ალბათობის კლასიკური განმარტება

ალბათობა - ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. ამ კონცეფციის რამდენიმე განმარტება არსებობს. ალბათობა არის რიცხვი, რომელიც ახასიათებს მოვლენის დადგომის შესაძლებლობის ხარისხს.

ყოველი შესაძლო ტესტის შედეგი ე.წ ელემენტარული შედეგი (ელემენტარული მოვლენა).აღნიშვნები:…,

იმ ელემენტარულ შედეგებს, რომლებშიც ჩვენთვის საინტერესო მოვლენა ხდება, ჩვენ მოვუწოდებთ ხელსაყრელი.

მაგალითი:ურნაში 10 იდენტური ბურთები, რომელთაგან 4 შავია, 6 თეთრი. ღონისძიება - ურნადან გამოყვანილია თეთრი ბურთი. ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა, რომლებშიც ურნადან თეთრი ბურთები იქნება გამოყვანილი, არის 4.

მოვლენისთვის ხელსაყრელი ელემენტარული შედეგების რაოდენობის შეფარდება მათ საერთო რაოდენობასთან ეწოდება მოვლენის ალბათობა; ნოტაცია ჩვენს მაგალითში

მოვლენის ალბათობაარის ამ მოვლენისთვის ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა თანაბრად შესაძლო შეუთავსებელი ელემენტარული შედეგის საერთო რაოდენობასთან, რომლებიც წარმოიქმნება სრული ჯგუფი,

სად არის მოვლენის სასარგებლო ელემენტარული შედეგების რაოდენობა; ტესტის ყველა შესაძლო ელემენტარული შედეგის რაოდენობა.

ალბათობის თვისებები:

1. გარკვეული მოვლენის ალბათობა უდრის ერთს, ე.ი.

2. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია, ე.ი.ე.

3. ალბათობა შემთხვევითი მოვლენაიქ არის დადებითი რიცხვინულსა და ერთს შორის, ე.ი.ე.

ან

1 და 2 თვისებების გათვალისწინებით, ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა აკმაყოფილებს უთანასწორობას

4 . ძირითადი ფორმულებიკომბინატორიკა

კომბინატორიკა სწავლობს კომბინაციების რაოდენობას, რომლებიც ექვემდებარება გარკვეულ პირობებს, რომლებიც შეიძლება შედგებოდეს თვითნებური ხასიათის ელემენტების მოცემული სასრული ნაკრებისგან. ალბათობების უშუალოდ გაანგარიშებისას ხშირად გამოიყენება კომბინატორიკის ფორმულები. წარმოგიდგენთ მათგან ყველაზე ხშირად გამოყენებულს.

პერმუტაციებიეწოდება კომბინაციები, რომლებიც შედგება ერთი და იგივესგან სხვადასხვა ელემენტებიდა განსხვავდებიან მხოლოდ იმ თანმიმდევრობით, რომლითაც ისინი მდებარეობს.

ყველა შესაძლო პერმუტაციის რაოდენობა

სადაც მიღებულია რომ

მაგალითი.სამნიშნა რიცხვების რაოდენობა, როდესაც თითოეული ციფრი შედის სურათში სამნიშნა რიცხვიმხოლოდ ერთხელ, იგივე

განთავსებაეწოდება კომბინაციები, რომლებიც შედგება სხვადასხვა ელემენტებისგან ელემენტებით, რომლებიც განსხვავდებიან ელემენტების შემადგენლობით ან მათი თანმიმდევრობით. ყველა შესაძლო განთავსების რაოდენობა

მაგალითი.სიგნალების რაოდენობა 6 დროშიდან სხვადასხვა ფერებიგადაღებული 2-ის მიერ:

კომბინაციებიეწოდება კომბინაციები, რომლებიც შედგება სხვადასხვა ელემენტებისგან ელემენტებით, რომლებიც განსხვავდებიან მინიმუმ ერთი ელემენტით. კომბინაციების რაოდენობა

მაგალითი. 10 ნაწილისგან შემდგარი ყუთიდან ორი ნაწილის არჩევის გზების რაოდენობა:

განლაგების, პერმუტაციების და კომბინაციების რაოდენობა დაკავშირებულია თანასწორობით

პრობლემების გადაჭრისას გამოიყენება კომბინატორიკა წესების დაცვით:

ჯამის წესი. თუ რომელიმე ობიექტი შეიძლება შეირჩეს ობიექტების სიმრავლიდან გზებით, და სხვა ობიექტის არჩევა გზებით, მაშინ ან , ან შეიძლება შეირჩეს გზებით.

პროდუქტის წესი. თუ ობიექტის არჩევა შესაძლებელია ობიექტების კოლექციიდან გზებით, და ყოველი ასეთი შერჩევის შემდეგ ობიექტი შეიძლება შეირჩეს გზებით, მაშინ ამ თანმიმდევრობით ობიექტების წყვილი შეიძლება შეირჩეს გზებით.

შედარებითი სიხშირეასევე არის ალბათობის თეორიის ძირითადი კონცეფცია.

შედარებითი სიხშირემოვლენები არის ცდების რაოდენობის თანაფარდობა, რომელშიც მოვლენა გამოჩნდა რეალურად ჩატარებული ცდების საერთო რაოდენობასთან და განისაზღვრება ფორმულით

,

სად არის ცდებში მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა, საერთო რაოდენობატესტები.

ალბათობის განმარტებების შედარება და შედარებითი სიხშირე, დავასკვნით, რომ ალბათობის დადგენა არ საჭიროებს ტესტირებას, ხოლო ფარდობითი სიხშირის განსაზღვრა გულისხმობს რეალურ ტესტირებას.

გრძელვადიანი დაკვირვებები აჩვენებს, რომ ექსპერიმენტების ჩატარებისას ქ იგივე პირობები, ფარდობით სიხშირეს აქვს სტაბილურობის თვისება. ეს თვისება მდგომარეობს იმაში, რომ ექსპერიმენტების სხვადასხვა სერიებში ტესტების ფარდობითი სიხშირე სერიებიდან სერიამდე მცირედ იცვლება, მერყეობს გარკვეული მუდმივი რიცხვის ირგვლივ. Ეს არის მუდმივი რიცხვიდა არსებობს მოვლენის დადგომის ალბათობა.

ალბათობის კლასიკურ განმარტებას აქვს გარკვეული ნაკლოვანებები:

1) ტესტის ელემენტარული შედეგების რაოდენობა სასრულია, პრაქტიკაში ეს რიცხვი შეიძლება იყოს უსასრულო;

2) ძალიან ხშირად ტესტის შედეგი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ელემენტარული მოვლენების ნაკრები;

ამ მიზეზების გამო, ალბათობის კლასიკურ განმარტებასთან ერთად, გამოიყენება სტატისტიკური განმარტება: inხარისხიანი სტატისტიკური ალბათობა მოვლენები შედარებით სიხშირეს იღებს.

ცნობილია, რომ ტესტის გამო შემთხვევითი მოვლენა შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს. მაგრამ ამავე დროს იმისთვის სხვადასხვა ღონისძიებებიერთსა და იმავე საცდელში არის სხვადასხვა შესაძლებლობები. მოდით შევხედოთ მაგალითს. თუ ურნაში ასი საგულდაგულოდ შერეული იდენტური ბურთია და მათ შორის მხოლოდ ათია შავი, დანარჩენი კი თეთრი, მაშინ როდესაც შემთხვევით იშლება ერთი ბურთი. მეტი შესაძლებლობებირომელიც გამოჩნდება ზუსტად თეთრია. მოვლენის დადგომის შესაძლებლობა ეს ტესტიაქვს რიცხვითი საზომი, რომელსაც ჰქვია ამ მოვლენის ალბათობა და ალბათობის თეორიის მიხედვით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ რა არის შავი ან თეთრი ბურთის ნახვის შანსი.

ალბათობის კლასიკური განმარტება

დავუშვათ, რომ გარკვეული ტესტის დროს შეიძლება მოხდეს $n$ ელემენტარული თანაბრად სავარაუდო მოვლენები. ამ რიცხვიდან, რიცხვი $m$ არის იმ ელემენტარული მოვლენების რიცხვი, რომლებიც ხელს უწყობენ გარკვეული მოვლენის $A$-ს წარმოქმნას. მაშინ $A$ მოვლენის ალბათობა არის მიმართება $P\left(A\right)=\frac(m)(n) $.

მაგალითი #1.

ურნა შეიცავს 3 თეთრ და 5 შავ ბურთულას, რომლებიც განსხვავდებიან მხოლოდ ფერით. ტესტი არის ურნადან შემთხვევით ერთი ბურთის გამოყვანა. მოვლენა $A$ ითვლება "თეთრი ბურთის გამოჩენად". გამოთვალეთ მოვლენის ალბათობა $A$.

ტესტის დროს, რვა ბურთიდან ნებისმიერი შეიძლება ამოღებულ იქნეს. ყველა ეს მოვლენა ელემენტარულია, რადგან ისინი შეუთავსებელია და ქმნიან სრულ ჯგუფს. ასევე ნათელია, რომ ყველა ეს მოვლენა თანაბრად შესაძლებელია. ასე რომ, $P\left(A\right)$ ალბათობის გამოსათვლელად შეგვიძლია გამოვიყენოთ მისი კლასიკური განმარტება. ამოხსნის სახით გვაქვს: $n=8$, $m=3$ და ბურთებიდან ზუსტად თეთრის ამოღების ალბათობა იქნება $P\left(A\right)=\frac(3)(8. ) $.

შემდეგი თვისებები გამომდინარეობს ალბათობის კლასიკური განმარტებიდან:

• გარკვეული მოვლენის ალბათობა $V$ ყოველთვის ერთის ტოლია, ანუ $P\left(V\right)=1$; ეს აიხსნება იმით, რომ გარკვეულ მოვლენას ხელს უწყობს ყველა ელემენტარული მოვლენა, ანუ $m=n$;
• შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა $H$ ყოველთვის ნულის ტოლია, ანუ $P\left(H\right)=0$; ეს აიხსნება იმით, რომ არცერთი ელემენტარული არ ემხრობა შეუძლებელ მოვლენას, ანუ $m=0$;
• ნებისმიერი შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა $A$ ყოველთვის აკმაყოფილებს $0 პირობას

ამრიგად, in ზოგადი შემთხვევანებისმიერი მოვლენის ალბათობა აკმაყოფილებს $0\le P\left(A\right)\le 1$ უტოლობას.

შედარებითი სიხშირე და მისი სტაბილურობა

განმარტება 1

დავუშვათ, რომ საკმაოდ დიდი რიცხვიტესტები, რომელთაგან თითოეული შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს გარკვეული მოვლენა$A$. ასეთ ტესტებს ტესტების სერიას უწოდებენ.

დავუშვათ, რომ $n$ საცდელების სერია გაშვებულია, რომელშიც მოვლენა $A$ ხდება $m$-ჯერ. აქ რიცხვს $m$ ეწოდება $A$ მოვლენის აბსოლუტური სიხშირე, ხოლო $\frac(m)(n) $ შეფარდება $A$ მოვლენის ფარდობითი სიხშირე. მაგალითად, ხანძრის დროს გამოყენებული $n=20$ ცეცხლმაქრებიდან $m=3$ ცეცხლმაქრები არ მუშაობდნენ (მოვლენა $A$). აქ $m=3$ არის $A$ მოვლენის აბსოლუტური სიხშირე, ხოლო $\frac(m)(n) =\frac(3)(20) $ არის ფარდობითი სიხშირე.

პრაქტიკული გამოცდილება და საღი აზრივარაუდობენ, რომ მცირე $n$-ისთვის ფარდობითი სიხშირის მნიშვნელობები არ შეიძლება იყოს სტაბილური, მაგრამ თუ ტესტების რაოდენობა გაიზარდა, მაშინ ფარდობითი სიხშირის მნიშვნელობები უნდა დასტაბილურდეს.

მაგალითი #2.

გუნდში მონაწილეობის მისაღებად მწვრთნელი ათიდან ხუთ ბიჭს ირჩევს. რამდენი გზით შეუძლია მას გუნდის შექმნა, თუ გუნდში უნდა იყოს ორი კონკრეტული ბიჭი, რომლებიც ქმნიან გუნდის ხერხემალს?

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, გუნდში დაუყოვნებლივ ორი ​​ბიჭი შევა. ამიტომ რჩება რვადან სამი ბიჭის შერჩევა. ამ შემთხვევაში მნიშვნელოვანია მხოლოდ შემადგენლობა, რადგან გუნდის ყველა წევრის როლები არ განსხვავდება. ეს ნიშნავს, რომ საქმე გვაქვს კომბინაციებთან.

$n$ ელემენტების კომბინაციები $m$-ით არის კომბინაციები, რომლებიც შედგება $m$ ელემენტებისაგან და განსხვავდება ერთმანეთისგან მინიმუმ ერთი ელემენტით, მაგრამ არა ელემენტების თანმიმდევრობით.

კომბინაციების რაოდენობა გამოითვლება $C_(n)^(m) =\frac(n) ფორმულით{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.!}

ამრიგად, რაოდენობა სხვადასხვა გზებიგუნდის ფორმირება სამი ბიჭის ოდენობით, რვა ბიჭის არჩევა - ეს არის 3 ელემენტის 8 კომბინაციის რაოდენობა:

$C_(8)^(3) =\frac(8{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$!}

მაგალითი #3

ოფისში თაროზე შემთხვევით 15 წიგნია განთავსებული, აქედან 5 ალგებრაშია. მასწავლებელი შემთხვევით იღებს სამ წიგნს. იპოვეთ ალბათობა, რომ აღებული წიგნიდან ერთი მაინც ალგებრაშია.

მოვლენები $A$ (აღებული სამი წიგნიდან ერთი მაინც არის ალგებრის წიგნი) და $\bar(A)$ (აღებული სამი წიგნიდან არცერთი არ არის ალგებრის წიგნი) საპირისპიროა, ამიტომ P(A) + P( $ \bar(A)$) = 1. აქედან გამომდინარე P(A) = 1-P($\bar(A)$). ამრიგად, საჭირო ალბათობა P(A) = 1 - $C_(10)^(3) \, /C_(15)^(3) \, $= 1 - 24/91 = 67/91.

მაგალითი #4

ოცი სააქციო საზოგადოებადან ოთხი უცხოურია. მოქალაქემ ექვსი სააქციო საზოგადოების ერთი აქცია შეიძინა. რა არის იმის ალბათობა, რომ შეძენილი აქციებიდან ორი იყოს უცხოური სააქციო საზოგადოების აქციები?

სააქციო საზოგადოების შესარჩევი კომბინაციების საერთო რაოდენობა უდრის კომბინაციების რაოდენობას 20-დან 6-მდე, ანუ $(\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) $. ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა განისაზღვრება, როგორც ნამრავლი $(\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_(\rm 16))^( (\rm 4) ) $, სადაც პირველი ფაქტორი მიუთითებს უცხოური სააქციო საზოგადოების არჩევანის კომბინაციების რაოდენობაზე ოთხიდან. მაგრამ ყოველი ასეთი კომბინაციით შეიძლება შეხვდნენ სააქციო საზოგადოება, რომლებიც არ არიან უცხოური. ასეთი სააქციო საზოგადოების კომბინაციების რაოდენობა იქნება $(\rm C)_((\rm 16))^((\rm 4)) $. ამიტომ, სასურველი ალბათობა იწერება როგორც $(\rm P)=\frac((\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_(\ rm 16 ))^((\rm 4)) )((\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) ) =0.28$.

მაგალითი #5

18 ნაწილიან პარტიაში არის 4 არასტანდარტული ნაწილი. 5 ცალი არჩეულია შემთხვევით. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამ 5 ნაწილიდან ორი არასტანდარტულია.

ყველა თანაბრად შესაძლო შეუთავსებელი შედეგის რაოდენობა $n$ უდრის კომბინაციების რაოდენობას 18-დან 5-მდე, ე.ი. $n=C_(18)^(5) =8568$.

მოდით დავთვალოთ $m$ შედეგების რაოდენობა, რომელიც ხელს უწყობს A მოვლენას. შემთხვევით აღებულ 5 დეტალს შორის უნდა იყოს 3 სტანდარტული და 2 არასტანდარტული. ორი ნიმუშის გზების რაოდენობა არ არის სტანდარტული ნაწილები 4 ხელმისაწვდომი არასტანდარტულიდან უდრის კომბინაციების რაოდენობას 4-დან 2-მდე: $C_(4)^(2) =6$.

სამი სტანდარტული ნაწილის არჩევის გზების რაოდენობა 14 ხელმისაწვდომი სტანდარტული ნაწილიდან არის $C_(14)^(3) =364$.

სტანდარტული ნაწილების ნებისმიერი ჯგუფი შეიძლება გაერთიანდეს არასტანდარტული ნაწილების ნებისმიერ ჯგუფთან, ამიტომ $m$ კომბინაციების საერთო რაოდენობაა $m=C_(4)^(2) \cdot C_(14)^(3) =6 \cdot 364=2184$.

A მოვლენის სასურველი ალბათობა უდრის $m$ შედეგის რაოდენობის თანაფარდობას, რომელიც ხელს უწყობს მოვლენას $n$ რიცხვთან ყველა თანაბრად სავარაუდო და შეუთავსებელი მოვლენები$P(A)=\frac(2184)(8568) =0.255.$

მაგალითი #6.

ურნა შეიცავს 5 შავ და 6 თეთრ ბურთულებს. შემთხვევით გათამაშებულია 4 ბურთი. იპოვეთ ალბათობა, რომ მათ შორის არის მინიმუმ ერთი თეთრი ბურთი.

დაე, ღონისძიება $$ იყოს მინიმუმ ერთი თეთრი დახაზულ ბურთებს შორის.

განიხილეთ საპირისპირო მოვლენა$\bar()$ - არცერთი დახატული ბურთი არ არის თეთრი. ასე რომ, დახაზული ოთხივე ბურთი შავია.

ჩვენ ვიყენებთ კომბინატორიკის ფორმულებს.

თერთმეტიდან ოთხი ბურთის ამოღების გზების რაოდენობა:

$n=!_(11)^(4) =\frac(11{4!\cdot (11-4)!} =330$!}

თერთმეტიდან ოთხი შავი ბურთის ამოღების გზების რაოდენობა:

$m=!_(5)^(4) =\frac(5{4!\cdot (5-4)!} =5$!}

ჩვენ ვიღებთ: $\; (\bar())=\frac(m)(n) =\frac(5)(330) =\frac(1)(66) $; $P(A)=1-\; (\bar(A))=1-\frac(1)(66) =\frac(65)(66) $.

პასუხი: ალბათობა იმისა, რომ გათამაშებულ ოთხ ბურთს შორის არ არის თეთრი ბურთი, უდრის $\frac(65)(66) $.

განმარტება. შეუშვით ნ განმეორებითი ექსპერიმენტები (ტესტი) რაიმე მოვლენა მაგრამ მოვიდა n A ერთხელ.

ნომერი n A ე.წ. მოვლენის სიხშირე მაგრამ და თანაფარდობა

ეწოდება მოვლენის ფარდობითი სიხშირე (ან სიხშირე). მაგრამ ამ ტესტების სერიაში.

შედარებითი სიხშირის თვისებები

მოვლენის ფარდობითი სიხშირე აქვს შემდეგი თვისებები.

1. ნებისმიერი მოვლენის სიხშირე დევს ნულიდან ერთამდე დიაპაზონში, ე.ი.

2. შეუძლებელი მოვლენის სიხშირე არის ნული, ე.ი.

3. გარკვეული მოვლენის სიხშირე არის 1, ე.ი.

4. ორი შეუთავსებელი მოვლენის ჯამის სიხშირე უდრის ამ მოვლენების სიხშირეების (სიხშირეების) ჯამს, ე.ი. თუ =Ø, მაშინ

სიხშირე აქვს ქონება საკუთრებას ეძახიან სტატისტიკური სტაბილურობა : ექსპერიმენტების რაოდენობის ზრდით (ანუ ზრდით ნ ) მოვლენის სიხშირე იღებს მნიშვნელობებს ამ მოვლენის ალბათობასთან ახლოს რ .

განმარტება. მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა არიცხვს, რომლის გარშემოც იცვლება მოვლენის ფარდობითი სიხშირე, ეწოდება მაგრამ საკმარისად დიდი რაოდენობითტესტები (ექსპერიმენტები) ნ .

მოვლენის ალბათობა მაგრამ აღინიშნება სიმბოლოთი რ (მაგრამ ) ან რ (მაგრამ ). ასოს გამოჩენა, როგორც "ალბათობის" კონცეფციის სიმბოლო. რ განისაზღვრება მისი არსებობით პირველ რიგში ინგლისური სიტყვა ალბათობა - ალბათობა.

Მიხედვით ამ განმარტებას

სტატისტიკური ალბათობის თვისებები

1. სტატისტიკური ალბათობანებისმიერი ღონისძიება მაგრამარის ნულსა და ერთს შორის, ე.ი.

2. შეუძლებელი მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა ( მაგრამ= Ø) უდრის ნულს, ე.ი.

3. გარკვეული მოვლენის სტატისტიკური ალბათობა ( მაგრამ= Ω) უდრის ერთს, ე.ი.

4. სტატისტიკური ალბათობის ჯამი შეუთავსებელი მოვლენები უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს, ე.ი. თუ A B= Ø, მაშინ

ალბათობის კლასიკური განმარტება

დაე, ექსპერიმენტი ჩატარდეს ნ შედეგები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც შეუთავსებელი თანაბრად სავარაუდო მოვლენების ჯგუფი. შემთხვევა, რომელიც იწვევს მოვლენის წარმოქმნას მაგრამ , ეწოდება ხელსაყრელი ან ხელსაყრელი, ე.ი. ხდება ვ იწვევს მოვლენას მაგრამ , w A .

განმარტება. მოვლენის ალბათობა მაგრამ უწოდა რიცხვის თანაფარდობა მ ამ ღონისძიებისთვის ხელსაყრელი შემთხვევები მთლიან რაოდენობამდე ნ შემთხვევები, ე.ი.

"კლასიკური" ალბათობის თვისებები

1. აქსიომა არანეგატიურობა : რაიმე მოვლენის ალბათობა მაგრამარის არაუარყოფითი, ე.ი.

რ(მაგრამ) ≥ 0.

2. აქსიომა ნორმალიზაცია : გარკვეული მოვლენის ალბათობა ( მაგრამ= Ω) უდრის ერთს:

3. აქსიომა ადიტიურობა : ჯამის ალბათობა შეუთავსებელი მოვლენები (ან ორი შეუთავსებელი მოვლენის ერთის დადგომის ალბათობა) უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს, ე.ი. თუ A B=Ø, მაშინ

მოვლენის ალბათობა: რ() = 1 – რ(მაგრამ).

მოვლენის ალბათობისთვის, რომელიც არის ჯამი ნებისმიერი ორი მოვლენა მაგრამდა AT,სწორი ფორმულა არის:

თუ მოვლენები მაგრამდა ATარ შეიძლება მოხდეს ერთი ტესტის შედეგად ერთდროულად, ე.ი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ A B – შეუძლებელი მოვლენა, მაშინ ეძახიან შეუთავსებელი ან შეუთავსებელი , და მერე რ(A B) = 0 და მოვლენათა ჯამის ალბათობის ფორმულა განსაკუთრებულად მარტივ ფორმას იღებს:

თუ მოვლენები მაგრამდა ATშეიძლება მოხდეს ერთი ტესტის შედეგად, მათ ე.წ თავსებადი .

სასარგებლო ალგორითმი

ალბათობების პოვნისას ალბათობის კლასიკური განმარტების გამოყენებით, უნდა დაიცვას შემდეგი ალგორითმი.

1. აუცილებელია ნათლად გავიგოთ რა არის ექსპერიმენტი.

2. ნათლად მიუთითეთ რა მოვლენაა მაგრამ, რომლის ალბათობაც მოიძებნება.

3. მკაფიოდ ჩამოაყალიბეთ რა იქნება ელემენტარული მოვლენა განსახილველ პრობლემაში. ელემენტარული მოვლენის ჩამოყალიბების და განსაზღვრის შემდეგ, თქვენ უნდა შეამოწმოთ სამი პირობა, რომელიც უნდა აკმაყოფილებდეს შედეგების ერთობლიობას, ე.ი. Ω.

6. მიჰყვება კლასიკური განმარტებაალბათობა, განსაზღვრა

პრობლემების გადაჭრისას ყველაზე გავრცელებული შეცდომა არის ბუნდოვანი გაგება იმისა, რაც მიიღება ელემენტარულ მოვლენად ვ , და კომპლექტის აგების სისწორე და მოვლენის ალბათობის გამოთვლის სისწორე ამაზეა დამოკიდებული. ჩვეულებრივ, პრაქტიკაში, უმარტივესი შედეგი მიიღება ელემენტარულ მოვლენად, რომელიც არ შეიძლება "გაიყოს" უფრო მარტივებად.

შედარებითი სიხშირე. შედარებითი სიხშირის სტაბილურობა

ფარდობითი სიხშირე ალბათობასთან ერთად განეკუთვნება ალბათობის თეორიის ძირითად ცნებებს.

შედარებითი სიხშირემოვლენები ეხება ცდების რაოდენობის თანაფარდობას, რომელშიც მოხდა მოვლენა რეალურად ჩატარებული ცდების საერთო რაოდენობასთან. ამრიგად, A მოვლენის ფარდობითი სიხშირე განისაზღვრება ფორმულით

სადაც m არის მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა, n არის ცდების საერთო რაოდენობა.

ალბათობისა და ფარდობითი სიხშირის დეფინიციების შედარებისას დავასკვნით: ალბათობის განსაზღვრა არ მოითხოვს ტესტების რეალურად ჩატარებას; ფარდობითი სიხშირის განსაზღვრა ვარაუდობს, რომ ტესტები რეალურად ჩატარდა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ალბათობა გამოითვლება გამოცდილებამდე, ხოლო შედარებითი სიხშირე გამოცდილების შემდეგ.

მაგალითი 1. ტექნიკური კონტროლის განყოფილებამ შემთხვევით შერჩეული 80 ნაწილისგან შემდგარი პარტიაში 3 არასტანდარტული ნაწილი აღმოაჩინა. არასტანდარტული ნაწილების გაჩენის შედარებითი სიხშირე

მაგალითი 2მიზანში 24 გასროლა მოხდა, 19 დარტყმა დაფიქსირდა. დარტყმის შედარებითი მაჩვენებელი

ხანგრძლივმა დაკვირვებებმა აჩვენა, რომ თუ ექსპერიმენტები ტარდება იმავე პირობებში, რომელთაგან თითოეულში ტესტების რაოდენობა საკმარისად დიდია, მაშინ ფარდობითი სიხშირე ავლენს სტაბილურობის თვისებას. ეს ქონება არის რაში სხვადასხვა გამოცდილებაფარდობითი სიხშირე ოდნავ იცვლება (რაც ნაკლებია, მით მეტი ტესტები კეთდება), მერყეობს გარკვეული მუდმივი რიცხვის ირგვლივ. აღმოჩნდა, რომ ეს მუდმივი რიცხვი არის მოვლენის დადგომის ალბათობა.

ამრიგად, თუ ემპირიულადდაყენებულია ფარდობითი სიხშირე, შემდეგ მიღებული რიცხვი შეიძლება მივიღოთ, როგორც ალბათობის სავარაუდო მნიშვნელობა.

შედარებით სიხშირესა და ალბათობას შორის ურთიერთობა უფრო დეტალურად და უფრო ზუსტად ქვემოთ იქნება აღწერილი. ახლა მოდით მაგალითებით ვაჩვენოთ სტაბილურობის თვისება.

მაგალითი 3შვედეთის სტატისტიკის მიხედვით, 1935 წელს გოგონების დაბადების შედარებით სიხშირე თვეების მიხედვით ხასიათდება შემდეგი რიცხვებით (რიცხვები დალაგებულია თვეების თანმიმდევრობით, იანვრიდან დაწყებული): 0,486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473.

ფარდობითი სიხშირე მერყეობს 0,482 რიცხვის ირგვლივ, რაც შეიძლება მივიღოთ გოგოების გაჩენის ალბათობის სავარაუდო მნიშვნელობად.

გაითვალისწინეთ, რომ სტატისტიკა სხვადასხვა ქვეყნებშიმიეცით ფარდობითი სიხშირის დაახლოებით იგივე მნიშვნელობა.

მაგალითი 4. განმეორებითი ექსპერიმენტები ჩატარდა მონეტის სროლით, რომელიც ითვლიდა "გერბის" გამოჩენის რაოდენობას. რამდენიმე ექსპერიმენტის შედეგები მოცემულია ცხრილში. ერთი.

აქ ფარდობითი სიხშირეები ოდნავ გადახრის რიცხვიდან 0.5 და დენი ნაკლებია მეტი ნომერიტესტები. მაგალითად, 4040 ცდის შემთხვევაში, გადახრა არის 0,0069, ხოლო 24,000 ცდის შემთხვევაში - მხოლოდ 0,0005. იმის გათვალისწინებით, რომ მონეტის სროლისას "გერბის" გამოჩენის ალბათობა არის 0,5, ჩვენ კვლავ ვხედავთ, რომ ფარდობითი სიხშირე. ალბათობის გარშემო მერყეობს.