Sujeito:"Métodos de solução equações trigonométricas».

Lições objetivas:

educacional:

Formar competências para distinguir tipos de equações trigonométricas;

Aprofundar a compreensão dos métodos de resolução de equações trigonométricas;

educacional:

Educação interesse cognitivo ao processo educativo;

Formação da capacidade de análise da tarefa;

em desenvolvimento:

Formar a habilidade de analisar a situação com a posterior escolha da saída mais racional.

Equipamento: cartaz com fórmulas trigonométricas básicas, computador, projetor, tela.

Vamos começar a lição repetindo a técnica básica para resolver qualquer equação: reduzi-la a modo de exibição padrão. Através da transformação equações lineares reduza para a forma ax \u003d in, square - para a forma ax2+bx +c=0. No caso de equações trigonométricas, é necessário reduzi-las ao mais simples, da forma: sinx \u003d a, cosx \u003d a, tgx \u003d a, que pode ser facilmente resolvido.

Em primeiro lugar, é claro, para isso é necessário usar o básico fórmulas trigonométricas apresentados no pôster: fórmulas de adição, fórmulas ângulo duplo, diminuindo a multiplicidade da equação. Já sabemos como resolver essas equações. Vamos repetir alguns deles:

Ao mesmo tempo, existem equações, cuja solução requer o conhecimento de algumas técnicas especiais.

O tópico de nossa lição é a consideração dessas técnicas e a sistematização de métodos para resolver equações trigonométricas.

Métodos de resolução de equações trigonométricas.

1. Converter para Equação quadrática em relação a alguma função trigonométrica, seguido por uma mudança de variável.

Vamos considerar cada um métodos listados nos exemplos, mas vamos nos deter nos dois últimos com mais detalhes, pois já usamos os dois primeiros ao resolver equações.

1. Transformação para uma equação quadrática em relação a qualquer função trigonométrica.

2. Solução de equações pelo método da fatoração.

3. Solução de equações homogéneas.

Equações homogêneas de primeiro e segundo grau são chamadas de equações da forma:

respectivamente (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).

Ao resolver equações homogêneas, ambas as partes da equação são divididas termo a termo por cosx para (1) da equação e por cos 2 x para (2). Essa divisão é possível, pois sinx e cosx não são iguais a zero ao mesmo tempo - eles se tornam zero em pontos diferentes. Considere exemplos de resolução de equações homogêneas de primeiro e segundo grau.

Lembre-se desta equação: ao considerar o próximo método - a introdução de um argumento auxiliar, vamos resolvê-lo de uma maneira diferente.

4. Introdução de um argumento auxiliar.

Considere a equação já resolvida pelo método anterior:

Como você pode ver, o mesmo resultado é obtido.

Vejamos outro exemplo:

Nos exemplos considerados, ficou geralmente claro em que a equação original precisa ser dividida para introduzir um argumento auxiliar. Mas pode acontecer que não seja óbvio qual divisor escolher. Existe uma técnica especial para isso, que consideraremos agora em visão geral. Seja a equação dada:

Divida a equação por Raiz quadrada da expressão (3), obtemos:

asinx + bcosx = c ,

então a 2 + b 2 = 1 e portanto a = sinx e b = cosx . Usando a fórmula da diferença cosseno, obtemos a equação trigonométrica mais simples:

que é facilmente resolvido.

Vamos resolver outra equação:

Reduzimos a equação a um argumento - 2 x usando as fórmulas de ângulo duplo e diminuindo o grau:

Da mesma forma que nas equações anteriores, usando a fórmula do seno da soma, obtemos:

que também é fácil de resolver.

Decida por si mesmo pré-definindo o método de solução:

O resultado da aula é verificar a solução e avaliar os alunos.

Lição de casa: página 11, resumo, nº 164 (b, d), 167 (b, d), 169 (a, b), 174 (a, c).

Equações trigonométricas elementares são equações da forma, onde é uma das funções trigonométricas: , .

Equações trigonométricas elementares têm infinitas raízes. Por exemplo, a equação é satisfeita os seguintes valores: , etc Fórmula geral pelo qual todas as raízes da equação são encontradas, onde, é:

Aqui pode tomar quaisquer valores inteiros, cada um deles corresponde a uma certa raiz da equação; nesta fórmula (assim como em outras fórmulas pelas quais as equações trigonométricas elementares são resolvidas) é chamado parâmetro. Eles costumam anotá-lo, enfatizando assim que o parâmetro pode assumir qualquer valor inteiro.

As soluções da equação, onde, são encontradas pela fórmula

A equação é resolvida aplicando a fórmula

e a equação --- de acordo com a fórmula

Observemos especialmente alguns casos especiais de equações trigonométricas elementares, quando a solução pode ser escrita sem o uso de fórmulas gerais:

Ao resolver equações trigonométricas papel importante desempenha o período de funções trigonométricas. Portanto, apresentamos dois teoremas úteis:

Teorema Se um --- básico período da função, então o número é o período principal da função.

Os períodos das funções e são considerados proporcionais se existirem inteiros e o que.

Teorema Se um funções periódicas e, têm comensuráveis ​​e, então eles têm período geral, que é o período das funções, .

O teorema diz qual é o período da função, e não necessariamente o período principal. Por exemplo, o período principal das funções e é --- , e o período principal de seu produto é --- .

Apresentando um argumento auxiliar

A maneira padrão de transformar expressões da forma é o seguinte truque: deixe --- injeção, dado pelas igualdades, . Para qualquer e tal ângulo existe. Por isso. Se, ou, em outros casos.

Esquema para resolver equações trigonométricas

O esquema principal pelo qual seremos guiados ao resolver equações trigonométricas é o seguinte:

decisão dada equação se resume a uma decisão equações elementares. Ferramentas de solução --- transformações, fatorações, mudança de incógnitas. O princípio orientador é não perder raízes. Isso significa que, ao passar para a próxima equação (equações), não temos medo do aparecimento de raízes extras (estranhas), mas apenas cuidamos para que cada a seguinte equação nossa "cadeia" (ou o conjunto de equações no caso de ramificação) era uma consequência da anterior. Um de métodos possíveis seleção de raízes é uma verificação. Observamos imediatamente que, no caso de equações trigonométricas, as dificuldades associadas à seleção de raízes, com verificação, em regra, aumentam acentuadamente em comparação com equações algébricas. Afinal, é preciso verificar a série composta por um número infinito membros.

Menção especial deve ser feita à mudança de incógnitas na resolução de equações trigonométricas. Na maioria dos casos, após a substituição necessária, verifica-se equação algébrica. Além disso, não é incomum para equações que, embora sejam trigonométricas em aparência, na verdade, eles não são, porque já após o primeiro passo --- substituições variáveis ​​--- transformam-se em algébricas, e o retorno à trigonometria ocorre apenas na fase de resolução de equações trigonométricas elementares.

Lembremos mais uma vez: a substituição da incógnita deve ser feita o mais rápido possível, a equação resultante após a substituição deve ser resolvida até o final, incluindo a etapa de seleção das raízes, e só então retornará à incógnita original .

Uma das características das equações trigonométricas é que a resposta em muitos casos pode ser escrita jeitos diferentes. Mesmo para resolver a equação, a resposta pode ser escrita assim:

1) na forma de duas séries: , ;

2) na forma padrão, que é uma união das séries acima: , ;

3) pois, então a resposta pode ser escrita na forma, . (Além disso, a presença de um parâmetro ou no registro de resposta significa automaticamente que este parâmetro assume todos os valores inteiros possíveis. Exceções serão especificadas.)

Obviamente, os três casos listados não esgotam todas as possibilidades de escrever a resposta para a equação em consideração (há uma infinidade deles).

Por exemplo, quando a igualdade é verdadeira. Portanto, nos dois primeiros casos, se, podemos substituir por.

Normalmente, a resposta é escrita com base no parágrafo 2. É útil lembrar a seguinte recomendação: se o trabalho não terminar com a solução da equação, ainda é necessário realizar um estudo, a seleção de raízes, então a forma mais conveniente de registro é indicada no parágrafo 1. (Uma recomendação semelhante deve ser dada para a equação.)

Vamos considerar um exemplo que ilustra o que foi dito.

Exemplo Resolva a equação.

Decisão. O mais óbvio é próximo caminho. Esta equação divide-se em dois: i. Resolvendo cada um deles e combinando as respostas obtidas, encontramos.

Outra maneira. Desde então, substituindo e pelas fórmulas de rebaixamento do grau. Após pequenas transformações, chegamos onde.

À primeira vista, nenhum benefícios especiais a segunda fórmula não tem nenhum em comparação com a primeira. No entanto, se tomarmos, por exemplo, verifica-se que, ou seja, a equação tem uma solução, enquanto o primeiro caminho nos leva à resposta. "Ver" e provar a igualdade não é tão fácil.

Nas aulas de álgebra, os professores dizem que há uma pequena (na verdade, muito grande) classe de equações trigonométricas que não podem ser resolvidas. de maneiras padrão- nem por fatoração, nem por mudança de variável, nem mesmo por termos homogêneos. Neste caso, uma abordagem fundamentalmente diferente entra em jogo - o método canto auxiliar.

O que é esse método e como aplicá-lo? Primeiro, vamos relembrar as fórmulas para o seno da soma/diferença e o cosseno da soma/diferença:

\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(align)\]

Eu acho que essas fórmulas são bem conhecidas por você - as fórmulas são derivadas delas argumento duplo, sem a qual a trigonometria não está em lugar algum. Mas vamos agora considerar uma equação simples:

Divida as duas partes por 5:

Observe que $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, o que significa que com certeza existe um ângulo $\alpha $ para o qual esses números são cosseno e seno, respectivamente. Portanto, nossa equação será reescrita da seguinte forma:

\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]

E isso já é facilmente resolvido, após o que resta apenas descobrir por que é igual ao ângulo$\alfa $. Como descobrir, bem como escolher o número certo para dividir os dois lados da equação (neste exemplo simples dividimos por 5) - sobre isso no tutorial em vídeo de hoje:

Hoje vamos analisar a solução de equações trigonométricas, ou melhor, um e único truque, que é chamado de “método do ângulo auxiliar”. Por que esse método específico? Simplesmente porque nos últimos dois ou três dias, quando eu estava trabalhando com alunos, a quem falei sobre resolver equações trigonométricas, e analisamos, entre outras coisas, o método do ângulo auxiliar, e todos os alunos cometem o mesmo erro. Mas o método é geralmente simples e, além disso, é uma das principais técnicas da trigonometria. Portanto, muitos problemas trigonométricos a não ser pelo método do ângulo auxiliar, eles não são resolvidos.

Portanto, agora, para começar, consideraremos algumas tarefas simples e, em seguida, passaremos para tarefas mais sérias. No entanto, todos eles, de uma forma ou de outra, exigirão que usemos o método do ângulo auxiliar, cuja essência contarei na primeira construção.

Resolvendo problemas trigonométricos simples

Exemplo 1

\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]

Vamos mudar um pouco nossa expressão:

\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \left(-1 \right) \right.\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

Como vamos resolver? Recepção padrãoé expandir $\sin 2x$ e $\cos 2x$ usando as fórmulas de ângulo duplo e, em seguida, reescrever a unidade como $((\sin )^(2))x((\cos )^(2))x $ , obter equação homogênea, traga-o para tangentes e resolva. No entanto, este é um caminho longo e tedioso que requer muitos cálculos.

Eu sugiro que você pense sobre isso. Temos $\sin$ e $\cos$. Lembre-se da fórmula para o cosseno e o seno da soma e da diferença:

\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Vamos voltar ao nosso exemplo. Vamos reduzir tudo ao seno da diferença. Mas primeiro, a equação precisa ser ligeiramente transformada. Vamos encontrar o coeficiente:

$\sqrt(l)$ é o mesmo fator pelo qual ambas as partes da equação devem ser divididas para que os números apareçam na frente do seno e do cosseno, que são senos e cossenos. Vamos dividir:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

Vejamos o que temos à esquerda: existem $\sin $ e $\cos $ tais que $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ e $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Obviamente existe: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Portanto, podemos reescrever nossa expressão da seguinte forma:

\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]

Agora temos a fórmula do seno da diferença. Podemos escrever assim:

\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \right)=\frac(1)(2) \]

Diante de nós está a construção trigonométrica clássica mais simples. Deixe-me lembrá-lo:

Isto é o que escrevemos para nossa expressão específica:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\ ]

\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\texto ( )n \\\end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(align) \right.\]

Nuances da solução

Então, o que você deve fazer se encontrar um exemplo semelhante:

1. Modifique o desenho se necessário.
2. Encontre o fator de correção, tire a raiz dele e divida ambas as partes do exemplo por ele.
3. Observamos quais valores do seno e do cosseno são obtidos a partir de números.
4. Decompomos a equação de acordo com as fórmulas do seno ou cosseno da diferença ou soma.
5. Resolvemos a equação trigonométrica mais simples.

A este respeito, os alunos atentos são susceptíveis de ter duas perguntas.

O que nos impede de escrever $\sin $ e $\cos $ na fase de encontrar o fator de correção? — Somos impedidos pela identidade trigonométrica básica. O fato é que os $\sin $ e $\cos $ resultantes, como qualquer outro com o mesmo argumento, devem somar exatamente “um” ao elevar ao quadrado. No processo de resolução, é preciso ter muito cuidado para não perder o “dois” na frente do “X”.

O método do ângulo auxiliar é uma ferramenta que ajuda a reduzir uma equação "feia" a uma perfeitamente adequada e "bonita".

Exemplo #2

\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]

Vemos que temos $((\sin )^(2))x$, então vamos usar os cálculos de redução. No entanto, antes de usá-los, vamos tirá-los. Para fazer isso, lembre-se de como encontrar o cosseno de um ângulo duplo:

\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]

Se escrevermos $\cos 2x$ na terceira variante, obtemos:

\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]

Vou escrever separadamente:

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]

O mesmo pode ser feito para $((\cos )^(2))x$:

\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]

Precisamos apenas dos primeiros cálculos. Vamos trabalhar na tarefa:

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Agora usamos os cálculos do cosseno da diferença. Mas primeiro, vamos calcular a correção $l$:

Vamos reescrever com este fato em mente:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]

Neste caso, podemos escrever que $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, e $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Vamos reescrever:

\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]

Vamos colocar o "menos" entre colchetes de uma maneira complicada. Para fazer isso, observe o seguinte:

\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\]

\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]

Voltamos à nossa expressão e lembramos que no papel de $\varphi $ temos a expressão $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Por isso, escrevemos:

\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos x\]

\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]

Para resolver um problema semelhante, você precisa se lembrar do seguinte:

\[\cos \alpha =\cos \beta\]

\[\left[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]

Vamos dar uma olhada no nosso exemplo:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(align) \right.\]

Vamos calcular cada uma dessas equações:

E o segundo:

Vamos escrever a resposta final:

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(align) \right.\]

Nuances da solução

De fato, essa expressão é resolvida de muitas maneiras diferentes, no entanto, é o método do ângulo auxiliar que está em este casoótimo. Além disso, usando o exemplo deste design, gostaria de chamar sua atenção para vários truques e fatos mais interessantes:

• Fórmulas de redução de grau. Essas fórmulas não precisam ser memorizadas, mas você precisa saber como derivá-las, sobre o qual falei hoje.
• Solução de equações da forma $\cos \alpha =\cos \beta $.
• Adicionando "zero".

Mas isso não é tudo. Até agora, $\sin$ e $\cos$, que produzimos como um argumento adicional, achávamos que deveriam ser positivos. Portanto, agora vamos resolver problemas mais complexos.

Análise de problemas mais complexos

Exemplo 1

\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]

Vamos transformar o primeiro termo:

\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\left(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]

E agora substituímos tudo isso em nossa construção original:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\operatorname(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]

Vamos apresentar nossa correção:

Nós anotamos:

\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]

$\alpha $ tal que $\sin $ ou $\cos $ seria igual a $\frac(3)(5)$ e $\frac(4)(5)$ em tabela trigonométrica não. Portanto, vamos apenas escrever e reduzir a expressão ao seno da soma:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]

Isso é caso especial, a construção trigonométrica mais simples:

Resta descobrir a que $\varphi $ é igual. É aí que muitos alunos erram. O fato é que dois requisitos são impostos a $\varphi $:

\[\left\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5)) \\\end(align) \right .\]

Vamos desenhar um radar e ver onde esses valores ocorrem:

Voltando à nossa expressão, escrevemos o seguinte:

Mas esta entrada pode ser melhorada um pouco. Porque sabemos o seguinte:

\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]

então no nosso caso podemos escrever assim:

Exemplo #2

Isso exigirá uma compreensão ainda mais profunda dos métodos de solução tarefas padrão sem trigonometria. Mas para resolver este exemplo, também usamos o método do ângulo auxiliar.\[\]

A primeira coisa que chama a atenção é que não há graus mais altos que o primeiro e, portanto, nada pode ser decomposto de acordo com as fórmulas de expansão dos graus. Usa inversas:

Por que eu espalhei $ 5 $. Olhe aqui:

Unidade de acordo com o principal identidade trigonométrica podemos escrever como $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:

O que nos dá tal registro? O fato é que no primeiro colchete há um quadrado exato. Vamos enrolar e obter:

Proponho introduzir uma nova variável:

\[\sin x+\cos x=t\]

Neste caso, obtemos a expressão:

\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]

\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]

No total obtemos:

\[\left[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]

É claro que estudantes experientes dirão agora que tais construções são facilmente resolvidas por redução a uma construção homogênea. No entanto, vamos resolver cada equação usando o método do ângulo auxiliar. Para fazer isso, primeiro calculamos a correção $l$:

\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]

Divida tudo por $\sqrt(2)$:

\[\left[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\) sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2) ) \\\end(align) \right.\]

Vamos reduzir tudo para $\cos$:

\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]

\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ right)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(align) \right.\]

Vejamos cada uma dessas expressões.

A primeira equação não tem raízes, e a irracionalidade no denominador nos ajudará a provar esse fato. Observe o seguinte:

\[\sqrt(2)<1,5\]

\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1,5)=\frac(3)(3)=1\]

No total, provamos claramente que é necessário que $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ seja é igual ao número, que é maior que "um" e, portanto, essa construção não tem raízes.

Vamos tratar do segundo:

Vamos resolver este projeto:

Em princípio, você pode deixar a resposta assim, ou pode pintá-la:

Pontos importantes

Para concluir, gostaria de chamar mais uma vez a atenção para o trabalho com argumentos "feios", ou seja, quando $\sin$ e $\cos$ não são valores de tabela. O problema é que se dissermos que em nossa equação $\frac(3)(5)$ é $\cos $ e $\frac(4)(5)$ é $\sin $, então no final, depois de decidir o projeto, precisamos levar em conta ambos os requisitos. Obtemos um sistema de duas equações. Se não levarmos isso em consideração, obtemos a seguinte situação. Neste caso, obteremos dois pontos e no lugar de $\varphi $ teremos dois números: $\arcsin \frac(4)(5)$ e $-\arcsin \frac(4)(5)$, mas o último de forma alguma satisfeito. O mesmo acontecerá com o ponto $\frac(3)(5)$.

Este problema só ocorre quando nós estamos falando sobre argumentos "feios". quando temos valores da tabela, então não há nada.

Espero que a lição de hoje tenha ajudado você a entender o que é o método do ângulo auxiliar e como aplicá-lo com exemplos. Niveis diferentes dificuldades. Mas esta não é a única lição dedicada a resolver problemas usando o método do ângulo auxiliar. Então fique conosco!

Resumo da lição para as séries 10-11

Tópico 1 : Método de entrada de argumento auxiliar. Derivação de fórmulas.

Metas:

Formação de conhecimento de um novo método de resolução de tarefas em trigonometria, em que a sua aplicação seja possível ou necessária;

Formação de competências para analisar a condição do problema, comparar e encontrar diferenças;

Desenvolvimento do raciocínio, lógica e validade das afirmações, capacidade de tirar conclusões e generalizar;

Desenvolvimento da fala, enriquecimento e complicação vocabulário, dominar as propriedades expressivas da língua pelos alunos;

Formação de atitude em relação ao assunto, entusiasmo pelo conhecimento, criação de condições para uma abordagem criativa não padronizada para dominar o conhecimento.

Conhecimento necessário, habilidades e habilidades:

Ser capaz de derivar fórmulas trigonométricas e usá-las em mais trabalho;

Ser capaz de resolver ou ter uma ideia de como resolver tarefas trigonométricas;

Conhecer fórmulas trigonométricas básicas.

O nível de preparação dos alunos para a percepção consciente:

Equipamento: AWP, apresentação com condições de tarefas, soluções e fórmulas necessárias, cartões com tarefas e respostas.

Estrutura da lição:

1. Definir o objetivo da lição (2

Preparação para o estudo de novo material (12 min).

Conhecimento do novo material (15 min).

Compreensão primária e aplicação do que foi aprendido (10 min).

Definir trabalhos de casa (3 min).

Resumindo a lição (3 min).

Durante as aulas.

1. Definir o objetivo da lição.

Verifique a prontidão dos alunos e equipamentos para a aula. É aconselhável preparar com antecedência trabalho de casa no quadro para discutir a solução. Observe que o objetivo da lição é expandir o conhecimento sobre os métodos para resolver algumas tarefas em trigonometria e tentar dominá-los.

2. Preparação para o estudo de novos materiais.

Discuta a lição de casa: lembre-se das fórmulas trigonométricas básicas, dos valores das funções trigonométricas para os argumentos mais simples. Revise a tarefa de casa.

Fórmulas:

; ;

; ;

Tarefa: Expresse a expressão como um produto.

É provável que os alunos ofereçam próxima solução:

Porque eles conhecem as fórmulas para converter a soma de funções trigonométricas em um produto.

Propomos outra solução para o problema: . Aqui, ao resolver, foi usada a fórmula do cosseno da diferença de dois argumentos, onde é auxiliar. Observe que em cada um desses métodos, outras fórmulas semelhantes podem ser usadas.

3. Conhecimento do novo material.

Surge a pergunta: de onde veio o argumento auxiliar?

Para obter uma resposta, considere decisão comum problema, transformamos a expressão em um produto, onde e são números arbitrários diferentes de zero.

introduzimos um ângulo adicional (argumento auxiliar), onde , , então nossa expressão terá a forma:

Assim, chegamos à fórmula: .

Se o ângulo for inserido de acordo com as fórmulas, a expressão assumirá a forma e obteremos uma forma diferente da fórmula: .

Derivamos fórmulas para o ângulo adicional, que são chamadas de fórmulas do argumento auxiliar:

As fórmulas também podem ter uma forma diferente (é necessário prestar atenção a este Atenção especial e mostre com exemplos).

Observe que nos casos mais simples, o método de introdução de um argumento auxiliar é reduzido à substituição de números; ; ; ; 1; funções trigonométricas cantos correspondentes.

4. Compreensão primária e aplicação do que foi aprendido .

Para consolidar o material, propõe-se considerar mais alguns exemplos de tarefas:

Expresse como produto da expressão:

É aconselhável analisar as tarefas 3 e 4 na aula (a análise das tarefas está presente nos materiais das aulas). As tarefas 1, 2 e 5 podem ser feitas para solução independente(respostas dadas).

Para analisar as características das condições de tarefas típicas nas quais o método de solução considerado pode ser usado, vários métodos podem ser usados. Observe que a tarefa 1. pode ser realizada de várias maneiras e, para concluir as tarefas 2 - 5, é mais conveniente usar o método de introdução de um ângulo auxiliar

No decorrer de uma conversa frontal, deve-se discutir como essas tarefas são semelhantes ao exemplo considerado no início da lição, quais são as diferenças, se o método proposto pode ser aplicado para resolvê-las e por que seu uso é mais conveniente .

Semelhança: em todos os exemplos propostos, é possível aplicar o método de introdução de um argumento auxiliar, e este é um método mais conveniente que leva imediatamente ao resultado.

Diferença: no primeiro exemplo, é possível uma abordagem diferente e, em todos os outros, é possível um método de aplicação de um argumento auxiliar usando não uma, mas várias fórmulas.

Depois de discutir as tarefas, você pode convidar os caras para resolver o resto sozinhos em casa.

5. Declaração de dever de casa.

Em casa, você é convidado a estudar cuidadosamente o resumo da lição e tentar resolver os seguintes exercícios.

Tópico da lição: Um método para introduzir um ângulo auxiliar na resolução de equações trigonométricas.

Realização.

Professora.

Rapazes! Conhecemos vários tipos de equações trigonométricas e aprendemos a resolvê-las. Hoje vamos generalizar o conhecimento de métodos para resolver equações trigonométricas vários tipos. Para isso, peço que trabalhe na classificação das equações que lhe são propostas (veja as equações nº 1-10 no Apêndice - no final do resumo em formato PDF)

Preencha a tabela: indique o tipo de equação, o método para resolvê-la e faça a correspondência dos números das equações com o tipo a que pertencem.

Alunos. Preencha a tabela.

Tipo de equação	Método de solução	Equações
Protozoários	Fórmulas raiz	№1
Reduzível ao quadrado	Método de substituição variável	№2,3
Visão trigonométrica complexa	Simplifique para a forma conhecida usando fórmulas de trigonometria	№4,5
Primeiro grau homogêneo	Divida a equação termo por termo pelo cosseno da variável	№6
Segundo grau homogêneo	Divida a equação termo por termo pelo quadrado do cosseno da variável	№7

Problematização.

Preenchendo a tabela, os alunos se deparam com um problema. Eles não podem determinar o tipo e método de resolver três equações: No. 8,9,10.

Professora. Você conseguiu classificar todas as equações de acordo com a forma e o método de solução?

Resposta dos alunos. Não, três equações não puderam ser colocadas na tabela.

Professora. Por quê?

Resposta dos alunos. Eles não se parecem espécies famosas. O método de solução não é claro.

Definição de metas.

Professora. Como, então, devemos formular o propósito de nossa lição?

Responder alunos. Definir descoberto novo tipo equações e encontrar um método para resolvê-las.

Professora. É possível formular o tópico da lição se não soubermos o tipo de equações descobertas e o método para resolvê-las?

Resposta do aluno. Não, mas podemos fazer isso mais tarde, quando descobrirmos com o que estamos lidando.

Planejamento de atividades.

Professora. Vamos planejar nossas atividades. Normalmente definimos o tipo e depois procuramos um método para resolver equações trigonométricas. Em nossa situação atual, é possível dar um nome específico ao tipo de equações descobertas? E em geral, eles pertencem à mesma espécie?

Resposta dos alunos.É difícil de fazer.

Professora. Então pense, talvez algo os una, ou eles são semelhantes a algum tipo?

Resposta dos alunos. O lado esquerdo dessas equações é igual às homogêneas, mas seu lado direito não é igual a zero. Portanto, dividir pelo cosseno só complicará a solução.

Professora. Talvez comecemos procurando um método de solução e depois determinemos o tipo de equação? Qual das 3 equações você acha que é a mais simples?

Os alunos respondem mas não há consenso. Talvez alguém adivinhe que os coeficientes na equação nº 8 devem ser expressos como o seno e o cosseno do ângulo da mesa. E então a classe determinará a equação que pode ser resolvida primeiro. Se não, o professor sugere considerar equação adicional (ver equação nº 11 no Apêndice - no final do resumo em formato PDF). Nele, os coeficientes são iguais ao seno e cosseno de um ângulo conhecido, e os alunos devem notar isso.

O professor dá a ordem das atividades. ( Ver equações no Apêndice - em formato PDF no final do resumo).

1. Resolva a primeira equação (№11), substituindo os coeficientes pelos valores do seno e cosseno do ângulo conhecido e aplicando a fórmula do seno da soma.
2. Tente converter outras equações para a forma da primeira e aplique o mesmo método. ( veja a Equação #8,9,12)
3. Generalize e estenda o método para quaisquer coeficientes e construa um algoritmo geral de ações (veja a Equação #10).
4. Aplique o método para resolver outras equações do mesmo tipo. (ver Equações Nos. 12,13, 14).

Implementação do plano.

Professora. Bem, nós fizemos um plano. Vamos começar a implementá-lo.

No quadro-negro, o aluno resolve a equação nº 11.

O segundo aluno resolve a seguinte equação nº 8, depois de dividi-la por número constante e, assim, reduzir a situação a uma solução já encontrada.

O professor sugere resolver as equações nº 9.12 por conta própria. Verifica a correção das transformações e o conjunto de soluções.

Professora. Pessoal, como vocês chamam o ângulo que aparece no lugar dos coeficientes da equação e nos ajuda a chegar a uma solução?

Resposta dos alunos. Adicional. (Opção: auxiliar).

Professora. Nem sempre é fácil encontrar tal ângulo auxiliar. É possível encontrá-lo se os coeficientes não são seno e cosseno cantos conhecidos? Que identidade esses coeficientes devem satisfazer se quisermos representá-los como o seno e o cosseno do ângulo auxiliar?

Responda. Identidade trigonométrica básica.

Professora. Bom trabalho! Corretamente! Portanto, nossa tarefa é obter coeficientes tais que a soma de seus quadrados seja igual a um! Tente encontrar um número pelo qual você precise dividir a equação para que a condição que indicamos seja satisfeita.

Os alunos pensam e, talvez, se ofereçam para dividir tudo pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes da equação. Se não, o professor os leva a esse pensamento.

Professora. Resta-nos escolher qual dos novos coeficientes designar como o seno do ângulo auxiliar e qual como o cosseno. Existem duas opções. A transição para a equação mais simples com um seno ou um cosseno depende da escolha.

Alunos eles oferecem uma solução, e o professor a completa, atentando para a forma de registrar o raciocínio e a resposta. Resolva a Equação 10.

Professora. Descobrimos um método para resolver um novo tipo de equação? Como chamamos esse tipo?

Responda. Trabalhamos pelo método de encontrar um ângulo auxiliar. Talvez as equações devam ser chamadas de equações que são resolvidas usando ângulos auxiliares?

Professora. Claro que você pode. Você consegue pensar em uma fórmula para eles? Será mais curto.

Responda. Sim. Equações com coeficientes A, B e C.

Professora. Vamos generalizar o método para coeficientes arbitrários.

O professor discute e escreve no quadro as fórmulas do seno e cosseno do ângulo auxiliar para coeficientes generalizados. Então, com a ajuda deles, ele resolve as equações nº 13 e 14.

Professora. Dominamos bem o método?

Responda. Não. É necessário resolver tais equações e consolidar a capacidade de usar o método do ângulo auxiliar.

Professora. Como sabemos que o método foi dominado?

Responda. Se resolvermos várias equações nós mesmos.

Professora. Vamos estabelecer uma escala qualitativa para dominar o método.

Conheça as características dos níveis e coloque-os em uma escala que reflita o nível de domínio dessa habilidade. Correlacione a característica do nível e a pontuação (de 0 a 3)

• Eu posso resolver equações com coeficientes diferentes
• Não consigo resolver equações
• Eu posso resolver equações complexas
• Eu posso resolver equações com coeficientes tabulares

Professora.(Depois que os alunos respondem) Então, nossa escala de classificação é a seguinte:

Pelo mesmo princípio, estimamos trabalho independente tópico na próxima lição.

E agora, por favor, resolva as equações nº 1148 g, 1149 g, 1150 g e determine seu nível de assimilação do tópico.

Não se esqueça de completar as entradas na tabela e nomear o tópico: "Introdução de um ângulo auxiliar ao resolver equações trigonométricas".

Reflexo do caminho para atingir o objetivo.

Professora. Pessoal, chegamos ao objetivo da aula?

Respostas dos alunos. Sim, aprendemos a reconhecer um novo tipo de equação.

Encontramos um método para resolvê-los usando um ângulo auxiliar.

Aprendeu a aplicar o método na prática.

Professora. Como agimos? Como chegamos a entender o que precisamos fazer?

Responda. Consideramos vários casos especiais de equações com coeficientes "reconhecíveis" e estendemos essa lógica para quaisquer valores de A, B e C.

Professora. Esta é uma maneira indutiva de pensar: derivamos um método de vários casos e o aplicamos em casos semelhantes.

Perspectiva. Onde podemos aplicar esta forma de pensar? (o aluno responde)

Você fez um bom trabalho hoje na aula. Em casa, leia a descrição do método do ângulo auxiliar no livro didático e resolva os números 1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c). Espero que na próxima lição todos vocês sejam ótimos em usar esse método ao resolver equações trigonométricas.

Obrigado pela lição!