O tópico da média aritmética e da média geométrica está incluído no programa de matemática da 6ª à 7ª série. Como o parágrafo é bastante fácil de entender, ele é concluído rapidamente e, no final, ano escolar os alunos o esquecem. Mas é necessário conhecimento de estatísticas básicas para passando no Exame Estadual Unificado, e também para exames internacionais SENTADO. Sim e por Vida cotidiana desenvolvido pensamento analítico nunca dói.
Como calcular a média aritmética e a média geométrica dos números
Digamos que haja uma série de números: 11, 4 e 3. A média aritmética é a soma de todos os números dividida pelo número de determinados números. Ou seja, no caso dos números 11, 4, 3, a resposta será 6. Como você consegue 6?
Solução: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
O denominador deve conter um número igual ao número de números cuja média precisa ser encontrada. A soma é divisível por 3, pois são três termos.
Agora precisamos descobrir a média geométrica. Digamos que haja uma série de números: 4, 2 e 8.
A média geométrica de um número é o produto de todos os números dados sob a raiz pela potência igual ao montante dados números... Ou seja, no caso dos números 4, 2 e 8, a resposta será 4. Foi assim que aconteceu:
Solução: ∛(4 × 2 × 8) = 4
Em ambas as opções obtivemos respostas completas, já que foram tomados números especiais como exemplo. Isso nem sempre acontece. Na maioria dos casos, a resposta deve ser arredondada ou deixada na raiz. Por exemplo, para os números 11, 7 e 20, a média aritmética é ≈ 12,67 e a média geométrica é ∛1540. E para os números 6 e 5, as respostas serão 5,5 e √30, respectivamente.
Será que a média aritmética se torna igual à média geométrica?
Claro que pode. Mas apenas em dois casos. Se houver uma série de números consistindo apenas de uns ou zeros. Vale ressaltar também que a resposta não depende do seu número.
Prova com unidades: (1 + 1 + 1) / 3 = 3/3 = 1 (média aritmética).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(média geométrica).
Prova com zeros: (0 + 0) / 2=0 (média aritmética).
√(0 × 0) = 0 (média geométrica).
Não há outra opção e não pode haver.
A média geométrica é aplicada nos casos em que valores individuais características representam valores relativos dinâmica construída na forma de valores de cadeia, em relação ao nível anterior de cada nível de uma série de dinâmicas, ou seja, caracteriza coeficiente médio crescimento.
A moda e a mediana são frequentemente calculadas em problemas estatísticos e são complementares aos características médias agregados e são usados em estatística matemática analisar o tipo de série de distribuição, que pode ser normal, assimétrica, simétrica, etc.
Assim como a mediana, são calculados os valores de uma característica que divide a população em quatro partes iguais - quartéis, em cinco partes - quintéis, às dez partes iguais - desacelera, em cem partes iguais - percentis. Uso em análise série de variação a distribuição das características consideradas nas estatísticas permite caracterizar a população em estudo com mais profundidade e detalhe.
Ao contrário da média aritmética, a média geométrica permite estimar o grau de mudança de uma variável ao longo do tempo. A média geométrica é a enésima raiz do produto de n valores (no Excel, é usada a função =SRGEOM):
G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n
Um parâmetro semelhante é médio significado geométrico taxa de retorno - determinada pela fórmula:
G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n - 1,
onde R i é a taxa de lucro para i-ésimo período tempo.
Por exemplo, suponha que o investimento inicial seja de US$ 100.000. No final do primeiro ano, ele cai para US$ 50.000 e, no final do segundo ano, recupera para o nível inicial de US$ 100.000. A taxa de retorno desse investimento ao longo de dois anos. O período de um ano é igual a 0, pois os valores inicial e final dos recursos são iguais entre si. No entanto, a média aritmética padrões anuais o lucro é igual a = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 ou 25%, pois a taxa de lucro no primeiro ano R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = -0,5, e no segundo R 2 = ( 100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. Ao mesmo tempo, o valor médio geométrico da taxa de lucro de dois anos é igual a: G = [(1-0,5) * (1+1)] 1/2 - 1 =S - 1 = 1 - 1 = 0. Assim, a média geométrica reflete com mais precisão a mudança (mais precisamente, a ausência de mudanças) no volume de investimentos ao longo de um período de dois anos do que a média aritmética.
Fatos interessantes. Em primeiro lugar, a média geométrica será sempre menor que a média aritmética dos mesmos números. Exceto no caso em que todos os números obtidos são iguais entre si. Em segundo lugar, tendo considerado as propriedades triângulo retângulo, pode-se entender por que a média é chamada de geométrica. A altura de um triângulo retângulo, rebaixado até a hipotenusa, é a média proporcional entre as projeções dos catetos na hipotenusa, e cada cateto é a média proporcional entre a hipotenusa e sua projeção na hipotenusa. Isso fornece uma maneira geométrica de construir a média geométrica de dois (comprimentos) segmentos: você precisa construir um círculo na soma desses dois segmentos como um diâmetro, então a altura restaurada do ponto de sua conexão até a intersecção com o círculo dará o valor desejado:
Arroz. 4.
Segundo propriedade importante dados numéricos - sua variação, caracterizando o grau de dispersão dos dados. Duas amostras diferentes podem diferir tanto em médias quanto em variâncias.
Existem cinco estimativas de variação de dados:
intervalo interquartil,
dispersão,
desvio padrão,
o coeficiente de variação.
O intervalo é a diferença entre o maior e o menores elementos amostras:
Faixa = X Máx. - X Mín.
O intervalo da amostra que contém dados sobre os retornos médios anuais de 15 fundos mútuos com muito alto nível o risco pode ser calculado usando uma matriz ordenada: Faixa = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Isto significa que a diferença entre os rendimentos médios anuais mais elevados e mais baixos dos fundos de risco muito elevado é de 24,6%.
O intervalo mede a dispersão geral dos dados. Embora o intervalo amostral seja uma estimativa muito simples da dispersão global dos dados, o seu ponto fraco é que não leva em conta exactamente como os dados estão distribuídos entre os elementos mínimo e máximo. A escala B demonstra que se uma amostra contém pelo menos um valor extremo, o intervalo da amostra é uma estimativa muito imprecisa da dispersão dos dados.
Perde-se no cálculo da média.
Média significado conjunto de números é igual à soma dos números S dividida pelo número desses números. Ou seja, acontece que média significadoé igual a: 19/4 = 4,75.
observação
Se você precisar encontrar a média geométrica de apenas dois números, não precisará de uma calculadora de engenharia: calcule a segunda raiz ( Raiz quadrada) de qualquer número pode ser feito usando a calculadora mais comum.
Ao contrário da média aritmética, a média geométrica não é tão fortemente afetada por grandes desvios e flutuações entre valores individuais no conjunto de indicadores em estudo.
Fontes:
- Calculadora online que calcula a média geométrica
- média fórmula geométrica
Média valor é uma das características de um conjunto de números. Representa um número que não pode estar fora do intervalo determinado pelo maior e valores mais baixos neste conjunto de números. Média o valor aritmético é o tipo de média mais comumente usado.
Instruções
Some todos os números do conjunto e divida-os pelo número de termos para obter a média aritmética. Dependendo das condições específicas de cálculo, às vezes é mais fácil dividir cada um dos números pelo número de valores do conjunto e somar o resultado.
Use, por exemplo, incluído no sistema operacional Windows se não for possível calcular a média aritmética de cabeça. Você pode abri-lo usando a caixa de diálogo de inicialização do programa. Para fazer isso, pressione as teclas de atalho WIN + R ou clique no botão Iniciar e selecione o comando Executar no menu principal. Em seguida, digite calc no campo de entrada e pressione Enter ou clique no botão OK. O mesmo pode ser feito através do menu principal - abra-o, vá até a seção “Todos os programas” e na seção “Padrão” e selecione a linha “Calculadora”.
Insira todos os números do conjunto sequencialmente pressionando a tecla Mais após cada um deles (exceto o último) ou clicando no botão correspondente na interface da calculadora. Você também pode inserir números no teclado ou clicando nos botões da interface correspondentes.
Pressione a tecla de barra ou clique aqui na interface da calculadora após inserir o último valor definido e digite o número de números na sequência. Em seguida, pressione o sinal de igual e a calculadora calculará e exibirá a média aritmética.
Você pode usar um editor de tabelas para a mesma finalidade. Microsoft Excel. Neste caso, inicie o editor e insira todos os valores da sequência de números nas células adjacentes. Se, após inserir cada número, você pressionar Enter ou a tecla de seta para baixo ou para a direita, o próprio editor moverá o foco de entrada para a célula adjacente.
Clique na célula ao lado do último número inserido se não quiser ver apenas a média. Expanda o menu suspenso Sigma grego (Σ) para os comandos Editar na guia Início. Selecione a linha " Média" e o editor irá inserir a fórmula necessária para calcular a média valor aritmético na célula selecionada. Pressione a tecla Enter e o valor será calculado.
A média aritmética é uma das medidas de tendência central, muito utilizada em matemática e cálculos estatísticos. Encontrar a média aritmética para vários valores é muito simples, mas cada tarefa possui nuances próprias, que basta conhecer para realizar cálculos corretos.
O que é uma média aritmética
A média aritmética determina o valor médio de toda a matriz original de números. Em outras palavras, de um determinado conjunto de números é selecionado um valor comum a todos os elementos, cuja comparação matemática com todos os elementos é aproximadamente igual. A média aritmética é utilizada principalmente na preparação de relatórios financeiros e estatísticos ou para calcular os resultados de experimentos semelhantes.Como encontrar a média aritmética
Procure a média número aritmético para uma matriz de números, você deve começar determinando a soma algébrica desses valores. Por exemplo, se a matriz contiver os números 23, 43, 10, 74 e 34, então sua soma algébrica será igual a 184. Ao escrever, a média aritmética é denotada pela letra μ (mu) ou x (x com um bar). Avançar soma algébrica deve ser dividido pelo número de números na matriz. No exemplo em consideração havia cinco números, então a média aritmética será igual a 184/5 e será 36,8.Características de trabalhar com números negativos
Se a matriz contiver números negativos, então a média aritmética é encontrada usando um algoritmo semelhante. A diferença está apenas no cálculo em ambiente de programação, ou se o problema contiver condições adicionais. Nestes casos, encontrar a média aritmética dos números com sinais diferentes se resume a três etapas:1. Encontrar a média aritmética geral pelo método padrão;
2. Encontrar a média aritmética dos números negativos.
3. Cálculo da média aritmética dos números positivos.
As respostas para cada ação são escritas separadas por vírgulas.
Frações naturais e decimais
Se uma matriz de números for apresentada decimais, a solução é realizada utilizando o método de cálculo da média aritmética dos inteiros, mas o resultado é reduzido de acordo com os requisitos do problema para a precisão da resposta.Ao trabalhar com frações naturais eles deveriam ser trazidos para denominador comum, que é multiplicado pelo número de números na matriz. O numerador da resposta será a soma dos numeradores fornecidos dos elementos fracionários originais.
Calculadora de engenharia.
Instruções
Observe que em caso Geral média números geométricosé encontrado multiplicando esses números e extraindo deles a raiz da potência que corresponde ao número de números. Por exemplo, se você precisar encontrar a média geométrica de cinco números, precisará extrair a raiz da potência do produto.
Para encontrar a média geométrica de dois números, use a regra básica. Encontre o produto deles e tire a raiz quadrada dele, já que o número é dois, que corresponde à potência da raiz. Por exemplo, para encontrar a média geométrica dos números 16 e 4, encontre o seu produto 16 4=64. Do número resultante, extraia a raiz quadrada √64=8. Este será o valor desejado. Observe que a média aritmética desses dois números é maior e igual a 10. Se a raiz inteira não for extraída, arredonde o resultado para a ordem necessária.
Para encontrar a média geométrica de mais de dois números, use também a regra básica. Para fazer isso, encontre o produto de todos os números para os quais você precisa encontrar a média geométrica. Do produto resultante, extraia a raiz da potência igual ao número de números. Por exemplo, para encontrar a média geométrica dos números 2, 4 e 64, encontre o seu produto. 2 4 64=512. Como você precisa encontrar o resultado da média geométrica de três números, extraia a terceira raiz do produto. É difícil fazer isso verbalmente, então use uma calculadora de engenharia. Para isso possui um botão "x^y". Disque o número 512, pressione o botão "x^y", depois disque o número 3 e pressione o botão "1/x", para encontrar o valor de 1/3, pressione o botão "=". Obtemos o resultado de elevar 512 a 1/3, que corresponde à terceira raiz. Obtenha 512 ^ 1/3 = 8. Esta é a média geométrica dos números 2,4 e 64.
Usando calculadora de engenharia Você pode encontrar a média geométrica de outra maneira. Encontre o botão de registro no teclado. Depois disso, pegue o logaritmo de cada um dos números, encontre sua soma e divida pelo número de números. Pegue o antilogaritmo do número resultante. Esta será a média geométrica dos números. Por exemplo, para encontrar a média geométrica dos mesmos números 2, 4 e 64, execute um conjunto de operações na calculadora. Disque o número 2, a seguir pressione o botão log, pressione o botão "+", disque o número 4 e pressione log e "+" novamente, disque 64, pressione log e "=". O resultado será o número igual à soma logaritmos decimais números 2, 4 e 64. Divida o número resultante por 3, pois este é o número de números para os quais se busca a média geométrica. A partir do resultado, pegue o antilogaritmo alternando o botão case e use a mesma chave de log. O resultado será o número 8, esta é a média geométrica desejada.
Os valores médios desempenham um papel nas estatísticas papel importante, porque permitem obter uma característica geral do fenômeno que está sendo analisado. A média mais comum é, obviamente, . Ocorre quando um indicador agregador é formado a partir da soma dos elementos. Por exemplo, a massa de várias maçãs, a receita total de cada dia de vendas, etc. Mas isso nem sempre acontece. Às vezes, um indicador agregado é formado não como resultado de uma soma, mas como resultado de outras operações matemáticas.
Vamos considerar próximo exemplo. A inflação mensal é a variação do nível de preços de um mês em relação ao mês anterior. Se são conhecidas as taxas de inflação de cada mês, como obter o valor anual? Do ponto de vista estatístico, este é um índice em cadeia, portanto a resposta correta é: multiplicando as taxas de inflação mensais. Ou seja, a taxa global de inflação não é uma soma, mas um produto. Agora, como você pode saber a inflação média de um mês se existe um valor anual? Não, não divida por 12, mas calcule a raiz 12 (o grau depende do número de fatores). Em geral, a média geométrica é calculada pela fórmula:
Ou seja, é a raiz do produto dos dados originais, onde o grau é determinado pelo número de fatores. Por exemplo, a média geométrica de dois números é a raiz quadrada do seu produto
de três números - a raiz cúbica do produto
etc.
Se cada número original substitua pela sua média geométrica, então o produto dará o mesmo resultado.
Para entender melhor o que é a média geométrica e como ela difere da média aritmética, considere a figura a seguir. Existe um triângulo retângulo inscrito em um círculo.
De ângulo certo mediana omitida a(até o meio da hipotenusa). Também do ângulo reto a altura é reduzida b, que está no ponto P divide a hipotenusa em duas partes eu E n. Porque A hipotenusa é o diâmetro do círculo circunscrito e a mediana é o raio, então é óbvio que o comprimento da mediana aé a média aritmética de eu E n.
Vamos calcular qual é a altura b. Devido à semelhança dos triângulos PA E PCN igualdade é verdade
Ou seja, a altura de um triângulo retângulo é a média geométrica dos segmentos em que divide a hipotenusa. Uma diferença tão clara.
Em MS Média do Excel o geométrico pode ser encontrado usando a função SRGEOM.
Tudo é muito simples: chame a função, especifique o intervalo e pronto.
Na prática, esse indicador não é utilizado com tanta frequência quanto a média aritmética, mas ainda ocorre. Por exemplo, existe este índice de Desenvolvimento Humano, que é usado para comparar o padrão de vida em países diferentes. É calculado como a média geométrica de vários índices.
Existem outras médias. Sobre eles em outra hora.
