ឯកតាវ៉ិចទ័រ- នេះ។ វ៉ិចទ័រតម្លៃដាច់ខាត (ម៉ូឌុល) ដែល ស្មើនឹងមួយ។. ដើម្បីសម្គាល់វ៉ិចទ័រឯកតា យើងនឹងប្រើអក្សររង e. ដូច្នេះប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ កបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វានឹងក្លាយជាវ៉ិចទ័រ ក e. វ៉ិចទ័រឯកតានេះចង្អុលក្នុងទិសដៅដូចគ្នានឹងវ៉ិចទ័រខ្លួនឯង កហើយម៉ូឌុលរបស់វាស្មើនឹងមួយ នោះគឺ អ៊ី \u003d ១។

ជាក់ស្តែង ក= ក កអ៊ី (ក - ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ ក). នេះអនុវត្តតាមច្បាប់ដែលប្រតិបត្តិការនៃការគុណមាត្រដ្ឋានដោយវ៉ិចទ័រត្រូវបានអនុវត្ត។

ឯកតាវ៉ិចទ័រជារឿយៗត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ (ជាពិសេសជាមួយនឹងអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian) ។ ទិសដៅទាំងនេះ វ៉ិចទ័រស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃអ័ក្សដែលត្រូវគ្នា ហើយប្រភពដើមរបស់វាត្រូវបានផ្សំជាញឹកញាប់ជាមួយនឹងប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesianនៅក្នុងលំហ ត្រូវបានគេហៅថាជាប្រពៃណី អ័ក្សកាត់កែងគ្នាបីដង ដែលប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយហៅថា ប្រភពដើម។ សំរបសំរួលអ័ក្សជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ X, Y, Z ហើយត្រូវបានគេហៅថារៀងគ្នាអ័ក្ស abscissa អ័ក្ស y និងអ័ក្សអនុវត្ត។ Descartes ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានប្រើអ័ក្សតែមួយដែល abscissas ត្រូវបានគ្រោងទុក។ គុណសម្បត្តិនៃការប្រើប្រាស់ ប្រព័ន្ធពូថៅជារបស់សិស្សរបស់គាត់។ ដូច្នេះឃ្លា ប្រព័ន្ធ cartesianកូអរដោនេខុសជាប្រវត្តិសាស្ត្រ។ និយាយល្អជាង ចតុកោណ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលឬ ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ orthogonal. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទំនៀមទម្លាប់ទេ ហើយនៅពេលអនាគត យើងនឹងសន្មត់ថា ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian និងចតុកោណ (រាងចតុកោណកែង) គឺតែមួយ និងដូចគ្នា។

ឯកតាវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមអ័ក្ស X ត្រូវបានសម្គាល់ ខ្ញុំ, ឯកតាវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមអ័ក្ស Y ត្រូវបានសម្គាល់ j, ក ឯកតាវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមអ័ក្ស Z ត្រូវបានសម្គាល់ k. វ៉ិចទ័រ ខ្ញុំ, j, kបានហៅ orts(រូបទី 12 ខាងឆ្វេង) ពួកគេមានម៉ូឌុលតែមួយ នោះគឺ
i = 1, j = 1, k = 1 ។

អ័ក្ស និង orts ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណក្នុង​ករណី​ខ្លះ​ពួក​គេ​មាន​ឈ្មោះ​ផ្សេង​ទៀត​និង​ការ​រចនា​។ ដូច្នេះ អ័ក្ស abscissa X អាចត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សតង់សង់ ហើយវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាត្រូវបានតាង τ (អក្សរតូចភាសាក្រិចថា) អ័ក្ស y គឺជាអ័ក្សធម្មតា វ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាត្រូវបានតាង នអ័ក្សអនុវត្តគឺជាអ័ក្សនៃ binormal វ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាត្រូវបានតាង ខ. ហេតុអ្វីត្រូវប្តូរឈ្មោះ បើខ្លឹមសារនៅតែដដែល?

ការពិតគឺថា ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងមេកានិច នៅពេលសិក្សាចលនារបស់សាកសព ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ណាស់។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធកូអរដោណេខ្លួនវាគ្មានចលនា ហើយការផ្លាស់ប្តូរកូអរដោនេនៃវត្ថុផ្លាស់ទីត្រូវបានតាមដាននៅក្នុងប្រព័ន្ធគ្មានចលនានេះ នោះជាធម្មតាអ័ក្សតំណាងឱ្យ X, Y, Z និងពួកវា។ ortsរៀងៗខ្លួន ខ្ញុំ, j, k.

ប៉ុន្តែជាញឹកញាប់នៅពេលដែលវត្ថុមួយផ្លាស់ទីតាមខ្លះ គន្លង curvilinear(ឧទាហរណ៍តាមរង្វង់មួយ) វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការពិចារណាដំណើរការមេកានិកនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលផ្លាស់ទីជាមួយវត្ថុនេះ។ វាគឺសម្រាប់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេផ្លាស់ទី ដែលឈ្មោះផ្សេងទៀតនៃអ័ក្ស និងវ៉ិចទ័រឯកតារបស់ពួកគេត្រូវបានប្រើប្រាស់។ វាទើបតែត្រូវបានទទួលយក។ ក្នុងករណីនេះ អ័ក្ស X ត្រូវបានដឹកនាំ tangential ទៅគន្លងនៅចំណុចដែល ពេលនេះវត្ថុនេះមានទីតាំងនៅ។ ហើយបន្ទាប់មកអ័ក្សនេះមិនត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្ស X ទៀតទេ ប៉ុន្តែអ័ក្សតង់សង់ ហើយវ៉ិចទ័រឯកតារបស់វាមិនត្រូវបានតំណាងទៀតទេ ខ្ញុំ, ក τ . អ័ក្ស Y ត្រូវបានដឹកនាំតាមកាំនៃកោងនៃគន្លង (ក្នុងករណីចលនាក្នុងរង្វង់មួយ - ទៅកណ្តាលរង្វង់) ។ ហើយដោយសារកាំគឺកាត់កែងទៅនឹងតង់សង់ អ័ក្សត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សធម្មតា (កាត់កែង និងធម្មតាគឺដូចគ្នា)។ ចំនុចនៃអ័ក្សនេះមិនត្រូវបានតំណាងទៀតទេ j, ក ន. អ័ក្សទីបី (អតីត Z) គឺកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សមុនទាំងពីរ។ នេះគឺជា binormal ដែលមានវ៉ិចទ័រ ខ(រូបទី 12 ស្តាំ) ។ ដោយវិធីនេះក្នុងករណីនេះ ប្រព័ន្ធចតុកោណកូអរដោនេជារឿយៗត្រូវបានគេហៅថា "ធម្មជាតិ" ឬធម្មជាតិ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលប្រតិបត្តិការពីរបន្ថែមទៀតជាមួយវ៉ិចទ័រ៖ ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រនិង ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ (តំណភ្ជាប់ភ្លាមៗសម្រាប់អ្នកដែលត្រូវការវា). វាមិនអីទេ ពេលខ្លះវាកើតឡើងសម្រាប់ សុភមង្គលពេញលេញ, ក្រៅពី ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រត្រូវការកាន់តែច្រើនឡើង។ នេះគឺជាការញៀនវ៉ិចទ័រ។ វាហាក់ដូចជាយើងកំពុងឡើងចូលទៅក្នុងព្រៃ ធរណីមាត្រវិភាគ. នេះ​គឺ​ជា​ការ​មិន​ពិត​ទេ។ នៅក្នុងផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ ជាទូទៅមានអុសតិចតួច លើកលែងតែអាចគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ Pinocchio ។ តាមពិតសម្ភារៈគឺសាមញ្ញនិងសាមញ្ញ - ពិបាកជាងដូចគ្នា។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋានសូម្បីតែ ភារកិច្ចធម្មតា។នឹងតិចជាង។ រឿងសំខាន់នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ ដូចដែលមនុស្សជាច្រើននឹងឃើញ ឬបានឃើញរួចហើយ គឺមិនត្រូវច្រឡំការគណនាទេ។ ធ្វើម្តងទៀតដូចអក្ខរាវិរុទ្ធហើយអ្នកនឹងសប្បាយចិត្ត =)

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័របញ្ចេញពន្លឺនៅកន្លែងឆ្ងាយៗ ដូចជាផ្លេកបន្ទោរលើជើងមេឃ វាមិនមានបញ្ហាអ្វីទេ សូមចាប់ផ្តើមជាមួយមេរៀន វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះដើម្បីស្តារឬទិញឡើងវិញ ចំណេះ​ដឹង​មូលដ្ឋានអំពីវ៉ិចទ័រ។ អ្នកអានដែលបានរៀបចំកាន់តែច្រើនអាចស្គាល់ព័ត៌មានដោយជ្រើសរើស ខ្ញុំបានព្យាយាមប្រមូលការប្រមូលពេញលេញបំផុតនៃឧទាហរណ៍ដែលត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុង ការងារជាក់ស្តែង

តើអ្វីនឹងធ្វើឱ្យអ្នកសប្បាយចិត្ត? កាលខ្ញុំនៅតូច ខ្ញុំអាចលេងបាល់បានពីរ និងបីគ្រាប់។ វាដំណើរការបានល្អ។ ឥឡូវនេះ មិនចាំបាច់លេងសើចអ្វីទាំងអស់ ព្រោះយើងនឹងពិចារណា មានតែវ៉ិចទ័រអវកាសប៉ុណ្ណោះ។ហើយវ៉ិចទ័រសំប៉ែតដែលមានកូអរដោណេពីរនឹងត្រូវទុកចោល។ ហេតុអ្វី? នេះជារបៀបដែលសកម្មភាពទាំងនេះបានកើត - វ៉ិចទ័រនិង ផលិតផលចម្រុះវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់និងដំណើរការ លំហបីវិមាត្រ. កាន់តែងាយស្រួលហើយ!

នៅក្នុងប្រតិបត្តិការនេះ, នៅក្នុងវិធីដូចគ្នានឹងផលិតផល scalar, វ៉ិចទ័រពីរ. សូមឱ្យវាក្លាយជាអក្សរដែលមិនអាចរលួយបាន។

សកម្មភាពខ្លួនឯង តំណាងតាមវិធីខាងក្រោម៖ . មានជម្រើសផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែខ្ញុំធ្លាប់បង្ហាញផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រតាមវិធីនេះ ក្នុង តង្កៀបការ៉េជាមួយនឹងឈើឆ្កាង។

ហើយភ្លាមៗ សំណួរ៖ ប្រសិនបើនៅក្នុង ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រពីរជាប់ពាក់ព័ន្ធ ហើយនៅទីនេះ វ៉ិចទ័រពីរក៏ត្រូវបានគុណផងដែរ។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នា? ភាពខុសគ្នាច្បាស់លាស់ ជាដំបូងនៃការទាំងអស់នៅក្នុងលទ្ធផល៖

លទ្ធផលនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រគឺ NUMBER៖

លទ្ធផលនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រគឺវ៉ិចទ័រ: នោះគឺយើងគុណវ៉ិចទ័រ ហើយទទួលបានវ៉ិចទ័រម្តងទៀត។ ក្លឹបបិទ។ តាមពិតទៅឈ្មោះនៃប្រតិបត្តិការ។ នៅក្នុងផ្សេងៗ អក្សរសិល្ប៍អប់រំការសម្គាល់ក៏អាចប្រែប្រួលដែរ ខ្ញុំនឹងប្រើអក្សរ។

និយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

ដំបូងនឹងមាននិយមន័យជាមួយរូបភាព បន្ទាប់មកបញ្ចេញមតិ

និយមន័យ: ផលិតផលឆ្លងកាត់ non-collinearវ៉ិចទ័រ , យកតាមលំដាប់នេះ។ត្រូវបានគេហៅថា VECTOR, ប្រវែងដែលជាលេខ ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាមបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ; វ៉ិចទ័រ រាងពងក្រពើទៅវ៉ិចទ័រហើយត្រូវបានដឹកនាំដើម្បីឱ្យមូលដ្ឋានមានទិសដៅត្រឹមត្រូវ៖

យើង​វិភាគ​និយមន័យ​តាម​ឆ្អឹង មាន​រឿង​គួរ​ឲ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​ច្រើន​ណាស់!

ដូច្នេះ យើងអាចលើកយកចំណុចសំខាន់ៗដូចខាងក្រោមនេះ៖

1) ប្រភពវ៉ិចទ័រ បង្ហាញដោយព្រួញក្រហម តាមនិយមន័យ មិនជាប់គ្នា។. កើតឡើង វ៉ិចទ័រ collinearវានឹងជាការសមរម្យដើម្បីពិចារណាបន្តិចក្រោយមក។

2) វ៉ិចទ័របានយក នៅក្នុងលំដាប់ដ៏តឹងរឹងមួយ។: – "a" ត្រូវបានគុណនឹង "be"មិនមែន "be" ទៅ "a" ទេ។ លទ្ធផលនៃគុណវ៉ិចទ័រគឺ VECTOR ដែលត្រូវបានតំណាងជាពណ៌ខៀវ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានគុណនឹង លំដាប់បញ្ច្រាសបន្ទាប់មកយើងទទួលបានវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងស្មើគ្នា និងផ្ទុយគ្នាក្នុងទិសដៅ (ពណ៌ក្រហម)។ នោះគឺសមភាព .

3) ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្គាល់អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ នេះគឺខ្លាំងណាស់ ចំណុចសំខាន់! ប្រវែង​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ពណ៌​ខៀវ (ហើយ​ដូច្នេះ​វ៉ិចទ័រ​ក្រហម) គឺ​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង AREA នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បាន​បង្កើត​នៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ។ នៅក្នុងរូបភាព ប៉ារ៉ាឡែលនេះត្រូវបានដាក់ស្រមោលខ្មៅ។

ចំណាំ ៖ គំនូរគឺ schematic ហើយជាការពិតណាស់ ប្រវែងបន្ទាប់បន្សំនៃផលិតផលឈើឆ្កាងគឺមិនស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមនោះទេ។

យើងចងចាំមួយក្នុងចំណោម រូបមន្តធរណីមាត្រ: ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមគឺស្មើនឹងផលិតផល ភាគីនៅជាប់គ្នា។ដោយស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកគេ។. ដូច្នេះ ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ រូបមន្តសម្រាប់គណនាប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺត្រឹមត្រូវ៖

ខ្ញុំសង្កត់ធ្ងន់ថានៅក្នុងរូបមន្តយើងកំពុងនិយាយអំពី LENGTH នៃវ៉ិចទ័រ ហើយមិនមែនអំពីវ៉ិចទ័រខ្លួនឯងនោះទេ។ តើអ្វីទៅជាអត្ថន័យជាក់ស្តែង? ហើយអត្ថន័យគឺដូចជានៅក្នុងបញ្ហានៃធរណីមាត្រវិភាគ តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់តាមរយៈគំនិតនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ:

តោះ​មួយ​វិនាទី រូបមន្តសំខាន់. អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម (បន្ទាត់ចំនុចក្រហម) ចែកវាជាពីរ ត្រីកោណស្មើគ្នា. ដូច្នេះផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលសាងសង់លើវ៉ិចទ័រ (ការដាក់ស្រមោលក្រហម) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

4) មិនតិចជាង ការពិតសំខាន់គឺ​ថា​វ៉ិចទ័រ​គឺ​រាង​មូល​ទៅ​នឹង​វ៉ិចទ័រ នោះ​គឺ . ជា​ការ​ពិត​ណាស់ វ៉ិចទ័រ​ដែល​មាន​ទិស​ផ្ទុយ​គ្នា (ព្រួញ​ពណ៌​ក្រហម) ក៏​មាន​រាង​មូល​ទៅ​នឹង​វ៉ិចទ័រ​ដើម។

5) វ៉ិចទ័រត្រូវបានដឹកនាំដូច្នេះ មូលដ្ឋានវា​មាន ត្រឹមត្រូវ។ការតំរង់ទិស។ នៅក្នុងមេរៀនអំពី ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី។ខ្ញុំបាននិយាយលម្អិតអំពី ការតំរង់ទិសយន្តហោះហើយឥឡូវនេះយើងនឹងស្វែងយល់ថាតើការតំរង់ទិសនៃលំហគឺជាអ្វី។ ខ្ញុំនឹងពន្យល់នៅលើម្រាមដៃរបស់អ្នក។ ដៃស្តាំ . ផ្សំផ្លូវចិត្ត មេដៃ ជាមួយវ៉ិចទ័រ និង ម្រាមដៃកណ្តាលជាមួយវ៉ិចទ័រ។ ម្រាមដៃរោទ៍ និងម្រាមដៃតូចចុចចូលទៅក្នុងបាតដៃរបស់អ្នក។ ជា​លទ្ធផល មេដៃ - ផលិតផលវ៉ិចទ័រនឹងរកមើល។ នេះគឺជាមូលដ្ឋានតម្រង់ទិសខាងស្ដាំ (វាមាននៅក្នុងរូប) ។ ឥឡូវប្តូរវ៉ិចទ័រ ( សន្ទស្សន៍ និង ម្រាមដៃកណ្តាល ) នៅកន្លែងខ្លះ ជាលទ្ធផល មេដៃនឹងបង្វែរ ហើយផលិតផលវ៉ិចទ័រនឹងមើលចុះរួចហើយ។ នេះក៏ជាមូលដ្ឋានតម្រង់ទិសត្រឹមត្រូវ។ ប្រហែល​ជា​អ្នក​មាន​សំណួរ​មួយ​ថា តើ​មូលដ្ឋាន​អ្វី​ដែល​មាន​ទិស​ខាង​ឆ្វេង? "កំណត់" ម្រាមដៃដូចគ្នា។ ដៃឆ្វេងវ៉ិចទ័រ និងទទួលបានមូលដ្ឋានខាងឆ្វេង និងការតំរង់ទិសលំហខាងឆ្វេង (ក្នុងករណីនេះមេដៃនឹងមានទីតាំងនៅក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រទាប). បើនិយាយជាន័យធៀប មូលដ្ឋានទាំងនេះ "បង្វិល" ឬតម្រង់ទិសក្នុង ភាគីផ្សេងគ្នា. ហើយគំនិតនេះមិនគួរត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអ្វីដែលវែងឆ្ងាយ ឬអរូបីនោះទេ - ឧទាហរណ៍ កញ្ចក់ធម្មតាបំផុតផ្លាស់ប្តូរការតំរង់ទិសនៃលំហ ហើយប្រសិនបើអ្នក "ទាញវត្ថុដែលឆ្លុះបញ្ចាំងចេញពីកញ្ចក់" នោះវា ករណីទូទៅមិន​អាច​ផ្គូផ្គង​នឹង​ដើម។ ដោយវិធីនេះ យកម្រាមដៃបីទៅកញ្ចក់ ហើយវិភាគការឆ្លុះបញ្ចាំង ;-)

... តើ​វា​ល្អ​ប៉ុណ្ណា​ដែល​អ្នក​ឥឡូវ​បាន​ដឹង​អំពី តម្រង់ទិសស្តាំ និងឆ្វេងមូលដ្ឋាន, ដោយសារតែសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់សាស្រ្តាចារ្យមួយចំនួនអំពីការផ្លាស់ប្តូរនៃការតំរង់ទិសគឺគួរឱ្យភ័យខ្លាច =)

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ collinear

និយមន័យ​ត្រូវ​បាន​គេ​ធ្វើ​យ៉ាង​លម្អិត វា​នៅ​តែ​រក​ឱ្យ​ឃើញ​ថា​តើ​មាន​អ្វី​កើត​ឡើង​នៅ​ពេល​ដែល​វ៉ិចទ័រ​នៅ​ជាប់​គ្នា។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះពួកវាអាចដាក់នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយប្រលេឡូក្រាមរបស់យើងក៏ "បត់" ទៅជាបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ តំបន់​ដូច​អ្នក​គណិត​វិទូ​និយាយ​ថា degenerateប្រលេឡូក្រាមគឺសូន្យ។ ដូចគ្នានឹងរូបមន្ត - ស៊ីនុសសូន្យឬ 180 ដឺក្រេ។ សូន្យដូច្នេះហើយ តំបន់គឺសូន្យ

ដូច្នេះប្រសិនបើ . និយាយយ៉ាងតឹងរឹងផលិតផលវ៉ិចទ័រខ្លួនឯងគឺ សូន្យវ៉ិចទ័រប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្តនេះ ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ ហើយសរសេរថាវាស្មើនឹងសូន្យ។

ករណីពិសេសគឺជាផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ និងខ្លួនវាផ្ទាល់៖

ដោយប្រើផលិតផលឆ្លងកាត់ អ្នកអាចពិនិត្យមើលភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ និង កិច្ចការនេះ។ក្នុងចំណោមអ្នកផ្សេងទៀត យើងក៏នឹងវិភាគផងដែរ។

សម្រាប់ដំណោះស្រាយ ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងអាចត្រូវបានទាមទារ តារាងត្រីកោណមាត្រដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃស៊ីនុសពីវា។

តោះចាប់ផ្តើមភ្លើង៖

ឧទាហរណ៍ ១

ក) រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រប្រសិនបើ

ខ) រកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ if

ការសម្រេចចិត្ត៖ ទេ នេះមិនមែនជាការវាយអក្សរទេ ខ្ញុំបានបង្កើតទិន្នន័យដំបូងដោយចេតនាក្នុងធាតុលក្ខខណ្ឌដូចគ្នា។ ដោយសារតែការរចនានៃដំណោះស្រាយនឹងខុសគ្នា!

ក) តាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវឱ្យស្វែងរក ប្រវែងវ៉ិចទ័រ (ផលិតផលវ៉ិចទ័រ) ។ យោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា៖

ចម្លើយ:

ដោយសារវាត្រូវបានសួរអំពីប្រវែងបន្ទាប់មកនៅក្នុងចម្លើយយើងបង្ហាញពីវិមាត្រ - ឯកតា។

ខ) តាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវឱ្យស្វែងរក ការ៉េ parallelogram បង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ។ ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​នេះ​គឺ​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ប្រវែង​ផលិតផល​ឈើ​ឆ្កាង៖

ចម្លើយ:

សូមចំណាំថានៅក្នុងចម្លើយអំពីផលិតផលវ៉ិចទ័រមិនមានការនិយាយអ្វីទាំងអស់យើងត្រូវបានគេសួរអំពី តំបន់រូបភាពរៀងគ្នា វិមាត្រគឺជាឯកតាការ៉េ។

យើងតែងតែពិនិត្យមើលអ្វីដែលតម្រូវឱ្យត្រូវបានរកឃើញដោយលក្ខខណ្ឌ ហើយផ្អែកលើនេះ យើងបង្កើត ច្បាស់ចម្លើយ។ វាអាចហាក់ដូចជាអក្សរសាស្ត្រ ប៉ុន្តែមានអ្នកសរសេរអក្សរគ្រប់គ្រាន់ក្នុងចំណោមគ្រូ ហើយកិច្ចការដែលមានឱកាសល្អនឹងត្រូវបានប្រគល់ជូនវិញសម្រាប់ការពិនិត្យឡើងវិញ។ ទោះបីជានេះមិនមែនជា nitpick ដ៏តឹងតែងមួយក៏ដោយ - ប្រសិនបើចម្លើយមិនត្រឹមត្រូវ នោះមនុស្សម្នាក់ទទួលបានចំណាប់អារម្មណ៍ថាមនុស្សនោះមិនយល់ រឿងសាមញ្ញនិង/ឬមិនយល់ពីខ្លឹមសារនៃកិច្ចការ។ ពេល​នេះ​ត្រូវ​តែ​ត្រូវ​បាន​រក្សា​ឱ្យ​ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​ការ​គ្រប់​គ្រង​ជា​និច្ច, ការ​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ណា​មួយ​នៅ​លើ គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនិងនៅក្នុងមុខវិជ្ជាផ្សេងទៀតផងដែរ។

តើអក្សរធំ "en" ទៅណា? ជាគោលការណ៍ វាអាចត្រូវបានជាប់គាំងបន្ថែមទៅនឹងដំណោះស្រាយ ប៉ុន្តែដើម្បីកាត់បន្ថយកំណត់ត្រា ខ្ញុំមិនបានធ្វើទេ។ ខ្ញុំ​សង្ឃឹម​ថា​អ្នក​រាល់​គ្នា​យល់​ថា និង​ជា​ការ​កំណត់​នៃ​រឿង​ដូច​គ្នា។

ឧទាហរណ៍ពេញនិយមសម្រាប់ ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ:

ឧទាហរណ៍ ២

រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដែល​សង់​លើ​វ៉ិចទ័រ if

រូបមន្ត​សម្រាប់​ការ​ស្វែង​រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​តាម​រយៈ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​មតិយោបល់​ចំពោះ​និយមន័យ។ ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

នៅក្នុងការអនុវត្ត, ភារកិច្ចគឺពិតជាជារឿងធម្មតាណាស់, ត្រីកោណអាចត្រូវបានធ្វើទារុណកម្ម។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងទៀត យើងត្រូវការ៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រ

យើងបានពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃផលិតផលវ៉ិចទ័ររួចហើយ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងបញ្ចូលពួកវានៅក្នុងបញ្ជីនេះ។

សម្រាប់វ៉ិចទ័របំពាន និងលេខបំពាន លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមគឺពិត៖

1) នៅក្នុងប្រភពព័ត៌មានផ្សេងទៀត ធាតុនេះជាធម្មតាមិនត្រូវបានបន្លិចនៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិនោះទេ ប៉ុន្តែវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់នៅក្នុង នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌជាក់ស្តែង. ដូច្នេះសូមឱ្យវាក្លាយជា។

2) - ទ្រព្យ​ក៏​បាន​ពិភាក្សា​ខាង​លើ​ដែរ ជួនកាល​គេ​ហៅ ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល. និយាយម្យ៉ាងទៀតលំដាប់នៃវ៉ិចទ័រមានសារៈសំខាន់។

3) - ការរួមបញ្ចូលគ្នាឬ សមាគមច្បាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ថេរត្រូវបានយកចេញយ៉ាងងាយស្រួលចេញពីដែនកំណត់នៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តាមពិតតើពួកគេកំពុងធ្វើអ្វីនៅទីនោះ?

4) - ការចែកចាយឬ ការចែកចាយច្បាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តង្កៀបបើកក៏មិនមានបញ្ហាដែរ។

ជាការបង្ហាញ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ខ្លីមួយ៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ការសម្រេចចិត្ត៖តាមលក្ខខណ្ឌ វាត្រូវបានទាមទារម្តងទៀតដើម្បីស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តោះគូររូបតូចរបស់យើង៖

(1) យោងតាមច្បាប់សមាគម យើងដកចំនួនថេរលើសពីដែនកំណត់នៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

(2) យើងដកថេរចេញពីម៉ូឌុល ខណៈពេលដែលម៉ូឌុល "ញ៉ាំ" សញ្ញាដក។ ប្រវែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

(3) អ្វី​ដែល​បន្ទាប់​មក​គឺ​ច្បាស់​លាស់។

ចម្លើយ:

ដល់​ពេល​បោះ​អុស​ទៅ​លើ​ភ្លើង៖

ឧទាហរណ៍ 4

គណនាផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលសង់លើវ៉ិចទ័រ ប្រសិនបើ

ការសម្រេចចិត្ត៖ រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត  . ស្នាកគឺថាវ៉ិចទ័រ "ce" និង "te" គឺពួកគេតំណាងឱ្យផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ។ ក្បួនដោះស្រាយនៅទីនេះគឺជាស្តង់ដារ ហើយត្រូវបានគេចងចាំខ្លះៗអំពីឧទាហរណ៍លេខ 3 និងទី 4 នៃមេរៀន។ ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ. ចូរ​បំបែក​វា​ជា​បី​ជំហាន​ដើម្បី​ឲ្យ​កាន់​តែ​ច្បាស់៖

1) នៅជំហានដំបូង យើងបង្ហាញផលិតផលវ៉ិចទ័រតាមរយៈផលិតផលវ៉ិចទ័រ តាមពិត បង្ហាញវ៉ិចទ័រក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ. មិនទាន់​មាន​ពាក្យ​វែង​នៅឡើយ​ទេ​!

(1) យើងជំនួសកន្សោមនៃវ៉ិចទ័រ។

(2) ដោយប្រើច្បាប់ចែកចាយ យើងបើកតង្កៀបយោងទៅតាមក្បួនគុណនៃពហុនាម។

(3) ដោយប្រើច្បាប់សមាគម យើងដកចំនួនថេរទាំងអស់ចេញពីផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ជាមួយនឹងបទពិសោធន៍តិចតួច សកម្មភាពទី 2 និងទី 3 អាចត្រូវបានអនុវត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

(4) ពាក្យ​ដំបូង​និង​ចុង​ក្រោយ​គឺ​ស្មើ​សូន្យ (សូន្យ​វ៉ិចទ័រ​) ដោយ​សារ​តែ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​រីករាយ​។ នៅ​ក្នុង​ពាក្យ​ទី​ពីរ យើង​ប្រើ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល​របស់​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ៖

(5) យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា។

ជាលទ្ធផល វ៉ិចទ័របានប្រែទៅជាត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈវ៉ិចទ័រ ដែលជាអ្វីដែលតម្រូវឱ្យសម្រេចបាន៖

2) នៅជំហានទីពីរយើងរកឃើញប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលយើងត្រូវការ។ សកម្មភាពនេះ។រំលឹកឧទាហរណ៍ទី ៣៖

3) ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលត្រូវការ:

ជំហានទី 2-3 នៃដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានរៀបចំក្នុងមួយជួរ។

ចម្លើយ:

បញ្ហាដែលបានពិចារណាគឺជារឿងធម្មតានៅក្នុង ត្រួតពិនិត្យការងារនេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយ ធ្វើវាដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយរហ័សនិងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ សូមមើលពីរបៀបដែលអ្នកយកចិត្តទុកដាក់នៅពេលសិក្សាឧទាហរណ៍ពីមុន ;-)

ឆ្លងកាត់ផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រក្នុងកូអរដោណេ

ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal , ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត:

រូបមន្តគឺសាមញ្ញណាស់៖ យើងសរសេរវ៉ិចទ័រសំរបសំរួលនៅក្នុងបន្ទាត់ខាងលើនៃកត្តាកំណត់ យើង "ខ្ចប់" កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទៅក្នុងជួរទីពីរ និងទីបី ហើយយើងដាក់ នៅក្នុងលំដាប់តឹងរឹង- ទីមួយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ "ve" បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ "double-ve" ។ ប្រសិនបើ​វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​គុណ​តាម​លំដាប់​ផ្សេង នោះ​បន្ទាត់​ក៏​គួរ​ត្រូវ​បាន​ប្តូរ៖

ឧទាហរណ៍ 10

ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រលំហខាងក្រោមមានលក្ខណៈជាប់គ្នាឬអត់៖
ក)
ខ)

ការសម្រេចចិត្ត៖ សុពលភាពផ្អែកលើការអះអាងមួយ។ មេរៀននេះ។៖ ប្រសិនបើ​វ៉ិចទ័រ​ជាប់​គ្នា នោះ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ​គឺ​សូន្យ (វ៉ិចទ័រ​សូន្យ)៖ .

ក) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នាទេ។

ខ) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ចម្លើយ: ក) មិនជាប់គ្នា, ខ)

នៅទីនេះ ប្រហែលជាព័ត៌មានមូលដ្ឋានទាំងអស់អំពីផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។

ផ្នែកនេះ។នឹងមិនមានទំហំធំទេ ព្រោះមានបញ្ហាតិចតួចដែលផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានប្រើប្រាស់។ តាមពិតទៅ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងស្ថិតនៅលើនិយមន័យ អត្ថន័យធរណីមាត្រ និងរូបមន្តការងារមួយចំនួន។

ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រគឺ ផលិតផលបីវ៉ិចទ័រ:

នេះ​ជា​របៀប​ដែល​ពួកគេ​តម្រង់​ជួរ​ដូច​រថភ្លើង ហើយ​រង់ចាំ ពួកគេ​មិន​អាច​រង់ចាំ​រហូត​ដល់​គេ​គណនា​បាន​ទេ។

ជាដំបូង និយមន័យ និងរូបភាព៖

និយមន័យ៖ ផលិតផលចម្រុះ មិនមែន coplanarវ៉ិចទ័រ , យកតាមលំដាប់នេះ។, ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា បរិមាណនៃ parallelepipedបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ បំពាក់ដោយសញ្ញា "+" ប្រសិនបើមូលដ្ឋានត្រឹមត្រូវ និងសញ្ញា "-" ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៅខាងឆ្វេង។

តោះធ្វើគំនូរ។ បន្ទាត់ដែលមើលមិនឃើញសម្រាប់យើងគឺត្រូវបានគូសដោយបន្ទាត់ចំនុច៖

ចូរយើងចូលទៅក្នុងនិយមន័យ៖

2) វ៉ិចទ័របានយក នៅក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។នោះគឺការផ្លាស់ប្តូរវ៉ិចទ័រនៅក្នុងផលិតផល ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាស្មានមិនទៅដោយគ្មានផលវិបាកទេ។

3) មុននឹងធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើអត្ថន័យធរណីមាត្រ ខ្ញុំកត់សំគាល់ ការពិតជាក់ស្តែង: ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រគឺ NUMBER:. នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អប់រំ ការរចនាអាចមានភាពខុសប្លែកគ្នាខ្លះ ខ្ញុំធ្លាប់កំណត់ផលិតផលចម្រុះតាមរយៈ និងលទ្ធផលនៃការគណនាដោយអក្សរ "pe"។

A-priory ផលិតផលចម្រុះគឺជាបរិមាណនៃ parallelepipedបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ (រូបភាពត្រូវបានគូរដោយវ៉ិចទ័រក្រហម និងបន្ទាត់ខ្មៅ)។ នោះគឺចំនួនគឺស្មើនឹងបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចំណាំ ៖ គំនូរគឺ schematic ។

4) ចូរកុំរំខានម្តងទៀតជាមួយនឹងគំនិតនៃការតំរង់ទិសនៃមូលដ្ឋាននិងលំហ។ អត្ថន័យនៃផ្នែកចុងក្រោយគឺថាសញ្ញាដកអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅកម្រិតសំឡេង។ នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញផលិតផលចម្រុះអាចអវិជ្ជមាន៖ .

រូបមន្តសម្រាប់គណនាបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យ។

និយមន័យ សំណុំបញ្ជា (x 1 , x 2 , ... , x n) ន ចំនួនពិតបានហៅ វ៉ិចទ័រ​វិមាត្រនិងលេខ x i (i = ) - សមាសធាតុឬ កូអរដោនេ,

ឧទាហរណ៍។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើរោងចក្រផលិតរថយន្តជាក់លាក់មួយត្រូវផលិតបាន 50 គ្រឿង រថយន្ត, រថយន្តដឹកទំនិញចំនួន 100 គ្រឿង រថយន្តក្រុងចំនួន 10 គ្រឿង គ្រឿងបន្លាស់សម្រាប់រថយន្តចំនួន 50 ឈុត និង 150 ឈុតសម្រាប់ ឡានដឹកទំនិញនិងឡានក្រុង កម្មវិធីផលិតនៃរោងចក្រនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាវ៉ិចទ័រ (50, 100, 10, 50, 150) ដែលមានប្រាំសមាសភាគ។

កំណត់ចំណាំ។ វ៉ិចទ័រត្រូវបានបង្ហាញជាដិត អក្សរ​តូចឬអក្សរដែលមានរបារ ឬព្រួញនៅខាងលើ ឧទាហរណ៍ កឬ. វ៉ិចទ័រទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា ស្មើប្រសិនបើពួកគេមាន លេខដូចគ្នា។សមាសភាគ និងសមាសភាគដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា។

សមាសធាតុវ៉ិចទ័រមិនអាចផ្លាស់ប្តូរបានទេ ឧ. (3, 2, 5, 0, 1)និង (2, 3, 5, 0, 1) វ៉ិចទ័រផ្សេងគ្នា។
ប្រតិបត្តិការលើវ៉ិចទ័រ។ការងារ x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ទៅជាចំនួនពិតλ ហៅថាវ៉ិចទ័រλ x= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n) ។

ផលបូកx= (x 1 , x 2 , ... , x n) និង y= (y 1 , y 2 , ... , y n) ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n) ។

ចន្លោះនៃវ៉ិចទ័រ។ន -ទំហំវ៉ិចទ័រវិមាត្រ រ n ត្រូវបានកំណត់ជាសំណុំនៃវ៉ិចទ័រ n វិមាត្រទាំងអស់ដែលប្រតិបត្តិការនៃគុណនឹង ចំនួនពិតនិងការបន្ថែម។

រូបភាពសេដ្ឋកិច្ច។ រូបភាពសេដ្ឋកិច្ចនៃទំហំវ៉ិចទ័រ n វិមាត្រ៖ ចន្លោះទំនិញ (ទំនិញ) នៅក្រោម ទំនិញយើង​នឹង​យល់​ពី​ការ​ល្អ ឬ​សេវាកម្ម​មួយ​ចំនួន​ដែល​បាន​ដាក់​លក់​នៅ​ពេល​ជាក់លាក់​មួយ​នៅ​ក្នុង កន្លែងជាក់លាក់. សន្មត់ថាមានចំនួនកំណត់នៃទំនិញដែលមាន n; បរិមាណនៃទំនិញនីមួយៗដែលបានទិញដោយអ្នកប្រើប្រាស់ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយសំណុំនៃទំនិញ

x= (x 1 , x 2 , ... , x n )

ដែល x i បង្ហាញពីចំនួននៃទំនិញ i-th ដែលទិញដោយអ្នកប្រើប្រាស់។ យើងនឹងសន្មត់ថាទំនិញទាំងអស់មានទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបែងចែកតាមអំពើចិត្ត ដូច្នេះបរិមាណដែលមិនអវិជ្ជមាននៃទំនិញនីមួយៗអាចទិញបាន។ បន្ទាប់មកសំណុំទំនិញដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់គឺជាវ៉ិចទ័រនៃទំហំទំនិញ C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ប្រព័ន្ធ អ៊ី 1 , អ៊ី 2 , ... , អ៊ី m n-dimensional vectors ត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើមានលេខបែបនេះλ 1 , λ 2 , ... , λ m ដែលយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនមែនជាសូន្យ ដែលបំពេញនូវសមភាពλ1 អ៊ី 1 + λ2 អ៊ី 2+...+λm អ៊ី m = 0; បើមិនដូច្នេះទេ ប្រព័ន្ធនេះ។វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពោលគឺ សមភាពនេះគឺអាចធ្វើទៅបានតែក្នុងករណីទាំងអស់ប៉ុណ្ណោះ។ . អារម្មណ៍ធរណីមាត្រ ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរវ៉ិចទ័រនៅក្នុង រ 3, បកស្រាយថាជាផ្នែកដឹកនាំ, ពន្យល់ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ ១. ប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រតែមួយគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រនេះគឺសូន្យ។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រពីរមានភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាជាគូលីនេអ៊ែរ (ប៉ារ៉ាឡែល)។

ទ្រឹស្តីបទ ៣ . ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័របីមានភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាជា coplanar (ដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ)។

ឆ្វេងនិងស្តាំបីដងនៃវ៉ិចទ័រ។ បីដងនៃវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជា coplanar ក, ខ, គបានហៅ ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើអ្នកសង្កេតការណ៍ពីពួកគេ។ ការចាប់ផ្តើមទូទៅឆ្លងកាត់ចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ ក, ខ, គនៅក្នុងលំដាប់នោះហាក់ដូចជាដំណើរការតាមទ្រនិចនាឡិកា។ បើមិនដូច្នេះទេ។ ក, ខ, គ -ឆ្វេងបីដង. ខាងស្តាំ (ឬខាងឆ្វេង) បីនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ស្មើគ្នា តម្រង់ទិស។

មូលដ្ឋាននិងកូអរដោនេ។ ត្រូកា អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 វ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ក្នុង រ 3 បានហៅ មូលដ្ឋាននិងវ៉ិចទ័រខ្លួនឯង អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 - មូលដ្ឋាន. វ៉ិចទ័រណាមួយ។ កអាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងវិធីតែមួយគត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន នោះគឺវាអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់

ក= x ១ អ៊ី 1 + x2 អ៊ី 2 + x ៣ អ៊ី 3, (1.1)

លេខ x 1 , x 2 , x 3 នៅក្នុងការពង្រីក (1.1) ត្រូវបានហៅ កូអរដោនេកនៅក្នុងមូលដ្ឋាន អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 និងត្រូវបានតំណាង ក(x 1, x 2, x 3) ។

មូលដ្ឋានអ័រគីដេ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ អ៊ី 1, អ៊ី 2 , អ៊ី 3 គឺជាគូកាត់កែង ហើយប្រវែងនៃពួកវានីមួយៗគឺស្មើនឹងមួយ បន្ទាប់មកមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតានិងកូអរដោនេ x 1 , x 2 , x 3 - ចតុកោណ។វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាននៃមូលដ្ឋានអ័រថូនិកនឹងត្រូវបានតំណាង ខ្ញុំ, j, k ។

យើងនឹងសន្មតថានៅក្នុងលំហ រ 3 ប្រព័ន្ធត្រឹមត្រូវនៃកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian (0, ខ្ញុំ, j, k}.

ផលិតផលវ៉ិចទ័រ. សិល្បៈវ៉ិចទ័រ កក្នុងមួយវ៉ិចទ័រ ខហៅថាវ៉ិចទ័រ គដែលត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌបីដូចខាងក្រោមៈ

1. ប្រវែងវ៉ិចទ័រ គជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បង្កើត​លើ​វ៉ិចទ័រ កនិង ខ, i.e.
គ= |a||b|អំពើបាប( ក^ខ).

2. វ៉ិចទ័រ គកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រនីមួយៗ កនិង ខ.

3. វ៉ិចទ័រ ក, ខនិង គយក​តាម​លំដាប់​នោះ បង្កើត​ជា​បី​ត្រូវ។

សម្រាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ គការកំណត់ត្រូវបានណែនាំ c=[ab] ឬ
c = ក × ខ.

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ កនិង ខជាប់គ្នា បន្ទាប់មក បាប ( a^b) = 0 និង [ ab] = 0 ជាពិសេស [ អេ] = 0. ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃ orts: [ អ៊ី]=k, [jk] = ខ្ញុំ, [គី]=j.

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ កនិង ខបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ, j, kកូអរដោនេ ក(a 1, a 2, a 3) ខ(b 1, b 2, b 3) បន្ទាប់មក

ការងារចម្រុះ។ ប្រសិនបើផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រពីរ កនិង ខមាត្រដ្ឋានគុណនឹងវ៉ិចទ័រទីបី គ,បន្ទាប់មកផលិតផលនៃវ៉ិចទ័របីត្រូវបានគេហៅថា ផលិតផលចម្រុះហើយត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ក bc

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ ក, ខនិង គនៅក្នុងមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ, j, kកំណត់ដោយកូអរដោនេរបស់ពួកគេ។
ក(a 1, a 2, a 3) ខ(ខ ១, ខ ២, ខ ៣), គ(c 1, c 2, c 3) បន្ទាប់មក

.

ផលិតផលចម្រុះមានការបកស្រាយធរណីមាត្រសាមញ្ញ - វាជាមាត្រដ្ឋានយោងទៅតាម តម្លៃ​ដាច់ខាតស្មើនឹងបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័របី។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័របង្កើតបានបីដងត្រឹមត្រូវ នោះផលិតផលចម្រុះរបស់ពួកគេគឺជាលេខវិជ្ជមានស្មើនឹងបរិមាណដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ ប្រសិនបើទាំងបី ក, ខ, គ -ចាកចេញ បន្ទាប់មក a b គ<0 и V = - a b គដូច្នេះ V =|a b c|.

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលជួបប្រទះនៅក្នុងបញ្ហានៃជំពូកទី 1 ត្រូវបានគេសន្មត់ថាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន orthonormal ត្រឹមត្រូវ។ ឯកតាវ៉ិចទ័រ បង្វែរទិសទៅវ៉ិចទ័រ ក,តំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា កអំពី។ និមិត្តសញ្ញា r=អូមតំណាងដោយវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុច M និមិត្តសញ្ញា a, AB ឬ|a|, | AB |ម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាង កនិង AB

ឧទាហរណ៍ 1.2. រកមុំរវាងវ៉ិចទ័រ ក= 2ម+4ននិង ខ= m-nកន្លែងណា មនិង n-ឯកតាវ៉ិចទ័រ និងមុំរវាង មនិង នស្មើនឹង 120 o ។

ការសម្រេចចិត្ត. យើងមានៈ cos φ = ab/ab, ab =(2ម+4ន) (m-n) = 2ម 2 - 4ន 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; ក = ; ក 2 = (2ម+4ន) (2ម+4ន) =
= 4ម 2 +16mn+16ន 2 = 4+16(-0.5)+16=12 ដូច្នេះ a = . b= ; ខ 2 =
= (m-n)(m-n) = ម 2 -2mn+ន 2 = 1-2(-0.5)+1=3 ដូច្នេះ b= ។ ទីបំផុតយើងមាន: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o ។

ឧទាហរណ៍ 1.3 ។ស្គាល់វ៉ិចទ័រ AB(-3,-2.6) និង BC(-2,4,4) គណនាកម្ពស់ AD នៃត្រីកោណ ABC ។

ការសម្រេចចិត្ត. កំណត់ផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ដោយ S យើងទទួលបាន៖
S = 1/2 B.C. AD ។ បន្ទាប់មក AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC |. AC=AB+BCដូច្នេះវ៉ិចទ័រ ACមានកូអរដោនេ
. .

ឧទាហរណ៍ 1.4 . ផ្តល់វ៉ិចទ័រពីរ ក(11,10,2) និង ខ(៤,០,៣)។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រឯកតា គ,រាងពងក្រពើទៅវ៉ិចទ័រ កនិង ខនិងដឹកនាំដូច្នេះ វ៉ិចទ័របីដង តាមលំដាប់ ក, ខ, គត្រឹមត្រូវ។

ការសម្រេចចិត្ត។ចូរ​យើង​កំណត់​កូអរដោនេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ គដោយគោរពតាមមូលដ្ឋានអ័រថូនិកត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ x, y, z ។

ដរាបណា គ ⊥ ក, គ ⊥ខបន្ទាប់មក ប្រហែល= 0, គ= 0. តាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺតម្រូវឱ្យ c = 1 និង a b គ >0.

យើងមានប្រព័ន្ធសមីការសម្រាប់ ការស្វែងរក x, y, z៖ 11x +10y + 2z = 0, 4x + 3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0 ។

ពីសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន z = -4/3 x, y = -5/6 x ។ ការជំនួស y និង z ទៅក្នុងសមីការទីបី យើងនឹងមាន៖ x 2 = 36/125 មកពីណា។
x=± . លក្ខខណ្ឌប្រើប្រាស់ a b c > 0 យើងទទួលបានវិសមភាព

ដោយពិចារណាលើកន្សោមសម្រាប់ z និង y យើងសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាពលទ្ធផលក្នុងទម្រង់៖ 625/6 x > 0 ដែលវាធ្វើតាម x> 0 ។ ដូច្នេះ x = , y = - , z = − ។

៧.១. និយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

វ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ចំនួនបី a , b និង c ដែលយកតាមលំដាប់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ បង្កើតជាបីដងខាងស្តាំ ប្រសិនបើចាប់ពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទីបី c វេនខ្លីបំផុតពីវ៉ិចទ័រទីមួយ a ទៅវ៉ិចទ័រទីពីរ b ត្រូវបានគេមើលឃើញថាច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ហើយ ខាងឆ្វេងមួយប្រសិនបើទ្រនិចនាឡិកា (សូមមើលរូបភព។ ដប់ប្រាំមួយ) ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a និងវ៉ិចទ័រ b ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ c ដែល៖

1. កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b, i.e. c ^ a និង c ^ ខ;

2. វា​មាន​ប្រវែង​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បាន​បង្កើត​នៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ a និងខដូចជានៅលើជ្រុង (សូមមើលរូបភព 17) i.e.

3. វ៉ិចទ័រ a , b និង c បង្កើតជាបីខាងស្តាំ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាង a x b ឬ [a,b] ។ ពីនិយមន័យនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមរវាង orts ដែលខ្ញុំធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ jនិង k(សូមមើលរូបទី 18)៖

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j ។
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងបញ្ជាក់ខ្ញុំ xj \u003d k ។

1) k^i, k ^ j;

2) |k |=1 ប៉ុន្តែ | ខ្ញុំ x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) វ៉ិចទ័រ i, j និង kបង្កើតជាបីខាងស្តាំ (សូមមើលរូបភាពទី 16)។

៧.២. ឆ្លងកាត់លក្ខណៈសម្បត្តិផលិតផល

1. នៅពេលដែលកត្តាត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ ផលិតផលវ៉ិចទ័រផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា i.e. និង xb \u003d (b xa) (សូមមើលរូប 19)។

វ៉ិចទ័រ a xb និង b xa គឺ collinear មានម៉ូឌុលដូចគ្នា (ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ) ប៉ុន្តែត្រូវបានតម្រង់ទិសផ្ទុយគ្នា (បីដង a, b, និង xb និង a, b, b x a នៃទិសផ្ទុយ) ។ នោះគឺ axb = -(bxa).

2. ផលិតផលវ៉ិចទ័រមាន ទ្រព្យសម្បត្តិរួមទាក់ទងនឹងកត្តាមាត្រដ្ឋាន ពោលគឺ l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b) ។

អនុញ្ញាតឱ្យ l > 0 ។ វ៉ិចទ័រ l (a xb) កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង b ។ វ៉ិចទ័រ ( លីត្រក) x ខក៏កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ a និង ខ(វ៉ិចទ័រ a, លីត្រប៉ុន្តែដេកនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា) ។ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ លីត្រ(a xb) និង ( លីត្រក) x ខ collinear ។ វាច្បាស់ណាស់ថាទិសដៅរបស់ពួកគេស្របគ្នា។ ពួកគេមានប្រវែងដូចគ្នា៖

ដូច្នេះ លីត្រ(a xb)= លីត្រមួយ xb ។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ លីត្រ<0.

3. វ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ a និង ខគឺ collinear ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ ពោលគឺ និង ||b<=>និង xb \u003d 0 ។

ជាពិសេស i * i = j * j = k * k = 0 ។

4. ផលិតផលវ៉ិចទ័រមានទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយ៖

(a+b) xs = a xs + ខ xs

ទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។

៧.៣. កន្សោមផលិតផលឆ្លងកាត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេ

យើងនឹងប្រើតារាងផលិតផលឆ្លងកាត់វ៉ិចទ័រ i , jនិង k:

ប្រសិនបើទិសដៅនៃផ្លូវខ្លីបំផុតពីវ៉ិចទ័រទីមួយទៅទីពីរស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃព្រួញនោះផលិតផលស្មើនឹងវ៉ិចទ័រទីបីប្រសិនបើវាមិនត្រូវគ្នានោះវ៉ិចទ័រទីបីត្រូវបានថតដោយសញ្ញាដក។

ទុកវ៉ិចទ័រពីរ a = a x i + a y j+az kនិង b=bx ខ្ញុំ+ ដោយ j+bz k. ចូរយើងស្វែងរកផលគុណវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះដោយគុណពួកវាជាពហុធា (យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ)៖

រូបមន្តលទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរកាន់តែខ្លី៖

ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព (7.1) ទាក់ទងទៅនឹងការពង្រីកនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុនៃជួរទីមួយ។ សមភាព (7.2) ងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ។

៧.៤. កម្មវិធីមួយចំនួននៃផលិតផលឈើឆ្កាង

ការបង្កើតភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ

ការស្វែងរកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម និងត្រីកោណមួយ។

យោងទៅតាមនិយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ កនិង ខ |a xb| =|a| * |b |sin g, i.e. S par = |a x b |។ ដូច្នេះហើយ D S \u003d 1/2 | a x b | ។

កំណត់ពេលនៃកម្លាំងអំពីចំណុចមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យកម្លាំងត្រូវបានអនុវត្តនៅចំណុច A F = ABតោះ​ទៅ អូ- ចំណុចមួយចំនួននៅក្នុងលំហ (សូមមើលរូបទី 20)។

វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីរូបវិទ្យាថា កម្លាំងបង្វិលជុំ ច ទាក់ទងទៅនឹងចំណុច អូហៅថាវ៉ិចទ័រ ម ,ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច អូនិង៖

1) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច O, A, B;

2) លេខស្មើនឹងផលិតផលនៃកម្លាំងនិងស្មា

3) បង្កើតជាបីខាងស្តាំជាមួយវ៉ិចទ័រ OA និង A B ។

ដូច្នេះ M \u003d OA x F ។

ស្វែងរកល្បឿនលីនេអ៊ែរនៃការបង្វិល

ល្បឿន vចំណុច M នៃតួរឹងបង្វិលក្នុងល្បឿនមុំ វជុំវិញអ័ក្សថេរត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តអយល័រ v \u003d w x r ដែល r \u003d OM ដែល O ជាចំណុចថេរខ្លះនៃអ័ក្ស (សូមមើលរូបភាពទី 21) ។

និយមន័យ។ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a (មេគុណ) ដោយវ៉ិចទ័រ (មេគុណ) ដែលមិនជាប់គ្នាជាមួយវាគឺជាវ៉ិចទ័រ c (ផលិតផល) ទីបីដែលត្រូវបានសាងសង់ដូចខាងក្រោមៈ

1) ម៉ូឌុលរបស់វាមានលេខស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមក្នុងរូបភព។ 155) បង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ ពោលគឺវាស្មើនឹងទិសដៅកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានរៀបរាប់។

3) ក្នុងករណីនេះទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ c ត្រូវបានជ្រើសរើស (ក្នុងចំណោមពីរដែលអាចធ្វើបាន) ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ c បង្កើតជាប្រព័ន្ធខាងស្តាំ (§ 110) ។

ការកំណត់៖ ឬ

បន្ថែមលើនិយមន័យ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះការពិចារណាលើតួលេខជាប៉ារ៉ាឡែល (តាមលក្ខខណ្ឌ) វាជាធម្មជាតិក្នុងការកំណត់តំបន់សូន្យ។ ដូច្នេះផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ collinear ត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹងវ៉ិចទ័រទទេ។

ដោយសារវ៉ិចទ័រទទេអាចត្រូវបានកំណត់ទិសដៅណាមួយ អនុសញ្ញានេះមិនផ្ទុយនឹងធាតុទី 2 និងទី 3 នៃនិយមន័យទេ។

ចំណាំ 1. នៅក្នុងពាក្យ "ផលិតផលវ៉ិចទ័រ" ពាក្យដំបូងបង្ហាញថាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពគឺជាវ៉ិចទ័រ (ផ្ទុយទៅនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាន; cf. § 104 ចំណាំ 1) ។

ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលវ៉ិចទ័រសំខាន់នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេត្រឹមត្រូវ (រូបភាព 156) ។

1. ដោយសារប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រសំខាន់គឺស្មើនឹងឯកតាមាត្រដ្ឋាន ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម (ការេ) គឺស្មើនឹងលេខមួយ។ ដូច្នេះ ម៉ូឌុលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងមួយ។

2. ដោយសារកាត់កែងទៅនឹងប្លង់គឺជាអ័ក្ស ផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលចង់បានគឺជាវ៉ិចទ័រ collinear ទៅវ៉ិចទ័រ k; ហើយចាប់តាំងពីពួកវាទាំងពីរមានម៉ូឌុល 1 ផលិតផលឆ្លងកាត់ដែលត្រូវការគឺ k ឬ -k ។

3. ក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រដែលអាចមានទាំងពីរនេះ ទីមួយត្រូវតែជ្រើសរើស ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រ k បង្កើតជាប្រព័ន្ធខាងស្តាំ (ហើយវ៉ិចទ័របង្កើតបានជាខាងឆ្វេង)។

ឧទាហរណ៍ 2. ស្វែងរកផលិតផលឆ្លងកាត់

ការសម្រេចចិត្ត។ ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 យើងសន្និដ្ឋានថាវ៉ិចទ័រគឺ k ឬ -k ។ ប៉ុន្តែឥឡូវនេះយើងត្រូវជ្រើសរើស -k ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័របង្កើតជាប្រព័ន្ធខាងស្តាំ (ហើយវ៉ិចទ័របង្កើតនៅខាងឆ្វេង) ។ ដូច្នេះ

ឧទាហរណ៍ទី 3 វ៉ិចទ័រមានប្រវែង 80 និង 50 សង់ទីម៉ែត្ររៀងគ្នា ហើយបង្កើតជាមុំ 30 °។ យកម៉ែត្រជាឯកតានៃប្រវែង រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ a

ការសម្រេចចិត្ត។ ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលចង់បានគឺស្មើនឹង

ឧទាហរណ៍ 4. រកប្រវែងនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រដូចគ្នា ដោយយកសង់ទីម៉ែត្រជាឯកតានៃប្រវែង។

ការសម្រេចចិត្ត។ ចាប់តាំងពីតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមដែលបានសាងសង់នៅលើវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺ 2000 សង់ទីម៉ែត្រ, i.e.

ការប្រៀបធៀបឧទាហរណ៍ទី 3 និងទី 4 បង្ហាញថាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រអាស្រ័យមិនត្រឹមតែលើប្រវែងនៃកត្តាប៉ុណ្ណោះទេថែមទាំងលើជម្រើសនៃឯកតាប្រវែងផងដែរ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ក្នុងចំណោមបរិមាណរូបវន្តជាច្រើនដែលតំណាងដោយផលិតផលវ៉ិចទ័រ យើងនឹងពិចារណាតែពេលនៃកម្លាំងប៉ុណ្ណោះ។

អនុញ្ញាតឱ្យ A ជាចំណុចនៃការអនុវត្តនៃកម្លាំង។ គ្រានៃកម្លាំងដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុច O ត្រូវបានគេហៅថាផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ដោយសារម៉ូឌុលនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនេះគឺមានលេខស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាម (រូបភាព 157) ។ ម៉ូឌុលនៃពេលនេះគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃមូលដ្ឋានដោយកម្ពស់ពោលគឺកម្លាំងគុណនឹងចម្ងាយពីចំណុច O ទៅបន្ទាត់ត្រង់តាមបណ្តោយដែលកម្លាំងធ្វើសកម្មភាព។

នៅក្នុងមេកានិចវាត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់លំនឹងនៃរាងកាយរឹងវាចាំបាច់ដែលមិនត្រឹមតែផលបូកនៃវ៉ិចទ័រតំណាងឱ្យកងកម្លាំងដែលបានអនុវត្តលើរាងកាយប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងផលបូកនៃគ្រានៃកម្លាំងគួរតែស្មើនឹងសូន្យ។ ក្នុងករណីនៅពេលដែលកម្លាំងទាំងអស់ស្របគ្នានឹងប្លង់តែមួយ ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រដែលតំណាងឱ្យគ្រាអាចត្រូវបានជំនួសដោយការបូកនិងដកនៃម៉ូឌុលរបស់វា។ ប៉ុន្តែ​សម្រាប់​ការ​ដឹកនាំ​ដោយ​បំពាន ការ​ជំនួស​បែប​នេះ​គឺ​មិន​អាច​ទៅ​រួច​ទេ។ អនុលោមតាមនេះ ផលិតផលឈើឆ្កាងត្រូវបានកំណត់យ៉ាងជាក់លាក់ថាជាវ៉ិចទ័រ ហើយមិនមែនជាលេខទេ។