს ფიგურის ნებისმიერ წერტილში გ, ალბათობა იმისა, რომ აგდებული წერტილი მოხვდება ფიგურაზე გპროპორციულია ამ ფიგურის ფართობისა და არ არის დამოკიდებული მის მდებარეობაზე შედარებით გ, არც ფორმიდან გ. ამ დაშვებებით, წერტილის ფიგურაში მოხვედრის ალბათობა გგანისაზღვრება თანასწორობით

პ= ფართობი გ/ მოედანი გ.

მაგალითი 2სიბრტყეზე დახატულია ორი კონცენტრული წრე, რომელთა რადიუსი არის შესაბამისად 5 და 10 სმ. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით გადაგდებული წერტილი დიდ წრეში მოხვდება აგებული წრეებით წარმოქმნილ რგოლში. ვარაუდობენ, რომ წერტილის დარტყმის ალბათობა ბრტყელი ფიგურაპროპორციულია ამ ფიგურის ფართობისა და არ არის დამოკიდებული მის მდებარეობაზე დიდ წრესთან შედარებით.

გადაწყვეტილება. რგოლის არე (ფიგურები გ)

ს გ\u003d p (10 2 - 5 2) \u003d 75 გვ.

დიდი წრის ფართობი (ფიგურები გ)

ს გ= p10 2 = 100 გვ.

სასურველი ალბათობა

პ\u003d 75 p / (100 p) \u003d 0.75.

მაგალითი 3სასიგნალო მოწყობილობა იღებს სიგნალებს ორი მოწყობილობიდან და თითოეული სიგნალის მიღება თანაბრად შესაძლებელია ხანგრძლივობის დროის ინტერვალის ნებისმიერ მომენტში. თ. სიგნალის ჩამოსვლის მომენტები ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია. სასიგნალო მოწყობილობა მუშაობს, თუ სხვაობა სიგნალების მიღების მომენტებს შორის ნაკლებია ტ(ტ<თ). იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ სასიგნალო მოწყობილობა დროულად იმუშავებს თ, თუ თითოეული მოწყობილობა აგზავნის ერთ სიგნალს.

გადაწყვეტილება. მოდით აღვნიშნოთ სიგნალების შემოსვლის მომენტები, შესაბამისად, პირველი და მეორე მოწყობილობებიდან xდა წ. პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, ორმაგი უტოლობები უნდა დაკმაყოფილდეს: 0 x T, 0 წ თ.მოდით შემოვიტანოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა xOy. ამ სისტემაში ორმაგი უტოლობა კმაყოფილდება კვადრატის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებით OTAT(ნახ. 1).

ამრიგად, ეს კვადრატი შეიძლება ჩაითვალოს ფიგურად გ, რომლის წერტილების კოორდინატები წარმოადგენს სიგნალის ჩამოსვლის მომენტების ყველა შესაძლო მნიშვნელობას.

სასიგნალო მოწყობილობა მუშაობს, თუ სხვაობა სიგნალების მიღების მომენტებს შორის ნაკლებია ტ, ე.ი. თუ წ-x<ტზე წ>xდა x-წ<ტზე x>წ, ან, რაც იგივეა,

წ<x+ტზე წ>x, (*)

წ >x-ტზე წ<x. (**)

უტოლობა (*) მოქმედებს ფიგურის იმ წერტილებზე გ, რომელიც დევს ხაზის ზემოთ წ = xდა ხაზის ქვემოთ წ = x+ტ;უტოლობა (**) ადგილი აქვს წერტილებს, რომლებიც მდებარეობს ხაზის ქვემოთ წ= xდა ზემოთ სწორი წ = x-ტ.

როგორც ნახ.1-დან ჩანს. ყველა წერტილი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს (*) და (**) უტოლობას ეკუთვნის დაჩრდილულ ექვსკუთხედს. ამრიგად, ეს ექვსკუთხედი შეიძლება ჩაითვალოს ფიგურად გ, რომლის წერტილების კოორდინატები დროის ხელსაყრელი მომენტებია xდა წ.

სასურველი ალბათობა

პ= პლ. გ/ Pl. გ = (თ 2 - (თ - ტ) 2)/თ 2 = (ტ(2თ - ტ))/თ 2 .

შენიშვნა 1. ზემოაღნიშნული განმარტებები გეომეტრიული ალბათობის ზოგადი განმარტების განსაკუთრებული შემთხვევებია. თუ აღვნიშნავთ ფართობის ზომას (სიგრძე, ფართობი, მოცულობა) შუაში, მაშინ არეში შემთხვევით (ზემოხსენებული გაგებით) დარტყმის წერტილის დარტყმის ალბათობა. გ- რეგიონის ნაწილი გ, უდრის

პ=მეს გ/ მეს გ.

შენიშვნა 2. კლასიკური განმარტების შემთხვევაში გარკვეული (შეუძლებელი) მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს (ნულს); საპირისპირო მტკიცებულებები ასევე მართალია (მაგალითად, თუ მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია, მაშინ მოვლენა შეუძლებელია). ალბათობის გეომეტრიული განმარტების შემთხვევაში, საპირისპირო მტკიცებები არ ხდება. მაგალითად, დაყრილი წერტილის ალბათობა, რომ მოხვდეს ზონაში ერთ კონკრეტულ წერტილში გარის ნულოვანი, მაგრამ ეს მოვლენა შეიძლება მოხდეს და ამიტომ არ არის შეუძლებელი.

Დავალებები

1. ყუთში 50 იდენტური ნაწილია, 5 მათგანი შეღებილია. ერთი ცალი შედგენილია შემთხვევით. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამოღებული ნაწილი მოხატული იქნება

პასუხი. გვ = 0,1.

2. კამათელი იყრება. იპოვეთ ლუწი ქულების მიღების ალბათობა.

პასუხი. გვ = 0,5.

3. გათამაშების მონაწილეები უჯრიდან ხატავენ 1-დან 100-მდე რიცხვებით ჟეტონებს. იპოვეთ ალბათობა, რომ პირველი შემთხვევით შედგენილი ჟეტონის რიცხვი არ შეიცავდეს რიცხვს 5-ს.

პასუხი. გვ = 0,81.

4. ჩანთაში 5 იდენტური კუბია. თითოეული კუბის ყველა მხარეს იწერება შემდეგი ასოებიდან: o, p, p, s, m. იპოვეთ ალბათობა, რომ სიტყვა „სპორტი“ წაიკითხოს სათითაოდ გაჭიმულ კუბებზე და განლაგებულია „ერთ სტრიქონში“. “.

პასუხი. გვ = 1/120.

5. ექვსი იდენტური ბარათიდან თითოეულზე იბეჭდება შემდეგი ასოებიდან ერთი: a, t, m, p, s, o. კარტები საგულდაგულოდ არის შერეული. იპოვეთ ალბათობა, რომ ოთხ ბარათზე ერთდროულად გაჭიმული და „ერთ ხაზზე“ დალაგებული იქნება სიტყვის „კაბელის“ წაკითხვა.

პასუხი. გვ = 1/ = 1/360.

6. კუბი, რომლის ყველა მხარე შეღებილია, იჭრება იმავე ზომის ათას კუბიკებად, რომლებიც შემდეგ საფუძვლიანად ურევენ. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შედგენილ კუბს ექნება ფერადი სახეები: ა) ერთი; ბ) ორი; სამ საათზე.

პასუხი. ა) 0,384; ბ) 0,096; გ) 0,008.

7. 28 დომინოს საგულდაგულოდ შერეული კომპლექტიდან, შემთხვევით ამოღებულია ძვალი. იპოვეთ ალბათობა, რომ მეორე შემთხვევით გამოყვანილი ძვალი შეიძლება მიმაგრდეს პირველს, თუ პირველი ძვალი: ა) აღმოჩნდა ორმაგი; ბ) არ არის ორმაგი.

პასუხი. ა) 2/9; ბ) 4/9.

8. საკეტში არის ხუთი დისკი საერთო ღერძზე. თითოეული დისკი დაყოფილია ექვს სექტორად, რომლებზეც სხვადასხვა ასოები იწერება. საკეტი იხსნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თითოეული დისკი იკავებს ერთ კონკრეტულ პოზიციას საკეტის კორპუსთან შედარებით. იპოვეთ ალბათობა, რომ საკეტი შეიძლება გაიხსნას დისკების თვითნებური მოწყობით.

პასუხი. გვ = 1/6 5 .

9. რვა სხვადასხვა წიგნი მოთავსებულია შემთხვევით ერთ თაროზე. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ორი კონკრეტული წიგნი ერთმანეთის გვერდით განთავსდეს.

პასუხი. გვ= 7*2!*6!/8! = ¼.

10. ბიბლიოთეკა შედგება ათი განსხვავებული წიგნისგან, ხუთი წიგნი 4 რუბლი ღირს, სამი წიგნი - თითო რუბლი და ორი წიგნი - 3 მანეთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემთხვევით არჩეული ორი წიგნი 5 დოლარი ღირს.

პასუხი. გვ =

11. 100 ნაწილიან პარტიაში ტექნიკური კონტროლის დეპარტამენტმა აღმოაჩინა 5 არასტანდარტული ნაწილი. რა არის არასტანდარტული ნაწილების გამოჩენის შედარებითი სიხშირე?

პასუხი. ვ = 0,05.

12. შაშხანიდან სროლისას მიზანში დარტყმის ფარდობითი სიხშირე 0,85 აღმოჩნდა. იპოვეთ დარტყმების რაოდენობა, თუ სულ 120 გასროლა მოხდა.

პასუხი. 102 დარტყმა.

13. სეგმენტისთვის OAსიგრძე ლრიცხვითი ღერძი ოქსიშემთხვევითი წერტილი ბ(x).იპოვეთ ალბათობა, რომ რაც უფრო მცირეა სეგმენტები OBდა BAაქვს სიგრძეზე ნაკლები ლ/3. ვარაუდობენ, რომ წერტილის სეგმენტზე მოხვედრის ალბათობა სეგმენტის სიგრძის პროპორციულია და არ არის დამოკიდებული მის მდებარეობაზე რეალურ ღერძზე.

პასუხი. გვ = 2/3.

14. წრის შიდა რადიუსი რწერტილი ისროლება შემთხვევით. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ წერტილი არის წრეში ჩაწერილი კვადრატის შიგნით. ვარაუდობენ, რომ წერტილის კვადრატში მოხვედრის ალბათობა კვადრატის ფართობის პროპორციულია და არ არის დამოკიდებული მის მდებარეობაზე წრესთან მიმართებაში.

P = 7/16.

თავი მეორე

ალბათობის კლასიკური განმარტება

ალბათობა - ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. ამ კონცეფციის რამდენიმე განმარტება არსებობს. ალბათობა არის რიცხვი, რომელიც ახასიათებს მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ხარისხს.

ყოველი შესაძლო ტესტის შედეგი ე.წ ელემენტარული შედეგი (ელემენტარული მოვლენა).აღნიშვნები:…,

იმ ელემენტარულ შედეგებს, რომლებშიც ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა ხდება, ჩვენ მოვუწოდებთ ხელსაყრელი.

მაგალითი:ურნა შეიცავს 10 იდენტურ ბურთულას, მათგან 4 შავი და 6 თეთრი. ღონისძიება - ურნადან გამოყვანილია თეთრი ბურთი. ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა, რომლებშიც ურნადან თეთრი ბურთები იქნება გამოყვანილი, არის 4.

მოვლენისთვის ხელსაყრელი ელემენტარული შედეგების რაოდენობის შეფარდება მათ საერთო რაოდენობასთან ეწოდება მოვლენის ალბათობა; ნოტაცია ჩვენს მაგალითში

მოვლენის ალბათობავუწოდოთ ამ მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა თანაბრად შესაძლო შეუთავსებელი ელემენტარული შედეგის საერთო რაოდენობასთან, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს,

სად არის მოვლენის სასარგებლო ელემენტარული შედეგების რაოდენობა; ტესტის ყველა შესაძლო ელემენტარული შედეგის რაოდენობა.

ალბათობის თვისებები:

1. გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს, ე.ი.

2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია, ე.ი.ე.

3. შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა არის დადებითი რიცხვი ნულსა და ერთს შორის, ე.ი.ე.

ან

1 და 2 თვისებების გათვალისწინებით, ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა აკმაყოფილებს უთანასწორობას

4 . კომბინატორიკის ძირითადი ფორმულები

კომბინატორიკა სწავლობს კომბინაციების რაოდენობას, რომლებიც ექვემდებარება გარკვეულ პირობებს, რომლებიც შეიძლება შედგებოდეს თვითნებური ხასიათის ელემენტების მოცემული სასრული ნაკრებისგან. ალბათობების უშუალოდ გაანგარიშებისას ხშირად გამოიყენება კომბინატორიკის ფორმულები. წარმოგიდგენთ მათგან ყველაზე ხშირად გამოყენებულს.

პერმუტაციებისახელების კომბინაციები, რომლებიც შედგება ერთი და იგივე ელემენტებისაგან და განსხვავდებიან მხოლოდ მათი განლაგების თანმიმდევრობით.

ყველა შესაძლო პერმუტაციის რაოდენობა

სადაც მიღებულია რომ

მაგალითი.სამნიშნა რიცხვების რაოდენობა, როდესაც თითოეული ციფრი სამნიშნა რიცხვის გამოსახულებაში მხოლოდ ერთხელ შედის, არის

განთავსებაეწოდება კომბინაციები, რომლებიც შედგება სხვადასხვა ელემენტებისგან ელემენტებით, რომლებიც განსხვავდებიან ელემენტების შემადგენლობით ან მათი თანმიმდევრობით. ყველა შესაძლო განთავსების რაოდენობა

მაგალითი.სიგნალების რაოდენობა 6 სხვადასხვა ფერის დროშიდან, აღებული 2:

კომბინაციებიეწოდება კომბინაციები, რომლებიც შედგება სხვადასხვა ელემენტებისგან ელემენტებით, რომლებიც განსხვავდებიან მინიმუმ ერთი ელემენტით. კომბინაციების რაოდენობა

მაგალითი. 10 ნაწილისგან შემდგარი ყუთიდან ორი ნაწილის არჩევის გზების რაოდენობა:

განლაგების, პერმუტაციების და კომბინაციების რაოდენობა დაკავშირებულია თანასწორობით

პრობლემების გადაჭრისას კომბინატორიკა იყენებს შემდეგ წესებს:

ჯამის წესი. თუ რომელიმე ობიექტი შეიძლება შეირჩეს ობიექტების სიმრავლიდან გზებით, და სხვა ობიექტის არჩევა გზებით, მაშინ ან , ან შეიძლება შეირჩეს გზებით.

პროდუქტის წესი. თუ ობიექტის არჩევა შესაძლებელია ობიექტების კოლექციიდან გზებით, და ყოველი ასეთი შერჩევის შემდეგ ობიექტის არჩევა შესაძლებელია, მაშინ ამ თანმიმდევრობით ობიექტების წყვილი შეიძლება შეირჩეს გზებით.

შედარებითი სიხშირეასევე არის ალბათობის თეორიის ძირითადი კონცეფცია.

შედარებითი სიხშირემოვლენები არის ცდების რაოდენობის თანაფარდობა, რომელშიც მოვლენა გამოჩნდა რეალურად ჩატარებული ცდების საერთო რაოდენობასთან და განისაზღვრება ფორმულით

სადაც არის ცდებში მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა, ცდების საერთო რაოდენობა.

ალბათობისა და ფარდობითი სიხშირის დეფინიციების შედარებისას დავასკვნით, რომ ალბათობის განმარტება არ საჭიროებს ტესტირებას, ხოლო ფარდობითი სიხშირის განსაზღვრა მოიცავს რეალურ ტესტირებას.

გრძელვადიანი დაკვირვებები აჩვენებს, რომ იმავე პირობებში ექსპერიმენტების ჩატარებისას ფარდობით სიხშირეს აქვს სტაბილურობის თვისება. ეს თვისება მდგომარეობს იმაში, რომ ექსპერიმენტების სხვადასხვა სერიებში ტესტების ფარდობითი სიხშირე სერიებიდან სერიამდე ოდნავ განსხვავდება, მერყეობს გარკვეული მუდმივი რიცხვის ირგვლივ. ეს მუდმივი რიცხვი არის მოვლენის მოხდენის ალბათობა.

ალბათობის კლასიკურ განმარტებას აქვს გარკვეული ნაკლოვანებები:

1) ტესტის ელემენტარული შედეგების რაოდენობა სასრულია, პრაქტიკაში ეს რიცხვი შეიძლება იყოს უსასრულო;

2) ძალიან ხშირად ტესტის შედეგი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ელემენტარული მოვლენების ნაკრები;

ამ მიზეზების გამო, ალბათობის კლასიკურ განმარტებასთან ერთად, გამოიყენება სტატისტიკური განმარტება: inხარისხიანი სტატისტიკური ალბათობა მოვლენები შედარებით სიხშირეს იღებს.

კლასიკურ განმარტებაში მოვლენის ალბათობა განისაზღვრება ტოლობით P(A)=m/n, სადაც m არის ტესტის ელემენტარული შედეგების რაოდენობა, რომლებიც ხელს უწყობენ A მოვლენის დადგომას; n არის შესაძლო ელემენტარული ტესტის შედეგების საერთო რაოდენობა.

ვარაუდობენ, რომ ელემენტარული შედეგები ქმნიან სრულ ჯგუფს და თანაბრად სავარაუდოა.

A მოვლენის ფარდობითი სიხშირე: W(A)=m/n, სადაც m არის ცდების რაოდენობა, რომელშიც მოხდა A მოვლენა; n არის ჩატარებული ტესტების საერთო რაოდენობა.

სტატისტიკურ განმარტებაში მოვლენის ფარდობითი სიხშირე აღებულია მოვლენის ალბათობად.

მაგალითი: იყრება ორი კამათელი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ამოვარდნილ სახეებზე ქულების ჯამი ლუწია და მინიმუმ ერთი კამათლის სახეზე გამოჩნდეს ექვსი.

გადაწყვეტილება: ერთი ქულა, ..., ექვსი ქულა შეიძლება გამოჩნდეს „პირველი“ კამათლის დავარდნილ სახეზე. მსგავსი ექვსი ელემენტარული შედეგია შესაძლებელი „მეორე“ კვარცხლბეკის სროლისას. "პირველი" სროლის თითოეული შედეგი შეიძლება გაერთიანდეს "მეორე" სროლის თითოეულ შედეგთან. ტესტის ელემენტარული შედეგების საერთო რაოდენობაა 6 * 6 = 36. ეს შედეგები ქმნიან სრულ ჯგუფს და, ძვლების სიმეტრიის გამო, თანაბრად შესაძლებელია. ხელსაყრელი მოვლენებია 5 სვლა: 1) 6.2; 2) 6.4; 3) 6.6; 4) 2.6; 5) 4.6;

სასურველი ალბათობა: P(A)=5/36

ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ საინტერესო ინფორმაცია სამეცნიერო საძიებო სისტემაში Otvety.Online. გამოიყენეთ საძიებო ფორმა:

მეტი თემაზე 3. შედარებითი სიხშირე. ფარდობითი სიხშირეების სტაბილურობა. ალბათობის სტატისტიკური განსაზღვრება.:

4. ალბათობის კლასიკური განმარტება. მოვლენის ფარდობითი სიხშირე. სტატისტიკური ალბათობა. გეომეტრიული ალბათობა.
27. ნიმუშის სტატისტიკური განმარტება. ვარიაციული სერიები და მათი გრაფიკული წარმოდგენა. პოლიგონი და სიხშირეების ჰისტოგრამა (ფარდობითი სიხშირეები).
39. ინტერვალის ვარიაციის სერიის აგება. სიხშირეების და ფარდობითი სიხშირეების ჰისტოგრამა.
4. ფარდობითი სიხშირის მუდმივი ალბათობიდან გადახრის ალბათობა დამოუკიდებელ ტესტებში

შედარებითი სიხშირე. შედარებითი სიხშირის სტაბილურობა

შედარებითი სიხშირემოვლენები ეხება ცდების რაოდენობის თანაფარდობას, რომელშიც მოხდა მოვლენა რეალურად ჩატარებული ცდების საერთო რაოდენობასთან. ამრიგად, A მოვლენის ფარდობითი სიხშირე განისაზღვრება ფორმულით

სადაც m არის მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა, n არის ცდების საერთო რაოდენობა.

ალბათობისა და ფარდობითი სიხშირის დეფინიციების შედარებისას დავასკვნით: ალბათობის განსაზღვრა არ მოითხოვს ტესტების რეალურად ჩატარებას; ფარდობითი სიხშირის განსაზღვრა ვარაუდობს, რომ ტესტები რეალურად ჩატარდა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ალბათობა გამოითვლება გამოცდილებამდე, ხოლო შედარებითი სიხშირე გამოცდილების შემდეგ.

მაგალითი 1. ტექნიკური კონტროლის განყოფილებამ შემთხვევით შერჩეული 80 ნაწილისგან შემდგარი პარტიაში 3 არასტანდარტული ნაწილი აღმოაჩინა. არასტანდარტული ნაწილების გაჩენის შედარებითი სიხშირე

ხანგრძლივმა დაკვირვებებმა აჩვენა, რომ თუ ექსპერიმენტები ტარდება იმავე პირობებში, რომელთაგან თითოეულში ტესტების რაოდენობა საკმარისად დიდია, მაშინ ფარდობითი სიხშირე ავლენს სტაბილურობის თვისებას. ეს ქონება არის რომ სხვადასხვა ექსპერიმენტებში ფარდობითი სიხშირე ოდნავ იცვლება (რაც ნაკლებია, მით მეტია ტესტები), მერყეობს გარკვეული მუდმივი რიცხვის ირგვლივ.. აღმოჩნდა, რომ ეს მუდმივი რიცხვი არის მოვლენის დადგომის ალბათობა.

ამრიგად, თუ ფარდობითი სიხშირე ემპირიულად არის დადგენილი, მაშინ მიღებული რიცხვი შეიძლება მივიღოთ, როგორც ალბათობის სავარაუდო მნიშვნელობა.

მაგალითი 3შვედეთის სტატისტიკის მიხედვით, 1935 წელს გოგონების დაბადების შედარებით სიხშირე თვეების მიხედვით ხასიათდება შემდეგი რიცხვებით (რიცხვები დალაგებულია თვეების თანმიმდევრობით, იანვრიდან დაწყებული): 0,486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473.

გაითვალისწინეთ, რომ სხვადასხვა ქვეყნის სტატისტიკა ფარდობითი სიხშირის დაახლოებით ერთსა და იმავე მნიშვნელობას იძლევა.

მაგალითი 4. განმეორებითი ექსპერიმენტები ჩატარდა მონეტის სროლით, რომელიც ითვლიდა "გერბის" გამოჩენას. რამდენიმე ექსპერიმენტის შედეგები მოცემულია ცხრილში. ერთი.

აქ შედარებითი სიხშირეები ოდნავ გადახრილია 0,5 რიცხვიდან და ნაკადი ნაკლებია, მით მეტია ტესტების რაოდენობა. მაგალითად, 4040 ცდის შემთხვევაში, გადახრა არის 0,0069, ხოლო 24,000 ცდის შემთხვევაში - მხოლოდ 0,0005. იმის გათვალისწინებით, რომ მონეტის სროლისას "გერბის" გამოჩენის ალბათობა არის 0,5, ჩვენ კვლავ ვხედავთ, რომ ფარდობითი სიხშირე. ალბათობის გარშემო მერყეობს.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის ტრენინგი

მეტი თემაზე 3. შედარებითი სიხშირე. ფარდობითი სიხშირეების სტაბილურობა. ალბათობის სტატისტიკური განსაზღვრება.:

შედარებითი სიხშირე. შედარებითი სიხშირის სტაბილურობა

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ