Lição 1

Sujeito: 11º ano (preparação para o exame)

Simplificação expressões trigonométricas.

Solução das equações trigonométricas mais simples. (2 horas)

Metas:

• Sistematizar, generalizar, ampliar os conhecimentos e habilidades dos alunos relacionados ao uso de fórmulas trigonométricas e à solução das equações trigonométricas mais simples.

Equipamento para a aula:

Estrutura da lição:

1. Orgmoment
2. Testes em laptops. A discussão dos resultados.
3. Simplificando expressões trigonométricas
4. Solução das equações trigonométricas mais simples
5. Trabalho independente.
6. Resumo da lição. Explicação do dever de casa.

1. Momento organizacional. (2 minutos.)

O professor dá as boas-vindas ao público, anuncia o tema da aula, lembra que antes era dada a tarefa de repetir as fórmulas de trigonometria e prepara os alunos para a prova.

2. Teste. (15min + 3min de discussão)

O objetivo é testar o conhecimento de fórmulas trigonométricas e a capacidade de aplicá-las. Cada aluno tem um laptop em sua mesa no qual há uma opção de teste.

Pode haver qualquer número de opções, vou dar um exemplo de uma delas:

eu opção.

Simplifique as expressões:

a) identidades trigonométricas básicas

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) fórmulas de adição

3. sen5x - sen3x;

c) converter um produto em uma soma

6. 2sin8y cos3y;

d) fórmulas de ângulo duplo

7,2sin5x cos5x;

e) fórmulas de meio ângulo

f) fórmulas de ângulo triplo

g) substituição universal

h) abaixando o grau

16. cos 2 (3x/7);

Os alunos em um laptop na frente de cada fórmula veem suas respostas.

O trabalho é instantaneamente verificado pelo computador. Os resultados são exibidos em tela grande aos olhos do público.

Além disso, após o término do trabalho, as respostas corretas são mostradas nos laptops dos alunos. Cada aluno vê onde o erro foi cometido e quais fórmulas ele precisa repetir.

3. Simplificação de expressões trigonométricas. (25 minutos)

O objetivo é repetir, praticar e reforçar a aplicação fórmulas básicas trigonometria. Resolvendo problemas B7 do exame.

No este estágioé aconselhável dividir a turma em grupos de alunos fortes (trabalhar de forma independente com verificação posterior) e alunos fracos que trabalham com o professor.

Tarefa para alunos fortes (preparada com antecedência para base impressa). A ênfase principal está nas fórmulas de redução e ângulo duplo, de acordo com o USE 2011.

Simplifique expressões (para aprendizes fortes):

Em paralelo, o professor trabalha com alunos fracos, discutindo e resolvendo tarefas na tela sob o ditado dos alunos.

Calcular:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Simplificar:

Foi a vez de discutir os resultados do trabalho do grupo forte.

As respostas aparecem na tela e também, com a ajuda de uma câmera de vídeo, são exibidos os trabalhos de 5 alunos diferentes (uma tarefa para cada).

O grupo fraco vê a condição e o método de solução. Há discussão e análise. Usando meios técnicos isso acontece rapidamente.

4. Solução das equações trigonométricas mais simples. (30 minutos.)

O objetivo é repetir, sistematizar e generalizar a solução das equações trigonométricas mais simples, registrando suas raízes. Solução do problema B3.

Qualquer equação trigonométrica, não importa como a resolvamos, leva à mais simples.

Ao completar a tarefa, os alunos devem prestar atenção em escrever as raízes das equações de casos especiais e visão geral e na seleção de raízes na última equação.

Resolva as equações:

Escreva a menor raiz positiva da resposta.

5. Trabalho independente (10 min.)

O objetivo é testar as habilidades adquiridas, identificar problemas, erros e formas de eliminá-los.

Uma variedade de trabalhos é oferecida à escolha do aluno.

Opção para "3"

1) Encontre o valor da expressão

2) Simplifique a expressão 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Resolva a equação

Opção para "4"

1) Encontre o valor da expressão

2) Resolva a equação Escreva a menor raiz positiva de sua resposta.

Opção para "5"

1) Encontre tgα se

2) Encontre a raiz da equação Escreva a menor raiz positiva de sua resposta.

6. Resumo da lição (5 min.)

O professor resume o que foi repetido e consolidado na aula fórmulas trigonométricas, solução das equações trigonométricas mais simples.

A lição de casa é atribuída (preparada em uma base impressa com antecedência) com uma verificação pontual na próxima lição.

Resolva as equações:

9)

10) Dê sua resposta como a menor raiz positiva.

Lição 2

Sujeito: 11º ano (preparação para o exame)

Métodos de resolução de equações trigonométricas. Seleção de raiz. (2 horas)

Metas:

• Generalizar e sistematizar conhecimentos sobre a resolução de equações trigonométricas de vários tipos.
• Promover o desenvolvimento pensamento matemático alunos, a capacidade de observar, comparar, generalizar, classificar.
• Incentive os alunos a superar as dificuldades no processo atividade mental ao autocontrole, à autoanálise de suas atividades.

Equipamento para a aula: KRMu, laptops para cada aluno.

Estrutura da lição:

1. Orgmoment
2. Discussão d / se samot. o trabalho da última aula
3. Repetição de métodos de resolução de equações trigonométricas.
4. Resolvendo equações trigonométricas
5. Seleção de raízes em equações trigonométricas.
6. Trabalho independente.
7. Resumo da lição. Trabalho de casa.

1. Momento de organização (2 min.)

O professor cumprimenta o público, anuncia o tema da aula e o plano de trabalho.

2. a) Análise trabalho de casa(5 minutos.)

O objetivo é verificar o desempenho. Um trabalho com a ajuda de uma câmera de vídeo é exibido na tela, o restante é coletado seletivamente para o professor conferir.

b) Análise trabalho independente(3 min.)

O objetivo é resolver os erros, indicar formas de superá-los.

Na tela estão as respostas e soluções, os alunos já emitiram seus trabalhos. A análise está indo rápido.

3. Repetição de métodos para resolver equações trigonométricas (5 min.)

O objetivo é relembrar métodos para resolver equações trigonométricas.

Pergunte aos alunos quais métodos de resolução de equações trigonométricas eles conhecem. Enfatize que existem os chamados métodos básicos (frequentemente usados):

• substituição de variável,
• fatoração,
• equações homogêneas,

e comer métodos aplicados:

• de acordo com as fórmulas para converter uma soma em um produto e um produto em uma soma,
• fórmulas rebaixamento,
• substituição trigonométrica universal
• introdução canto auxiliar,
• multiplicação por alguns função trigonométrica.

Também deve ser lembrado que uma equação pode ser resolvida de maneiras diferentes.

4. Resolvendo equações trigonométricas (30 min.)

O objetivo é generalizar e consolidar conhecimentos e habilidades sobre este tema, para preparar para a resolução de C1 a partir do USE.

Considero conveniente resolver equações para cada método em conjunto com os alunos.

O aluno dita a solução, o professor anota no tablet, todo o processo é exibido na tela. Isso permitirá que você restaure de forma rápida e eficiente o material anteriormente coberto em sua memória.

Resolva as equações:

1) mudança de variável 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) fatoração 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) equações homogêneas sen2x + 3cos2x - 2sen2x = 0

4) convertendo a soma no produto cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertendo o produto na soma 2sinx sen2x + cos3x = 0

6) diminuindo o grau de sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) substituição trigonométrica universal senx + 5cosx + 5 = 0.

Ao resolver esta equação, deve-se notar que o uso este método leva a um estreitamento do domínio de definição, uma vez que o seno e o cosseno são substituídos por tg(x/2). Portanto, antes de escrever a resposta, é necessário verificar se os números do conjunto π + 2πn, n Z são cavalos desta equação.

8) introdução de um ângulo auxiliar √3sinx + cosx - √2 = 0

9) multiplicação por algum trigonométrico função cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Seleção de raízes de equações trigonométricas (20 min.)

Como nas condições de acirrada competição ao ingressar nas universidades, a solução de uma primeira parte do exame não é suficiente, a maioria dos alunos deve prestar atenção às tarefas da segunda parte (C1, C2, C3).

Portanto, o objetivo desta etapa da aula é relembrar o material estudado anteriormente, para se preparar para a resolução do problema C1 do USE em 2011.

Existir equações trigonométricas, em que é necessário selecionar as raízes ao extrair a resposta. Isso se deve a algumas restrições, por exemplo: o denominador de uma fração não é zero, expressão sob a raiz grau paré não negativo, a expressão sob o logaritmo é positiva, etc.

Tais equações são consideradas equações maior complexidade e em versão do exame estão na segunda parte, ou seja, C1.

Resolva a equação:

A fração é zero se então através da círculo unitário vamos selecionar as raízes (veja a Figura 1)

Imagem 1.

obtemos x = π + 2πn, n Z

Resposta: π + 2πn, n Z

Na tela, a seleção de raízes é mostrada em um círculo em uma imagem colorida.

O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero, e o arco, ao mesmo tempo, não perde seu significado. Então

Usando o círculo unitário, selecione as raízes (veja a Figura 2)

A videoaula "Simplificando expressões trigonométricas" foi projetada para formar as habilidades dos alunos na resolução de problemas trigonométricos usando identidades trigonométricas básicas. Durante a videoaula, são considerados tipos de identidades trigonométricas, exemplos de resolução de problemas usando-as. Aplicando material visual torna mais fácil para o professor atingir os objetivos da aula. Uma apresentação vívida do material contribui para a memorização pontos importantes. O uso de efeitos de animação e dublagem permitem substituir completamente o professor na fase de explicação do material. Assim, usando esse auxílio visual nas aulas de matemática, o professor pode aumentar a eficácia do ensino.

No início da videoaula, seu tema é anunciado. Em seguida, as identidades trigonométricas estudadas anteriormente são lembradas. A tela exibe as igualdades sen 2 t+cos 2 t=1, tg t=sen t/cos t, onde t≠π/2+πk para kϵZ, ctg t=cos t/sen t, verdadeiro para t≠πk, onde kϵZ, tan t · ctg t=1, em t≠πk/2, onde kϵZ, chamadas identidades trigonométricas básicas. Note-se que estas identidades são frequentemente utilizadas na resolução de problemas onde é necessário provar a igualdade ou simplificar a expressão.

Além disso, são considerados exemplos da aplicação dessas identidades na resolução de problemas. Em primeiro lugar, propõe-se considerar a resolução de problemas de simplificação de expressões. No exemplo 1, é necessário simplificar a expressão cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Para resolver um exemplo, primeiro entre parênteses fator comum custo 2t. Como resultado de tal transformação entre parênteses, é obtida a expressão 1-cos 2 t, cujo valor da identidade básica da trigonometria é igual a sen 2 t. Após a transformação da expressão, é óbvio que mais um fator comum sen 2 t pode ser retirado dos colchetes, após o que a expressão assume a forma sen 2 t (sen 2 t + cos 2 t). Da mesma identidade básica, deduzimos o valor da expressão entre parênteses igual a 1. Como resultado da simplificação, obtemos cos 2 t- cos 4 t+ sen 4 t= sen 2 t.

No exemplo 2, a expressão custo/(1- sint)+ custo/(1+ sint) também precisa ser simplificada. Como a expressão custo está nos numeradores de ambas as frações, pode ser destacada como um fator comum. As frações entre parênteses são então reduzidas a denominador comum multiplicação (1- sint)(1+ sint). Depois do elenco termos semelhantes 2 permanece no numerador e 1 - sen 2 t no denominador. No lado direito da tela, as informações trigonométricas básicas pecado de identidade 2t+cos2t=1. Usando-o, encontramos o denominador da fração cos 2 t. Depois de reduzir a fração, obtemos uma forma simplificada da expressão custo / (1- sint) + custo / (1 + sint) \u003d 2 / custo.

Em seguida, consideramos exemplos de prova de identidades em que o conhecimento adquirido sobre as identidades básicas da trigonometria é aplicado. No Exemplo 3, é necessário provar a identidade (tg 2 t-sen 2 t)·ctg 2 t=sen 2 t. O lado direito da tela exibe três identidades que serão necessárias para a prova - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin te tg t=sin t/cos t com restrições. Para provar a identidade, os colchetes são abertos primeiro, após o que é formado um produto que reflete a expressão da identidade trigonométrica principal tg t·ctg t=1. Então, de acordo com a identidade da definição de cotangente, ctg 2 t é transformado. Como resultado das transformações, obtém-se a expressão 1-cos 2 t. Usando a identidade básica, encontramos o valor da expressão. Assim, prova-se que (tg 2 t-sen 2 t)·ctg 2 t=sen 2 t.

No exemplo 4, você precisa encontrar o valor da expressão tg 2 t+ctg 2 t se tg t+ctg t=6. Para avaliar a expressão, os lados direito e esquerdo da equação (tg t+ctg t) 2 =6 2 são primeiro ao quadrado. A fórmula de multiplicação abreviada é exibida no lado direito da tela. Após abrir os colchetes do lado esquerdo da expressão, forma-se a soma tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, para cuja transformação se pode aplicar uma das identidades trigonométricas tg t ctg t=1, cuja forma é recuperada no lado direito da tela. Após a transformação, obtém-se a igualdade tg 2 t+ctg 2 t=34. O lado esquerdo da igualdade coincide com a condição do problema, então a resposta é 34. O problema está resolvido.

O tutorial em vídeo "Simplificando expressões trigonométricas" é recomendado para ser usado em um lição de escola matemática. Além disso, o material será útil ao professor, realizando ensino à distância. A fim de formar uma habilidade na resolução de problemas trigonométricos.

INTERPRETAÇÃO DO TEXTO:

"Simplificação de expressões trigonométricas".

Igualdade

1) sen 2 t + cos 2 t = 1 (seno ao quadrado te mais cosseno ao quadrado te é igual a um)

2) tgt =, em t ≠ + πk, kϵZ (a tangente de te é igual à razão entre o seno de te e o cosseno de te quando te não é igual a pi por dois mais pi ka, ka pertence a zet)

3) ctgt = , em t ≠ πk, kϵZ (a cotangente de te é igual à razão entre o cosseno de te e o seno de te quando te não é igual ao pico de ka, que pertence a z).

4) tgt ∙ ctgt = 1 para t ≠ , kϵZ

são chamadas de identidades trigonométricas básicas.

Muitas vezes eles são usados ​​para simplificar e provar expressões trigonométricas.

Considere exemplos de uso dessas fórmulas ao simplificar expressões trigonométricas.

EXEMPLO 1. Simplifique a expressão: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (expressão um cosseno ao quadrado te menos cosseno do quarto grau de te mais seno do quarto grau de te).

Decisão. cos 2 t - cos 4 t + sen 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sen 4 t = cos 2 t ∙ sen 2 t + sen 4 t = sen 2 t (cos 2 t + sen 2 t) = sen 2 t 1 = sen 2 t

(tiramos o fator comum cosseno quadrado te, entre parênteses obtemos a diferença entre a unidade e o quadrado do cosseno te, que é igual ao quadrado do seno te pela primeira identidade. Obtemos a soma do seno da quarta grau te do produto cosseno quadrado te e seno quadrado te. O fator comum seno quadrado te será retirado fora dos colchetes, entre parênteses obtemos a soma dos quadrados do cosseno e seno, que, de acordo com o principal identidade trigonométrica igual a um. Como resultado, obtemos o quadrado do seno de te).

EXEMPLO 2. Simplifique a expressão: + .

(a expressão é a soma de duas frações no numerador do primeiro cosseno te no denominador um menos seno te, no numerador do segundo cosseno te no denominador do segundo mais seno te).

(Vamos tirar o fator comum cosseno te dos colchetes, e entre colchetes trazê-lo para um denominador comum, que é o produto de um menos seno te por um mais seno te.

No numerador obtemos: um mais seno te mais um menos seno te, damos os semelhantes, o numerador é igual a dois depois de trazer os semelhantes.

No denominador, você pode aplicar a fórmula de multiplicação abreviada (diferença de quadrados) e obter a diferença entre a unidade e o quadrado do seno te, que, de acordo com a identidade trigonométrica básica

é igual ao quadrado do cosseno te. Após reduzir pelo cosseno te, obtemos a resposta final: dois dividido pelo cosseno te).

Considere exemplos do uso dessas fórmulas na demonstração de expressões trigonométricas.

EXEMPLO 3. Prove a identidade (tg 2 t - sen 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sen 2 t (o produto da diferença entre os quadrados da tangente de te e o seno de te e o quadrado da cotangente de te é igual ao quadrado do seno de te).

Prova.

Vamos transformar o lado esquerdo da igualdade:

(tg 2 t - sen 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sen 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sen 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sen 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sen 2 t

(Vamos abrir os colchetes, da relação obtida anteriormente sabe-se que o produto dos quadrados da tangente de te pela cotangente de te é igual a um. Lembre-se que a cotangente de te é igual à razão cosseno te para seno te, então o quadrado da cotangente é a razão do quadrado do cosseno te para o quadrado do seno te.

Após a redução pelo seno quadrado de te, obtemos a diferença entre a unidade e o cosseno do quadrado de te, que é igual ao seno do quadrado de te). Q.E.D.

EXEMPLO 4. Encontre o valor da expressão tg 2 t + ctg 2 t se tgt + ctgt = 6.

(a soma dos quadrados da tangente de te e da cotangente de te, se a soma da tangente e cotangente for seis).

Decisão. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Vamos elevar ao quadrado ambas as partes da igualdade original:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (o quadrado da soma da tangente de te e a cotangente de te é seis ao quadrado). Lembre-se da fórmula de multiplicação abreviada: O quadrado da soma de duas quantidades é igual ao quadrado o primeiro mais o dobro do produto do primeiro e o segundo mais o quadrado do segundo. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Obtemos tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Como o produto da tangente de te e a cotangente de te é igual a um, então tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (a soma dos quadrados da tangente de te e a cotangente de te e dois é trinta e seis),

A seu pedido.

6. Simplifique a expressão:

Como cofunções de ângulos que se complementam até 90° são iguais a, então substituímos sen50° no numerador da fração por cos40° e aplicamos a fórmula do seno ao numerador argumento duplo. Obtemos 5sen80° no numerador. Vamos substituir sin80° por cos10°, o que nos permitirá reduzir a fração.

Fórmulas aplicadas: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. NO progressão aritmética, cuja diferença é 12, e o oitavo termo é 54, encontre o número de termos negativos.

Plano de solução. Vamos fazer uma fórmula membro comum dada progressão e descubra para quais valores de n os termos negativos serão obtidos. Para fazer isso, precisaremos encontrar o primeiro termo da progressão.

Temos d = 12, a 8 = 54. De acordo com a fórmula a n \u003d a 1 + (n-1) ∙ d escrevemos:

a 8 = a 1 +7d. Substitua os dados disponíveis. 54=a 1 +7∙12;

a 1 \u003d -30. Substitua este valor na fórmula a n =a 1 +(n-1)∙d

a n =-30+(n-1)∙12 ou a n =-30+12n-12. Simplifique: a n \u003d 12n-42.

Estamos procurando o número de termos negativos, então precisamos resolver a desigualdade:

a<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Encontre os intervalos da seguinte função: y=x-|x|.

Vamos expandir os suportes modulares. Se x≥0, então y=x-x ⇒ y=0. O gráfico servirá como o eixo x à direita da origem. Se x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Encontre a área da superfície lateral de um cone circular reto se sua geratriz for 18 cm e a área da base for 36 cm 2.

Um cone com uma seção axial MAB é dado. Gerando BM=18, S principal. =36π. A área da superfície lateral do cone é calculada pela fórmula: lado S. \u003d πRl, onde l é a geratriz e é igual a 18 cm por condição, R é o raio da base, encontramos pela fórmula: S cr. = πR2. Temos S cr. = S principal. = 36π. Portanto, πR 2 =36π ⇒ R=6.

Então lado S. =π∙6∙18 ⇒ lado S. \u003d 108π cm 2.

12. Resolvemos a equação logarítmica. Uma fração é igual a 1 se seu numerador for igual ao denominador, ou seja,

lg(x 2 +5x+4)=2lgx em lgx≠0. Aplicamos a propriedade do grau do número sob o sinal do logaritmo ao lado direito da igualdade: lg (x 2 +5x+4) \u003d lgx 2, Esses logaritmos decimais são iguais, portanto, os números sob os sinais dos logaritmos também são iguais, portanto:

x2 +5x+4=x2, portanto 5x=-4; obtemos x=-0,8. No entanto, esse valor não pode ser tomado, pois apenas números positivos podem estar sob o sinal do logaritmo, portanto, essa equação não tem soluções. Observação. Não é necessário encontrar o ODZ no início da solução (não se apresse!), é melhor fazer uma verificação (como estamos agora) no final.

13. Encontre o valor da expressão (x o - y o), onde (x o; y o) é a solução do sistema de equações:

14. Resolva a equação:

Se você dividir por 2 e o numerador e denominador de uma fração, você descobrirá a fórmula da tangente de um ângulo duplo. Você obtém uma equação simples: tg4x=1.

15. Encontre a derivada da função: f(x)=(6x 2 -4x) 5 .

Nos é dada uma função complexa. Nós o definimos em uma palavra - é um grau. Portanto, de acordo com a regra de diferenciação de uma função complexa, encontramos a derivada do grau e a multiplicamos pela derivada da base desse grau de acordo com a fórmula:

(u n)' = n ∙ você n-1 ∙ você'.

f '(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)=5(6x2-4x)4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. É necessário encontrar f '(1) se a função

17. Em um triângulo equilátero, a soma de todas as bissetrizes é 33√3 cm. Encontre a área do triângulo.

A bissetriz de um triângulo equilátero é a mediana e a altura. Assim, o comprimento da altura BD deste triângulo é

Vamos encontrar o lado AB do retângulo Δ ABD. Como sen60° = BD : AB, então AB = BD : sin60°.

18. O círculo está inscrito em um triângulo equilátero cuja altura é 12 cm. Encontre a área do círculo.

O círculo (O; OD) está inscrito no equilátero Δ ABC. A altura BD também é uma bissetriz e uma mediana, e o centro do círculo, o ponto O, está em BD.

O - o ponto de intersecção das alturas, bissetrizes e medianas divide a mediana BD na proporção de 2:1, contando a partir do topo. Portanto, OD=(1/3)BD=12:3=4. Raio do círculo R=OD=4 cm. Área do círculo S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. As arestas laterais de uma pirâmide quadrangular regular têm 9 cm e o lado da base é 8 cm. Encontre a altura da pirâmide.

A base de uma pirâmide quadrangular regular é o quadrado ABCD, a base da altura MO é o centro do quadrado.

20. Simplificar:

No numerador, o quadrado da diferença é reduzido.

Fatoramos o denominador usando o método de agrupamento por soma.

21. Calcular:

Para poder extrair a raiz quadrada aritmética, a expressão da raiz deve ser um quadrado completo. Representamos a expressão sob o sinal da raiz como o quadrado da diferença de duas expressões de acordo com a fórmula:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 , assumindo que a 2 +b 2 =10.

22. Resolva a desigualdade:

Representamos o lado esquerdo da desigualdade como um produto. A soma dos senos de dois ângulos é igual a duas vezes o produto do seno da meia soma desses ângulos e o cosseno da meia diferença desses ângulos:

Nós temos:

Vamos resolver essa desigualdade graficamente. Selecionamos os pontos do gráfico y=custo que estão acima da linha reta e determinamos as abcissas desses pontos (mostradas pelo sombreamento).

23. Encontre todas as primitivas para a função: h(x)=cos 2 x.

Transformamos essa função diminuindo seu grau usando a fórmula:

1+cos2α=2cos2α. Obtemos uma função:

24. Encontrar coordenadas vetoriais

25. Insira sinais aritméticos em vez de asteriscos para que a igualdade correta seja obtida: (3 * 3) * (4 * 4) \u003d 31 - 6.

Argumentamos: o número 25 deve ser obtido (31 - 6 \u003d 25). Como obter esse número de dois "triplos" e dois "quatros" usando sinais de ação?

Claro que é: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 \u003d 9 + 16 \u003d 25. Resposta E).